1 BAB PENERAPAN HUKUM-HUKUM NEWTON Sebelumnya telah dipelajai tentang hukum Newton: hukum I tentang kelembaban benda, yang dinyatakan oleh pesamaan F = 0; hukum II tentang hubungan gaya dan geak, yang dinyatakan oleh pesamaan F = m a; dan hukum III tentang pasangan aksi-eaksi yang bekeja pada dua benda bebeda yang saling beinteaksi. Juga telah dipelajai bagaimana melukiskan diagam gaya gaya yang bekeja pada suatu benda, yang disebut diagam benda bebas. Selain itu, juga telah dipelajai gaya beat, gaya tegangan tali, gaya nomal dan gaya gesekan, seta melakukan analisis kuantitatif untuk masalah dinamika sedehana pada bidang tanpa gesekan. Dalam bab ini kita awali pembahasan kita tentang gaya gesekan, yang sebanding dengan besa gaya nomal dan koefisien gesekan yang bekaitan denagn sfita pemukaan bidang sentuh. A. Gesekan Pada suatu benda atau sistem benda mungkin saja bekeja bebagai jenis gaya. untuk itu kita juga memelukan stategi pemecahan masalah sebagai penuntun kita dalam menyelesaikan soal-soal. Langkah langkah beikut sebaiknya Anda gunakan untuk memecahakan soal-soal dinamika dengan menggunakan hukum-hukum newton. 1. Gambalah sketsa kondisi soal. Kenali satu benda atau sistem benda dimana Anda akan mengunakan hukum I dan II newton 2. Pisahkan benda atau sistem benda yang akan Anda analisis geaknya. Lukis diagam benda bebas untuk benda atau sistem benda ini. Jangan sampai ada gaya yang tak tegamba. Tetapi hindai juga menggamba gaya yang tidak bekeja pada benda atau sistem benda yang ditinjau. Lalu beikan nama pada setiap gaya yang Anda gambakan sesuai dengan penyebabnya. 3. Pilih sumbu X dan Y yang akan memudahkan anda melakuka pehitungan. Jika Anda mengetahui aah pecepatan benda ambillah aahitu sebagai sumbu X positif. pehatikan, Anda dapat menggunakan sistem sumbu yang bebeda untuk setiap benda atau sisitem benda yang Anda tinjau. Untuk gaya-gaya yang tidak sejaja dengan sumbu X dan sumbu Y yang Anda pilih, hitunglah nilai komponen-komponen gaya itu dengan sinus dan kosinus yang sesuai. P x = P cos θ dan P y.= P sin θ 4. Untuk kasus benda diam atau begeak luus beatuan pada sumbu X atau sumbu Y, gunakan hukum I Newton: F x = 0 atau F y = 0 Untuk kasus benda begeak dengan pecepatan tetap pada sumbu X atau sumbu Y gunakan hukum II Newton: F x = ma x atau F y = ma y 5. Jika ada lebih dai satu benda atau sistem benda yang anda tinjau, ulangi langkah 2 sampai dengan langkah 4. Jika dua benda yang Anda tinjau saling beinteaksi ( umumnya besentuhan), maka Anda dapat menghubungkan keduanya dengan hukum III Newton. Sebagai tambahan pecepatan-pecepatan benda mungkin saling behubungan, misalnya jika benda-benda tesebut dihubingkan dengan tali. 6. Dai pesamaan pesamaan linea ( pangkat satu), yang anda peoleh dai langkah 4 dan langkah 5, hitunglah besaan-besaan yang ditanyakan.
2 Apa Gaya Gesekan Itu? Gaya gesekan antaa pemukaan zat padat meupakan gaya sentuh, yang muncul jika pemukaan dua zat padat besentuhan secaa fisik, dengan aah gaya gesekan sejaja dengan pemukaan bidang sentuh dan belawanan dengan kecendeungan aah geak elatif benda satu tehadap benda lainnya. Gaya gesekan adalah suatu gaya lenting yang menyumbang pada kondisi keseimbangan benda. Gaya gesekan ada dua jenis yaitu, gaya gesekan statis yang cendeung untuk mempetahankan keadaan diam benda ketika sebuah gaya dikejakan pada benda yang diam, dan gaya gesekan kinetis (dinamis) yang cendeung untuk mempetahankan keadaan begeak dai benda yang sedang begeak. Gaya gesekan statis mulai dai nol dan membesa sesuai denagn gaya doong sampai mencapai nilai maksimum, fs,maks. Lalu, gaya gesekan tuun sampai mencapai nilai tetap yaitu gaya gesekan kinetis, fk. Rumusan Gaya Gesekan Besa gaya gesekan statis antaa dua pemuakaan yang besentuhan dapat memiliki nilai-nilai fs µs N (2-1) dengan tetapan tanpa dimensi µs disebut koefisisen gesekan statis dan N adalah besa gaya nomal tanda kesamaan = digunakan ketika tepat akan begeak, yaitu ketika fs = fs,maks =µ µs N (2-2) Tanda kesamaan < teus dipakai untuk gaya doong yang dibeikan lebih kecil dai pada nilai ini Besa gaya gesekan kinetis yang bekeja pada suatu benda adalah tetap dan dibeikan oleh fs = µk N (2-3)
3 Pemukaan Kayu pada kayu Kayu pada baja Kayu pada salju Baja pada baja Almunium pada baja Tembaga pada baja Kaca pada kaca Tembaga pada kaca Teflon pada teflon Teflon pada baja Kaet pada beton (keing) Kaet pada beton (beai) Bola goti yang dibei oli Koefisien gesekan statis µs 0,40 0,70 0,08 0,74 0,61 0,53 0,94 0,68 0,04 0,04 1,00 0,30 < 0,01 Koefisien gesekan kinetis µk 0,20 0,40 0,06 0,57 0,47 0,36 0,40 0,53 0,04 0,04 0,80 0,25 < 0,01 Nilai-nilai µk dan µs begantung pada sifat anta dua pemukaan benda yang besentuhan tetapi secaa umum µk lebih kecil daipada µs. Bagaiman Mentukan Koefisien Gesekan? Koefisien gesekan statis dan kinetis dapat kita tentukan denagn teknik bidang hoizontal atau bidang miing. Dalam pecobaan denga teknik bidang hoizontal, benda dihubungkan kekait dinamomete, sedangkan ujung kait yang bebas Anda taik dengan gaya P ( lihat gamba 2.5 ). Mulai dai gaya P kecil pebesalah taikan Anda sampai suatu saat taikan Anda measa benda tepat akan begeak. Pada saat itu bacalah angka yang ditunjukan oleh skala dinamomete. Angka ini menunjukan besa gaya gesekan statis maksimum, fs,maks. Dengan demikian koefisien gesekan statis, µs, dapat dihitung dengan fs,maks fs,maks = µs N µs = ;dengan N = beat benda N Ketika benda begeak atulah besa gaya P sedemikian sehingga benda begeak dengan kecepatan tetap. Ketika benda begeak dengan kecepatan tetap bacalah skala dinamomete. Angka ini menunjukan besa gaya gesekan kinetis, fk. Dengan demikan, koefisien gesekan kinetis, µk, dapat dihitung. fk,maks fk,maks = µk N µk = ; dengan N = beat benda. N Anda juga dapat menentukan koefisien gesekan statis tanpa pelu menggunakan dinamomete ( neaca pegas ) tetapi denagn teknik bidang miing. Bila sebuah benda
4 diletakan di atas bidang yang dimiingkan secaa beangsu maka jika pada sudut θs benda mulai meluncu beati koefisien gesekan statis, θs adalah µs = tan θs. Sedangkan koefisien gesekan kinetik, µk, dapat dinyatakan sebagai µk = tan θk. B. Pemecahan Masalah Dinamika yang Lebih Rumit Dalam subbab ini kita akan memecahakan bebeapa masalah dinamika yang lebih umit, yaitu : analisis geak benda yang dihubungkan dengan tali melalui katol atau sistem katol dimana gaya gesekan telibat; analisis geak benda pada bidang miing di bawah pengauh gaya gesekan; dan analisis geak dan gaya pada benda betumpuk. Masalah dua benda dihubungkan dengan tali melalui sebuah katol atau sistem katol Dua benda A dan B dihubungkan dengan seutas tali melalui sebuah katol. Benda A teletak pada bidang mendata kasa dengan koefisien gesekan kinetis µk dan benda B tegantung vetikal di udaa ( gamba 2.11a). mula-mula benda B ditahan diam. Diagam bebas sistem benda A dan benda B ditunjukkan pada gamba 2.11b. pada Benda A bekeja empat buah gaya. Dua gaya vetikal: gaya beat benda A, ma g, dan gaya nomal pada benda A yang dikejakan oleh bidang mendata, NA. Dua gaya mendata: gaya tegangan tali, T dan gaya gesekan pada benda A yang dikejakan oleh bidang mendata kasa, fa. Sedangkan pada benda B hanya bekeja dua buah gaya vetikal: gaya beat benda B, mb g, dan gaya tegangan tali, T. Pehatikan, gaya tegangan tali pada benda A dan benda B besanya sama kaena A dan B dihubungkan oleh tali yang sama dan katol dianggap licin ( katol tidak mengalami geak otasi ). Tinjau dahulu benda A saja untuk dapat menghitung gaya nomal NA. Benda A tidak begeak dalam aah vetikal sehingga Fy = 0, dan dengan mengambil aah vetikal ke atas sebagai aah positif dipeoleh F y = 0 + N A ma g = 0 NA = ma g
5 Selanjutnya, gaya gesekan kinetik, f A, dapat dihitung dengan umus f A = µ k N A f A = µ k m A g Untuk dapat langsung menghitung pecepatan sistem benda A dan benda B, a, kita tinjau benda A dan benda B sebagai suatu sistem, dengan diagam bebas sepeti pada gamba 2.11b. Dengan mengambil aah pecepatan ( aah geak ) sebagai aah positif, maka untuk benda A aah mendata ke kenan adalah aah positif dan untuk benda B aah vetikal ke bawah adalah aah positif. Penggunaan hukum II Newton membeikan F = (m A + m B ) a ( + T - f A ) + ( - T + m B g ) = (m A + m B ) a T - µ k m A g - T + m B g = (m A + m B ) a m B g - µ k m A g a = (2-6) m A + m B Untuk sistem dua benda A dan B yang dihubungkan dengan seutas tali melalui sebuah katol pada gamba di bawah ini, dan dianggap katolnya licin sempuna ( katol tak mengalami geak otasi ), belaku umus cepat beikut: Bidang mendata licin m B g a = m A + m B Bidang kasa dengan koefisien gesekan µ k m B g - µ k m A g a = m A + m B Masalah Geak Benda pada Bidang Miing Untuk kasus benda meluncu dai keadaan diam menuuni bidang miing dengan sudut kemiingan θ tehadap hoizontal dan tidak dibei gaya lua, belaku : Bidang miing licin a = g sin θ Bidang miing kasa a = g (sin θ - µ k cos θ ) k Masalah Dua benda Betumpuk pada Bidang Hoizontal Supaya diagam bebas benda betumpuk tidak umit maka kita telebih dahulu akan menentukan gaya nomal pada tiap benda. Kaena gaya nomal beaah vetikal, maka untuk menetukan besa gaya nomal kita cukup menggamba diagam gaya-gaya vetikal yang bekeja pada tiap gaya-gaya vetikal yang bekeja pada tiap benda ( gamba 2.16b).
6 Sistem balok betumpuk tidak begeak tehadap sumbu vetikal ( sumbu Y ) sehingga baik untuk sistem balok m1 maupun sistem balok m2, belaku Fy = 0. Mai kita tinjau dahulu sistem balok m1. ada dua gaya vetikal yang bekeja pada balok m1 : gaya beat m1g beaah ke bawah dan gaya nomal pada m1 dikejakan oleh m2 ( dibei lambang N1,2 ) beaah ke atas. Penggunaan Fy = 0 membeikan + N1,2 - m1g = 0 N1,2 = m1g (2-9) N1,2 bekeja pada m1. eaksi dai N1,2 yaitu N2,1 bekeja pada m2. N2,1 adalah gaya nomal pada m2 yang dikejakan oleh m1. Kaena N1,2 dan N2,1 adalah pasangan aksi eaksi, maka N2,1 = N1,2 N2,1 = m1g Selanjutnya, pada sistem balok m2 tedapat tiga gaya vetikal yang bekeja pada m2 : gaya beat beaah ke bawah m2 g; gaya nomal pada m2 yang dikejakan lantai ( dibei lambang N2,1) beaah ke atas, dan N2,1 ( eaksi dai N1,2 ) beati ke bawah. Penggunaan Fy = 0 membeikan + N2,1 - m2g - N2,1 = 0 N2,1 = m2g + N2,1 dengan N2,1 = m1g N2,1 = m2g + m1g (2-10) TIPS Untuk kasus dua balok betumpuk di atas bidang hoizontal (lihat gamba 2.16) besa gaya nomal pada balok yang atas sama denagn beatnya sendii. Sedangkan besa gaya nomal pada balok yang bawah sama dengan jumlah beat balok itu sendii ditambah beat balok di atasnya. N1 = m1 g N2 = m1g + m2g Catatan: Dua pesamaan di ats dapat digunakan hanya jika pada kedua benda tidak bekeja gaya lua yang memiliki komponen vetikal. Gaya lua boleh ada asalkan beaah hoizontal.
7 C. Peneapan Gaya Gesekan pada Masalah Tikungan Menikung pada Jalan Mendata Dalam peistiwa menikung sebuah benda dianggap menempuh lintasan melingka. Dan sepeti yang sudah diketahui bahwa geak melingka disebabkan oleh gaya sentipetal ( gaya yang mengaah ke pusat lingkaan ). Sebuah benda misalkan mobil, bau dapat membelok jika tikungan jalan hoizontal tesebut kasa. Sehingga yang befungsi sebagai gaya sentipetal pada mobil yang membelok adalah gaya gesekan yang dikejakan pada pemukaan jalan hoizontal kasa pada keempat ban mobil. Ketika mobil membelok maka ban-ban mobil adalah beputa dan bukan meluncu, sehingga gaya gesekannya adalah gaya gesekan statis. Jika mobil slip sehingga keempat bannya meluncu di atas jalan, baulah gaya gesekannya adalah kinetis. Mobil yang melaju telalu cepat ketika melalui tikungan jalan hoizontal dapat slip kaena kelajuan mobil melebihi batas kelajuan yang dipekenankan untuk membelok. Rumus batas kelajuan yang dipekenankan untuk membelok denagn aman pada tikunganjalan yang kasa adalah: Asal dai gaya sentipetal adalah gaya gesekan f s, sehingga F s = f s F s = µ s N = µ s mg (*) Rumus gaya sentipetal menuut definisi adalah mv 2 maks F s = (**) Ruas kii ( ** ) dan (*) adalah sama sehingga dipeoleh: mv 2 maks = µ s mg v 2 maks µ s = (2-14) g V maks = g µ s (2-15) dengan adalah jai-jai belokan jalan dan g adalah pecepatan gavitasi. Batas laju kendaaan yang membelok pada jalan data kasa dengan aman begantung pada: 1. Kekasaan pemukaan jalan (µ s ) makin kasa pemukaan jalan makin besa gaya baats laju membelok; 2. Jai jai belikan ( ) makin besa jai-jai belokan makin besa batas laju membelok; 3. Pecepatan gavitasi ( g ) makin besa pecepatan gavitasi tempat belokan makin besa batas laju membelok.
8 Menikung pada jalan Miing Sebuah mobil dapat membelok pada jalan data disebabkan adanya gaya-gaya yang bekeja pada mobil yang membelok pada jalan data ( gamba 2.22a ). Beat mobil mg beaah vetikal ke bawah. Pada tiap ban mobil bekeja gaya nomal FN yang dikejakan oleh pemukaan jalan. Jumlah keempat gaya nomal ini seimbang dengan beat mobil, sehingga mobil tidak begeak pada sumbu vetikal Y. Pada sumbu hoizontal X tedaapt gaya gesekan fs, yang bekeja pada tiap ban. Resultan gaya hoizontal yang tidak nol inilah yang membeikan gaya sentipetal pada mobil. Untuk kondisi jalan licin, gaya gesekan sangat kecil. Ini mengakibatkan mobil yang membelok pada jalan data dengan kelajuan sedang pun dapat mengalami slip. Untuk mengatasi ini, belokan biasanya dibuat miing dengan sudut kemiingan tetentu θ ( gamba 2.23 ). Makin besa kelajuan maksimum yang dipebolehkan makin besa sudut kemiingan ini haus dibuat. Gamba 2.23 Belokan sikuit balap mobil diancang miing denan sudut kemiingan θ tetentu. Desain sepeti ini menyebabkan mobil dapat membelok dengan kecepatan maksimum tetentu tanpa slip, walaupun kondisi sikuit licin Jika jalan yang dilalui adalah licin kaena beai ataupun besaju, sehingga gaya gesekan diabaikan. Maka, untuk mengatahui gaya apakah yang mebeikan gaya sentipetal dapat kita analisis dai gamba 2.22b. Ditunjukkan bahwa untuk belokan yang dibuat miing, gaya nomal N memiliki komponen hoizontal ( N sin θ ), yang beaah adial ke dalam. Komponen hoizontal inilah yang membeikan
9 Pehatikan kembali pada gamba 2.22b. Pada tiap-tiap ban bekeja gaya nomal F N sehingga gaya nomal total pada mobil adalah N = 4 F N. komponen hoizontal dan vetikal gaya nomal adalah N X = N sin θ dan N Y = N cos θ. Komponen hoizontal gaya nomal, N X, yang beaah adial ke dalam inilah yang membeikan gaya sentipetal, sehingga m v 2 mv 2 N X = N sin θ = (*) mobil tidak begeak pada sumbu Y, F y = 0 + N cos θ mg = 0 N cos θ = mg (**) sehingga menghasilkan : mv 2 N sin θ = N cos θ mg v 2 tan θ = (2-16) g V maks = g tan θ Tampak dai umus ini bahwa kelajuan maksimum kendaaan untuk dapat membelok tanpa slip pada tikungan jalan miing licin begantung pada jai-jai belokan (R), pecepatan gavitasi ( g), dan sudut kemiingan jalan (θ ). Untuk pembalab mobil, keamanan ketika membelokkan mobilnya tidak hanya mengandalakn kemiingan belokan. Dalam kasus sepeti ini, belokan jalan didisain miing dan cukup kasa. Untuk menghitung batas laju membelok pada belokan jalan yang miing dan kasa dapat dianalisis dai gamba 2.25. dipelihatkan bahwa dalam aah adial ke pusat belokan selain tedapat komponen gaya nomal N, yaitu N sin θ, tedapat juga komponen gaya gesekan statis f s, yaitu f s cos θ. Resultan kedua gaya mengaah ke pusat ini akan betindak sebagai gaya sentipetal. F s = N sin θ + f s cos θ mv 2 = N sin θ + ( µ s N ) cos θ mv 2 = N ( sin θ + µ s cos θ) mobil tidak begeak pada simbu Y sehingga bealaku : F y = 0 ; aah ke atas positif + N cos θ mg f s sin θ= 0 mg = N cos θ f s sin θ
10 mg = N cos θ µ s N sin θ mg = N (cos θ µ s sin θ) sehingga dipeoleh : mv 2 sin θ = N ( sin θ + µ s cos θ) cos θ + µ s v 2 cos θ : = mg = N (cos θ µ s sin θ) g sin θ cos θ 1 - µ s cos θ v 2 maks g µ s + tan θ = (2-17) 1 - µ s tan θ v maks = µ s + tan θ g (2-18) 1 - µ s tan θ dai pesamaan di atas tampak bahwa sudut kemiingan jalan ( tan θ ) dan kekasaan jalan (µ s ) secaa besama-sama menyebabkan batas laju (V maks ) untuk membelok dengan aman pada jalan miing kasa menjadi lebih besa.