Gambar 1.1 Gambar 1.2. Gambar 1.3

Transkripsi

1 Minggu ke I. Pemodelan dengan Graf alam pengertian umum model merupakan gambaran sederhana dalam dimensi lebih kecil dari objek yang diwakilinya, misalnya: model rumah, mobil atau pesawat terbang. alam nuansa ini gagasan manusia merancang peta sebagai pencerminan sederhana keadaan geografi lingkungannya dapat dianggap sebagai pemodelan. Pada hakekatnya pemodelan dengan graf serupa dengan pembuatan peta, dan diperkenalkan berikut ini. Pada Gambar. dan.2 disajikan jaringan listrik dan denah jalan sekitar lokasi,,, dan. Gambar. Gambar.2 Tanpa mengubah strukturnya bentuk hubungan aliran listrik dan jalan yang ada di antara ke lima lokasi tersebut dapat disederhanakan menjadi salah satu di antara diagram titik dan garis pada gambar.3. alam hal ini lokasi diwakili oleh titik dan keterhubungannya diwakili oleh garis yang menghubungkan sepasang titik. (a) (b) (c) Gambar.3 Ketiga diagram pada gambar.3 disebut graf dan diperlakukan sebagai model bagi jaringan listrik dan denah jalan. Titik-titik,,, dan disebut simpul dan garis-garis yang menghubungkan sepasang simpul disebut sisi. Naluri kita dapat menerima bahwa struktur ketiga graf ini identik. Oleh karena itu perpotongan antara garis dan pada Gambar.3 (a) bukan merupakan simpul pada graf. erajat simpul menyatakan banyaknya sisi yang bertemu pada simpul tersebut, misalnya: derajat simpul dan, masing-masing ialah 2 dan 3, serta ditafsirkan sebagai banyaknya cabang aliran listrik atau persimpangan jalan di lokasi yang sepadan dengan simpul ini.

2 i samping itu graf pada Gambar.3 dapat pula menjelaskan situasi yang lain. Misalnya,,, dan mewakili nama-namagrup bola basket, maka sisi mencerminkan kedua grup yang sepadan dengan sisi itu sudah saling bertanding dan derajat simpul mencerminkan banyaknya pertandingan yang telah dilakukan oleh grup yang sepadan dengan simpul tersebut. ari diagram ini terungkap, antara lain dan belum saling bertanding, dan telah menyelesaikan seluruh pertandingan, baru bertanding dua kali. ndaikan sekarang jalan yang menghubungkan tempat dan pada Gambar.3 terlalu sarat dengan kendaraan sehingga lalu-lintasnya sering macet. Salah satu penyelesaiannya ialah dengan membangun jalan baru yang menghubungkan kedua tempat tersebut. Salah satu model grafnya diperlihatkan pada Gambar.4. Kedua sisi yang menghubungkan simpul dengan disebut ya sisi ganda. pabila selanjutnya diinginkan pula membangun tempat parkir di lokasi, maka hal demikian dapat pula dinyatakan oleh graf dengan menggambar sebuah sisi yang berasal dari ke dirinya sendiri. Sisi semacam ini disebut gelang seperti tampak pada Gambar.5 dan dianggap berderajat 2. Gambar.4 Gambar.5 Jalan satu arah seringkali juga merupakan alternatif pemecahan dalam masalah lalu-lintas. engan demikian diperlukan graf berarah atau disingkat digraf; misalnya seperti diperlihatkan pada Gambar.6 (tanda panah menyatakan arah lalu-lintas). alam hal jalan antara dan boleh dua arah, kita dapat menyusun digrafnya dengan menggambar dua sisi berarah, yang masing-masing mempunyai arah berlawanan seperti tampak pada Gambar 7. Sisi berarah biasanya disebut busur. alam bidang sosiologi digraph dikenal dengan sebutan sosiogram dan digunakan untuk mengkaji struktur sosial suatu masyarakat atau kelompok. Individu-individu diwakili oleh simpul-simpul, sedangkan busur-busurnya yang mencerminkan hubungan antar-individu, dapat ditafsirkan sebagai, misalnya mempengaruhi, menguasai, mengagumi atau mengendalikan. Gambar.6 Gambar.7 2

3 .2 Konsep asar Graf ari kajian dalam Pasal, terungkap bahwa satu graf dapat merupakan model bagi lebih dari satu macam masalah. Selain itu ketiga diagram pada Gambar.3 sesungguhnya mempunyai struktur yang identik dalam pengertian diagram yang satu dapat diperoleh dari diagram yang lain melalui penempatan kembali simpul-simpul dan/atau sisi-sisinya. engan perkataan lain ketiga diagram merupakan sajian geometrik dari satu graf. Oleh karena itu, kita perlu mendefinisikan graf yang lepas dari sajian geometriknya. Pada dasarnya diagram simpul sisi pada setiap gambar yang telah dipaparkan dapat dibuat setelah kita mengetahui simpul-simpulnya dan sisi-sisinya yang menghubungkan sepasang simpul. Misalnya: ketiga diagram pada Gambar.3 mempunyai himpunan simpul dan sisi yang identik, yaitu {,,,, } dan {,,,,,, }. Oleh karena itu suatu graf hanya dicirikan oleh daftar simpul-simpulnya dan sisinya dan bukan oleh bentuk sajian geometriknya. FINISI, Graf, dilambangkan dengan G= (V, ), terdiri atas dua himpunan terhingga V dan. Himpunan V bukan himpunan kosong dan unsur-unsurnya disebut simpul, sedangkan unsur-unsur himpunan disebut sisi, sedemikian sehingga setiap sisi menghubungkan dua simpul, yang dinamakan simpul ujung sisi tersebut. Simpul biasanya dilambangkan dengan huruf-huruf u, v, w atau v, v 2,, meskipun adakalanya dengan n bilangan asli pertama,, 2,. Sisi dilambangkan dengan e, e 2,, atau dengan kedua simpul ujungnya, misalnya {u, v} atau {v, u}, {v, v3} atau {v 3, v }. Pada Gambar.8 disajikan bentuk geometrik graf G= {V, } dengan 5 simpul dan 7 sisi. Himpunan simpulnya V = {v, v 2, v 3, v 4, v 5 } dan himpunan sisinya = {e, e 2, e 3, e 4, e 5, e 6, e 7 }. V e 5 V 3 e e 3 e 4 e 6 e 7 V 5 e 2 V 2 V 4 Gambar.8 alam definisi graf ini telah tercakup kemungkinan adanya sisi-ganda, yaitu beberapa sisi yang menghubungkan sepasang simpul; graf semacam ini disebut graf ganda. Selain itu ada pula sisi yang menghubungkan sebuah simpul dengan dirinya sendiri; sisi semacam ini disebut gelang. Graf G= (V, ) yang tidak mempunyai sisi-ganda dan gelang disebut graf-sederhana, misalnya graf pada Gambar.3. 3

4 alam beberapa ulasan selanjutnya kita memanfaatkan Gambar.8 sebagai teladan. ua buah simpul sembarang v dan w disebut berikatan kalau kedua simpul ini merupakan simpul ujung suatu sisi e. alam hal ini simpul v dan w disebut hadir pada sisi e. Misalnya simpul v 4 berikatan dengan simpul v 5, tetapi tidak demikian halnya dengan simpul-simpul v dan v 4 ; simpul v 4 hadir pada sisi-sisi e 2, e 6, e 7. Sisi-sisi yang bukan sisi-ganda disebut berikatan kalau keduanya mempunyai satu simpul persekutuan; misalnya sisi e 2 dan e 7. anyaknya sisi yang bertemu pada simpul v disebut derajat simpul v, dilambangkan dengan d(v). alam hal ini dibuat kesepakatan bahwa setiap gelang dianggap berderajat dua. Selain itu simpul yang berderajat nol disebut simpul terpencil dan simpul yang berderajat satu disebut simpul terminal. Misalnya graf pada Gambar.8 memiliki satu simpul berderajat, tiga simpul berderajat 3, dan satu simpul berderajat 4. pabila kita jumlahkan derajat semua simpul graf tersebut akan diperoleh d(v ) + d(v 2 ) + d(v 3 ) + d(v 4 ) + d(v 5 ) = = 4 = 2(7) = 2 x banyaknya sisi graf G. Sifat demikian untuk graf sembarang sudah diketahui oleh uler lebih dari dua ratus tahun yang lalu, dan dikenal sebagai Lemma Persalaman. ikatakan demikian karena apabila ada beberapa orang saling bersalaman, jelas kiranya banyaknya tangan yang bersalaman haruslah genap, tepatnya ada dua tangan pada setiap salaman. Jadi dapat disimpulkan lemma (teori kecil ) berikut : LMM PRSLMN. Untuk sembarang graf dengan n simpul dan m sisi berlaku sifat berikut n d( vi ) 2. m i Himpunan simpul V dapat disekat menjadi dua himpunan yang saling menyisihkan (saling lepas), X dan Y, masing-masing merupakan himpunan simpul-simpul berderajat genap dan berderajat ganjil. Karena jumlah derajat simpul-simpul di X merupakan bilangan genap, katakanlah 2p, maka dengan Teorema. haruslah jumlah derajat simpul-simpul di Y juga bilangan genap, yaitu 2(m-p). kan tetapi setiap simpul v di Y berderajat ganjil, maka haruslah banyaknya simpul di Y (banyaknya bilangan yang dijumlahkan) itu genap agar jumlahnya menghasilkan bilangan genap. engan demikian diperoleh teorema berikut sebagai akibat Lemma. TORM.. anyaknya simpul berderajat ganjil dalam Graf G= (V, ) selalu merupakan bilangan genap. 4

5 Graf pada Gambar.8 mempunyai empat simpul berderajat ganjil, masing-masing ialah v, v 3, v 4, dan v 5. ontoh.. Graf pada gambar di samping ini mempunyai 6 simpul dan 7 sisi. erajat masing-masing simpulnya ialah d(v 2 ) = d(v 3 ) = 3, d(v 2 ) = 5, d(v 4 ) = 2, d(v 5 ) =, dan d(v 6 ) =. alam hal ini v 5 merupakan simpul terpencil; banyaknya simpul berderajat ganjil ada 4 buah (bilangan genap); jumlah derajat semua simpulnya sama dengan 4 atau 2 kali banyaknya sisi, yaitu 7 buah. V V 2 V 3 V 4 V 5 V 6 Sekarang kita akan sedikit mengulas makna yang agak cermat tentang dua graf dikatakan mempunyai struktur identik seperti diteladankan pada Gambar.3. alam istilah teori graf keadaan ini disebut isomorfik. Istilah ini berasal dari bahasa Yunani: iso bermakna sama dan morphe bermakna struktur. FINISI. Misalkan G = (V, ) merupakan graf dengan V = {v, v 2,, v n }. Graf G = (V, ) dikatakan isomorfik dengan G, jika kita dapat memberi nama simpul-simpul di G dengan v, v 2,, v n sedemikian sehingga () Setiap simpul di G hanya mempunyai satu dan hanya satu nama (2) Jika dua simpul berbeda v i dan v j di G terhubungkan oleh k(k >) sisi, maka demikian pula halnya dengan simpul-simpul padanannya v i dan v j. (3) Jika dua simpul berbeda v i dan v j di G tidak terhubungkan oleh suatu sisi, maka demikian pula halnya dengan simpul-simpul padanannya v i dan v j. Jika persamaan ini tidak dimungkinkan, maka G dan G tidak isomorfik. Sebagai akibatnya diperoleh teorema berikut TORM.2. Jika G dan G dua graf isomorfik dan v i di G berpadanan dengan v i di G, maka d(v i ) = d(v i ). ontoh.2. Periksa apakah penamaan simpul pada G dan G pada Gambar.9 memperlihatkan keduanya isomorfik. V 2 V 3 V 4 V 3 V V 5 V 2 V V 5 V 4 Gambar.9 5

6 Penyelesaian. alam hal ini harus diperiksa apakah banyaknya sisi yang menghubungkan pasangan simpul-simpul v i dan v j di G sama dengan banyaknya sisi yang menghubungkan pasangan simpul-simpul v i dan v j di G. Hasil pemeriksaan tercantum dalam tabel berikut : Simpul-simpul di G v dan v 2 v dan v 3 v dan v 4 v dan v 5 v 2 dan v 3 v 2 dan v 4 v 2 dan v 5 v 3 dan v 4 v 3 dan v 5 v 4 dan v 5 anyaknya sisi di G 2 Simpul-simpul di G v dan v 2 v dan v 3 v dan v 4 v dan v 5 v 2 dan v 3 v 2 dan v 4 v 2 dan v 5 v 3 dan v 4 v 3 dan v 5 v 4 dan v 5 anyaknya sisi di G 2 Karena kolom 2 dan 4 identik, maka G dan G isomorfik. Selain itu kebenaran Teorema.2 dapat diperiksa pada kedua graf ini. ontoh.3. Periksa apakah kedua graf pada Gambar. isomorfik. ( a) G = (V, ) ( b) G = (V, ) Gambar. Penyelesaian. Kita mulai dengan menamai simpul-simpul graf G seperti tampak pada Gambar 6(a). V V V 6 V 5 V 4 V 3 (a) G = (V, ) V 2 V 3 (b) G = (V, ) Gambar. Karena simpul v 3 berderajat 3 dan G hanya mempunyai satu simpul berderajat 3, maka menurut Teorema 3 simpul v 3 haruslah seperti tampak pada Gambar (b). kan tetapi simpul v 3 berikatan dengan dua simpul terminal, yaitu v dan v 2, sedangkan pada graf G simpul v 3 hanya berikatan dengan satu terminal, yaitu v seperti pada Gambar (b). engan demikian penamaan simpul di G yang memenuhi efinisi tidak dapat dilanjutkan. Hal ini berarti graf G tidak isomorfik dengan G. 6

7 Teladan ini menunjukkan tidak berlakunya konvers pernyataan berikut: Jika graf G = (V,) isomorfik dengan G = (V, ), maka simpul-simpul di V dan V sama banyaknya dan demikian pula dengan banyaknya sisi di dan. 7