MAKALAH Bantuan dalam Penghitungan Integral Tentu KALKULUS LANJUT Dosen Pengampu: Sugeng Riyadi S.Si M.Pd DISUSUN OLEH: Kelompok V 1. NURVITA 2. ROSI LUSIANA 3. PUJI ASTUTI 4. SURTA MD PANGGABEAN 5. SUTRISNO KELAS: B MATEMATIKA SEKOLAH TINGGI KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN STKIP) YPM BANGKO 2014/2015
5.8 Bantuan Dalam Penghitungan Integral Tentu Penghitungan integral tentu secara umum adalah suatu proses dua langkah. Pertama, kita mencari suatu integral tak-tentu; kemudian kita terapkan Teorema Dasar Kalkulus, jika pengintegralan tak-tentunya mudah, kita dapat menggabungkan dua langkah itu, seperti dalam [ ] Tetapi, jika pengintegralan tak-tentunya cukup rumit sehingga memerlukan suatu penggantian, maka secara khusus kita pisahkan kedua langkah tersebut. Jadi untuk menghitung Pertama kita tuliskan memakai Kemudian, menurut Teorema Dasar, * + Metode penggantian yang baru saja digambarkan diperumum dalam dua cara. Pertama, walaupun telah diperkenalkan dalam Pasal 5.1 hanya untuk fungsi pangkat, penerapannya meluas jauh di luar pemakaian itu. Kedua, terdapat suatu cara penggunaan penggantian secara lansung dalam suatu integral tentu. Kita bahas persoalan ini sekarang. METODE SUBSTITUSI Perhatian Masalah pencarian
Jika kita andaikan sehingga, integral diatas berubah menjadi, yang akan anda perhatikan bukan berupa integral dari sebuah fungsi pangkat. Tetapi, secara formal, Dalam contoh ini, dengan mudah kita dapat memeriksa kembali jawaban kita, dengan mendiferensialkan hasil itu. Tetapi apakah metode substitusi akan selalu berhasil?ya, asalkan kita dapat membuktikan teorema berikut. Teorema A Substitusi dalam Integral Tak Tentu). Andaikan g suatu fungsi yang terdiferensialkan dan andaikan bahwa F adalah suatu anti turunan dari f. Maka jika, ) Bukti Cukup untuk memperlihatkan bahwa turunan dari ruas kanan adalah integraldari ruas kiri. Tetapi itu merupakan suatu penerapan sederhana dari Aturan Rantai digabungkan dengan kenyataan bahwa [ ) ] ) ) CONTOH 1 cari Penyelesaian Andaikan
Maka, * CONTOH 2 hitung Penyelesaian Andaikan sehingga Maka Jadi, menurut Teorema Dasar Kalkulus, [ ] ) Perhatikan bahwa dalam prosedur dua langkah yang digambarkan dalam contoh 2, kita harus yakin untuk mengungkapkan integral tak tentu dalam dalam bentuk x sebelum kita menerapkan Teorema Dasar. Karena batas-batas 0 dan berlaku untuk x,bukannya u. Tetapi bagaimana jika pada saat melakukan penggantian, kita juga membuat perubahan yang berpadanan dalam batas-batas pengintegralan ke dan? Kemudian dapatkah kita mengakhiri pengintegralan dengan u sebagai variabel? Jawabnya adalah ya. Ini adalah hasil yang umum. [ ]
Teorema B Substitusi dalam Integral Tentu). Andaikan g mempunyai turunan kontinu pada nilai dari g. Maka dan andaikan f kontinu pada daerah ) Bukti andaikan f adalah suatu anti turunan dari f keujudan F dijamin oleh Teorema 5.TD). Maka menurut Teorema Dasar, Teorema A), [ ] ) ) Sebaliknya, menurut Teorema Substiusi untuk Integral Tak Tentu ) ) Sehingga,lagi-lagi menurut Teorema Dasar, ) ) ) ) CONTOH 3 Hitung Penyelesaian andaikan, sehingga,dan perhatikan bahwa bilamana dan bilamana. Jadi, [ ] *
CONTOH 4 Hitung Penyelesaian Andaikan, sehingga ). Jadi, [ ] Perhatikan perubahan dalam batas-batas pengintegralan pada persamaan yang ke dua. Bilamana PENGGUNAAN SIMETRI Ingat kembali bahwa suatu fungsi genap adalah yang memenuhi, sedangkan suatu fungsi ganjil memenuhi. Grafik yang terlebih dahulu simetri terhadap sumbu ; grafik yang belakangan simetri terhadap titik asal. Berikut adalah sebuah teorema pengintegralan yang manis untuk fungsi-fungsi yang demikian. Teorema C Teorema Simetri). Jika fungsi genap, maka Jika f fungsi ganjil, maka Bukti Tafsiran geometri dari teorema ini diperlihatkan dalam Gambar 1 dan 2 untuk membenarkan hasil-hasil itu secara analitik, pertama kita tuliskan
Dalam Integral pertama di ruas kanan, kita melakukan substitusi Jika f genap, dan Sebaliknya, jika f ganji, sehingga, CONTOH 5 Hitung, Penyelesaian karena adalah fungsi genap Jadi ) ) ) [ ] CONTOH 6 Hitung Penyelesaian adalah fungsi ganjil. Jadi integral diatas bernilai 0. CONTOH 7 Hitung Penyelesaian Dua suku pertama dalam integral adalah ganjil, yang terakhir genap, jadi kita boleh menuliskan integral itu sebagai [ ] PENGGUNAAN KEPERIODIKAN Suatu fungsi f adalah periodik jika terdapat suatu bilangan p sedemikian sehingga
Untuk semua bilangan riil x dalam daerah definisi f. Bilangan p yang terkecil demikian adalah periode dari fungsi periodik. Fungsi-fungsi trigonometri merupakan contoh-contoh utama dari fungsi-fungsi periodik. Teorema D Jika f periodic dengan periode p, maka Bukti Tafsiran geometri dapat dilihat dalam Gambar 3. Untuk membuktikan hasil itu, andaikan sehingga dan Maka CONTOH 8 Hitung. Penyelesaian Perhatikan bahwa adalah periodik dengan periode, [ ]
Contoh soal integral tak tentu denganmenggunakan metode subtitusi 1) Penyelesaian: Misalkan: * * 2) Penyelesaian: Misalkan : * * [ *]
[ * * ] ) * [ ] [ *] * * 3) Misalkan : ] * Bukti: [ ]]
* * 4). = Misalkan: t = 3x +1 dt = 3dx dt = dx X =0 t=3.0+1 =1 X=1 t=3.1+1=4 *] ) = = 5) ) Misalkan:
) ] ] * [ ] [ ] [ ] 6) Misalkan :
] ] 7) Tentukan Penyelesaiian: 0+2 ] 8) Penyelesaiian: jika ) Ini merupakan fungsi ganjil TUGAS DIRUMAH 1. Penyelesaian: Misalkan:
2. Penyelesaian: Misalkan : 3. Penyelesaiian: Misalkan: :
4. Penyelesaiian: Misalkan: 5. Misalkan : ] * ) )
6. Misalkan : Jika : ] * 7. Misalkan : Jika )+ [ * * ]
* ) ) * 8. Misalkan : ) ) 9. fungsi ganjil)
10. )