MAKALAH SEGITIGA BOLA disusun guna memenuhi tugas mata kuliah Astronomi Program Studi Pendidikan Fisika oleh 1. Dyah Larasati (4201412042) 2. Lina Kurniawati (4201412091) 3. Qonia Kisbata Rodiya (4201412116) Kelompok 6 JURUSAN FISIKA FAKULTAS METEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS NEGERI SEMARANG 2014
BAB I PENDAHULUAN A. LATAR BELAKANG Perkembangan sains pada abad pertengahan diawali oleh minat orang di dalam berbagai bidang, salah satunya adalah trigonometri. Trigonometri sendiri merupakan salah satu sub bidang studi matematika, yang mempunyai peranan penting di bidang fisika, kimia, dan bidang-bidang lainnya yang berkaitan dengan kehidupan manusia salah satunya adalah segitiga bola. Ilmu trigonometri dapat juga dikatakan sebagai ilmu ukur segitiga. Dalam bentuk yang dasar, praktek trigonometri biasanya dimanfaatkan orangorang untuk membantu mereka dalam bidang astronomi, pelayaran, survey. Ada banyak aplikasi trigonometri, seperti dalam astronomi untuk menghitung jarak ke bintang-bintang terdekat, dalam geografi untuk menghitung antara titik tertentu, dan dalam sistem navigasi satelit. Bidang lainnya yang menggunakan trigonometri termasuk astronomi (dan termasuk navigasi, di laut, udara, dan angkasa), seismologi, meteorologi, oseanografi, berbagai cabang dalam ilmu fisika, survei darat dan geodesi serta segitiga bola itu sendiri. Untuk selanjutnya makalah ini akan memaparkan semua tentang segitiga bola dari pengertian dasar hingga rumus-rumus penting segitiga bola. B. RUMUSAN MASALAH 1. Apa saja dan bagaimanakah pengertian-pengertian dasar segitiga bola? 2. Apa saja dan bagaimanakah rumus-rumus penting dalam segitiga bola? C. TUJUAN PENULISAN 1. Mengetahui dan memahami pengertian-pengertian dasar segitiga bola. 2. Mengetahui dan memahami pengertian dasar segitiga bola.
BAB II PEMBAHASAN A. PENGERTIAN DASAR ILMU UKUR SEGITIGA BOLA 1. Definisi Dasar Definisi 1. Perpotongan antara sebuah bidang datar dengan permukaan bola berupa lingkaran. 2. Apabila bidang datar tersebut melalui pusat bola, maka lingkarannya disebut lingkaran besar 3. Apabila bidang datarnya tidak melalui posat bola maka lingkarannya disebut lingkaran kecil. 4. Panjang busur lingkaran besar sama dengan sudut pada pusat bola yang menghadap busur tersebut. Teorema 1 Dua lingkaran besar pada bola saling membagi dua sama besar Bukti : Dari definisi tentang lingkaran besar, maka setiap dua lingkaran besar selalu berpotongan menurut garis lurus yang melalui pusat bola. Garis lurus ini merupakan garis tengah dari kedua lingkaran besar tersebut. Jadi kedua lingkaran membagi dua sama besar. Teorema 2 Sudut antara lingkaran besar sama dengan panjang busur
lingkaran besar yang kutubnya adalah titik sudut tersebut Bukti : Lihat gambar berikut. Andaikan P adalah kutub dari lingkaran AB A B. PC garis singgung pada busur PA. PD garis singgung pada busur PB maka OA// PC, OB// PD Jadi < CPD = <AOB 2. SEGIDUA BOLA Definisi : Segidua bola adalah bagian dari permukaan bola yang dibatasi oleh dua lingkaran besar yang ujung-ujungnya berimpit. Pada gambar di bawah ini, segidua bola adalah daerah AB A CA atau daerah yang diwarnai kuning.
Bukti: Jika AC busur lingkaran besar yang melalui tengah-tengah dari segi dua bola AB A CA. Lingkaran BCB B terdiri dari 360 0 dibagi menjadi 36 bagian yang sama besar, dan terbentuklah segi dua bola yang titik sudutnya A dan A. Maka tiap segi dua bola luasnya adalah Dengan demikian, apabila sudut segi dua bola adalah A maka luas permukaan segidua bola adalah 3. SEGITIGA BOLA Definisi : Segitiga bola adalah bagian dari permukaan bola yang dibatasi oleh tiga busur lingkaran besar, yang masing-masing lebih kecil dari 180 0. Pada gambar di atas, segitiga bola adalah bagian permukaan bola yang dibatasi oleh tiga busur lingkaran besar dengan titik-titik sudut A, B dan C. Sisi-sisi di hadapan sudut A, B dan C disebut dengan sisi-sisi a, b dan c. a. Segitiga Samping Definisi : Segitiga samping adalah segitiga bola yang terjadi dengan memperpanjang dua sisi dari sebuah segi tiga bola sampai berpotongan.
Jika ABC adalah suatu segi tiga bola, maka A BC adalah segi tiga sampingnya. b. Segitiga Kutub Definisi : Segitiga kutub adalah segitiga bola yang titik-titik sudutnya merupakan titiktitik kutub dari sisi-sisi segi tiga bola semula. A Teorema: Sebuah segitiga merupakan segitiga kutub dari setiga kutubnya. Bukti: Andaikan A B C segitiga kutub dari segitiga bola ABC. C kutub dari AB B kutub dari AC A kutub dari BC Maka:
C kutub dari AB sehingga AC = 0 90. B kutub dari AC sehingga AB = 0 90. Jadi A kutub dari B C. Secara sama dapat dibuktikan bahwa: B kutub dari A C. C kutub dari A B. ABC segitiga kutub dari A B C. Teorema: Sebuah sudut dari sebuah segitiga bola merupakan pelurus (sumplement) dari sebuah sisi segi tiga kutubnya dan sebuah sudut dari segi tiga kutub merupakan pelurus dari sisi segi tiga mula-mula. Bukti: Andaikan A B C merupakan segi tiga kutub dari segi tiga bola ABC. A merupakan kutub dari CB B merupakan kutub dari AC C merupakan kutub AB Maka harus dibuktikan: A + busur C B = B + busur C B = C + busur A B = 0 180 Ketika A = busur PQ (A kutub PQ) Secara sama dapat dibuktikan: B + busur A C = 0 180
C + busur A B = 0 180 Sebaliknya ABC merupakan segi tiga kutub dari A B C. Maka secara sama dapat dibuktikan A + busur BC = B + AB = 0 180. Sehingga: A+a = B+b = C+c = 0 180 A +a = B +b = C +c = 0 180 3. Segitiga Lawan Jika diketahui ABC adalah segitiga bola, maka A B C adalah segitiga lawan. Teorema: Panjang sisi-sisi segitiga bola sama dengan panjang sisi-sisi segitiga lawannya. Bukti: Karena perpotongan dua buah lingkaran besar saling membagi sama panjang, maka: AC sama dengan A C AB sama dengan A B BC sama dengan B C. Sehingga panjang sisi-sisi segitiga bola ABC sama dengan panjang sisi-sisi A B dan C. 4. LUAS SEGITIGA BOLA
Definisi: Andaikan A,B,C adalah sudut-sudut suatu segitiga bola. Luas daerah segitiga bola adalah: Teorema: Luas daerah dalam segitiga bola sama dengan luas daerah dalam segitiga lawannya. Bukti: Karena panjang sisi-sisi segitiga bola ABC sama dengan panjang sisi-sisi A B C maka luas ABC sama dengan luas A B C. 5. SIFAT SUDUT SEGITIGA BOLA Teorema: Jumlah tiga buah sudut sebuah segitiga bola lebih besar dari 180 Bukti : Luas segitiga bola = Luas ini adalah positif, maka Sehingga
Teorema Dalam sebuah segitiga bola, jumlah dua sudut dikurangi sudut yang lain kurang dari 180º Bukti : Pandang segi tiga samping A BC. Menurut teorema di atas, A'CB + A'BC + A' > 180. (180º - C) + (180º - B) + A > 180º - C - B + A > ( - 180º ) A + B + C < 180º Teorema : Jumlah ketiga sudut sebuah segitiga bola lebih kecil dari 540º. Bukti : Menurut teorema di atas, A + B - C < 180º
A + C - B < 180º B + C - A < 180º A + B + C < 540º Jadi terbukti bahwa jumlah ketiga sudut kurang dari 540º. 6. SIFAT SISI SEGITIGA BOLA Teorema : Jumlah sisi sebuah segitiga bola kurang dari 360º Bukti : Pandang segitiga kutub berikut ini. A B C adalah segitiga kutub dari segitiga bola ABC Menurut Teorema 8 : Sehingga, ( ) ( ) ( ) Dapat disederhanakan menjadi ( )
Jadi terbukti bahwa jumlah sisi-sisi suatu segitiga bola kurang dari 360. Teorema : Dalam sebuah segitiga bola satu sisi lebih kecil dari jumlah kedua sisi yang lain dan lebih besar dari selisih kedua sisi tersebut. Bukti : Pandang segitiga kutub di atas. Menurut teorema 9, Sehingga, ( ) ( ) ( ) Dapat disederhanakan menjadi 7. KESAMAAN DAN KESEBANGUNAN Definisi : Apabila dua segitiga bola semua unsurnya sama berpasang - pasangan, maka kedua segitiga bola tersebut dikatakan sama dan sebangun. Kemungkinan : a. Apabila unsur-unsur tersebut berada pada susunan yang sama letaknya, maka kedua segitiga bola disebut kongruent.
b. Apabila unsur-unsur tersebut berada pada susunan yang berlawanan letaknya, maka kedua segi tiga bola tersebut disebut simetris. Teorema : Dua buah segi tiga bola sama dan sebangun apabila dua buah sisi dan sudut apitnya sama. Bukti : C = F, BC = EF, AC = DF Pertama Andaikan unsur-unsur yang sama terletak pada urutan yang sama, maka untuk segi tiga bola ABC yang diletakkan pada segi tiga bola DEF sedemikian hingga titik C berimpit pada titik F. Sedangkan BC berimpit dengan EF maka titik B berimpit dengan titik E. Demikian pula A berimpit dengan D (AC = DF). Akibatnya, busur AB berimpit dengan AB. Jadi kedua segi tiga bola sama dan sebangun.
Kedua Andaikan unsur-unsur yang sama terletak dalam urutan yang berlawanan, maka segi tiga bola ABC dapat saling menutup setiga lawan DEF yaitu D E F. Karena unsur-unsur segi tiga bola ABC dan segi tiga bola D E F terletak pada urutan yang sama. Jadi segitiga bola ABC dan DEF symetris. Teorema : Dua buah segitiga bola sama dan sebangun apabila sebuah sisi dan dua buah sudut pada sisi tersebut sama. Bukti : Apabila kedua segitiga bola tersebut sama, sebuah sisi serta dua buah sudut pada sisi tersebut, maka segi tiga kutubnya sama sebuah sudut dan dua buah sisi yang mengapit sudut tersebut. Menurut teorema 13 kedua segi tiga kutub sama dan sebangun. Jadi kedua segi tiga yang semula sama dan sebangun. Teorema : Dalam sebuah segi tiga bola sama kaki maka sudut alasnya sama dan sebangun bila sudut alas segi tiga bola sama, maka merupakan segi tiga bola sama kaki.
Bukti : Pandang segitiga bola ABC sama kaki (AB=AC). Bagilah sudut A dengan sebuah lingkaran besar melalui tengahtengahnya, maka menurut teorema 13 segi tiga bola ABD sama dan sebangun dengan segi tiga bola CAD. Jadi B=C. Sebaliknya bila B=C maka pada segi tiga kutubnya, sisi b = c. Menurut bukti di atas, maka B = C. Jadi b = c. Teorema : Dalam setiap segitiga bola dihadapan sisi yang lebih besar terdapat sudut yang lebih besar pula. Andaikan Tentukan Maka Menurut Teorema 9,
Teorema : Dalam setiap segitiga bola dihadapan sudut yang lebih besar terletak sisi yang lebih besar pula. Bukti : Andaikan dalam segitiga bola ABC dengan A > B. Maka pada segi tiga kutubnya, sisi b > a. Menurut teorema 16, B > A dan a > b. B. RUMUS-RUMUS PENTING SEGITIGA BOLA 1. Aturan Cosinus Andaikan a, b, c adalah sisi-sisi sebuah segitiga bola dan A, B, dan C merupakan sudut-sudutnya, maka : Bukti :
Pandang sebuah bola dengan radius satu satuan panjang beserta segi tiga bola ABC pada permukaan, sudut-sudut BOC, AOC dan AOB masing-masing besarnya a, b dan c karena berhadapan dengan sisisisi a,b dan c. Ambil b dan c sudut lancip. Dari A dibuat garis-garis singgung pada busur AC dan AB, yang masingmasing memotong OC di C dan OB di B, menurut rumus cosinus dari segi tiga bidang datar didapat: ( ) ( ) ( )... (1) ( ) ( )... (2) Dari segitiga siku-siku OAC dan OAB didapat :... (3) Dengan melakukan substitusi (3) ke (2) diperoleh :
2. Segitiga Kutub Aturan Cosinus Untuk Kutub Di depan telah dibuktikan bahwa untuk segitiga kutub, berlaku: a. Andaikan A B C segitiga kutub dari segitiga bola ABC, maka segitiga bola ABC adalah segitiga kutub dari A B C. b. Sebuah sudut dalam sebuah segi tiga bola merupakan suplemen dari sisi segitiga kutubnya. Lihat gambar di atas, dari sifat 2 diperoleh : Sesuai dengan perumusan (1) diperoleh : Dengan mengingat ( ) ( ) Substitusi (7) ke (8), sehingga diperoleh : Ke tiga persamaan tersebut di atas disebut Aturan Cosinus untuk sudut.
3. Aturan Sinus Untuk nilai a, b, dan c yang kecil dan dinyatkan dalam satuan radian, aturan sinus segitiga bola kembali ke bentuk aturan sinus segitiga di bidang datar sin(a) (a) sin(b) (b) sin(c) (c) sin(a) sin(b) sin(c) sin(a) sin(b) sin(c) atau sin(a) sin(b) sin(c) sin(a) sin(b) sin(c) 4. Rumus Yang Berhubungan Dengan Segitiga Bola a. Salah satu sudut siku-siku Untuk mendapatkan rumus pada segitiga bola siku-siku, ambil salah satu sudut siku-siku, misalnya C=90.
Selanjutnya, rumus (9) sampai (12) menghasilkan rumus baru, yaitu : Dari rumus-rumus di atas, dapat diturunkan menjadi : b. Aturan Napier Untuk memudahkan, aturan-aturan di atas, disajikan dalam suatu aturan yang disusun oleh John Napier. Aturan tersebut disusun dengan bantuan gambar berikut. Segita bola pada gambar pertama merupakan segitiga bola ABC dan siku-siku pada C.
Jadi: berarti 90 - B, berarti 90 - c, berarti 90 - A. Sedangkan pada gambar kedua, merupakan lingkaran yang disusun sesuai dengan urutan pada segitiga bola siku-siku di sampingnya. Tanda strip di atas huruf menunjukan komplemen dari. Pengertian dasar: a. Bagian-bagian yang diberi tanda strip di atasnya merupakan sisi miring dan dua sudut yang satu kakinya menurut sisi miring. b. a, b,, A, B disebut circular parts. c. Bagian dari circular parts yang sedang menjadi perhatian disebut middle part. d. Dua bagian yang sebelah menyebelah middle part dinamakan adjacent part. e. Dua bagian lainnya yang tidak berdekatan dinamakan opposite part. B dab b merupakan adjacent part dari middle part a. c dan A merupakan opposite part dari middle part a.
5. DUA ATURAN PENTING Aturan penting pertama: Cos A dan cos a harus bertanda sama, karena sin B selalu positif. Hal ini berarti bahwa a dan A keduanya lancip atau keduanya tumpul atau dengan kata lain terletak pada kuadran yang sama. Aturan penting kedua: Aturan tersebut juga menunjukkan bahwa B dan b harus terletak dalam kuadran yang sama. C. APLIKASI SEGITIGA BOLA Berikut ada beberapa contoh soal dan penyelesaiannya pada bola bumi menggunakan ilmu ukur segitiga bola. Contoh 1 Hitunglah jarak pelayaran dari Kota Kupang10 LS dan 124 BT menuju ke pelabuhan Port Lewis di Mauritius 20 LS dan 59 BT. Jika kapal berlayar dengan kecepatan 13 knot berapa waktu yang dibutuhkan untuk kegiatan pelayaran tersebut? Jawaban Diketahui :
- Kota Kupang10 LS dan 124 BT - Port Lewis di Mauritius 20 LS dan 59 BT - Kecepatan berlayar = 13 knot Ditanyakan : Waktu yang dibutuhkan untuk pelayaran dari Kupang sampai Port Lewis Untuk mempermudah penyelesaian soalan tersebut perlu diperhatikan ilustrasi berikut. Pn = sudut yang dibentuk jika dibuat segitiga bola pada kedua kota tersebut pada kutub utara = 124-59 = 65 K = kota Kupang ; P = Port Lewis ; k = jarak kutub utara dengan Port Lewis = 90 + 20 = 110 ; p = jarak kutub utara dengan Kupang = 90 + 10 = 100 Selanjutnya untuk menghitung pn digunakan aturan cosinus sebagaimana disajikan pada penyelesaian di persoalan pertama. Jadi jarak pelayaran dari Kupang ke Port Lewis adalah
63,22493037 x 60 mil laut = 3.793,495822 mil laut. Karena diketahui kecepatan berlayar adalah 13 knot atau 13 mil per jam, maka waktu yang dibutuhkan untuk pelayaran tersebut adalah : = = 291,8073709 jam atau sekitar 291 jam 48 menit atau 12 hari 3 jam 48 menit. Contoh 2 Tentukan arah kiblat dari masjid Istiqlal (Bujur Bb = 106,8307333 derajat dan lintang Lb = -6,169777778 derajat). Jawab: Ba - Bb = -67,00457219 derajat. Sin (Ba - Bb) = -0,92053603 ; Cos (Ba - Bb) = 0,39065767. Sin (Lb) = -0,10747495 : Cos (Lb) = 0,99420779 Tan (La) = 0,39234896. Dari angka-angka di atas, diperoleh Tan (B) = -0,92053603 / 0,43206231 = -2,13056314. Dari nilai tan (B) di atas, -90 < B < 0 atau 270 < B < 360. Azimuth arah kiblat = sudut B = -64,8565421 derajat = 295,1434579 derajat = 295 derajat 8 menit busur 36 detik busur = 295:8:36. Ini berarti arah kiblat dari masjid Istiqlal adalah ke arah barat lalu miring ke kanan sebesar 25,14 derajat.
BAB III PENUTUP A. SIMPULAN 1. Ada definisi-definisi dasar mengenai segitiga bola, segidua bola, segitiga bola, luas segitiga bola, sifat sudut segitiga bola, sifat sisi segitiga bola, dan juga kesamaan dan kesebangunan. 2. Rumus-rumus penting di dalam segitiga bola yaitu aturan cosinus, aturan sinus, rumus-rumus yang berhubungan dengan segitiga bola, dan yang terakhir adalah dua aturan penting. 3. Penggunaan Ilmu Ukur segitiga bola diantaranya bisa untuk mengukur waktu tempuh sebuah kapal yang berlayar dan juga untuk menentukan arah kiblat. B. SARAN Saran kepada penulis sebaiknya tidak hanya membahas mengenai persamaan matematis sajan namun untuk lebih membahas mengenai penerapan dari rumus-rumus segitiga bola. Dan saran kepada pembaca sebaiknya membaca referensi dari sumber lain agar lebih memahami konsep segitiga bola.
DAFTAR PUSTAKA Markas Besar Angkatan Laut. 2011. Paket Instruksi Ilmu Segitiga Bola. Bumimoro: Akademi.