BAB I PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang Masalah Perkalian skalar perplectic merupakan bagian dari teori perkalian skalar indefinite. Untuk menjelaskan pengertian perkalian skalar perplectic, terlebih dahulu diberikan pengertian tentang matriks reverse. Matriks reverse yaitu matriks yang diperoleh dengan membalik urutan baris dari suatu matriks. Misalkan diberikan vektor x dan y, perkalian skalar perplectic didefinisikan sebagai perkalian skalar vektor x dengan reverse dari vektor y. Selanjutnya matriks yang mengawetkan perkalian perplectic disebut sebagai matriks perplectic. Dari sini muncul sebuah permasalahan yang mendasari pembuatan tugas akhir ini, yaitu bagaimana cara untuk memperoleh faktorisasi QR dari suatu matriks A dengan matriks Q merupakan matriks perplectic. Permasalahan ini akan dijabarkan dalam 2 masalah utama sebagai berikut. Masalah 1. Diberikan matriks real A, dapatkah dibentuk faktorisasi QR dari matriks A jika Q merupakan matriks ortogonal perplectic? Pada faktorisasi QR biasa, diketahui bahwa jika diberikan suatu matriks A maka akan diperoleh matriks Q yang ortogonal dan matriks R yang berbentuk matriks segitiga atas dengan A = QR. Kesulitan utama dalam menyelesaikan Masalah 1 di atas adalah menemukan bentuk yang tepat dari matriks R. Sebagian solusi dari Masalah 1 dapat ditemukan untuk kasus dimana A merupakan suatu matriks khusus, yaitu matriks yang invariant terhadap operasi membalik urutan baris dan kolom matriks tersebut secara berurutan. Matriks khusus ini selanjutnya dikenal sebagai matriks centrosymmetric. Pada bab selanjutnya akan ditunjukkan bahwa jika matriks Q perplectic dan ortogonal, maka matriks Q centrosymmetric. Kemudian akan ditunjukkan juga bahwa jika matriks A centrosymmetric dan 1
2 A = QR dengan matriks Q centrosymmetric, maka matriks R juga centrosymmetric. Oleh karena itu dengan membatasi Masalah 1 pada kasus khusus dimana A merupakan matriks centrosymmetric, dapat diperoleh faktorisasi yang mempertahankan struktur dalam bentuk matriks centrosymmetric. Berdasarkan analisis Masalah 1 di atas, timbul permasalahan selanjutnya sebagai berikut. Masalah 2. Diberikan matriks real centrosymmetric A, bagaimanakah bentuk faktorisasi QR dari matriks A jika Q dan R merupakan matriks centrosymmetric? Dalam kasus pada Masalah 2, akan lebih mudah untuk mencari bentuk yang tepat dari matriks R. Pertama-tama diklaim bahwa matriks segitiga atas bukan merupakan bentuk yang tepat dari matriks R. Untuk membuktikan klaim ini, dimisalkan A adalah matriks persegi yang centrosymmetric dan Q dan R adalah matriks yang diperoleh dari faktorisasi QR biasa dari matriks A. Diandaikan setelah melakukan faktorisasi QR biasa tersebut diperoleh hasil bahwa matriks Q perplectic dan matriks R centrosymmetric, akibatnya R merupakan matriks segitiga atas dan centrosymmetric sehingga R haruslah merupakan matriks diagonal. Berdasarkan pembahasan di atas dapat diambil kesimpulan bahwa setiap matriks centrosymmetric merupakan hasil perkalian dari matriks ortogonal perplectic dengan matriks diagonal. Ini merupakan hasil kesimpulan yang menarik, akan tetapi counter example berikut menunjukkan bahwa kesimpulan tersebut tidaklah benar. Diberikan matriks centrosymmetric A dengan A = 1 1. 1 1 Karena matriks ortogonal perplectic merupakan matriks centrosymmetric, maka matriks real ortogonal perplectic berukuran 2 2 yang dapat dibuat hanyalah matriks berikut ± 1 0 ; ± 0 1. 0 1 1 0
3 Dimisalkan setiap matriks di atas dikalikan dari kanan dengan suatu matriks diagonal α 0 dimana α, β R. Perkalian ini akan menghasilkan matriks 0 β berikut ± α 0 ; ± 0 β. 0 β α 0 Jelas bahwa tidak ada α, β R yang dapat dipilih sedemikian hingga matriks A sama dengan sebarang matriks hasil perkalian di atas. Oleh karena itu matriks A bukan merupakan perkalian dari matriks ortogonal perplectic dengan matriks diagonal. Berdasarkan pembahasan di atas, untuk memperoleh matriks R yang centrosymmetric maka asumsi bahwa R berbentuk matriks segitiga atas harus dihilangkan. Jadi seperti apakah bentuk matriks yang tepat untuk R? Jawabannya tidak tentu, akan tetapi pada tugas akhir ini akan ditunjukkan bahwa salah satu bentuk yang tepat untuk R adalah matriks double-cone. 1.2. Tujuan dan Manfaat Penelitian Tujuan utama dari tugas akhir ini adalah untuk membentuk faktorisasi QR dari suatu matriks khusus yaitu matriks centrosymmetric, yang dapat mempertahankan struktur matriks centrosymmetric tersebut dengan cara menemukan bentuk yang tepat untuk matriks R sedemikian hingga diperoleh matriks Q dan R yang juga centrosymmetric. Selain tujuan utama tersebut, tugas akhir ini juga bertujuan untuk menjelaskan pengertian matriks centrosymmetric, menjelaskan tahap-tahap penggunaan block perplectic reflector dalam pembentukan faktorisasi QR centrosymmetric, dan menjelaskan penerapan faktorisasi QR centrosymmetric dalam menyelesaikan sistem linear centrosymmetric. Pada tugas akhir ini terdapat manfaat secara langsung maupun secara tidak langsung. Manfaat secara langsung yaitu faktorisasi QR centrosymmetric yang telah diperoleh dapat digunakan untuk menyelesaikan masalah sistem linear
4 centrosymmetric, sedangkan manfaat secara tidak langsung yaitu hasil dari penelitian ini memperlihatkan bahwa selain faktorisasi QR biasa yang telah dikenal, ternyata dapat dibentuk faktorisasi QR dalam bentuk lain jika dilihat dari jenis atau bentuk matriks Q maupun R, sehingga hal ini dapat menjadi motivasi agar dilakukan penelitian lebih lanjut untuk menemukan bentuk faktorisasi QR yang lain. 1.3. Tinjauan Pustaka Tulisan ini secara keseluruhan mengacu pada artikel ilmiah yang ditulis oleh Burnik (2015). Dalam artikel ini dibahas tentang pembentukan faktorisasi QR yang mempertahankan bentuk atau struktur suatu matriks, dalam hal ini yaitu matriks centrosymmetric. Dalam artikel ini terdapat beberapa pembuktian teorema maupun lemma yang belum ditulis secara lengkap dan terperinci. Oleh karena itu perlu untuk melengkapi tulisan yang bersumber dari literatur tersebut. Bahan acuan lain yang cukup penting dalam penulisan tugas akhir ini yaitu artikel ilmiah yang ditulis oleh Singer dan Singer (2008). Artikel ini membahas tentang pengertian block reflector yang menjadi dasar dan alat utama dalam pembentukan faktorisasi QR centrosymmetric. Selain itu dibahas juga mengenai matriks Householder yang merupakan bentuk khusus dari block reflector. Selain kedua bahan acuan utama di atas, sebagian besar materi-materi dasar diperoleh dari buku Anton (2010). Dari buku tersebut diperoleh penjelasan lengkap tentang matriks, operasi baris elementer, sistem persamaan linear, nilai eigen dan vektor eigen, proses Gram-Schmidt, serta dekomposisi nilai singular. Kemudian dari buku Schott (2015) diperoleh penjelasan mengenai salah satu definisi invers tergeneralisasi Moore-Penrose yang digunakan untuk pembuktian hukum kanselasi. Dari artikel ilmiah yang ditulis oleh Mackey, dkk. (2005) diperoleh penjelasan mengenai matriks ortogonal perplectic. Dari buku Malik, dkk. (2007) diperoleh penjelasan mengenai definisi grup. Dari artikel ilmiah yang ditulis oleh Schreiber dan Parlett (1988) diperoleh penjelasan tambahan mengenai
5 block reflector. Dari buku Anthony dan Harvey (2012) diperoleh penjelasan mengenai rank matriks, range, basis, pertidaksamaan Cauchy-Schwarz dan proyeksi. Dan yang terakhir dari artikel ilmiah yang ditulis oleh Aprilia (2015) diperoleh penjelasan mengenai pembentukan faktorisasi QR biasa menggunakan algoritma bertipe householder. 1.4. Metode Penelitian Metode yang digunakan dalam penulisan skripsi ini adalah dengan terlebih dahulu melakukan studi literatur mengenai faktorisasi QR centrosymmetric. Pertama-tama dipelajari materi-materi dasar yang terkait diantaranya tentang pengertian, jenis, dan operasi matriks serta nilai eigen dan vektor eigen. Nilai eigen dan vektor eigen menjadi dasar untuk mempelajari proses Gram-Schmidt dan dekomposisi nilai singular. Kemudian setelah itu dipelajari materi-materi inti diantaranya invers tergeneralisasi Moore-Penrose, matriks perplectic, matriks centrosymmetric, dan block perplectic reflector. Selanjutnya dengan menggunakan materi yang telah dipelajari, dibentuk faktorisasi QR centrosymmetric yang dapat digunakan untuk menyelesaikan masalah sistem linear centrosymmetric. Terakhir akan dibuat program faktorisasi QR centrosymmetric menggunakan software MATLAB. 1.5. Sistematika Penulisan Pada penulisan tugas akhir ini, penulis menggunakan sistematika sebagai berikut. BAB I. PENDAHULUAN Pada bab ini dibahas mengenai latar belakang masalah yang menjadi alasan penulisan. Dibahas juga mengenai tujuan dan manfaat penelitian, tinjauan pustaka, metode penelitian, serta sistematika penulisan. BAB II. DASAR TEORI Pada bab ini diberikan materi-materi dasar yang akan digunakan pada bab
6 selanjutnya. Diantara materi tersebut yaitu penjelasan tentang perkalian skalar standar, perkalian skalar perplectic, nilai eigen dan vektor eigen, proses Gram-Schmdit, dekomposisi nilai singular, invers tergeneralisasi Moore-Penrose, serta hukum kanselasi. BAB III. MATRIKS CENTROSYMMETRIC Bab ini merupakan awal dari pembahasan utama pada tulisan ini. Pada bab ini akan diberikan definisi, lemma, dan teorema, serta contoh yang berkaitan dengan matriks perplectic, matriks centrosymmetric, matriks ortogonal perplectic, block perplectic reflector, penyisipan, serta matriks double-cone. BAB IV. FAKTORISASI QR CENTROSYMMETRIC Pada bab ini akan diberikan hasil utama dari tulisan ini yaitu Teorema 4.2.2. Pertama-tama akan dibahas mengenai langkah dasar faktorisasi yang dilanjutkan dengan pembentukan faktorisasi QR centrosymmetric. Selanjutnya akan dijelaskan mengenai penerapan faktorisasi tersebut dalam menyelesaikan masalah sistem linear centrosymmetric. Kemudian pada akhir bab ini akan dibuat program faktorisasi tersebut menggunakan software MATLAB. BAB V. PENUTUP Bab ini berisi tentang kesimpulan, yaitu paparan garis-garis besar isi dari tiap bab. Bab ini juga berisi saran-saran yang berguna untuk penelitian selanjutnya dengan materi yang masih berkaitan.