BAB 1 PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Distribusi eksponensial tergenaralisir (Generalized Eponential Distribution) pertama kali diperkenalkan oleh Gupta dan Kundu pada tahun 1999. Distribusi ini diambil dari salah satu fungsi kepadatan kumulatif yang digunakan pada pertengahan abad 19 (Gompertz-Verhulst) untuk membandingkan tabel kematian dan menghasilkan laju pertumbuhan penduduk. Dimana salah satu dari tiga parameternya distandarisasi menjadi satu. Distribusi eksponensial tergenaralisir memilki parameter α sebagai alat untuk mengestimasi nilai kegagalan awal, dimana semakin besar nilai α maka distribusi tersebut mendekati distribusi normal. Berbeda dengan distribusi eksponensial biasa yang memiliki parameter λ, dimana semakin besar nilai λ maka distribusi tersebut berbentuk linier negatif. Dalam kajiannya Gupta dan Kundu menggunakan maksimum likelihood estimator untuk menghitung estimasi dari parameter α nya. Dan kemudian memperoleh observasi, dimana satu set data telah dianalisis ulang dan diamati bahwa distribusi eksponensial tergeneralisir memberikan hasil yang lebih baik daripada distribusi eksponensial biasa. Untuk itu penulis ingin mengkaji lebih mendalam lagi distribusi eksponensial tergenaralisir dengan mencari estimator parameter µ dan σ. Banyak metode yang digunakan untuk mencari estimator parameter µ dan σ, diantaranya dengan menggunakan metode momen, fungsi pembangkit momen, fungsi karakteristik, dan estimasi maksimum likelihood. Tetapi dalam penelitian ini hanya akan digunakan fungsi pembangkit momen (Moment Generating Function) sebagai alat transformasi
dan estimator parameter µ dan σ variabel. pada distribusi eksponensial tergenaralisir dua Dua variabel digunakan tidak hanya untuk harapan estimasi tersebut tidak berbias, tetapi juga untuk membandingkan bahwa kedua variabel tersebut memiliki hasil yang sama dari nilai rata-rata dan variansi keseluruhan distribusinya. Menurut Walpole (1995) kegunaan yang jelas dari fungsi pembangkit momen ialah untuk menentukan momen distribusi. Bila fungsi pembangkit momen suatu peubah acak memang ada, fungsi itu dapat dipakai untuk membangkitkan atau menemukan seluruh momen dari peubah acak tersebut, dengan menurunkan fungsi pembangkit momen hingga n kali. Dapat diketahui bahwa turunan pertamanya adalah rata-rata dan turunan kedua adalah variansinya. Dari latar belakang di atas, penulis akan mengkaji tentang Estimasi Parameter µ dan σ Pada Distribusi Eksponensial Tergeneralisir Dua Variabel Menggunakan Fungsi Pembangkit Momen 1. Perumusan Masalah Pada penelitian ini rumusan masalah yang dibahas adalah bagaimanakah transformasi distribusi eksponensial tergeneralisir dua variabel dengan menggunakan fungsi pembangkit momen untuk mencari marginal fungsi pembangkit momennya, kemudian mencari estimator parameter rata-rata (µ) dan parameter variansinya (σ ) dan mengestimasi kedua parameter tersebut. 1.3 Tinjauan Pustaka Dijelaskan oleh Gupta dan Kundu (1999) bahwa distribusi ekponensial tergeneralisir (Univariate Generalized Eponential Distribution (GE)) dengan fungsi kepadatan
kumulatif (fkk) dan fungsi kepadatan peluang (fkp) dengan > 0, adalah sebagai berikut : F GE ( ; λ α α, λ) = (1 e ) F GE ( ; α, λ) = αλe λ (1 e λ ) α 1 Dengan : = peubah acak α = parameter bentuk λ e =,7183 = parameter skala Jika (X 1, X ) merupakan distribusi eksponensial tergeneralisir dua variabel dengan asumsi saling bebas, maka fungsi kepadatan peluang gabungan dari (X 1, X ), untuk 1 > 0, > 0 adalah : F 1 α1 1 α 1 1 (, 1 ) = α 1 α (1 e ) (1 e ) e Untuk mentransformasi distribusi eksponensial tergeneralisir dua variabel di atas dengan fungsi pembangkit momen. Maka akan disubtitusikan dengan persamaan fungsi pembangkit momen yang di jelaskan sebagai berikut : Dijelaskan oleh Walpole dan Myers (1995) bahwa fungsi pembangkit momen atau Moment generating function (MGF) dari sebuah peubah acak X dapat didefinisikan sebagai: M ( t) = E( e t ) untuk t dalam R di mana T = {t R : M (t) < }. Karena distribusi yang akan ditransformasi merupakan distribusi gabungan maka fungsi pembangkit momennya harus dalam bentuk gabungan (Joint Moment Generating Function), yang di notasikan sebagai berikut: M t11 + t ( t, t ) = E( e ) 1 1
Untuk peubah acak X 1 dan X yang kontinu dan bebas satu sama lain (saling lepas), dinotasikan dengan : M t11 + t ( t1, t) e f1( 1) f( ) d 1 = 1d Berdasarkan fungsi pembangkit momen gabungan dari X 1 dan X, dapat ditentukan fungsi pembangkit momen masing-masing dari X 1 dan X yang dinamakan fungsi pembangkit momen marginal dari X 1 dan fungsi pembangkit momen marginal dari X. Fungsi pembangkit momen marginal dari X1 diperoleh dari fungsi pembangkit momen gabungan dengan mensubstitusikan t = 0, sehingga: 11 M ( t1,0) = M ( t1) = E( e t ), dan Fungsi pembangkit momen marginal dari X diperoleh dari fungsi pembangkit momen gabungan dengan mensubstitusikan t 1 = 0, sehingga: t M ( 0, t ) = M ( t ) = E( e ) Kemudian dapat ditentukan momen momen dari peubah acak X 1 berdasarkan fungsi pembangkit momen marginalnya. Dimana momen ke-1 yang juga merupakan nilai parameter rata-rata (µ), dihitung dengan meggunakan rumus : µ = E( X ) = M ( t1,0) M (0,0) = t1 t1= 0 t1 Dan momen ke-nya dihitung dengan menggunakan rumus: E( X M ( t,0) 1 M (0,0) ) = = t1 t1 = 0 t1
Dari rumus momen ke-1 dan momen ke-, maka dapat di hitung nilai parameter variansi (σ )nya dengan menggunakan rumus : Var M (0,0) M (0,0) ( σ ) = t t 1 1 Perhitungan yang sama juga dapat dilakukan dalam menentukan nilai parameter rata-rata (µ) dan nilai parameter variansi (σ ) dari peubah acak X berdasarkan fungsi pembangkit momen marginalnya dengan menggunakan rumus di atas. 1.4 Tujuan Penelitian Penelitian ini bertujuan untuk mentransformasi distribusi eksponensial tergeneralisir dua variabel dengan menggunakan fungsi pembangkit momen untuk mencari marginal fungsi pembangkit momennya, kemudian mencari estimator parameter rata-rata (µ) dan parameter variansinya (σ ) dan mengestimasi kedua parameter tersebut. 1.5 Kontribusi Penelitian Kesimpulan yang diperoleh setelah dilakukan penelitian, diharapkan : 1. Memudahkan penggunaan distribusi eksponensial tergeneralisir dua variabel secara praktis.. Sebagai bahan kajian untuk menganalisis distribusi eksponensial tergeneralisir dua variabel lebih mendalam. 3. Memperkaya literatur dalam bidang statistika terutama yang berhubungan dengan fungsi pembangkit momen dan distribusi eksponensial tergeneralisir dua variabel.
1.6 Metode Penelitian Metode yang digunakan dalam penelitian ini adalah: 1. Dengan melakukan studi literatur terlebih dahulu mengenai fungsi pembangkit momen dan distribusi eksponensial tergeneralisir dua variabel.. Memaparkan dan menjelaskan pengertian fungsi pembangkit momen dan distribusi eksponensial tergeneralisir dua variabel. 3. Mensubtitusi persamaan fungsi pembangkit momen dengan persamaan distribusi eksponensial tergeneralisir dua variabel. 4. Mentransformasikan persamaan yang didapat dari hasil subtitusi dengan mengintegralkan persamaan tersebut. 5. Mencari estimator parameter rata-rata (µ) dan parameter variansi (σ ) dengan mencari turunan pertama dan turunan kedua dari hasil transformasi persamaannya. 6. Mengestimasi parameter rata-rata (µ) dan parameter variansi (σ ) dengan menguji nilai kedua parameter tersebut pada contoh kasus. 7. Menarik kesimpulan dari hasil transformasi dan estimasi yang diperoleh.