Jurnal Matematika UNAND Vol. No. 4 Hal. 9 ISSN : 33 9 c Jurusan Matematika FMIPA UNAND KONVOLUSI DISTRIBUSI EKSPONENSIAL DENGAN PARAMETER BERBEDA MARNISYAH ANAS Program Studi Magister Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Andalas, Kampus UNAND Limau Manis Padang, Indonesia, marnisyahanass@yahoo.com Abstrak. Penelitian ini membahas tentang konvolusi distribusi eksponensial. Dalam teori peluang, konvolusi adalah penjumlahan dari peubah-peubah acak. Konvolusi dari peubah acak berdistribusi eksponensial dengan parameter berbeda dapat ditentukan dengan memperlihatkan fungsi kepadatan peluang dari peubah acaknya. Kata Kunci: Konvolusi, distribusi eksponensial. Pendahuluan Distribusi eksponensial merupakan salah satu distribusi peluang kontinu yang menggunakan parameter β dan peubah acak X dengan fungsi kepadatan peluang fkp sebagai berikut { β exp xβ, jika < x < ; β > f X x; β., jika x lainnya. Konvolusi adalah penjumlahan dari peubah-peubah acak bebas. Dengan menggunakan konvolusi dapat ditentukan distribusi baru dari penjumlahan peubah-peubah acak distribusi sebelumnya. Misalkan S n X + X + + X n adalah jumlah dari peubah acak X i dengan i,,, n. Maka S n memiliki fungsi distribusi eksponensial yang dapat ditentukan fungsi kepadatan peluangnya. Dengan adanya fungsi kepadatan peluang untuk masing-masing peubah acak eksponensial maka dapat diperoleh fungsi kepadatan peluang dari S n. Dalam makalah ini akan dikaji konvolusi distribusi eksponensial dengan parameter berbeda.. Terminologi Konvolusi Pada bagian ini akan diberikan beberapa teori yang menjelaskan tentang terminologi konvolusi Teorema.. Misalkan X X, X,, X k adalah suatu vektor dari peubah acak diskrit dengan fkp bersama f X x, x,, x k > pada himpunan A. Misalkan u x, u x,, u k x adalah fungsi dari x sebanyak k, dan Y Y, Y,, Y k didefinisikan oleh transformasi satu satu sebagai berikut Y i u i X, X,, X k, i,,, k..
Marnisyah Anas maka fkp bersama dari Y adalah f Y y,, y k f X x,, x k.. dimana x x,, x k adalah solusi dari y ux. Teorema.. 4 Misalkan X X, X,, X k adalah suatu vektor dari peubah acak kontinu dengan fkp bersama f X x, x,, x k > pada himpunan A. Misalkan u x, u x,, u k x adalah fungsi dari x sebanyak k, dan Y Y, Y,, Y k didefinisikan oleh transformasi satu satu sebagai berikut Y i u i X, X,, X k, i,,, k..3 Jika Jacobian adalah kontinu dan taknol pada range transformasi, maka fkp bersama dari Y adalah f Y y,, y k f X x,, x k J..4 dimana x x,, x k adalah solusi dari y ux dan J merupakan Jacobian dari transformasi Y i. Untuk kasus kontinu, transformasi peubah acak kontinu dapat diperoleh dengan memperluas notasi Jacobian. Suatu transformasi dengan k peubah y ux dengan suatu penyelesaian tunggal x x,, x k memiliki Jacobian yang merupakan matriks turunan parsial k k. x x x y y y k x x x J y y y k. x k y x k y x k y k Berikut ini akan diberikan definisi dan teorema dari konvolusi distribusi. Definisi.3. 4 Misalkan X dan Y adalah dua peubah acak saling bebas dengan fungsi distribusi masing-masing m x dan m x. Maka konvolusi dari m x dan m x adalah fungsi distribusi mx m x m x yang didefinisikan sebagai berikut mj Σ k m k m j k,.5 untuk j,,,,,.. Fungsi m 3 x merupakan fungsi distribusi dari peubah acak Z X + Y. Definisi.4. 4 Misalkan X dan Y adalah dua peubah acak kontinu dengan fungsi kepekatan peluang masing-masing adalah fx dan gx. Asumsikan fx dan gx keduanya terdefinisi pada setiap bilangan riil. Maka konvolusi f g dari fungsi f dan g didefinisikan sebagai berikut f gz + + fz ygydy gz xfxdx.
Konvolusi Distribusi Eksponensial dengan Parameter Berbeda 3 Teorema.5. 4 Misalkan X dan Y adalah dua peubah acak dengan fungsi kepekatan peluang f X x dan f Y y terdefinisi untuk setiap x. Maka Z X + Y merupakan peubah acak dengan fungsi kepekatan peluang f Z z, dimana f Z merupakan konvolusi dari f X dan f Y. 3. Konvolusi Distribusi Eksponensial dengan Parameter Berbeda Pada bagian ini akan diberikan teorema tentang konvolusi distribusi eksponensial dengan menggunakan parameter berbeda yang merujuk pada referensi. Teorema 3.. Misalkan terdapat n peubah acak yang saling bebas, yaitu X i untuk i,,, n sedemikian sehingga X i mempunyai fungsi kepadatan peluang f Xi yang didefinisikan sebagai berikut f Xi x i β i exp x i β i, 3. untuk < x i < dan β i >. Maka penjumlahan peubah acak X i yaitu S n n i X i mempunyai fungsi kepadatan peluang sebagai berikut f Sn s n n i β β β n n j,j i β j β i exp s nβ i. 3. Bukti. Pembuktian teorema dilakukan menggunakan induksi matematika. Pertama-tama ditunjukkan bahwa persamaan 3. bernilai benar untuk kasus n. Misalkan g adalah suatu fungsi kontinu pada garis bilangan real. Akan ditentukan I g Egx + x gx + x β β e βx+βx dx dx. 3.3 Dengan melakukan transformasi variabel pada persamaan 3.3, misalkan x i yi untuk i, maka diperoleh I g 4β β gy + y β β e βy +βy dy dy gy + y e βy +βy y y dy dy. 3.4 Selanjutnya gunakan koordinat polar y r sin θ dan y r cos θ, dimana r < dan θ π. Sehingga persamaan 3.4 menjadi I g 4β β gr sin θ + r cos θ e β r sin θ+β r cos θ r sin θ cos θ dr sin θ dr cos θ, 4β β gr sin θ + cos θ e r β sin θ+β cos θ r sin θ cos θ dr sin θ dr cos θ, 4β β gr r 3 e r β sin θ+β cos θ sin θ cos θ dθ dr. 3.5
4 Marnisyah Anas Selanjutnya untuk setiap bilangan r positif, dinotasikan L r e r β e r β sin θ+β cos θ sin θ cos θ dθ, e r β e r β sin θ β sin θ sin θ cos θ dθ, e r β β sin θ sin θ cos θ dθ. 3.6 Perhatikan bahwa dengan menotasikan u r β β sin θ pada persamaan maka dapat dituliskan persamaan 3.7 sebagai berikut e r β β sin θ sin θ cos θ dθ e r β β sin θ sin θ cos θ dθ, 3.7 e u du sin θ cos θ r β β sin θ cos θ r β β e r β β sin θ π e r β β r β β. 3.8 Selanjutnya dengan mensubsitusi persamaan 3.8 ke persamaan 3.6 diperoleh L r e r β e r β β r β β e r β e r β r. 3.9 β β Dengan mensubstitusikan persamaan 3.9 ke persamaan 3.5 diperoleh I g 4β β gr r 3 e r β e r β r dr, β β β β β β gr e r β e r β rdr. 3. Selanjutnya dilakukan transformasi variabel pada persamaan 3., yaitu dengan memisalkan r s, sehingga diperoleh I g β β β β gs gs e sβ e sβ ds, β β e sβ e sβ ds. 3. β β Berdasarkan persamaan 3., untuk setiap fungsi g kontinu dan berada pada R, setiap peubah acak S mempunyai fungsi kepadatan peluang f S, yang diberikan untuk setiap bilangan real s positif, yaitu f S s β β β β e sβ e sβ.
Konvolusi Distribusi Eksponensial dengan Parameter Berbeda 5 Hal ini dikarenakan f S s ds β β β β e sβ e sβ ds. Berdasarkan 3, sifat fungsi kepadatan peluang dari suatu peubah acak kontinu adalah fxdx, sehingga formula diatas berlaku untuk n. Langkah selanjutnya adalah menunjukkan bahwa persamaan 3. bernilai benar untuk n 3. Misalkan g adalah suatu fungsi kontinu pada garis bilangan real, dengan S 3 X + X + X 3 atau dapat ditulis S 3 S + X 3. Akan ditentukan I 3 g Egs +x 3 gs +x β β β β β 3 e sβ e sβ e β3x3 ds dx 3. 3. Dengan melakukan transformasi variabel pada persamaan 3., misalkan s y dan x 3 y, maka diperoleh I 3 g 4 β β β 3 β β gy + y β β β 3 e βy +β3y e βy +β3y dy dy β β, gy + y e βy +β3y e βy +β3y y y dy dy. 3.3 Selanjutnya gunakan koordinat polar y r sin θ dan y r cos θ, dimana r < dan θ π. Substitusikan y dan y ke persamaan 3.3 sehingga persamaan menjadi I 3 g 4 β β β 3 gr sin θ + r cos θ β β e βr sin θ+β 3r cos θ e βr sin θ+β 3r cos θ r sin θ cos θ dr sin θ dr cos θ, 4 β β β 3 β β 4 β β β 3 β β 4 β β β 3 β β 4 β β β 3 β β gr e r β sin θ+β 3 cos θ r sin θ cos θ dr sin θ dr cos θ, gr e r β sin θ+β 3 cos θ r sin θ cos θ dr sin θ dr cos θ, gr r 3 e r β sin θ+β 3 cos θ sin θ cos θ dθ dr gr r 3 e r β sin θ+β 3 cos θ sin θ cos θ dθ dr. 3.4
6 Marnisyah Anas Selanjutnya untuk setiap bilangan r positif, dinotasikan L 3 r e r β 3 e r β sin θ+β 3 cos θ sin θ cos θ dθ, e r β 3 e r β sin θ β 3 sin θ sin θ cos θ dθ, e r β β 3 sin θ sin θ cos θ dθ. 3.5 Perhatikan bahwa dengan menotasikan u r β β 3 sin θ pada persamaan maka persamaan 3.6 menjadi e r β β 3 sin θ sin θ cos θ dθ, 3.6 e r β β 3 sin θ sin θ cos θ dθ e u du sin θ cos θ r β β 3 sin θ cos θ, r β β 3 e r β β 3 sin θ π, e r β β 3 r β β 3. 3.7 Selanjutnya dengan mensubsitusi persamaan 3.7 ke persamaan 3.5 maka persamaan tersebut menjadi L 3 r e r β 3 e r β β 3 r, β β 3 e r β 3 e r β r β β 3. 3.8 Selanjutnya, notasikan L 3 r seperti pada persamaan 3.5 sehingga L 3 r dapat dituliskan sebagai berikut, L 3 r e r β sin θ+β 3 cos θ sin θ cos θ dθ. 3.9 Dengan langkah yang sama seperti pada persamaan 3.5 maka persamaan 3.9 dapat dituliskan sebagai L 3 r e r β 3 e r β r β β 3. 3. Berdasarkan persamaan 3.8 dan persamaan 3., maka persamaan 3.4 men-
jadi I 3 g 4 β β β 3 β β Konvolusi Distribusi Eksponensial dengan Parameter Berbeda 7 4 β β β 3 β β gr r 3 e r β 3 e r β r dr β β 3 gr r 3 e r β 3 e r β r dr, β β 3 β β β 3 β β β β 3 β β β 3 β β β β 3 gr e r β 3 e r β rdr gr e r β 3 e r β rdr. 3. Selanjutnya dilakukan transformasi variabel dengan memisalkan r s 3 dan subsitusikan kedalam persamaan 3. diatas, sehingga diperoleh β β β 3 I 3 g gs 3 e s3β3 e s3β ds 3 β β β β 3 β β β 3 gs 3 e s3β3 e s3β ds 3, β β β β 3 β β β 3 gs 3 β β β 3 β e s3β e s3β3 β β β 3 e β β β 3 β e s3β s3β3 ds 3. 3. Berdasarkan persamaan 3.3, maka untuk setiap fungsi g kontinu dan berada pada R, terlihat bahwa peubah acak S 3 mempunyai fungsi kepadatan peluang f S3, yang diberikan untuk setiap bilangan real s 3 positif, yaitu f S3 s 3 β β β 3 β β β 3 β e s3β e s3β3 j,j i β β β 3 β β β 3 β e s3β e s3β3 β β 3 Karena e sβ e sβ3 merupakan konvolusi dari f X f X3 dan β 3 β β β 3 e sβ e sβ3 merupakan konvolusi dari f X f X3 maka fungsi kepadatan peluang f S3 dapat ditulis sebagai berikut β 3 β β f S3 β β f β X f X3 β β f X f X3 β j β j β f β j X f X3 + β j β f X f X3 i j,j i β j β j β i f X i f X3. j,j i Langkah selanjutnya, asumsikan bahwa persamaan 3. bernilai benar untuk n k. Akan ditunjukkan bahwa persamaan 3. juga benar untuk n k +.. 3.3
8 Marnisyah Anas Misal X,, X k, X k+ adalah k + peubah acak yang mana, dimana X i dengan i,, k + memiliki fungsi kepadatan peluang f Xi yang berdistribusi eksponensial, sedemikian sehingga f Xi x i β i exp x i β i. Diasumsikan bahwa S k dan X k+ saling bebas, dengan S k+ S k + X k+. Diperoleh bahwa S k+ mempunyai fungsi kepadatan peluang f Sk+ untuk setiap s R + dengan konvolusi atau dapat juga ditulis sebagai berikut k k f Sk+ s k+ f Sk+ s k+ f Sk f Xk+ s k+, i j,j i β j β j β i f X i f Xk+ s k+. 3.4 Pada kasus n seperti persamaan 3. telah dibuktikan bahwa f Xi f Xk+ s k+ β iβ k+ β k+ β i e s k+β i e s k+β k+. 3.5 Berdasarkan persamaan 3.5 diatas, maka persamaan 3.4 dapat dituliskan seperti berikut k k β j βi β k+ f Sk+ s k+ e s k+β i e s k+β k+, β j β i β k+ β i i j,j i k k i j,j i i β j βi β k+ e s k+β i β iβ k+ e s k+β k+, β j β i β k+ β i β k+ β i k β β β k+ k+ i j,j i β j β i e sk+βi k+ + β i β k+ k+ j,j i β β β β k+ e s k+β i. j β i Selanjutnya, substitusikan k j β j β k+ k i β i β k+ k j,j β j β i. ke persamaan 3.6, sehingga fungsi kepadatan peluang f Sk+ menjadi f Sk+ s k+ k i + k+ i β β β k+ k+ j,j i β j β i e sk+βi k+ j β j β k+ β β β k+ e sk+βi, 3.6 β β β k+ k+ j,j i β j β i exp s k+β i, 3.7
Konvolusi Distribusi Eksponensial dengan Parameter Berbeda 9 untuk setiap s k+ R +. Berdasarkan persamaan 3.7, maka persamaan 3. terbukti benar untuk n k +. 4. Ucapan Terima kasih Penulis mengucapkan terima kasih kepada Ibu Dr. Maiyastri, Bapak Dr. Dodi Devianto, Bapak Dr. Muhafzan, Bapak Dr. Admi Nazra, Ibu Dr. Lyra Yulianti, dan Ibu Dr. Ferra Yanuar yang telah memberikan masukan dan saran sehingga makalah ini dapat diselesaikan dengan baik. Daftar Pustaka Akkouchi, M., 8, On The Convolution of Eksponensial Distributions. Journal of the Chungcheong Mathematical Society No. 4 Bain, L. J. dan Engelhardt, M., 99, Introduction to Probability and Mathematical Statistics, th ed., Duxbury Press, California 3 Casella, G dan Berger, R. L., 99, Statistical Inference, st ed., Pasific Grove, California 4 Gnedenko, B. V. dan Kolmogorov, A. N., 968, Limit Distributions for Sums of Independent Random Variables. nd ed., Addison-Wesley, London