BAB IV SIMULASI PEMBANDINGAN PERILAKU PENDUGA FUNGSI INTENSITAS LOKAL PROSES POISSON PERIODIK DENGAN BANDWIDTH OPTIMAL DAN BANDWIDTH OPTIMAL ASIMTOTIK Pada bagian ini dilakukan simulasi untuk membandingkan perilaku penduga dengan bandwidth optimal dan penduga dengan bandwidth optimal asimtotik, yaitu pengamatan pangkat -1/5 atau bandwidth yang nilainya sama dengan panjang interval. Simulasi komputer dilakukan dengan menggunakan program R dalam membangkitkan realisasi proses Poisson periodik, dengan ukuran sampel yang terbatas. Dalam simulasi ini digunakan fungsi intensitas (4.1) Dipilih A = 2,, dan. Dengan pemilihan parameterparameter tersebut, maka fungsi intensitas (4.1) menjadi untuk (4.2) untuk. (4.3) Gambar 1. Grafik fungsi yang diberikan oleh persamaan (4.2) s
14 Gambar 2. Grafik fungsi yang diberikan oleh persamaan (4.3) s Pada simulasi untuk membandingkan perilaku penduga fungsi intensitas lokal proses Poisson periodik ini digunakan metode Monte Carlo untuk membangkitkan realisasi dari proses Poisson periodik tersebut. Pembangkitan realisasi ini dilakukan pada interval [0, n] serta dipilih n = 100, n = 500, dan n = 1000. Penduga fungsi intensitas lokal proses Poisson periodik yang digunakan adalah penduga yang didefinisikan pada persamaan (3.4) dengan fungsi kernel, yang dapat ditulis sebagai G G Pendugaan pada simulasi ini dilakukan pada tiga titik, yaitu di s = 2.6 (mewakili nilai yang kecil), di s = 4 (mewakili nilai yang sedang), dan di s = 4.9 (mewakili nilai yang besar) dengan periode. Sedangkan pendugaan untuk periode dilakukan pada tiga titik, yaitu di s = 5.2 (mewakili nilai yang kecil), di s = 8 (mewakili nilai yang sedang), dan di s = 9.8 (mewakili nilai yang besar). Untuk kernel K yang merupakan fungsi kepekatan peluang seragam pada interval [-1,1]: yang akan digunakan untuk aplikasi (3.8) dan (3.9). (4.5)
15 Sehingga pendekatan asimtotik bagi nilai harapan penduga, berdasarkan Teorema 3.1, diperoleh serta untuk. G G Sedangkan pendekatan asimtotik bagi varian penduga, berdasarkan Teorema 3.2, diperoleh G jika. (Mangku, 2006) 4.1 Simulasi dengan bandwidth optimal Analog dengan (3.34), tetapi menggunakan kernel seragam, diperoleh bandwith optimal dengan rumus G G Selanjutnya dari (4.2) dan (4.3) diperoleh turunan kedua dari fungsi intensitas sebagai berikut G dan G G G G G G G Dengan menggunakan nilai dan yang sebenarnya dan nilai n yang dipilih, yaitu 100, 500, dan 1000 maka diperoleh nilai bandwidth optimal (4.9). Pendugaan pada setiap titik untuk tiap kasus diulang sebanyak M = 1000 kali.
16 Hasil yang diperoleh dari simulasi disajikan dalam Tabel 1, berikut ini : Tabel 1. Hasil simulasi dengan bandwidth optimal (M=1000) tau titik n 100 0.65416 0.79801 0.03170 0.05643 0.03488 2.6 500 0.47412 0.77618 0.00794 0.03460 0.00914 5 10 4 4.9 5.2 8 9.8 1000 0.41275 0.77087 0.00469 0.02929 0.00555 100 0.62240 2.70412 0.11328-0.02005 0.11368 500 0.45110 2.77635 0.03093 0.05218 0.03365 1000 0.39271 2.76702 0.01759 0.04285 0.01942 100 0.44549 4.87123 0.26101-0.52264 0.53416 500 0.32288 5.20310 0.08198-0.19077 0.11837 1000 0.28108 5.26948 0.04924-0.12438 0.06471 100 1.30832 0.74917 0.02837 0.00759 0.02843 500 0.94824 0.77015 0.00782 0.02857 0.00864 1000 0.82549 0.77115 0.00495 0.02957 0.00582 100 1.24481 2.58490 0.09830-0.13927 0.11769 500 0.90221 2.73756 0.03003 0.01339 0.03021 1000 0.78542 2.75578 0.01851 0.03161 0.01951 100 0.89098 4.61606 0.24544-0.77781 0.85042 500 0.64576 5.15380 0.06768-0.24006 0.12531 1000 0.56217 5.23885 0.04693-0.15501 0.07096 Semakin kecil nilai berarti penduga fungsi intensitas lokal proses Poisson periodik semakin baik. Dari hasil simulasi dengan bandwidth optimal, diperoleh bahwa MSE terkecil terdapat pada, s =2.6, dan n=1000, juga pada, s =5.2, dan n=1000, yaitu G. Secara umum dapat dikatakan bahwa semakin besar n pada setiap titik, diperoleh nilai semakin kecil. Hal ini dikarenakan pada setiap titik, jika n
17 semakin besar maka data yang digunakan semakin banyak, sehingga menyebabkan nilai semakin kecil. 4.2 Simulasi dengan bandwidth optimal asimtotik. Pada simulasi ini digunakan bandwidth sama dengan panjang interval pengamatan pangkat -1/5 atau dapat dinyatakan dengan, yang disebut bandwidth optimal asimtotik. Periode untuk tetap sama dan dilakukan pada tiga titik yang sama pula dengan simulasi yang menggunakan bandwidth optimal. Pendugaan pada setiap titik untuk setiap kasus diulang sebanyak M=1000 kali. Hasil yang diperoleh dari simulasi disajikan pada Tabel 2 berikut ini : Tabel 2. Hasil simulasi dengan bandwidth optimal asimtotik (M=1000) tau titik n 100 0.39811 0.73554 0.04514-0.00604 0.04517 2.6 500 0.28854 0.74097 0.01349-0.00061 0.01349 5 10 4 4.9 5.2 8 1000 0.25119 0.75219 0.00766 0.01061 0.00777 100 0.39811 2.66656 0.16522-0.05762 0.16854 500 0.28854 2.73569 0.04783 0.01152 0.04796 1000 0.25119 2.73696 0.02691 0.01279 0.02708 100 0.39811 4.90477 0.26842-0.48909 0.50763 500 0.28854 5.23245 0.09875-0.16142 0.12481 1000 0.25119 5.28154 0.05206-0.11232 0.06468 100 0.39811 0.68009 0.08768-0.06149 0.09146 500 0.28854 0.73432 0.02228-0.00727 0.02234 1000 0.25119 0.73821 0.01494-0.00337 0.01495 100 0.39811 2.45901 0.28194-0.26516 0.35225 500 0.28854 2.67575 0.08927-0.04842 0.09162 1000 0.25119 2.69773 0.05321-0.02644 0.05390
18 100 0.39811 4.81428 0.60367-0.57958 0.93958 9.8 500 0.28854 5.24856 0.18376-0.14530 0.20488 1000 0.25119 5.32890 0.10700-0.06496 0.11122 Dari Tabel 2 dapat dilihat bahwa MSE terkecil terdapat pada, s =2.6, dan n=1000, yaitu G. Sebagaimana yang dihasilkan pada 4.1, menunjukkan bahwa nilai semakin kecil dengan semakin besarnya nilai n pada setiap titik. Hal ini juga dikarenakan pada setiap titik, jika n semakin besar maka data yang digunakan semakin banyak, sehingga memperkecil nilai G Perbandingan nilai dari penduga dengan bandwidth optimal dan penduga dengan bandwidth optimal asimtotik disajikan pada Tabel 3, Tabel 4, dan Tabel 5 Tabel 3. Perbandingan MSE (bandwidth optimal & asimtotik) pada n = 100 n tau titik indeks optimal (1) asimtotik (2) (1) - (2) 100 5 10 2.6 1 0.03488 0.04517-0.01029 4 2 0.11368 0.16854-0.05486 4.9 3 0.53416 0.50763 0.02653 5.2 4 0.02843 0.09146-0.06303 8 5 0.11769 0.35225-0.23455 9.8 6 0.85042 0.93958-0.08916 Tabel 4. Perbandingan MSE (bandwidth optimal & asimtotik) pada n = 500 n tau titik indeks optimal (1) asimtotik (2) (1) - (2) 2.6 1 0.00914 0.01349-0.00435 5 4 2 0.03365 0.04796-0.01431 500 4.9 3 0.11837 0.12481-0.00643 5.2 4 0.00864 0.02234-0.01369 10 8 5 0.03021 0.09162-0.06141 9.8 6 0.12531 0.20488-0.07957
19 Tabel 5. Perbandingan MSE (bandwidth optimal & asimtotik) pada n = 1000 n tau titik indeks optimal (1) asimtotik (2) (1) - (2) 2.6 1 0.00555 0.00777-0.00222 5 4 2 0.01942 0.02708-0.00765 1000 4.9 3 0.06471 0.06468 0.00004 5.2 4 0.00582 0.01495-0.00913 10 8 5 0.01951 0.0539-0.03440 9.8 6 0.07096 0.11122-0.04026 Perbandingan MSE tersebut diilustrasikan dengan gambar berikut : Gambar 3. Grafik perbandingan MSE pada n = 100 MSE 1 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0 1 2 3 4 5 6 indeks optimal asimtotik Gambar 4. Grafik perbandingan MSE pada n = 500 0,25 0,2 MSE 0,15 0,1 0,05 optimal asimtotik 0 1 2 3 4 5 6 indeks
20 Gambar 5. Grafik perbandingan MSE pada n = 1000 0,12 0,1 0,08 MSE 0,06 0,04 0,02 optimal asimtotik 0 1 2 3 4 5 6 indeks Dari tabel dan grafik di atas dapat disimpulkan bahwa kedua jenis penduga fungsi intensitas lokal proses Poisson periodik memiliki MSE yang relatif sama, baik menggunakan bandwidth optimal maupun bandwidth optimal asimtotik. Maka pada bab berikutnya dibahas pendugaan fungsi intensitas lokal proses Poisson periodik dengan bandwith optimal asimtotik.