Ba VI Atom Hidogen/ 86 BAB VI ATOM HIDROGEN 6. Pesamaan Schodinge Untuk Kasus Gaya Pusat Kasus elekton dalam atom hidogen adalah kasus gaya pusat yang esifat spheically symetic. Kasus gaya pusat adalah kasus-kasus yang meliatkan patikel yang enegi potensialnya hanya meupakan fungsi aak, atinya enegi potensial hanya ditentukan oleh aak patikel itu dai titik pusat peedaan, atau V = V ( ). Pesamaan Schodinge eas waktu adalah H = E (6-) dengan H adalah H = T +V = ( / m ) + V ( ) (6-) Kaena sifatnya yang spheically symetic (simetis eentuk ola), maka kita gunakan dalam koodinat spheik, yaitu: = sin sin sin (6-3) atau : = sin sin sin (6-4) Dai Ba 5 kita tahu ahwa Sehingga L = L / = sin Jadi (6-3) oleh ditulis sin sin sin sin sin
Ba VI Atom Hidogen/ 87 = L = L (6-5) Sustitusi (6-5) ke dalam opeato Hamilton dipeoleh: H = m H = L + V ( ) (6-6) L + V m ( ) (6-7) m Pesamaan Schodinge untuk kasus gaya pusat dipeoleh, yaitu dengan mensustitusi (6-7) ke dalam (6-), adi : L + + V m ( ) = E (6-8) m Telah kita ketahui dai Ba 5, ahwa nilai eigen tehadap opeato L adalah ( +) sehingga pesamaan eigennya dapat ditulis: L ( + ) (6-9) dan (6-8) dapat ditulis: + m m + V ( ) = E (6-0) Haus diingat ahwa ( + ) adalah nilai eigen dai opeato L, dimana opeato L meliatkan vaiael dan. Pesamaan (6-9) meliatkan tiga macam vaiael, yaitu, dan, sehingga yang meupakan penyelesaian (6-9) haus (,,) yang meupakan gaungan dai ( ), () dan (). Selanutnya ( ) kita tulis R sedang menuut a 5, () ditulis T dan () ditulis sehingga = R T (6-)
Ba VI Atom Hidogen/ 88 Sutitusi (6-0) ke dalam (6-9) menghasilkan: R T m + ) ( m R T + V ( ) R T = E R T (6-) atau T R m + ) ( m R T + V ( ) R T = E R T Jika diagi dengan R T, hasilnya: R R m + ) ( m + V ( ) = E (6-3) atau R m + ) ( m R + V ( ) R = E R (6-4) Pelu diketahui ahwa = sehingga (6-4) oleh ditulis: R m + ) ( m R + V ( ) R = E R atau R R m + ) ( m R + V ( ) R = E R atau ' ' ' R R m + ) ( m R + V (( ) R = E R (6-5) Pelu ditegaskan ahwa agi semaang polem dengan fungsi enegi potensial yang spheically symetic V ( ), maka fungsi gelomangnya adalah = RT yang memenuhi pesamaan (6-5), dengan R = fungsi adial, T fungsi dan adalah fungsi. Fungsi T dan fungsi sudah kita tuunkan di a 5.
Ba VI Atom Hidogen/ 89 Pesamaan (6-5) adalah pesamaan Schodinge seagai fungsi adial, untuk semaang polem yang meliatkan fungsi enegi potensial yang spheically symetic V (). 6. Geak Rotasi ( Rigid Roto Dua Patikel ) Polem: Sistem dua patikel yang eada pada aak yang tetap, dan dihuungkan oleh seuah atang kaku tanpa massa yang panangnya d. Dalam kasus ini, kaena aak kedua patikel tetap, maka geak intenal dalam entuk viasi pasti tidak mungkin, sehingga satu-satunya geak intenal adalah geak otasi. Seluuh enegi dalam oto adalah enegi kinetik, adi: V = 0 (6-6) sehingga opeato Hamilton untuk geak otasinya adalah H = (6-7) Dalam pesamaan (6-7) di atas kita gunakan seagai pengganti m, kaena sistemnya tedii atas dua patikel, sehingga massa yang digunakan adalah massa teeduksi yang didefinisikan: = m. m m m (6-8) dengan m dan m adalah massa masing-masing patikel. Opeato adalah opeato koodinat spheik sepeti pada pesamaan (6-5) yaitu: = ^ L tetapi kaena dalam igid oto, ai-ainya konstan, maka tuunan tehadap ai-ai = 0 ^ = L (6-9)
Ba VI Atom Hidogen/ 90 kaena aak anta patikel adalah d, maka: menadi: L = sehingga opeato Hamiltonnya H = d ^ L (6-0) ^ L adalah opeato momentum angula untuk geak tanslasi yang melengkung, sedang yang kita icaakan adalah geak tanslasi. Untuk memedakannya, maka ^ L diganti ^ J yaitu opeato momentum angula otasi. Sehingga (6-0) ditulis: H = d ^ J Demikian pesamaan Schodinge untuk igid oto dua patikel: d ^ J = E (6-) Telah kita ketahui ahwa nilai eigen untuk tehadap ^ L adalah ( + ), adi sehausnya nilai eigen ditulis: ^ J adalah ( + ), sehingga ^ J = ( + ) dan (6-) d ( + ) = E (6-) sehingga E = d (6-3) Selanutnya d ditulis I sehingga (6-3) ditulis: E = I J = 0,,,....... (6-4) dengan I = momen Inetia, yang didefinisikan: I = d (6-5) Peandingan antaa L dan J
Ba VI Atom Hidogen/ 9 L adalah momentum angula tanslasi, haganya ( dengan adalah ilangan kuantum momentum angula tanslasi. J adalah momentum angula otasi, haganya ( ) dengan adalah ilangan kuantum momentum angula otasi. L mempunyai komponen Lz = m, maka J uga mempunyai komponen yang diseut Jz = m. Jika pada geak tanslasi m haganya mulai, ( +)...... +, maka m pada geak otasi mempunyai haga mulai dai, +,.... sampai dengan +. Apakah Enegi otasi mengalami degeneate? Kita tahu ahwa enegi level otasi hanya ditentukan oleh. Jadi ika = misalnya maka eneginya 3 I. Untuk =, maka ada 5 haga m, yaitu,, 0,,. Kita telah tahu dai a 5 ahwa fungsi eigen untuk opeato momentum angula ditentukan oleh dan m. Sudah aang tentu untuk geak otasi, fungsi eigennya ditentukan oleh dan m. Kaena untuk = ada 5 haga m, itu atinya untuk =, ada lima macam fungsi gelomang yaitu: - ; - ; 0 ; dan, yang kelimalimanya mempunyai enegi yang sama yaitu 3 I. Kaena ada 5 fungsi gelomang eeda yang eneginya sama, maka dikatakan ahwa untuk =, enegi level otasi mengalami 5th fold degeneate. 6. 3 Geak Rotasi Molekul Diatomik Enegi level otasi molekul diatomik dapat diapoksimasi dengan menggunakan enegi level igid oto dua patikel (6-4). Telah diketahui ahwa ketika molekul diatomik mengasopsi atau mengemisi enegi, tenyata tansisi otasi muni yang mungkin adalah = + (6-6) Pelu ditamahkan ahwa momen dipole molekul haus tidak nol untuk dapat menghasilkan spektum otasi muni. Tansisi otasi diseut tansisi muni ika hanya
Ba VI Atom Hidogen/ 9 ilangan kuantum otasi saa yang euah. Jika teadi tansisi otasi dai E ke E maka E nya yaitu E E euah menadi foton atau h, Jadi: h = = ( ) ( ) I I ( ) ( )h 8 I (6-7) Jadi: = ( ) ( )h 8 I (6-8) Jika dianggap =, maka = + sehingga. Jika ditulis saa, maka = +, adi: = ( ) ( ) ()h 8 I = ( + ) B (6-9) B = h / (8 I) dan = level yang endah = 0,,, 3,...... B diseut tetapan otasi molekul. Pengukuan tehadap fekuensi asopsi otasi, memungkinkan kita menghitung B. Dai B, kita dapat menghitung momen inetia I, untuk selanutnya aak ikatan molekul d, dapat ditentukan. Contoh: Gais spektum fekuensi teendah pad asopsi otasi muni molekul C 3 S teadi pada 4899 MHz. Tentukan aak ikatan. Jawa: Fekuensi teendah, eati tansisi dai = 0, sehingga = B adi B = / B = h / (8 I) I = h / ( 8 B) = h / (4 ) I = d d = I / = h / (4 ) d = h 4
Ba VI Atom Hidogen/ 93 = m.m m m = (3,9707) 3,9707 x,66. 0 4 gam =,44885. 0 3 gam =,44885. 0 6 kg d = 6,6608x 0 34 J s 4 (4,4) (4899s - ) (,44885x 0 6 kg) =,5377 x 0 0 m =,5377 A 6.4 Atom Hidogen Atom hidogen tedii atas seuah poton dan seuah elekton. Jika e menyatakan muatan seuah poton ( e = +,6 x 0 9 C ) maka muatan elekton adalah e. Kita akan easumsi ahwa elekton dan poton adalah titik massa yang inteaksinya mengikuti hukum Coulom. Dalam memahas tentang atom atau molekul, kita iasanya akan memandangnya seagai sistem teisolasi, dengan mengaaikan inteaksi anta atom dan anta molekul. Pemahasan kita tentang Hidogen ini akan kita uat leih umum, yaitu tidak saa untuk atom hidogen, tetapi uga untuk atom yang miip Hidogen (Hidogen liked atom) yaitu misal ion He + ; ion Li + dan lain-lain. Petama kita akan memicaakan gaya yang ekea dalam sistem ini, yaitu gaya Coulom: Ze F = (6-30) 4o yang meupakan gaya pusat. Huungan antaa enegi potensial V dengan F yang ekea adalah F = dv/d (6-3) dengan demikian maka: dv/d = 4o Ze, adi: V = 4 o Ze (6-3) Supaya penulisannya ingkas (¼ o ) / e diganti e', sehingga (6-3) menadi: V = Ze' (6-33)
Ba VI Atom Hidogen/ 94 Jika kita misalkan geak intenal dalam sistem itu diwakili oleh fungsi dengan adalah = R (6-34) maka seagai epesentasi dai kasus gaya pusat, haus mengikuti pesamaan: R'' R' m + m R + V (( ) R = E R (6-5) Dengan memasukkan haga V = menadi: Ze', dan m diganti (mengapa?) maka (6-5) R'' R' m + R Ze' R = E R R'' R' m + R Ze' R E R = 0 R' ' R' R Ze' R E R = 0 R' ' R' R Ze' R E R = 0 atau Jika / e ' diganti a maka: R' ' R' R Ze a E R a e' R = 0 atau R' ' R' Ze E a a e' R = 0 (6-35) Pesamaan (6-35) adalah pesamaan Schodinge untuk atom hidogen dinyatakan dalam satu vaiael yaitu adial. Jika (6-35) diselesaikan, maka R dipeoleh. Padahal T dan sudah kita ketahui dai a 5. Jadi Jika R dipeoleh maka untuk atom miip hidogen yang meupakan penggaungan (hasil kali) R T uga dipeoleh.
Ba VI Atom Hidogen/ 95 Solusi Pesamaan Radial Untuk mempeoleh R, seenanya kita dapat langsung menyelesaikan (6-35) dengan menggunakan metode deet. Tetapi elasi ecusi yang dipeoleh akan telalu umit. Aga elasi ecusi yang dipeoleh entuknya sedehana maka kita akan melakukan eeapa langkah awal yaitu dengan memasukkan yang sangat esa. Jika =, maka (6-35) menadi: E R '' a e' R = 0 (6-36) dan penyelesaian-penyelesaiannya adalah e i E / a e' (6-37). Sekaang pemahasan akan kita fokuskan ika E positif. Untuk E positif, maka ilangan dalam aka akan negatif, sehingga muncullah i seagai faktonya : R e i E / a e' E > 0 (6-38) atau, ika haga a dikemalikan ke asalnya maka: R i ( e E ) / E > 0 (6-39) Simol pada (4-9) menunukkan ahwa R teseut adalah R yang hanya elaku untuk yang sangat esa, dan meupakan fungsi asymtotik tehadap R yang sesungguhnya. Bentuk pesamaan (6-39) teseut mengingatkan kita kepada pesamaan (6-6) pada a III mengenai patikel eas. Ini eati untuk sangat esa dan E > 0 maka elekton atom hidogen eada dalam keadaan patikel eas, atau dengan pekataan lain hidogen dalam keadaan ion positif. Pesamaan (4-9) elum memeikan fakto adial yang lengkap agi fungsi adial dengan E positif. Studi leih lanut mengenai hal ini (aca liteatu Quantum Mechanics of One and Two Electon Atoms, 957 kaangan Bethe dan Salpete halaman -4) menunukkan ahwa fungsi adial dengan E positif haganya tetentu (tehingga) untuk semaang haga eapapun haga E positifnya. Ini eati, ahwa seagai patikel
Ba VI Atom Hidogen/ 96 eas semaang haga E nonnegatif diiinkan atau untuk patikel eas, eneginya kontinum nonnegatif atau tidak enegi level agi patikel eas. Kaena kita mendapat enegi positif yang kontinum, maka eigen fungsi yang esangkutan diseut continuum eigenfunctions. Seagaimana lazimnya fungsi patikel eas, maka fungsi eigen kontinuumpun tak tenomalisasi. Sekaang kita akan memahas ound state atom Hidogen yaitu ika E < 0. Jika E negatif maka ilangan di awah tanda aka dalam (6-37) adalah positif. Kaena eapapun haga, fungsi haus enilai tehingga, maka kita pilih tanda minus untuk pesamaan (6-37) teseut sehingga R e E / a e' E < 0 (6-40) Pesamaan (6-40) menunukkan ahwa R disitu adalah fungsi asymtotik agi R yang sesungguhnya. Kaena (6-40) adalah asymtotik tehadap R sesungguhnya maka R sesungguhnya pasti mengandung (6-40). Kita oleh memisalkan R dalam entuk apapun asal mengandung (6-40). Misal R sesungguhnya adalah R = K e E / a e' (6-4) dengan K adalah fungsi atau K(). [ Hati-hati dengan e dan e' pada (6-30). Ingat ahwa e disitu adalah ilangan asis logaitma natual, tidak ada huungannya dengan muatan poton sedang e' ada huungannya dengan muatan poton ]. Jika E / a e' dengan C, maka (6-4) menadi: R = K C e (6-4) dengan C = E / a e' (6-43) Penggunaan R dalam (6-43) diamin tidak hanya elaku untuk sangat esa, tetapi untuk semaang haga asal E negatif. Poses selanutnya, R pada (6-4), tuunan petamanya ( R') dan tuunan keduanya (R'') dimasukkan pada (6-35), maka (6-35) akan menadi: ` K '' + ( C ) K ' + [ ( Z a C ) ( +) ] R = 0 (6-44) Sekaang, kita dapat memasukkan deet pangkat eentuk:
Ba VI Atom Hidogen/ 97 K = c k k. (6-45) k0 ke dalam (6-44). Jika kita ena-ena melakukannya, maka akan kita lihat ahwa eeapa koefisien pada suku-suku yang awal dai deet penyelesaian itu adalah nol. Jika kita misalkan koefisien petama yang tidak nol adalah koefisien suku ke s atau c s, maka (6-45) oleh ditulis: K = c k k. c k 0 (6-46) ks Jika k s diganti maka: k = s diganti = 0 dan k diganti + s, sehingga (6-46) menadi: s s. s K = c = cs. c +s 0 (6-47) 0 0 Selanutnya c +s diganti sehingga K = s. 0 i 0 (6-48) (Meskipun kita telah melakukan ekali-kali sustitusi, tetapi sustituennya adalah sustituen semaang, adi tidak menguah posedu standa penyelesaian pesamaan difeensial dengan metode deet). Dalam (6-47) s adalah ilangan ulat, yang nilai ditentukan pada saat menyelesaikan pesamaan difeensial. Selanutnya kita uat fungsi adial au yaitu M yang haganya adalah K / s Jadi: K = s M i 0 (6-49) M =. i 0 (6-50) 0 Kita cai K' dan K'' dai (6-49) dan esama (6-49) kita masukkan ke dalam (6-44), kita peoleh: M'' + [(s + ) C ] M' + [ s + s + ( Z a C C s ) ( +)] M = 0 Untuk mendapatkan haga s kita tempuh langkah-langkah seagai eikut: Masukkan = 0 ke dalam (6-50) sehingga : (6-5) [ s + s ( +)] = 0 (6-5)
Ba VI Atom Hidogen/ 98 dan dipeoleh: s = dan s = (6-53) Dai dua haga s ini, mana yang akan dipegunakan? Untuk itu ikuti uaian eikut: Dai (6-4), (6-49) dan (6-50) kita peoleh: R = e C s atau (6-54) 0 R = C e s M (6-55) Ingat ahwa e C = C + (C) /!..... maka untuk yang kecil, C e =, sementaa itu = 0 + +.... sehingga untuk yang kecil, = 0, 0 0 akiatnya untuk yang kecil, (4-4) menadi: R = 0 s (6-56) Untuk s = maka R = 0 sedang untuk s =, maka R = o yang akan menadi tak tehingga untuk = 0. Padahal yang egitu tidak oleh. Jadi s = diuang, dan s = dipegunakan. Dengan s =, pesamaan (6-5) akan menadi: M'' + [( + ) C ] M' + [ + + ( Z a C C ) ( +)] M = 0 M'' + [( + ) C ] M' + ( Z a C C ) M = 0 M'' + [( + ) C ] M' + ( Z C C ) M = 0 adi: M'' + [( + ) C ] M' + ( Z a C C ) M = 0 (6-57) Sementaa itu dengan s = Pesamaan (6-55) menadi: R = C e M (6-58) dengan M adalah dinyatakan pada (6-50) yaitu: M =. (6-59) 0 M' =. = 0. = ( k ). k k = ( ). k0 0
Ba VI Atom Hidogen/ 99 ). 0 M'' = ( = ( ). = ( k) (k ). k k = k0 = ( 0 ) ( ). Jika M, M' dan M'' disustitusikan ke dalam (6-57), kita peoleh: 0 Z C C C a = 0 Jadi: Z C C C dan dipeoleh elasi ecusi: = 0 a + = C C C. Z (6-60) Sekaang kita haus mengui sifat deet tak tehingga (6-50) untuk yang esa. Kaena untuk yang esa sifat deet ditentukan oleh suku-suku yang esa, maka kita akan mengui asio antaa + / untuk yang esa. Untuk yang esa: + / = C C untuk esa (6-60) Mailah sekaang kita pehatikan seandainya kita mempunyai entuk C e ini kita nyatakan dalam entuk deet pangkat, maka: e C. Jika entuk C e = + (C) + (C)!..... + (C)! + (C) ( )!... (6-6) Rasio koefisien dai seuah suku dengan suku seelumnya dai (6-6) teseut adalah (C) ( )! / (C)! = (C) ( )!.! (C) = C = C untuk esa yang tenyata sama dengan (6-60) untuk esa. Hal ini mendoong kita untuk menyimpulkan ahwa untuk yang esa (6-50) sifatnya miip menuliskan: e C, sehingga kita oleh
Ba VI Atom Hidogen/ 00 M ~ C e (6-6) atau ~ 0 C e (6-63) dan selanutnya maka (4-4) dapat ditulis: R ~ e C s e C atau R ~ s C e Kaena uaian kita ini tadi eangkat dai s =, maka: R ~ C e (6-64) Namun pelu dipehatikan ahwa (6-64) akan menadi tak tehingga ika tak tehingga dan ini tidak oleh kaena tidak quadatically integale. Satu-satunya caa untuk mengatasi hal ini adalah (sepeti yang sudah kita kenal pada osilato hamonis) menghentikan deet (6-50) pada suku tetentu, misal suku ke k. Ini eati elasi ecusi ( 4-7) haus menadi nol ika = k, adi: C C C. k Za k k k k = 0 atau C + C + C k Z a - = 0 atau C ( + + k ) Z a - k = 0,,,.... (6-65) kaena dan k adalah ilangan ulat maka ( + + k ) pasti adalah ilangan ulat yang au yang untuk selanutnya diseut ilangan kuantum utama = n, adi: n = ( + + k) (6-66) Dai (6-65) maka huungan antaa (ilangan kuantum momentum angula ) dengan n (ilangan kuantum utama adalah = n k atau < n (6-67) Catatan: Dalam pemahasan mengenai hidogen ini mucul ilangan kuantum utama n. Pada pemahasan mengenai momentum angula, kita telah mengenal dua ilangan kuantum
Ba VI Atom Hidogen/ 0 yaitu dan m. Kaena momentum angula elaku untuk semua geak melengkung, dan geak elekton dalam atom adalah geak melengkung maka dam m uga elaku pada geak elekton dalam atom. Jadi sampai seauh ini kita mengenal 3 macam ilangan kuantum adalah atom yaitu n, dan m. Enegi Level Jika kita masukkan (6-66) ke dalam (6-65) maka dipeoleh: C n = Z a (6-68) Jika haga a = / e ' dan C = E / a e' dimasukkan kemali, maka dipeoleh: E = Z e' n atau (6-69) E = e' Z n atau (6-70) ika haga e' = (4 o ) -/ e dimasukkan kemali maka: e Z E = 4o n Untuk atom hidogen: (6-7) E = e 4o n (6-7) mpoton. melektom dengan = mpoton melektom = 0,9994557 m elekton =9,04438. 0 kg; e =muatan poton=,6077x0 9 C ; Z = nomo atom dan 0 = pemitivitas dalam vakum = 8,854878 x 0 C / N.m 6.5 Fungsi Gelomang Atom Hidogen Fungsi Radial R Dengan memanfaatkan (4-35) maka elasi ecusi (6-60) menadi: + = Z n a n ( ) (6-73)
Ba VI Atom Hidogen/ 0 Pada pemahasan penuunan (6-66) dinyatakan ahwa polinomial M = akan 0 dihentikan pada saat = k, sehingga polinomialnya (dikenal dengan Polinomial Laguee) menadi: k M = (6-66 + ) 0 Kaena menuut (6-66), n = ( + + k) maka k = n, sehingga (6-66 + ) menadi: M = n 0 (6-74) Fungsi adialnya dinyatakan oleh (4-4 c) yaitu: R = e C M. adi R = e C n 0 atau (6-75) ika haga C dimasukkan maka dipeoleh : R = e Z n a n 0 (6-76) R adalah salah satu agian saa dai fungsi gelomang Hidogen. Pelu diketahui ahwa elekton dalam atom hidogen egeak spheik, atinya pasti teadi momentum angula. Oleh kaena itu selain fungsi adial, fungsi gelomang hidogen pasti uga tedii atas fungsi eigen momentum angula yang sudah dituunkan pada a V. Secaa keseluuhan fungsi gelomang atom miip hidogen adalah: = R. T. (6-77) dengan T dan dapat dilihat pada a V tentang momentum angula. PERHATIKAN!
Ba VI Atom Hidogen/ 03 Dai pesamaan (5-30) a V, tampak ahwa ditentukan oleh ilangan kuantum m. dai pesamaan (5-64) a V, tampak ahwa T ditentukan oleh dan m, dan Dai pesamaan (5-4) a ini, maka tampak ahwa R ditentukan oleh n dan Maka dapat disimpulkan ahwa ditentukan oleh tiga macam ilangan kuantum yaitu n, dan m, sehingga (6-77) iasa ditulis: (n,, m ) = R ( n, ). T (, m). (m) (6-78)
Ba VI Atom Hidogen/ 04 Contoh Tentukan fungsi gelomang atom hidogen dengan n = 3, = dan m =. Jawa: Menentukan fungsi Dengan menggunakan pesamaan (5-30) a V: = / e i m / e i (6-79) Menentukan T Dengan menggunakan (5-64) a V: Kita hitung dulu + - m. + m! /! m P m P :dengan menggunakan (5-63) a V: m P =.! ( - cos ) m / m d m d(cos) (cos - ) =.! ( - cos ) / d d(cos) (cos - ) = ( - cos ) / d d(cos) (cos - ) Kita selesaikan dulu x sehingga d d(cos) (cos - ) dan supaya tampak sedehana cos kita ganti d d(cos) (cos d - ) = dx (x ) = dx d x = Jadi: m P = ( - cos ) /. = sin
Ba VI Atom Hidogen/ 05 Setelah itu, T dapat ditentukan: + - m. + m! /! m P = 3. /!! 3 sin 4 / sin (6-80) Menentukan Fungsi Radial: Dengan menggunakan (6-76) a ini: R = e Z n a n 0 =. e 3 a 0 =. e 3 a ( o + ) (6-8) Koefisien ditentukan dengan elasi ecusi (6-73) a ini: + = Z n a n ( ) adi: = 3 a 0 3 o (0 ) (0 ) = 6 a o Haga dimasukkan ke dalam (6-8): R =. e 3 a ( o o dicai dengan nomalisasi: 6 a o ) = o {. ( ) 6 a e 3 a } R * R d = 0 R d = R d = 0 0 o 0 ( )e 3 a d = 6 a
Ba VI Atom Hidogen/ 06 ( ) e 3 a = / o 6 a 0 ( 3 4 ) e 3 a = / 3 a 0 6 a o ( 4 5 6 ) e 3 a = / 3 a 0 6 a o 4 e 3 a 0 d 5 e 3 a d 6 e 3 a d 3 a = / 0 6 a o 0 3 a 4! 5 6 3 a ( 5! ) 3 a + 6 a 3 a ( 6! ) 7 = / o 4. 3.. 3 5. 5 a 5 5. 4.. 3 6 6 a 5 + 5.4. 3 7 7 a 5 = / o 3 6. a 5 5. 3 6 3 a 5 + 5. 3 7 5 a 5 = / o 3 6 a 5 4 8.3 6 a 5 6 5.3 6 a 5 + 8 4.5.3 6 a 5 + 3 5.3 7 a 5 = / 3 5.3 3 o 7 a 5 = / 3 ( 8 4. 5 + 5. 3) 6 a 5 = / o 3 o 3 3 6 a 5 = / o 3 o = 3 3.3 6. a 5 o = / 3 3.3 6. a 5 = / 64 6.3 6. a 5 o = / 8 = 7a 6. a 7 8 6. a a Jadi:
Ba VI Atom Hidogen/ 07 R = o {. ( ) 6 a e 3 a } R = 7 8 6. a a {. ( ) 6 a e 3 a } Akhinya dipeoleh yaitu: (3,, ) = R T =.......... (masukkan) Degeneasi Apakah enegi level atom hidogen mengalami degeneate? Untuk menawa ini mailah kita lihat pesamaan (6-7). Dai pesamaan teseut tampak ahwa enegi level atom hidogen hanya ditentukan oleh n, padahal fungsi gelomangnya ditentukan oleh 3 macam ilangan kuantum, ini eati dapat saa teadi ahwa fungsi gelomang yang n sama mempunyai dan m eeda kecuali untuk n =. Sea untuk n =, hanya ada satu kemungkinan haga dan m yaitu = 0 dan m = 0, sehingga untuk n = hanya. adalah satu macam fungsi gelomang yaitu (, 0, 0 ) Tetapi agaimana untuk n = Untuk leih elasnya kita uat tael n, dan m seta fungsi gelomangnya. Bil. Kuantum Utama n Bil Kuant. Angula Bil. Kuan. Magnetik m Fungsi Gelomang 0 0 (, 0, 0 ) 0 0 (, 0, 0 ) (,, ) (,, 0 ) (,, ) 3 0 ( 3, 0, 0 ) ( 3,, ) ( 3,, 0 )
Ba VI Atom Hidogen/ 08 ( 3,, ) ( 3,, ) ( 3,, ) ( 3,, 0 ) ( 3,, ) ( 3,, ) Dst Dai tael di atas tampak ahwa untuk n >, maka dipeoleh n fungsi gelomang eeda. Jadi untuk n ada 4 fungsi gelomang yang eeda yaitu ( 3,, ), ( 3,, 0 ), ( 3,, ) dan ( 3,, ). Kaena n nya sama, maka ke empat fungsi gelomang teseut mempunyai enegi level yang sama. Dengan demikian maka untuk n = enegi level atom hidogen mengalami degeneasi dengan deaat degeneate = 4. Dengan penelasan yang sama maka dapat kita ketahui ahwa ada 9 fungsi,, gelomang yang eneginya sama untuk n = 3 yaitu: ( 3, 0, 0 ) ( 3,, ) ( 3,, 0 ), ( 3,, ), ( 3,, ), ( 3,, ), ( 3,, 0 ), ( 3,, ), dan ( 3,, ). 6.6 Bilangan Kuantum Magnetik Spin Seauh ini, kita telah menuunkan 3 macam ilangan kuantum, yaitu ilangan kuantum utama n, Bilangan kuantum momentum angula tanslasi dan ilangan kuantum oital momentum angula m. Bilangan kuantum utama menentukan enegi dengan elasi: E = e 4o n Bilangan kuantum utama uga ekoelasi dengan kulit lintas, yang huungannya dapat dilihat dai tael eikut: n 3 4 5 6 7 Kulit K L M N O P Q
Ba VI Atom Hidogen/ 09 Bilangan kuantum utama ini muncul ketika menentukan fungsi Radial elasi: Bilangan kuantum momentum angula, menentukan momentum angula dengan L = ( ) Bilangan kuantum ini uga menentukan entuk lintasan. Bilangan muncul ketika kita hendak menentukan fungsi. Dalam ahasa spektum, ilangan ehuungan dengan nama-nama oital. 0 3 4 dst Oital s p d f g h Bilangan kuantum yang ketiga adalah ilangan kuantum oital momentum angula yang uga diseut ilangan kuantum magnetik tanslasi m. Bilangan ini meupakan penentu Lz yaitu poyeksi momentum angula L pada sumu z. Huungan antaa Lz dan m adalah Lz = m Bilangan m ini uga dipandang seagai penentu oientasi (aah) tanslasi elekton, kaena ika kita mengetahui m kita dapat mengetahui Lz. Jika kita mengetahui Lz, maka aah momentum angula dapat diketahui, kaena: Lz = L cos dengan adalah sudut aah L tehadap sumu z. Jika aah L diketahui, maka dengan kaidah tangan kanan, aah tanslasi elekton dapat diketahui. Apakah dengan 3 macam ilangan kuantum sudah cukup? Jika mengacu kepada fenomena makoskopis, maka dapat diketahui ahwa kedudukan planet dalam tata suya ditentukan oleh 4 macam tetapan, yaitu tetapan enegi, tetapan momentum angula, tetapan komponen momentum angula dan tetapan otasi. Dua uah planet tidak penah etaakan kaena tidak ada dua planet yang keempat tetapannya sama. Jika fenomena mikoskopik dipandang seagai miniatu dai fenomena makoskopik maka atom masih memutuhkan satu tetapan lagi yang easal dai geak otasi elekton. Kita tahu tanslasi elekton dalam atom adalah lintasan speik, oleh kaena itu mempunyai momentum angula L. Kaena geak otasi uga esifat spheik maka geak otasi uga haus mempunyai momentum angula yang diseut momentum angula otasi, notasinya S. Jika
Ba VI Atom Hidogen/ 0 L ditentukan oleh dalam elasi L = ( ) Maka S ditentukan oleh s (ilangan kuantum angula spin) dalam elasi S = s(s ). Kita tahu ahwa L mempunyai komponen yang diseut Lz, maka S haus mempunyai komponen yang diseut Sz. Jika Lz ditentukan m dalam elasi Lz = m maka penentu Sz adalah m s dalam elasi: Sz = m s Kita tahu anyaknya haga m adalah + mulai dai, ( +)......+. Jika egitu anyaknya haga m s haus s + yaitu dai s sampai + s. Kita uga tahu ahwa m adalah penentu aah tanslasi, maka m s pasti penentu aah otasi. Kaena hanya ada macam aah otasi, maka tentu hanya ada dua macam haga m s. Padahal anyaknya haga m s = s +, adi{ s + = s = ½ Kaena haga m s adalah s dan + s maka haga m s = + ½ Dan haga momentum angula otasi S adalah S = s(s ) = 3/ 4 = 3 Selanutnya m s = + ½ itulah yang diadikan seagai ilangan kuantum ke empat. 6.7 Pengauh Momentum Angula Tanslasi Tehadap Enegi (Efek Zeeman) Telah kita ketahui ahwa enegi hanya ditentukan oleh ilangan kuantum utama n. Hal itu ena, manakala atom tidak eada di awah pengauh medan magnet ekstenal. Tetapi ika ada medan magnet ekstenal maka momentum angula akan menguah esanya enegi. Beapa esa peuahan enegi yang ditimulkan oleh momentum angula ika atom eada dalam medan magnet ekstenal yang kuat medannya B, itulah yang akan kita ahas sekaang. Jika elekton dalam atom emassa m dan emuatan e, mementuk lintasan spheik, maka selain momentum angula L, uga teadi momen magnet yang aahnya elawanan dengan aah L. Sedang aah L adalah aah iu ai tangan kanan ika aah lintasan patikel (elekton) ditunukkan oleh keempat ai yang digenggamkan. Huungan antaa dan L adalah
Ba VI Atom Hidogen/ = e m L (6-8) tanda negatif teseut menunukkan ahwa aah L da elawanan. Menuut tinauan mekanika kuantum esanya L = ( ), adi : = e m ( ) (6-83) Jika seuah atom dengan momen magnet eada dalam medan magnet ekstenal yang kuat medannya B, maka peuahan enegi yang dialami atom itu adalah E m =. B =. B cos (6-84) dengan adalah sudut antaa dan B. Sustitusi (6-8) ke dalam (6-84) menghasilkan: E m = e m B. L cos (6-85) L cos adalah Lz adi: E m = e m B. Lz (6-86) Kita uga tahu ahwa Lz = m adi: E m = m e B (6-87) m ( m yang cetak miing adalah ilangan kuantum magnetik sedang m yang cetak tegak adalah massa patikel/elekton). Kuantitas e iasa ditulis, sehingga (6-87) uga oleh ditulis: m E m = m B (6-88) = Boh Magneton = 9,740. 0 4 J/T Dai Pesamaan (6-88) itu tampak ahwa ilangan kuantum magnetik akan menentukan peuahan enegi oital, manakala atom (hidogen) eada di awah pengauh medan magnet kecuali oital-oital yang m-nya nol. Peuahan enegi oital itu dapat digamakan seagai eikut: m B m B 3 mb
Ba VI Atom Hidogen/ E m 0 0 0 0 Oital s Oital p Oital d Oital f Gama 6. : Splitting Enegi oital s, p, d dan f Dai gama (6-8) teseut tampak ahwa selain oital s, semua oital mengalami peuahan enegi. Oital p pecah menadi 3 su level magnetik, oital d menadi 5 dan oital f menadi 7 su level magnetik. Banyaknya su level dalam seuah oital diseut komponen Zeeman. Jadi komponen Zeeman oital s, p, d dan f adalah, 3, 5 dan 7. Secaa umum dapat dinyatakan ahwa anyaknya komponen Zeeman adalah +. ===000=== Soal-soal Ba 6. Fekuensi asopsi tekecil untuk molekul C 6 O adalah 57 MHz. Hitunglah: a) Jaak ikatan C 6 O ) Pediksilah dua fekuensi seapan tekecil eikutnya c) pediksilah fekuensi seapan teendah agi 3 C 6 O. Hitunglah panang gelomang gais spekta yang muncul dai tansisi n = 6 3 pada atom hidogen. Ulangi hal yang sama untuk He. 3. Hitunglah Tingkat enegi dasa hidogen dalam satuan ev. 4. Positon adalah patikel dengan massa sama dengan massa elekton tetapi emuatan +e. Tentukan eapa ev tingkat enegi dasa atom positonium (atom ini tedii atas positon dan elekton. 5. Untuk atom miip hidogen dalam keadaan dasa, tentukan < > 6. Tentukan < > untuk p 0 dai atom miip hidogen. 7. Tentukan < > untuk p dai atom miip hidogen.
Ba VI Atom Hidogen/ 3 8. Tulislah fungsi adial s dan p untuk atom miip hidogen. Tulis pula fungsi gelomangnya. 9. Haga untuk oital d =. Beapakah haga untuk oital t? Catatan :Nama oital adalah s, p, d, f. Setelah itu alphaetik, dengan tidak dipegunakan. 0. Untuk atom hidogen dalam keadaan gound state, tentukan poailitas mendapatkan elekton pada aak leih dai a?. Tentukan, eapakah ai-ai uang s atom hidogen menggunakan atas poailitas 90 %?. (a) Tentukan < T > untuk atom hidogen keadaan dasa. () Dengan < T > itu, tentukan kecepatan elekton. 3. Tentukan populasi atio gas atom hidogen antaa n = dan n = pada suhu: (a) 5 o C () 000 K (c) 0 000 K 4. Tentukan fungsi gelomang atom hidogen 3,, 5. Fungsi gelomang atom hidogen didefinisikan seagai: = A e / 3a sin e i a) tentukan A ) Tentukan n c) Tentukan d) Tentukan L e) Tentukan Lz ===000===