LOGIKA MATEMATIKA ab 1 Dalam setiap melakukan kegiatan sering kita dituntut untuk menggunakan akal dan pikiran. Akal dan pikiran yang dibutuhkan harus mempunyai pola pikir yang tepat, akurat, rasional, logis, obyektif dan kritis. Dengan menggunakan logika diharapkan kita lebih efektif dalam mengenal dan menghindari kesalahan penalaran. Prinsip-prinsip logika sering digunakan dalam penalaran aplikasi pemrograman untuk tehnologi informasi. 1. Pernyataan ( Kalimat Dekaratif) uatu pernyataan adalah suatu kalimat yang hanya dapat mempunyai nilai kebenaran saja atau mempunyai nilai salah saja dan tidak berlaku kedua-duanya secara bersamaan. a. " Jika x real maka x 0 " Kalimat ini merupakan suatu pernyataan, karena kalimat ini menerangkan sesuatu yang benar. b. "isi-sisi sebuah segitiga siku-siku mempunyai panjang yang sama " Kalimat ini merupakan suatu pernyataan sebab kalimat ini menerangkan sesuatu yang salah c. " Harga logaritma suatu bilangan, sama dengan 3 " Kalimat ini bukan merupakan suatu pernyataan, mengingat kalimat ini menerangkan sesuatu yang mungkin enar atau mungkin salah.. Nilai Kebenaran uatu Pernyataan dapat menerangkan suatu kejadian yang benar maupun yang salah, maka diperlukan suatu nilai kebenaran untuk membedakan pernyataan yang benar dan yang salah. Untuk menyatakan nilai kebenaran dari pernyataan ada cara yaitu : a. Cara empiris : kebenaran berdasarkan kenyataan pada saat itu ( tergantung ruang dan waktu) b. Cara non empiris : suatu kebenaran yang mutlak. Nilai kebenaran dari suatu pertnyataan p dituliskan dengan lambang ( p) p = isi-sisi sebuah segitiga siku-siku mempunyai panjang yang sama maka dalam hal ini ( p) = 3. Pernyataan berkuantor. Ada dua kuantor, yaitu: a. kuantor universal dengan notasi ( untuk semua, seluruh, setiap,.) - ( x), x 0 - etiap kucing mempunyai ekor Pernyataan ini benar sebaba tidak dapat ditemukan kucing yang tidak mempunyai ekor. b. Kuantor eksensial dengan notasi ( ada, beberapa, diantara,. ) - ( x), x 3 6 pernyataan ini benar sebab dapat ditemukan beberapa bilangan yang jika dijumlah dengan 3 mempunyai nilai 6 Operasi-operasi pada Logika. eperti pada system bilangan real, matriks ataupun fungsi, maka pada logika matematika, kita juga mengenal operasi antara pernyataan, antara lain : a. Operasi Negasi / Ingkaran uatu pernyataan yang baru yang nilai kebenarannya kebalikan dari pernyataan semula. Negasi pernyataan p ditulis ~ p ( bukan p ) y. Drs. Pundjul Prijono - MA Negeri 6 Malang
Materi UN 013 Prog. IPA Tabel kebenaran : P ~ p ~(~p) p p : ada bilangan real yang logaritmanya sama dengan satu ~ p : emua bilangan real logaritmanya tidak sama dengan satu b. Operasi Konjungsi Operasi yang menggabungkan pernyataan p dan q menjadi pernyataan majemuk yang menggunakan kata penghubung dan dilambangkan Kata-kata tetapi, hanya saja, walaupun identik dengan dan. ebuah konjungsi akan benar apabila nilai kebenaran dari p dan q keduanya benar, dalam hal lain sebuah disjungsi akan salah. Tabel kebenaran Konjungsi P Q p q Negasi dari Konjungsi ~ ( p q) ~ p ~ q ` p : " x 0 untuk semua bilangan real q : "log x 0 untuk setiap x real p q x (p) =, (q) = maka ( p q ) = :" 0 untuk setiap x real dan log x>0untuk setiap x real" c. Operasi Disjungsi uatu pernyataan majemuk yang terbentuk dari pernyataan p dan q menggunakan kata penghubung atau dilambangkan p V q Disjungsi ada macam : Disjungsi Inklusif : Disjungsi yang bernilai benar karena dua pernyataan benar, atau hanya salah satu pernyataan yang benar Disjungsi eksklusif : Disjungsi yang bernilai benar karena salah satu pernyataan saja yang benar karena tidak mungkin keduanya benar. Dalam persoalan jika tidak ada pernyataan /keterangan maka dianggap disjungsi inklusif. Tabel Kebenaran Disjungsi Inklusif 1
Materi UN 013 Prog. IPA P Q p q Tabel Kebenaran Disjungsi Ekslusif P Q p q p : "x = 0 merupakan akar persamaan x x 0 " q : "x = 1 merupakan akar persamaan x x 0 " Jadi p q : " x = 0 merupakan akar persamaan x x 0 Terlihat bahwa (p q) = x x 0 atau x = 1 merupakan akar persamaan Ingkaran dari Konjungsi : ~(p V q) ~pv~q Konsep konjungsi dan disjungsi pada rangkaian listrik a. Konsep konjungsi dapat digambarkan sebagai hubungan seri 1 Lampu menyala hanya jika sakelar. 1 dan terhubung. Jika hanya salah satu sakelar yang terhubung lampu tidak menyala. (lihat table kebenaran konjungsi) b. Konsep disjungsi dapat digambarkan sebagai hubungan parallel pada rangkaian listrik tersebut. Pada rangkaian seperti gambar, lampu akan menyala apabila sakelar 1 dan terhubung atau salah satu sakelar saja yang terhubung. c. Operasi Implikasi ( pernyataan bersyarat)
Materi UN 013 Prog. IPA Pernyataan majemuk yang menggunakan kata hubung " Jika.maka." Pernyataan p disebut sebab (hipotesis/antesenden) dan pernyataan q disebut kesimpulan(konklusi/konsekwen) ebuah implikasi akan salah jika hipotesanya benar tetapi konklusinya salah dalam hal lain akan benar. Implikasi " Jika p maka q" dilambangkan p q p : Jakarta terletak di Pulau Jawa q : Jakarta merupakan ibu kota negara Indonesia y: Jika Jakarta terletak di Pulau Jawa, maka Jakarta merupakan ibu kota Negara Indonesia. Parto berjanji pada Parti " Jika hujan maka ia akan datang ke rumah Parti " hari hujan, Parto datang hari tidak hujan, Parto tidak datang Parto ingkar janji jika hari hujan ia tidak datang Tabel Kebenaran Implikasi P Q p q Negasi dari Implikasi : ~ ( p q) p ~ q ( uktikan ) uatu pernyataan jika maka.. bernilai selalu benar (tautologi) dinamakan Implikasi Logis dan untuk mengetahui suatu pernyataan adalah implikasi logis maka perlu pengujian dengan tabel kebenaran. Konvers, Invers dan Kontraposisi Dari implikasi p q dapat dibuat implikasi-implikasi lain yaitu : a. q p disebut Konvers dari p q b. p q disebut Invers dari p q c. q p disebut Invers dari p q Implikasi : Jika x = 3, maka x = 9 Invers : jika x 3, maka x 9 Konvers : Jika x = 9, maka x = 3 Kontra posisi : Jika x 9, maka x 3 Hubungan antara Implikasi, Konvers, Invers dan Kontraposisi Konvers p q q p Kontraposisi p q q p 3
Materi UN 013 Prog. IPA p q Konvers d. Operasi iimplikasi ( bi kondisional / ekuivalensi). Pernyataan majemuk yang menggunakan kata hubung "..jika dan hanya jika." p q dibaca : " p jika dan hanya jika q " Tabel kebenaran iimplikasi P Q p q Negasi biimplikasi : ~ ( p q) ( p ~ q) (~ p q) uktikan!! uatu biimplikasi akan benar jika nilai kebenaran dari p sama dng nilai kebenaran dari q AC adalah segitiga sama kaki jika dan hanya jika A Jika pernyataan biimplikasi benar untuk semua keadaan(tautology) maka disebut biimplikasi logis. e. Tautologi dan Kontradiksi Tautologi adalah sebuah pernyataan majemuk yang selalu benar dalam segala hal. P q ~q p ~q (p ~q) p (p ~q) p adalah implikasi logis Kontradiksi : Adalah pernyataan majemuk yang selalu salah dalam segala hal f. Penarikan kesimpulan Dalam menarik kesimpulan dari beberapa pernyataan yang ada digunakan beberapa prinsip penarikan kesimpulan yaitu : a. Modus Ponen Pernyataan 1 : p q benar Pernyataan : p benar Kesimpulan : q benar b. Modus Tollens Pernyataan 1 : p q benar Pernyataan : ~ q benar Kesimpulan : ~p benar 4
Materi UN 013 Prog. IPA c. ilogisme Pernyataan 1 : p q benar Pernyataan : q r benar Kesimpulan : p r benar KUMPULAN OAL INDIKATOR 1 KL UN Menentukan pernyataan yang diperoleh dari penarikan kesimpulan dari dua premis yang diberikan 1. Tentukan kesimpulan yang sah dari tiap argumentasi berikut a. p q ~ p.. b. ~ p q ~ q. c. ~q p ~r ~q_......... d. p q ~q r......... e. ~ q ~ p ~ r ~ q_......... f. P q q r.......... tentukan kesimpulan yang sah dari premis premis berikut a. 1. Jika semua siswa MA di DKI Jakarta lulus ujian, maka Pak Gubernur DKI Jakarta sujud syukur. Pak Gubernur DKI Jakarta tidak sujud syukur Kesimpulan :... b. 1. Jika saya dapat mengerjakan soal tryout, maka saya dapat menyelesaikan soal UN. aya tidak dapat menyelesaikan soal UN Kesimpulan :... c. 1. Jika Fadil lulus ujian pegawai atau menikah maka ayah memberi hadiah uang.. Ayah tidak memberi hadiah uang. Kesimpulan : d. 1. Jika ia dermawan dan pandai bergaul maka ia disenangi masyarakat. Ia tidak disenangi masyarakat. Kesimpulan:... e. 1. Jika Marni rajin belajar atau patuh pada orang tua, maka ibu membelikan sepatu baru.. Ibu tidak membelikan sepatu baru f. 1. Jika hari hujan, maka ibu memakai payung. Ibu tidak memakai payung 3. Tentukan 3 bentuk kesimpulan yang sah dari premis premis berikut a. 1. Jika ibu tidak pergi maka adik senang. Jika adik senang maka dia tersenyum. b. 1. Jika Andi murid rajin, maka Andi murid pandai. Jika Andi murid pandai, maka ia lulus ujian 5
Materi UN 013 Prog. IPA c. 1. Jika saya tidak rajin belajar, maka nilai ujian saya kurang baik.. Jika nilai ujian saya kurang baik, maka saya tidak lulus ujian.. d. 1. Jika Adi rajin belajar, maka Adi lulus ujian. Jika Adi lulus ujian, maka Adi dapat diterima di PTN e. 1. Jika dia bermbut gondrong maka dia seorang seniman. Jika dia seorang seniman maka dia berpakaian nyentrik. f. 1. Jika sampah dibuang di sembarang tempat maka keadaan menjadi kumuh. Jika keadaan menjadi kumuh maka wabah penyakit datang 4. Tentukan 3 bentuk kesimpulan yang sah dari premis premis berikut a. P 1 : saya tidak giat belajar atau saya bisa meraih juara P : Jika saya bisa meraih juara maka saya boleh ikut bertanding b. P 1 : Dodi tidak rajin belajar atau ia naik kelas. P : Jika Dodi naik kelas, maka ia akan dibelikan baju. c. P 1 : Adik tidak makan atau adik tidak lemas. P : Jika adik tidak bertenaga, maka dia lemas. d. P 1 : Mariam tidak rajin belajar atau ia pandai P : Mariam lulus NMPTN atau ia tidak pandai e. P 1 : pengendara tidak taat aturan atau lalu lintas lancar. P : saya terlambat ujian atau lalu lintas tidak lancar f. P 1 : lapisan ozon di atmosfer tidak menipis atau suhu bumi meningkat. P : keseimbangan alam terganggu atau suhu bumi tidak meningkat 5. Tentukan 3 bentuk kesimpulan yang sah dari premis premis berikut a. Premis 1 : Jika nilai matematika dan ahasa Inggris baik maka semua siswa senang Premis : eberapa siswa tidak senang atau prosentase kelulusan 100% b. Premis 1 : Jika Ani lulus ujian, maka ia melamar pekerjaan atau kuliah di luar negeri Premis : Jika rajin dan tekun maka Ani lulus ujian c. Premis 1 : Jika saya lulus ujian nasional, maka ibu dan ayah bahagia Premis : Jika ibu dan ayah bahagia maka saya tersenyum 6
Materi UN 013 Prog. IPA d. Premis 1 : Jika semua siswa menyukai matematika, maka guru senang mengajar. Premis : Guru tidak senang mengajar atau semua siswa lulus ujian. e. Premis 1 : Jika harga M naik, maka semua bahan pokok naik Premis : Jika harga bahan pokok naik, maka semua orang tidak senang f. Premis 1 : Jika ujian nasional dimajukan, maka semua siswa gelisah Premis : Jika semua siswa gelisah maka semua orang tua siswa ketakutan KUMPULAN OAL INDIKATOR KL UN Menentukan ingkaran atau kesetaraan dari pernyataan majemuk atau pernyataan berkuantor RANGKUMAN MATERI Pernyataan Pernyataan yang Equivalen 1) implikasi kontraposisi : p q ~ q ~ p ~ p q ) ~(p q) ~ p ~ q : ingkaran dari konjungsi 3) ~(p q) ~ p ~ q : ingkaran dari disjungsi 4) ~(p q) p ~ q : ingkaran dari implikasi 5) ~(p q) (p ~ q) (q ~ p) : ingkaran dari biimplikasi 6) ~( x) (~x) : ingkaran dari kuantor universal 7) ~( x) (~x) : ingkaran dari kuantor eksistensial OAL LATIHAN A A. Tentukan ingkaran dari tiap pernyataan majemuk di bawah ini 1. 18 habis dibagi atau 9. ekarang les matematika atau besok lesnya libur 3. aya siswa kelas XII IPA atau saya ikut Ujian Nasional 4. Hari ini tidak hujan dan saya tidak membawa payung 5. Ani senang bernyanyi dan tidak senang olah raga 6. Permintaan terhadap sebuah produk tinggi dan harga barang naik 7. Harga M turun, tetapi harga sembako tinggi 8. Jika Prabu mendapatkan nilai jelek maka ia tidak mendapatkan uang saku 9. Jika hari hujan maka Amir tidak berangkat ke sekolah 10. Jika Ali seorang pelajar MA, maka ia mempunyai kartu pelajar 11. Jika harga penawaran tinggi maka permintaan rendah 1. eberapa siswa memakai kacamata dan memiliki laptop 13. eberapa siswa naik kendaraan umum atau miliki pribadi 14. emua bunga harum baunya dan hijau daunnya 15. emua warga desa memiliki televisi dan motor 16. Jika ulangan tidak jadi maka semua murid bersuka ria 17. Jika ada guru yang tidak hadir maka semua siswa sedih dan prihatin 18. Jika tidak ada operasi polantas maka semua pengendara motor ngebut atau tidak memakai helm Matematika MA
Materi UN 013 Prog. IPA OAL LATIHAN. Tentukan dua pernyataan yang ekuivalen (setara) dengan pernyataan majemuk di bawah ini 1. aya lulus UN atau ke Jakarta. Harga cabai rawit tidak turun atau kaum ibu bergembira 3. Polisi turun tangan atau warga bertindak anarkis 4. Tuntutan karyawan di turuti atau terjadi mogok masal 5. eberapa siswa masuk kelas atau pelajaran kosong 6. Jika M naik maka harga bahan pokok naik 7. Jika saya sakit maka saya minum obat 8. Jika Amir pandai maka diberi hadiah 9. Jika Ino seorang atlit maka Ino tidak merokok 10. Jika semua siswa kelas XII Lulus Ujian maka kepala sekolah gembira oal Latihan UN : 1. kalimat ingkaran dari kalimat semua orang berdiri ketika tamuagung memasuki ruangan adalah : a. semua orang tidak berdiri ketika tamu agung memasuki ruangan b. tidak ada orang yang berdiri ketika tamuagung memasuki ruangan c. ada orang yang berdiri ketika tamu agung memasuki ruangan d. ada orang yang tidak berdiri ketika tamu agung memasuki ruangan e. tidak ada orang yang berdiri ketika tamu agung memasuki ruangan. Kesimpulan dari pernyataan Jika perang terjadi maka setiap orang gelisah maka kehidupan menjadi kacau adalah a. jika perang terjadi maka setiap orang gelisah b. jika perang terjadi maka kehidupan menjadi kacau c. jika setiap orang gelisah maka perang terjadi d. Jika perang terjadi maka setiap orang gelisah maka kehidupan menjadi kacau e. Jika kehidupan menjadi kacau maka setiap orang gelisah 3. Kontra posisi pernyataan Jika devisa negara bertambah maka pembangunan berjalan lancar adalah a. jika pembangunan tidak lancar maka devisa negara tidak bertambah b. Jika devisa negara tidak bertambah maka pembangunan tidak lancar c. Jika devisa negara tidak bertambah maka pembangunan berjalan lancar d. Jika pembangunan berjalan lancar maka devisa negara bertambah e. Jika devisa negara bertambah maka pembangunan tidak lancar 4. Pernyataan p dan q masing-nasing bernilai benar P: saya lulus MA Q : saya mengikuti PM Implikasi berikut ini benar kecuali : a. jika saya tidak lulus MA, maka saya tidak mengikuti PM b. jika saya mengikuti PM, maka saya lulus MA c. jika saya tidak mengikuti PM, maka saya tidak lulus MA d. jika saya tidak lulus MA, maka saya mengikuti PM e. jika saya lulus MA, maka saya tidak mengikuti PM 5. Pernyataan yang ekuivalen dengan Jika 4 > 5 maka 4 < -5 adalah A. Jika 4 > -5 maka 4 < 5. Jika 4 > 5 maka 4-5 Matematika MA 3
Materi UN 013 Prog. IPA C. Jika 4 5 maka 4 < -5 D. Jika 4 < -5 maka 4 > 5 E. Jika 4-5 maka 4 5 p ialah. A. ~ q p. q p C. p ~ q D. p ~ q E. p q p ( p q senilai dengan A. p. q C. p ~ q D. p q E. p q f x) ax bx 6. Ingkaran dari kontra posisi q 7. entuk ) 8. Nilai kebenaran dari pernyataan : ( c mengalami definit negatif jika dan hanya jika a 0 dan D 0 A.. C. dan D. 0 E. ~ 9. Diberikan empat pernyataan p,q,r dan s. Jika tiga pernyataan berikut benar: p q, q r, r s, dan s pernyataan yang salah, maka diantara ernataan berikut yang salah adalah.. A. ~p. ~q C. ~r D. p r E. p ~ r 10. Kesimpulan tiga premis 1. ~ p q. q r 3. ~r adalah. A. p. ~p C. q D. ~q E. p ~ r oal soal logika matematika Ujian Nasional Materi pokok : Invers, Konvers, Kontraposisi 1. Kontraposisi dari pernyataan majemuk p ( p V ~q ) adalah. a. ( p V ~q ) ~p b. (~p Λ q ) ~p c. ( p V ~q ) p d. (~p V q ) ~p e. ( p Λ ~q ) ~p. Invers dari pernyataan p ( p Λ q ) a. (~p Λ ~q ) ~p b. (~p V ~q ) ~p c. ~p (~p Λ ~q ) d. ~p (~p Λ q ) e. ~p (~p V ~q ) Materi pokok : Penarikan Kesimpulan 3. Diketahui pernyataan : I. Jika hari panas, maka Ani memakai topi II. Ani tidak memakai topi atau ia memakai payung III. Ani tidak memakai payung Kesimpulan yang sah adalah. a. Hari panas b. Hari tidak panas c. Ani memakai topi d. Hari panas dan Ani memakai topi e. Hari tidak panas dan Ani memakai topi Matematika MA 4
Materi UN 013 Prog. IPA 4. Penarikan kesimpulan yang sah dari argumentasi berikut : Jika iti sakit maka dia pergi ke dokter Jika iti pergi ke dokter maka dia diberi obat. adalah. a. iti tidak sakit atau diberi obat b. iti sakit atau diberi obat c. iti tidak sakit atau tidak diberi obat d. iti sakit dan diberi obat e. iti tidak sakit dan tidak diberi obat 5. Diketahui premis berikut : I. Jika udi rajin belajar maka ia menjadi pandai. II. Jika udi menjadi pandai maka ia lulus ujian. III. udi tidak lulus ujian. Kesimpulan yang sah adalah. a. udi menjadi pandai b. udi rajin belajar c. udi lulus ujian d. udi tidak pandai e. udi tidak rajin belajar 6. Diketahui argumentasi : I. p q ~p ---------- ~q II. p q ~q V r ---------- p r III. p q p r ---------- q r Argumentasi yang sah adalah. a. I saja b. II saja c. III saja d. I dan II saja e. II dan III saja 7. Penarikan kesimpulan yang sah dari argumen tasi berikut : ~p q q r ---------- a. p Λ r b. ~p V r c. p Λ ~r d. ~p Λ r Matematika MA 5
Materi UN 013 Prog. IPA e. p V r 8. Ditentukan premis premis : I. Jika adu rajin bekerja maka ia disayang ibu. II. Jika adu disayang ibu maka ia disayang nenek III. adu tidak disayang nenek Kesimulan yang sah dari ketiga premis diatas adalah. a. adu rajin bekerja tetapi tidak disayang ibu b. adu rajin bekerja c. adu disayang ibu d. adu disayang nenek e. adu tidak rajin bekerja 9. Penarikan kesimpulan dengan menggunakan modus tolens didasarkan atas suatu pernyataan majemuk yang selalu berbentuk tautologi untuk setiap kasus. Pernyataan yang dimaksud adalah. a. ( p q ) Λ p q b. ( p q ) Λ ~q ~p c. ( p q ) Λ p ( p Λ q ) d. ( p q ) Λ ( q r ) ( p r ) e. ( p q ) Λ ( p r ) ~ ( q r ) 10. Kesimpulan dari premis berikut merupakan. p ~q q V r ---------- p r a. konvers b. kontra posisi c. modus ponens d. modus tollens e. silogisme 1..E 3. 4.A 5.E 6. 7.E 8.E 9. 10.E May it be a sweet, sweet sound In Your ear Matematika MA 6