BAB II TINJAUAN PUSTAKA 2.1. Logika Fzzy Pada awalnya sistem logika fzzy diperkenalkan oleh Profesor Lotfi A. Zadeh pada tahn 1965. Konsep fzzy bermla dari himpnan klasik (crisp) yang bersifat tegas ata mtlak yang hanya memiliki da nilai keanggotaan, jika benar bernilai sat dan jika salah bernilai nol. Pada himpnan fzzy setiap nilai keanggotaan tidak dibatasi secara tegas. Proses transisi dari nilai sebagai anggota ke nilai bkan anggota terjadi secara bertahap dan sehals mngkin. Karakteristik transisi tersebt dijabarkan dalam bentk fngsi keanggotaan yang menjadikan himpnan fzzy bersifat fleksibel dalam memodelkan ekspresi lingistik (Jang et al, 1997). 2.2 Fngsi Keanggotaan Fngsi yang memberikan derajat terhadap sebah elemen mengenai keberadaannya dalam sebah ggs disebt fngsi keanggotaan. Jika X adalah koleksi obyek yang dinotasikan sebagai, kemdian A adalah himpnan fzzy dalam X maka dapat ditliskan sebagai berikt: {( X, ) X} A = µ A (2.1.) µa() disebt sebagai fngsi keanggotaan (membership fnction) ntk himpnan fzzy A. Fngsi keanggotaan akan memetakan setiap elemen X dengan nilai derajat keanggotaan yang memiliki nilai antara 0 dan 1 (Jang et al, 1997). Beberapa bentk fngsi yang dapat dignakan ntk merepresentasikan fngsi keanggotaan fzzy adalah bentk krva segitiga, trapesim dan Gass (Jang et al, 1997). Fngsi keanggotaan ntk keempat bentk tersebt adalah : 1. Segitiga menggnakan tiga parameter {a,b,c} dan dapat ditliskan sebagai berikt:
0; x a ata x c µ ( x, a, b, c) = (x a)/(a b) ; a x b (2.2) (c x)/(c b) ; b x c Bentk krvanya adalah sebagai berikt: 1 µ : [x] 0 a b c Gambar 1 Fngsi Keanggotaan ntk Segitiga 2. Trapesim menggnakan empat parameter {a,b,c,d} dan dapat ditliskan sebagai berikt: 0; x a ata x d (x a)/(b a) ; a x b µ ( x, a, b, c, d ) = (2.3) (d x)/(d c) ; c x d 1; d x a Bentk krvanya adalah sebagai berikt: 1 µ : [x] 0 a b c d Gambar 2 Fngsi Keanggotaan ntk Trapesim 3. Gass menggnakan da parameter {c, σ } dan dapat ditliskan sebagai berikt: ( x, c, σ ) 1 2 x c 2 s µ = e (2.4)
Bentk krvanya adalah sebagai beikt: 1 Psat ( σ ) µ ( x ) 0.5 0 Sigma (c) Gambar 3 Fngsi Keanggotaan ntk Gass 4. Krva S menggnakan da parameter {a,b} dan bentk krvanya adalah sebagai berikt: Gambar 4 Fngsi Keanggotaan ntk krva S 2.3 Operator Fzzy Menrt Jang et al (1997) operator dasar pada fzzy adalah : 1. Gabngan Operator gabngan dinotasikan dengan (OR). Gabngan dari da himpnan fzzy A dan B adalah himpnan fzzy C, dapat ditliskan C = A B dan dirmskan sebagai berikt : µ ( ) = max( µ A (), µ c B ()) = µ A () µ B () (2.5)
2. Irisan Operator irisan dinotasikan dengan (AND). Irisan dari da himpnan fzzy A dan B adalah himpnan fzzy C, dapat ditliskan C = A B dan dirmskan sebagai berikt : [ ], µ B[ ] ) = µ [ ] B[ ] µ c ( ) = min ( µ A A µ (2.6) 3. Komplemen Komplemen dari himpnan fzzy A dinotasikan dengan A (-A, NOT A) dan dirmskan sebagai berikt : µ = 1- µ A() (2.7) A 2.4 Atran Fzzy dan Penalaran Fzzy Menrt Jang et al (1997) atran fzzy sering disebt jga implikasi fzzy, ata pernyataan kondisi fzzy, bentknya adalah : if x adalah A then y adalah B. A dan B adalah nilai lingistik. adalah A disebt sebagai antecedent ata premis, sedangkan y adalah B disebt sebagai conseqent ata kesimplan. Contoh atran fzzy adalah: If tekanan tinggi, then volme kecil. If jalanan licin, then berkendaraan sangat berbahaya. If tomat berwarna merah then tomat sdah masak. Menrt Jang et al (1997) fzzy reasoning adalah prosedr inferensi yang merpakan kesimplan dari atran if-then dan fakta. Atran dasarnya adalah mods ponens. Penalaran dibagi menjadi beberapa bentk, yait : 1. Sat atran dengan sat premis Premis 1 : if x adalah A dan y adalah B, Kesimplan : y adalah B 2. Sat atran dengan banyak premis Premis 1 : if x adalah A dan y adalah B then z adalah C, Kesimplan : z adalah c
3. Banyak atran dengan banyak premis Premis 1 : if x adalah A 1 dan y adalah B 1 then z adalah C 1, Premis 2 : if x adalah A 2 dan y adalah B 2 then z adalah C 2, Kesimplan : z adalah C 2. 5 Fzzy Clstering Clstering dapat diselesaikan secara fzzy dan nonfzzy. Pada fzzy clstering hasil matriks transformasinya berpa nilai derajat keanggotaan antara 0 dan 1, sedangkan pada nonfzzy nilainya 0 dan 1. Clster dikatakan fzzy jika tiap-tiap objek dihbngkan dengan menggnakan derajat keanggotaan. Fzzy clstering telah diaplikasikan dalam berbagai bidang diantaranya text mining. Algoritme fzzy clstering dapat dignakan ntk menentkan hbngan antara smber-smber informasi berdasarkan konteks tekstal dan jga ntk merepresentasikan pengetahan melali asosiasi topik yang tercakp dalam informasi tersebt. 2.6 Fzzy Sbtractive Clstering (FSC) Menrt Ksmadewi dan Prnomo (2004) FSC merpakan algoritma yang tidak terawasi, dalam arti jmlah clster yang akan dibentk belm diketahi. Pada prinsipnya FSC didasarkan atas kran densitas (potensi) titik-titik data dalam sat rang (variabel). Titik dengan jmlah tetangga terbanyak akan dipilih sebagai psat clster. Titik yang sdah terpilih sebagai psat clster ini akan dikrangi densitasnya. Kemdian algoritma akan memilih titik lain yang memiliki tetangga terbanyak ntk dijadikan sebagai psat clster yang lain. Hal ini dilakkan sampai sema titik diji. Pada implementasinya bisa dignakan da pecahan sebagai faktor pembanding, yait accept ratio dan reject ratio. Accept ratio merpakan batas bawah dimana sat titik data yang menjadi kandidat (calon) psat clster diperbolehkan ntk menjadi psat clster. Sedangkan reject ratio merpakan batas atas dimana
sat titik data yang menjadi kandidat (calon) psat clster tidak diperbolehkan ntk menjadi psat clster. Ada tiga kondisi yang bisa terjadi dalam sat iterasi: Apabila rasio > accept ratio, maka titik data tersebt diterima sebagai psat bar. Apabila reject ratio < rasio accept ratio maka titik data tersebt bar akan diterima sebagai psat clster bar hanya jika titik data tersebt terletak pada jarak yang ckp jah dengan psat clster yang lainnya (hasil penjmlahan antara rasio dan jarak terdekat titik data tersebt dengan psat clster lainnya yang telah ada adalah 1). Apabila rasio reject ratio, maka sdah tidak ada lagi titik data yang akan dipertimbangkan ntk menjadi kandidat psat clster, iterasi dihentikan. Rasio adalah hasil bagi antara potensi tertinggi titik data yang bar (D k ) dengan potensi tertinggi titik data awal (D h ) (Rasio = D k / D h ). Algoritma Fzzy Sbtractive Clstering 1. Inpt data yang akan diclster : X ij, dengan i = 1,2,.,n; dan j = 1,2,,m 2. Tetapkan nilai : a. r j (jari-jari setiap atribt data); j = 1,2,.,m b. q (sqash factor) c. accept ratio d. reject ratio e. X min (nilai data yang minimm) f. X max (nilai data yang maximm) 3. Normalisasi : X ij = 4. Tentkan potensi awal tiap titik data a. i = 1 X X ij max X j X minj minj b. Kerjakan hingga i = n o T j = X ij ; j = 1,2,,m o Hitng Potensi awal : Distkj = T j, i = 1,2,...,n; j = 1,2,...,m X r kj, j= 1,2,..., m; k = 1,2,..., n
o Jika m =1,maka : Di o Jika m > 1, maka : o i = i + 1 5. Cari titik dengan potensi tertinggi a. M = max Di Ι i =1,2,..., n b. h=i, sedemikian sehingga D i = M 6. Tentkan psat clster dan krangi potensinya terhadap titik-titik disekitarnya a. Center [] b. V j = X hj ; j = 1,2,..,m c. C = 0 (jmlah clster) d. Kondisi = 1 e. Z = m f. Kerjakan jika (kondisi # 0) dan (Z # 0): Kondisi = 0 (jika sdah tidak ada calon psat bar lagi); Rasio = Z/M Jika rasio > accept ratio, maka kondisi = 1; (ada calon psat bar) Jika tidak, = n Di = k= 1 k = 1 e 4 o Jika rasio > reject ratio, (calon bar akan diterima sebagai psat jika keberadaannya akan memberikan keseimbangan terhadap data-data yang letaknya ckp jah dengan psat clster yang telah ada), maka kerjakan : o Md = -1 n e ( 2 Dist k1) m 2 4 Dist kj j= 1 [ ] o Kerjakan ntk i = 1 sampai i = C: Vj Centerij Gij =, j = 1,2,...,m; r = n Sdi Gij j= 1 ( ) 2 Jika (Md < 0) ata (Sd < Md),maka Md = Sd;
o Jika (rasio + Smd) 1, maka kondisi = 1; data diterima sebagai psat clster o Jika (rasio + Smd) < 1, maka kondisi = 2; data tidak dipertimbangkan sebagai psat clster o Jika kondisi = 1 (calon psat diterima sebagai psat bar), kerjakan : o C = C + 1 o Center C = V; Krangi potensi dari titik-titik didekat psat clster D ci = M * e 4 m ( Sij) 2 j = 1 S ij Vj X = rj q ij, j= 1,2,..., m; i = 1,2,...,n o D = D Dc o Jika Di 0, maka Di = 0; i = 1,2,,n [ ] Di Ι i = 1,2,..., n o Z = max o Pilih h = i, sedemikian hingga Di = Z; o Jika kondisi = 2 (calon psat bar tidak diterima sebagai psat bar), maka : o Dh = 0 o Z = max o Pilih h = i, sedemikian hingga Di = Z; o Kembalikan psat clster dari bentk ternormalisasi ke bentk semla o Center ij = Center ij x (X maxj X minj ) + X minj o Hitng nilai sigma clster σ j = rj ( [ Di Ι i = 1,2,..., n] Xmaxj Xminj ) / 8 Hasil dari algoritma FSC berpa matriks psat clster dan sigma yang akan dignakan ntk menentkan nilai derajat keanggotaan.
2.7 Validitas clster Menrt Halkidi et al (2002) ada tiga pendekatan ntk menentkan validitas clster, yait kriteria internal, eksternal dan relatif. Kriteria eksternal dignakan ntk mengevalasi hasil dari sebah algoritme clstering berdasarkan pada sebah strktr yang ditentkan sebelmnya yang berlak pada himpnan data. Pada kriteria internal hasil dari algoritma clstering dievalasi dalam bentk kantitas yang melibatkan vektor-vektor dari himpnan data. Kriteria relatif membandingkan strktr clstering dengan skema-skema clstering lain yang dihasilkan oleh algoritme yang sama tapi dengan nilai parameter yang berbeda. Beberapa indeks validitas clster berdasarkan kriteria relatif yang dignakan ntk fzzy clstering diantaranya adalah koefisien partisi, entropi partisi serta fngs i validitas kekompakkan dan pemisahan. Fngsi validitas pemisahan dan kekompakkan (S) dihitng tidak hanya melibatkan derajat keanggotaan sebah data tetapi jga data set it sendiri. Fngsi tersebt dapat dihitng sebagai berikt: misalkan sebah partisi fzzy dari data set { x j =1,2 n} X = j,..., dengan vi i = 1,2,..., nc adalah psat-psat setiap clster, ij adalah derajat keanggotaan titik data j terhadap clster i. Deviasi fzzy dari xj dari clster i, d ij didefinisikan sebgai jarak antara x j dan psat dari clster diboboti oleh derajat keanggotaan dari data j dalam clster i. d ij = ij xj - vi (2.8) Untk sebah clster i, jmlah kadrat dari deviasi fzzy dari titik data dalam X dinamakan variasi dari clster i, dinotasikan σ i. Jmlah dari variasi sema clster dinamakan variasi total dari data set dan dinotasikan σ. Bentk π = σi ni dinamakan kekompakkan dari clster i, karena n i adalah banyaknya titik dalam clster anggota clster i. π adalah variasi rata-rata dalam clster i, sedangkan π = σ n menyatakan kekompakkan partisi fzzy dari data set. Pemisahan dari fzzy didefinisikan sebagai jarak minimm antara psat clster, yait: 2 = min D min vi - vj (2.9)
Fngsi validitas kekompakkan dan pemisahan (S) didefinisikan sebagai: S = π D 2 min (2.10) dengan n adalah banyaknya titik dalam himpnan data. Semakin kecil nilai S, clster semakin kompak dan terpisah dengan clster lainnya (Xie XL, 1991). 2.8 Sistem Inferensi Fzzy (FIS) FIS disebt jga sat mekanisme pemetaan inpt ke otpt. Tahapantahapan yang diperlkan dalam mekanisme FIS secara mm adalah : inpt variabel, fzzifikasi, rle (atran), agregasi, defzzifikasi dan otpt. Fzzifikasi adalah pembentkan himpnan fzzy. Variabel inpt yang berbentk crisp dibah menjadi himpnan fzzy. Setelah himpnan fzzy terbentk maka dilanjtkan dengan menentkan fngsi keanggotaannya. Rle (atran) merpakan atran yang bisa dibat berdasarkan pendapat pakar, ilm pengetahan dan jga metode clstering. Jadi rle masing-masing masalah akan berbeda-beda banyaknya tergantng pada pendapat pakar, ilm pengetahan yang ada ata metode clstering yang dilakkan. Agregasi merpakan kombinasi sebah himpnan fzzy dari otpt setiap atran. Metode yang mm dignakan adalah max dan sm. Max mengambil titik maksimm dari sema himpnan fzzy, sedangkan sm mengambil penjmlahan dari sema himpnan fzzy. Defzzifikasi adalah sat pemetaan dari himpnan fzzy ke titik crisp, yang menghasilkan otpt dari sistem inferensi fzzy. Metode ntk melakkan defzzifikasi ada lima yait: centroid, bisektor, Mean of Maximm (MOM), Largest of Maximm (LOM), Smallest of Maximm (SOM). Definisi dari masing-masing metode defzzifikasi ini adalah: a. Centroid (Z COA ) didapat dengan menghitng rata-rata terbobot, rmsnya adalah sebagai berikt : Z COA ( z) zµ A zdz = zµ A( z)dz
b. Bisektor (Z BOA ), didapat dengan cara menghitng las yang sama, dipecah µ z dz = menjadi da, rmsnya adalah sebagai berikt: BOA A ( ) A( ) Z = ZBOA α β µ zboa z dz c. Mean of Maximm (Z MOM ) mencari rata-rata nilai maksimalnya, rmsnya adalah sebagai berikt : ZMOM = z' zdz z' dz d. Smallest of Maximm (Z SOM ) menghitng nilai terkecil dari maksimalnya. e. Largest of Maximm (Z LOM ) menghitng nilai terbesar dari maksimalnya. Bentk blok diagram sistem inferensi menrt Jang et al (1997) adalah sebagai berikt : X adalah A 1 Aggregasi Defzzifikasi Gambar 5 Blok Diagram Sistem Inferensi Fzzy (Jang et al 1997). 2.9 Metode Sgeno pada Sistem Inferensi Fzzy Metode ini diperkenalkan oleh Takagi-Sgeno, Kang pada tahn 1985. Tahapan metode Sgeno hampir sama dengan Mamdani, namn bentk otptnya tidak berpa himpnan fzzy melainkan berpa konstanta ata persamaan linear.
Defzifikasi hanya menggnakan nilai rata-rata (Ksmadewi dan Prnomo, 2004). Model fzzy Sgeno ada yang disebt sebagai orde nol, dan orde sat. Dikatakan orde-nol jika z konstan, sedangkan orde sat jika z bilangan pangkat sat. Menrt Jang et al (1997) secara mm bentk model fzzy Sgeno orde sat adalah : If x 1 adalah A dan y adalah B then z = f(x,y) dengan : A dan B adalah anteseden, z = f(x,y) adalah fngsi crisp sebagai konseken. µ µ W 1 µ µ B2 W 2 X Y Nilai rata-rata X Y W 1Z1 + W 2Z Z = W 1+ W 2 2 Gambar 6 Model Sistem Inferensi Fzzy Sgeno 2.10 Membentk Sistem Inferensi Fzzy berdasarkan Fzzy Sbtractive Clstering Menrt Ksmadewi dan Prnomo (2004) langkah-langkah yang diperlkan ntk membentk sistem inferensi fzzy dari hasil fzzy sbtactive clstering adalah : 1. Memisahkan data inpt dan otpt. 2. Membat atran.
[R1] IF (X 1 adalah A 11 ) o (X 2 adalah A 12 ) o o (X n adalah A 1m ) THEN (z=k 11 x 11 +.. + k 1m x m + k 10 ); [R2] IF (X 1 adalah A 21 ) o (X 2 adalah A 22 ) o o (X n adalah A 2m ) THEN (z=k 21 x 11 +.. + k 2m x m + k 20 ); [Rr] IF (X 1 adalah A m1 ) o (X 2 adalah A m2 ) o o (X n adalah A rm ) THEN (z=kr1x11 +.. + krmxm + kr0); Keterangan : A ij adalah himpnan fzzy atran ke-i variabel ke-j sebagai anteseden. k ij adalah koefisien persamaan otpt fzzy atran ke-i variabel ke-j (i=1,2,r; j=1,2, m), dan k i0 adalah konstanta persamaan otpt fzzy atran ke-i. Tanda o mennjkkan operator yang dignakan dalam anteseden. 3. Menysn matriks konstanta, k = r x (m+1) k11 k12... k1m k10 k = 21 k22... k2m k20 K Μ Μ Μ Μ kr1 kr2... krm kr0 dissn menjadisat vektor k: K= [k 11 k 12 k 1m k 10 k 21 k 22 k 2m k 20 k 21 k r2 Μk rm k r0 ] T 4. Mencari derajat keanggotaan setiap data i dalam klster, dengan cara mengalikan dengan setiap atribt j dari data i. d k ij = x ij * µ ki dengan j=1,2,,m(m=jmlah variabel inpt). 5. Melakkan normalisasi data dan dapat dirmskan sebagai berikt : d k ij d = r k k= 1 ij µ ki 6. Membentk matriks U yang berkran n x (r x(m+1)), yait : U = Μ 11 21 n1 12 22 Μ n2...... Μ... 1m 2m Μ nm 1(m + 1) 2(m + 1) Μ n(m + 1) 1(m + 2) 2(m + 2) Μ n(m + 2)...... Μ... 1(r + 1)) 2(r * (m + 1)) n(r * (m Μ * (m + 1))
7. Membentk vektor z sebagai otpt sebagai berikt : Z = [z 1,z 2,.,z n ] T. Sehingga didapat persamaan linear U x k = z.