Dimensi dari Suatu Ruang Vektor Jika suatu ruang vektor V memiliki suatu himpunan S yang merentang V, maka ukuran dari sembarang himpunan di V yang bebas linier tidak akan melebihi ukuran dari S. Teorema 1.10 Misalkan V adalah suatu ruang vektor. Jika vektor-vektor v 1,, v n adalah bebas linier dan vektor-vektor s 1,, s m merentang V, maka n m. Buktinya: Pertama, daftarkan kedua himpunan vektor: himpunan yang merentang diikuti dengan himpunan yang bergantung linear, perhatikan: s 1,, s m ; v 1,, v n pindahkan vektor pertama v 1 ke urutan paling pertama dari daftar. v 1, s 1,, s m ; v 2,, v n Karena s 1,, s m merentang V, lalu v 1 merupakan suatu kombinasi linier dari s i maka salah satu dari s i dapat dihilangkan, dengan cara mengindeks ulang dengan mengambil s 1 dari daftar pertama dan tetap memiliki himpunan yang merentang yaitu v 1, s 2,, s m ; v 2,, v n Ingat bahwa himpunan yang pertama pasti tetap merentang V dan himpunan yang kedua tetap bebas linier. Sekarang ulangi proses ini, pindahkan v 2 dari daftar kedua ke daftar pertama v 1, v 2, s 2,, s m ; v 3,, v n Seperti pada proses sebelumnya, vektor-vektor pada daftar pertama pasti bebas linier, karena mereka merentang V sebelum dicampur dengan v 2. Bagaimanapun juga, karena v i bebas linier, maka kombinasi yang nontrivial dari vektor-vektor pada daftar pertama yang sama dengan 0 harus melibatkan paling sedikit satu dari s i. Sehingga vektor tersebut dapat dipindahkan, lalu kembali diindeks ulang dengan mengambil s 1 dan tetap memiliki himpunan yang merentang yaitu v 1, v 2, s 2,, s m ; v 3,, v n Sekali lagi, himpunan vektor yang pertama merentang V dan himpunan yang kedua tetap bebas linier.
Andaikan m < n, maka proses ini akan menghilangkan semua s i dan menuju ke daftar v 1, v 2,, v m ; v m +1,, v n dimana v 1, v 2,, v m merentang V dan ini tidak mungkin terjadi karena v 1, v 2,, v m tidak berada di dalam rentangan dari v 1, v 2,, v m. kesimpulannya n m. Akibat 1.11 Jika V memiliki suatu himpunan terentang yang berhingga, maka sembarang dua basis dari V akan berukuran sama. Teorema 1.12 Jika V suatu ruang vektor, maka sembarang dua basis dari V akan berukuran sama. Buktinya: Diasumsikan bahwa semua basis untuk V adalah himpunan tak-hingga, jika sembarang basisnya berhingga, maka V memiliki suatu himpunan terentang yang berhingga dan akibat 1.11 akan berlaku. Misalkan B = b i i I adalah suatu basis untuk V, dan misalkan C adalah basis lain untuk V. Sembarang vektor c C dapat ditulis sebagai suatu kombinasi linier berhingga dari vektor-vektor di B, dimana semua koefisiennya tidak nol, misalkan c = r i b i i U c Namun karena C merupakan suatu basis, maka juga berlaku c C U c = I Untuk vektor-vektor di C dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier berhingga dari vektor-vektor di suatu subset sejati B dari B, maka B merentang V, dan kenyataannya bukan seperti ini. Karena U c < ℵ 0 untuk setiap c C, Teorema 0.17 mengakibatkan B = I ℵ 0 C = C
Namun karena berlaku juga untuk kebalikannya dan mengakibatkan C B dan sehingga C = B. Definisi Suatu ruang vektor V adalah berdimensi-hingga jika ia adalah ruang nol {0}, atau ia memiliki suatu basis yang berhingga. Semua ruang vektor selain itu adalah berdimensi-takhingga. Dimensi dari ruang nol adalah 0 dan dimensi dari ruang vektor taknol V adalah kardinalitas dari setiap basis untuk V. Jika suatu ruang vektor V memiliki suatu basis berkardinalitas κ, maka V disebut berdimensi-κ dan ditulis dim(v) = κ. Catatan: Jika S adalah suatu subruang dari V, maka dim(s) dim(v). Dan dim(s) = dim(v) <, maka S = V. Teorema 1.13 Bukti: Misalkan V suatu ruang vektor. 1. Jika B adalah suatu basis untuk V dan jika B = B 1 B 2 dimana B 1 B 2 =, maka V = B 1 B 2 2. Misalkan V = S T. Jika B 1 adalah suatu basis untuk S dan B 2 adalah suatu basis untuk T, maka B 1 B 2 = dan B = B 1 B 2 adalah suatu basis untuk V. 1. Misal B = b 1,, b k, b k+1, b n adalah basis untuk V, B 1 = b 1,, b k dan B 2 = b k+1,, b n. maka untuk sembarang v V, α i F v = α 1 b 1 + α k b k + α k+1 b k+1 + α n b n sehingga v B 1 B 2. Misal untuk sembarang v B 1 B 2, maka
v = α 1 b 1 + α k b k + α k+1 b k+1 + α n b n sehingga v V. Jadi, V = B 1 B 2. Teorema 1.14 Bukti Misalkan S dan T adalah subruang dari suatu ruang vektor V. Maka dim S + dim T = dim S + T + dim (S T) Khususnya, jika T adalah sembarang komplemen dari S pada V, maka yaitu, dim S + dim T = dim V dim S T = dim S + dim T Misalkan B = b i i I adalah suatu basis untuk S T. B ini akan diperluas menjadi A B, suatu basis untuk S dimana A = a j j J dan B saling lepas. B ini juga akan diperluas menjadi B C, suatu basis untuk S dimana C = c k k K dan B saling lepas. Lalu klaim bahwa A B C merupakan suatu basis untuk S + T. Jelas bahwa A B C = S + T. Untuk A B C menunjukkan adalah bebas linier, andaikan α 1 v 1 + + α n v n = 0 dimana v i A B C dan α i 0 untuk setiap i. Maka vektor-vektor v i di dalam A dan C, karena A B dan B C bebas linier. Memisahkan suku-suku yang melibatkan vektor-vektor dari A pada salah satu ruas persamaan menujukkan bahwa terdapat vektor taknol x A B C. Tapi x S T dan x A B, mengakibatkan x = 0. Terjadi suatu kontradiksi. Sehingga disimpulkan bahwa A B C adalah bebas linier lalu menjadi suatu basis untuk S + T. Sehingga dim S + dim T = A B + B C
= A + B + B + C = A + B + C + dim S T = dim S + T + dim S T Meskipun persamaan dim S + dim T = dim S + T + dim (S T) berlaku untuk seluruh ruang vektor, tapi pernyataan dim S + T = dim S + dim T dim (S T) belum tentu berlaku, kecuali jika S + T berdimensi-hingga.
Basis Terurut dan Matriks Koordinat Definisi Misalkan V adalah suatu ruang vektor berdimensi-n. Suatu basis terurut untuk V adalah n-pasangan terurut v 1,, v n dari vektor-vektor dimana himpunan v 1,, v n adalah suatu basis untuk V. Jika B = v 1,, v n adalah suatu basis terurut untuk V, maka untuk setiap v V akan terdapat suatu n-pasangan skalar terurut r 1,, r n yang tunggal dimana v = r 1 v 1 + + r n v n Dari situ dapat didefinisikan pemetaan koordinat Yaitu φ B :V F n φ B v = v B = r 1 Dimana matriks kolom v B disebut sebagai matriks koordinat dari v terhadap basis terurut B. Sehingga jika diketahui v B maka otomatis v juga diketahui (tentunya diasumsikan B sudah diketahui). Pemetaan φ B adalah suatu pemetaan yang bijektif dan memenuhi operasi pada ruang vektor sebagai berikut r n atau φ B r 1 v 1 + + r n v n = r 1 φ B v 1 + + r n φ B v n r 1 v 1 + + r n v n B = r 1 v 1 B + + r n v n B
Bijektif = satu-satu dan pada φ B Satu-satu. Karena untuk sembarang u, v V jika φ B u = φ B v, mengakibatkan u B = v B, dan karena φ B akan selalu menyatakan koordinat yang tunggal untuk setiap vektor, maka u = v. φ B Pada. Ambil sembarang v B F n, maka pasti akan terdapat v V sedemikian hingga φ B v = v B. Keterangan Catatan 1: Karena S subruang dari V, maka pasti S V atau S = V. Untuk S V, maka kardinalitas basis untuk S < kardinalitas basis untuk V, sehingga dim(s) < dim(v). Untuk S = V, maka kardinalitas basis untuk S = kardinalitas basis untuk V, sehingga dim(s) = dim(v). Bukti teorema 1.12 Misalkan B dan C adalah basis untuk V. Karena B adalah suatu basis dan C adalah suatu himpunan yang bebas linier, maka teorema 1.10 menunjukkan bahwa C B. Vice versa. Sehingga B = C.