JMP : Volume 7 Nomor, Ju 05, hal. - 0 REGRESI NONPARAMETRIK KERNEL ADJUSTED Novta Eka Chadra Uverstas Islam Darul Ulum Lamoga ovtaekachadra@gmal.com Sr Haryatm da Zulaela Jurusa Matematka FMIPA UGM ABSTRACT. Nadaraya Watso's kerel adjusted regresso estmator s a estmator whose kerel s take from the famly of scale-locato assocated wth the classcal kerel desty estmator. Based o these estmator, t ca be obtaed optmal badwth ad scale parameter. Ths estmator gves a better estmato results compared wth Naradaya Watso's classcal kerel regresso estmator. Ths s prove by the small grade MSE whch s gve by ths estmator. Keywords: estmator, Nadaraya Watso kerel, locato-scale famly. ABSTRAK. Estmator regres kerel Nadaraya Watso adjusted merupaka estmator yag kerelya dambl dar keluarga skala-lokas yag berkata dega estmator destas kerel klask. Berdasarka estmator tersebut dapat dperoleh la badwdth da parameter skala yag optmal. Estmator memberka hasl estmas yag lebh bak dbadgka dega estmator regres kerel Nadaraya Watso klask. Hal terlhat berdasarka la MSE yag dberka estmator lebh kecl. Kata Kuc: estmator, kerel Nadaraya Watso, keluarga skala-lokas.. PENDAHULUAN Hubuga fugsoal atara varabel respo da varabel predktor dyataka ke dalam betuk model regres. Pada model regres terdapat suatu fugs yag dsebut fugs regres. Utuk megestmas fugs regres yag belum dketahu betukya dguaka pedekata regres oparametrk. Estmas fugs regres oparametrk megguaka metode smoothg tertetu. Salah satuya dega estmator kerel Nadaraya Watso. Pada regres oparametrk kerel klask, pemlha badwdth merupaka masalah utama dar estmas kerel. Sebalkya, pemlha kerel tdak memberka
Novta Eka Cadra, dkk pegaruh yag yata dar suatu estmas. Berdasarka hal tersebut, mucullah suatu gagasa baru yatu estmasya tdak dfokuska pada badwdth saja. Aka tetap, kerel memlk pera yag jauh lebh besar dar basaya. Kerel aka dambl dar keluarga skala-lokas yag berkata dega estmator destas kerel klask. Estmas dkeal dega estmas destas kerel adjusted yag telah dper\- kealka oleh Srhera da Stute (0). Selajutya, estmas tersebut dperluas oleh Echer da Stute (0) dalam kasus regres, yag kemuda dsebut regres oparametrk kerel adjusted. Ukura kebaka estmator dapat dlhat berdasarka tgkat kesalahaya. Semak kecl tgkat kesalahaya semak bak estmasya. Ukura kesalaha tersebut dapat dlhat dar MSE (Mea Square Error). Pada peelta aka dbadgka kerja dar estmator kerel Nadaraya-Watso adjusted da estmator kerel Nadaraya Watso klask yag dlhat berdasarka la MSE masg-masg estmator.. ESTIMATOR DENSITAS KERNEL ADJUSTED Meurut Srhera da Stute (0) dalam tulsaya, dambl fugs kerel yag berasal dar keluarga skala-lokas yag berkata dega estmator destas kerel klask, yatu K x f x () * ˆh dega da 0 merupaka parameter lokas da skala. Berdasarka defs kerel yag dambl pada Persamaa, estmator destas kerel adjusted adalah ˆ x X h hx j f x K h j h () * K
Regres Noparametrk Kerel Adjusted 3 Teorema.. Dberka bahwa K merupaka fugs smetrs da f terdferesalka dua kal secara kotu pada x, serta E X. Selajutya, jka da h 0 sedemka hgga h, maka da ˆ f x h f x h Bas f x f y ydy f y y dy o h hvar fˆ x f x f ydy o. Kedua persamaa tersebut berlaku utuk da 0. Bukt: Dar Persamaa, dperoleh ˆ hf x h f x E f x f x f y ydy f y y dy o h Utuk 0 h, E fˆ x koverge ke ol. Dega demka, estmator fˆ x merupaka estmator tak bas asmtotk bla h koverge ke ol. Selajutya, la bas dar Persamaa adalah. ˆ hf x h f x Bas f x f y ydy f y y dy o h da la varas dar Persamaa sebaga berkut: Var fˆ x f x f ydy o, h 0. h h Berdasarka Teorema., dperoleh la MSE utuk hf x MSE fˆ x f x f ydy f y ydy h fˆ x yatu
4 Novta Eka Cadra, dkk Utuk 0 h f x 4 f y y dy o oh, h 0, h. h h da h, la MSE dar estmator Dega demka, estmator fˆ dapat dtuls ˆ p f x f x mejad. f x koverge ke ol. ˆ x merupaka estmator yag kosste, sehgga Selajutya, dambl E X, dega begtu la MSE dar f x x ˆ h f MSE f x f x f y dy Var X h da dperoleh la badwdth optmal da optmal dar MSE fˆ x, yatu hopt f /5 xvar X opt f x f y dy /5. ˆ 3. ESTIMATOR REGRESI KERNEL NADARAYA WATSON ADJUSTED Estmator regres kerel Nadaraya Watso adjusted merupaka perluasa dar estmator regres kerel Nadaraya Watso klask. Sepert yag telah djelaska sebelumya, bahwa kerel yag dambl berdasarka keluarga skala lokas dar estmator destas kerel klask. Dega demka, utuk meetuka estmator regres kerel Nadaraya Watso adjusted aalog dega estmator regres kerel Nadaraya Watso klask. Berdasarka estmator Nadaraya Watso, betuk estmator regres kerel Nadaraya Watso adjusted yatu mˆ x h x X h hx K j h fˆ x j Y (3)
Regres Noparametrk Kerel Adjusted 5 Persamaa 3 dapat dtuls mejad mˆ x W x Y (4) dega W semua x. x h x X h hx K j h fˆ x j 0 Berkut beberapa kods yag dperluka, yatu:. EY da E X. da W x utuk. X mempuya fugs destas f yag terdferesal secara kotu pada x da f x 0. 3. m terdferesal secara kotu dua kal pada x. 3 4. K merupaka fugs destas peluag yag memeuh K x K x setap x 3 x K x dx. Selajutya, ddefska utuk. Selajutya, K mempuya mome ketga berhgga, yatu mˆ x m x W x Y m X W x m X m x I I (5) Teorema 3.. Berdasarka kods () sampa (4), utuk h 0 da / h I d N x 0, I h B x o h, da h
6 Novta Eka Cadra, dkk dega x x x f u du f merupaka varas asmtotk dar h / I da B x f xm x f xm xvar X f x adalah bas asmtotk dar h I. Bukt: Pertama-tama, aka dcar la ekspektas dar I, yatu EI 0. Selajutya, aka dcar varas dar I, yatu Var I E W x Y m X E W x Y m X (6) Perhatka persamaa pertama pada Persamaa (6) x X h hx j (7) 4 4 X K h j h W xy m X ˆ f x Karea ˆ p f x f x, maka ˆ p f x f x utuk h 0 da h. Perhatka pemblag pada Persamaa (7), dperoleh la ekspektasya yatu x X h hx j x f x f u du E 4 4 X K, h 0. h j h h
Regres Noparametrk Kerel Adjusted 7 Dega demka, varas dar I yatu Var I Berdasarka Teorema Lmt Pusat, dperoleh dega x x x f u du. hf / d h I N x x x f u du. f 0, Selajutya, perhatka pemblag utuk I dalam Persamaa (5), la ekspektasya adalah x X h hx j E K m X m x h j h f x m x h Var X f x m x h Var X o h dega E X. Karea ˆ p f x f x I, maka dperoleh f xm x f xm xvar X f x o h. MSE m ˆ Berdasarka Teorema 3., ddapatka la MSE dar x mˆ x, yatu x f u du h f x m x f x m x Var X hf x f x da ddapatka la badwdth optmal da optmal dar h /5 opt, ˆ MSE m f x m x f x m x Var X f x x f udu opt /5. x yatu
8 Novta Eka Cadra, dkk 4. STUDI KASUS Pad merupaka salah satu taama buddaya yag dguaka sebaga baha makaa pokok peduduk Idoesa. Salah satu peyakt pada taama pad adalah peyakt tugro. Vrus tugro dsebarka oleh hama wereg hjau. Semak bayak populas wereg hjau, maka luas laha seragaya pu bertambah. Sela tu, peyakt tugro dapat meyebabka gagal pae da keruga secara ekoom. Data yag dguaka dalam peelta merupaka data sekuder yatu data seraga vrus tugro taama pad d provs Nusa Teggara Barat pada tahu 003-00. Data bersumber dar Bala Proteks Taama Paga da Holtkultura (BPTPH) provs Nusa Teggara Barat da dambl dar skrps yag dtuls oleh Ftasar (0). Dalam stud kasus, varabel predktorya X adalah populas wereg hjau (ekor per rumpu), sedagka varabel respoya Y adalah luas tambah seraga (ha). Selajutya, data dguaka utuk membadgka la MSE dar estmator regres kerel Nadaraya Watso klask dega estmator regres kerel Nadaraya Watso adjusted. Pegolaha data megguaka program R.3.0.3, dguaka pula fugs kerel Gaussa da la parameter skala-lokas yag telah dtetapka yatu la adalah mea dar populas wereg hjau da adalah stadar devas dar populas wereg hjau. Dar hasl pegolaha data, dperoleh beberapa hasl estmas pada tabel berkut: x Tabel. Hasl estmas. mˆ h x mˆ x 0,38,48,46 4,5 3,90 3,86 6,53 7,7 6,96 Berdasarka Tabel, bak dega estmator regres kerel klask maupu adjusted dperoleh hasl estmas yag tdak jauh berbeda. Dsmpulka bahwa semak bayak populas wereg hjau, maka semak besar luas tambah
Regres Noparametrk Kerel Adjusted 9 seragaya. Sela tu, dperoleh pula kurva estmas regres kerel Nadaraya Watso sebaga berkut: Gambar. Kurva estmas regres kerel Nadaraya Watso Terlhat bahwa kurva kedua estmator tersebut memlk betuk kurva yag hampr berhmpta sehgga sult utuk meetuka estmator mmaa yag memlk kerja yag lebh bak. Dega demka, dguaka la MSE utuk membadgka kerja kedua estmator. Berdasarka la output yag ddapatka, dsmpulka bahwa estmator regres kerel Nadaraya Watso adjusted lebh bak. Hal terlhat berdasarka la MSE yag lebh kecl. 5. KESIMPULAN DAN SARAN Berdasarka pembahasa yag telah dlakuka, dperoleh betuk estmator regres kerel Nadaraya Watso adjusted pada Persamaa (3). Dalam hasl stud kasus dega data seraga vrus tugro pada taama pad d provs Nusa Teggara Barat dperoleh bahwa hasl estmas dega kedua estmator yatu klask maupu adjusted tdak jauh berbeda. Utuk membadgka kedua estmator tersebet dlhat berdasarka la MSE terkecl. Karea la MSE estmator regres kerel Nadaraya Watso adjusted lebh kecl, maka estmator regres kerel Nadaraya Watso adjusted memberka hasl estmas yag lebh bak dbadgka estmator regres kerel Nadaraya Watso klask.
0 Novta Eka Cadra, dkk DAFTAR PUSTAKA Azzah, Vta, 008, Aplkas Regres Noparametrk Kerel dalam Data Fasal, Skrps, Uverstas Gadjah Mada, Yogyakarta. Ba, L. J. da Egelhardt, Max, 99, Itroducto to Probablty ad Mathematcal Statstcs, Duxbury Press, Calfora. Echer, Gerrt da Stute, Wfred, 0, Kerel Adjusted Noparametrc Regresso, Joural of Statstcal Plag ad Iferece, 4, pp. 537-544. Ftasar, B. D., 0, Metode Dekomposs utuk Peramala Seraga Vrus Tugro pada Taama Pad d Provs Nusa Teggara Barat, Skrps, Uverstas Mataram, Mataram. Hardle, Wolfgag, 99, Smoothg Techques wth Implemetato S, Sprger- Verlag, New York. Hardle, Wolfgag, 994, Appled Noparametrc Regresso, Berl. Hayat, Lala, 007, Regres Noparametrk utuk Megestmas Total Populas, Tess, Uverstas Gadjah Mada, Yogyakarta. Holmes, M. H., 03, Itroducto to Pertubato Methods, Sprger, New York. Lael, O. A. F., 03, Estmator Regres Kerel Nadaraya Watso Adaptf, Tess, Uverstas Gadjah Mada, Yogyakarta. Pujastut, C. E., 996, Deret Fourer da Kerel dalam Regres Noparametrk, Tess, Uverstas Gadjah Mada, Yogyakarta. Puramasar, Y. K., 03, Perbadga Model Regres Noparametrk Sple da Regres Noparametrk Kerel, Skrps, Uverstas Gadjah Mada, Yogyakarta. Roussas, G.G., 997, A Course Mathematcal Statstcs Secod Edto, Academc Press, Uted States of Amerca. Srhera, Ramdha da Stute, Wfred, 0, Kerel Adjusted Desty Estmato, Statstcs ad Probablty Letters, 8, pp. 57-579. Wad, M. P. da Joes, M. C., 995, Kerel Smoothg, Chapma ad Hall, Lodo.