PENERBIT ITB FISIKA DASAR I

Transkripsi

1 PENERBIT ITB CATATAN KULIAH FI-0 FISIKA DASAR I (Edisi Revisi) Oleh D.Eng. MIKRAJUDDIN ABDULLAH, M.Si. PROGRAM STUDI FISIKA

2 Dafta Isi Bab Geak Dua Dimensi Bab Geak Peluu 7 Bab 3 Geak Melingka 36 Bab 4 Hukum Newton dan Dinamika 50 Bab 5 Hukum Gavitasi 8 Bab 6 Usaha Enegi 99 Bab 7 Elastisitas Bahan 3 Bab 8 Momentum Linie dan Impuls 47 Bab 9 Dinamika Benda Tega 8 Bab 0 Statika Fluida 9 Bab Fluida Dinamik 6 Bab Teoi Kinetik Gas 94 Bab 3 Temodinamika 37 Bab 4 Teoi Relativitas Khusus 356 ii

3 Kata Penganta Guna mempekaya matei kuliah bagi mahasiswa Tahap Pesiapan Besama (TPB) Institut Teknologi Bandung, kami mencoba menyusun diktat kuliah Fisika Dasa I sebagai pelengkap sejumlah efeensi yang telah ada. Di dalam diktat ini kami mencoba menyodokan pendekatan yang lebih sedehana dalam memahami Fisika Dasa yang meupakan mata kuliah wajib di TPB. Diktat vesi evisi ini meupakan pebaikan diktat yang tebit petama kali tahun 006. Bebeapa kesalahan yang muncul pada diktat vesi petama ditekan seminim mungkin pada diktat vesi evisi ini. Fomat juga ditata ulang sehingga lebih enak untuk dibaca dan dipelajai. Bebeapa ilustasi juga ditambah untuk membuat diktat lebih menaik. Atas hadinya diktat ini kami mengucakan teima kasih kepada Penebit ITB yang besedia menebitkannya sehingga dapat sampai di tangan paa mahasiwa yang mengambil mata kuliah tesebut. Kami menyadai masih banyak kekuangan yang dijumpai dalam diktat ini meskipun sudah dilakukan evisi. Koeksi dai siapa pun, apakah dosen, mahasiswa, atau lainnya sangat kami nantikan untuk pebaikan selanjutnya. Semoga bemanfaat Wassalam Juni 007 Mikajuddin Abdullah iii

4 Bab Geak Dua Dimensi Besaan-besaan geak sepeti posisi, pepindahan, kecepatan, pecepatan, gaya, dan sebagainya meupakan besaan-besaan vekto. Oleh kaena itu pembahasan tentang geak akan lebih lengkap kalau diungkapkan dengan metode vekto. Awalnya penggunaan medote vekto teasa sulit. Namun, apabila kita sudah tebiasa maka akan mendapatkan bahwa metode vekto cukup sedehana. Analisis yang cukup panjang dan umit yang dijumpai pada metode skala seing menjadi sangat singkat dan sedehana jika dilakukan dengan metode vekto.. Analisis Vekto Untuk Geak Dua Dimensi Untuk memahami peneapan metode vekto dalam analisis geak, mai kita mulai mengkaji benda yang melakukan geak dua dimensi. Bebeapa besaan geak sebagai beikut. Posisi Untuk menjelaskan geak dua dimensi secaa lengkap, kita pelu menggunakan koodinat dua sumbu. Kita gunakan sumbu x yang aahnya hoizontal dan sumbu y yang aahnya vetikal. Posisi benda diuku dai pusat koodinat ditulis dalam notasi vekto sebagai x iˆ + y ˆj (.) dengan x y : vekto yang pangkalnya di sumbu koodinat dan ujungnya di posisi benda. : komponen vekto dalam aah sumbu x (poyeksi vekto sepanjang sumbu x) : komponen vekto dalam aah sumbu y (poyeksi vekto sepanjang sumbu y) î : vekto satuan yang seaah dengan sumbu x dan ĵ adalah vekto satuan yang seaah sumbu y. Vekto satuan atinya vekto yang panjangnya satu, atau i ˆ dan ˆ j.

5 Panjang vekto memenuhi x + y (.) y x Gamba. Posisi sebuah benda dalam koodinat dua dimensi Sifat pekalian vekto satuan Sebelum melangkah lebih jauh, mai kita lihat sifat pekalian vekto satuan. Sifat pekalian skala yang dipenuhi adalah i ˆ iˆ ˆ j ˆj i ˆ ˆj 0 ˆ j iˆ 0 (.3) Pepindahan Misalkan sebuah benda mula-mula beada di titik A dengan vekto posisi. Bebeapa saat beikutnya, benda tesebut beada pada titik B dengan vekto posisi. Kita mendefinisikan pepindahan benda dai titik A ke titik B sebagai (.4)

6 y Lintasan benda x Gamba. Vekto pepindahan benda adalah selisih vekto posisi akhi dengan vekto posisi awal Tampak dai Gb.. bahwa, vekto pepindahan adalah vekto yang pangkalnya beada di ujung vekto dan kepalanya beada di ujung vekto. Kita juga dapat menulis vekto dan dalam komponen-komponennya, yaitu x iˆ + y ˆj x iˆ + y ˆj (.5) dengan x : komponen vekto dalam aah x y : komponen vekto dalam aah y x : komponen vekto dalam aah x y : komponen vekto dalam aah y Dinyatakan dalam komponen-komponen vekto maka kita dapat menulis vekto pepindahan sebagai beikut ( x iˆ + y ˆ) j ( x iˆ + y ˆj ) ( x x )ˆ i + ( y y ) ˆj (.6) Besa pepindahan benda, yaitu panjang pepindahan, adalah 3

7 ( x x y y ) + ( ) (.7) Contoh. Mula-mula posisi sebuah benda dinyatakan oleh vekto 8ˆ i + 0 ˆj m. Bebeapa saat beikutnya, posisi benda menjadi 5 iˆ + 0 ˆj m. Beapakah vekto pepindahan seta besa pepindahan benda? ( 5ˆ i + 0 ˆ) j (8ˆ i + 0 ˆj ) ( 5 8)ˆ i + (0 0) ˆj 3ˆ i + 0 ˆj m Besa pepindahan benda ( 3) + (0) 69 6,4 m Contoh. Posisi benda tiap saat ditentukan oleh pesamaan 0t iˆ + (0t 5t ) ˆj (satuan mete). (a) Tentukan posisi benda pada saat t s dan t 0 s. (b) Tentukan pepindahan benda selama selang waktu t s sampai t 0 s. (a) Posisi benda saat t s 0 ˆ i + (0 5 ) ˆj 0iˆ + 5 ˆj m Posisi benda saat t 0 s 0 0iˆ + ( ) ˆj 00iˆ 400 ˆj m 4

8 (b) Pepindahan benda antaa t s sampai t 0 s ( 00ˆ i 400 ˆ) j (0ˆ i + 5 ˆj ) ( 00 0)ˆ i + ( 400 5) ˆj 90ˆ i 405 ˆj m Kecepatan Rata-Rata Kita mendefinisikan kecepatan ata-ata sebagai pebandingan antaa pepindahan dengan lama waktu melakukan pepindahan. Misalkan saat t posisi benda adalah dan pada saat t, posisi benda adalah. Maka Pepindahan benda adalah: Lama waktu benda bepindah adalah: t t t Definisi kecepatan ata-ata adalah v t (.8) Di sini kita gunakan tanda kuung siku,, sebagai simbol untuk ata-ata. Kecepatan ata-ata juga meupakan besaan vekto. Contoh.3 Pada saat t s posisi sebuah benda adalah iˆ 0 m dan pada saat t 6 s posisi benda menjadi 8 ˆj m. Beapakah kecepatan ata-ata benda selama pepindahan tesebut? Pepindahan benda ( 8 ˆ) j (0ˆ) i 0ˆ i + 8 ˆj m. Lama pepindahan benda t 6 4 s 5

9 Kecepatan ata-ata benda v t 0ˆ i + 8 ˆj 4,5ˆ i + ˆj m/s Contoh.4 Posisi sebuah benda yang sedang begeak memenuhi hubungan 3ˆ i + 5t ˆj m. Beapakah kecepatan ata-ata benda antaa t 0 s sampai t 5 s? Posisi benda saat t 0 s 3ˆ i Posisi benda saat t 5 s 3ˆ i ˆj 3iˆ m ˆj 3ˆ i + 5 ˆj m Pepindahan benda ( 3ˆ i + 5 ˆ) j (3i ) 5 ˆj Lama pepindahan benda t s Kecepatan ata-ata benda 5 ˆ j v 5 ˆj m/s. t 5 Kecepatan Sesaat Kecepatan sesaat dipeoleh dai kecepatan ata-ata dengan mengambil selang waktu yang sangat kecil, yaitu mendekati nol. Dapat pula dikatakan bahwa kecepatan sesaat meupakan kecepatan ata-ata pada selang waktu yang sangat kecil (mendekati nol). Jadi, definisi kecepatan sesaat adalah v t (.9) dengan t 0. Definisi ini dapat ditulis dalam bentuk difeensial sebagai beikut 6

10 d v dt (.0) Contoh.5 Sebuah benda begeak dengan posisi yang memenuhi Tentukan kecepatan sesaat benda pada saat t s. 4t iˆ + (6t 5t ) ˆj m. Kecepatan sesaat benda pada sembaang waktu adalah v d dt 4iˆ + (6 0t) ˆj m/s Kecepatan sesaat benda pada saat t menjadi v 4iˆ + (6 0 ) ˆj 4ˆ i 4 ˆj m/s Pecepatan ata-ata Pecepatan ata-ata didefinisikan sebagai pebandingan antaa peubahan kecepatan benda dengan lama kecepatan tesebut beubah. Misalkan saat t kecepatan sesaat benda adalah v dan pada saat t kecepatan sesaat benda dalah v. Maka Peubahan kecepatan benda adalah v v v Lama waktu kecepatan beubah adalah t t t Definisi pecepatan ata-ata adalah a v t (.) Pecepatan ata-ata juga meupakan besaan vekto. Contoh.6 Sebuah benda begeak dengan kecepatan yang memenuhi pesamaan [ cos(0,π t) iˆ + sin (0, t) ˆj ] v π waktu t 0/6 s sampai t 0 s. m/s. Tentukan pecepatan ata-ata benda antaa selang 7

11 Kecepatan benda saat t 0/6 s v 0 iˆ 0 + ˆ π j iˆ π cos 0,π sin 0,π cos + sin ˆj iˆ + ˆj 3 iˆ + ˆj m/s Kecepatan benda saat t 0 s v { cos( 0,π 0) iˆ + sin ( 0,π 0) ˆj } cos( π ) iˆ + sin ( ) { ˆj } π { } i ( )ˆ i + 0 ˆj ˆ m/s Peubahan kecepatan benda antaa t 0/6 sampai t 0 s adalah v v v ( ˆ) i ( 3ˆ i + ˆ) j ( + 3)ˆ i ˆj m/s Lama waktu peubahan kecepatan benda t 0 0/6 60/6 0/6 50/6 s Pecepatan ata-ata benda v i ˆ ( + 3)ˆ j a 0,45iˆ 0, ˆj t 50 / 6 m/s. Pecepatan sesaat Jika selang waktu yang kita ambil dalam menghitung pecepatan ata-ata mendekati nol, maka pecepatan ata-ata tesebut beubah menjadi pecepatan sesaat. Jadi, pecpetan sesaat didefinisikan sebagai a v t (.) dengan t diambil menuju nol. Juga definisi ini dapat ditulis dalam bentuk difeensial sebagai beikut dv a (.3) dt 8

12 Contoh.7 Kecepatan sesaat benda sebagai fungsi waktu dibeikan oleh hubungan v 0t iˆ + 3 ˆj m/s. Beapakah pecepatan sesaat benda pada saat t 5 s? Petama kita tentukan pecepatan sesaat pada sembaang waktu, yaitu dv a 0t iˆ m/s dt Pecepatan sesaat pada saat t 5 s adalah a 0 5iˆ 00iˆ m/s Sampai di sini kita sudah membahas bagaimana mendapatkan besaan-besaan geak dimulai dai posisi benda. Dai posisi benda kita mendapatkan kecepatan ata-ata dan kecepatan sesaat dan dai kecepatan sesaat kita bisa menentukan pecepatan ata-ata dan pecepatan sesaat. Bagaimana dengan sebaliknya? Jika kita mengetahui pecepatan, dapatkah kita menentukan kecepatan? Dan jika kita mengetahui kecepatan, dapatkan kita menentukan posisi? annya, dapat. Dan itu yang akan kita pelajai selanjutnya.. Menentukan kecepatan dai pecepatan Kita mulai dai definisi pecepatan sesaat pada pesamaan (.3). Pesamaan tesebut dapat ditulis ulang menjadi dv adt (.4) Lalu kita integal uas kii dan kanan dengan batas-batas: (i) kecepatan dai v dan (ii) waktu dai t sampai t : o v o sampai v dv vo t to adt Integal uas kii bisa segea diselesaikan dan hasilnya adalah v v o (.5). Integal di uas 9

13 kanan bau dapat dilakukan setelah kita mengetahui bentuk eksplisit dai fungsi a. Dengan mengganti integal uas kii dengan v v kita dapatkan o v v o t to adt atau v v o t + adt to (.6) Pesamaan (.6) meupakan bentuk yang umum yang belaku untuk pecepatan apa pun, baik yang konstan maupun tidak konstan. Kalau kita tinjau kasus khusus untuk pecepatan yang konstan, maka pecepatan pada integal pesamaan (.6) dapat dikeluakan dai integal dan kita peoleh v v v o o + a + a t to dt ( t to ) (.7) Contoh.8 (pecepatan konstan) Pada saat t o s sebuah patikel memiliki kecepatan 3 iˆ + 4 ˆj m/s. Beapa kecepatan patikel pada sembaang waktu jika pecepatannya adalah 0 iˆ + ˆj m/s? Dai soal kita daatkan infomasi t o s, v o 3 iˆ + 4 ˆj m/s dan a 0 iˆ + ˆj m/s. Kaena pecepatan konstan maka kita bias langsung menggunakan pesamaan (.7) v v o + a t t ( o ) ( 3ˆ i + 4 ˆ) j + ( 0ˆ i + ˆ)( j t ) [ 3 0( t )]ˆ i + [4 + ( t )] ˆj 0

14 ( 3 0t)ˆ i + (t) ˆj m/s Contoh.9 (pecepatan sembaang) Sebuah benda memiliki pecepatan a 4tiˆ + 5t ˆj m/s. Jika pada saat t 4 kecepatan benda adalah v o 0 ˆj m/s, tentukan kecepatan benda pada sembaang waktu. Kaena benda memiliki pecepatan yang sembaang, maka kita gunakan pesamaan umum (.6). Kita dapatkan kecepatan benda adalah v v o t + adt to t 0 ˆj + ( 4tiˆ + 5t 4 ˆ) j dt 5 0 ˆ j + t iˆ + t 3 3 ˆ j t 4 0 ˆj ( t ) iˆ ( t 64)j ˆ 3 ( t ) iˆ t ˆj m/s Menentukan posisi dai kecepatan Kita beangkat dai definisi kecepatan sesaat yang dibeikan oleh pesamaan (.9). Kita dapat menulis ulang pesaman tesebut menjadi d vdt (.8) Misalkan pada saat t o benda beada pada posisi o dan dapa saat t sembaang posisi benda dinyatakan oleh. Dua uas dalam pesamaan (.8) dapat diintegal menjadi

15 d o t to vdt (.9) Integal di uas kii dapat segea diselesaikan dan membeikan. Integal di uas kanan bau dapat diselesaikan setelah kita mengetahui bentuk eksplisit dai fungsi v. Dengan mengganti uas kii pesamaan (.9) dengan kita peoleh o o o t to vdt atau o t + vdt to (.0) Pesamaan (.0) meupakan bentuk yang umum yang belaku untuk kecepatan apa pun, baik yang konstan maupun tidak konstan. Kalau kita tinjau kasus khusus untuk kecepatan yang konstan, v, maka kecepatan pada integal pesamaan (.0) dapat dikeluakan dai integal dan kita peoleh o o o + v + v t o to dt o ( t to ) (.) Kasus khusus lainnya adalah untuk geak dengan pecepatan yang konstan. Untuk kasus ini maka kecepatan pada integal pesamaan (.0) diganti dengan kecepatan pada pesamaan (.7) sehingga dipeoleh t + ) dt o t [ vo + a( t to ] to + v dt + a( t t ) dt o to o t to o

16 t + v dt + a ( t t ) dt o o to t to o o + vo ( t to ) + a( t to ) (.) Contoh.0 (pecepatan konstan) Sebuah benda begeak dengan pecapatan a 0 ˆj m/s. Pada waktu nol detik, kecepatan benda adalah 5î m/s dan posisinya 50 ĵ m. Tentukan: (a) kecepatan benda pada sembaang waktu (b) Posisi benda pada sembaang waktu. Dai soal kita dapat infomasi t o 0, a 0 ˆj m/s, v o 5iˆ m/s, dan 50 ˆj m. o a) Kaena pecepatan benda konstan maka kecepatan benda pada sembaang waktu tentukan dai pesamaan (.7), yaitu v v o + a t t ( o ) 5iˆ + ( 0 ˆ)( j t 0) 5iˆ 0t ˆj m/s b) Posisi benda tiap saat dihitung dengan pesamaan (.) o + vo ( t to ) + a( t to ) 50 ˆj + (5ˆ)( i t 0) + ( 0 ˆ)( j t 0) ˆj t iˆ t ˆj t iˆ 5 + (50 5t ) ˆj m Contoh. Pada saat t 0, benda beada pasa posisi o 0 iˆ + 0 ˆj m. Benda tesebut begeak dengan kecepatan v 0ˆ i + 5t / ˆj m/s. Tentukan posisi benda pada 3

17 sembaang waktu Kaena pecepatan benda tidak konstan maka kita gunakan bentuk umum yang diungkapkan oleh pesamaan (.0) o t + vdt t o t / ( 0ˆ i + 0 ˆ) j + ( 0ˆ i + 5t ˆj )dt 0 0 ( 0ˆ i + 0 ˆ) j + 0tiˆ t 3 j 3 / ˆ t ( 0ˆ i 0 ˆ) j 0tiˆ t 3 / ˆ j ( 0t 0) iˆ 0 t 3 / ˆj m 3 3 Soal dan Penyelesaian ) Kecepatan sebuah mobil dapat dinyatakan dalam pesamaan v 30 iˆ + 50 ˆj km/jam. Pada saat t 0 posisi mobil adalah o 0iˆ 30 ˆj km. Tentukan posisi mobil pada saat t 0,5 jam. Dai bentuk kecepatan, tampak bahwa geakan mobil meupakan geak dengan kecepatan konstan, sehingga kita dapat langsung menggunakan umus o + vt ( 0ˆ i 30 ˆ) j + (30ˆ i + 50 ˆ) j 0,5 ( 0ˆ i 30 ˆ) j + (5ˆ i + 5 ˆ) j (0 + 5)ˆ i + ( ) ˆj 5iˆ 5 ˆj km. 4

18 4 ) Posisi sebuah benda memenuhi pesamaan ( t) t iˆ tˆj m. Tentukan: a) Posisi benda pada saat t s b) Posisi benda pada saat t 3 s c) Pepindahan benda antaa t s sampai t 3 s. d) Kecepatan ata-ata benda antaa t s sampai t 3 s. e) Kecepatan sesaat benda 4 a) () iˆ ˆj ˆ i ˆj m. 4 b) (3) 3 iˆ 3 ˆj 8ˆ i 6 ˆj m. c) ( 3) () (8ˆ i 6 ˆ) j (ˆ i ˆ) j 80ˆ i 4 ˆj m. d) Selang waktu pepindahan benda t s. Kecepatan ata-ata benda 80ˆ i 4 ˆj 80 4 v iˆ ˆj 40ˆ i ˆj m/s. t d e) v 4t 3 iˆ ˆj dt m/s 3) Antaa t s sampai t 3 s kecepatan sebuah benda adalah v iˆ 0 m/s dan antaa t 3 s sampai t 8 s, kecepatan benda adalah v 4 iˆ + 8 ˆj m/s. Beapa kecepatan ata-ata benda antaa t s sampai t 8 s? Kita hitung dulu pepindahan total benda. Penpindahan benda antaa t s sampai t 3 s adalah v t ( 0ˆ) i (3 ) 0iˆ m. Penpindahan benda antaa t 3 s sampai t 8 s adalah v t ( 4ˆ i + 8 ˆ) j (8 3) 0iˆ + 40 ˆj m. 5

19 Pepindahan total benda antaa t s sampai t 8 s + 0 iˆ + (0ˆ i + 40 ˆ) j 40ˆ i + 40 ˆj Selang waktu peubahan tesebut adalah t 8 7 s. Kecepatan ata-ata benda v t 40ˆ i + 40 ˆj 7 40 iˆ ˆj m/s. Soal Latihan. Pilot mengaahkan pesawat ke selatan dengan laju 500 km/jam. Pada saat itu angin betiup ke aah tenggaa (ditengah-tengah antaa aah selatan dan baat) dengan laju 00 km/jam. (a) Hitung kecepatan pesawat elatif tehadap tanah. (b) Beapa penyimpangan posisi pesawat dai posisi yang dihaapkan pilot setelah 0 menit (misalkan pilot tidak melakukan koeksi selama waktu itu)?. Kembali ke soal. Ke mana pilot haus mengaahkan pesawat aga dilihat dai tanah, pesawat tepat begeak ke aah selatan? 3. Sebuah boat yang memiliki laju, m/s pada ai yang diam haus menyebeang sungai yang lebanya 0 m. Dingginkan boat tesebut haus mencapai tempat di sebeang sungai pada jaak 0 m di debelah atas titik tegak luus alian sungai dai posisi boat stat. Untuk mencapai posisi tesebut, tenyata boat haus diaahkan membentuk sudut 45 o tehadap gais potong sungai. Beapakah kecepatan alian ai sungai? 6

20 Bab Geak Peluu Sekaang kita akan mempeluas pemahaman kita tentang geak dengan mempelajai geak dalam uang dimensi dua. Contoh geak dua dimensi adalah geak benda dalam bidang data, atau geak benda yang dilempakan ke atas dengan sudut elevasi tetentu (tidak tegak ke atas), seta geak peikan kembalng api. Lebih lanjut dalam bab ini kita akan secaa khusus membahas geak peluu. Gamba. Contoh geak peluu Kalau kita masuk ke pesoalan geak dalam dua dimensi, maka penggunaan satu koodinat saja untuk posisi menjadi tidak cukup. Posisi benda bau tedefinisi secaa lengkap apabila kita menggunakan dua buah koodinat posisi. Di sini kita gunakan koodinat x dan y di mana dua sumbu koodinat tesebut saling tegak luus. Sepeli lazimnya digunakan, kita pilih sumbu x dalam aah hoizontal dan sumbu y dalam aah vetical (catatan: sebenanya kita bebas memilih aah dua koodinat tesebut, asalkan tidak sejaja).. Geak Peluu Salah satu geak dua dimensi yang paling popula bagi kita adalah geak peluu. Peluu yang ditembakkan dengan kecepatan awal membentuk sudut elevasi tetentu tehadap sumbu data akan mengambil lintasan sepeti pada Gamba. 7

21 y y Lintasan benda v o θ Lokasi penembakan Lokasi jatuh x v yo v o θ v xo v y v x v x Gamba. (kii) Lintasan benda yang ditembakkan dengan membentuk sudut elevasi tetentu, dan (kanan) komponen-komponen kecepatan benda selama begeak Selama benda begeak: i) Benda mendapat pecepatan gavitasi dalam aah vetikal ke bawah. ii) Tidak ada pecepatan dalam aah hoisontal. iii) Kecepatan awal benda membentuk sudut θ tehadap aah hoisontal Dai sifat-sifat tesebut kita dapat menulis a gj ˆ (.) v o v o cosθ iˆ + v o sinθ ˆj (.) Keana meupakan geak dengan pecepatan konstan maka i) Kecepatan benda tiap saat memenuhi pesamaan (.7), yaitu v v o + a ( t to ) ( v cosθ iˆ + v sin ˆj ) + ( gj ˆ)( t t ) θ o o o v cosθ iˆ + [ v sinθ g( t t )] ˆj (.3) o o ii) Posisi benda tiap saat memenuhi pesamaan (.), yaitu o + vo ( t to ) + a( t to ) o ( v cosθ iˆ + v sin ˆj )( t t ) + ( gj ˆ)( t t ) x iˆ + y ˆ) j + θ ( o o o o o o [ x v t t ] iˆ o + o cosθ ( o ) + yo vo sin ( t to ) g( t t ˆ + θ o ) j (.4) 8

22 Pesamaan (.3) dan (.4) dapat pula diuaikan atas komponen-komponen kecepatan maupun komponen-komponen posisi dalam aah sumbu x maupun y. Dai pesamaan (.3) kita dapatkan komponen-komponen kecepatan sebagai beikut v x v o cosθ (.5a) v y v sinθ g( t t ) (.5b) o o Dai pesamaan (.4) kita dapatkan komponen-komponen posisi sebagai beikut x x + v cosθ ( t t ) (.6a) y o o sin ( o ) yo + vo θ t to g( t to ) (.6b) Ketinggian maksimum Tampak dai pesamaan (.5b) laju dalam aah vetikal yang mula-mula v yo makin lama makin kecil, kemudian menjadi nol pada puncak lintasan lalu membalik aah ke bawah. Beapa ketinggian maksim lintasan benda? Lihat Gamba. untuk penjelasan tentang ketinggian maksimum. y Puncak lintasan v o h m θ x R Gamba. Penjelasan ketinggian maksium dan jangkauan maksimum peluu. 9

23 Pada puncak lintasan belaku v y 0. Jika benda beada pada titik tetinggi lintasan tejadi saat t m, maka waktu yang dipelukan benda sejak ditembakkan sampai mencapai ketinggian maksimum adalah T t t. Bedasakan pesamaan (.5b) dipeoleh m m waktu yang dipelukan untuk mencapai ketinggian maksimum adalah v T yo m g (.7) o Kita simbolkan ketinggian maksimum sebagai h m y y. Dengan menggunakan pesamaan (.6b) dan (.7) dipeoleh ketinggian maksium benda adalah o h m v yo T m gt m v yo v g yo v g g yo v yo g (.8) Gamba.3 Atlit lombat tinggi beusaha mencapai ketinggian maksimum yang paling besa Jangkauan Maksimum Misalkan peluu ditembakkan pada bidang data. Jangkauan maksimum adalah jaak aah hoizontal diuku dai tempat penembakan peluu ke tempat jatuhnya peluu (lihat Gamba. untuk lebih jelasnya). Untuk menentukan jangkauan maksium, telebih dahulu kita tentukan waktu yang dipelukan sampai peluu kembali ke tanah. 0

24 Jika ketinggian posisi pelempaan dan posisi peluu jatuh kembali ke tanah sama maka peluu akan jatuh kembali setelah selang waktu T T m (.9) Selajutnya, dengan menggunakan pesamaan (.6a) maka jangkauan maksimum peluu adalah R x v T v v xo xo x o xo v yo g ( Tm ) vxov yo (.0) g Petanyaan selanjutnya adalah beapa sudut penembakan aga tecapai jangkauan maksimum di bidang data? annya dapat dipeoleh dai pesamaan (.0). Dengan menggunakan hubungan vox vo cosθ dan v oy vo sinθ maka pesamaan (.0) dapat ditulis ( v R v o o cosθ )( v g o sinθ ) vo g (cosθ sinθ ) sin θ (.) g Nilai maksimum R dicapai jika uas kanan mencapai haga maksimum. Kaena haga maksimum fungsi sinus adalah satu dan tejadi ketika sudut sama dengan 90 o maka jangkauan maksimum twecapai jika θ 90 o, atau θ 45 o. Contoh. Peluu ditembakkan dengan laju awal 00 m/s dengan sudut elevasi 30 o. Tentukan a) Komponen kecepatan awal peluu b) Komponen dan kecepatan dan posisi peluu lima detik setelah penembakan.

25 c) Waktu saat peluu mencapai ketinggian maksium d) Ketinggian maksimum peluu e) Waktu yang dipelukan peluu mencapat sepeempat ketinggian maksium f) Waktu yang dipelukan peluu mencapai tanah kembali jika peluu ditembakkan pada bidang data g) Jangkauan maksimum peluu Kaena tidak ada penjelasan tentang kapan peluu ditembakkan maka untuk mudahnya kita ambil t o 0. a) Komponen kecepatan awal peluu o vxo vo cos θ 00 cos m/s o v yo v o sin θ 00 sin m/s b) Komponen kecepatan peluu saat t 5 s dihitung dai pesamaan (.5a) dan (.5b) v v 00 m/s x xo v y v yo gt m/s Komponen posisi peluu saat t 5 s dihitung dengan pesamaan (.6a) dan (.6b). Kaena tidak ada penjelsan di soal di mana peluu ditembakkan, untuk mudahnya kita ambil x o 0 dan y o 0. x xo + vxot m y y o + v yot gt m. c) Waktu yang dipelukan peluu mencapai ketinggian maksium dihitung dengan pesamaan (.7) v yo 00 tm 0 s g 0

26 d) Ketinggian maksimum peluu dihitung dengan pesamaan (.8) v yo (00) hm 500 m g 0 e) Waktu yangdipelukan peluu mencapai sepeempat ketinggian maksimum kita hitung sebagai beikut. h hm m 4 4 Selanjutnya kita gunakan pe samaan (.6b) dengan menggunakan definisi h y - y o h v t gt yo 5 00 t (/) 0 t atau 5 00 t 5 t t 0t ( 0) ( 0) t 0 5 3,34 s ( 0) + ( 0) t ,66 s Ada dua waktu yang kita peoleh kaena sepeempat ketinggian maksium dicapat dalam dua waktu, sebelum benda mencapai ketinggian maksium dan saat benda begeak dai ketinggian maksium menuju tanah. f) Waktu yang dipelukan peluu mencapai jangkauan maksium T t m 0 0 s. g) Jangkauan maksimum peluu 3

27 R v yo T m Beapa jangkauan maksimum jika peluu jatuh pada ketinggian yang bebeda dengan lokasi penembakan? Ini bisa tejadi jika peluu ditembakkan di pemukaan tanah yang tidak data. Sebagai ilustasi, lihat Gamba.3. Caa yang kita tempuh untuk menentukan jangkauan maksimum sebagai beikut. Tentukan waktu yang dipelukan peluu mencapai posisi jatuh, yaitu posisi vetikal yang memenuhi y y. Misalkan waktu tesebut adalah T t - t o. Dengan menggunakan pesamaan (.6b) kita peoleh atau y y + v sinθ T o o gt gt vo sinθ T + ( y yo ) 0 (.) Solusi untuk T dipeoleh dengan menggunakan metode standa beikut ini (solusi pesamaan ABC) T v o sinθ ± ( vo sinθ ) 4 ( g / ) ( y ( g / ) y o ) v sinθ ± ( vo sinθ ) g( y y g o o ) (.3) 4

28 R y -y o y o Xx y -x o Gamba.4 Peluu ditembakkan pada pemukaan yang tidak data Tedapat dua buah solusi untuk T yang dibeikan oleh pesamaan (.3), yaitu T v sinθ + ( vo sinθ ) g( y y g o o ) (.4a) T v sinθ ( vo sinθ ) g( y y g o o ) (.4b) Dai dua macam waktu di atas kita identifikasi bahwa T adalah waktu yang dipelukan benda mencapai posisi y pada saat begeak menuju ke puncak lintasan (saat begeak ke atas). Sedangkan T adalah waktu yang dipelukan benda mencapai posisi y setelah meninggalkan puncak lintasan (saat begeak ke bawah). Misalkan peluu jatuh kembali ke tanah setelah melewati puncak lintasan. Dengan demikian kita menggunakan T. Dai waktu tesebut kita dapat menentukan pepindahan benda dalam aah hoisontal dengan menggunakan pesamaan (.6a), yaitu X x x v cosθ T (.5a) o o Pepindahan benda dalam aah vetikal adalah 5

29 Y y (.5b) y o Akhinya, jangkauan peluu adalah X Y (.6) R + Lintasan Paabolik Dai pesamaan (.6a), jika kita anggap mula-mula peluu beada pada x o 0 maka kita dapat menulis x t to v cosθ o x v xo (.7) Masukkan t - t o dalam ungkapan pesamaan (.7) ke dalam pesamaan (.6b) sehingga dipeoleh y y o + v v yo x v xo g g x v xo yo yo + x x (.8) vxo vxo Pesamaan di atas tidak lain daipada pesamaan paabola. Kalian ingat pesamaan paabola mempunyai bentuk umum dapat mengidentifikasi A + Bx Cx. Untuk pesamaan (.8) kita y + A y o (.9a) B v yo / v xo (.9b) C ( / ) g / vxo (.9c) Kaena bentuk lintasan yang paabolik sepeti ini maka geak peluu seing disebut juga geak paabola. 6

30 Contoh. Sebuah batu dilempakan dengan laju awal 80 m/s dan membentuk sudut elevasi 45 o. Tentukan pesamaan yang menyatakan hubungan ketinggian dan jaak hoizontal batu. o vox v o cos θ 80cos m/s o voy v o sin θ 80sin m/s Misalk an posisi penembakan peluu adalah x o dan y o 0 maka dengan menggunakan pesamaan (.8) kita dapatkan hubungan antaa x dan y v y v oy ox x g v ox x 5 5 x 0 ( 5 ) x x x 50 Contoh.3 Sebuah peluu yang ditembakkan dengan laju dan sudut elevasi tetentu memiliki lintasan yang memenuhi pesamaan y 4 + 0,5x 0,x (semua dalam satuan SI) Bedasakan pesamaan tesebut tentukan i) ketinggian tempat peluu ditembakkan ii) laju awal peluu iii) sudut elevasi penembakan iv) ketinggian maksimum lintasan peluu v) jangkauan maksimum peluu jika tanah meupakan bidang data Dai soal kita dapatkan A -4, B 0,5 dan C -0,. Dengan menggunakan pesamaan (.9a) sampai (.9c) kita dapatkan 7

31 y o -4 m v oy v ox 0,5 g 0, v ox i) Dai pesamaan petama tampak bahwa ketinggian tempat peluu ditembakkan adalah 4 m. ii) Dai pesamaan teakhi kita dapatkan g / 0,4 0 / 0,4 5, atau v 5 m/s. v ox ox Dai pesamaan kedua dipeoleh v 0, 5,5 /s. Dengan demikian, laju awal oy v ox peluu adalah v o vox + voy 5 +,5 5,6 m/s iii) Sudut elevasi penembakan memenuhi voy tan θ 0,5 v ox yang membeikan θ 7 o. iv) Ketinggian maksimum lintasan peluu voy (,5) hm 0,3 m g 0 v) Jangkauan maksimum voxv R g oy 5,5 0,5 m Soal dan Penyelesaian ) Seeko haimau meloncat aah hoizontal pada sebuah batu yang yingginya 7,5 mete dengan laju awal 4,5 m/s. Beapa jauh dai dasa batu haimau mendaat? 8

32 4,5 m/s 7,5 m X? o v ox v o cos θ 4,5cos0 4,5 m/s v cos θ 4,5sin 0 oy v o o 0 Ketinggian haimau tiap saat y gt y + v t o oy 7, t 7,5 5 Haimau mencapai dasa ketika y 0 atau pada saat waktu t yang memenuhi 0 7,5 5t atau t t 7,5/5,5 t, 5, s Jauh dai dasa batu tempat haimau mendaat adalah x vox t 4,5, 5,5 m ) Seoang penyelam meloncat dalam aah hoisontal dengan laju,6 m/s pada sebuah tebing kemudian menyentuk ai 3 detik kemudian. Beapa tinggi tebing dai pemukaan ai dan beapa jauh dai dasa tebing penyelam itu menyentuh ai?,6 m/s y? total waktu 3 s X? 9

33 o ox v o cos θ,6cos,6 m/s v 0 o oy v o cos θ,6sin 0 v 0 Komponen geak aah vetical y y o + v oy t gt Ketika penyelam menyentuh ai, y 0 sehingga 0 atau y o yo y o 45 m Jadi tinggi tebing adalah 45 m. 45 Jaak jatuh pengamat dai dasa tebing x vox t,6 3 4,8 m 3) Romeo melempakan keleeng pada jendela kama Juliet. Tinggi jendela adalah 8 mete dan jaak tembok dai tempat bedii Romeo adalah 9 mete. Romeo melempa keleeng tesebut sedemikian sehingga tepat saat mencapai jendela, keleeng tesebut hanya memiliki kecepatan aah hoizontal. Beapa cepat keleeng mengenai jendela? v? 8 m 9 m 30

34 Tepat di jendela, keleeng mencapai ketinggian maksimum lintasannya. Jadi h 8 m m Kaena komponen geak vetical meupakan geak dengan pecepatan konstan (pecepatan gavitasi ke bawah) maka tepenuhi hubungan v y voy gh Saat mencapai ketinggian maksimum, v y 0 sehingga 0 gh 0 8 v v oy m voy oy 60 atau v 60,65 m/s oy Waktu untuk mencapai ketinggian maksium v oy,65 t m,7 s g 0 Jaak tempat bedii Romeo ke tembok sama dengan setengah jangkauan maksimum. Jadi jangkauan maksimum R 9 8 m. Waktu yang dipelukan untuk mencapai jangkaaun maksimum adalah t m. Dengan demikian, R v ox t ) atau ox ( m 8 v (,7) v ox 8,54 7, m/s,54v ox Kaena geak aah mendata meupakan geak dengan kecepatan konstan maka laju keleeng saat mengenai jendeala adalah 7, m/s. 4) Batu dilontakan dengan laju awal 0 m/s dan sudut elevasi 37o. Beapakah laju batu saat menyentuh tanah kembali dan sudut yang dibentuk vecto kecepatannya? Komponen kecepatan batu tiap saat 3

35 v x v xo y 0 m/s 37 o v x α? x v y v? v y v yo gt Untuk menentukan kecepatan batu saat menyentuh tanah kembali, pelu kita tentukan telebih dahulu waktu yang dipelukan batu untuk kembali menyenyuh tanah, yaitu o v yo vo sinθ 0 sin 37 0 (3/ 5) T tm,4 s. g g 0 0 Kecepatan batu saat menyentuh tanah v x v xo v o o cos θ 0 cos37 0 (4 / 5) 6 m/s v y v gt v sin θ gt yo o o 0 sin 37 0,4 0 (3/ 5) 4 m/s Tanda negatif menyatakan bahwa aah Laju benda saat menyentuh tanah v y ke bawah. v v x + v 6 + ( ) m/s y Sudut yang dibentuk batu dengan aah hoizontal memenuhi v 4 tanα y atau α -37 o 6 5 v x 5) Sebuah pesawat peang tebang dalam aah mendata dengan laju 00 m/s. Pesawat tesebut dilengkapi dengan senapan yang dapat memuntahkan peluu dengan laju 400 3

36 m/s. Suatu saat pilot mengaahkan moncong senapan dengan membentuk sudut elevasi 37o dan menembakkan peluu dengan senapan tesebut. Jika saat itu ketinggian pesawat dai tanah adalah km, beapa ketinggian maksium lintasan peluu dai tanah dan beapa jangkauan maksimum peluu dai tanah? Bedasakan infomasi soal kita peoleh Ketinggian awal peluu y o km 000 m Sudut elevasi peluu menuut pilot: ϕ 37o Laju pesawat (aah hoizontal) u 00 m/s Laju awal peluu tehadap pesawat w o 400 m/s. 400 m/s 37 o 00 m/s 000 m y m.? X.? Maka komponen kecepatan awal peluu tehadap pesawat: o 4 wox w o cos ϕ 400 cos m/s 5 o 3 woy w o sin ϕ 400 sin m/s 5 Komponen kecepatan awal peluu tehadap tanah vox wox + u m/s v w 40 m/s oy oy Waktu yang dipelukan peluu mencapai puncak lintasan 33

37 t v g oy m s Ketinggian maksimum lintasan peluu y m y o + v oy t m gt (/) 0 (4) m m Untuk menentukan jangkan maksimum peluu, mai kita telebih dahulu tentukan waktu yang dipelukan peluu mencapai tanah, yaitu saat y 0. atau 0 yo + voyt gt T (/) 0 T T 5 T T 48T 00 0 T, ( 48) ± ( 48) 4 ( 00) 48 ± ± ± 55,7 Dipeoleh T (48+55,7)/ 5,85 s T (48-55,7)/ -3,85 s Kaena waktu haus positif maka kita ambil T T 5,85 s. Dengan demikian, jangkauan maksimum R v T 50 5, ox peluu adalah m. Soal Latihan ) Sebuah bola dilempakan aah mendata dai puncak bangunan dengan laju, m/s. Bola tesebut mendaat pada jaak 36 mete dai dasa bangunan. Beapa tinggi bangunan tesebut? ) Bola sepak yang beada di tanah ditendang dengan laju 0 m/s pada sudut elevasi 34

38 37 o. Beapa lama waktu kemudian bola tesebut menyentuh tanah kembali? 3) Seoang anak melempa batu ke laut dai sebuah tebing dengan kecepatan awal 5 m/s dan sudut elevsai 37 o. Batu tesebut melewati tepi tebing tepat pada ketinggian yang sama dengan ketinggian pelempaan. Batu mendaat di pemukaan laut yang lebih endah 50 mete di bawah puncak tebing. (a) Cai jaak anak ke tepi tebing. (b) jaak hoizontal dai tepi tebing ke tempat jatuh batu di pemukaan laut. (c) Kecepatan batu tepat saat akan menyentuh pemukaan laut. 4) Seoang pemain bakset melempa bola dai ketinggian 7 kaki dai lantai. Jaak pemain tesebut dai keanjang adalah 4 kaki. Bola tesebut masuk ke dalam keanjang yang tingginya 0 kaki di atas lantai dalam waktu,5 detik sejak dilempakan. Cai komponen hoisontal kecepatan awal, komponen vetical kecepatan awal, dan ketinggian maksimum yang dicapai bola diuku dai lantai. 5) Sebuah bola baseball dipukul dengan laju 00 kaki/s dan sudut elevasi 53 o. Bola tesebut meninggalkan pemukul yang beketinggian 4 kaki dai tanah. Beapa ketinggian bola dai tanah seta jaak hoizontal dai tempat pemukulan (a) setelah 3 detik, (b) setelah 4 detik, (c) apakah bola snggup mencapai ketinggian 0 kaki pada jaak 80 kaki dai tempat pemukulan untuk membuat home-un? 6) Cai laju minimum bola baseball haus dipukul dengan sudut elevasi 53 o dai ketinggian 4 kaki untuk melampau ketinggian 40 kaki pada jaak 30 kaki dai tempat pemukulan. 7) Seoang pegolf memukul bola kelua dai tempat bepasi. Jika bola tebang dengan sudut elevasi 53 o, beapa kecepatan yang dimiliki bola aga jatuh pada tempat sejauh 60 m? Beapa ketinggian yang dicapai bola? Beapa lama bola beada di udaa? 8) Seoang atlit lompat jauh meninggalkan tanah dengan sudut elevasi 30 o dan sanggup meloncat sejauh 7,80 m. Beapakan kecepatan awal pelompat jauh tesebut? 35

39 Bab 3 Geak Melingka Banyak geak melingka yang kita amati dalam kehidupan sehai-hai. Geak oda kendaaan, geak CD, VCD dan DVD, geak kendaan di tikungan yang bebentuk iisan lingkaan, geak jaum jam, geak satelit mengitasi bumi, olle coaste, dan sebagainya adalah contoh geak melingka. Secaa sedehana geak melingka didefinisikan sebagai geak benda pada lintasan beupa keliling lingkaan, baik lingkaan penuh atau tidak penuh. Cii khas dai geak melingka adalah jaak benda ke suatu titim acuan, yang meupakan titik pusat lingkaan selalu tetap. Sifat lain yang menonjol pada geak melingka adalah aah kecepatan selalu menyinggung lintasan. Ini atinya pada geak melingka kecepatan selalu tegak luus jai-jai lingkaan. 3. Geak Melingka Beatuan Mai kita mulai pembahasan pada geak melingka yang sedehana, yaitu geak melingka beatuan. Pada geak ini, untuk selang waktu t yang sama, panjang lintasan yang ditempuh benda selalu sama. Laju benda sepanjang lintasan selalu tetap. Ingat, hanya laju yang konstan, tetapi kecepatan tidak konstan, kaena aahnya selalu beubah-ubah. t m t v t Gamba 3. Geak melingka beatuan. Pada selang waktu t yang sama, panjang lintasan yang ditempuh benda selalu sama. Mai kita tuunkan pesamaan-pesamaan untuk geak melingka beatuan. Jika R adalah jai-jai lintasan maka panjang satu lintasan penuh (yaitu keliling 36

40 lingkaan) adalah s πr (3.) Jika waktu yang dipelukan benda melakukan satu putaan penuh adalah T, maka laju benda memenuhi s πr v (3.) T T Satu lingkaan penuh membentuk sudut 360 o. Bila dinyatakan dalam adian maka satu lingkaan penuh membentuk sudut yang melakukan geak melingka beatuan θ π adian. Sehingga kecepatan sudut benda θ π ω (3.3) T T Bedasakan pesamaan (3.) dan (3.3) dipeoleh hubungan antaa laju benda dengan kecepatan sudut v ωr (3.4) Contoh 3. Sebuah benda yang diikat pada tali yang panjangnya 0,5 mete diputa dengan waktu satu putaan penuh adalah 0, sekon. Tentukan (a) laju putaan benda (b) kecepatan sudut benda Keliling lintasan s πr 3,4 0,5 3,5 m Laju benda v s/t 3,4/0, 5,7 m/s Kecepatan sudut benda ω π/t 3,4/0, 3,4 ad/s. 3. Pecepatan Sentipetal Untuk geak melingka beatuan laju benda selalu tetap. Tetapi tidak demikian dengan kecepatan. Aah kecepatan selalu menyinggung lintasan sehingga selalu beubah-ubah setiap kali tejadi peubahan posisi benda. Peubahan kecepatan hanya 37

41 mungkin tejadi jika ada pecepatan. Jadi, selama benda begeak melingka beatuan, pada benda selalu ada pecepatan. Pecepatan tesebut hanya mengubah aah benda, tanpa mengubah lajunya. Peubahan kecepatan yang demikian hanya mungkin jika aah pecepatan selalu tegak luus aah kecepatan benda. Yang beati aah pecepatan selalu seaah jai-jai ke aah pusat lingkaan. Dai mana pecepatan ini muncul? Tentu dai gaya yang beaah ke pusat lingkaan. Gaya macam ini banyak sekali. Untuk satelit yang mengelilingi Bumi, pecepatan ke pusat dihasilkan oleh gaya gavitasi. Untuk elekton yang mengelilingi inti, pecepatan ke pusat dihasilkan oleh gaya Coulomb. Untuk benda yang diikat pada tali dan diputa, pecepatan ke pusat dihasilkan oleh tali (gaya tegang tali). Untuk kendaaan yang begeak pada jalang yang melingka, pecepatan ke pusat dihasilkan oleh gaya gesekan pemukaan jalan dengan oda. Jika gaya yang bekeja pada benda bemassa m adalah F c, maka pecepatan ke pusat memenuhi Fc ac (3.5) m Dai pesamaan (3.5) tampak bahwa besanya pecepatan ke pusat dapat ditentukan dai infomasi tentang gaya. Tetapi kita tidak selalu bias menguku gaya tesebut secaa langsung. Adakah caa lain menentukan besanya pecpatan ke pusat tanpa pelu mengetahui gaya? annya ada. Tenyata nilai pecepatan ke pusat dapat dihitung pula dai laju benda yang beeak melingka. Untuk menunjukkan hubungan tesebut, mai kita lihat Gb 3.. Kita lihat pada Gb 3.. i) Jai-jai lintasan benda adalah R. ii) Pada titik A benda memiliki kecepatan v. iii) Pada titik B benda memiliki kecepatan v. iv) Untuk geak melingka beatuan, besa v besa v v v) Lama waktu benda begeak dai A ke B adalah t. vi) Peubahan kecepatan benda adalah v v v. Aah v tampak pada Gb 3.b. vii) Dengan demikian, pecepatan benda adalah a v / t. Selama begeak dai A ke B, panjang lintasan yang ditempuh benda adalah s. Laju benda memenuhi 38

42 s v (3.6) t (a) (b) A v R θ B v v v θ v u Gamba 3. Menentukan pecepatan sentipetal Hubungan antaa s, R dan θ adalah s θ (3.7) R di mana θ dinyatakan dalam adian. Sudut θ juga meupakan sudut yang dibentuk oleh vecto v dan v (lihat Gb 3. (b).) sehingga dapat ditulis pula u u θ (3.8) besanya v v Akhinya kita dapatkan u v s R atau 39

43 v u s (3.9) R Jika t sangat kecil, maka nilai u sangat dekat dengan v, dan v mengaah ke pusat lingkaan. Kita selanjutnya dapat menulis v v s (3.0) R Pecepatan benda menjadi a v t s t v R v v R v R Jadi pecepatan ke pusat yang dialami benda dapat dihitung bedasakan laju benda, yaitu v a (3.) R Pecepatan dalam ungkapan demikian dikenal dengan pecepatan sentipetal. Contoh 3. Lintasan bulan mengelilingi bumi hampi menyeupai lingkaan dengan jai-jai km. Peiode evolusi bulan mengelilingi bumi adalah 7,3 hai. Beapa pecepatan sentipetal bulan ke aah bumi? Dai infomasi di soal kita dapatkan R km m 3, m. Peiode T 7,3 hai 7,3 hai 4 (jam/hai) 3600 (s/jam), s. Keliling lintasan bulan s πr π 3, m,4 0 9 m. Laju geak melingka bulan 9 s,4 0 v,0 0 3 m/s. T 6,

44 Pecepatan sentipetal bulan v a R 3 (,0 0 ) 8 3,84 0,7 0-3 m/s. 3.3 Tetap, Lepas, dan Jatuh Misalkan gaya ke pusat yang bekeja pada benda adalah F c. Pecepatan yang ditimbulkan oleh gaya ini pada benda bemassa m adalah a c F c /m. Aga benda m tetap pada lintasan lingkaan, maka lajunya, v c, haus memenuhi Fc m vc R atau F R v c c m (3.) Ada bebeapa fenomena yang dipelihatkan oleh geak melingka sepeti diilustasikan oleh Gb 3.3. v > v c v < v c v c Gamba 3.3 Peubahan lintasan benda apabila tejadi peubahan laju i) Jika laju benda tiba-tiba lebih besa dai v c maka benda kelua dai litasan lingkaan dan selanjutnya lepas. ii) Jika laju benda tiba-tiba lebih kecil dai v c maka benda akan membelok ke aah pusat lingkaan 4

45 iii) Benda akan tetap pada lintasan lingkaan hanya jika laju benda pesis sama dengan v c. 3.4 Satelit Satelit adalah benda yang mengitai planet. Contoh satelit adalah bulan yang selalu mengitai bumi. Manusia juga telah meluncukan satelit-satelit buatan. Jumlahnya sudah mencapai ibuan, mengelilingi bumi untuk bebagai tujuan sepeti komunikasi, navigasi, milite, pemetaan, ilmu pengetahuan, dan sebagainya. Aga satelit tetap pada obitnya, yaitu tidak lepas maupun tidak jatuh ke bumi maka lajunya haus memenuhi pesamaan (3.). Gaya yang bekeja pada satelit adalah gaya gavitasi bumi, yang memenuhi M Bm Fc G (3.3) R dengan G konstnta gavitasi univesal 6, N m /kg, M B adalah massa bumi, m massa satelit, dan R jaak satelit ke pusat bumi. Dengan memasukkan pesamaan (4.3) ke dalam pesamaan (4.) maka aga tetap pada lintasannya, laju satelit haus memenuhi v M Bm R M B G G (3.4) R m R c Peiode evolusi satelit memenuhi T Keliling obit πr (3.5) v c v c Contoh 3.3 Sebuah satelit mengobit bumi pada ketinggian 000 km dai pemukaan bumi. Beapa laju satelit aga begeak dalam lintasan lingkaan? Beapa kali satelit mengobit bumi selama hai? Diketahui massa bumi 5, kg, jai-jai bumi 6, m, konstant gavitasi univesal 6, N m kg -. 4

46 h R B Gamba 3.4 Misalkan massa satelit m Jaak satelit ke pusat bumi Laju satelit aga tetap pada obitnya R R + B h 6,38 06 m m 7, m v M R 5,98 0 7, B 7 c G 6,67 0 5,4 0 7, m s - 6 Peiode obit satelit T πr v c 3,4 7, , s 6306/3600 jam,75 jam. Atau selama sehai satelit mengelilingi bumi sebanyak 4/,75 3,7 kali. 3.5 Jalan Raya Ketika kendaaan melewati jalan yang menikung, pengendaa haus hati-hati dan haus menguangi kecepatan. Kenapa? Jika kecepatan telalu tinggi maka kendaaan dapat telempa kelua dai jalan. Selama melewati lintasan jalan menikung (bebentuk lingkaan) kendaaan memiliki pecepatan sentipetal akibat gesekan antaa oda kendaaan dan jalan aya. Jika f c adalah gaya gesekan, aga beada pada lintasan laju mobil haus memenuhi 43

47 fcr vc (3.6) m dengan R adalah jai-jai kelengkungan jalan aya dan m adalah massa kendaaan. Jika laju kendaaan lebih besa dai v maka kendaaan akan telempa kelua. Jadi, selama c melewati lintasan lingkaan, laju kendaaan tidak boleh telalu besa. Kendaaan yang odanya mulai licin haus lebih behati-hati lagi kaena gaya gesekan antaa oda dan jalan aya lebih kecil. Gamba 3.5 Ketika melewati lintasan melengkung, kendaaan haus behati-hati dan menguangi kecepatan 3.6 Geak Melingka Beubah Beatuan Kita sudah membahas geak melingka beatuan dengan sifat laju benda selalu konstan. Namun, bisa juga benda yang begeak melingka memiliki laju yang beubah-ubah tehadap waktu. Geak semacam ini tidak lagi dapat digolongkan sebagai geak melingka beatuan. Sepeti ditunjukkan dalam Gb 3.6, pada geak melingka tidak beatuan muncul dua macam pecepatan yaitu: (i) Pecepatan ke pusat lintasan, a s, (ii) Pecepatan tangensial yang aahnya menyinggung lintasan benda (sejaja dengan aah kecepatan), a. t Jika pecepatan benda aah tangensial selalu konstan maka geak melingka semacam ini disebut geak melingka beubah beatuan. Untuk geak melingka beubah beatuan, kebegantungan laju tehadap waktu dapat ditulis sebagai v v a t (3.7) o + t 44

48 dengan t waktu, vo laju benda saat t 0, v laju benda saat t sembaang, at pecepatan tangensial benda (menyinggung lintasan). Kalian pehatikan, hubungan di atas pesis sama dengan hubungan untuk geak luus beubah betuan. v a s a s v a t Gamba 3.6 Pada geak melingka beubah beatuan, benda memiliki dua pecepatan sekaligus, yaitu pecepatan sentipetal ke pusat dan pecepatan tangensial yang menyinggung lintasan. Makin besa laju benda, makin besa pula pecepatan sentipetalnya. Jadi, meskipun besa pecepatan tangensial tetap, tetapi pecepatan sentipetal selalu beubah menuut pesamaan a s ( v + a t) v o t (3.8) R R Dai umus laju, kita dapat menentukan kecepatan sudut benda sebagai fungsi waktu sebagai beikut ( v + a t) v o t vo at ω + t (3.9) R R R R Pesamaan (3.9) dapat disedehanakan menjadi ω ω o + αt (3.0) 45

49 dengan ω R adalah kecepatan sudut benda saat t 0, ω adalah kecepatan o v o / su dut b enda saat t sembaang, α a t / R adalah pecepatan sudut benda. Tampak bahwa kecepatan sudut meupakan fungsi linie dai waktu. Sudut yang ditempuh benda yang melakukan geak melingka beubah beatuan antaa selang waktu t 0 sampai sembaang waktu t sembaang adalah θ t 0 ω dt t ( ω αt) o + 0 t dt ω o dt + α t dt 0 t 0 ω t t o + α Jika saat t 0 posisi sudut benda adalah θ o dan pada saat t sembaang posisi sudut benda adalah θ maka θ θ - θ o. Dengan demikian kita peoleh atau ot θ θ t o ω + α θ ot + t θ o + ω α (3.) Contoh 3.4 Sebuah tabung pengeing beputa dai keadaan diam hingga mencapai kecepatan sudut 800 pm (otation pe minute) dalam 40 s. Hitunglah sudut yang telah diputai oleh tabung tesebut dan jumlah putaan yang telah dilakukan selama waktu tesebut. Kecepatan sudut akhi ω 800 pm 800 π ad/min 800 π ad/60 s 83,7 46

50 ad/s. Pecepatan sudut α (ω - ω o )/t (83,7-0)/40, ad/s. Sudut yang diputai tabung Sudut α t θ ω o t +, ad. yang dibentuk selama satu putaan penuh adalah π ad. Jadi, jumlah putaan yang dilakukan tabung adalah 680/π 67,5 putaan. Soal dan Penyelesian ) Sebuah mobil memiliki oda bejai-jai 0,55 m. Cai kecepatan sudut dan pecepatan sentipetal titik yang beada di pemukaan oda ketika mobil begeak dengan laju 30 m/s. Kecepatan sudut titik di pemukaan oda ω v / R 30/0,55 54,5 ad/s. Pecepatan sentipetal titik di pemukaan oda a v / R (30) /0, m/s. ) Hitunglah laju dan pecepatan sentipetal pada benda yang beada di khatulistiwa bumi akibat otasi bumi. Jai-jai bumi di khatulistiwa adalah 6380 km. R 6380 km 6, m. Peiode otasi bumi T hai 4 jam 3600 s/jam s Laju titik di khatulistiwa bumi v πr / T 3,4 6, / m/s. Pecepatan sentipetal benda di khatulistiwa a v / R (464) /6, ,034 m/ s. 3) Sebuah bintang neuton yang bemassa kg dan jai-jai 0 km beotasi dengan peiode 50 ms. (a) Beapa pecepatan sentipetal dan (b) gaya sentipetal pada benda bemassa kg yang beada di pemukaan bintang tesebut. Laju putaan benda di pemukaan bintang 47

51 πr v T 3, , m/s (a) Pecepatan sentipetal benda di pemukaan bintang 6 v (,56 0 ) a, m/s R 6 0 (b) Gaya sentipetal pada benda F m a,58 0 6, N 4) Sebuah mobil balap begeak dai keadaan diam di lintasan balap bebentuk lingkaan dengan jai-jai 500 m dan pecepatan konstant dan mencapai laju 35 m/s dalam detik. (a) Beapa pecepatan aah menyinggung lintasan dan (b) pecepatan sentipeal seta pecepatan total ketika laju mobil 30 m/s? (a) Pecepatan aah menyinggung lintasan a v v ) / t (35-0)/ 3, m/s. t ( o (b) Saat laju mobil 30 m/s, pecepatan sentipetal adalah a v R 30 s / /500,8 m/s. Pecepatan total mobil (kaena a t dan a s saling tegak luus) adalah a T a + a s 3, +,8 3, t 7 m/s. 5) Pada laju minimum beapakah sebuah olle-coaste yang sedang beada di puncak lintasan (menghadap ke bawah) haus begeak aga olle-coate tidak lepas dai lintasan? Anggap jai-jai kelengkungan lintasan adalah 8,6 m. Pecepatan aah ke bawah yang dialami olle-coaste adalah pecepatan gavitasi sebesa 0 m/s. Aga olle coaste tidak jatuh maka lajunya haus menghasilkan pecepatan sentipetal yang lebih besa atau sama dengan pecepatan gavitasi. Atau laju minimum olle-coate haus memenuhi 48

52 v g, atau v gr 0 8, 6 9,3 m/s. R Soal Latihan ) Sebuah bintang neuton yang bemassa kg dan jai-jai 0 km beotasi dengan peiode 50 ms. Beapa pecepatan sentipetal dan gaya gavitasi pada benda bemassa kg yang beada di pemukaan bintang tesebut. ) 3) 4) 5) Sebuah pesawat jet tebang dengan laju 800 km/jam dan membentuk lintasan dengan jai-jai 6 km. Bepakah pecepatan sentipetal pesawat? Beapakah pecepatan tesebut dinyatakan dalam pecepatan gavitasi bumi g? Pada lomba balap di Sentul, sebuah mobil begeak dengan pecepatan menyinggung lintasan yang konstant pada lintasan bebentuk setengah lingkaan dengan jai-jai 00 m. Dai keadaan diam, mobil mencapai ujung lintasan sepeempat lingkaan dengan laju 30 km/jam. Beapakah pecepatan menyinggung lintasan (tangensial) dan pecepatan sentipetal mobil? Sebuah oto sentifuge beotasi pada kecepatan pm (otation pe minute). Tabung-tabung yang panjangnya 4 cm ditempatkan dalam sentifue tsb di mana salah mulut tabung beada pada jaal 6 cm dai sumbu otasi dan dasanya beada pada jaak 0 cm dai sumbu otasi. Hitunglah pecepatan sentipetal di dasa dan di mulut tabung dinyatakan dalam g (pecepatan gavitasi bumi). Sebuah pulsa memiliki diamete 5 km dan beotasi dengan fequendi 9 Hz. Hitung laju dan pecepatan sentipetal titik di khatulistiwa pulsa tesebut. 49

53 Bab 4 Hukum Newton dan Dinamika Sejauh ini kita sudah membahas bemacam-macam geak dalam dua dimensi. Namun, ada yang kuang dalam pembahasan-pembahasan tesebut, yaitu kita mempelajai geak tanpa peduli dengan apa yang menyebabkan geak itu tejadi. Kita mempelajai benda memiliki pecepatan, tetapi kita tidak penah betanya mengapa pecepatan itu muncul. Bidang fisika yang hanya mempelajai geak tanpa mengindahkan penyebab munculnya geak tesebut dinamakan kinematika. Dalam kinematika kita membahas benda yang tiba-tiba begeak, tiba-tiba behenti, tiba-tiba beubah kecepatan, tanpa mencai tahu mengapa hal tesebut tejadi. Pada bab ini dan bebeapa bab beikutnya kita akan mempelajai geak beseta penyebab munculnya geak tesebut. Dalam fisika bidang ini dinamakan dinamika. 4. Hukum Newton tentang Geak Newton meumuskan hukum-hukum geak yang sangat lua biasa. Newton menemukan bahwa semua pesoalah geak di alam semesta dapat diteangkan dengan hanya tiga hukum yang sedehana. Hukum Newton I Semua benda cendeung mempetahankan keadaannya: benda yang diam tetap diam dan benda yang begeak, tetap begeak dengan kecepatan konstant Hukum Newton II Sebelum mengungkapkan hokum Newton II mai kita definisikan besaan yang namanya momentum yang meupakan pekalian dai massa dan kecepatan, yaitu p mv (4.) dengan p momentum, m massa, dan v kecepatan. Hukum Newton II menyatakan bahwa laju peubahan momentum benda sama dengan gaya yang bekeja pada benda tesebut dp F (4.) dt 50

54 Pesamaan (4.) dapat juga diungkapkan dalam bentuk lain. Kita dapat menulis mdv + vdm dv F m + v dt dt dm dt dm ma + v (4.3) dt Khusus untuk benda yang tidak mengalami peubahan massa selama begeak maka dm / dt 0 sehingga F ma (4.4) Pesamaan (4.) atau (4.3) meupakan hukum II Newton dalam bentuk paling umum. Ke dua pesamaan tesebut diteapkan untuk kasus di mana massa benda beubah-ubah selama geak atau tidak beubah. Massa benda yang beubah selama geak dijumpai pada oket atau benda yang begeak mendekati laju cahaya di mana efek elativitas sudah mulai muncul. Pada kecepatan tesebut massa benda begantung pada kecepatanya. Untuk kondisi di mana massa benda tidak beubah tehadap waktu, maka pesamaan (4.4) dapat langsung diteapkan. Hukum Newton III Hukum ini mengungkapkan kebeadaan gaya eaksi yang sama besa dengan gaya aksi, tetapi belawanan aah. Jika benda petama melakukan gaya pada benda kedua (gaya aksi), maka benda kedua melakukan gaya yang sama besa pada benda petama tetapi aahnya belawanan (gaya eaksi) Jika kamu mendoong dinding dengan tangan, maka pada saat besamaan dinding mendoong tanganmu dengan gaya yang sama tetapi belawanan aah. Bumi menaik tubuh kamu dengan gaya yang sama dengan beat tubuhmu, maka pada saat besamaan tubuh kamu juga menaik bumi dengan gaya yang sama besa tetapi belawanan aah. 4. Diagam Gaya Bebas Dalam hukum Newton II sepeti diungkapkan dalam pesamaan (4.) - (4.4), yang dimaksud gaya F adalah gaya total yang bekeja pada benda. Jika pada benda bekeja sejumlah gaya maka semua gaya tesebut haus dijumlahkan telebih dahulu (secaa vekto) sebelum meneapkan pesamaan (4.) - (4.4) untuk menghitung 5

55 pecepatan. Untuk menghandai kesalahan dalam menghitung gaya-gaya yang bekeja pada benda, kita akan sangat tetolong apabila telebih dahulu melukis diagam gaya bebas yang bekeja pada benda. Contoh, sebuah benda beada di atas bidang data yang licin ditaik ke kanan dengan gaya F (lihat gamba 4.) Gamba 4. Benda di atas bidang data yang licin diatik ke kanan dengan gaya F. N T W Gamba 4. Diagam gaya bebas pada benda. Gaya-gaya yang bekeja pada benda adalah: Gaya beat (akibat gavitasi) yang aahnya ke bawah Gaya penahan yang dilakukan oleh lantai yang aahnya ke atas, tegak luus lantai. 5

56 Gaya ini disebut gaya nomal. Gaya taikan tali yang aahnya ke kanan Dengan demikian, diagam gaya pada benda tampak pada gb 4. Contoh 4. Sebuah balok beada di atas bidang miing yang licin dengan sudut kemiingan α tehadap bidang data. Gambakan diagam gayanya. Gaya-gaya yang bekeja pada benda adalah Gaya beat (akibat gavitasi) yang aahnya ke bawah. Gaya nomal yang tegak luus bidang. Diagam gaya benda tampak pada gamba 4.3 N W α Gamba 4.3 Diagam gaya pada benda yang beada di atas bidang miing. 4.3 Aplikasi Hukum Newton Untuk lebih memahami peneapan hukum-hukum Newton mai kita lihat aplikasinya dalam bebeapa contoh beikut ini. Benda di atas bidang data Benda bemassa m di atas bidang data yang licin ditaik dengan gaya F sepeti tampak pada Gb 4.4. Kita akan menggambakan diagam gaya bebas dan menentukan pecepatan benda. 53

57 F Gamba 4.4 Benda dikenai gaya mendata F. Diagam gaya bebas yang bekeja pada balok tampak pada Gb Gaya-gaya yang bekeja hanyalah gaya taik F, gaya beat W, dan gaya nomal yang dilakukan lantai N. N F W Gamba 4.5 Diagam gaya bebas yang bekeja pada balok Gaya netto dalam aah vetical nol kaena N W sehingga tidak ada pecepatan dalam aah veikal. Gaya netto dalam aah hoizontal adalah F sehingga pecepatan dalam aah hoizontal adalah a F m Jika ada bebeapa gaya yang bekeja pada benda secaa seentak maka untuk menghitung pecapetan, kita hitung telebih dahulu gaya total yang bekeja pada benda. Gaya total yang bekeja pada benda 54

58 F F F F + F (4.5) Gamba 4.6 Benda dikenai gaya mendata F dan F yang seaah. Diagam gaya bebas yang bekeja pada benda tampak pada Gb. 4.7 N F F W Gamba 4.7 Diagam gaya bebas pada benda di Gb 4.6. Gaya total dalam aah vetical nol kaena gaya N dan W sama besa sehingga tidak ada pecepatan dalam aah vetikal. Gaya netto dalam aah hoizontal adalah F + F. Dengan demikian pecepatan benda dalam aah hoizontal adalah F F F a (4.6) m m + Jika kedua gaya yang bekeja pada benda belawanan aah, sepeti pada Gb. 4.8, maka gaya total dalam aah vetical tetap nol sedangkan gaya total dalam aah hoizontal adalah F F. Dengan demikian pecepatan dalama aah hoisontal adalah 55

59 F F F a (4.7) m m F F Gamba 4.8 Dua gaya yang belawanan aah yang bekeja pada benda secaa besamaan F α N F sins α α F cos α W Gamba 4.9 (kii) Benda dikenai gaya F yang aahnya membentuk sudut α tehadap aah mendata, (kanan) diagam gaya yang bekeja pada benda Untuk kasus beikutnya kita lihat gaya yang aahnya tidak hoisontal sepeti pada Gb. 4.9 (kii). Gaya F dapat diuaikan atas dua komponen yang seaah dan tegak luus bidang data. Penguaian tesebut memudahkan pehitungan. Komponen F yang sejaja bidang data adalah F cosα, dan yang tegak luus bidang data adalah F sinα. Dengan penguaian ini, kita dapat menggamba diagam gaya sepeti pada Gb 4.9 (kanan) i) Gaya total aah hoizontal yang bekeja pada benda adalah 56

60 F h F cosα (4.8) sehingga pecepatan benda aah hoizontal adalah a h Fh F cosα (4.9) m m ii) Gaya total aah vetikal yang bekeja pada benda F v F sin α + N W (4.0) Ada dua kondisi yang mungkin dipenuhi untuk geakan dalam aah vetikal. Kedua kondisi tesebut adalah: a) Jika benda belum begeak dalam aah vetikal maka 0 sehingga F sin α + N W 0 atau F v N W F sinα (4.) Kondisi ini dipenuhi jika lebih kecil daipada beat benda. F sin α < W yaitu komponen gaya F aah vetikal b) Jika benda sudah mulai begeak dalam aah vetikal maka N 0 sehingga gaya aah vetikal yang bekeja pada benda adalah F v F sin α W (4.) Kondisi ini dipenuhi jika F sin α > W. Pecepatan benda aah vetical adalah a h F v m F sinα W m (4.3) Contoh 4. Sebuah benda ditaik dengan gaya F 00 N ke kana membentuk sudut 37 o dengan aah hoizontal dan gaya F 0 N ke kii. Jika massa benda 0 kg, tentukan 57

61 pecepatan benda. Tentukan juga pecepatan benda jika F dipebesa menjadi 00 N. Gaya-gaya yang bekeja pada benda tampak pada Gb. 4.0 (kii). Untuk mudahnya, kita ganti F dengan dua buah gaya yang saling tegak luus, yaitu F cos 37 o (aah mendata) dan F sin 37 o (aah vetical). Diagam gaya yang bau tampak pada Gb 4.0 (kanan) N F 37o o N F sins 37 o 37 o F cos 37o o F F W W Gamba 4.0 (kii) Diagam gaya yang bekeja pada benda, (kanan) diagam gaya bau yang ekivalen dengan gamba kii Bedasakan Gb. 4.0 (kanan), gaya total aah hoizontal F h F cos37 o F 00cos37 o N 5 Dengan demikian, pecepatan aah hoizontal adalah F 60 h ah 6 m/s m 0 Beat benda W mg N. Gaya penggeak aah vetikal adalah o F sin (3/ 5) 60 N. Tampak bahwa F sin 37 o < W sehingga benda tidak melakukan geakan dalam aah vetikal. Jika F dinaikkan menjadi 00 N maka gaya total aah hoizontal 58

62 F h o o F cos37 F 00cos N 5 Pecepatan aah hoizontal adalah F 40 h ah 4 m/s m 0 Tampak bahwa o Gaya penggeak aah vetikal adalah F sin (3/ 5) 0 N. F sin 37 o > W gaya aah vetikal adalah F o F sin 37 W v N sehingga benda begeak dalam aah vetikal. Besanya Dengan demikian, pecepatan benda dalam aah vetical adalah F 0 v av m/s m 0 Pecepatan total benda menjadi a a h + a , m/s v Benda di atas bidang miing Sekaang kita akan membahas sifat geak benda yang beada di atas bidang miing. Lihat Gamba 4.. Sebuah benda beada di atas bidang miing yang licin. Misalkan gaya F sejaja bidang miing. Diagam gaya yang bekeja pada benda tamoak pada Gb 4.3 (kii) F α Gamba 4. Benda di atas bidang miing yang licin 59

63 N N W sin α F F W α W cos α α Gamba 4.3 (kii) Diagam gaya yang bekeja pada benda, (kanan) diagam gaya yang ekivalen dengan gamba kii, di mana beat sudah diganti dengan dua komponen yang tegak luus. Untuk memudahkan pembahasan, mai kita uaikan gaya W atas komponen gaya yang sejaja bidang miing (W sin α ) dan tegak luus bidang (W cos α ). Dengan penggantian tesebut kita dapatkan diagam gaya pada Gb. 4.3 (kanan). Gaya total aah sejaja bidang adalah F s F + W sinα (4.4) Akibatnya pecepatan benda dalam aah sejaja bidang adalah a s Fs F + W sinα (4.5) m m Gaya total aah tegak luus bidang adalah F t N W cos α 0 (4.6) Gaya tesebut nol kaena benda tidak begeak dalam aah tegak luus bidang. Sekaang kita tinjau jika F tidak sejaja bidang, sepeti yang diilustasikan dalam Gb 4.4. Benda ditaik dengan gaya F yang membentuk sudut θ dengan aah kemiingan bidang. Diagam gaya yang bekeja pada benda yang ditunjukkan pada gamba 4.5 (kii). 60

64 F θ α Gamba 4.4 Benda di atas bidang miing yang licin dan ditaik dengan gaya F N N F sin θ F θ W sin α F cos θ W α W cos α α G amba 4.5(kii) Diagam gaya yang bekeja pada benda, (kanan) diagam gaya yang ekivalen dengan gamba kii, di mana beat dan gaya F sudah diganti dengan komponen-komponen yang tegak luus. Untuk menentukan pecepatan benda, kita uaikan gaya F dan gaya beat W atas ko mponen-komponen yang sejaja dan tegak luus bidang miing sepeti diilustasikan pada Gb 4.5 (kanan). Kita ganti F dengan F cos θ yang sejaja bidang miing dan F sin θ yang tegak luus bidang miing. Kita ganti W dengan W sin α yang sejaja bidang miing dan W cos α yang tegak luus bidang miing. Gaya total aah sejaja bidang adalah F s F cosθ + W sinα (4.7) sehingga pecepatan benda dalam aah sejaja bidang memenuhi a s Fs F cos θ + W sinα (4.8) m m 6

65 Gaya penggeak aah tegak luus bidang adalah benda tidak begeak dalam aah tegak luus bidang. Sebaliknya, jika F sinθ. Jika F sinθ < W cosα maka maka benda begeak dalam aah tegak luus bidang dengan pecepatan F sinθ > W cos α, a t F sinθ W cosα (4.9) m Tegangan Tali Sekaang kita akan diskusikan geak benda-benda yang dihubungkan dengan tali sepeti pada Gb 4.6. m m m 3 F Gamba 4.6 Bebeapa benda dihubungkan dengan tali dan ditaik dengan gaya ke kanan Benda bemassa m, m, dan m 3 dihubungkan dengan tali. Benda m 3 ditaik dengan gaya mendata F. Pecepatan ketiga benda sama besanya (kaena dihubungkan oleh tali), yaitu F a m + + (4.0) m m3 Beapa tegangan tali? Tegangan tali yang menghubungkan benda m dan m bebeda dengan tegangan tali yang menghubungkan benda m dan m 3. Coba kita selidiki benda m. Gaya mendata yang bekeja pada benda ini hanya tegangan tali yang menghubungkannya dengan m. Diagam gaya yang bekeja pada benda m dilukiskan pada Gamba 4.7 6

66 N m a T W Gamba 4.7 Diagam gaya pada benda m. Coba lihat komponen gaya aah mendata. Gaya mendata, T, menghasilkan pecepatan a, sehingga tepenuhi T ma (4.) Untuk menentukan tegangan tali yang menghubungkan benda m dan m, coba kita isolasi benda m 3. Gaya mendata yang bekeja pada benda adalah tegangan tali T yang aahnya ke kii dan dan gaya taik F yang aahnya ke kanan. Diagam gaya yang bekeja pada benda m 3 dilukiskan pada Gamba 4.8 m 3 a T F Gamba 4.8 Diagam gaya pada benda m 3. Gaya total aah mendata yang bekeja pada benda m 3 adalah F T. Dengan adanya pecepatan a maka tepenuhi T m a yang menghasilkan tegangan tali F 3 T F m3a (4.) 63

67 Pesawat Atwood Gamba pesawat Atwood sedehana dipelihatkan pada Gamba 4.9. Pealatan ini seing digunkan untuk mendemonstasikan geak luus dengan kecepatan konstan dan geak luus dengan pecepatan konstan dengan kecepatan dan pecepatan yang dapat diatu. Besanya pecepatan dan kecepatan yang dihasilkan begantung pada massa beban yang digantung pada dua sisi tali. m m Gamba 4.9Pesawat Atwood Benda m dan m dihubungkan dengan tali melalui sebuah katol. Massa tali biasanya sangat kecil dibandingkan dengan massa dua beban sehingga massa tali dapat diabaikan atau tali dianggap tidak bemassa. Jika katol juga sangat kecil dibandingkan dengan massa dua beban maka katol juga dapat dianggap tak bemassa. Untuk menganalisis geakan dua beban, mai kita misalkan tegangan tali T. Kita juga asumsikan bahwa m > m. Dengan asumsi ini maka benda m begeak ke bawah dan benda m begeak ke atas. Diagam gaya yang bekeja pada masing-masing benda tampak pada Gb Kaena dihubungkan dengan tali maka pecepatan dua benda sama. Dengan mnegamati diagam gaya pada gb 4.0 kita dapatkan W T m a (4.3) 64

68 T W m a (4.4) T T a a W W Gamba 4.0 Diagam gaya pesawat Atwood Jumlahkan pesamaan (4.3) dan (4.4) sehingga dipeoleh W W m m ) a ( + atau a W W m + m mg mg m + m m m g (4.5) m + m Tampak dai pesamaan (4.5) bahwa benda makin kecil jika selisih massa dua beban makin kecil. Dengan demikian, kita dapat menghasilkan pecepatan yang dinginkan dengan memilih massa dua benda yang sesuai. 4.4 Gaya Gesekan Di atas kita telah pelajai geak benda pada bidang; baik bidang data maupun bidang miing. Antaa pemukaan benda dan bidang diasumsikan tidak ada gasekan 65

69 sehingga beapapun gaya aah sejaja dibeikan pada benda, maka benda akan begeak. Tetapi kondisi demikian tidak selalu kita jumpai. Kalau kita letakkan balok di atas meja dan kita doong dalam aah sejaja dengan pemukaan meja, kita akan amati fenomena sebagai beikut: i) Jika gaya doongan yang dibeikan tidak telalu besa maka benda belum begeak ii) Jika gaya dipebesa teus maka ada nilai gaya tetentu di mana benda mulai begeak. Tidak begeaknya benda meskipun dibeikan gaya doong menandakan bahwa esultan gaya yang bekeja pada benda nol. Jadi, di samping gaya doong yang kita beikan, ada gaya lain yang bekeja pada benda yang besanya sama dengan gaya yang kita beikan tetapi belawanan aah. Gaya apakah itu? Tidak lain daipada gaya gesekan antaa pemukaan benda dengan pemukaan bidang. Dengan demikian, diagam gaya yang bekeja pada benda ketika benda belum begeak tampak pada gamba 4. f s F Gamba 4. Diagam gaya pada benda saat benda belum begeak dengan f s gaya gesekan dan benda adalah F - f s. Jika benda belum begeak maka F gaya yang dibeikan. Gaya total yang bekeja pada F f s 0, atau f s F (4.6) Kita simpulkan, selama benda belum begeak maka gaya gesekan sama dengan gaya yang dibeikan pada benda. Jika gaya yang dibeikan dipebesa teus maka gaya gesekan pun makin besa (selama benda masih tetap begeak) kaena kedua gaya tesebut saling meniadakan, sampai suatu saat benda tepat begeak. Pada saat benda tepat mulai begeak, gaya gesekan tidak sanggup lagi mengimbangi gaya taik yang dibeikan. Dengan demikian, untuk dua pemukaan yang mengalami kontak, ada nilai maksimum dai gaya gesekan 66

70 yang dapat dihasilkan. Bedasakan pecobaan, besanya gaya gesekan maksimum memenuhi f, N (4.7) s maks µ s dengan N adalah gaya nomal oleh bidang pada benda dan µ s adalah konstanta yang begantung pada sifat pemukaan dua benda yang melakukan kontak. µ s dinamai koefisien gesekan. Ketika benda sudah begeak gaya gesekan tetap ada, tetapi nilainya bebeda dengan yang kita bahas di atas. Untuk membedakan gaya gesekan saat benda masih diam dan saat benda begeak, kita definisikan gaya gesekan static, untuk benda yang masih diam dan gaya gesekan kinetik f k untuk benda yang sedang begeak. Dengan demikian, pesamaan (4.7) mengungkapkan gaya gesekan statik maksimum yang bekeja pada benda. Gaya gesekan kinetik hanya memiliki satu nilai, tidak begantung pada kecepatan elatif antaa dua pemukaan yang melakukan kontak. Besanya gaya gesekan kinetik memenuhi f N (4.8) k µ k f s dengan µ k dinamai koefisien gesekan kinetik. Gaya yang dipelukan untuk mempetahan benda yang begeak aga tetap begeak lebih kecil daipada gaya yang dipelukan untuk memulai geakan sebuah benda. Ini penyebabnya mengapa saat memulai mengayuh sepeda kalian measa beat daipada mempetahankan sepeda tetap begeak. Ini juga penyebab mengapa kendaaan ketika mulai begeak haus menggunakan gigi endah (daya besa) sedangkan setelah begeak cukup dengan gigi tinggi (daya kecil). Sifat di atas menghasilkan ketidaksamaan beikut, f k f s, maks < atau µ k N < µ s N, yang menghasilkan µ k < µ s. benda Dai uaian di atas, dapat kita ingkas tentang gaya gesekan yang bekeja pada f s F jika F < f s, maks ( benda diam) gaya gesekan f s f s, maks µ s N jika F f s, maks ( benda mau begeak) f k µ k N jika F > f s, maks ( bendabegeak) 67

71 (4.9) 4.5 Lebih paham dengan gaya gesekan beikut ini. Untuk memahami penggunaan gaya gesekan mai kita bahas contoh-contoh Contoh 4. Sebuah benda yang bemassa 5 kg beada di atas bidang data. Koefien gesekan antaa benda dan bidang adalah µ s 0,4 dan µ k 0,. Jika benda ditaik dengan gaya 5 N aah hoizontal ke kanan apakah benda begeak dan beapa gaya gesekan benda dan bidang? Diagam gaya yang bekeja pada benda tampak pada Gamba 4.. Kaena tidak ada geakan aah vetical maka N W mg N Gaya gesekan statik maksimum adalah f µ 0, N s, maks s N N f F W Gamba 4. Diagam gaya pada benda Tampak bahwa F < f s,maks sehingga benda belum begeak. Kaena benda belum 68

72 begeak maka gaya gesekan yang bekeja pada benda adalah gaya gesekan static yang besanya sama dengan gaya yang dibeikan, yaitu f s F 5 N Contoh 4.3 Kembali ke soal pada contoh, jika gaya yang dibeikan adalah F 5 N maka F > f s,maks, yang beakibat benda sudah begeak. Kaena benda begeak maka gaya gesekan beubah menjadi gaya gesekan kinetik f k µ k N 0, 50 0 N Pecepatan benda adalah a F f m k m/s. Contoh 4.4 Sebah benda bemassa 4 kg beada di atas bidang yang memiliki kemiingan 37o dan koefisien gesekan dengan benda µ s 0,4 dan µ k 0,3. Apakah benda akan meluncu ke bawah? Beapakah gaya gesekan benda dengan bidang? Diagam gaya yang bekeja pada benda tampak pada Gb 4.3. Pada gamba tesebut kita sudah mengganti beat benda W dengan komponen yang sejaja dan tegak luus bidang. Benda tidak melakukan geakan dalam aah tegak luus bidang sehingga o 4 N W cos α mg cos N Gaya gesekan static maksimum s, aks µ s N 0,4 3, 8 N f m Gaya penggeak benda aah sejaja bidang 69

73 3 F W sin α mg sinα N 5 N f ges W sin α W cos α W α Gamba 4.3 diagam gaya pada benda di contoh Kaena F > f s,maks maka benda sudah begeak. Gaya gesekan yang bekeja pada benda adalah gaya gesekan kinetik f k µ k N 0, 3 6,4 N Pecepatan benda adalah a F f m k 4 6,4 4 4,4 m/s. Contoh 4.5 Pada soal di contoh 4.4, misalkan benda ditaik dengan gaya F sejaja bidang ke atas. Beapa besa gaya F aga benda tidak begeak? Aga benda tidak begeak maka i) F haus cukup besa sehingga dapat menahan benda dai kecendeungan begeak ke bawah ii) F tidak boleh sangat besa aga benda tidak tetaik ke atas. 70

74 F N f ges W sin α W cos α W α Gamba 4.4 diagam gaya pada benda di contoh 4.5 Untuk menghindai kecendeungan benda begeak ke bawah maka haus tepenuhi atau W sinα F f s, maks F W sinα f s, maks F mg sin 37 o,8 3 F 4 0,8 5 F, N (a) Untuk menghindai kecendeungan benda begeak ke atas maka haus tepenuhi atau F W sinα f s, maks F W sin α + f s, maks 3 F 4 0 +,8 5 F 36,8 N (b) 7

75 Dai kondisi (a) dan (b) dapat kita simpulkan bahwa, aga benda tidak begaak (baik ke atas maupun ke bawah) maka F haus memenuhi, N F 36,8 N Jika F <, N maka benda begeak ke bawah Jika F > 36,8 N maka benda begeak ke atas Contoh 4.6 Sekaang kita lihat kasus di mana gaya yang menaik benda membentuk sudut tetentu dengan bidang. Gaya F sebesa 0 N ditaik ke kanan memebtuk sudut 37 o dengan aah hoizontal. Massa benda 5 kg dan koefisien gesekan µ s 0,4 dan µ k 0,. Apakah benda sudah begeak? Beapa gaya gesekan benda dengan bidang? Diagam gaya yang bekeja pada benda tampak pada Gamba 4.5 N F 37 o f W Gamba 4.5 diagam gaya pada benda di contoh 4 Gaya-gaya aah vetikal yang bekeja pada benda W mg N (ke bawah) o 3 F sin 37 0 N (ke atas) 5 Kaena F sin 37 o < W maka benda tidak begeak dalam aah vetical. Resultan gaya 7

76 dalam aah vetical nol atau o N + F sin 37 W 0 yang menghasilkan N W o F sin N Gaya gesekan statik maksimum f s, maks µ s N 0,4 38 5, N Gaya penaik benda ke kanan o 4 F cos N 5 Kaena o F cos 37 > f s, maks maka benda sudah begeak ke kanan. Gaya gesekan yang dialami benda menjadi gaya gesekan kinetik f k µ k N 0, 38 7, 6 N Pecepatan benda adalah a F cos37 m o f k 6 7,6,68 5 m/s. Contoh 4.7 Sebuah benda yang memiliki massa 5 kg beada di atas bidang dengan koefisien gesekan µ s 0,3 dan µ k 0,. Benda tesebut dihubungkan dengan benda lain yang memiliki massa kg oleh seutas tali yang dilewatkan pada sebuah katol sepeti pada Gb 4.6. Tentukan pecepatan benda dan tegangan tali Misalkan tegangan tali T maka diagam gaya yang bekeja pada masing-masing benda dilukiskan pada Gamba

77 m 5 kg m kg Gamba 4.6 Susunan benda pad contoh 5 N T m f T m W W Gamba 4.7 Diagam gaya pada benda m dan m Petama, mai kita cek apakah benda sudah begeak Lihat diagam gaya untuk m N W mg N 74

78 gaya gesekan static maksimum benda m dengan lantai f s, maks µ s N 0, N Gaya yang memaksa benda m begeak ke kakan adalah beat m, yaitu W m g 0 0 N W > f s, maks Jadi, sehingga benda sudah begeak. Gaya gesekan pada benda m beubah menjadi gesekan kinetik f k µ k N 0, 50 0 N Pecapatn ke dua benda sama (kaena dihubungkan oleh tali), yaitu W f a m + m k m/s Untuk menentukan tegangan tali, lihat diagam gaya untuk benda m. Tampak bahwa W T ma atau T W ma 0 (0 / 7 ) 7 N. Soal dan Penyelesaian ) Sebuah peluu bemassa g ditembakkan dai senapan dengan laju 0 m/s ke sebuah balok. Peluu menacap k e dalam balok hingga kedalaman 5 cm. Hitunglah gaya ata-ata yang dilakukan balok untuk menghentikan peluu. Setelah menancap ke dalam balok sedalam 5 cm, peluu behenti. Jadi laju akhi peluu 75

79 adalah nol. Dengan mengunakan pesamaan v vo + as maka a 0,05 atau 0.00 a.000 m/s 0,05 0, Gaya yang dilakukan balok untuk menghentikan peluu F ma 0,00 (.000) N ) Mesin sebuah pesawat manghasilkan gaya 40 kn selama lepas landas. Massa pesawat 40 ton. Tentukan: (a) Pecepatan yang dihasilkan mesin pesawat dan (b) Minimum panjang landasan jika untuk memulai tebang dipelukan laju 60 m/s. (a) Pecepatan yang dihasilkan mesin pesawat a F m ,5 m/s (b) Panjang landasan yang dipelukan, s, memenuhi v vo + as , 5 s s 54 m ) Mobil Tust SSC memecahkan eko kecepatan di daat yang paling tinggi di tahun 997. Massa mobil adalah,0 0 4 kg. Selama detik waktu yang dijalani mobil, tesapat dua tahapan pecepatan yang duhasilkan. Tahap petama dimulai dai waktu nol sampai 4 s dan tahap kedua dai waktu 4 s sampai s. 76

80 a) Pada tahap petama mobil menghasilkan pecepatan dai keadaan behenti hingga mencapai laku 44 m/s dalam 4 detik. Hitunglah pecepatan yang dihasilkan dan gaya yang dipelukan untuk menghasilkan pecepatan tesebut. b) Dalam tahap kedua mobil tetap menghasilkan pecepatan hingga lajunya 80 m/s dalam sisa waktu 8 detik. Hitung pecepatan mobil selama selang waktu ini dan gaya yang dihasilkan mesin. c) Hitung jaak yang ditempuh mobil dai keadaan diam hingga mencapai laju 80 m/s a) Pecepatan mobil pada tahap petama a v v t o m/s Gaya yang dihasilkan mesin mobil F ma 4 5 (,0 0 ), 0 N b) Pecepatan mobil pada tahap kedua v' v a 9,5 m/s t ' 8 8 Gaya yang dihasilkan mesin 4 5 F ma (,0 0 ) 9,5,95 N 0 c) Jaak yang ditempuh mobil pada tahap petama, s, memenuhi v vo + as atau s s 88 m Jaak yang ditempuh mobil pada tahap kedua, s, memenuhi 77

81 v ' v + a s atau ,5 s s m Jaak total yang ditempuh mobil untuk mencapai laju 80 m/s adalah s s +s m 4) Sebuah kotak bemassa 0 kg diam di atas meja. (a) beapa beat kotak dan gaya nomal yang bekeja padanya? (b) Kotak bemassa 0 kg diletakkan di atas kotak bemassa 0 kg. Beapa gaya nomal yang bekeja pada kota 0 kg dan gaya nomal pada kotak 0 kg yang dilakukan kotak bemassa 0 kg. (a) Lihat gamba 4.8(a) sebagai ilustasi Beat kotak adalah W m g N Kaena tidak ada geakan aah vetical maka gaya nomal pada benda oleh meja adalah N W 00 N (b) Lihat gamba 4.8(b) sebagai ilustasi untuk menentukan gaya nomal pada benda bemassa 0 kg oleh pemukaan meja. Kaena tidak ada geakan aah vetikal maka gaya nomal pada benda oleh meja adalah N W ( m + m ) g (0 + 0) N Untuk menentukan gaya nomal pada benda bemassa 0 kg, lihat gamba 0.(c) Kaena tidak ada geakan aah vetikal maka gaya nomal pada benda m oleh benda 78

82 m adalah N W m g N (a) (b) m 0 kg m 0 kg m 0 kg N W W N N W (c) m 0 kg N W 4.8 Susunan kotak menuut soal nomo 4 Soal Latihan ) Beapa besa tegangan tali jika tali tesebut digunakan untuk menaik mobil yang massanya 050 kg hingga memiliki pecepatan, m/s ) Sebuah elevato dengan massa 4850 kg didisain sehingga mampu begeak dengan pecepatan maksimum0,06g. Beapakah gaya maksimum dan minimum yang haus dihasilkan moto penaik kabel? 3) Kabel elevato memiliki kemampuan penunjang maksimum.750 N. Massa 79

83 elevato adalah.00 kg. Beapakah pecepatan maksimum yang diijinkan aga kabel tidak putus. 4) Bedasakan model sedehana jantung mamalia, pada tiap detakan, setiap 0 g daah dipecepat dai 0,5 m/s ke 0,35 m/s selama 0, s. Beapa besa gaya yang dilakukan otot jantung? 5) Seoang nelayan menaik jala yang cukup beat di atas tanah dengan tali yang membentuk sudut 5o dengan aah hoizontal. Jika gaya yang dibeikan nelayan tesebut 400 N, beapakah gaya aah hoizontal yang dibeikan pada jala? Apakah komponen vetical gaya menolong dia meingankan taikan? 6) Lift yang beatnya 6000 N memuat dua penumpang yang beatnya masing-masing 700 N. Beapakan tegangan kawat lift jika lift dalam keadaan diam? Beapa juga tegangan kawat jika lift begeak naik dengan laju konstant dan begeak tuun dengan laju konstan? 7) Sebuah mobil yang memiliki massa 900 kg begeak dengan laju 5 m/s. Mobil tesebut tiba-tiba diem dengan kuat sehingga behenti dalam waktu 5 s. Beapa gaya yang dilakukan oleh em mobil? 8) Mobil tebau diancang hingga sanggup mencapai laju 5 km/jam dalam waktu sekita 5 sekon. Beapakah pecepatan yang dihasilkan mesin mobil tgesebut? 9) Seoang penejun payung yang memiliki beat 700 N meluncu ke bawah dengan kecepatan konstan. Beapakah gaya ke atas yang bekeja pada penejun paying tesebut? 0) Sebuah cane digunakan untuk menuunkan kontaine yang beatnya 8500 N secaa pelahan-lahan dengan laju konstan. Beapakah tegangan kabel cane? ) Sebuah lift yang beatnya 5500 N membawa seoang yang massanya 84 kg ke lantai sepuluh sebuah gedung dengan laju konstan. Beapakah tegangan kabel lift tesebut? ) Sebuah mobil yang massanya 800 kg mengalami pecepatan dai laju 8 m/s hingga laju 3 m/s dalam waktu 6 s tanpa menalami peubahan aah. (a) Beapa pecepatan mobil? (b) Gaya yang bekeja pada mobil selama mengalami pecepatan? 3) Sebuah mobil yang massanya 000 kg menaik sebuah toli yang massanya 450 kg. Mobil tesebut melakukan gaya aah hoisontal sebesa N tehadap tanah dalam usaha mendapatkan pecepatan. Beapa gaya yang dilakukan mobil pada toli? Anggap koefisien gesekan antaa toli dan tanah 0,5. 4) Seoang pemain ski meluncu tuun pada leeng yang memiliki kemiingan 30o. Anggaplah koefisien gesekan kinetik 0,, tentukan pecepatan pemain ski tesebut dan lajunya setelah ia meluncu 5 sekon. 80

84 Bab 5 Hukum Gavitasi Matahai begeak mengitai planet dalam lintasan mendekati lingkaan. Bulan mengitai bumi dalam lintasan yang menyeupai lingkaan pula? Kenapa benda-benda tesebut tetap beada pada lintasannya? Kenapa benda-benda tesebut tidak telempa ke lua? Beati ada gaya yang menahan benda-benda tesebut ke aah pusat lintsannya. Lalu gaya apakah itu? Bukankan antaa bumi dan matahai yang ada hanya uang kosong? Bukankan antaa bumi dan bulan hanya ada uang kosong? Gamba 5. Bintang-bintang bekumpul membetuk galaksi, planet-planet begeak mengitai matahai pada obit-obitnya dan satelit mengelilingi bumi tejadi kaena adanya gaya gavitasi. 5. Hukum Gavitasi Univesal Newton Untuk menjelaskan fenomena ini Newton mengusulkan teoi gavitasi univesal. Univesal atinya belaku untuk semua benda di alam semesta. Tiap-tiap benda di alam semesta melakukan gaya taik-menaik. Besanya gaya bebanding luus dengan pekalian massa ke dua benda dan bebanding tebalik dengan kuadat jaak ke dua benda tesebut. Secaa matematik, besanya gaya gavitasi adalah mm F G (5.) m massa benda petama, m massa benda kedua, jaak ke dua benda, G 6, N m /kg, dikenal dengan konstanta gavitasi umum. 8

85 m m F F Gamba 5. Dua massa saling taik-menaik dengan gaya gavitasi Gaya gavitasi inilah yang mengikat planet-planet sehingga tetap beada di sistem tata suya meskipun planet-planet tesebut selalu begeak. Aah gaya gavitasi sejaja dengan gais hubung kedua benda. F ˆ m m Gamba 5. Deskipsi aah vekto gaya Kaena gaya meupakan besaan vecto maka gaya gavitasi dapat ditulis dengan lengkap menggunakan notasi vecto. Misalkan adalah vecto posisi benda m elatif tehadap benda m. Vekto satuan yang seaah dengan adalah ˆ (5.) di mana adalah panjang dai vecto. Gaya pada benda m yang dialkukan 8

86 benda m dalam notasi vecto adalah F m m G ˆ (5.3) Tanda negatif menginfomasikan bahwa aah gaya belawanan dengan aah vecto. ˆ 5. Gaya Tanpa Sentuhan Kenapa dua benda yang tidak besentuhan dapat saling taik-menaik? Kenapa matahai dapat menaik bumi meskipun keduanya tidak besentuhan? Untuk menjelaskan masalah ini dipekenalkan konsep kuat medan gavitasi. Setiap benda menghasilkan medan gaviasti pada seluuh uang di sekitanya. Taikan gavitasi matahai pada bumi dapat dipandang sebagai inteaksi antaa menda gavitasi matahai di lokasi bumi dengan massa bumi. Besanya kuat medah gaviasi benda yang bemassa M adalah M g ( ) G (5.4) Aah kuat medan gavitasi adalah menuju ke pusat benda sepeti tampak pada Gamba 5.3. Juga tampak dai pesamaan (5.4), kuat medan gavitasi bebanding tebalik dengan jaak dai pusat benda. M g() Gamba 5.3 Aah kuat medan gavitasi Jika dinyatakan dalam notasi vecto maka kuat medan gavitasi yang dihasilkan 83

87 benda bemassa m pada lokasi benda bemassa m adalah m g G ˆ (5.5) M M Inteaksi antaa medan gavitasi dan massa menghasilkan gaya gavitasi Gamba 5.4 Gaya gavitasi muncul akibat inteaksi antaa medan gavitasi yang dihasilkan suatu massa dengan massa lain yang beada pada lokasi medan gavitasi itu. Tampak dai pesamaan (5.3) dan (5.5), gaya yang dilakukan benda m pada benda m dapat ditulis sebagai 84

88 F (5.6) g m Contoh 5. 4 Massa bumi 5,98 0 kg dan massa bulan adalah 7,35 0 kg. Jaak bumi-bulan adalah 3, m. Tentukan: (a) gaya yang dilakukan bumi pada bulan, (b) gaya yang dilakukan bulan pada bumi, (c) kuat medan gavitasi bumi pada posisi bulan, dan (d) kuat bedan gavtiasi bulan pada bumi. (a) Besa gaya yang dilakukan bumi pada bulan M F G R 6,67 0 M bm bl bm bl (3,85 0 ) 4 (5,98 0 ) (7,35 0 ) 8,99 0 (b) Gaya yang dilakukan bulan pada bumi meupakan gaya eaksi dai gaya yang dilakukan bumi pada bulan. Gaya tesebut sama besa tetapi belawanan aah. Jadi, besa gaya yang dilakukan bulan pada bumi adalah, N. 0 N (c) Besa kuat medan gavitasi bumi pada posisi bulan g G bl bm M bm Rbm bl 5,98 0 ( 3, ,67 0,7 0 N/kg 8 ) (d) Besa kuat medan gavitasi bulan pada posisi bumi g bm bl M G R bl bm bl 7,35 0 ( 3, ,67 0 3,6 0 N/kg 8 ) 85

89 5.3 Kuat medan gavitasi di pemukaan bumi Jai-jai bumi adalah 6370 km. Vaiasi ketinggian tempat-tempat di pemukaan bumi sangat kecil dibandingkan dengan jai-jai bumi. Lokasi tetitinggi di pemukaan bumi, yaitu gunung Eveest tingginya sekita 9 km, sangat kecil dibandingkan dengan jai-jai bumi. Dengan demikian, kuat medan gavitasi di bebagai tempat di pemukaan bumi tidak bebeda jauh. Kita hitung kuat medan gavitasi pada tempat yang memiliki ketinggian h dai pemukaan bumi, M B g G (5.7) ( R + h) B Pesamaan di atas dapat ditulis sepeti beikut ini M g G R B B h + R B M B h G + (5.8) RB RB Jika ketinggian h jauh lebih kecil daipada jai-jai bumi, maka h / <<. Dalam kondisi demikian maka kita dapat menguaikan ( + h / RB ) dalam deet binomial dan mengambil dua suku petam a saja. Suku ketiga dan seteusnya sangat k ecil. Uaian binomial tesebut adalah ( + h / R ) h / +... B R B Dengan mengambil dua suku petama saja sebagai apokasi maka pesamaan (5.8) dapat ditulis R B M B h g G (5.9) RB RB Kuat medan gavitasi di pemukaan bumi sendii adalah M 5, B g pem G 6,67 0 9,8 N/kg 6 RB (6,37 0 ) 86

90 Dengan demikian, kuat medan pada ketinggian h dai pemukaan bumi kia-kia h g 9,8 N/kg (5.0) RB Contoh 5. Beapa kuat medan gavitasi bumi pada lokasi satelit yang beada pada ketinggian 500 m di atas pemukaan bumi? h 500 g 9,8 9,8 6 RB 6,37 0 9,79 N/kg 5.4 Kuat Medan Gavitasi di Dalam Bumi Makin jauh dai pemukaan bumi, kuat medan gavitasi makin kecil. Peubahannya bebanding tebalik dengan kuadat jaak dai pusat bumi. Bagaimana dengan sebaliknya. Bagaimana peubahan kuat medan gavitasi bumi jika posisi tesebut masuk ke dalam bumi? Apakah makin besa atau makin kecil? Ketika kita masuk ke dalam bumi hingga beada pada jaak dai pusat bumi ( < R B ) maka gaya gavitasi yang dialami semata-mata dihasilkan oleh bola yang bejai-jai. Bagian bumi di sebelah lua yang memiliki ketebalan R B tidak membei kontibusi pada gaya gavitasi. Jadi kita seolah-olah mencai kuat medan gavitasi di pemukaan bola yang beja-jai. Untuk mencai kuat medan tesebut kita pelu telebih dahulu mencai massa bola bejai-jai. Untuk maksud ini kita pakai pebandingan volum. Volum bumi keseluuhan: V B 3 ( 4π / 3) RB Volum bola bejai-jai : V b ( 4π / 3) Jika massa bumi M B maka massa bola adalah m ( Vb / VB ) M B ( / R ) M B B. Kuat bedan gavitasi di pemukaan bola sama dengan kuat bedan gavitasi pada jaak dai pusat bumi adalah m g G 87

91 3 3 ( / R B ) M B G GM B (5.) 3 R B Kuat medan gavitasi di sini Hanya bagian ini yang bekontibusi R B Bagian ini tidak bekontibusi Gamba 5.5 Medan gavitasi pada jaak dai pusat bumi hanya disumbangkan oleh bola bejai-jai. Kulit bumi setebal R B tidak mebei kontibusi. 5.5 Hukum Keple untuk geak planet Hukum gavitasu umum Newton dapat menjelaskan dengan sangat teliti gekan planet-planet mengelilingi matahai. Namun, sebelum Newton meumuskan hukum gavitasi, Johannnes Keple telah meumuskan tiga hukum geak planet yang sangat tekenal saat itu. Hukum Keple I Tiap planet begeak mengelilingi matahai dalam lintasan bebentuk ellips dan matahai teletak pada salah satu titik fokus ellips (ellips memiliki dua titik fokus). Hukum Keple II Pada selang waktu yang sama, gais penghubung planet dan matahai menyapu daeah yang sama luasnya. 88

92 sama luas planet Matahai titik fokus Gamba 5.6 Pada selang waktu yang sama gais hubung planet dan matahai menyapu daeah yang luasnya sama Hukum Keple III Pebandingan kuadat peiode evolusi planet mengelilingi matahai dengan pangkat tiga jaak ata-ata planet ke matahai sama untuk semua planet. 5.6 Pembuktian Hukum Keple dengan Hukum Gavitasi Newton Sangat mencengangkan tenyata semua hukum Keple dapat dijelaskan dengan menggunakan hokum gavitasi umum Newton. Untuk membuktikan hukum Keple I kita pelu pengetahuan matematika yang lebih tinggi, yaitu kalkulus. Di sini kita buktikan buktikan bahwa hukum gavitasi Newton dapat menuunkan hokum Keple II dan III. Pebuktian hukum Keple II Lihat Gamba 5.7. Selama selang waktu t planet menyapu daeah yang diasi. Kita akan hitung luas daeah yang diasi tesebut. i) Kecepatan planet saat itu adalah v, dan menyinggung lintasan. ii) Jika planet begeak luus mengikuti aah kecepatan, maka jaak tempuh planet selama selang waktu t adalah v t. iii) Tetapi kaena ada taikan matahai, mata lintasan plane membelok mengikuti lengkungan ellips. Akibatnya, sepala selang waktu t, planet hanya menempuh jaak v t sinθ. Di sini θ adalah sudut yang dibentuk oleh vekto jai-jai dengan vekto kecepatan planet. iv) Daeah yang disapu planet bebentuk segitiga. Panjang alas segi tiga kia-kia sama 89

93 dengan jai-jai planet dan tingginya kia-kia sama dengan luas daeah yang disapu planet selama t adalah v t sinθ. Dengan demikian, v t sin θ M M θ θ v M p v t Gamba 5.7 Sketsa pembuktian hukum Keple II A panjang tinggi ( v t sinθ ) ( M pvsinθ ) t (5.) M p Selama mengitai matahai momentum sudut planet selalu konstan (nanti akan dibahas di geak otasi). Momentum sudut planet saat mengitai matahai memenuhi L ( M v) (5.3) p Apabila dinyatakan dalam bentuk skala maka L M v sinθ (5.4) p Dengan demikian luas daeah yang disapu jai-jai planet dapat ditulis 90

94 A L M t p (5.5) Untuk satu planet, bagian yang beada dalam tanda kuung selalu konstant. Dengan demikian, untuk satu planet, luas daeah yang disapu bebanding luus dengan waktu. Dengan pekataan lain, pada selang waktu yang sama, luas daeah yang disapu gais hubung planet dengan matahai selalu sama. Ini adalah ungkapan hukum Keple II. Pembuktian Hukum Keple III Untuk membuktikah hokum Keple III, kita anggap lintasan planet sekita matahai bebentuk lingkaan. Hal ini tidak tetalu salah, kaena walalupun lintasan planet sekita matahai bebentuk ellips, namun ellips yang tebentuk sangat mendekati bentuk lingkaan. Gaya gavitasi matahai pada planet adalah Mm F G (5.6) dengan M massa matahai, m massa planet, jaak matahati-planet. Gaya ini bepean sebagai gaya sentipetal pada planet sehingga m v Mm G atau M G v (5.7) Dengan asumsi lintasan yang mendekati lingkaan maka laju evolusi planet memenuhi v π / T sehingga M G π T (5.8) yang selanjutnya dapat ditulis sebagai 9

95 T 4π 5.9) 3 GM ( Ruas kanan hanya begantung pada massa matahai. Jadi T / akan sama untuk semua planet, sesuai dengan hukum Keple III. Dengan memasukkan massa matahai dan konstanta gavitasi mama nilai di uas kanan pesamaan (5.9) adalah, s m Pasang Suut AkibatGavitasi Matahai dan Bulan Pasang suut ai laut timbul akibat gaya gavitasi matahai dan bulan pada ai laut. Ai laut adalah zat cai yang mudah beubah bentuk akibat dikenai gaya. Kaena gaya gavitasi matahai atau bulan pada tempat yang bebeda di laut bebeda besanya maka bentuk pemukaan laut bisa bebeda akibat dikenai gaya tesebut. Ini mengakibatkan ada pemukaan laut yang naik pemukaaanya (pasang) dan pemukaan laut yang tuun pemukaannya (suut). Kuat medan gavitasi matahai di bumi lebih besa daipada kuat medan gavitasi yang dihasilkan oleh oleh bulan. Kalian bisa membuktikannya dengan menggunakan hukum gavitasi Newton. Tetapi, pasang suut yang disebabkan oleh gavitasi bulan lebih besa daipada yang disebabkan oleh gaya gavitasi matahai. Mengapa demikian? Tenyata besanya pasang suut tidak ditentukan oleh kuat medan gavitasi, tetapi ditentukan oleh pebedaan besa kuat medan gavitasi pada bebagai titik di laut. Untuk jelasnya, lihat skema pada Gb 5.8. A B Gamba 5.8 Ilustasi peistiwa pasang suut ai laut. (kii) bumi tidak mendapat gaya gavitasi, (kanan) bumi mendapat gaya gavitasi dai bulan atau matahai 9

96 Sebagai ilustasi kita anggap bumi ditutupi oleh laut dengan ketebalan tetentu. Tanpa adanya taikan matahai atau bulan, ketebalan ai laut di bebagai tempat di pemukaan bumi sama sehingga tidak tejadi pasang atau suut. Saat tejadi pasang-suut, bagian pemukaan laut yang menghadap atau membelakangi matahai atau bulan meninggi sedangkan bagian pemukaan laut di sisi samping menuun. Kuat lemah pasang suut ditentukan oleh pebedaan kuat gaya gavitasi pada pemukaan laut yang menghadap matahai atau bulan dengan pemukaan laut yang beada di sisi samping. Makin kuat taikan pada sisi yang menghadap mataahi/bulan dan makin lemah taikan pada sisi samping maka makin besa pasang suut yang dihasilkan. Bedasakan Gb. 6.8, kekuatan pasang-suut ditentukan oleh selisih kuat medan gavitasi pada titik A dan titik B. Untuk menentukan beda kuat medan tesebut mai kita misalkan Massa matahai M m Massa bumi M bm Massa bulan M Jaak bumi-matahai bm-m Jaak bumi-bulan bm-bl bl Maka Jai-jai bumi: R b Jaak matahai ke pemukaan bumi yang menghadap matahai: bm-m - R b Jaak matahai ke pemukaan bumi yang beada di sisi samping: bm-m Jaak bulan ke pemukaan bumi yang menghadap bulan: bm-bl - R b Jaak bulan ke pemukaan bumi yang beada di sisi samping: bm-bl Kuat medan gavitasi matahai pada pemukaan bumi yang menghadap matahai g ma m G (5.0) ( R ) bm m M b Kuat medan gavitasi matahai pada pemukaan bumi di sisi samping M g mb G m bm m (5.) Kuat medan gavitasi bulan pada pemukaan bumi yang menghadap bulan 93

97 bla ( R ) bm bl M b g G (5.) b Kuat medan gavitasi bulan pada pemukaan bumi di sisi samping M b gblb G (5.3) bm bl pebedaan kuat medan gavitasi matahai di pemukaan bumi yang menghadap matahai dan yang beada di sisi samping adalah g m g ma g mb G GM M m M m G GM m ( R ) ( R ) bm m m b bm m bm m b bm m ( ) bm m b m Rb bm m ( bm m bm mrb + Rb ) GM m ( R ) ( R ) bm m b bm m ( bm m Rb ) bm m bm m b bm m bm m Rb Rb GM m (5.4) Kaena jai-jai bumi sangat kecil dibandingkan dengan jaak bumi matahai, maka kita dapat melakukan pendekatan bm m Rb bm m dan bm mrb Rb bm mrb. Dengan demikian kita dapatkan bentuk apoksimasi g m GM m bm R bm m b mbm m R GM (5.5) b m 3 bm m Dengan caa yang pesis sama, maka kita dapatkan pebedaan kuat medan gavitasi bulan di sisi depan dan sisi samping bumi adalah R g bl GM (5.6) bl b 3 b bl Peandingan selisih kuat medan gavitasi bulan dan matahai pada bumi adalah 94

98 g g bl m GM GM bl m R R b b / / bm bl bm m M M bl m bm m bm bl 3 ( 5.7) Dengan menggunakan data M bl 7,4 0 kg, M m 0 30 kg, bm-bl 3, km, dan bm-mt,5 0 8 km kita peoleh g bl g m 7, ,5 0 3, , Dengan demikian, pebandingan pebedaan tinggi pasang suut akibat pengauh bulan dan matahai lebih dai dua banding satu. Atau pasang yang diakibatkan oleh bulan lebih tinggi daipada yang diakibatkan oleh matahai. Soal dan Penyelesaian ) tentukan kuat medan gavitasi bumi pada tempat yang jaaknya dai pemukaan bumi adalah tiga kali jai-jai bumi. Diketahui, kuat medan gavitasi di pemukaan bumi adalah 9,8 N/kg. Jaak titik pengamatan dai pemukaan bumi: h 3 R B Jaak titik pengamatan dai pusat bumi: R B + h 4 R B Kuat medan gavitasi di pemukaan bumi: g pem 9,8 N/kg Kuat medan gavitasi bumi pada tempat yang ditanyakan M g G B M B RB RB G g pem RB RB 9,8 4R B 9,8 6 0,6 N/kg ) Jika jai-jai bumi menjadi setengah jai-jai sekaang tetapi massanya tetap, menjadi beapakah kuat medan gavitasi di pemukaan bumi? 95

99 R * B R B M B M B M B g G G 4 G 4 9,8 39, N/kg * R ( R / ) R B B B 3) Sebuah benda langit memiliki jai-jai 5000 km. Kuat medan gavitasi di pemukaan benda langit tesebut adalah 8 N/kg. Beapakah massa jenis benda langit tesebut? Kuat medan gavitasi di pemukaan benda langit M g G R Tetapi Maka M ρ V 4 ρ πr 3 3 atau ρ g G 3 ((4 / 3) πr ) 4 πgρr R 3 3g ρ 5,7 0 kg/m3 6 4πGR 4 3,4 (6,67 0 ) (5 0 ) 4) Peiode obit bulang mengelilingi bumi adalah 7,3 hai. Hitunglah jaak ata-ata bulan dai bumi jika kuat medan gavitasi di pemukaan bumi adalah 9,8 N/kg dan jai-jai bumi 6400 km. Geakan bulan mengelilingi bumi juga memenuhi hukum yang miip dengan hukum Keple III. Kita bisa menggunakan pesamaan (5.9) dengan mengganti massa matahai untuk geak planet sekita matahai dengan massa bumi untuk geak bulan sekita bumi. Jadi, untuk bulang yang mengelilingi bumi atau T 3 4π GM B 96

100 3 GM 4π B T 4π GM R B B R B T 4π g pem R B T Di soal dibeikan T 7,3 hai 7,3 hai (4 jam/hai) (60 mnt/jam) (60 s/mnt), s dan R B 6400 km 6,4 0 6 m. Dengan demikian atau ,8 (6,4 0 ) (,36 0 ) 4 3,4 5 / 3 8 ( 5,67 0 ) 3,8 0 m. 5, m3. 5) Jupite adalah planet tebesa dalam system tata suya. Massa Jupite adalah 9, kali massa matahai. Jaak Jupite ke matahai adalah 7,78 0 m. Tentukan lokasi titik di antaa Jupite dan matahai di mana gaya gavitasi Jupite dan Matahai saling meniadakan. Dai soal dibeikan M J 9, M M. Misalkan jaak titik tesebut dai matahai adalah. Maka jaaknya dai Jupite adalah 7,78 0. Aga gaya gavitasi Matahai dan Jupite saling menghilangkan maka besa gaya gavitasi oleh matahai dan oleh Jupite haus sama. Misalkan massa benda m maka haus tepenuhi M G M atau M G atau atau atau atau m M J m G ' m 4 M 9,56 0 M M G ( 7,78 0 9,56 0 (7,78 ( 7,78 0 Ambil aka pada dua uas 7,78 0 ( ) m 4 0 ) 4 ) 9,56 0 0, 03,03 7,78 0 ) 97

101 7,78 0,03 7,55 0 m Soal Latihan ) Pesawat lua angkasa petama yang diluncukan adalah Sputnik I yang memiliki peiode eda sekita bumi selama 96 menit. Hitunglah ketinggian ata-ata Sputnik dai pemukaan bumi. Gunakan pecepatan gavitasi bumi 9,8 N/kg dan jai-jai bumi 6400 km. ) Satelit-satelit komunikasi mengobit bumi dengan peiode 4 jam pada lintasan geostasione sehingga satelit tampak tidak begeak ketika diamati di bumi. Obit tesebut disebut juga juga geosinkon kaena begeak sekita bumi dengan laju otasi yang sama dengan bumi. Gunakan hokum Keple III untuk menentukan jai-jai obit satelit. 3) Tetukan lokasi titik di antaa bumi dan bulan di mana gaya gavitasi bumi dan bulan saling meniadakan. 98

102 Bab 6 Usaha dan Enegi 6. Usaha Ketika kendaaan menempuh pejalanan, maka lama kelamaan bahan baka habis. Bahan baka tesebut diubah menjadi enegi, yang kemudian digunakan oleh mesin kendaaan untuk memindahkan posisi kendaaan. Posisi kendaaan bisa bepindah kaena mesin melakukan gaya. Dai penjelasan tesebut tampak adanya ketekaitan antaa gaya dan usaha. Dan memang usaha dan gaya dihubungkan oleh pesamaan W F d (6.) dengan dan masing-masing adalah posisi awal dan posisi akhi benda. Di samping begantung pada dan, integal (6.) juga begantung pada lintasan. Walaupun dan sama, bisa saja usaha yang dilakukan bebeda jika lintasan yang ditempuh bebeda. Pesamaan (6.) adalah ungkapan umum untuk usaha yang dapat diteapkan pada bentuk gaya apa saja dan lintasan apa saja. Untuk kasus khusus di mana besanya gaya seta sudut antaa gaya dan aah pepindahan yang kosntan maka pesamaan (6.) dapat disedehanakan menjadi W F d cosθ F cosθ d F cosθ s (6.) dengan s adalah panjang lintasan (jauh pepindahan benda). Contoh sedehana kasus sepeti ini adalah benda yang diletakkan pada bidang miing sepeti pada Gb. 6.. Tampak dai pesamaan (6.) bahwa: a) Meskipun pada sebuah benda bekeja gaya, namun jika benda tidak bepindah maka usaha yang dilakukan nol. b) Jika gaya dan pepindahan tegak luus maka usaha yang dilakukan juga nol (cos θ 0). Jika kalian memikul benda lalu bejalan di jalan yang mendata, kalian tidak melakukan usaha. Walaupun pundak kalian melakukan gaya, dan kalian melakukan 99

103 pepindahan (bejalan), tetapi aah gaya yang dilakukan pundak (ke atas) tegak luus aah pepindahan (aah mendata). Kalian melakukan usaha saat mengangkat beban dai posisi duduk ke posisi bedii. Pada saat ini aah pepindaan (ke atas) sama dengan aah gaya (ke atas). Hal yang sama tejadi pada satelit yang mengitai bumi. Gaya gavitasi bumi tidak melakukan usaha pada satelit yang mengelilingi bumi dalam obit lingkaan kaena aah gaya (ke pusat lingkaan) selalu tegak luus aah pepindahan satelit (menyinggung lingkaan). s h θ W θ Gamba 6. Gaya melakukan usaha ketika memindahkan sebuah benda. c) Usaha tebesa yang dilakukan oleh sebuah gaya muncul ketika aah pepindahan dan aah gaya sama. Untuk jaak pepindahan yang sama, usaha yang dilakukan gaya gavitasi bumi pada benda yang jatuh aah vetikal lebih besa daipada usaha yang dilakukan pada benda yang jatuhnya tidak vetikal. Aah pepindahan benda yang jatuh vetikal sama dengan aah gaya gavitasi bumi, sedangkan aah pepindahan benda yang jatuhn ya tidak vetical tidak seaah gaya gavitasi bumi. Contoh 6. Sebuah balok yang bemassa 0,0 kg beada di atas bidang data dengan koefisien gesekan kinetik 0,. Benda tesebut ditaik dengan gaya 60,0 N yang membentuk sudut θ 60 o tehadap aah hoisontal. Jika benda bepindah sejauh 0,0 m dalam aah hoizontal beapakah usaha yang dilakukan gaya tesebut dan beapa usaha yang dilakukan gaya gesekan? Usaha yang dilakukan oleh gaya penaik o W F s cos θ 60,0 0,0 cos60 60,0 0,0 0, J 00

104 N F θ F cos θ f k s W Gamba 6. Untuk menentukan usaha yang dilakukan gaya gesekan, telebih dahulu kita menentukan besa gaya gesekan. Untuk membantu menentukan gaya gesekan, pehatikan Gb. 6.. Tampak dai gambe tesebut bahwa N + F sinθ W atau N W F sinθ mg F sinθ 70 N o 0,0 0 60,0 sin 30 00,0 60 0,5 70 N Besa gaya gesekan kinetik adalah f k µ k N 0, 70 4 N Gaya gesekan selalu belawanan dengan aah pepindahan, sehingga sudut antaa keduanya adalah θ 80 o. Usaha yang dilakukan gaya gesekan kinetik o W f s cosθ ' 4 0,0 cos80 4 0,0 ( ) - 80 J k k Contoh 6. Sebuah benda meluncu pada bidang miing yang memiliki kemiingan 30 o. Ketinggian salah satu ujung bidang miing tehadap ujung yang lain adalah,0 m. Massa benda adalah,5 kg dan koefisien gesekan kinetik antaa benda dan bidang adalah 0,5. Beapa usaha yang dilakukan oleh gaya gavitasi keika benda begeak dai ujung atas ke ujung bawah bidang miing? 0

105 s h θ W θ Gamba 6.3 Usaha yang dilakukan oleh gaya gavitasi tidak dipengauhi oleh adanya gaya gesekan benda dengan bidang miing. Tampak dai Gb 6.3 bahwa besa pepindahan benda s memenuhi h/s sin θ, atau s h sinθ sin 30 o 0,5 4 m. Besa gaya gavitasi (beat benda) adalah F mg,5 0 5 N Sudut antaa gaya gavitasi dan aah pepindahan benda θ memenuhi θ + θ 90 o, atau θ 90 o - θ 90 o 30 o 60 o Usaha yang dilakukan gaya gavitasi adalah o W F s cos θ ' 5 4 cos ,5 g 50 J 6. Teoema Usaha Enegi Misalkan sebuah benda mula-mula memiliki laju v. Pada benda dikenai gaya sehingga benda bepindah sejauh tetentu. Kaena ada gaya yang bekeja maka benda memiliki pecepatan (ingat hukum Newton II) sehingga kecepatan benda beubah. Kita 0

106 akan menuunkan teoema usaha enegi mulai dai kasus yang paling khusus yaitu gaya konstan. Penuunan Untuk Pecepatan Konstan Misalkan benda ditaik dengan gaya F yang konstan dan benda bepindah sejauh s dalam aah yang membentuk sudut θ tehadap aah gaya. Lihat Gb. 6.4 F θ F cos θ a s Gamba 6.4 Usaha yang dilakukan gaya tesebut adalah W F s cosθ Komponen gaya yang menghasilkan pecepatan hanya komponen aah hoizontal sebesa F cosθ. Maka pecepatan benda dalam aah hoizontal adalah F cosθ a ( 6.3) m Untuk geak dengan pecepatan tetap, laju benda setelah bepindah sejauh s memenuhi v v as, atau v F cosθ v s m Jika dua uas dengan m/ maka dipeoleh mv mv F s cosθ (6.4) 03

107 Ruas kanan tidak lain daipada keja yang dilakukan gaya. Dengan mendefinisikan enegi kinetik sebagai K mv (6.5) maka kita peoleh suatu umus yang umum K K W (6.6) dengan K ( / ) mvo adalah enegi kinetik mula-mula benda K ( / ) mv adalah enegi kinetik akhi benda W adalah usaha yang dilakukan gaya. P esamaan (6.6) menyatakan bahwa keja yang dilakukan oleh suatu gaya sama deengan peubahan enegi kinetik benda. Ini meupakah ungkapan pinsip usaha enegi. Penuunan Untuk Gaya Sembaang Penuunan pesamaan (6.6) telah kita lakukan dengan menganggap bahwa besa gaya konstan seta aah gaya dan pepindahan juga konstan. Apakah kita jumpai juga bentuk yang sama untuk aah gaya sembaang seta aah pepindahan yang sembaang? Mai kita tuunkan untuk kasus yang lebih umum. Kita mulai dai ungkapan umum untuk keja sepeti pada pesamaan (6.) W F d Kita gunakan hukum Newton II untuk mengganti ungkapan gaya dengan pecepatan dengan menganggap bahwa massa benda tidak beubah, yaitu F ma. Dengan demikian 04

108 W ( ma) d m a d (6.7) Tetapi a dv / dt dan kita dapat menulis a d dv d d dv dv v dt dt Kita ingat sifat pekalian scala dua vekto yang sama yaitu difeensialkan tehadap waktu ke dua uas ini maka v v v. Kalau kita d ( v ) d( v v) dt dt Dengan menggunakan atuan difeensial pasial maka d( v v) dt dv dv dv v + v v dt dt dt Dengan demikian kita peoleh d( v ) dt dv v dt atau d ( v ) v dv Akhinya kita dapat menulis a d d( v ) (6.8) Substitusi pesamaan (6.8) ke dalam pesamaan (6.7) kemudian mengganti batas integal posisi dai sampai menjadi batas integal laju dai v sampai v dipeoleh 05

109 keja yang dilakukan gaya menjadi W v m v d( v ) ( v ) m v K K yang pesis sepeti pesamaan (6.6). Pinsip usaha enegi dapat membantu dalam bebeapa hal. Seingkali gaya yang bekeja pada benda sulit ditentukan. Lalu bagaimana bisa menentukan keja yang dilakukan gaya tesebut? Caanya adalah dengan menguku beapa enegi kinetik awal dan akhi benda. Selisih enegi kinetik tesebut (enegi kinetik akhi kuang enegi kinetik awal) meupakan usaha yang dilakukan gaya. Contoh 6.3 Benda yang mula-mula diam tiba-tiba memiliki enegi kinetik 00,0 J setelah bepindah sejauh 0,0 m. Beapa usaha yang dilakukan gaya dan beapa besa gaya ata-ata? Anggap aah gaya sama dengan aah pepindahan benda. Usaha yang dilakukan gaya W K K o 00,0 0 00,0 J Kaena gaya sejaja dengan aah pepindahan maka θ 0 o. Gaya ata-ata F memenuhi W F s cosθ F s cos0 o F s atau W 00,0 F 0,0 N s 0,0 Contoh 6.4 Sebuah benda yang memiliki massa 8,0 kg mula-mula begeak dengan laju,0 06

110 m/s di atas bidang data. Antaa benda dan bidang tedapat koefisien gesekan kinetik 0,3. Dengan menggunakan pinsip usaha enegi, tentukan jaak yang ditempuh benda hingga behenti. Enegi kinetik awal benda K mv 8, 0 (,0) 576 J Ene gi kinetik akhi benda (benda diam) adalah maka keja yang dilakukan gaya adalah K 0. Dengan pinsip usaha enegi, W K K J Gaya yang melakukan keja hanyalah gaya gesekan kinetik, yang besanya f µ N mg 0,3 8, N k k µ k Usaha yang dilakukan gaya gesekan adalah o Wk f k s cos80 40 s ( ) 40 s Usaha ini sama dengan peubahan enegi kinetik benda. Jadi atau 40 s s,4 m Daya Ada suatu gaya yang dapat melakukan usaha yang besanya tetentu dalam waktu yang sangat lama. Tetapi ada gaya lain yang dapat menghasilkan usaha yang sama dalam waktu yang sangat cepat. Maka untuk membedakan gaya dengan kemampuan menghasilkan enegi yang cepat dan lambat tesebut, didefinisikan suatu 07

111 besaan yang disebut daya. Daya didefinisikan sebagai dw P (6.9) dt dengan P daya (satuannya watt dan disingkat mendapatkan dw F d. Dengan demikian, W). Dai pesamaan (6.) kita P F d d F dt dt F v (6.0) Contoh 6.5 Sebuah gaya sebesa 45,0 N menaik benda hingga bepindah sejauh 35,0 mete salam waktu 8,0 s. Aah gaya pesis sama dengan aah pepindahan benda. Beapakah daya yang dilakukan gaya tesebut? Kaena gaya sejaja dengan pepindahan maka θ 0 o. Usaha yang dilakukan gaya o W F s cos θ 45,0 35,0 cos0 45,0 35,0 575 J Daya yang dihasilkan adalah 575 P W 97 W t 8,0 Contoh 6.6 Sebuah benda yang massanya,0 kg yang mula-mula diam dikenai sutu gaya. Setelah belangsung 0,0 s laju benda menjadi 5,0 m/s. Beapa daya yang dilakukan gaya tesebut? Usaha yang dilakukan gaya kita tentukan dai selisih enegi kinetik benda. Enegi kinetik mula-mula benda 08

112 K 0 (kaena benda diam) Enegi kinetik akhi benda K mv,0 (5,0) 50 J Peubahan negi kinetik benda K K K J Usaha yang dilakukan gaya sama dengan peubahan enegi kinetik benda. Jadi W K 50 J Daya yang dihasilkan W P t ,0 W 6.4 Gaya Konsevatif Keja yang dilakukan oleh gaya untuk memindahkan benda umumnya begantung pada lintasan yang ditempuh. Beda lintasan umumnya menghasilkan keja yang bebeda meskipun posisi awal dan akhi sama. Namun ada jenis gaya, di mana usaha yang dilakukan oleh gaya tesebut sama sekali tidak begantung pada lintasan yang ditempuh. Usaha yang dilakukan gaya semata-mata begantung pada posisi awal dan posisi akhi benda. Gaya yang memiliki sifat demikian disebut gaya konsevatif. Contoh gaya konsevatif adalah mm Gaya gavitasi: F ( ) G qq Gaya listik (Coulomb): F ( ) k Gaya pegas (Hooke): F( x) kx 6A B Gaya anta molekul: F( )

113 Lintasan Lintasan Posisi akhi Posisi awal Lintasan 3 Gamba 6.5 Lintasan mana pun yang ditempuh benda, apakah lintasan, lintasan, atau lintasan 3, usaha yang dilakukan gaya konsevatif untuk memindahkan benda dai psosisi awal ke posisi akhi sama. Gaya yang tidak memenuhi sifat di atas kita kelompokkan sebagai gaya non konsevatif. Contoh gaya non konsevatif adalah gaya gesekan, gaya tumbukan dua benda ketika poses tumbukan menghasilkan panas, dan sebagainya. Jika benda dikenai gaya konsevatif lalu benda bepindah dan kembali ke posisi semula maka usaha total yang dilakukan gaya tesebut nol. Ketika benda dilempa ke atas maka selama benda begeak ke atas gaya gavitasi (konsevatif) melakukan usaha negatif. Saat benda tuun kembali ke tempat pelempaan, usaha yang dilakukan gaya gavitasi positif. Usaha yang dilakukan gaya gavitasi saat benda begeak sampai puncak lintasan (negatif) pesisis sama besa dengan usaha yang dilakukan gaya gavitasi saat benda tuun dai posisi tetinggi kembeli ke tempet pelempaan (positif), hanya tandanya belawanan. Sehingga usaha total yang dilakukan gaya gavitasi untuk memindahkan benda dai tempat pelempaan ke posisi maksimum dan kembali lagi ke tempat pelempaan adalah nol. Ketika planet melengkapi satu evolusi mengelilingi matahai maka usaha yang dilakukan gaya gavitasi planet adalah nol. Akibatnya, kecepatan planet tetap sepeti semula. 6.5 Enegi Potensial Kaena usaha yang dilakukan oleh gaya konsevatif hanya begantung pada posisi awal dan akhi maka kita akan tetolong jika mendefinisikan suatu besaan yang namanya enegi potensial. Di tiap titik dalam uang yang mengandung medan konsevatif (atinya apabila benda diletakkan dalam suatu titik dalam uang tesebut 0

114 maka benda mengalami gaya konsevatif) maka ada enegi potensial yang begantung pada posisi dan massa benda. Enegi potensial didefinisikan sebagai beikut: Usaha yang dilakukan gaya konsevatif untuk memindahkan benda dai posisi awal ke posisi akhi sama dengan negatif selisih enegi potensial akhi dan awal. Misalkan benda mula-mula beada pada posisi dan bepindah ke posisi. Enegi potensial saat di posisi : U( ) Enegi potensial saat doi posisi : U( ) Peubahan enegi potensial: U U( ) U( ) Usaha yang dilakukan oleh gaya konsevatif: W Bedasakan definisi di atas maka W U (6.) Enegi Potensial Gavitasi di Sekita Pemukaan Bumi Gaya gavitasi bumi temasuk gaya konsevatif. Dengan demikian kita dapat mendefinisikan enegi potensial gavitasi. Beikut kita tuunkan enegi potensial gavitasi di sekita pemukaan bumi. Kita membatasi pada daeah di sekita pemuykaan bumi kaena di daeah tesebut pecepatan gavitasi dapat dianggap konstan. i) Misalkan sebuah benda bepindah secaa vetical dai ketinggian h ke ketinggian h. ii) Gaya gavitasi yang bekeja pada benda adalah: W - m g (aah ke tas kita ambil positif sehingga gaya gavitasi dibei tanda negatif) iii) Pepindahan benda adalah: h h h Usaha yang dilakukan gaya gavitasi bumi W W h mg( h mgh ) (6.) g h ) ( mgh Kaena keja oleh gaya konsevatif sama dengan selisih enegi potensial maka kita dapat juga menulis

115 W U U U ) U ( ) (6.3) g ( U Dengan membandingkan pesamaan (6.) dan (6.3) kita dapat mendefinisikan enegi potensial gavitasi di sekita pemukaan bumi adalah U mgh (6.4) Contoh 6.7 Sebuah benda yang massanya 5,0 kg jatuh dai ketinggian 0,0 m ke ketinggian 5,0 m. Beapa peubahan enegi potensial benda dan beapa usaha yang dilakukan gaya gavitasi? Enegi potensial awal U m g h 5,0 0 0,0 000 J Enegi potensial akhi U m g h 5,0 0 5,0 50 J Peubahan enegi potensial benda U U U J Usaha yang dilakukan yaitu gaya gavitasi sama dengan negatif peubahan enegi potensial, W g U - (-750) 750 J Bentuk Umum Enegi Potensial Gavitasi Enegi potensial gavitasi yang diungkapkan oleh pesamaan (6.4) hanya bena jika lokasi benda beada di sekita pemukaan bumi di mana pecepatan gavitasi bumi dapat dianggap konstan pada bebadai titik. Namun, jika benda begeak hingga pada jaak yang jauh dai bumi, maka pesamaan (6.4) tidak belaku. Oleh kaena itu kita pelu menentukan ungkapan enegi potensial gavitasi yang lebih umum. Gaya gavitasi bumi yang bekeja pada benda yang memiliki massa m adalah F M Bm G ˆ (6.5)

116 dengan G konstanta gavitasi univesal, bumi dan M B massa bumi, jaak benda dai pusat ˆ vekto satuan yang seaah dengan jai-jai bumi. Tanda negatif menunjukkan bahwa aah gaya gavitasi bumi mengaah ke pusat bumi, yaitu belawanan dengan aah ˆ yang kelua menjauhi bumi. Bedasakan definisi usaha, kita dapat menulis usaha yang dilakukan oleh gaya gavitasi bumi untuk memindahkan benda dai posisi ke posisi adalah W F d Dengan menggunakan definisi enegi potensial, usaha ini sama dengan negatif peubahan enegi potensial, atau W U [ U ( ) U ( ) ] Dai dua pesamaan di atas kita dapat menulis U ) U ( ) F d ( (6.6) Lebih khusus, jika kita pilih sebagai posisi efeensi, yaitu ef, dan adalah posisi sembaang, yaitu saja maka pesamaan (6.6) dapat ditulis menjadi U ( ) U ( ef ) F d ef ef M Bm G ˆ d GM Bm ef d GM B m ef 3

117 GM B m ef (6.7) Jika kita memilih bahwa titik efeensi beada pada jaak tak behingga dan nilai potensial di posisi efeensi tesebut diambil sama dengan nol maka U ( ) 0 GM B m yang mebeikan enegi potensial pada sembaang jaak dai pusat bumi adalah GM U ( ) B m ( 6.8) Contoh 6.8 Beapa enegi potensial gavitasi sebuah benda yang memiliki jaak dai pusat bumi sebesa dua kali jai-jai bumi? Massa benda adalah 4,0 kg dan jai-jai bumi 6400 km. U G Mm Mm G R Mm G R R R M G R mr Tetapi GM / R g, menulis yaitu pecepatan gavitasi di pemukaan bumi. Jadi, kiuta dapat U mr g 6 4,0 (6,4 0 ) 0 -,8 0 8 J. 6.6 Enegi Mekanik Pada teoema usaha enegi, gaya yang bekeja pada benda yang mengubah enegi kinetik adalah semua jenis gaya, baik yang konsevatif maupun yang non konsevatif. Kita telah mempeoleh umus umum W K. Kita dapat memisahkan keja yang dilakukan oleh gaya konsevatif dan non konsevatif dan menulis W sebagai beikut 4

118 W W kons + W non (6.9) kons Tetapi, bedasakan pesamaan (6.), ditulis sebagai W kons U, sehingga pesamaan (6.9) dapat W U + (6.0) W non kons Dengan menggunakan pinsip usaha enegi bahwa keja yang dilakukan sama dengan peubahan enegi kinetik maka pesamaan (6.0) dapat kita tulis menjadi K U + W non kons atau W non kons U + K ( U + K ) ( U + K ( U U ) + ( K ) K ) (6.) Kita definisikan besaan yang namanya enegi mekanik EM U + K (6.) sehingga kita dapat menulis pesamaan (6.) sebagai W non kons EM EM atau W non kons EM (6.3) Pesmaan menyatakan bahwa usaha yang dilakukan oleh gaya non konsevatof sama dengan peubahan enegi mekanik benda. Contoh 6.9 Sebuah benda yang memiliki massa 0,5 kg meluncu tuun dai bidang miing yang kasa dengan laju awal nol. Ketinggian bidang miing dai dasa adalah 3,0 m. 5

119 Saat di dasa, laju benda adalag 6,0 m/s. Beapa usaha yang dilakukan oleh (a) gaya gavitasi dan (b) gaya gesekan? (a) Usaha yang dilakukan oleh gaya gavitasi sama dengan negatif peubahan enegi potensial. Enegi potensial awal: U m g h 0, J Enegi potensial akhi: U m g h 0, J Peubahan enegi potensial: U U U J Usaha yang dilakukan gaya gavitasi: W g - U - (-5) 5 J (b) Menentukan usaha oleh gaya gesek (non konsevatif) Enegi kinetik awal benda: K 0 Enegi kinetik akhi benda: K ( / ) mv (/ ) 0,5 6 9 J Enegi mekanik awal: EM U + K J Enegi mekanik akhi: EM U + K J Peubahan enegi mekanik: EM EM EM J Usaha yang dilakukan oleh gaya gesekan (gaya non konsevatif) adalah W ges EM - 6 J. 6.7 Hukum Kekekalan Enegi Mekanik Suatu kasus menaik muncul jika pada benda hanya bekeja gaya konsevatif dan tidak ada gaya non-konsevatif. Dalam kondisi demikian maka W 0 sehingga bedasakan pesamaan (6.3) EM 0 atau non kons EM EM (6.4) Hubungan ini adalah ungkapan dai hukum kekekalan enegi mekanik. Jadi, jika tidak ada gayan non-konsevatif yang bekeja pada benda maka enegi menakin benda kekal. Contoh 6.0 Sebuah batu yang massanya 0 gam dilempakan ke atas dengan laju awal 8,0 m/s. Dengan menggunakan hukuk kekekalan enegi mekanik: (a) tentukan laju batu saat ketinggiannya 3,0 mete dan (b) ketinggian maksimum yang dicaiap batu. 6

120 Abaikan gesekan udaa. Gaya yang bekeja pada batu hanya gaya gavitasi yang sifatnya konsevatif. Dengan demikian, belaku hukum kekekalan enegi mekanik. Enegi mekanik saat batu dilempakan EM U + K mgh + mv 0, , 8 3,84 J (a) Enegi mekanik saat batu mencapai ketinggian h m adalah EM U + K mgh + mv 0, 0 + 0, v,4 + 0, 06v Dengan hukum kekekalan enegi mekanik EM EM maka atau atau,4 + 0,06v 3,84 3,84,4 v 4 0,06 v 4 4,9 m/s (b) Saat benda mencapai ketinggian maksimum v 0. Enegi mekaniknya adalah 3 EM U + K mgh mv 0, 0 h 3 + 0, 0, h 3 3 Dengan hukum kekekalan enegi EM EM maka atau,h 3 3,84 7

121 3,84 h 3 3, m, Contoh 6. Dengan menggunakan hukum kekekalan enegi, tentukan laju minimum aga benda lepas dai ikatan gavitasi bumi. Diketahui jai-jai bumi 6,4 0 6 m dan pecepatan gavitasi di pemukaan bumi g 9,8 m/s. Misalkan laju benda saat dilepaskan dai pemukaan bumi v o. Kita gunakan umus enegi potensial gavitasi bumi yang lebih umum kaena akan menyangku geak benda sampai jaak yang jaug dai bumi. Enegi mekanik benda saat di pemukaan bumi Mm EM U + K G + R mv o dengan M massa bumi, m massa benda, dan R jai-jai bumi. Benda dikatakan lepas dai ikatan gavitasi bumi jika benda tesebut dapat mencapai jaak tak behingga. Laju minimum untuk lepas adalah laju sehingga pada jaak tak behingga dai bumi, laju benda nol. Jadi, enegi mekanik benda pada jaak tak behingga adalah Mm EM 0 U + K G + m 0 Dengan menggunakan hukum kekekalan enegi mekanik EM EM maka Mm G + mv o 0 ( 6.5) R yang dapat ditulis sebagai v o GM R GM R R Tetapi, kita tulis GM / R g, v o Rg yaitu pecepatan gavitasi di pemukaan bumi, sehingga dapat (6.6) 8

122 Dengan menggunakan data di soal kita dapatkan v o 6 (6,4 0 ) 9,8, atau 8 v o,54 0, 0 4 m/s 6.8 Usaha oleh gaya pegas Bedasakah hukum Hooke, gaya yang dilakukan oleh pegas ketika pegas menyimpang sejauh x dai titik seimbang adalah F k x (6.7) Usaha yang dilakukan oleh pegas ketika menyimpang dai pososi seimbang x 0 ke posisi sembaang x yang sembaang adalah x W Fdx 0 Kaena gaya pegas meupakan gaya konsevatif maka usaha yang dilakukan gaya pegas sama dengan negatif selisih enegi potensial pegas, yaitu U x 0 F dx atau [ U ( x) U (0)] ( x 0 kx) dx atau 9

123 x x [ x ] U ( x) U (0) k x dx k kx 0 0 Dengan memilih enegi potensial nol pada titik seimbang maka dipeoleh enegi potensial pegas pada sembaang penyimpangan adalah U ( x) kx (6.8) Contoh 6. Ketika digantungkan dengan beban,5 kg, panjang pegas betambah sebesa 4 cm. Beapa enegi potensial pegas saat pegas menyimpang sejauh cm? Beat beban yang digantung pada pegas W mg,5 0 5 N Saat digantung beban tesebut, tejadi penyimpangan x 4 cm 0,0 m. Maka konstanta pegas adalah W 5 k 375 N/m. x 0,04 Ketika tejadi penyimpangan x cm 0,0 m maka enegi potensial pegas adalah U kx 0,075 J 375 (0,0) Contoh 6.3 Sebuah benda yang bemassa 00 g digantungkan pada ujung pegas yang memiliki konstanta 800 N/m. Benda teseb ut kemudian disimpangkan dai titik keseimbangan baus sejauh 4 cm. Dengan menganggap bahwa enegi potensial pada titik keseimbangan bau nol, hitunglah 0

124 a) Enegi kinetik dan enegi potensial saat benda akan dilepaskan dai simpangan maksimum. b) Enegi kinetik dan potensial saat simpangan pegas setngah dai simpangan maksimum c) Enegi kinetik dan potensial saat simpangan pegas nol. Dai infomasi soal kita dapatkan Konstanta pegas k 800 N/m Simpangan maksimum pegas x o 4 cm 0,04 m. a) Saat benda akan dilepaskan dai simpangan maksimum, benda tidak memiliki kecepatan. Enegi kinetik benda: K 0 Enegi potensial: U kxo 800 (0,04) 0, 64 J. b) Saat simpangan benda setengah simpangan maksimum: x x o / 0,0 m. U kx (,0) 0,6 J Kaena tidak ada gaya gesekan maka enegi mekanik konstan sehingga U + K U + K, atau K U + K U 0, ,6 0,48 J c) Saat simpangan pegas minimum, yaitu x 0, maka enegi potensial U 0. Enegi kinetik dihitung dengan hukum kekekalan enegi mekanik atau U 3 + K 3 U + K 0 + K 3 0, K 3 0,64 J Soal dan Penyelesaian ) Sebuah batu yang memiliki masss 50 kg jatuh dai sebuah tebing ke pantai yang beada 30 mete di bawah. Beapakah: (a) enegi kinetik, dan (b) laju batu tepat saat

125 akan menyentuh pantai? a) Kaena gaya yang bekeja hanya gaya gavitasi, maka kita dapat gunakan hukum kekekalan enegi mekanik EM EM U + K U + K mgh + mv mgh + K K atau K K 5000 J b) Laju benda saat tepat akan menyentuh pantai, v memenuhi atau K mv v K m v m/s ) Seoang pembalap sepeda menaiki tanjakan dengan laju tetap. Setelah 00 s, ketinggian yang dicapai adalah 5 m. Massa pembalap besama sepedanya adalah 60 kg. Hitunglah daya ata-ata yang dihasilkan pembalap Kaena laju sepeda tetap mama laju sepeda saat di dasa dan di puncak lintasan tetap sehingga enegi kinetik saat di dasa dan di puncak lintasan sama. Keja yang dilakukan pembalap meupakan gaya non-konsevatif. Dengan menggunakan pesamaan (6.3) W Wnon kons EM EM EM + K ( mgh + K ) ( mgh )

126 Kaena laju pembalap tetap, maka K K sehingga W mg( h h ) J Daya yang dikeluakan pembalap 5000 P W 50 W t 00 3) Pada lintasan ski yang menuun, panjang total lintasan dai titik stat ke titik finish adalah 800 m. Penuunan toyal secaa vetikal titik finihs tehadap titik stat adalag 550 m. Beat pemain ski (temasuk pelengkapannya) adalah 900 N. Waktu yang dipelukan pemain bepindah dai titik stat ke titik finish adalah 65 s. Hitunglah (a) Laju ata-ata pemain ski selama meluncu. (b) Kehilangan enegi gavitasi ketika pemain ski bepindah dai titik stat ke titik finish. (c) Jika gaya hambat ata-ata yang dialami pemain ski adalah 50 N, beapa usaha yang dilakukan untuk melawan gaya hambatan tesebut? Panjang lintsan yang ditempuh s 800 m, waktu tempuh t 65 s, dan gaya hambat ata-afa f k 50 N. a) Laju ata-ata pemain ski s 800 v 8 m/s t 65 b) Kehilangan enegi gavitasi hanya begantung pada ketinggian vetikal lintasan, yaitu U mg h h ) W ( h h ) 900 (0 550) -4,5 0 5 J. ( c) Usaha yang dilakukan untuk melawan gaya hambat ata-ata W f s ,5 0 5 J k 3

127 4) Beapa keja maksimum yang dipelukan untuk mendoong mobil yang memiliki massa 000 kg sejauh 300 m mendaki tanjakan yang kemiingannya 7,0 o? (a) Jika dianggap tidak ada gaya gesekan antaa mobil dengan jalan (b) Jika koefisien gesekan anta a mobil dengan jalan adalah 0,5 s300 m θ7,5 o h N θ Gamba 6.6 W Kita menganggap saat didoong laju mobil tetap sehingga tidak ada peubahan enegi kinetik selama geakan. (a) Gaya non konsevatif yang bekeja hanya gaya doong. Dengan pinsip usaha enegi, W non kons EM EM + K ( U + K ) ( U ) Kaena laju mobil dianggap tetap maka K K, sehingga W non kons ( U U ) mgh o Bedasakan Gb 6.6 h 300 sin7, , 3 90 m sehingga W non kons mgh J. Jadi usaha doongan yang dipelukan adalah J. (b) Gaya non konsevatif yang bekeja pada benda adalah gaya doong dan gaya gesekan. Sehingga 4

128 W W + W non kons doong ges Tetapi W ges f ges s µ Ns µ W sinθ s µ mg sinθ s o 0, sin7, , , ,5 0 5 J. Dengan demikian, usaha doongan yang dilakukan 5 5 W W W 9 0 (,5 0 ),5 0 5 J. doong non kons ges 5) Sebuah pegas vetikal memiliki onstanta 900 N/m dikaitkan pada meja. Pegas tesebut kemugian ditekan sejauh 0,5 m. (a) Beapa laju benda yang bemassa 300 g yang dapat dibeikan oleh pegas tesebut? (b) Beapa jauh di atas posisi awal pegas (sebelum ditekan) bola akan tebang? h x o Gamba 6.7 A B C Pada posisi A: Enegi potensial pegas: U 900 (0,5) pa kxo 0, 5 J Enegi potensial gavitasi: U mgx 0,3 0 0,5 0, 45 J Enegi kinetik: K A 0 ga o 5

129 Enegi mekanik: EM A U pa + U ga + K A 0,5 0, ,675 J a) Menentukan laju benda tebesa ketika beada pada posisi B: Enegi potensial pegas: U pb k 0 0 J Enegi potensial gavitasi: U gb mg 0 0 J Enegi kinetik: K mv B B 0,3 v 0,5v Enegi mekanik: EM B U + U + K ,5v 0,5v J pb gb B Kaena enegi mekanik konstan maka EM B EM A, atau 0,5v 9,675 yang membeuikan nilai untuk laju 9,675 v 64,5 8 m/s. 0,5 c) Menentukan ketinggian maksimum yang dicapai benda (posisi C) Enegi potensial pegas: U 0 J pc Enegi potensial gavitasi: U gc mgh 0,3 0 h 3h J Enegi kinetik: Enegi mekanik: K 0 (kaena benda di puncak lintasan) C EM U + U + K 0 + 3h + 0 h J C pc gc C 3 Dengan hukum kekekalan enegi mekanik EM C EM A dipeoleh atau 3h 9,675 h 9,675/3 3,5 m 6) Sebuah bola bemassa,5 kg yang mula-mula diam jatuh secaa vetikal sejauh 55 cm sebelum menhenai sebuah pegas vetikal. Benda tesebut menekan pegas sejauh 5 cm sebelum kemudian behenti. Hitunglah konstanta pegas. 6

130 h x o 0,5 m A B C Gamba 6.8 Bola jatuh mengenai pegas Kaena tidak ada gaya non konsevatif yang bekeja maka kita dapat menggunakan hukum kekekalan enegi mekanik. Di sini da dua macam enegi potensia, yaitu enegi potensial pegas dan enegi potensial gavitasi. Kita ambil ketinggian benda pada posisi B sebagai ketinggian nol. Pada posisi A: Enegi potensial gavitasi: U ga m g h Enegi potensial pegas : U pa 0 Enegi kinetik benda :K A 0 Pada posisi C: Enegi potensial gavitasi: U gb - m g x o Enegi potensial pegas : U pb (/) k x o Enegi kinetik benda :K B 0 Dengan hukum kekekalan enegi mekanik kita peoleh atau U ga + U pa + K A U gb + U pb + K B mgh mgx o + kx o + 0 7

131 atau kx o mgh + mgxo mg( h + xo ) k mg( h + x o ),5 0 (0,55 + 0,5) 35 (0,5) 0,05 x o 556 N/m. 7) Sebuah mobil yang sedang begeak dengan laju 60 km/jam diem sehingga behenti pada jaak 0 m. Jika mobil tesebut mula-mula begeak dengan laju 0 km/jam, beapa jauh mobil bau behenti jika diem? Enegi kinetik awal mobil: K ( / mv. ) Enegi kinetik akhi mobil: K 0. Peubahan enegi kinetik mobil: K K K 0 (/ ) mv (/ mv. ) Gaya gesekan oleh em dengan aah geak mobil belawanan aah, atau θ 80 o. Dengan demikian, keja yang dilakukan oleh em: W Fs cosθ F s cos80 o F s Dengan teoema usaha enegi, maka W K atau Fs ( / ) mv Jika gaya yang dilakukan em tetap sama, maka s v Dengan demikian, s s v v 8

132 atau v s s v Dengan menggunakan, v 60 km/jam, v 0 km/jam, dan s 0 m, maka (0) s 0 80 m (60) 8) Sebuah keeta yang memiliki massa 50,0 kg ditaik sejauh 40,0 m dengan gaya 00,0 N yang membentuk sudut 37o tehadap aah pepindahan. Lantai besifat licin dan menghasilkan gaya gesekan pada keeta sebesa 50,0 N. Tentukan keja yang dilakukan oleh masing-masing gaya dan keja total yang dilakukan oleh semua gaya. Keja yang dilakukan oleh gaya F adalah o W F s cos θ 00,0 40,0 cos37 00,0 40,0 (4 / 5) 3 00 J Gaya gesekan belawanan dengan aah pepindahan sehingga θ 80 o. Keja yang dilakukan oleh gaya gesekan menjadi W k f k s cosθ ' 50,0 40,0 cos80 o 50,0 40,0 ( ) J Keja total W W + W 300+ ( 000) 00 J T k Soal-Latihan. Jika lintasan bulan mengelilingin bumi bebentuk ellips, apakah bumi melakukan keja pada bulan selama bulan mengitai bumi?. Massa planet Mas adalah 6,4 0 3 kg, jai-jainya 3, m, dan peiode otasinya 8, s. (a) Hitung peubahan enegi potensial pe satuan massa 9

133 yang dimiliki pesawat Mas Lande ketika bepindah dai jaak,0 0 7 m ke pemukaan Mas. (b) Hitung laju minimum yang dipelukan benda untuk lepas dai taikan Mas. 3. Seoang yang massanya 70 kg belai menaiki tangga yang memiliki ketinggian vetikal 4,5 m. Waktu yang dipelukan untuk mencapai puncakn tangga adalah 4,0 m. (a) Beapa usaha yang dilakukan pelai tesebut. (b) Beapa daya yang dikeluakan pelai tesebut? 4. Keeta yang memiliki beat 900 N mula-mula diam di lantai. Beapa keja yang dipelukan untuk menggeakkan keata pada laju konstan: (a) sejauh 6,0 mete sepanjang lantai yang melakukan gaya gesekan 80 N pada benda, (b) digeakkan secaa vetikan setinggi 6,0 m? 5. Seoang laki-laki beenang melawan aus sungai. Jika ia tidak begeak tehadap tepi sungai, apakah ia melakukan keja? Jika laki-laki tesebut diam mengambang saja dan dibawa oleh aus sungai, apakah ia melakukan keja? 6. (a) Jika enegi kinetik sebuah benda dipebesa menjadi dua kali, beapa kali peubahan lajunya? (b) Jika laju sebuah benda dipebesa menjadi dua kali, menjadi beapa kalikan enegi kinetiknya? 7. Sebuah bola baseball yang memiliki massa 40 g begeak dengan laju 35 m/s. Bola tesebut ditangkap oleh pemain lawan. Saat ditangkap, tangan pemain mundu ke belakang sejauh 5 cm. Beapa gaya ata-ata yang dilakukan tangan pemain? 8. Beapa usaha yang dipelukan untuk menghentikan electon yang sedang begeak dengan laju,9 0 6 m/s. Massa electon 9, 0-3 kg. 30

134 Bab 7 Elastisitas Bahan Ambil sebuah pegas, lalu egangkan. Tampak bahwa panjang pegas betambah. Namun, begitu dilepaskan, pegas kembali ke panjang semula. Sebaliknya, jika pegas ditekan dai dua ujungnya maka panjang pegas bekuang. Namun, begitu tekanan dihilangkan, pegas akan kembali ke panjang semula. Sifat pegas yang kembali ke keadaan semula setelah gaya yang bekeja padanya dihilangkan disebut sifat elasis. Namun, besa taikan atau tekanan yang dibeikan tidak boleh telalu besa. Jika pegas ditaik cukup jauh, bisa tejadi setelah taikan dihilangkan, panjang akhi pegas lebih besa daipada panjang semula. Begitu pula jika pegas ditekan cukup jauh, bisajadi panjang akhi pegas lebih kecil daipada panjang semula. Kondisi ini tejadi kaena pegas telah melampaui batas elastisitasnya. 7. Modulus Elastisitas Sifat elastis tidak hanya dimiliki oleh pegas, tetapi juga oleh bahan lainnya. Hampi semua bahan mempelihatkan sifat elastisitas. Ada bahan yang sangat elastis sepeti kaet dan ada yang kuang elastis sepeti keamik. Sifat elastis adalah sifat bahan yang cendeung kembali ke bentuk semula ketika gaya yang bekeja pada benda dihilangkan. Kawat besi yang ditaik dengan gaya tetentu mengalami petambahan panjang, dan jika gaya yang bekeja pada kawat tesebut dilepaskan, maka panjang kawat besi kembali ke semula. Ada benda yang sangat mudah diubah-ubah panjangnya, dan ada yang sangat sulit diubah panjangnya. Benda yang bentuknya mudah diubah oleh gaya dikatakan lebih elastis. Untuk membedakan bahan bedasakan keelastisannya, maka didefinsikan besaan yang namanya modulus Young. Benda yang lebih elastis (lebih lunak) memiliki modulus elastis yang lebih kecil. Modulus Young Misalkan sebuah benda memiliki panjang L. Jika benda tesebut ditaik dengan gaya tetentu, maka panjang benda betambah L. Besa petambahan panjang tesebut bebanding luus dengan panjang semula, atau L L (7.) Hubungan ini yang menjadi alasan mengapa menambah panjang kaet yang lebih 3

135 panjang lebih mudah dilakukan daipada menambah panjang kaet yang lebih pendek. Untuk mengganti kesebandingan di atas dengan tanda sama dengan, kita pekenalkan sebuah konstanta, δ, sehingga L δ L (7.) Konstanta δ dikenal dengan egangan atau stain. L o L F Gamba 7. Kawat ditaik dengan gaya tetentu mengalami petambahan panjang Ketika suatu gaya F ditekankan atau digunakan untuk meegangkan sebuah benda yang memiliki luas penampang A, maka gaya tesebut diseba ke seluuh penampang benda. Makin luas penampang benda yang dikenai gaya, makin kecil gaya pe satuan luas yang diasakan pemukaan, yang pada akhinya akan bepengauh pada peubahan panjang benda. Yang lebih menentukan peubahan panjang benda bukan besanya gaya secaa langsung, tetapi gaya pe satuan luas penampang. Besa gaya pe satuan luas penampang ini disebut tekanan atau stess, F σ (7.3) A Dai hasil pecobaan yang dilakukan oang pada sejumlah besa bahan diamati sifat yang menaik, yaitu pebandingan tekanan dan egangan untuk suatu benda selalu konstan. Penyataan ini dapat diungkapkan dengan pesamaan beikut ini σ Y konsntant (7.4) δ Konstanta Y dikenal dengan modulus Young bahan. Dengan mensubtitusi pesamaan (7.) dan (7.3) ke dalam pesamaan (7.4) kita dapat juga menulis 3

136 Y F / A L / L atau F YA L (7.5) L Bandingkan pesamaan (7.5) dengan hukum Hooke untuk pegas F kx. Tampak kemiipan bukan? Kemiipan ini muncul kaena bahan pun menunjukan sifat elastis sepeti pegas. Dai kemiipan tesebut dapat kita simpulkan bahwa untuk bahan, konstanta pegas yang dimilikinya memenuhi pesamaan YA k (7.6) L Contoh 7. Suatu kawat baja memiliki diamete mm dan panjang 4 m. Kawat tesebut digunakan untuk menggantung benda yang bemassa 5,0 kg. Modulus Young kawat adalah N/m. Bedasakan infomasi tesebut hitunglah a) Petambahan panjang kawat b) Konstanta pegas untuk kawat Dai infomasi soal kita dapatkan diamete kawat d mm 0-3 m, jai-jai kawat d/ 0-3 m, luas penampang kawat A π 3,4 ( 0-3 ) 3,4 0-6 m, panjang kawat L 4 m, dan beat beban W mg 5, N. a) Bedasakan pesamaan (7.3) dan (7.4) stain kawat adalah σ W 50 δ Y Y A (00 0 )(3,4 0 ) Dengan menggunakan pesamaan (7.) petambahan panjang kawat adalah L δl (8 0 5 ) 4 3, 0-4 m 33

137 b) Dengan menggunakan pesamaan (7.6) konstanta pegas untuk kawat 9 6 YA (00 0 ) (3,4 0 ) k, N/m L 4 Modulus Gese Disamping dapat menyebabkan panjang benda beubah (bekuang atau betambah), gaya dapat juga menyebabkan bentuk benda beubah. Misalkan kalian memiliki sebuah balok kaet. Salah satu sisinya dilengketkan di pemukaan meja. Pada sisi atas kalian doong dengan gaya menyinggung pemukaan kaet. Apa yang kalian amati? Tentu bentuk benda menjadi miing di mana sisi atas begese. Besanya peubahan bentuk benda begantung pada jenis bahan. Untuk membedakan espons benda tehadap gaya gese tesebut maka didefinisikan suatu besaan yang namanya modulus gese. Makin sulit benda beubah bentuk, maka makin besa nilai modulus gesenya. F Sebelum dikenai gaya gese Setelah dikenai gaya gese Gamba 7. Benda bebentuk balok yang dikenai gaya gese. Bedasakan pecobaan yang dilakukan pada sejumlah benda diamati bahwa pegesean posisi ujung atas benda saat dikenai gaya gese sebanding dengan tinggi benda, atau L L (7.7) Untuk mengubah tanda kesebandingan dengan tanda sama dengan, kita pekenalkan konstanta δ yang dinamai stain gese, sehingga L δl (7.8) 34

138 L A F L Gamba 7.3 Besaan-besaan yang mempengauhi bentuk benda. Besanya peubahan posisi ujung benda tidak begantung langsung pada besanya gaya gese, tetapi begantung pada gaya gese pe satuan luas pemukaan yang disentuh gaya. Maka kita pelu mempekenalkan besaan yang namanya tekanan gese, F σ (7.9) A Tekanan gese agak bebeda dengan tekanan yang mengubah panjang benda. Pada pehitungan tekananan gese, aah gaya sejaja dengan aah pemukaan. Sedangkan pada saat membahas peubahan panjang benda, aah gaya yang bekeja tegak luus pemukaan. Bedasakan ekspeimen untuk sejumlah besa bahan dipeoleh hubungan yang menaik, yaitu Pebandingan antaa tegangan gese dan egangan gese selalu konstan, atau σ G konstant (7.0) δ Konstanta G dinamakan modulus gese. Dengan mensubtitusi pesamaan (7.8) dan (7.9) ke dalam pesamaan (7.0) kita dapat menulis 35

139 atau G F / A L / L F GA L (7.) L Pesamaan (7.) juga mengambil bentuk hukum Hooke, dengan konstanta pegas GA k (7.) L Modulus Volum Jika sebuah benda ditekan dai semua sisi, maka volum benda akan bekuang. Dai sejumlah ekspeimen diamati bahwa penguangan volum V memenuhi i) Bebanding luus dengan volum semula ii) Sebanding dengan peubahan tekanan yang dibeikan P P P P P Gamba 7.4 Benda mengalami penyusutan volum ketika dikenai tekanan dai segala aah Dai pengamatan tesebut dapat dituunkan hubungan antaa peubahan volum, volum awal benda, dan peubahan tekanan sebagai beikut V V o P (7.3) Kalau kesebandingan di atas diganti dengan tanda sama dengan, maka kita pekenalkan suatu konstanta pembanding, B, sehingga 36

140 V V B o P (7.4) Konstanta B dikenal dengan modulus volum dai benda. Tanda negatif menginfomasikan bahwa, makin besa peubahan tekanan yang dibeikan maka makin kecil volum akhi benda atau tekanan menyebabkan penguangan volum benda. 7. Sususan Kawat Dalam aplikasi, kadang oang tidak hanya menggunakan satu mateial, tetapi sejumlah mateial yang disusun dengan caa tetentu guna mendapatkan sifat yang diinginkan. Petanyaan kita adalah, beapakah konstanta pegas pengganti dai susunan mateial-mateial tesebut? Kita akan membahas susunan mateial secaa sei dan paallel, kaena ini adalah susunan yang paling mudah. Susunan kawat secaa sei Misalkan kita menyambungkan dua kawat dengan konstanta pegas k dan k. L 0 k L 0 + L k L 0 k L 0 + L k m Gamba 7.3 Susunan kawat secaa sei. Sebelum dibei beban, panjang masing-masing kawat adalah L 0 dan L 0. Ketika 37

141 dibeikan beban yang menaik dengan gaya W mg, maka Kawat atas betambah sejahu L Kawat bawah betamban sejauh L Petambahan panjang total susunan kawat adalah L L + L. Gaya yang bekeja padakawat atas dan kawat bawah sama besanya, dan sama dengan gaya yang dibeikan oleh beban. Jadi W W k L atau k L atau W L (7.5) k W L (7.6) k Jika k adalah konstanta pengganti untuk susunan dua kawat di atas, maka belaku ef W k ef L atau W L (7.7) k ef Dai pesamaan panjang total L L + L kita dapatkan W kef W k W + k Hilangkan W pada ke dua uas, kita peoleh konstanta pegas penggati memenuhi pesamaan k + ef k k (7.8) Contoh 7. Dua buah kawat yang tesambung secaa sei tegantung pada suatu atap. Konstanta pegas masing-masing kawat adalah 800 N/m san 400 N/m. Pada ujung 38

142 bawah sambungan kawat diikatkan sebuah benda yang bemassa 0,5 kg. Beapa fekuensi osilasi benda? Kita tentukan dahulu konstanta efektif susunan dua kawat atau k ef k k k ef 800 / 3 67 N/s Fekuensi osilasi memenuhi k ef 67 ω ad/s. m 0,5 Susunan Paalel Misalkan kita memiliki dua pegas yang tesusun secaa paallel sepeti pada Gamba 7.4. Sebelum mendapat beban, panjang masling-masing kawat adalah L o. Ketika dibei beban, kedua kawat mengalami petambahan panjang yang sama besa L. Gaya W yang dihasilkan beban, tebagi pada dua kawat, masing-masing besanya F dan F. Bedasakan hokum Hooke, maka F k L (7.9) F k L (7.0) Jika k adalah konstanta efektif susunan kawat, maka tepenuhi ef W k ef L (7.) Kaena gaya ke bawah dan jumlah gaya ke atas pada beban haus sama maka W F + F 39

143 atau k ef L k L + k L L 0 k k L 0 + L k k m Gamba 7.4 Dua kawat yang tesusun secaa paallel. (kii) sebelum dibei beban dan (kanan) setelah dibei beban Dengan menghilangkan L pada kedua uas, dipeoleh k ef k + k (7.) Contoh 7. Beapa peiode osilasi benda yang digantungkan pada dua pegas yang disusun secaa paallel masing-masing dengan konatnta 50 N/m dan 550 N/s? Massa beban adalah 600 g. Kita hitung dahulu konstanta efektif pegas k ef k k N/m Fekuensi osilasi benda k ef 800 ω ,5 ad/s m 0,6 40

144 Peiode osilasi pegas π 3,4 T 0,7 s. ω 36,5 Soal dan Penyelesaian ) Ketika ditaik dengan gaya 8 N, sebuah pegas mengalami petambahan panjang cm. Tentukan a) Konstanta pegas b) Simpangan pegas jika dibeikan gaya 0 N c) Simpangan pegas jika digantung dengan beban kg. d) Fekuensi osilasi pegas ketika digantung dengan beban 400 g a) Ketika dibei gaya F 8 N, pegas mengalami petambahan panjang x cm 0,0 m. Maka, konstanta pegas adalah F 8 k 400 N/m x 0,0 b) Jika dibeikan gaya F 0 N maka simpangan pegas adalah F 0 x 0,05 m,5 cm k 400 c) Jika digantungkan dengan beban kg, maka pegas mengalami gaya taik W mg 0 0 N. Simpangan pegas adalah W 0 x 0,05 m 5 cm. k 400 d) Jika digantungi beban m 400 g 0,4 kg maka fekuensi osilasi adalah k 400 ω ad/s. m 0,4 ) Empat buah pegas sejenis dengan konstanta 500 N/m disusun secaa sei. Susunan 4

145 pegas tesebut digantungi benda bemassa kg. Hitunglah a) Petambahan panjang susunan pegas b) Petambahan panjang masing-masing pegas. Konstanta masing-masing pegas k 500 N/m Konstanta efektif pegas memenuhi atau k ef k k k k k 500 k k 4 ef 5 N/m 4 a) Jika dibei beban m kg maka pegas mendapat gaya taik W mg 0 0 N. Total petambahan panjang pegas adalah W 0 L 0,6 m. 5 k ef b) Petambahan panjang masing-masing pegas sama besa, yaitu W 0 L L L3 L4 0,04 m k 500 3) Dua buah pegas disusun secaa sei dan dinantungkan secaa vetikal. Konstanta salah satu pegas adalah 750 N/m. Pada ujung bawah susunan pegas digantung beban 5 N sehingga tejadi petambahan panjang total cm. Hitunglah a) Konstanta pegas yang kedua b) Petambahan panjang masing-masing pegas a) Dengan beban W 5 N, susunan pegas mengalami petambahan panjang L cm 0,0 m. Maka konstanta efektif pegas 5 k W ef 50 N/m L 0,0 4

146 Kaena dua pegas disusun secaa sei maka atau atau Sehingga k ef 50 k + k k k 375 N/m + k b) Tiap pegas mengalami gaya taikan yang sama W 5 N. Dengan demikian, petambahan panjang masing-masing pegas adalah W 5 L 0,007 m 0,7 cm k 750 W 5 L 0,03 m,3 cm k 375 4) Kabel aluminium memiliki diamete,5 mm dan panjang 5,0 m. Kabel tesebut kemudian digunakan untuk menggantung benda yang memiliki massa 5,0 kg. modulus Young aluminium adalah Y N/m. a) Beapa stess yang bekeja pada kawat? b) Beapa stain kawat c) Beapa petambahan panjang kawat? d) Beapa konstanta pegas kawat? Diamete kawat d,5 mm. Jai-jai kawat d/,5/ 0,75 mm 7,5 0-4 m. 4 6 Luas penampang kawat A π 3,4 (7,5 0 ),8 0 m. Beban yang ditanggung kawat: W mg 5, N. a) Stess yang bekeja pada kawat 43

147 F A 0,8 0 6 σ 5,6 N/m 6 0 b) Stain kawat aluminium adalah 6 5,6 0 δ σ 0 Y c) Petambahan panjang kawat 5 4 L δ Lo (8 0 ) m 0,4 mm d) Konstnta pegas kawat 0 6 ( 7 0 ) (,8 0 ) YA k,5 0 L 5 4 N/m 5) Kawat kuningan sepanjang m disambungkan dengan kawat baja sepanjang 3 m. Diamete kawat kuningan adalah mm dan diamete kawat baja adalah,5 mm. Kawat yang disambung tesebut digunakan untuk menggantung beban 0 kg. Beapa petambahan panjang masing-masing kawat? Modulus Young kawat kuningan Y 0 N/m dan modulus Young kawat baja Y 0 N/m. Kedua kawat mendapatkan beban taikan yang sama, yaitu W mg N. Untuk kawat kuningan: Diamete d mm. Jai-jai d/ / mm 0-3 m. 3 6 Luas penampang kawat A π 3,4 (0 ) 3,4 0 m Stess yang bekeja: Stain kawat: δ σ / Y 3, σ W / A 00 /(3,4 0 ) 3, 0 N/m 7 /0 3, 0 4 Petambahan panjang kawat: L δ L o (3, 0 4 ) 6, ,64 mm Untuk kawat baja: Diamete d,5 mm. Jai-jai d/,5/ 0,75 mm 7,5 0-4 m. Luas penampang kawat A π 3,4 (7,5 0 4 ) 6,8 0 m 44

148 6 7 Stess yang bekeja σ W / A 00 /(,8 0 ) 5,6 0 N/m Stain kawat: δ σ / Y 5,6 0 7 /( 0 ),8 0 4 Petambahan panjang kawat: L δ L o (,8 0 4 ) 3 8, ,84 mm 8) Ai dalam silinde memiliki volume L pada tekanan atm. Beapa peubahan volum ai ketika dibei tekanan 00 atm? Modulus volum ai adalah 0 9 N/m Infomasi yang dibeikan soal V o L 0-3 m 3, P o atm, dan P 00 atm. P P P o atm N/m 9,9 0 6 N/m Peubahan volum ai V V P (0 ) (9,9 0 ) 5 0 m3. 9 B o Soal Latihan ) Tiga buah pegas masing-masing dengan konstanta k 00 N/m, k 400 N/m, dan k N/m disusun secaa paallel untuk menggantung sebuah beban yang bemassa, kg. Panjang ke tiga pegas sama, yaitu 0 cm. Hitunglah a) Panjang pegas setelah benda digantungkan dan benda tidak beosilasi, b) Jika beban disimpangkan sejauh cm dai posisi keseimbangan bau kemudian dilepaskan, beapa peiode osilasi beban? ) Sebuah mobil memiliki massa 000 kg. Mobil tesebut kemudian dinaiki empat oang penumpang dengan massa masing-masing 60 kg. Akibatnya, posisi badan mobil tuun sejauh cm. Beapa konstanta pegas pe mobil? Aanggap mobil memiliki empat buah pe yang teletak pada tiap-tiap oda. 3) Sebuah pegas yang memiliki konstanta 400 N/m beada di atas bidang data yang licin. Aalah satu ujung dikaitkan pada dinding dan pada ujung lainnya diikatkan benda bemassa 800 g. Saat beada di posisi seimbang, tiba-tiba benda didoong dengan kecepatan awal 0,5 m/s. Tentukan a) Kecepatan pegas sebagai fungsi waktu, b) Simpangan benda sebagai fungsi waktu, c) Pecepatan osilasi benda sebagai fungsi waktu. 4) Tali nilon pada aket tetaik dengan gaya 50 N. Jika diamete tali,0 mm, beapa 45

149 petambahan panjang tali jika panjang mula-mula 30 cm? Modulus Young nilon adalah N/m. 5) Sebuah silinde mame yang meminili luas penampang,0 cm menahan beban kg. (a) Beapakah stess yang dialami mame tesebu? (b) Beapakah stain maeme tesebut? (c) Beapa penguangan tinggi silinde jika tinggi mula-mula adalah m? 6) Sebuah tiang baja yang memiliki luas penampang 0,5 m digunakan untuk menyangga secaa vetikal sebuah papan eklame yang memiliki massa 000 kg. (b) Beapakah stess pada tiang tesebut? (b) Beapa stain tiang tesebut? (c) Jika tinggi tiang 9,5 m, beapa peubahan panjang tiang dai panjang semula? 7) Satu lite alcohol dalam kantong yang fleksibel dibawa ke dasa lautan di mana tekanan sama dengan,6 0 6 N/m. Beapakah volume alcohol di dasa laut tesebut? 8) Otot hewan yang panjangnya 5,0 cm mengalami petambahan panjang 3,7 mm ketika ditaik dengan gaya 3,4 N. Jika otot dianggap bebentuk silinde dengan diamete ata-ata 8,5 mm, beapakah modulus Young otot tesebut? 9) Beapakah tekanan yang dipelukan untuk menguangi volum besi sebesa 0, pesen? 0) Pada kedalaman 000 mete di bawah pemukaan laut, besanya tekanan sekita 00 atm. Beapa pesen peubahan volum besi pada kedalaman ini? 46

150 Bab 8 Momentum Linie dan Impuls Salah satu besaan yang penting dalah fisika adalah momentum. Dai data momentum dan data peubahan momentum kita dapat menentukan besaan-besaan lain sepeti kecepatan, pecepatan dan gaya. Bahkan, geak mesin oket lebih mudah diungkapkan dalam hukum kekekalan momentum. Pada bab ini kita akan bahas momentum beseta implikasinya tehadap besaan-besaan fisika yang lain Gamba 8. Pinsip gaya doong pada mesin oket memanfaatkan hukum-hukum tentang momentum 8. Momentum satu benda Momentum didefinisikan sebagai besaan yang meupakan pekalian massa dan kecepatan, atau p mv (8.) dengan p momentum, m massa benda, dan v kecepatan benda. Dai umus di atas tampak bahwa momentum meupakan besaan vekto yang aahnya pesis sama dengan aah kecepatan benda. Contoh 8. Sebuah mobil yang memiliki massa 50 kg bepindah sejauh sebesa 0iˆ 0 ˆj 47

151 km dalam waktu setengah jam. Beapakah momentum ata-ata mobil tesebut? Petama kita tentukan kecepatan ata-ata mobil 0iˆ 0 ˆj v 40iˆ 0 ˆj km/jam t 0,5 ( 40ˆ i 0 ˆ) j 000 / 3600,ˆ i 5,6 ˆj m/3 Momentum ata-ata mobil adalah p m v 50 (, iˆ 5,6 ˆ) j 3 875ˆ i 7000 ˆj kg m/s 8. Momentum Sistem Benda Sistem yang kita kaji tidak tebatas pada satu benda saja. Justu lebih seing kita jumpai sistem yang tedii dai banyak benda. Jika sistem yang kita amati tedii dai sejumlah patikel maka momentum total system meupakan jumlah vecto dai momentum masing-masing patikel. Penjumlahan haus dilakukan secaa vekto kaena momentum meupakan besaan vekto. Misalkan sistem tedii dai tiga patikel dengan momentum masing-masing p, p, dan p 3. Momentum total sistem adalah p p (8.) + p + p3 p p p 3 Gamba 8. Sistem benda 48

152 Ingat, penjumlahan haus dilakukan secaa vekto. Tetapi kalian juga bisa melakukan penjumlahan secaa skala untuk masing-masing komponen momentum. Kalian dapatkan bentuk penjumlahan pada komponen-komponen momentum, yaitu px p x + px + p3x (8.3) p p + y y + p y p3 y (8.4) pz p z + pz + p3z (8.5) Contoh 8. Benda yang bemassa masing-masing,0 kg dan 3,5 kg begeak masing-masing dengan kecepatan 3 iˆ + ˆj m/s dan 5 iˆ + 4 ˆj m/s. Beapakah momentum total sistem dua patikel tesebut? Momentum masing-masing benda p p mv,0 i + ˆ) j i + 4,0 j kg m/s mv (3ˆ 6,0 ˆ 3,5 ( 5ˆ i + 4 ˆ) j 7,5iˆ 4,0 ˆj kg m/s + ˆ Momentum total sistem p p + p (6,0iˆ + 4,0 ˆ) j + ( 7,5ˆ i + 4,0 ˆj ),5î 8,0 ˆj + kg m/s Secaa umum, jika tedapat N buah benda dalam sistem tesebut masing-masing dengan momentum p, p, p 3,, p N maka momentum total sistem adalah p p + p + p N i i 3 p N p i (8. 6) Namun kta juga dapat mengungkapkan dalam penjumlahan komponen-komponen momentum, yaitu 49

153 p p p x y z N p + p + p p p (8.7) x x x Nx i N i ix p + p + p p p (8.8) y y y Ny N i iy p + p + p p p (8.9) z z z Nz iz 8.3 Impuls Telah kita bahas di kelas satu bahwa hokum II Newton, ditulis sebagai F ma, dapat juga F p t (8.0) dengan F gaya yang bekeja pada benda, p peubahan momentum benda, dan lama peubahan momentum. Peistiwa tumbukan biasanya belangsung dalam waktu yang sangat singkat. Akibatnya, sepeti yang diungkapkan oleh pesamaan (8.0), peubahan momentum yang kecil sekalipun sanggup menghasilkan gaya yang lua biasa besanya. Ini yang menjadi penyebab mengapa pada peistiwa tumbukan bisa tejasi keusakan hebat. t Gamba 8. 3 Tabakan (tumbukan) keeta api menghasilkan keusakan yang hebat kaena tejadi dalam waktu yang sangat singkat sehingga dihasilkan gaya yang sangat besa 50

154 Pesamaan (8.0) dapat diatu ulang sebagai beikut p F t (8.) Dalam peistiwa tumbukan, gaya F adalah gaya yang bekeja pada benda selama tumbukan dan t adalah lama waktu tumbukan. Peistiwa tumbukan biasanya belangsung dalam waktu yang sangat pendek. Nilai t umumnya kuang dai detik. Jika digambakan dalam dalam bentuk gafik, kebegantungan F tehadap t memiliki plla miip sepeti Gb 8.4 F t t Gamba 8.4 Kebegantungan F tehadap t untuk kebanyakan poses tumbukan. Pekalian antaa F dan t adalah luas daeah di bawah kuva. Kaena pesitiwa tumbukan ini tejadi dalam waktu yang sangat pendek maka pekalian tesebut dinamaka impuls. Jadi impuls didefinisikan debagai I F t (8.) Contoh 8.3 Sebuah benda jatuh ke lantai dengan kecepatan 0 m/s kemudian dipantulkan kembali dengan kecepatan 8 m/s. Jika massa benda adalah 0,8 kg dan lama peistiwa tumbukan antaa benda dan lantai adalah 0, s, beapakah impuls yang dilakukan oleh lantai pada benda dan gaya yang dilakukan lantai pada benda? Ambil aah ke bawah positif dan aah ke atas negatif 5

155 Momentum benda sebelum tumbukan p 0,8 0 8 kg m/s Momentum benda setelah tumbukan p 0,8 ( 8) - 6,4 kg m/s Impuls yang dilakukan lantai pada benda sama dengan peubahan momentum benda, yaitu I p p -6,4 8-4,4 kg m/s Gaya yang dilakukan lantau pada benda 4,4 F p - 7 N t 0, 8.4 Hukum Kekekalan Momentum Dai pesamaan (8.0) kita melihat bahwa jika gaya yang bekeja pada sistem nol maka p t 0 (8.3) Hubungan ini menyatakan bahwa jika gaya yang bekeja pada sistem nol maka momentum sistem tidak begantung pada waktu. Ini meupakan ungkapan hukum kekekalan momentum, yaitu Momentum sistem kekal jika tidak ada gaya lua yang bekeja pada sistem. Misalkan system tedii dai sejumlah patikel dan anta patikel tejadi tumbuka n satu sama lain. Gaya tumbukan anta patikel meupakan gaya intenal dalam sistem, bukan meupakan gaya lua. Jika tidak ada gaya lua yang bekeja pada system (meskipun gaya intenal anta komponen system ada) maka momentum total sistem kekal. Momentum masing-masing patikel bisa beubah. Tetapi kalau dijumlahkan maka 5

156 nilai total sebelum dan sesudah tumbukan selalu sama. Dengan gaya lua yang nol maka belaku p + p + p p + p ' + ' (8.4) 3 ' p3 dengan tanda menyatakan momentum setelah tumbukan. Pesamaan (8.4) dapat diungkapkan juga dalam komponen-komponen sebagai beikut p + p + p p + p ' + p ' (8.5) x x 3x x ' x 3x py y 3 y y y + 3 y + p + p p ' + p ' p ' (8.6) p + p + p p + p ' + p ' (8.7) z z 3z z ' z 3z Contoh 8.4 Sebuah benda bemassa 0,5 kg begeak dengan kecepatan v 4iˆ m/s. Benda kedua yang bemassa 0,8 kg begeak dengan kecepatan v 4ˆ i + 3 ˆj m/s. Jika setelah tumbukan benda petama memiliki kecepatan v ' ˆ i + ˆj m/s, tentukan kecepatan benda kedua setelah tumbukan. Momentum benda petama sebelum tumbukan p m v 0,5 (4ˆ) i,0iˆ kg m/s Momentum benda petama setelah tumbukan p ' m v' 0,5 ( ˆ i + ˆ) j Momentum benda kedua sebelum tumbukan p m v,0iˆ + 0,5 ˆj 0,8 ( 4ˆ i + 3 ˆ) j 3, iˆ +,4 ĵ kg m/s kg m/s Kaena tidak ada gaya lua yang bekeja maka belaku hokum kekekalan momentu atau p + ' p ' + p p 53

157 p ' p + p p' (,0ˆ) i + ( 3,ˆ i +,4 ˆ) j (,0ˆ i + 0,5 ˆ) j 0,ˆ i +,9 ˆj kg m/s Dengan demikian kecepatan benda kedua setelah tumbukan v ' p m ' 0,ˆ i +,9 ˆj 0,8 0,5iˆ +,4 ˆj m/s Contoh 8.5 Sebuah benda bemassa,0 kg melakukan tumbukan behadap-hadapam dengan benda lain yang bemassa 8,0 kg. Setelah tumbukan kedua benda besatu. Laju benda petamasebelum tumbukan adalah 0,0 m/s dan laju benda kedua sebelum tumbukan adalah 5,0 m/s. Tentukan laju gabungan benda setelah tumbukan. Kaena tumbukan belangsung segais, kita gunakan metode skala. Momentum benda petama sebelum tumbukan p m v,0 0,0 0,0 kg m/s Momentum benda kedua sebelum tumbukan p m v 8,0 ( 5,0) -40,0 kg m/s Tanda negatif dibeikan kaena aah momentum benda kedua belawanan dengan aah momentum benda petama. Momentum total sebelum tumbukan adalah p p + p 0 + (-40) - 0 kg m/s Momentum total setelah tumbukan hanya momentum benda yang telah menyatu, yaitu p ' ( m + m ) v' (,0 + 8,0) v' 9v' Dengan menggunakan hukum kekekalan momentum maka 54

158 atau p p' 0 9v' v ' 0 / 9 -, m/s Jadi setelah tumbukan, gabungan kedua benda begeak seaah dengan aah datang benda kedua. 8.5 Tumbukan Dua Benda yang begeak segais Pada poses tumbukan apapun, momentum selalu kekal selama tidak ada gaya lua yang bekeja. Tetapi tidak demikian halnya dengan enegi kinetik. Tumbukan biasanya diikuti munculnya panas pada pemukaan dua benda yang melakukan kontak. Panas tesebut beasal dai enegi kinetik benda yang mengalami tumbukan. Akibatnya, setelah tumbukan tejadi, umumnya enegi kinetik total lebih kecil daipada enegi kinetik total sebelum tumbukan. Gamba 8.5 Poses tumbukan yang diyakini melahikan Pluto beseta tiga saudaanya sepeti Chaon. Pada bagian ini, kita akan analisis lebih detail tumbukan dua benda yang begeak dalam gais luus. Pehatikan Gb Jika tidak ada gaya lua yang bekeja maka belaku hukum kekekalan momentum linie sehingga m v + m v m v ' + m ' (8.8) v Di sini kita anggap massa benda yang mengalami tumbukan masing-masing tidak beubah. Dalam poses tumbukan, di samping kecepatan, massa masing-masing benda 55

159 sebelum dan sesudah tumbukan bisa saja beubah. Contonya, setelah tumbukan, kedua benda begabung, atau setelah tumbukan ada benda yang pecah. v v m m v v m m Gamba 8.6 Dua benda melakukan tumbukan Enegi kinetik benda sebelum dan sesudah tumbukan masing-masing K mv + mv ' K ' mv + mv ' (8.9) (8.0) Pada poses tumbukan apa saja akan selalu tepenuhi (kecuali ledakan) K' K (8.) Dai pesamaan (8.8) kita dapat menulis m ( v v ) m ( v ') (8.) ' v Dai pesamaan (8.9) dan (8.0) seta ketidaksamaan (8.) kita dapat menulis ' ' m v + mv mv + m v atau 56

160 m + ' ' v + mv mv mv atau ' m ( v v ) m ( v v ) (8.3) Dengan menggunakan kesamaan aljaba pesamaan (8.3) menjadi ( a b ) ( a b)( a + b), kita dapat menulis m ( + + v v ')( v v ') m ( v v ')( v v ') (8.4) Selanjutnya kita membagi uas kii pesamaam (8.4) dengan uas kii pesamaan (8.) seta uas kanan pesamaan (8.4) dengan uas kanan pesamaan (8.) sehingga didapatkan atau atau atau m v v ')( v + v ') m ( v v ')( v + m v v ') m ( v ') ( v ( v v + v ' v + v ' v v ' ' v v v ' v' ( v v) ') (8.5) Kita definisikan koefisien elastisitas v ' v ' e ( 8.6) v v Dai definisi koefisien elastisitas dan pesamaan (8.5) kita simpulkan bahwa untuk semua jenis tumbukan dua benda belaku e (8.7) Tumbukan Elastis Jika pada tumbukan dipenuhi e maka tumbukan tesebut dinamakan 57

161 tumbukan elastis. Kondisi ini hanya dipenuhi jika di samping momentum total sesebalum dan sesudah tumbukan sama besanya, enegi kinetik total sebelum dan sesudah tumbukan juga sama (enegi kinetik kekal). Contoh tumbukan yang mendekati tumbukan elastis sempuna adalah tumbukan anta dua bola bilia. Tumbukan anta patikel sub atomik sepeti anta elekton dan anta poton dapat dianggap elastik sempuna Gamba 8.7 Tu mbukan anta bola billiad dianggap mendekati elastik sempuna Tumbukan tidak elastis Jika poses tumbukan memenuhi e <, maka tumbukan tesebut dikatagoikan sebagai tumbukan tidak elastik. Pada tumbukan ini enegi kinetik total setelah tumbukan lebih kecil daipada enegi kinetik sebelum tumbukan. Makin kecil nilai e maka makin besa enegi kinetik yang hilang akibat tumbukan. Contoh 8.6 Tentukan koefisien elastisitas tumbukan dua benda yang bemassa,0 kg dan,0 kg. Benda petama begeak ke kanan dengan kecepatan 40,0 m/s. Benda kedua juga begeak ke kanan dengan kecepatan 0 m/s. Setelah tumbukan, benda kedua begeak ke kanan dengan kecepatan 5 m/s. Ambil aah ke kanan positif. Momentum benda petama sebelum tumbukan, p m v, ,0 kg m/s Momentum benda kedua sebelum tumbukan, p m v,0 0 0,0 kg m/s 58

162 Momentum benda kedua setelah tumbukan, p ' ' mv,0 5 50,0 kg m/s Momentum benda petama setelah tumbukan dihitung dengan hukum kekekalan momentu p ' ' + p p + p atau p ' p + p p ' 40,0 + 0,0 50, 0,0 kg m/s 0 Kecepatan benda petama setelah tumbukan p' 0,0 v ' 0 m/s m,0 Koefisien elastisitas v ' v ' 5 0 e 0,5 v v Tumbukan Benda dengan Lantai Koefisien elastisitas dapat ditentukan dengan menguku kecepatan sebua benda yang melakukan tumbukan sebelum dan sesudah tumbukan. Pehitungan koefisien elastisitas menjadi lebih mudah jika salah satu benda tidak begeak baik sebalum dan sesudah tumbukan. Benda ini haus memiliki massa yang sangat besa dibandingkan dengan benda yang satunya. Salah satu contoh adalah tumbukan benda jatuh dengan lantai (bumi). Bumi tidak begeak sebelum dan sesudah tumbukan, atau v v 0. ' Dengan demikian, koefisien elastisaitas pada tumbukan benda dengan lantai memiliki bentuk lebih sedehana 0 v ' v' e (8.8) 0 v v Jika benda dijatuhkan dai ketinggian tetentu, maka koefisien elastisitas dihitung dai kecepatan benda saat akan menumbuk lantai dan tepat saat meninggalkan lantai. Kedua kecepatan tesebut dapat dihitung dai ketinggian benda saat dilepaskan 59

163 dan ketinggian maksium benda setalah dipantulkan lantai. Misalkan benda dilepaskan dai ketinggian h dengan kecepatan awal nol. Kecepatan benda saat akan menumbuk lantai dihitung dengan hukum kekekalan enegi mekanik atau 0 + mgh mv + 0 v gh (8.9) Jika benda memantul sejauh h, maka kecepatan benda tepat setelah menumbuk lantai dapat dihitung dengan hukum kekekalan enegi mekanik ' mv mgh' Dengan mengambil aah kecepatan ke atas behaga negatif, maka kita peoleh v ' gh' (8.30) Dengan demikian, koefisien elastisitas adalah v ' e v gh' gh h' h (8.3) 8.7 Pusat Massa Benda Diskit Dalam membahas geakan sejumlah benda, kadang kita tetolong jika menggunakan konsep pusat massa. Misalkan kita memiliki bebeapa patikel dengan massa m, m, dan m 3. Patikel-patikel tesebut beada pada posisi,, dan 3. Pusat massa system tiga patikel tesebut didefinisikan sebagai pm m + m + m33 m + m + m3 (8.3) 60

164 m pm m 3 m 3 Gamba 8.8 Sistem yang tedii dai sejumlah patikel memiliki satu pusat massa. Notasi vekto tesebut dapat diuaikan atas komponen-komponen. Misalkan tiap posisi memiliki tiga komponen, yaitu x, y, dan z. Komponen vecto pusat mass memenuhi x y pm pm m x (8.33) + m x + m3x3 m + m + m3 y + m y + m3 y3 m (8.34) m + m + m m z + m z + m z z pm m + m + m (8.35) Jika sejumlah gaya lua bekeja pada sistem benda, maka pusat massa benda akan begeak mengikuti kaidah seolah-olamassa, dan total massa benda diletakkan pada pusat massa. esultan gaya tesebut hanya bekeja pada pusat Contoh 8.7 Tiga buah benda yang bemassa,5 kg, 4,5 kg, dan 0,0 kg masing-masing beada pada posisi posisi pusat massa benda. iˆ + 3 ˆj m, 0 ˆj m, dan 4ˆ i 5 ˆj 3 + m. Tentukan Kita dapat langsung menggunakan umus (8.3) 6

165 pm m + m + m3 3,5 (ˆ i + 3 ˆ) j + 4,5 ( 0 ˆ) j + 0,0 ( 4ˆ i + 5 ˆ) j m + m + m3,5 + 4,5 + 0,0,5 (ˆ i + 3 ˆ) j + 4,5 ( 0 ˆ) j + 0,0 ( 4ˆ i + 5 ˆ) j,5 + 4,5 + 0,0 37ˆ i + 9,5 ˆj,3ˆ i + 0,6 ˆj m 6 Pesamaan (8.3) sampai (8.35) dapat dipeluas ke jumlah benda sembaang. Misalkan tedapat N buah patikel dengan massa m, m, m 3,, m N. Patikel-patikel tesebut beada pada posisi,, 3,, N. Pusat massa sistem tedapat N buah patikel tesebut memenuhi pm m m m m N N m + m + m m 3 N N i N i m i m i i (8.36) Jika dinyatakan dalam komponen-komponen maka kita dapatkan bentuk ungkapan pusat massa untuk benda yang jumlahnya sembaang, yaitu x pm m x m x m x m x N N m + m + m m 3 N N m i x i i N m i i (8.37) y pm m y + m y m + m + m 3 + m 3 y m m N N y N N i N i m y i m i i (8.38) z pm m z + m z m + m + m 3 + m 3 z m m N N z N N i N i m z i m i i (8.39) 6

166 8.8 Pusat Massa benda Kontinu Benda-benda kontinu yang memiliki apat massa yang teseba secaa meata memiliki lokasi pusat massa yang dapat ditentukan dengan mudah. Bola homogem miliki pusat massa di pusat bola, tongkat homogen memiliki pusat massa di tengah-tengah tongkat, kubus homogen memiliki pusat massa di pusat kubus. Untuk benda yang bentuknya tidak teatu, lokasi pusat massa tidak dapat ditebak langsung. Tetapi kita dapat menentukan pusat massa dengan pecobaan sedehana. Caanya tampak pada Gb Posisi pusat massa Gamba 8.9 Menentukan lokasi pusat massa benda yang bentuknya tidak teatu Ikat satu titik pemukaan benda dengan tali dan gantungkan secaa bebas. Bikin gais vetikal sejaja tali melalui benda. Kemudian ikat titik yang lain pada benda tesebut dengan tali dan gantungkan secaa bebas. Bikin gais lain yang sejaja tali melalui benda. Pepotongan dua gais yang dibuat meupakan lokasi pusat massa benda. Umtuk benda yang bentuknya teatu dan fungsi keapatan massa diketahui maka lokasi pusat massa dapat ditentukan dengan metode integal. Untuk mendapatkan fomulasi integal dai pusat massa, mai kita pehatikan atuan beikut ini. Benda kontinu besa dapat dipandang sebagai sejumlah tak behingga dai titik-titik kecil. Dengan asumsi ini maka bentuk penjulahan pada pesamaan (8.36) sampai (8.39) dapat ditansfomasi sebagai beikut N mi dm i ρ dv 63

167 N mi i dm i N ρ dv mi xi xdm ρ x dv i N mi yi ydm i N mi zi zdm i ρ y dv ρ z dv Dengan tansfomasi ini maka pesamaan (8.36) (8.39) menjadi pm ρ dv ρ dv ρ xdv x pm ρ dv y pm z pm ρ ydv ρ dv ρ zdv ρ dv (8.40) (8.4) (8.4) (8.43) Contoh 8.8 Sebuah batang memiliki panjang L dan keapatan massa pe satuan panjang sebagai fungsi posisi yang memenuhi λ ax lokasi pusat massa, dengan a sebuah konstanta. Tentukan Untuk benda satu dimensi kita mengganti pesaman (8.4) dengan x pm λ xdx λ dx Dengan memasukkan fungsi λ pada soal dan menggunakan batas-batas integal: batas 64

168 bawah x 0 dan batas atas x L maka kita dapatkan x pm L 0 L ( ax ) xdx 0 ( ax ) dx L 0 L 0 x x 3 dx dx 4 [ x / 4] 3 [ x / 3] L 0 L L 3 4 L 3 4 L 8.9 Pusat Massa Sistem Benda Besa Jika kita memiliki sejumlah benda besa, bagaimana menentukan pusat massa system benda tesebut? Kita tetap bisa menggunakan pesamaan (8.36). Contohnya, pada Gb 8.0 kita memiliki dua cakam homogen dengan massa M dan M dan jai-jai R dan R. Kedua cakam beada dalam keadaan kontak. Di manakah letak pusat massa system dua bola tesebut? R R Gamba 8.0 Menentukan pusat massa dua cakam yang kontak Untuk mudahnya, kita anggap pusat cakam bejai-jai R beada pada pusat koodinat. Maka lokasi pusat m assa cakam bejai-jai R adalag x 0. Lokasi pusat massa cakam bejai-jai R adalah x R + R. Dengan demikian, lokasi pusat massa kedua cakam diuku dai pusat cakam petama adalah M x + M x M 0 + M x M x x pm M + M M + M M + M (8.44) Pusat massa benda yang mengandung lubang dapat pula ditentukan dengan umus seupa. Lubang dapat dianggap sebagai benda yang memiliki massa negatif. Contoh pada Gamba 8. tedapat sebuah cakam homogen dengan jai-jai R massa awal M (massa sebebelum adanya lubang). Pada cakam tesebut kemudian dibuat lubang dengan jai-jai R. Misalkan massa yang dibuang saat membuat lubang adalah 65

169 M. Pusat massa cakam belubang ditentukan dengan menentukan pusat cakam asal dan pusat lubang. Misalkan pusat cakam asal diambil beimpit dengan sumbu koodinat dan pusat lubang beada pada jaak x dai pusat cakam asal. Lokasi pusat massa memenuhi x M x M x M 0 M x M pm M + M M + M M + x M Tampak pada pesamaan di atas bahwa posisi pusat massa behaga negatif. Ini atinya, pusat massa beada di sebelah kii sumbu koodinat. R R x pm x Gamba 8. Menentukan pusat massa benda belubang 8.0 Kecepatan Pusat Massa Setelah mendefinisikan posisi pusat massa, selanjutnya kita akan mendefinisikan kecepatan pusat massa. Bedasakan pesamaan (8.36) selanjutnya kita dapat menulis pm m m m m N N m + m + m m 3 N (8.45) Apabila uas kii dan uas kanan sama-sama dibagi t maka, kita peoleh 66

170 pm t m t 3 + m + m mn t t m + m + m m 3 N N t (8.46) Dengan mengingat definisi kecepatan, kita selanjutnya dapat menulis v pm m v + m v m + m + m v 3 + m m m N N v N (8.47) dengan benda kedua, v 3 v pm kecepatan pusat massa, v kecepatan benda petama, v kecepatan kecepatan benda ketiga, dan seteusnya. Kita juga dapat mengungkapkan pesamaan (8.47) dalam komponen-komponennya, yaitu v v v pm mv x + mvx + m3v3x mn vnx, x (8.48) m + m + m m m v + m v 3 + m v N +... m y y 3 3 y N Ny pm, y ( m + m + m mn m v + m v + m v v m 8.49) z z 3 3z N Nz pm, z (8.50) m + m + m mn v Tampak bahwa umus untuk menghitung kecepatan pusat massa pesis sama dengan umus untuk menghitung posisi pusat massa. Yang dilakukan hanya mengganti posisi dengan kecepatan. Selanjutnya, mengingat p mv, kita juga dapat menulis pesamaan (8.47) sebagai v pm p + p m + m + p 3 + m p N m N (8.5) dengan p momentum benda petama, p momentum benda kedua, p 3 benda ketiga, dan seteusnya momentum 8. Pecepatan Pusat Massa Setelah mendefinisikan posisi pusat massa dan kecepatan pusat massa, teakhi kita akan mendefinisikan pecepatan pusat massa. Bedasakan pesamaan (8.5) 67

171 selanjutnya kita dapat menulis N N N pm m m m m v m v m v m v m v (8.5) Apabila uas kii dan uas kanan sama-sama dibagi t maka, kita peoleh N N N pm m m m m t v m t v m t v m t v m t v (8.53) Dengan mengingat definisi pecepatan, kita selanjutnya dapat menulis N N N pm m m m m a m a m a m m a a (8.54) dengan pm a kecepatan pusat massa, a kecepatan benda petama, kecepatan a benda kedua, 3 a kecepatan benda ketiga, dan seteusnya. Kita juga dapat menyatakan dalam komponen-komponennya, yaitu N Nx N x x x x pm m m m m a m m a a m m a a , (8.55) N Ny N y y y y m m m a m m a a m m a pm m a (8.56)... 3, N Nz N z z z z pm m m m a m a m a m m a a m , (8.57). Tampak juga bahwa umus untuk menghitung pe dengan umus untuk menghitung posisi pusat massa maupun kecepatan pusat massa. Selanjutnya, mengingat hukum Newton II cepatan pusat massa pesis sama ma F, kita juga dapat menulis N N pm m m m m F F F F a ( 8.58) dengan F gaya yang bekeja pada benda petama, F gaya yang bekeja pada benda 68

172 kedua, F 3 gaya yang bekeja pada benda ketiga, dan seteusnya. 8. Hubungan geakan pusat massa dan hukum kekekalan momentum linie Telah kita bahas bahwa jika tidak ada gaya lua yang bekeja pada system maka momentum otal system konstan meskipun tejadi tum bukan anta sistem. Atau p p' + p ' + 3 ' + p + p3 p Kita bagi ke dua uas dengan ( m + m + 3 ) maka dipeoleh m p + + p + p3 p' + p ' p3' + m + m3 m + m m3 m + Kalau kalian pehatikan, uas kii tidak lain daipada kecepatan pusat massa sebelum tumbukan dan aus kanan adalah kecepatan pusat massa sesudah tumbukan. Jadi pada poses tumbukan yang tidak melibatkan gaya lua, pusat massa begeak dengan kecepatan konstan, v pm v pm ' (8.59) 8.3 Geak Roket Roket adalah pesawat yang bisa begeak dalam uang beisi udaa (atmosfe) maupun dalam ung hampa. Ketika menuju bulan, sebagian besa uang yang dijelajahi oket adalah uang hampa. Baginana caa keja mesin oket sehingga bisa menjelajahi uang angkasa? Dai mana gaya yang mendoong oket sehingga bisa mempecepat atau mempelambat oket? annya adalah penggunaan hukum kekekalan momentum! Mai kita analisis geak oket secaa singkat. Roket mendapatkan gaya doong akibat pelepasan gas hasil pembakaan ke aah belakang. Pelepasan gas menyebabkan munculnya momentum ke aah belakang (momentum gas yang dilepaskan). Adanya momentum ke belakang, menyebabkan oket mendapatkan momentum ke depan sehingga timbul gaya doong ke depan pada mesin oket. Mai kita analisis geak oket secaa singkat. 69

173 M v Setelah t M M- M v - u v + v Gamba 8. Keadaan oket pada dua waktu yang bedekatan Kita misalkan pada saat t: Massa oket adalah M Kecepatan oket adalah v Momentum oket: P M v Antaa selang waktu t sampai t + t oket melepaskan gas ke belakang dengan massa M sehingga, i) Massa oket menjadi M - M ii) Kecepatan oket mengalami petambahan sebesa v sehingga kecepatannya menjadi v + v. iii) Momomentum oket menjadi P (M - M)( v + v). Misalkan laju pelepasan gas buangan oket tehadap oket adalah u. Laju udaa yang dilepas tehadap koodinat yang diam adalah v u. Dengan demikian, i) Momentum gas buangan tehadap koodinat diam adalah p M (v u) 70

174 ii) Momentum total sistem pada saat t + t menjadi P P + p (M - M)(v + v) + M (v u) ( Mv + M v Mv M v) + ( Mv Mu) Mv + M v M v Mu iii) Peubahan momentum sistem selama selang waktu t adalah P P P ( Mv + M v M v Mu) Mv M v M v Mu Bedasakan hukum Newton II, gaya sama dengan peubahan momentum. Jadi gaya yang bekeja pada oket memenuhi F P t M v M v M t t t u Tetapi v a, yaitu pecepatan oket t M m, yaitu laju pelepasan massa t M v 0 untuk t 0 kaena ada dua buah komponen delta di t pembilang sedangkan di penyebut hanya ada satu komponen delta. Akhinya kita dapatkan, F Ma um atau pecepatan oket memenuhi F u M + m a M ( 8.60) 7

175 Roket di sekita pemukaan bumi Sekaang kita tinjau kasus khusus saat oket masih beada di sekita pemukaan bumi. Pada lokasi ini gaya lua yang dialami oket adalah gaya gavitasi bumi yang memenuhi F Mg sehingga pecepatan oket memenuhi Mg a + M m M u m g + u (8.6) M Roket beada jauh dai bumi Kasus khusus lainnya adalah ketika oket sudah beada cukup jauh dai bumi. Pada lokasi ini gaya lua yang dialami oket adalah gaya gavitasi bumi yang memenuhi bentuk umum F M BM G Dengan demikian, pecepatan oket memenuhi a M BM G + M m M u M m G B + u (8.6) M Roket sangat jauh dai bumi Kasus khusus teakhi adalah ketika oket sudah beada sangat jauh dai bumi. Pada lokasi ini gaya lua yang dialami oket dapat dianggap nol sehingga pecepatan oket memenuhi a 0 + M m M u m u (8.63) M 7

176 Contoh 8.9 Roket yang mula-mula diam diluncukan dengan memancakan gas ke belakngan dengan laju 0 kg pe detik dengan kecepatan 6,0 0 3 m/s elatif tehadap oket. Massa oket adalah 4 ton. Beapakah laju oket setelah detik? a) Kaena oket masih beada di pemukaan bumi, maka pecepatan oket memenuhi a g + m M u ( 6 0 ) m/s 3 Laju oket setelah s adalah v at 5 5 m/s Soal dan Penyelesaian ) Gebong keeta api yang massanya kg dan begeak dengan laju 4,0 m/s menumbuk gebong seupa yang sedang diam. Akhinya, kedua gebong tesambung dan begeak besama. Beapa laju gabungan dua gebong tesebut? Setelah tumbukan, kedua gebong begabung sehingga massanya menjadi m m +m kg. Laju setelah tumbukan v dihitung dengan hukum kekekalan momentum atau m v m v mv , v v v,0 m/s ) Sebuah senapan yang massanya 5,0 kg melepaskan peluu yang massanya 0,05 kg dengan laju 0 m/s. Beapakah kecepatan ke belakang senapan tesebut? 73

177 Momem tum total sistem sebelum dan sesudah pelepasan peluu tetap. Sebelum pelepasan peluu, baik senjata maupun peluu tidak memiliki kecepatan. Dengan demikian, momentum total sebelum pelepasan peluu nol. Dengan hukum kekekalan momentum maka m v + m s s p v p atau v s m p v p m s 0,05 0 5,0 -, m/s Tanda negatif menunjukkan bahwa senapan telonta dalam aah belawanan dengan aah geak peluu. 3) Sebuah poton yang memiliki massa,0 sma begeak dengan laju 3,6 0 4 m/s. Poton tesebut betumbukan secaa elastik dengan inti helium yang memiliki massa 4,0 sma yang beada dalam keadaan diam. Beapa kecepatan poton dan helium setelah tumbukan? Dengan hukum kekekalan momentum atau m P v P P + m He v He m v' + m P P P He v',0v + 4,0 0,0v' + 4,0v',0v,0v' + 4,0v' (a) P P He He He Kaena tumbukan besifat elastis, maka e, sehingga pesamaan (8.6) dapat ditulis atau v He ' v P ' ( v He v P ) v ' v ' (0 v ) v He P P p atau v ' v + vp ' (b) He P 74

178 Substitusi pesamaan (b) ke dalam pesamaan (a) atau atau,0v P,0v' P + 4,0( vp + v' P ),99v 5,0v' v' P P,99v 5,0 p P 4,99 3, ,5 0 m/s 5,0 Substitusi hasil di atas ke dalam pesamaan (b) dipeoleh kecepatan helium v 4 He ' vp + vp ' 3,6 0,5 0 4, m/s. 4) Pendulum balistik bisa digunakan untuk menguku kecepatan peluu yang kelua dai senapan. Pendulum ini tedii dai sebuah benda yang digantung bebas dengan tali. Ketika dikenai peluu, peluu menancap ke dalam benda yang digantung, kemudian meeka besama-sama begeak. Bedasakan tinggi penyimpangan pendulum, maka kecepatan peluu dapat dihitung. Misalkan massa peluu m, massa beban yang digantung M, kecepatan peluu v. Kecepatan awal beban yang digantung nol. Setelah peluu tetancap dalam benda, peluu dan benda begeak besama dengan kecepatan v yang memenuhi hukum kekelan momentum atau mv + M 0 ( M + m) v' mv ( M + m) v' (a) 75

179 m v M V0 M+m v Gamba 8.3 Pendulum balistik yang digunakan untuk menguku kecepatan peluu. Besa v ditentukan dengan menguku penyimbangan maksimum beban dan peluu. Jika ketinggian maksimum h, maka dengan hokum kekekalan enegi mekanik dipeoleh atau ' ( M + m) v + 0 ( M + m) gh + 0 v' gh (b) Substitusi (b) ke dalam (a) dipeoleh laju peluu v M + m M + m v' gh m m 5) Sebuah bola bilia yang begeak dengan laju 3,0 m/s ke aah sumbu x positif menumbuk bola bilie sejenis yang sedang diam. Setalah tumbukan kedua bola begeak dengan membentuk sudut masing-masingt 45 o tehadap aah x positif. Beapakah laju masing-masing bola setelah tumbukan? 76

180 v v θ 45 o θ 45 o v Sebelum tumbukan Setelah tumbukan Gamba 8.4 Komponen momentum total sebelum tumbukan p m v + m v m 3 + m 0 m x x x 3 p y m vy + mv y m 0 + m 0 0 Komponen momentum total setelah tumbukan p m v ' + m v ' m v 'cosθ + v cosθ m( v ' + x ' x x m ' v ') cosθ p y ' mv y ' mv y ' m v 'sinθ m v 'sinθ m( v ' v ') sinθ Dengan hukum kekekalan momentum p x p x ' atau atau atau 3m m( v ' + v ')cosθ o 3 ( v ' + v ')cos 45 ( v ' + v ') 3 v ' + v ' (a) p y p y ' atau 0 m( v ' v ')sinθ yang menghasilkan v ' ' v (b) 77

181 Substitusi (b) ke dalam (a) dipeoleh atau 3 v ' 3 v ', m/s Dengan pesamaan (b) dipeoleh v ', m/s 6) Sebuah ledakan memecah sebuah benda menjadi dua bagian. Satu bagian memiliki massa,5 kali bagian yang lain. Jika enegi sebesa 7500 J dilepaskan saat ledakan, beapakah enegi kinetik masing-masing pecahan tesebut? Misalkan massa masing-masing pacahan adalah m dan m,5 m. Kecepatan masing-masing pecahan setelah ledakan adalah v dan v. Sebelum ledakan, momentum total nol. Setelah ledakan momentum total adalah m v + m '. Dengan hukum kekekalan momentum Momentum akhi momentum awal m v ' + m v ' 0 atau m v' +,5m v ' 0 yang membeikan v ' v ' (a),5 ' v Enegi yang dilepaskan pada lesakan sama dengan jumlah enegi kinetik dua pecahan, atau K + K 7500 J (b) Tetapi K K m v m ' v ' 78

182 Gunakan hubungan (a) dan (b) dipeoleh ',5 ' (,5 ) v m m v,5,5, 5 K K (c) Substitusi (c) ke dalam (b) maka atau K K + K + K,5,7 K K J Dai pesamaan (b) kita peoleh K 7500 K J /.7 7) Sebuah pelat lingkaan dengan sebaang massa homogen memiliki jai-jai R. Pelat tesebut memiliki lubang yang bejai-jai R. Jaak pusat lubang ke pusat pelat semula adalah 0,8R. Di mana posisi pusat massa pelat belubang tesebut? Misalkan massa jenis pe satuan luas adalah σ. Massa pelat besa sebelum dibuat lubang: m σ luas pelat besa, atau m [ π ( R) ] πσr σ 4 Massa lubang: m - σ luas lubang, atau m σ ) [ π ( R ] πσr Ambil pusat pelat besa beimpit dengan sumbu koodinat. Maka x 0 x 0,8R Lokasi pusat massa adalah m x + m x x pm m + m πσr 0,8R 0,8R 0,6R. 5πσR 5 4πσR 0 + πσr 0,8R 4πσR + πσr 79

183 Soal Latihan ) Dua buah bola bili yang memiliki massa yang sama melakukan tumbukan hadap-hadapan. Jika laju awal salah satu bola adalah,0 m/s dan bola kedua adalah 3,0 m/s, beapakah laju akhi masing-masing bola jika tumbukan besifat elastis? ) 3) 4) 5) 6) 7) Sebuah bola tenis yang memiliki massa 0,06 kg dan begeak dengan laju,5 m/s menumbuk bola yang bemassa 0,09 kg yang sedang begeak dalam aah yang sama dengan laju,0 m/s. Anggap bahwa tumbukan besifat elastis sempuna, beapakah laju masing-masing bola setelah tumbukan? Sebuah bola softbal yang bemassa 0, kg yang begeak dengan laju 5,5 m/s menumbuk bola lain yang sedang diam. Tumbukan tesebut besifat elastik. Setelah tumbukan, bola petama tepantul dengan laju 3,7 m/s. Hitunglan laju bola kedua setelah tumbukan dan massa bola kedua. Peluu yang memiliki mass 8,0 g dan begeak dengan laju 30 m/s mengenai sebuah balok yang tegantung bebas kemudian menancap diam di dalam balok. Balok tesebut digantungkan pada tali yang panjangnya,8 m. Akibat tumbukan oleh peluu, balok menyimpang ke atas pada lintasan lingkaan. Beapakah simpangan maksimum balok dalam aah vetikal dan hoisontal? Sebuah mobil memiliki pusat massa yang belokasi,5 m dai ujung depan. Lima oang kemudian naik ke dalam mobil. Dua oang duduk pada kusi yang bejaak,8 m dai ujung depan mobil dan tiga oang duduk pada kusi yang bejaak 3,9 m dai ujung depan mobil. Massa mobil adalah 050 kg dan massa masing-masing penumpang adalah 70,0 kg. Beapakah jaak pusat massa sekaang diuku dai ujung depan mobil? Seoang peempuan yang bemassa 55,0 kg bedii pada jaak 0,0 m dai seoang laki-laki yang massanya 90,0 kg bediti di atas lantai es. Beapa jaak pusat massa kedua oang tesebut diuku dai posisi peempuan bedii? Jika kedua oang tesebut saling pepegangan tali, kemudian si laki-laki menaik tali sehingga ia begeak maju sejauh,5 m, beapa jauh geak maju si peempuan? Beapa jauh si laki-laki begeak maju saat ia betumbukan dengan si peempuan? Sebuah keeta api bak tebuka begeak dengan laju 8,6 m/s di atas el tanpa gesekan. Salju kemudian mulai tuun dan mengisi bak keeta dengan debit 3,5 kg/menit. Beapa laju keeta setelah 90 menit? 80

184 Bab 9 Dinamika Benda Tega Hingga saat ini kita sudah membahas kinematika maupun dinamika benda yang bebentuk patikel. Namun, tidak semua benda yang ada di alam beupa patikel. Kita sebenanya lebih seing mengamati geak benda yang bukan patikel sepeti geak kendaaan, batu yang dilempa, oang yang melakukan sikus, dan lain-lain. Untuk geakan benda besea ini kita melihat, di samping adanya geak tansali yang melahitkan pepindahan posisi benda, juga kita amati adanya geak peputaan (otasi). Jadi, secaa umum, geakan benda besa meupakan kombinasi geak tanslasi dan geak otasi. Bagaimana meumuskan geak benda semacam itu? Pada bab ini kita akan mempelajai kinematika maupun dinamika benda bukan titik. Cii utama benda tega adalah bentuk benda tidak beubah meskipun benda tesebut dikanai gaya, sepeti gaya tekan, gaya gesek, dan sebagainya. Hampi semua benda padat temasuk ke dalam benda tega, kecuali yang bewujud plastisin. 9. Momen Inesia Untuk memahami momen inesia, mai kita tinjau sebuah benda sedehana, yaitu sebuah benda titik bemassa m yang ditempatkan di ujung sebuah tongkat. Massa tongkat dianggap nol. Panjang tongkat adalah. Salah satu ujung tongkat dikaitkan dengan poos sehingga benda m dapat beputa dengan bebas tehadap poos tesebut. sumbu m ω Gamba 9. Benda bemassa m ditempatkan di ujung tongkat tak bemassa. Salah satu ujung tongkat menjadi sumbu puta. Jika benda beotasi tehadap sumbu dengan kecepatan sudut ω maka: Kecepatan tanslasi benda adalah 8

185 v ω (9.) Enegi kinetiknya adalah K mv m( ω) ( m ) ω (9.) Mai kita bandingkan ungkapan enegi kinetik geak otasi pada pesamaan (9.) dengan enegi kinetik geak tanslasi muni Enegi kinetik untuk geak tanslasi muni: Enegi kinetik untuk geak otasi: K mv K ( m Tampak dai dua pesamaan di atas bahwa pada geak otasi besaan m memiliki fungsi yang sangat miip dengan m pada geak tanslasi. Pada geak tanslasi, m disebut massa atau inesia. Kaena kemiipan fungsi tesebut maka pada geak otasi, kita definisikan m sebagai momen inesia. Jadi, untuk benda titik yang beotasi tehadap sumbu yang bejaak dai sumbu otasi, momen inesianya memenuhi ) ω I m (9.3) Cemati pesamaan (9.3). Ketika menentukan momen inesia, kita haus mempehatikan posisi sumbu. Momen inesia sangat begantung pada jaak benda dai sumbu. Benda yang sama memiliki momen inesia yang bebeda jika jaak sumbunya bebeda. Dai pesamaan (9.) dan (9.3) kita dapat menulis enegi kinetik benda yang begeak otasi sebagai ω K I (9.4) Bentuk ungkapan enegi kinetik otasi di atas pesis sama dengan bentuk enegi kinetik untuk geak tanslasi. Contoh 9. Sebuah benda kecil dengan massa,5 kg ditempatkan pada ujung batang tak bemassa. 8

186 Ketika beputa dengan kecepatan sudut 0 ad/s, enegi kinetik yang dimiliki benda tesebut adalah 300 J. Hitung a) momen inesia benda, b) jaak benda ke sumbu otasi, dan c) kecepatan tanslasi benda Momen inesia benda K 300 I 6 kg m ω 0 Jaak benda ke sumbu otasi I 6 m m,5 Kecepatan tanslasi benda v ω 0 0 m/s 9. Momen Inesia Sejumlah Patikel Jika sistem yang sedang kita bahas mengandung sejumlah patikel maka momen inesia total system tesebut meupakan jumlah momen inesia masing-masing patikel. Penjumlahan dapat dilakukan secaa aljaba biasa kaena momen inesia meupakan besaan skala m 3 m m 3 Gamba 9. Sistem patikel yang tedii dai sejumlah patikel dengan massa bebeda-beda dan jaak yang bebeda-beda dai sumbu. Dai Gb. 9. kita misalkan momen inesia masing-masing patikel adalah I m (9.5) 83

187 I m (9.6) I (9.7) 3 m33 Dalam ungkapan di atas m i adalah massa patikel ke-i dan i adalah jaak patikel ke-i dai sumbu puta. Mome n inesia total sistem patikel adalah I I + (9.8) + I I 3 Penjumlahan ini dapat dipeumum. Jika jumlah patikel adalah inesia total adalah N maka momen I m + m m N N N i m i i (9.9) 9.3 Momen Inesia Benda Kontinu silinde tesebut Menentukan momen inesia benda-benda kontinu sepeti tongkat, bola, dan tidak dapat dilakukan dengan penjumlahan sedehana sepeti di atas. Momen inesia benda-benda ini dihitung dengan caa integal. Metode integal akan kita bahas pada bagian ini. Misalkan kita memiliki sejumlah besa titik. Momen inesia sistem titik-titik memenuhi pesaman (9.9). Sebuah benda kontinu (benda besa) dapat dibagi atas titik-titik dengan jumlah tak behingga. Dengan demikian secaa pinsip pesamaan (9.9) dapat digunakan dengan caa menggunakan batas atas penjumlahan N. Tetapi penjumlahan dengan jumlah suku tak behingga tidak mungkin dilakukan secaa langsung. Penjumlahan tesebut dapat diganti dengan integal dengan telebih dahulu melakukan tansfomasi sebagai beikut m i dm i i Dengan tansfomasi ini maka pesamaan momen inesia yang diungkapkan oleh pesamaan (9.9) menjadi 84

188 I dm (9.0) Pesamaan (9.0) adalah pesaman dasa yang digunakan untuk mencai momen inesia benda kontinu. Jadi di sini kita memiliki dua pilihan. Jika kita memiliki sejumlah benda titik maka kita menghitung momen inesia menggunakan pesamaan (9.9). Tetapi jika kita memiliki benda kontinu maka kita menggunakan pesaman (9.0). Contoh 9. 3 / Sebuah batang yang panjangnya L memiliki keapatan massa pe satuan luas µ ax dengan x adalah jaak dai salah satu ujung. Beapa momen inesia tehadap salah satu ujung yang memiliki apat massa kecil? dm µ dx x Gamba 9.3 Sistem yang akan kita bahas diilustasikan pada Gb 9.3. Aga kita dapat menggunakan pesamaan (9.0) telebih dahulu haus kita identifikasi dan dm. Bedasakan Gb. 9.3 yang befungsi sebagai adalah x. Pehatikan elemen kecil batang sepanjang dx. Kaena massa pe satuan panjang adalah µ, maka massa elemen sepanjang dx adalah dm µ dx ax 3 / dx Momen inesia batang menjadi I L 0 dm 85

189 L L 3 / ( ax dx) a x 0 a 9 0 x 7 / 9 / [ ] 9 / L x al 0 9 dx Ungkapan di atas dapat dinyatakan dalam massa batang dengan telebih dahulu mencai massa batang sepeti yang diuaikan beikut ini. Kaena massa jenis pe satuan panjang tidak konstan, melainkan begantung pada posisi maka massa batang tidak dapat dihitung langsung dengan mengalikan apat massa dengan panjang batang. Pehitungan massa batang haus dilakukan juga dengan caa integal sebagai beikut M L 3 / dm ax dx 0 L 0 a L 0 x 3 / dx a 5 5 / [ ] 5 / L x al 0 5 Kita dapat menyatakan I dalam M sepeti beikut ini I al 9 9 / 5 al / L 5 ML Dalil Sumbu Sejaja Momen inesia sebuah benda, khususnya yang memiliki bentuk tidak teatu lebih mudah ditentukan tehadap sumbu yang melalui pusat massa. Penentuan ini dapat dilakukan secaa ekspeimen. Namun bagaimana menentukan momen inesia benda tesebut jika sumbu tidak melalui pusat massa? Untuk maksud tesebut kita ditolong oleh suatu dalil yang namanya dalil sumbu sejaja. Asalkan momen inesia tehadap sumbu pusat massa diketahui, maka momen inesia pada sembaang sumbu yang sejaja dengan sumbu pusat massa dapat ditentukan. Jika momen inesia tehadap sumbu pusat massa I PM maka momen inesia benda bemassa M pada sembaang sumbu yang bejaak d dai sumbu pusat massa dan sejaja dengan sumbu pusat massa memenuhi 86

190 I I PM + Md (9.) S umbu sembaang d Sumbu pusat massa I PM + Md I PM Gamba 9.4 Menentukan momen inesia pada sumbu sembaang yang sejaja dengan sumbu pusat massa. Contoh 9.3 massa adalah Sebuah bola memiliki ja-jai R dan massa M. Momen inesia tehadap pusat I PM ( / 5) MR menyinggung pemukaan bola?. Beapakah momen inesia bola tehadap sumbu yang d I I PM Gamba

191 Tampak dai gamba bahwa jaak antaa dua sumbu adalah d R. Dengan demikian, momen inesia tehadap sumbu yang menyinggung pemukaan bola adalah 5 I I PM + Md MR + MR 7 5 MR 9.5 Jai-jai Giasi Salah satu besaan lain yang penting yang bekaitan dengan momen inesia adalah jai-jai giasi. Dinamika caian yang di dalamnya dimasukkan polime antai panjang sangat ditentukan oleh jai-jai giasi polime tesebut. Kita sudah bahas bahwa momen inesia sebuah benda titik adalah I M dengan M massa benda titik dan adalah jaak titik ke sumbu otasi. Untuk benda yang bukan titik, momen inesia memiliki umus yang bebeda-beda, begantung pada bentuk benda. Tetapi, jika benda tesebut digantikan dengan sebuah titik yang massanya sama, beapakah jaak titik massa tesebut ke pusat massa benda sehingga dihasilkan momen inesia yang sama besanya? Nah, jaak inilah yang disebut jai-jai giasi. Misalkan momen inesia benda tehadap pusat massa adalah I PM. Misalkan massa benda adalah M. Jika benda tesebut dipeas menjadi sebuah titik massa, dan ditempatkan pada jaak dai pusat massa, maka momen inesia benda tesebut adalah I M. Jika dipilih sehingga nilai momen inesia ini sama dengan I pm, maka nilai tesebut dinamakan jai-jai giasi, g. Jadi M I g pm atau I pm g (9.) M Contoh 9.4 Tentukan jai-jai giasi bola pejal dan silinde pejal. Momen inesia tehadap pusat massa untuk bola pejal adalah I pm MR 5 88

192 Dengan demikian jai-jai giasi adalah g I pm M ( / 5) MR M 5 R Momen inesia tehadap pusat massa untuk silinde pejal I pm MR Maka jai-jai giasi adalah I (/ ) MR M pm g M R 9.6 Momen Gaya Telah kita pelajai di bab-bab awal bahwa bahwa benda yang diam akan begeak hanya jika pada benda tesebut bekeja gaya. Benda yang sedang begeak akan mengalami pebuahan kecepatan ketika pada benda tesebut juga dikenai gaya. Ini meupakan ungkapan hukum Newton II. Hal seupa belaku pada geak otasi. Benda yang diam akan beotasi jika pada benda tesebut bekeja suatu besaan yang namanya momen gaya atau toka. Benda yang sedang beotasi akan mengalami peubahan kecepatan sudut jika pada benda tesebut juga bekeja momen gaya. Momen gaya didefinisikan sebagai τ F (9.3) dengan adalah vekto dai sumbu otasi ke titik tempat gaya bekeja dan F adalah gaya yang bekeja pada benda tesebut. Momen gaya adalah besaan vekto kaena meupakan pekalian sialng dua buah vekto. Besa momen gaya adalah τ F sinθ ( 9.4) dengan θ sudut antaa vekto dan vekto F (aah sudut diuku dai aah vecto ke aah vecto F). 9.7 Momen Gaya Total Jika pada sebuah benda bekeja sejumlah gaya secaa besamaan, maka momen 89

193 gaya total meupakan jumlah vekto dai momen gaya yang dihasilkan oleh masing-masing gaya. F θ F 3 θ 3 θ 3 F Gamba 9.6 Sejumlah gaya bekeja seantak pada sebuah benda Sepeti tampak pada Gb 9.6, momen gaya yang dihasilkan oleh masing-masing gaya adalah τ τ τ F F 3 3 F3 Momen gaya total yang dihasilkan oleh semua gaya adalah τ τ (9.5) + τ + τ 3 Jika gaya yang bekeja ada N buah maka momen gaya total dapat ditulis dalam bentuk umum τ N i τ N F i i i i (9.6) 90

194 Contoh 9.5 Tentukan momen gaya total yang bekeja pada benda bebentuk buju sangkat beikut ini F 3 5 N F 4 N F N Gamba 9.7 F 3 5 N θ -45 o m 3 F N θ 0 o θ 3 5 o F 4 N Gamba 9.8 Tampak dai gamba bahwa 0,7 m, 0,5 + 0, 5 0,7 m, 3 0,5 + 0, 5 θ 0 o, θ -45 o, dan θ 3 5 o. Besa masing-masing momen gaya adalah o τ F sinθ 0,5 sin 0 0 τ F sinθ 0,7 4 sin 45 o -,0 N m o τ 3 3 F 3 sinθ 3 0, 7 5 sin 5 -,5 N m Momen gaya total yang bekeja pada benda τ τ + 0 -,0,5-4,5 N m + τ τ 3 9

195 9.8 Hukum Newton II untuk Rotasi Benda Tega Seupa dengan ungkapan hukum Newton II untuk geak tanslasi, yaitu F ma, maka untuk geak otasi, hukum Newton II dapat diungkapkan dalam bentuk yang sangat seupa., yaitu a i m i i sumbu F i Gamba 9.9 Menentukan toka total yang bekeja pada sistem banyak benda Pehatikan kump ulan benda titik pada Gb 9.9. Massa m i beada pada posisi i dai sumbu. Akibat adanya gaya F maka m i mengalami pecepatan a yang memenuhi hukum Newton II i i F m a i i i Dua uas pesamaan (9.7) kita kalikan dengan i sin θ sehingga dipeoleh i (9.7) F sin θ m a sinθ (9. 8) i i i i i i i Mengingat i Fi sinθ i τ i, a i sin θ i ait yaitu komponen pecepatan aah tangensial (tegak luus vekto) i maka pesamaan (9.8) dapat ditulis τ m a (9.0) i i i it Dengan menggunakan hubungan antaa pecepatan tanslasi dan otasi, yaitu kita dapatkan a it i α τ m α (9.) i i i 9

196 Toka total yang bekeja pada sistem benda menjadi τ i τ i mii α mii α i i I α (9.) dengan I momen inesia sistem benda. Pesamaan ( 9.) meupakan ungkapan hukum Newton II untuk geak otasi yang bentuknya sangat miip dengan ungkapan hukum yang sama untuk geak tanslasi, yaitu F ma. Contoh 9.6 Sebuah batang homogen memiliki massa 0,6 kg dan panjang 50 cm memiliki poos pada ujungnya. Di tengah-tengah batang dilakukan gaya 8 N dengan membentuk aah 30 o tehadap gais hubung dai poos ke titik keja gaya. Beapa pecepatan suhut otasi batang saat gaya bekeja? F 8 N θ30 o 0,5 m L 0,5 m Gamba 9.0 Kaena sumbu otasi beada di ujung batang, maka momen inesia tehadap sumbu otasi adalah ML 3 3 I 0,6 (0,5) 0,05 kg m Besa momen gaya yang bekeja pada batang 93

197 o τ F sin θ 0,5 8 sin 30 0,5 8 0, 5,0 N m Pecepatan otasi batang saat dikenai gaya,0 α τ 0 ad/s I 0, Rotasi Muni Benda dikatakan melakukan geak tanslasi jika pusat massa benda beubah posisi. Ini hanya dapat tejadi jika gaya total yang bekeja pada benda tidak nol. Namun, jika gaya total yang bekeja pada benda nol maka tidak ada tanslasi pusat massa. Tetapi kondisi ini tidak beati momen gaya total yang bekeja pada benda nol. Contohnya, pada Gamba 9., dua gaya yang bekeja pada benda sama besa tetapi belawanan aah. Dengan demikian, gaya total yang bekeja pada benda nol sehingga tidak ada pepindahan pusat massa benda. Akan tetapi kedua gaya tesebut masing-masing menghasilkan momen gaya yang saling menguatkan. Kaena momen gaya total tidak nol maka benda melakukan geak otasi tehadap pusat massa tanpa disetai tanslasi pusat massa. Geak otasi tanpa tanslasipusat massa disebut otasi muni. F F pusat massa Gamba 9. Gaya total yang bekeja pada benda nol, tetapi momen gaya total tidak nol. Akibatnya benda melakukan otasi muni tehadap pusat massa. Misalkan ada sejumlah gaya yang bekeja pada benda: F, F, Misalkan pula gaya-gaya tesebut bekeja pada posisi,, diuku dai pusat massa. Gaya 94

198 total yang bekeja pada benda adalah sistem benda adalah F i i τ i i 0 0 τ τ i i Fi i i F F i i dan toka total yang bekeja pada. Syaat tejadinya totasi muni adalah (9.3) Besanya pecepatan otasi tehadap pusat massa untuk peistiwa otasi muni adalah τ α (9.4) I pm dengan I pm adalah momen inesia benda tehadap sumbu pusat massa. Contoh 9.7 Sebuah batang homogen memiliki massa,0 kg dan panjang 80 cm. Pada batang bekeja gaya yang sama besa tetapi belawanan aah. Satu gaya bekeja pada ujung batang dan gaya yang lain bekeja di titik tengah batang. Jika besa masing-masing gaya 0,0 N dan aah gaya tegak luus batang, tentukan pecepatan otasi benda tehadap pusat massa saat bekeja. F 0 N 0,4 m F 0 N L 0,8 m Gamba 9. Tampak dai gam ba bahwa L/ 0,4 m dan 0. Momen gaya total yang bekeja 95

199 pada benda τ 0, ,0 0 4,0 N m Kaena dua gaya besanya sama tetapi belawanan aah maka gaya total yang bekeja nol. Akibatnya benda melakukan otasi muni. Momen inesia tehadap pusat massa I pm ML, 0 (0,8) 0, kg m. Pecepatan otasi batang tehadap pusat massa τ 4,0 α 36,4 ad/s I 0, pm Contoh 9.8 Gamba 9.3 m empelihatkan sebuah katol yang dapat dianggap sebagai cakam pejal dengan jai-jai 0,0 cm dan massa 0,5 kg. Katol tesebut dililiti dengan tali yang dianggap tak bemassa. Ujung tali menanggung beban sebasa 5,0 kg. Ketika beban dilepas, beapakah pecepatan sudut katol? Gamba 9.3 Gamba 9.4 adalah diagam gaya yang bekeja pada katol. Ada dua gaya yang bekeja pada katol. Yang petama adalah gaya pegangan oleh baut yang bekeja pada pusat 96

200 massa katol. Kaena gaya ini bekeja pada pusat massa, maka gaya yesebut tidak menghasilkan momen gaya. Gaya kedua adalah gaya oleh tali yang menahan beban yang titik kejanya menyinggung katol. Gaya ini menghasilkan momen gaya sebesa τ RW R( m g) 0, (5,0 0) 5 N m beban Dengan menganggap bahwa katol bebentuk silinde pejal maka momen inesia katol tehadap pusat massa T W Gamba 9.4 I pm M katol R 0,5 (0,) 0,005 kg m Pecepatan sudut katol adalah τ 5,0 α 0 4 ad/s. I 0,005 pm 9.0 Gabungan Rotasi dan Tanslasi Jika esultan gaya yang bekeja pada benda tidak nol, dan gaya yang bekeja tidak segais maka muncul gaya netto dan toka netto sekaligus. Akibatnya muncul dua macam geakan sekaligus, yaitu tanslasi pusat massa dan otasi tehadap pusat massa. Contoh geak semacam ini adalah geak bola yang digelindingkan di lantai dan geak oda kendaaan. Tanslasi pusat massa memenuhi hukum Newton II untuk geak tanslasi 97

201 F ma pm (9.5) dengan F esultan gaya yang bekeja pada benda, m massa benda, dan a pm pecepatan pusat massa. Rotasi tehadap pusat massa memenuhi hukum Newton II untuk geak otasi τ I pmα (9.6) dengan τ esultan momen gaya yang bekeja pada benda, I pm momen inesia tehadap pusat massa, dan α pecpatan otasi tehadap pusat massa. Contoh 9.9 Sebuah bola pejal yang memiliki massa 5,0 kg dan jaj-jai 8,0 cm dikenai dua buah gaya yang belawnaan aah, tidak sama besa dan tidak segais. Aah masing-masing gaya tesebut tegak luus jai-jai bola. Gaya petama besanya 8,0 N dan bekeja pada jaak 6,0 cm dai puysat bola. Gaya kedua besanya 4,0 N dan bekeja pada jaak 4,0 cm dai pusat bola. Tentukan pecpatan tanslasi pusat massa dan pecepatan otasi tehadap pusat massa. Infomasi yang kita peoleh dai soal adalah jai-jai bola R 8,0 cm 0,08 m, massa bola M 5,0 kg, F 8,0 N, F 4,0 N, jaak titik keja gaya ke pusat bola 6,0 cm 0,06 m, dan 4,0 cm 0,04 m. Momen inesia bola tehadap pusat massa adalah I 5 5 MR 5,0 (0,08) 0,08 kg m pm Resultan gaya yang bekeja pada bola F F F 8 4 4,0 N Total momen gaya yang bekeja pada bola τ F + F 0,06 8,0 + 0,04 4,0 0,64 N m Pecepatan tanslasi pusat massa bola 98

202 F 4 a pm 0,8 m/s m 5 Pecepatan otasi tehadap pusat massa τ 0,64 α 50 ad/s I 0,08 pm 9. Menggelinding dan Slip Pehatikan putaan oda mobil saat mobil begeak. Jika jalan yang dilalui kasa, oda menggelinding dengan baik. Tetapi, jika jalan sangat licin maka oda akan slip. Mengapa oda bisa beputa dengan baik dan mengapa dapat slip? Peputaan oda disebabkan adanya gaya gesekan antaa oda dengan jalan. Kaena gaya ini menyinggung oda yang beati tidak segais pusat massa maka gaya tesebut menghasilkan momen gaya. Akibatnya adalah timbul pecepatan otasi pada oda. α f s R f s Gamba 9.5 Gaya gesekan antaa oda dengan jalan menyebabkan peputaan oda Misalkan jai-jai oda R dan gaya gesekan antaa oda dengan jalan f s. Besanya momen gaya yang bekeja pada salah satu oda adalah 99

203 τ R (9.7) f s Misalkan momen inesia oda tehadap pusat massa adalah I pm maka pecepatan sudut otasi oda tehadap pusat massa adalah τ I s α (9.8) pm f I R pm Selama oda menggelinding muni (tanpa tejadi slip), gaya gesekan antaa oda dengan jalan adalah gaya gesekan statik. Hal ini kaena tidak ada geak elatif antaa pemukaan oda dengan pemukaan jalan. Hanya tejadi penuunan bagian depan oda dan menyentuh jalan, sedangkan bagian belakang yang semua menyentuh jalan begeak naik. Telah kita pelajai, untuk gaya gesekan statik belaku hubungan f N (9.9) s µ s dengan µ s koefisien gesekan statik dan N gaya nomal yang bekeja pada oda. Substitusi pesamaan (9.9) ke dalam pesamaan (9.8) dipeoleh (µ N)R s α (9.30) I pm Pesamaan (9.30) menyatakan bahwa pecepatan otasi oda memiliki batas maksimum. Nilai tebesa pecepatan otasi yang bisa dimiliki oda adalah µ NR s α maks (9.3) I pm Pada bab sebelumnya, kita sudah membahas hubungan antaa kecepatan otasi dan pecepatan tanslasi, yaitu a αr. Untuk geak oda atau geak menggelinding lainnya, hubungan ini hanya belaku pada geakan menggelinding tanpa selip (atau geakan mengelinding muni). Kondisi ini belaku untuk pecepatan sudut mulai dai nol hingga pecepatan sudut maksimum α. Jika pecepatan tanslasi memenuhi a > R maka oda mengalami selip. Selip tejadi ketika geak otasi tidak sanggup α maks mengikuti geak tanslasi. Pecepatan tanslasi maksimum aga oda tidak selip adalah a α R. Pesamaan ini mengisyaatkan bahwa pecepatan maksimum yang maks maks maks 00

204 diijinkan aga tidak tejadi selip sangat ditentukan oleh koefisien gesekan antaa oda dengan jalan. Koefisien gesekan mengecil jika jalan licin atau ban kendaaan aus. Itu sebabnya mengapa saat hujan kendaaan sangat mudah tegelinci. Mengapa kendaaan kecil lebih mudah tegelinci daipada kendaaan besa? Gaya nomal pada pesamaan (9.3) tidak hanya ditentukan oleh massa oda tetapi oleh massa kendaaan secaa keseluuhan (temasuk muatan). Kendaaan besa mendapat gaya nomal yang besa sehingga pecepatan maksimum aga tidak tegelincil sangat besa. Akibatnya kendaaan besa lebih sulit tegelinci. Contoh 9.0 Salah satu oda mobil menanggung beban 500 N. Koefisien gesekan statik antaa oda dengan jalan adalah 0,5. Jika oda memiliki massa 0,0 kg dan dapat diangap sebagai silinde pejal dengan jai-jai 5 cm, beapakah pecepatan maksimum mobil aga tidak selip di jalan tesebut. Momen inesia oda tehadap pusat massa (dianggap silinde pejal) I MR 0,0 (0,5) 0,65 kg m pm Gaya gesekan statik maksimum antaa oda dengan jalan f s. maks µ s N 0, N Toka maksimum yang memuta oda τ R 375 0,5 94 N m maks f s,maks Pecepatan sudut maksimum yang dapat dimiliki oda τ maks 94 α maks 50 ad/s I 0,65 pm Maka, pecepatan tanslasi maksimum yang dimiliki oda kendaaan aga tidak selip adalah 0

205 a α R 50 0,5 30 m/s maks 9. Enegi kinetik benda tega Geakan benda tega umumnya meupakan kombinasi antaa geak tanslasi pusat massa dan geak otasi tehadap pusat massa. Akibatnya, enegi kinetik yang dimiliki benda tega yang sedang begeak meupakan gabungan dai enegi kinetik dua macam geakan tesebut. i) Enegi kinetik tanslasi pusat massa adalah K tans Mv pm ( 9.3) dengan M massa benda dan v pm laju pusat massa. ii) Enegi kinetik otasi tehadap pusat massa adalah K ot I pmω pm (9.33) dengan I pm momen insesia tehadap pusat massa dan ω pm laju otasi tehadap pusat massa. Dengan demikian enegi kinetik total benda tega yang sedang begeak adalah K K + K tot Mv tans ot pm + I pmω pm (9.34) Contoh 9. Bola pejal yang memiliki massa 5,0 kg dan jai-jai cm mengelinding muni dengan laju tanslasi 3 m/s. Beapakah enegi kinetik total bola tesebut? Kaena bola menggelinding muni maka akan belaku hubungan v pm ω pm R. Atau kecepatan sudut otasi bola tehadap pusat massa ω pm v pm /R 3/0, 5 ad/s. Momen inesia bola tehadap pusat massa 0

206 I pm 3 MR 5 Enegi kinetik tanslasi bola 3 5,0 (0,) 0,6 kg m 5 K tans Mv pm 5,0 3,5 J Enegi kinetik otasi tehadap pusat massa adalah I K ot pmω pm 0,6 5 67,5 J Enegi kinetik total benda tega K K + K tot tans ot,5 + 67,5 80 J 9.3 Usaha Oleh Momen Gaya Misalkan benda tega sedang diam, yaitu tidak beotasi maupun tidak betanslasi. Pada benda tesebut kemudian dikenai dua gaya belawanan aah, sama besa dan tidak segais. Maka pusat massa benda tidak begeak, sedangkan benda melakukan otasi tehadap pusat massa. Kaena muncul otasi maka telah tejadi peubahan enegi kinetik otasi benda dai nol menjadi tidak nol. Enegi kinetik tanslasi pusat massa sendii tidak beubah. Dua buah gaya belawanan aah yang tidak segais menghasilkan momen gaya. Akibat munculnya enegi kinetik otasi maka kita mengatakan bahwa momen gaya yang bekeja pada benda dapat menghasilkan enegi kinetik otasi pada benda. Beapa usaha yang dilakukan oleh momen gaya pada benda tesebut? Untuk menentukan usaha yang dilakukan momen gaya, kita menggunakan umus yang pesis sama dengan saat menghitung usaha oleh gaya pada geak tanslasi. Kita hanya mengganti F dengan τ dan x dengan θ. Jadi jika momen gaya τ bekeja pada benda tega dan selama itu benda beotasi sebesa θ, maka usaha yang dilakukan oleh momen gaya tesebut adalah W τ θ (9.35) momen Untuk kasus umum di mana momen gaya dapat beubah-ubah selama benda beotasi maka keja yang dialukan momen gaya dihitung dengan integal beikut ini 03

207 θ W momen τ dθ (9.36) θ dengan θ sudut awal dan θ adalah sudut akhi. Pada ungkapan di atas θ dinyatakan dalam satuan adian. Contoh 9. Untuk katol pada Gamba 9.3, beapa usaha yang dilakukan oleh momen gaya ketika benda tuun sejauh,6 mete? Jai-jai katol R 0,0 cm 0, m, massa beban: m 5,0 kg, dan beat beban W mg 5, N. Besa momen gaya yang bekeja τ RW 0, 50 5 N m. Keliling tepi katol s πr 3,4 0, 0,68 m. Ketika beban tuun sejauh,6 m, maka sudut putaan katol adalah,6,6 θ,5 ad s 0,68 Usaha yang dilakukan momen gaya adalah W τ θ 5,5,5 J momen 9.4 Teoema Usaha Enegi Geak Rotasi Pada pembahasan tentang geak benda titik kita sudah mempelajai teoema usaha-enegi. Teoema ini mengatakan bahwa usaha yang dilakukan gaya lua pada suatu benda sama dengan peubahan enegi kinetik benda. Kaena kemiipan geak otasi dan tanslasi, maka teoema tesebut dapat diteapkan langsung pada geak otasi benda tega dengan mengganti besaan-besaan yang sesuai. Untuk geak otasi benda tega, teoema usaha enegi bebunyi: Usaha yang dilakukan oleh momen gaya lua sama dengan peubahan enegi kinetik otasi benda tega, Penyataan di atas dapat diungkapkan dalam umus beikut ini W momen K ot (9.37) 04

208 Contoh 9.3 Untuk katol pada Gamba 9.3, beapa laju otasi katol setelah benda tuun sejauh 3,0 mete? Jai-jai katol R 0,0 cm 0, m, massa katol M 0,5 kg. Momen inesia katol tehadap pusat massa: MR I pm 0,5 (0,) 0,005 kg m. Massa beban m 5,0 kg, beat beban W mg 5, N. Besa momen gaya yang bekeja τ R W 0, 50 5 N m. Keliling tepi katol s πr 3,4 0, 0,68 m. Ketika beban tuun sejauh 3,0 m, maka sudut putaan katol adalah 3,0 3,0 θ 4,8 ad s 0,68 Usaha yang dilakukan momen gaya adalah W momen τ θ 5 4,8 4,0 J. Enegi kinetik otasi mula-mula: K 0 J. (benda tidak beotasi) ot, Enegi kinetik otasi setelah katol tuun sejauh 3,0 m adalah: K ot, I pmω Peubahan enegi kinetik K K ot, K ot, I pmω 0 Bedasakan teoema usaha enegi I pm ω atau W I momen pm W momen ω 4,0 ω 900 I 0,005 pm 05

209 Atau ω ad/s. 9.5 Teoema Usaha Enegi Umum Kaena secaa umum benda tega melakukan dua macam geak yaitu tanslasi dan otasi, maka pada pehitungan teoema usaha enegi yang umum kita haus mempehitungkan usaha oleh gaya dan usaha oleh momen gaya. Efek dai usaha tesebut adalah munculnya peubahan pada enegi kinetik tanslasi dan enegi kinetik otasi. Dengan demikian, teoema usaha enegi yang lebih umum menjadi Usaha yang dilakukan gaya lua dan momen lua sama dengan peubahan enegi kinetik tanslasi dan otasi benda tega. Penyataan di atas diungkapkan dalam pesamaan um um beikut ini W gaya + W K + K (9.38) momen tans ot Untuk memahami teoema ini, mai kita lihat contoh-contoh beikut ini. Contoh 9.4 Sebuah silinde pejal dengan massa 0,0 kg dan ja-jai 5,0 cm dilepaskan dai bidang yang memiliki kemiingan 30 o. Tinggi ujung atas bidang miing dai dasa adalah 3 m. Beapakah kecepatan otasi dan tanslasi silinde saat mencapai dasa bidang miing? Saat dilepaskan, enegi kinetik otasi maupun tanslasi adalah nol (benda diam). Petambahan enegi ketika benda sampai di dasa sama dengan enegi kinetik di dasa itu sendii, atau K + Mv pm I pm ω pm dengan v pm laju tanslasi pusat massa silinde di dasa dan ω pm kecepatan sudut otasi tehadap pusat massa saat silinde sampai di dasa. Jika tidak tejadi slip (hanya geak 06

210 menggelinding muni) maka tepenuhi v pm ω pmr sehingga K M ( ω R) + I ω MR ω + I ω pm pm pm pm pm pm N f s W mg ω pm h 3 m θ 30 o v pm Gamba 9.6 Gaya lua yang bekeja pada benda adalah gaya gavitasi, gaya nomal, dan gaya gesekan statik antaa silinde dengan lantai. Gaya nomal tidak melakukan keja kaena benda begeak tegak luus aah gaya nomal. Gaya gesekan statik tidak melakukan keja kaena tidak ada geak elatif antaa silinde dengan bidang. Yang melakukan keja hanya gaya gavitasi. Keja yang dilakukan gaya gavitasi adalah W gav Mgh Kaena gaya lua yang melakukan keja hanya gaya gavitasi, maka dengan teoema usaha enegi dipeoleh atau W gav K 07

211 Mgh MR ω + pm I pm ω pm Untuk silinde pejal, momen inesia tehadap pusat massa memenuhi I pm (/)MR sehingga Mgh Mgh 3 4 MR ω MR ω pm pm + MR ω pm 4 gh ω pm 4 ad/s 3 R 3 (0,5) Kecepatan tanslasi pusat massa v pm ω pmr 4 0,5 6,3 m/s Contoh 9.5 Sebuah batang homogen yang bemassa 4,0 kg dan panjang,6 m memiliki poos pada salah satu ujungnya. Mula-mula batang diam dalam posisi hoizontal. Beapakah kecepatan sudut batang saat tepat dalam posisi vetical setelah jatuh. L L/ Pusat massa Gamba

212 Untuk geak ini kita dapat memandang batang hanya melakukan geak otasi muni dengan memilih sumbu pada ujung batang. Momen inesia batang tehadap sumbu di ujung ML 3 3 I 4,0 (,6) 3,4 kg m. Enegi kinetik mula-mula batang 0. Kaena benda hanya dipandang melakukan otasi muni tehadap sumbu di ujung, maka enegi kinetik ketika dalam posisi vetikal adalah K Iω ot Dengan demikian, peubahan enegi kinetik adalah K Iω 0 Iω Gaya lua yang bekeja pada batang yang melakukan keja hanya gaya gavitasi. Ketika benda beada dalam posisi vetical, pusat massa benda telag tuun sejauh L/. Dengan demikian, usaha yang dialkukan oleh gaya gavitasi adalah W gav Mg(L / ) Dengan menggunakan teoema usaha enegi, maka atau atau Mg ( L / ) Iω MgL 4,0 0 0,8 ω 9,4 I 3,4 ω 9,4 3, ad/s 9.6 Momentum Sudut Benda Tega Untuk geak patikel, kita telah mendefinisikan momentum sebagai pekalian massa (inesia) dengan kecepatan p mv. Pada geak otasi benda tega, kita akan 09

213 mendefinsikan besaan yang sejenis, yang kita sebut sebagai momentum sudut. Momentum sudut adalah pekalian antaa momen inesia dengan kecepatan sudut, atau L Iω (9.39) Contoh 9.6 Sebuah bola pejal yang bemassa 0,0 kg menggelinding tanpa slip di atas bidang data dengan kecepatan tanslasi,0 m/s. Jai-jai bola adalah 8,0 cm. Beapakah momentum tanslasi, momentum sudut tehadap pusat massa, enegi kinetik tanslasi, enegi kinetik otasi. Infomasi yang dibeikan soal adalah kecepatan bola v, 0 m/s, massa bola M 0,0 kg, jai-jai bola R 8,0 cm 0,08 m. Kaena benda menggelinding sempuna maka kecepatan sudut dapat dihitung dai hubungan,0 ω v 5 ad/s. R 0,08 Momen inesia bola tehadap pusat massa MR 5 5 I pm 0,0 (0,08) 0,056 kg m Momentum linie bola p mv 0,0,0 0 kg m/s Momentum sudut bola tehadap pusat massa L Iω 0, ,64 kg m /s Enegi kinetik tanslasi bola K tans Mv 0,0 (,0) Enehi kinetik otasi tehadap pusat massa ω 0,0 J K ot I 0,056 (5) 8,0 J. 9.7 Hubungan Antaa Momentum Sudut dan Momen Gaya Pada geak tanslasi, kita sudah mempelajai bahwa gaya yang bekeja pada benda sama dengan laju peubahan momentum line benda, atau F dp/dt. Adakah umus seupa untuk geak otasi? annya ada. Momen gaya yang bekeja pada 0

214 sebuah benda sama dengan laju peubahan momentum sudut benda, atau dl τ (9.40) dt Contoh 9.7 Selama 0, s bola pejal yang menggelinding mengalami peubahan kecepatan dai,0 m/s menjadi,0 m/s. Massa bola adalah 8,0 kg dan jai-jainya 7,0 cm. Beapakah momen gaya yang bekeja pada bola selama selang waktu tesebut? Infomasi yang dibeikan soal adalah t 0, s, v,0 m/s, v,0 m/s, M 8,0 kg, dan R 7,0 cm 0,07 m. Kecepatan sudut bola mula-mula ω v /R,0/0,07 4,3 ad/s Kecepatan sudut benda akhi ω v /R,0/0,07 8,6 ad/s Momen inesia bola tehadap pusat massa MR 0,0 pm kg m I 8,0 (0,07) Momentum sudut mula-mula L I 0,06 4,3 0,3 kg m /s pmω Momentum sudut akhi L I 0,06 8,6 0,46 kg m /s pmω Peubahan momentum sudut L L - L 0,46 0,3 0,3 kg m /s Momen gaya yang bekeja pada benda L 0,3 τ,3 N m t 0, Jika tedapat sejumlah benda dengan momentum sudut masing-masing L, L, L 3, dan seteusnya, beapakah momentum sudut total benda? Momentum sudut total dipeoleh dai penjumlahan momentum sudut masing-masing benda. Tetapi dalam

215 penjumlahan tesebut haus mempehatikan aah. Pejanjian aah: Jika otasi benda belawanan aah putaan jaum jam maka momentum sudut dibei haga positif Jika otasi benda seaah putaan jaum jam maka momentum sudut dibei haga negatif. Dengan mempehitungan pejanjian aah tesebut maka momentum sudut total adalah L L L N i + L L i... (9.4) 9.8 Hubungan antaa momentum sudut dan momentum linie Sepeti halnya gaya yang memiliki hubungan dengan momen gaya, momentum sudut juga memiliki hubungan dengan momentum linie. Untuk benda titik yang begeak dengan momentum p dan bejaak dai sumbu otasi, maka besanya momentum sudut memenuhi L psinθ (9.4) dengan θ sudut antaa vekto jai-jai dan momentum. Untuk menentukan sudut θ, kalian haus gamba ulang vekto p dan sehinggapangkal ke dua vekto tesebut beimpit. Sudut θ adalah sudut yang dibentuk oleh pangkal kedua vekto tesebut. p Sumbu otasi θ Lintasan benda Gamba 9.8 Benda yang memiliki momentum linie p dan begeak dalam jaak dai sumbu otasi menghasilkan momentum sudut.

216 Tampak dai pesamaan (9.4) bahwa momentum sudut tebesa tejadi jika aah geak benda tegak luus vekto jai-jai. Dalam kondisi geak demikian, θ 90 o atau sin θ sehingga L p. Sebaliknya, jika aah geak benda menuju atau menjauhi sumbu otasi ( θ 0 atau θ 80 o ) maka sin θ 0 sehingga L 0. Contoh 9.8 Dengan asumsi bahwa planet begeak dalam lintasan lingkaan, beapakah momentum sudut planet yang begeak mengitai matahai? Gaya gavitasi yang dilakukan matahai pada planet Mm F G dengan M Massa matahai, m massa planet, dan jaak planet ke matahai. Aga planet tetap pada lintasannya maka haus tepenuhi m v Mm G Kita dapat juga menulis sebagai beikut v m v (mv) ( p) m m m m Dengan asumsi bahwa lintasan planet menyeupai lingkaan maka aah geak planet selalu tegak luus jai-jai. Dengan demikian, momentum sudut memenuhi L p. Jadi kita dapat menulis v m L m 3 Akhinya dipeoleh atau Mm L G m L GMm 3 Contoh 9.9 Sebuah keleeng bemassa 50 g dilepas dai ujung atas lintasan yang bebentuk 3

217 setengah lingkaan dengan jai-jai R 0,75 m. Kecepatan awal keleeng adalah nol. (a) Tentukan momentum sudut keleeng setalah tuun sejauh y 0,5 m dai tempat pelepasan. (b) Beapa pula momentum sudut keleeng saa beada di dasa lintasan? Anggap tidak ada gesekan antaa keleeng dan lintasan. (a) Untuk momentum sudut keleeng saat tuun sejauh y 0,5 m dai tempat pelepasan kita mulai dengan mencai laju keleeng menggunakan hukum kekekalan enegi. Kaena tidak ada gaya gesekan, maka enegi mekanik kekal. Jadi y R v Gamba 9.9 EM EM atau atau K + U K + U 0 + mgr mv + mg( R y) 0+ mgr mv + mgr mgy mv mgy v gy 0 0,5 3, m/s Kkaena aah geak selalu tegak luus jai-jai maka momentum sudut keleeng adalah L mv 0,75 0,05 3, 0, kg m /s (b) Beikutnya kita tentukan momentum sudut keleeng saat di dasa lintasan. Dengan menggunakan hukum kekekalan enegi mekanik kita peoleh, laju keleeng di dasa 4

218 lintasan adalah v gr 0 0,75 3,9 m/s Momentum sudut keleeng L mv 0,75 0,05 3,9 0,5 kg m /s 9.9 Hukum Kekekalan Momentum Sudut Dai pesamaan (9.40) kita dapat menyimpulkan bahwa, jika momen gaya yang bekeja pada suatu benda nol dipeoleh dl dt 0 Hubungan di atas menyatakan bahwa momentum sudut bukan meupakan fungsi waktu. Atinya, momentum sudut besifat kekal. Jadi, jika tidak ada momen gaya lua yang bekeja maka momentum sudut besifat kekal. Contoh 9.0 Bedasakan hukum Keple planet-planet begeak mengitai matahai dalam lintasan ellips. Laju planet pada obitnya lebih besa ketika lebih dekat ke matahai. Apakah momentum sudut planet beubah-ubah selama planet menelilingi matahai? Mai kita selidiki. Gaya yang bekeja pada planet adalah gaya gavitasi oleh matahai yang aahnya seaah dengan gais hubung planet dan matahai. Kaena aah gaya yang sejaja jai-jai maka gaya tesebut tidak menghasilkan momen gaya meskipun pada planet selalu bekeja gaya. Dengan demikian, momentum sudut planet selama mengitai matahai selalu tetap. psinθ konstan atau mvsinθ konstan Bedasakan Gamba 9.9 v T v sin θ dengan v T adalah komponen kecepatan yang tegak luus jai-jai dan s v T t sehingga kita peoleh 5

219 vsin θ s t Matahai θ s v sin θ θ v Planet Gamba 9.9 Lintasan planet mengitai matahai. Hukum kekekalan momentum dapat ditulis menjadi s m t konstan Tetapi, s / adalah luas daeah yang diasi, yaitu luas daeah yang disapu oleh gais pengubung planet dan matahai selama selang waktu t. Nyatakan luas tesebut dengan A maka kita dapat menulis hukum kekekalan momentuk sudut menjadi A m konstan t Untuk satu planet, nilai m konstan sehingga kita peoleh hubungan A C t dengan C adalah konstanta. Hubungan di atas menyatakan bahwa, pada selang waktu yang sama t, gais hubung planet dan matahai menyapu daeah yang sama luasanya. Ini tidak lain daipada ungkapan hukum II Keple. Dengan demikian bisa dikatakan bahwa hukum II Keple meupakan konsekuansi dai hukum kekekalan momentum linie. Soal dan Penyelesaian ) Molekul oksigen mengandung dua atom oksigen yang memiliki massa total 5,3 6

220 0-6 kg. Momen inesia tehadap sumbu yang tegak luus gais penghubung dua atom seta beada di tengah-tengah anta dua atom adalah, kg m. Pekiakan jaak anta dua atom Infomasi yang dibeikan soal adalah Massa satu atom adalah: m 5,3 0-6 /, kg dan momen inesia I, kg m. Tetapi I m + m m sehingga atau I m 46,9 0, ,6 0 3, 6 0 6, 0 m Jaak anta atom oksigen adalah: (6,0 0 - ) 0 - m, 0-0 m. ) Sebuah cakam bejai-jai R 0,5 m dihubungan salah satu titik di pingginya dengan batang tak bemassa yang panjangnya R. Massa cakam adalah,5 kg. Beapakah momen inesia tehadap titik di ujung batang yang lainnya? Momen inesia cakam diuku dai sumbu melalui pusat MR I,5 (0,5) 0,35 kg m PM. Jaak sumbu bau (ujung batang) ke pusat cakam adalah d 3 R 3 0,5,5 m. Dengan dalil sumbu sejaja, momen inesia tehadap sumbu di ujung batang adalah I I pm + Md 0,35 +,5 (,5) 5,9 kg m. 3) Bedasakan Gb 9.0, beapakah momen gaya yang dihasilkan kedua gaya jika diketahui 30,0 cm dan 50,0 cm? 7

221 Gamba 9.0 Infomasi yang dibeikan soal 30 cm 0,3 m, 50 cm 0,5 m, F 50 N, F 50 N, θ 90 o, dan θ 60 o. Menuut pejanjian, jika gaya yang bekeja pada benda menghasilkan putaan yang belawanan aah jaum jam maka momen gaya dibei haga positif. Dan momen gaya dibei haga negatif jika menghasilkan putaan yang seaah putaan jaum jam. Jadi o τ + F sinθ + 0,3 50 sin 90 5 N m o τ F sinθ 0,5 50 sin ,87 Momen gaya total yang bekeja τ τ + τ 5-7 N m - N m Haga mome n gaya total negatif atinya cakam beputa seaah putaan jaum jam. 4) Sebuah cakam beputa (mey-go-ound) memiliki momen inesia kg m. Beapa besa momen gaya yang haus dibeikan aga cakam tesebut beputa dengan pecepatan sudut: (a) 0,8 ad/s, (b) 0,5 ev/s. Infomasi dai soal I kg m (a) Aga beputa dengan pecepatan sudut α 0,8 ad/s maka τ I α , N m (b) Aga beputa dengan pecepatan sudut α 0,5 ev/s 0,5 (π) ad/s 3,4 ad/s maka dipelukan momen gaya 8

222 τ I α , N m 5) Gaya F T sebesa 5,0 N ditaik pada tali yang meliliti katol yang memiliki massa 4,0 kg dan jai-jai 33 cm. Diamati bahwa katol mengalami pecepatan sehingga lajunya otasinya beubah dai nol menjadi 30,0 ad/s selama 3,0 s. Jika pada sumbu katol tedapat momen gaya gesekan sebesa,0 N m, tentukan momen inesia katol. Kita mulai dengan menghitung momen gaya total. Momen gaya yang dihasilkan oleh taikan τ F 0,33 5,0 4,95 N m T Momen gaya yang dihasilkan oleh gesesan τ -,0 N m (tanda negatif beati momen gaya ini melawan geak otasi) Momen gaya total τ τ + τ 4,95,0 3,85 N m. Sekaang kita hutung pecepaan sudut. Kecepatan sudut awal ω 0 dan kecepatan sudut akhi ω 30 ad/s. Lama waktu peubahan kecepatan sudut: t 3,0 s sehingga pecepatan sudut ω' ω 30,0 0 α 0,0 ad/s t 3,0 Dengan menggunakan hukum Newton II untuk otasi, τ Iα, maka τ 3,85 I 0,385 kg m α 0,0 6) Gaya 0,0 N dikejakan secaa tangensial pada sebuah oda yang memiliki jai-jai 0,0 cm. Beapakah momen gaya yang dihasilkan gaya tesebut tehadap sumbu oda? Beapakah besa momen gaya gesekan yang dipelukan untuk menghentikan geakan oda tesbut? Momen gaya yang dihasilkan gaya τ F 0, 0,0,0 N m Toka gesekan yang dipelukan untuk menghentikan putaan oda haus lebih besa dai 9

223 ,0 N m. Jika sama dengan,0 N m maka oda tidak behenti tetapi beputa dengan kecepatan sudut konstan. 7) Sebuah moto kecil memiliki momen gaya output maksimum 4,0 0-3 N m. Moto tesebut digunakan untuk memuta cakam yang memiliki massa,0 kg dan jai-jai 5 cm. (a) Beapa pecepatan sudut cakam yang dapat dihasilkan moto? (b) Beapa waktu yang dipelukan untuk memuta cakam hingga mencapai kecepatan sudut ev/menit? Petama kita hitung pecepatan sudut cakam. Sebelumnya kita tentukan momen inesia cakam (tehadap sumbu di pusat) m I,0 (0,5) 0,05 kg m (a) Pecepatan sudut cakam 3 τ 4,0 0 α 0,8 ad/s I 0,05 (b) Waktu yang dipelukan untuk mencapai kecepatan sudut ω ev/menti (π)/60 0,05 ad/s adalah ω 0,05 t 0,6 s. α 0,8 8) Sebuah batang metean yang massanya 50 gam dibuatkan sumbu pada salah satu ujungnya, kemudian dipegang dalam posisi hoizontal. (a) Beapa pecepatan sudut tepat saat meteean dilepaskan? (b) Beapa pecepatan sudut saat metean beada pada posisi teendah (posisi vetical)? Infomasi yang ada di soal massa m 50 g 0,5 kg, panjang batang metean L mete. Momen inesia tehadap salah satu sumbu ML 3 0,5 3 I 0,05 kg m Dalam posisi hoizontal, gaya gavitasi bekeja pada batang metean dan bepusat di pusat massa mete. Besanya gaya W mg 0,5 0,5 N. Jaak titik keja gaya ke sumbu adalah 0,5 m. Dengan demikian, momen gaya yang dihasilkan gaya gavitasi adalah 0

224 τ W 0,5,5 0,75 N m Pecepatan otasi metesan tepat saat dilepaskan τ 0,75 α 5 ad/s I 0,05 (b) Jika metean beada dalam posisi vetical maka gaya gavitasi sejaja dengan gais hubung ke sumbu otasi sehingga gaya tesebut tidak menghasilkan momen gaya. Akibatnya, pecepatan sudut nol. 9) Beapa enegi kinetik otasi oda yang beotasi dengan kecepatan sudut 3,0 ev/s jika momen inesia oda adalah 0,8 kg m? Infomasi yang dibeikan soal ω 3,0 ev/s 3,0 (π) ad/s 8,84 ad/s dan I 0,8 kg m. Dengan demikian ω K ot I 0,8 (8,84) 4 J 0) Beapa laju bola pejal yang dilepaskan dai keadaan diam di puncak bidang miing saat bola tesebut mencapai dasa bidang. Massa bola adalah M dan jai-jainya adalag R. Tinggi ujung bidang mioing adalah H dan membentuk sudut elevasi θ. Anggap tidak tejadi slip selama bola begeak. Kaena tidak tejadi slip maka tepenuhi v ω (a) R Enegi kinetik bola tediid ai enegi kinetik tanslasi dan otasi. Dengan menggunakan hokum kekekalan enegi mekanik maka atau U + K t + K ot U + Ktans + K ot MgH pm ω I Mv MgH pm + I ω Mv (b)

225 Untuk bola pejal, MR 5 I pm (c) Substitusi (a) dan (c) ke dalam (b) atau v MgH MR + 5 R Mv 7 MgH Mv + Mv Mv 0 0 Dengan demikian v 0 gh 7 ) Sebuah bola bowling meluncu ke atas pada pemukaan bidang miing dengan laju awal 3,0 m/s. Bola tesebu tepat behenti di ujung atas bidang miing. Beapakah ketinggian bisang miing diuku dai dasa? Peistiwa ini tepat kebalikan dai peistiwa pada soal 0 di atas. Dengan demikian, kita dapat menggunakan pesamaan yang dipeoleh dalam jawaban soal nomo 0, yaitu Jadi v H gh v g 7 0 (3,0) 0 0,63 m ) Cai enegi kinetik otasi, tanslasi, dan enegi kinetik total sebuah bola bowling yang massanya 7,0 kg dan diamete 8 cm jika bola tesebut menggelinding sempuna dengan laju 8,0 m/s Infomasi yang dibeikan soal M 7,0 kg, D 8 cm 0,8 m, R D/ 0,09 m dan v 8,0 m/s. Kaena menggelinding sempuna maka ω v / R 8/0,09 89 ad/s Momen inesia bola tehadap pusat massa (kaena bentuknya pejal)

226 MR 5 5 I pm 7,0 (0,09) 0,03 kg m Enegi kinetik otasi ω K ot I pm 0,03 (89) 9 J Enegi kinetik tanslasi Mv K tans 7,0 (8,0) 4 J Enegi kinetik total K K tans + K ot J 3) Misalkan pada gamba 9.0, cakam memiliki momen inesia 0,03 kg m dan jai-jai a 5 cm. Massa beban yang idgantung adalah m 600 g dan m 700 g. Beapa laju tuun m ketika benda tesebut telah tuun 3 m dai posisi dilepaskan? Gamba 9. Kita gunakan hukum kekekalan enegi kecepatan naik m dan kecepatan tesebut adalah mekanik. Kecepatan tuun m sama dengan sama dengan kecepatan tangensial tepi cakam. Misalkan v. Kita peoleh juga ω v / R 3

227 Enegi kinetik m : Enegi kinetik m : K m v K mv Enegi kinetik cakam: v K 3 Iω I a I a v Ketika m tuun, enegi potensialnya bekuang menjadi: U m gh Pada saat yang sama, enegi potensial m betambah menjadi : m gh U Saat awal, enegi mekanik nol. Setelah begeak, enegi mekanik menjadi Dengan hukum kekekalan enegi mekanik, maka K + K + K + U + U 0 atau atau atau v 3 m I + mv + v + m gh m gh a v ( m + m + I / a ) v ( m m gh ) ( m m ) gh ( m + m + I / a ) K K K 3 U U Masukkan M 600 g 0,6 kg, M 700 g 0,7 kg, I 0,03 kg m, a 5 cm 0,5 m dan h 3 m maka (0,7 0,6) 0 3 v,3 0,6 + 0,7 + 0,03/(0,5) atau ( ) v,3,5 m/s 0 4) Bagi an yang beotasi sebuah moto memiliki massa 0,9 kg dan jai-jai gia si, cm. Ketika beputa tanpa beban, moto memiliki laju otasi 300 ev/menit. Ketika kontak dimatikan, moto tesebu behenti setelah melakukan 400 kali otasi penuh. Beapa besa momen gaya gesekan yang bekeja pada bagian moto yang beputa tesebut? 4

228 Kita tentukan momen gaya gesekan menggunakan teoema usaka enegi, bahwa usaha oleh momen gaya lua (momen gaya gesekan) sama dengan peubahan enegi kinetik otasi. Momen inesia moto: I mg 0,9 (0,0) 4, kg m. Kecepatan otasi awal moto: ω 300 ev/menit 300 (π)/60 ad/s 335 ad/s. Kecepatan otasi akhi moto 0 (moto begenti). Enegi kinetik awal: 4 K Iω (4,36 0 ) (335) 4,5 J Enegi kinetik akhi K 0 Peubahan enegi kinetik K K K 0 4,5-4, 5 J. Keja yang dilakukan momen gaya gesekan W τ ges θ dengan θ sudut putaan sampai moto behenti. Tanda negatif dibeikan kaena momen gaya gesekan menghambat putaan moto. Dai soal θ 400 evolusi 400 (π) 5 ad. Dengan teoema usaha enegi bahwa usaha oleh gaya lua sama dengan peubahan enegi kinetik maka Atau W K τ ges θ 4,5 atau 4,5 4,5 τ ges 0,0 N m θ 5 5) Beapa momentum sudut sebuah cakam pejal yang meotasi dengan kecepatan sudut 0 ev/s jika jai-jai cakam 5,0 cm dan massanya,5 kg? 5

229 Infomasi yang dibeikan soal adalah M,5 kg dan R 5,0 cm 0,05 m. Keceapan sudut ω 0 ev/s 0 (π) ad/s 5,6 ad/s Momen inesia cakam MR I,5 (0,05) 0,0 Momentum sudut L Iω 0,00 5,6 0,5 kg m /s 0 kg m 6) Gamba 0 mempelihatkan sebuah cakam dan poos yang memiliki momen inesia total I beputa dengan kecepatan sudut ω. Kemudian cakam yang memiliki momen inesia I dan tidak beotasi dijatuhkan ke dalam poos. Beapakah kecepatan sudut gabungan setelah gabungan cakam beputa besama? Gamba 9. Momentum sudut awal hanyalah momentum sudut cakam yang memiliki poos, yaitu I ω. Setelah cakam kedua dijatuhkan, momen inesia menjadi I + I. Kecepatan sudut beubah menjadi ω sehingga momentum sudut adalah (I + I )ω. Kaena momentum sudut kekal, maka atau I ω I + )ω ( I 6

230 ω ( I I ω + I ) 7) Jika koefisien gesekan statik antaa oda kendaaan dan lantai adalah 0,75, hitung momen gaya yang dihasilkan mesin pada oda aga tejadi slip antaa oda dengan lantai. Jai-jai oda adalah 33 cm, massa mobil adalah 080 kg, dan jumlah oda mobil ada 4. Beap mobil W mg N Gaya nomal pada tiap oda: N W/ /4 700 N Gaya gesekan maksimum yang dihasilkan antaa oda dan lantai f s maks µ s N 0, N, Momen gaya maksiumum yang dapat dihasilkan gaya gesekan τ 0, ,5 N m maks f s, maks Aga tejadi slip, momen gaya yang dihasilkan mesin pada oda haus lebih besa daipada τ 445,5 N. maks Soal Latihan ) Tentukan jai-jai giasi cakam pejal yang memiliki jai-jai R apabila sumbu beada pada tepi cakam. ) Seseoang mendoong ujung pintu yang lebanya 84 cm dengan gaya 45 N. Beapakah momen gaya yang dihasilkan jika gaya yang dilakukan tegak luus pintu? Beapa pula momen gaya yang dihasilkan jika gaya yang dibeikan membentuk sudut 60 o tehadap pemukaan pintu? 3) Sebuah bandul memiliki bola kecil yang massanya 30 g dan digantungkan pada ujung tali yang panjangnya 70 cm. (a) Beapa momen inesia bantul tehadap pengaitnya. (b) Bandul kemudian disimpangkan hingga membentuk sudut 9 o tehadap vetical kemudian dilepaskan. Beapakah pecepatan sudut tepat saat dilepaskan? 4) Sebuah cakam logam yang msaanya 40,0 kg dan jai-jai 30 cm dipegang oleh sebuah sumbu hoizontal. Sekeliling cakal dililitkan tali sehingga cakam tesebut dsapat dipuat oleh tali dengan menggantungkan massa m pada ujung tali. Beapa besa massa m aga cakam beputa dengan pecepatan sudut 0,3 ev/s? 7

231 5) Sebuah dum yang penuh beisi pasi menggelinding dengan laju 4,0 cm/s. Massa dum beseta isinya adalah 70 kg dan diametenya adalah 50 cm. Cai enegi kinetik otasi, tanslasi, dan enegi kinetik total dum. 6) Sebuah bola dan silinde memiliki massa dan jai-jai yang sama. Keduanya dilepaskan pada posisi yang sam a dai sebuah bidang miing. Yang mana yang mencapai dasa bidang miing lebih cepat? Yang mana yang memiliki laju lebih besa saat sampai di dasa? Yang mana yang memiliki enegi kinetik total lebih besa saat sampai di dasa? Yang mana yang memiliki enegi kinetik tanslasi lebih besa saat sampai di dasa? 7) Dua bola pejal dilepaskan besamaan dai ketinggian yang sama di suatu bidang miing. Salah sati bola memiliki massa dua kali bola yang lain dan jai-jai juga dua kali bola kedua. Bola manakah yang mencapai dasa bidang miing lebih awal? Bola mana yang memiliki laju lebih besa saat di bidang miing? 8

232 Bab 0 Statika Fluida Pada Bab 9 kita telah membahas benda tega, yaitu benda yang tidak mengalami peubahan bentuk meskipun ditekan dengan gaya. Pada bab ini kita akan mempelajai benda yang memiliki sifat sebaliknya, yaitu sangat mudah mengalami peubahan bentuk apabila dikenai gaya. Benda tesebut dinamai fluida. Yang temasuk fluida adalah gas dan zat cai. Salah satu cii utama fluida adalah kemampuan untuk mengali. Di samping itu, bentuk fluida selalu mengikuti bentuk wadah. Dalam botol, bentuk fluida sama dengan bentuk botol, dan dalam kotak bentuk fluida sama dengan bentuk kotak. Pada bab ini kita akan batasi pembahasan pada fluida yang diam, atau fluida statik. Sifat-sifat fluida yang begeak atau fluida dinamik akan dibahas pada Bab. 0. Massa Jenis Salah satu besaan fisis fluida yang penting adalah massa jenis. Massa jenis adalah massa fluida pe satuan volum. Massa jenis ata-ata fluida memenuhi m ρ (0.) V denga m massa total fluida, V volum total fluida, dan ρ massa jenis fluida. Tabel adalah massa jenis ata-ata sejumlah fluida. Tetapi jika massa jenis pada bebagai tempat bebeda-beda, yaitu meupakan fungsi posisi maka massa jenis fluida pada sembaang titik memenuhi dm ρ ( ) (0.) dv Contoh massa jenis ata-ata yang meupakan fungsi posisi adalah massa jenis gas di atmosfe. Makin jauh dai pemukaan bumi maka massa jenis gas di atmosfe makin kecil. Ai laut juga sedikit mengalami peubahan massa jenis ketika kita makin jauh ke dasa laut. Penyebabnya adalah makin dalam suatu lokasi maka tekanan pada ai laut makin besa sehingga ai laut sedkit mengalami kompesi. Massa jenis gas-gas pembentuk bindtang juga meupakan fungsi jaak dai pusat bintang. Ketika oang membuat sebuah mateial, kadang massa jenis mateial yang dibuat bebeda-beda pada 9

233 posisi yang bebeda. Tabel Massa jenis bebeapa fluida Fluida Massa Jenis (kg/m 3 ) Ai (pada suhu 4 o C), Ai laut, Ai aksa 3,6 0 3 Alkohol 0, Bensin 0, Udaa (0 o C, atm),9 Helium (0 o C, atm) 0,79 Kabon dioksida (0 o C, atm),98 Uap ai (00 o C, atm) 0, Massa jenis campuan fluida Jika bebeapa fluida yang memiliki massa jenis bebeda dicampu, maka massa jenis campuan fluida meupakan haga ata-ata massa jenis fluida yang dicampu tesebut. Beapa massa jenis ata-ata tesebut? Misalkan kita mencapu N buah fluida dengan massa jenis ata-ata masing-masing <ρ >, <ρ >,..., <ρ N >, dan volum masing-masing V, V,..., V N. Massa masing-masing fluida tesebut adalah m <ρ > V, m <ρ > V,..., m N <ρ N > V N. Jika N buah fluida tesebut dicampu maka massa jenis ata-ata hasil campuan akan begantung pada volum total hasil pencampuan. Jika fluida tidak mengalami peubahan vilum setelah pencampuan maka massa jenis ata-ata adalah ρ m + m V + V m V N N ρ V + ρ ρ N V + V V V N V N (0.3) Jika volum fluida setelah dicampu lebih kecil dai jumlah volum fluida mula-mula maka massa jenis ata-ata lebih besa daipada yang diungkapkan oleh pesamaan (0.3). Sebaliknya, jika volum hasil campuan lebih besa daipada jumlah volum fluida mula-mula maka massa jenis campuan lebih kecil dai yang diungkapkan oleh pesaman (0.3). 30

234 Contoh 0. Ai dan alcohol masing-masing dengan volum 00 ml dan 300 dicampu. Jika dianggap tidak ada peubahan volum selama pecmapuan, beapa massa jenis ata-ata hasil pencampuan? Dai Tabel kita peoleh ρ 000 kg/m 3 g/ml dan ρ 790 kg/m 3 0,79 g/ml. Massa jenis ata-ata campuan adalah ρv + ρ V , ρ 0,843 g/ml 843 kg/m 3. V + V Tekanan Hidostatik Penyelam yang menyelam cukup dalam di laut biasanya melengkapi dii dengan alat penutup telinga, di samping alat bantu penapasan. Jika penutup telinga tidak dikenakan, seingkali telinga penyelam bedaah. Kenapa hal tesebut tejadi? anya adalah kaena adanya tambahan tekanan yang dihasilkan ai laut pada tempat yang dalam. Tekanan tesebut mendoong bagian dalam ongga telinga sehingga menimbulkan pendaahan telinga. Gamba 0. Penyelam mengenakan pakaian khusus sebelum masuk ke dalam laut Sebelum pesawat tebang, khususnya pesawat jet, tinggal landas, kabin pesawat diisi udaa secukupnya. Pintu pesawat ditutup apat sehingga udaa tidak dapat mengali kelua dai kabin. Biasanya sekeliling pintu ada kaet pengaman untuk menghindai kebocoan udaa. Hal ini dilakukan kaena pada tempat yang tinggi di 3

235 atmosfe, tekana udaa sangat endah dan dapat membahayakan penapasan manusia. Dengan menutup apat kabin pesawat maka udaa dai kabin tidak dapat mengali kelua saat pesawat beada pada lokasi yang tinggi, sehingga tekanan udaa dalam kabin tidak meosot tajam sepeti tekanan udaa lua pada ketinggian tebang. Tekanan di dalam kabin pesawat Boeing 777 sekita 8,5 PSI (pound pe squae inch), yaitu kia-kia sama dengan setengan tekanan atmosfe. Kedua fenomena di atas menunjukkan bahwa dalam fluida ada tekanan yang dihasilkan oleh fluida itu sendii. Makin ke dalam, tekanan yang dihasilkan oleh fluida makin besa. Gamba 0. Ketika tekanan udaa dalam kabin pesawat tuun secaa tiba-tiba maka maske oksigen jatuh secaa otomatis dai atas tempat duduk penumpang Bagaimana hubungan tekanan tesebut dengan kedalaman lokasi dalam fluida? Untuk menentukan tekanan tesebut, mai kita lihat Gb h A Gamba 0.3 Menentukan tekanan yang dihasilkan fluida. Kita ingin menentukan tekanan yang beada pada kedalaman h dai pemukaan 3

236 fluida. Untuk itu kita buat sebuah silinde dengan luas penampang A dan panjangnya h. Salah satu sisi beada di pemukaan fluida dan sisi yang lain memuat titik yang kita tinjau. Volume silinde adalah V Ah Massa silinde adalah m ρ V ρah Dengan ρ adalah massa jenis fluid. Dasa silinde menanggung beban fluida di atasnya sebesa W mg ρahg Tekanan didefinisikan sama dengan gaya p satuan luas. Gaya yang dihasilkan oleh silinde ditanggung oleg bidang seluas A. Dengan demikian, tekanan yang dialami titik yang beada di dasa silinde, yang meupakan tekanan fluida pada kedalaman h adalah P W A ρahg A atau P ρgh (0.4) Tekanan yang diungkapkan oleh pesamaan (0.3) disebut tekanan hidostatik, yang atinya adalah tekanan yang dihasilkan oleh fluida yang diam. Contoh 0. Beapakah tekanan hidostatik pada dasa sungai yang memiliki kedalaman 0 m? Beapakah gaya yang dilakukan ai sungai pada tiap 0 m luas dasa sungai? Tekanan hidostatik pada dasa sungai P ρgh Pa 33

237 Besa gaya pada A 0 m adalah F P A N Sifat Tekanan Hidostatik Tekanan hidostatik memiliki sifat-sifa menaik sebegai beikut i) Besanya tekanan hidostatik hanya begantung pada kedalaman fluida dan tidak begantung pada bentuk wadah. Pada Gb. 0.4 tinggi pemukaan fluda sama. Maka tekanan hidostatik sepanjang gais semuanya sama. Gamba 0.4 Tekanan hidostatik hanya begantung pada kedalaman fluida. Tekanan hidostatik sepanjang gais hoizontal semuanya sama. ii) Pada bidang sentuh antaa fluida dengan benda, gaya yang dihasilkan tekanan hidostatik selalu tegak luus pemukaan bidang batas tesebut. Gamba 0.5 Gaya yang dihasilkan tekanan hidostatik selalu tegak luus bidang batas ntaa benda dan fluida. 0.4 Pengauh tekanan atmosfe Tekana total pada suatu titik dalam fluida meupakan jumlah dai tekanan 34

238 yang sudah ada di pemukaan fluida dan tekanan hidostatik. Misalkan fluida dibiakan tebuka di udaa. Di pemukaan fluida sudah ada tekanan, yaitu tekanan atmosfe, P o. Maka tekanan total pada kedalaman h dai pemukaan fluida adalah P T P + ρgh (0.5) o P o h PP o +ρgh Gamba 0.6 Tekanan total di dalam fluda sama dengan jumlah tekanan di pemukaan dan tekana hidostatik. Contoh 0.3 Tentukan tekanan hidostatik dan tekanan total pada kedalamam 5 m di bawah pemukaan laut, jika tekanan di pemukaan laut adalah,0 0 5 Pa? Bedasakan Tabel 0., massa jenis ai laut ρ, kg/m 3. Tekanan hidostatik yang dihasilkan ai laut P ρgh, , Pa. Tekanan total pada kedalaman tesebut P T P o + P, , , Pa 0.5 Pipa Behubungan Bagaimana menentukan massa jenis suatu fluida jika timbangan tidak ada? Jika kita memiliki pipa U atau selang tanspaan yang dibentuk membentuk huuf U maka massa jenis fluida dapat ditentukan asal: (i) ada fluida lain yang telah diketahui massa jenisnya, (ii) kedua fluida tidak becampu. 35

239 Masing-masing fluida dimasukkan pada masing-masing mulut pipa U. Kaena dua fluida tidak becampu maka dengan mata akan tampak kolom fluida yang tepisah. Volume satu fluida cukup banyak dibandingkan dengan volum fluida yang lain sehingga tampak sepeti Gb 0.7. P o P o h h A B Gamba 0.7 Dua jenis fluida dimasukkan dalam pipa U Ingat, dalam fluida yang sama, titik yang lokasinya beada pada satu gais hoizontal memiliki tekanan yang sama. Pada Gamba 0.7 titik A beada pada fluida. Titik B tepat beada di batas fluida A dan B sehingga masih beada di fluida. Dengan demikian, tekanan di titik A dan B tepat sama. i) Tekanan di titik A meupakan jumlah dai tekanan udaa lua dan tekanan hidostatik kolom fluida setinggi h. ii) Kaena titik B hampi besentuhan dengan batas dua fluida, maka tekanan di titik B meupakan jumlah dai tekanan udaa lua dan tekanan hidostatik kolom fluida setinggi h. Jadi P A P B atau P o + ρ + gh Po ρ gh ρ (0.6) h ρ h dengan ρ massa jenis fluida, ρ massa jenis fluida, h tinggi kolom fluida diuku dai gais yang sejaja dengan batas dua fluida, dan h tinggi kolom fluida diuku dai 36

240 gais yang sejaja dengan batas dua fluida. Contoh 0.3 Minyak dan ai dimasukkan secaa hati-hati ke dalam masing-masing mulut pipa U. Minyak dan ai tesebut tidak becampu. Jumlah ai yang dimasukkan lebih banyak daipada minyak. Jika diuku dai gais hoizontal yang melalui pebatasan minyak dan ai, tinggi pemukaan minyak adalah 7, cm sedangkan pemukaan ai beada 9,4 cm lebih endah dai pemukaan minyak. Beapakah massa jenis minyak? Infomasi yang dibeikan soal adalah massa jenis ai ρ a 000 kg/m 3 g/cm 3, h m 7, cm, h a 7, 9,4 7,79 cm. Petanyaan adalah ρ m? Kita gunakan pesamaan (0.6) atau ρ mhm ρ a h a ρ aha 7,79 ρ m 0,654 g/cm kg/m 3 h 7, m 0.6 Baomete Baomete adalah alat yang digunakan untuk menguku tkanan udaa. Baomete yang sedehana adalah baomete fluida. Fluida yang umumnya digunakan adalah ai aksa. Bagaimana membuat baomete? Sebuah pipa dipasangkan tegak. Ujung yang tebuka disebelah bawah dicelupkan ke dalam fluida. Dai ujung atas pipa pompa vakum dipasang untuk menyedot udaa dalam pipa sehingga tejadi uang hampa. Akibatnya, fluida dai dasa pipa didesak oleh tekana udaa atmosfe sehingga masuk dan naik sepanjang pipa. Fluida naik sampai ketinggian tetentu sehingga tekanan hidostatik yang dihasilkan di dasa pipa sama dengan tekanan udaa lua. Bedasakan ketinggian tesebut, bagaimana menentukan tekanan udaa lua? 37

241 Divakumkan h P o A Po P o Gamba 0.8 Caa membuat baomete Pada Gb. 0.8 kanan, kaena titik A sejaja dengan pemukaan fluida di lua, maka tekanan di titik A sama dengan tekanan udaa lua. Kaena udaa dalam tabung telah divakumkan maka tekanan udaa di atas pemukaan fluida dalam tabung nol. Tekanan di titik A semata-mata meupakan tekanan hidostatik kolom fluida di atasnya. Jadi, ρgh. Kaena P A maka P A P 0 P o ρgh (0.7) Pesamaan (0.7) menyatakan bahwa hanya dengan menguku ketinggian kolom fluida dalam vakum maka tekanan udaa dapat ditentukan. Pesamaan ini yang menjadi pinsip dasa peancangan baomete zat cai sepeti baomete ai aksa. Contoh 0.4 Beapa tinggi kolom ai aksa pada baomete ketika tekanan udaa lua atm? Diketahui atm, Pa. P o, Pa. ρ, kg/m3 g 9,8 m/s 38

242 Maka P h ρ g 5,03 0 4,36 0 9,8 0,76 m Tekanan Udaa dalam Ruang Tetutup Untuk menguku teknan udaa dalam uang tetutup kita dapat menggunakan fluida dan pipa. Gamba 0.9 adalah contah bagaimana menguku tekanan tesebut. P o h P A B Gamba 0.9 Caa menguku tekanan fluida dalam uang tetutup Kaena titik A dan B beada pada fluida yang sama dan beada pada satu gais hoizontal maka tekanan kedua titik tesebut sama besa. Tekanan di titik A: P P + ρgh A o Tekanan di titik B tekanan udaa dalam uang : P B P Jadi teka nan di titik B yang meupakan tekanan udaa dalam uang tetutup adalah P P + ρgh (0.8) o Contoh 0.5 Saat penguku tekanan udaa dalam sebuah tabung tetutup, pemukaan ai aksa di pipa U yang kontak dengan udaa lua tuun sejauh cm dibandingkan dengan pemukaan ai aksa yang kontak dengan udaa dalam tabung. Beapakah tekanan udaa dalam tabung? 39

243 Kaena pemukaan ai aksa yang kontak dengan udaa lua lebih endah, maka ketinggian h pada pesamaan (0.8) dibei nilai negatif. Jadi, h - 3 cm - 0,03 m. Tekanan udaa dalam tabung adalah P P ρ ) 4 o + gh, ,36 0 9,8 ( 0,03 9,7 0 4 Pa. Kedalaman Sumu Beapa kedalaman maksimum ai sumu aga ai bisa dipompa kelua? annya adalah sekita 0 mete! Mengapa? Sebelumnya menjawap petanyan tesebut kita pelu tahu bagaimana pinsip keja pompa ai pada sumu (bukan jet pump). Gamba 0.0 (kii) Pompa ai tangan dan (kanan) pompa ai listik Pinsip keja pompa ai adalah memevakumkan udaa di ujung atas pipa sehingga ai dai pemukaan sumu tedesak ke atas. Ai dai dalam sumu ditekan oleh tekanan atmosfe hingga mencapai ketinggian tetentu di mana tekanan atmosfe sama dengan tekanan hisostatik kolom ai dalam pipa. Misalkan tinggi kolom ai naik adalah h. Misalkan uang di ujung atas pipa bena-bena vakum. Tekanan hidostatik yang dihasilkan oleh kolom ai dalam pipa adalah ρgh. Tekanan ini sama dengan tekanan atmosfe sehingga tepenuhi P o ρgh 40

244 Dengan demikian tinggin kenaikan zat cai atas adalah dalam pipa akibat pemvakuman di ujung P h o ρg Dengan menggunakan tekanan atmosfe di dasa sumu Po, Pa dan massa jenis ai ρ 000 kg/m3 maka tinggi maksimum kenaikan ai dalam pipa adalah 5,03 0 h 0,5 m 0 3 9,8 Jadi maksimum kenaikan ai dalam pipa adalah 0 mete. Kondidi ini tecapai jika ujung atas pipa bena-bena vakum. Namun, tidak mungkin memvakumkan secaa total udaa di ujung atas pipa. Jadi ketingian kenaikan ai dalam pipa sedikit lebih kecil dai 0 mete. 0.7 Gaya Angkat Achimedes Sifat tekanan hidostatik dalam fluida yang begantung pada kedalaman menimbulkan femomena yang menaik, yaitu adanya gaya angkat. Jika sebuah benda dicelupkan ke dalam fluida, maka bagian dasa benda mendapatkan tekanan yang lebih besa daipada bagian puncaknya. Akibatnya, gaya yang dialami bagian dasa benda (aah ke atas) lebih besa daipada gaya yang dialami bagian puncak benda (aah ke bawah). Hasilnya adalah benda mendapat gaya netto ke atas dai fluida. Untuk menentukan besanya gaya angkat ketika benda dimasukkan ke dalam fluida, mai kita lihat sebuah kubus yang dicelupkan ke dalam fluida. h s s s Gamba 0. Sebuah kubus dengan sisi-sisi s dicelupkan ke dalam fluida 4

245 Tekanan hidostatik pada sisi atas kubus adalah: Tekanan hidostatik pada sisi bawah kubus adalah: Luas tiap sisi kubus adalah: A s Gaya ke bawah pada sisi atas kubus: Gaya ke atas pada sisi bawah kubus: F P ρgh P A ρgha P ρ g( h + s) F P A ρ g( h s) A + Sisi kii dan sisi kanan kubus menghasilkan gaya yang sama besa tetapi belawanan aah sehingga saling meniadakan. Begitu pula sisi depan dan sisi belakang kubus menghasilkan gaya yang sama besa tetapi belawanan aah sehingga saling meniadakan Dengan demikian, gaya total yang dihasilkan fluida pada kubus adalah gaya ke atas yang besanya F A F F ρ g( h + s) A ρgha ρgsa Tetapi sa V, yaitu volum benda, sehingga dapat ditulis F A ρgv (0.9) dengan ρ massa jenis fluida, g pecepatan gavitasi, dan V : volume benda yang tecelup dalam fluida. Pesamaan (0.9) seing disebut gaya angkat Achimedes. Pesamaan tesebut menjelaskan banyak peistiwa sepeti teapungnya kapal laut, teapung, tenggelam dan melayangnya kapal selam. Gamba 0. Tanke dan kapal selam yang begitu besa massanya tidak tenggelam kaena adanya gaya angkat 4

246 Titanic Kapal pesia besa R.M.S. (Royal Mail Ship) Titanic dibuat di Belfast, Ilandia oleh Haland and Wolff Shipbuildes. Dipelukan waktu dua tahun dengan jumlah tenaga keja oang untuk meampungkan kapal tesebut. Biaya yang dihabikan adalah 7,5 juta dola tahun itu ( setaa dengan 40 juta dola tahun 004). Panjang kapal adalah 88,5 kaki dan memiliki empat ceobong. Beat kapal adalah ton. Hanya tiga ceobong yang befungsi sebagai lubang asap dan satu ceobong befungsi sebagai ventilasi udaa. Titanic mulai belaya dai dok White Sta di Southampton, Inggis, dalam pejalanan menuju New Yok pada tanggal 0 Apil 9. Pada jam 6:35 soe kapal meapat di Cheboug, Peancis. Titanic kemudian meninggalkan Cheboug pada jam 8:0 malam dan tiba di Ialandia siang hai tanggal Apil. Kemudian kapal meninggalkan Ilansia pada jam :30 siang. Pada tanggal 4 Apil jam :40 malam Titanic menabak gunung es di samuda Atlantik Utaa di lepas pantai Newfoundland. Gunung es tesebut menciptakan lubang di lambung. Dai lubang tesebut dipekiakan sekita 6,000 kaki cubic ai masuk hanya dalam waktu 40 menit. Tanggal 5 Apil jam :45 siang sekoci mulai dituunkan dai kapal untuk menyelamatkan penumpang. Jam :5 siang kapal mulai tuun ke bawah. Kapal kemudian tenggelam pada jam :0 siang. Gamba 0.3 (kii) Titatic saat belaya. Gaya angkat yang besa menyebabkan kapal teapung di laut. (kanan) Masuknya ai ke dalam Titaic akibat lambung obek kaena menabak gunung es menyebabkan beat total lebih besa dai gaya angkat sehingga kapal tenggelam ke dasa samudea. Contoh

247 Sebuah benda ditimbang beatnya dengan neaca pegas. Saat benda menggantung bebas di udaa beat benda adalah N. Tetapi ketika dicelupkan ke dalam ai, pembacaan neaca adalah,5 N. Jika diketahui massa jenis ai g/cm 3, beapakah volum benda? Gaya angkat yang dialami benda F A N,5 N 0,5 N Massa jenis ai ρ g/cm kg/0-6 m3 0 3 kg/m 3. Dengan menggunakan hokum Achimedes maka V F A ρg 0, m 3 Contoh 0.7 Sebuah papan kayu memiliki panjang m, leba m dan ketebalan 0 cm ditempatkan melintang di atas ai (ketebalan kayu beaah atas dan bawah). Massa jenis kayu 900 kg/m 3 dan massa jenis ai 000 kg/m 3. Beapa sentimete bagian kayu yang muncul di atas pemukaan ai? Volume kayu V panjang leba tinggi 0, 0, m 3. Massa k ayu m ρ V 900 0, 80 kg. k Beat kayu W mg N Misalkan volume kayu yang tecelup dalam ai U. Gaya ke atas yang dialami kayu: F ρ gu U 0000U Dalam keadaan seimbang, gaya ke atas sama dengan beat kayu atau A a Atau W F A U U 800/ ,8 m 3 Misalkan ketebalan bagian kayu yang tecelup y, maka U panjang leba y y y. Dengan demikian y U/ 0,8/ 0,09 m. Tebal bagian kayu yang menonjol di atas pemukaan ai adalah: tinggi y 0, 0,09 0,0 m cm. 44

248 0.8 Tenggelam, Melayang, dan Teapung Gaya ke atas yang dialami benda dalam fluida behaga maksimum jika seluuh bagian benda tecelup ke dalam fluida. Besanya gaya ke atas maksiumum tesebut adalah F A, maks ρ f gvb (0.0) dengan F A,maks gaya ke atas yang dialami benda jika seluuh bagian benda tecelup dalam fluida, ρ f mass jenis fluida, g pecepatan gavitasi, dan V b volum total benda. Beat benda sendii adalah W m g V g (0.) b ρ b b dengan ρ b massa jenis benda. Ketika kita menempatkan benda ke dalam fluida maka akan tejadi salah satu dai tiga kemungkinan: benda kan teapung, benda akan melayang, dan benda akan tenggelam. Apa syaat tejadinya fenomena tesebut? Mai kita bahas. Tenggelam Benda akan tenggelam jika gaya ke atas maksimum yang dialami benda lebih kecil daipada beat benda. Jadi, syaat benda tenggelam adalah W > F A, maks (0.) Pesyaatan di atas dapat ditulis sebagai ρ gv > ρ gv b b f b ρ b > ρ f (0.3) Melayang Benda dikatakan melayang jika saat benda ditempatkan di suatu titik dalam fluida, benda tidak begeak naik ataupun tuun. Ketinggian benda selalu sama. Ini hanya tejadi jika gaya angkat ke atas maksimum sama besa dengan beat benda. Jadi syaat benda melayang adalah W F A, maks (0.4) 45

249 Pesyaatan di atas dapat ditulis sebagai atau ρ gv ρ gv b b f b ρ b ρ f (0.5) Untuk benda yang melayang ini, jika benda mula-mula diletakkan di atas pemukaan fluida di mana ada bagian benda yang menyembul, maka benda tesebut akan tecelup dengan sendiinya ke dalam fluida hingga tidak ada lagi bagian yang menyembul. Selanjutnya benda diam (tidak begeak ke atas atau ke bawah). Teapung Benda teapung di pemukaan fluida jika ada bagian benda yang menyembul di atas pemulaan fluida. Jika seluuh bagian benda dicelupkan ke dalam fluida kemudian dilepaskan maka benda begeak ke atas dan behenti ketika ada sejumlah tetentu bagian benda yang menyembul di atas pemukaan fluida. Ini hanya tejadi jika gaya ke atas maksimum yang dialami benda (ketika seluuh bagian benda tecelup dalam fluida) lebih besa daipada beat benda. Jadi, syaat benda teapung adalah W < FA, maks (0.6) Pesyaatan di atas dapat ditulis sebagai atau ρ gv < ρ gv b b f b ρ b < ρ f (0.7) Benda yang teapung selalu diam di pemukaan fluida. Saat di pemukaan ini beat benda pesis sama dengan gaya ke atas yang dimiliki benda. Misalkan volume benda yang tecelup adalah V dan volume yang menyembul di atas fluida adalah V maka V V + V (0.8) Gaya ke atas yang dialami benda adalah 46

250 F A ρ gv (0.9) f sedangkan beat benda adalah W ρbvg Kaena benda tidak begeak ke atas atau ke bawah lagi (seimbang) maka atau F A W ρ gv ρbvg f (0.0) atau ρb V V (0.) ρ f F A < F A,maks F A F A,maks W F A F A,maks W W Tenggelam Melayang Mengapung Gamba 0.4 Tenggelam, melayang, dan teapung. 47

251 Contoh 0.8 Sebuah benda yang bentuknya tidak teatu dimasukkan ke dalam ai. Tampak bahwa 0% volum benda menyembul di atas pemukaan ai. Ketika dimasukkan ke dalam suatu jenis fluida, volume benda yang menyembul adalah 5%. Beapakah massa jenis fluida kedua tesebut? Ketika dimasukkan dalam ai, volum benda yang menyembul adalah V 0% V 0, V. Volum benda yang tecelup dalam fluida adalah V V-V V 0, V 0,9 V. Dengan demikian massa jenis benda adalah V 0,9V ρ b ρ a ρ a 0, kg/m 3 V V Ketika dimasukkan ke dalam zat cai lain, voum benda yang menyembul adalah V 5% V 0,5 V. Volum benda yang tecelup adalah V V-V V 0,5 V 0,75 V. Massa jenis fluida menjadi V V 900 ρ c ρb ρb 00 kg/m 3 V 0,75V 0, Hukum Pascal Hukum Pascal menjelaskan sifat fluida yang mampu mentansfe tekanan dai satu titik ke titik lain dalam fluida. Hukum Pascal bebunyi jika satu bagian fluida dalam wadah tetutup dibei penambahan tekanan maka seluuh bagian lain fluida tesebut mendapat penambahan tekanan yang sama besanya. A B Gamba 0.5 Penambagan tekanan fluida di titik A mencapai juga titik B Misalkan tekanan di posisi A dinaikkan sebesa P. Tekanan di titik B juga mengalami kenaikan sebesa P. Sifat ini bebeda dengan zat padat. Jika ujung batang besi ditekan maka ujung yang lain, atau bagian yang lain belum tentu mendapat tekanan. 48

252 Dongkak hidolik Kalian telah melihat dongkak bukan? Hanya dengan putaan ingan saja, sebuah dongkak dapat mengangkat mobil yang bobotnya sangat besa. Mengapa dapat tejadi? Hal ini akan kita bahas beikut ini. Salah satu jenis dongkak yang banyak dipakai adalah dongkak hidolik. Caa keja dongkak ini menggunakan hukum Pascal. Konfiguasi dongkak sangat miip dengan pipa U, tetapi penampang salah satu pipa jauh lebih besa daipada penampang lainyya. Pipa yang bepenampang besa dilengkapi dengan system pengangkat benda, sedangkan pipa yang bepenampang kecil dilengkapi dengan system putaan tangan. F A A F A B Gamba 0.6 Konfiguasi dongkak hidolik Tekanan input dibeikan pada titik A. Titik B yang beada di bawah piston besa akan mendapatkan tekanan output yang sama besanya. Misalkan luas penampang pipa kecil A dan pipa besa A. Tekanan pada piston pipa kecil F A P A (0.) Tekanan pada piston pipa besa F A P B (0.3) Kaena P A P B maka 49

253 F F (0.4) A A Dengan hubungan di atas maka gaya yang pelu dilakukan oleh tengan untuk mengangkat benda yang beatnya F hanyalah F ( A / A ) F. Sebagai contoh, jika A 40A, maka untuk mengangkat benda yang beatnya N (massa 000 kg) hanya dipelukan gaya sebesa 0 000/40 50 N, atau sama dengan mengangkat benda yang massanya 5 kg. Contoh 0.0 Sebuah dongkak hidolik memiliki pipa-pipa yang bediamete cm dan 7 cm. Beapakah gaya yang dipelukan untuk mengangkat benda yang massanya 500 kg? - Infomasi yang dibeikn soal adalah diamete pipa-pipa d cm 0 m, d 7 cm m, dan F mg 500 0,5 0 4 N. Dengan data tesebut kita dapat menghitung ( 0 ) π 3,4 A d 7, m. 4 4 A π d 4 ( 7 0 ) 3,4 3, m. 4 5 A 7,85 0 F, ,85 0 F A N 0.0 Tegangan Pemukaan Banyak pengamatan menaik tentang pemukaan fluida. Jaum yang diletakkan pelahan-lahan di atas pemukaan fluida tetap mengambang asalkan tidak basah meskipun massa jenis jaum lebih besa daipada massa jenis fluida. Pada tempat jaum diletakkan, pemukaan fluida sedikit melengkung ke bawah mengikuti kontou pemukaan jaum. Fenomena ini mempelihatkan bahwa pemukaan fluida bepean sangat miip dengan memban yang dientangkan. Jaum akan masuk tenggelam ke dalam fluida jika pemukaan fluida tetusuk, yang miip dengan obeknya memban. Kaena pemukaan fluida miip dengan memban yang dientangkan, maka pemukaan fluida menaik benda pada tepinya dengan gaya yang sejaja pemukaan. 50

254 Contohnya, ai yang ada dalam gelas. Pada tempat kontak dengan gelas, pemukaan ai menaik dinding gelas. Beapakah besa gaya taiuk oleh pemukaan fluida? Udaa Fluida Gamba 0.7 Jaum teapung di atas pemukaan fluida Dai hasil pengamatan dipeoleh bahwa fluida pada tempat kontak dengan zat padat adalah besanya gaya taik oleh pemukaan F γl (0.5) dengan F gaya oleh pemukaan fluida, L panjang gais kontak antaa pemukaan fluida dengan zat padat, dan γ konstanta yang dikenal dengan tegangan pemukaan fluida. Tegangan pemukaan bebeapa fluida tampak pada Tabel 0. Tabel 0. Tegangan pemukaan bebeapa fluida Fluida Ai aksa (0 o C) 0,44 Alkohol (0 o C) 0,03 Ai (0 o C) 0,076 Ai (0 o C) 0,07 Ai (00 o C) 0,059 Benzen (0 o C) 0,09 Oksigen cai (-93 o C) 0,06 Tegangan pemukaan (N/m) Contoh 0. Sebuah kawat kecil yang panjangnga 0 cm dicelupkan ke dalam benzen. Kawat tesebut kemudian diatik pelahan-lahan dalam posisi sejaja kelua dai pemukaan benzen. Beapakah gaya oleh pemukaan benzen pada kawat, sebelum kawat lepas dai pemukaan benzen? 5

255 Panjang kawat adalah l 0 cm 0, m. Tetapi kaena pada masing-masing sisi kawat tedapat lapisan pemukaan fluida, maka panjang total pemukaan fluida yang kontak dengan kawat adalah L l 0, m Bedasakan Tabel 0. tegangan pemukaan benzen adalah γ 0,09 N/m. Dengan demikian gaya yang dilakukan pemukaan fluida pada kawat adalah F γl 0,09 0, 0,0058 N 0. Kelengkungan Pemukaan Fluida Jika ai dimasukkan ke dalam gelas kemudian pemukaannya diamati dengan seksama, khususnya pada posisi kontak dengan gelas maka tampak pemukaan ai sedikit melengkung ke atas. Kelengkungan pemukaan tesebut disebabkan kaena adanya gaya taik antaa molekul ai dengan atom pada pemukaan gelas. Jika gaya taik antaa molekul fluida dengan atom pada pemukaan zat pada mengungguli gaya taik anta molekul fluida maka pemukaan fluida pada tempat kontak dengan zat padat sedikit naik. Sebaliknya, jika gaya taik antaa molekul fluida dengan atom pada pemukaan zat padat lebih kecil daipada gaya taik anta molekul fluida maka pemukaan fluida pada tempat kontak dengan zat padat sedikit tuun. Gaya taik anta atoll/molekul dai zat yang sama dikenal dengan gaya kohesi. Contohnnya adalah gaya taik anta molekul fluida atau anta atom zat padat. Sebaliknya, gaya taik anta molekul zat yang bebeda disebut adhesi. Contoh gaya adhesi adalah gaya taik antaa molekul fluida dengan atom pada dinding zat padat. Ada dua macam bentuk kelengkungan pemukaan fluida pada posisi kontak dengan pemukaan zat padat. Pemukaan cekung Pada tempat kontak dengan zat padat, pemukaan fluida menjauhi fluida. Pemukaan cekung tejadi jika gaya adhesi lebih besa daipada gaya kohesi. Contoh pemukaan ini adalah ai yang dimasukkan ke dalam gelas. Caian yang membentuk pemukaan cekung dikatakan sebagai caian yang membasahi dinding. Ketika caian tesebut dibuang dai wadah, dinding tampak basah. 5

256 Pada tempat kontak dengan dinding, pemukaan caian membentuk sudut θ antaa 0 sampai 90 o. θ Fluida Gamba 0.8 Pemukaan cekung Pemukaan cembung Pada tempat kontak dengan zat padat, pemukaan fluida mendekati fluida. Pemukaan cekung tejadi jika gaya adhesi lebih kecil daipada gaya kohesi. Contoh pemukaan ini adalah ai aksa yang dimasukkan ke dalam gelas. Caian yang membentuk pemukaan cembung dikatakan sebagai caian yang tidak membasahi dinding. Ketika caian tesebut dibuang dai wadah, dinding tampak keing. Pada tempat kontak dengan dinding, pemukaan caian membentuk sudut θ antaa 90 sampai 80 o. θ Fluida Gamba 0.9 Pemukaan cembung Soal dan Penyelesaian ) Beat sebuah gelas uku kosong adalah,5 N. Ke dalam gelas dimasukkan alcohol hingga beatnya betambah menjadi 3,5 N. Beapakah volum alkohol yang dimasukkan ke dalam gelas? Beat alkohol yang dimasukkan W 3,5-,5 N 53

257 Massa alcohol m W/g /0 0, kg Volum alcohol Vm/ρ 0,/790 0,0007 m 3 7 ml ) Ai yang besuhu 0 o C dimasukkan dalam wadah tetutup kemudian dipanaskan hingga sununya mencapai 60 o C. Apakah massa ai dan wadah beubah? Apakah massa jenis ai beubah? Kaena ai dimasukkan dalam wadah tetutup maka tidak ada uap ai yang bisa meninggalkan wadah. Dengan demikian, massa ai dan wadah tidak beubah. Ketika dipanaskan, volume ai membesa akibat pemuaian. Kaena massa ai tetap, maka membesanya volum menyebabkan massa jenis ai bekuang. 3) Sebuah pipa dimasukkan ke dalam wadah beisi ai aksa. Ujung pipa yang masuk ke dalam ai aksa tebuka, sedangkan di ujung lainnya, dilakukan penvakuman. Jika tekanan udaa lua Pa, beapakah ketinggian ai aksa dalam pipa? Jika pipa dimiingkan hingga membentuk sudut 60 o tehadap hoizontal, beapakah panjang kolom ai aksa di dalam pipa? Tekanan udaa lua sama dengan tekanan hidostatik di dasa kolom ai aksa. Jadi P o ρ g h, atau Po h ρ g , ,66 m Jika pipa dimiingkan, maka ketinggian pemukaan ai aksa dalam pipa diuku dalam aah vetical tetap 0,66 m. Kaena sudu yang dibentuk oleh pipa dengan aah vetical adalah 60 o mama panjang kolom ai aksa dalam pipa adalah h 0,66 h ' 0,76 m o sin 60 0,866 4) Di dalam sebuah gelas silinde yang memiliki jai-jai lubang 4 cm dimasukkan ai hingga mencapai ketinggian 7 cm. Di atas ai kemudian dimasukkan minyak yang memiliki massa jenis 800 kg/m3 hingga tinggi total caian dalam gelas adalah 0 cm. Beapakah gaya yang dialkukan fluida di dasa gelas dan beapa gaya total yang dialami dasa gelas jika bagian atas gelas tebuka? 54

258 Tinggi kolom ai h 7 cm 0,07 m Tinggi kolom minyak cm 0,3 m Tegangan hidostatis di dasa gelas sama dengan jumlah tegangan hidostatis yang dihasilkan kolom minyak dan kolom ai, yaitu P ρ gh + ρ gh , ,3 740 Pa Tekanan total di dasa gelas P P P T o +,03 0 +,74 0,03 0 Pa Jai-jai penampang gelas 4 cm 0,04 m 3 Luas penampang gelas: A π 3,4 (0,04) 5 0 m Gaya yang dihasilkan oleh fluida di dasa gelas F P A 740 (5 0-3 ) 8,7 N Gaya total yang dialami dasa gelas F T P T A (, ) (5 0-3 ) 55 N 5) Sebuah pipa U memiliki luas penampang 4 cm. Jaak anta dua kaki pila adalah cm. Ke dalam pipa dimasukkan 00 cm 3 ai dan 0 cm 3 minyak yang memiliki massa jenis 800 kg/m 3. Ai dan minyak tidak becampu. Beapakah tinggi pemukaan minyak dai dasa pipa U? h h h cm Gamba 0.0 Panjang kolom ai dalam pipa adalah l 00/4 5 cm Panjang kolom minyak dalam pipa adalah l 0/4,5 cm 55

259 Bedasakan Gb 0.0: h l,5 cm. Dengan menggunakan pesamaan untuk pipa U, maka 800,5 h ρ h cm ρ 000 Juga bedasakan Gb 0.0 kita dapatkan hubungan atau (h-h ) + cm + h l (h-,5) + cm + 5 h-,5 (5--)/ 0,5 h 0,5 +,5 3 cm Jadi tinggi pemukaan minyak dai dasa pipa U adalah 3 cm. 6) Sebuah wadah dai besi yang tetutup besisi ai dan udaa di dalamnya. Volume lua wadah adalah L sedangkan volume ai di dalam wadah adalah 0,8 L. Ketika dimasukkan ke dalam ai wadah tesebut melayang. Beapakah massa bahan wadahnya saja. Jika ai dalam wadah dikeluakan semuanya dan wadah ditutup kembali, beapa volum wadah yang menyembul di atas pemukaan ai ketika diletakkan kembali di ai? Volume wadah V L 0-3 m3. Saat melayang, gaya ke atas yang dialami wadah F A 3 ρ a gv ( 0 ) 0 N Gaya ke atas ini sama dengan beat total benda (wadah + ai). Volume ai V a 0,8 L m3 Massa ai m a ρ a V a ,8 kg Beat ai W a m a g 0,8 0 8 N Beat wadah saja W w F A W a 0 8 N Massa wadah M w W w /g /0, kg Jika ai dikeluakan semuanya maka wadah mengapung di pemukaan ai. Jika volum wadah yang masuk dalam ai adalah V maka gaya angkat yang dialami wadah F ρ a gv V A 4 0 V Gaya ini sama dengan beat wadah, W w N. Dengan demikian, 56

260 atau 0 4 V V /0 4, 0-3 m3, L Volume wadah yang menyembul di atas pemukaan ai V V - V, 0,8 L 7) Di dalam gelas yang penuh beisi ai tedapat bebeapa buti es yang mengapung. Jika es mencai seluuhnya, apakah ada ai yang tumpah dai gelas? Misalkan volum es V dan volum ai yang didesak es adalah V. Gaya ke atas yang dialami es F ρ gv Beat es W m e g ρ Vg Ke dua gaya tesebut sama besa sehingga ρ gv ρ evg a ρ V ρ ev a e A a Ruas kii adalah massa ai yang didesak es. Ruas kanan adalah massa total es. Kaena ketika mencai, es beubah menjadi ai, maka volume ai yang dihasilkan tepat mengisi volum ai yang didesak es. Dengan demikian, tidak ada ai yang tumpah dai gelas ketika es mencai seluuhnya. 8) Apakah balon yang beisis helium dan sedang begeak ke atas akan teus tanpa henti? Jelaskan ke atas Tidak. Suatu saat balon akan behenti ke atas. Geakan ke atas tejadi kaena adanya gaya angkat yang melebihi beat balon. Besa gaya ke atas adalah F ρ gv A udaa balon Kaena makin ke atas ρ udaa makin kecil maka makin ke atas F A makin kecil. Pada ketinggian tetentu nilai F A sama dengan beat balon, dan balon behenti begeak ke atas. 57

261 9) Mengapa oang lebih mudah mengambang di ai laut daipada di ai sungai? Massa jenis ai laut lebih besa dibandingkan dengan massa jenis ai sungai. Ketika tubuh masuk ke dalam ai, maka gaya ke atas yang dilakukan ai laut lebih besa daipada gaya ke atas yang dilakukan ai sungai. 0) Pekiakan massa udaa yang ada dalam uang tamu beukuan 3,8 m 3, m 5,8 m. Massa jenis udaa adalah,9 kg/m 3. Volume uang tamu V 3,8 3, 5,8 70,5 m 3 Massa udaa: m ρ V,9 70,5 9 kg. ) Jika massa jenis daah adalah, kg/m 3, beapakah beda tekanan daah di ujung kepala dan dasa kaki sesoang yang tingginya,6 m? Pebedaan tekanan daah sama dengan tekanan hidostatis yang dihasilkan daah yang beada di atas dasa kaki, yaitu 3 P ρ d gh (,05 0 ) 0, 6, Pa ) Tekanan yang ditunjukkan udaa dalam ban mobil masing-masing 40 kpa. Jika luas bidang sentuh masing-masing ban mobil dengan tanah adalah 00 cm 3 dan mobil memiliki empat ban, beapakah massa mobil? Tekanan tiap ban: 40 kpa,4 0 5 Pa Luas bidang sentuh tiap bab: A 00 cm 0,0 m Gaya yang dilakukan tiap ban: F P A, , N Gaya yang dilakukan empat ban mobil: F T 4 F N Gaya yang dilakukan 4 ban sama dengan beat mobil: W F T 9 00 N Maka massa mobil : m W/g 9 00/0 90 kg. 3) Beapakah tekanan total dan gaya total di dasa sebuah kolam yang memiliki luas 58

262 m m dan kedalaman ai m? Tekanan total di dasa kolam P P o + ρ g h, ,3 0 5 Pa Luas dasa kolam: A 64 m Gaya total di dasa kolam F P A, , 0 7 N 4) Seoang ahli geologi menguku massa batuan bulan dengan neaca pegas. Ketika batu tegantung bebas, penunjukkan neaca adalah 8, kg. Tetapi ketika batu dicelupkan ke dalam ai, penunjukkan neaca adalah 6,8 kg. Beapakah massa jenis batu tesebut? Gaya pada neaca saat batu di udaa W 8, 0 8 N Gaya pada neaca saat batu di dalam ai W 6,8 0 6,8 N Selisih gaya tesebut meupakan gaya angkat oleh ai pada batu. Jadi F A W W 8 6,8 0, N Volume batu dihitung dengan pesamaan Achimedes 0, F A V,0 0-3 m 3. ρg Massa jenis batu adalah massa batu di udaa dibagi volumnya, yaitu 8, ρ kg/m 3 b 3,0 0 5) Sebuah balon bebentuk bola dengan jai-jai 9,5 m dan diisi helium. Beapa massa kago yang dapat diangkut balon jika kuli balon sendii memiliki massa 000 kg. Massa jenis udaa adalah,9 kg/m 3 dan massa jenis helium adalah 0,79 kg/m 3. Volume balon V π 3,4 (9,5) 3 Gaya ke atas yang dialami balon: 590 m 3 59

263 FA ρ u gv, N Massa helium di dalam balon mh ρ hv 0, kg Jika massa kago maksiumu yang dapat diangkut, m k, maka tepenuhi F ( m + m + m g A bl h k ) atau massa kago maksimum yang dapat diangkut F 463 m A k mbl mh kg g 0 Soal-Latihan ) Dongkak hidolik memiliki pebandingan pebandingan luas penampang output dan input sebesa 40. Jika gaya maksimum yang dapay dibeikan di lengan imput 00 N, tentukan massa maksimum yang dapat diangkat dongkak. ) Sebuah pipa U yang beisi ai aksa digunakan untuk menguku tekanan udaa dalam uang tetutup. Selisih tinggi pemukaan ai aksa dalam pipa adalah 0 cm. Jika salah satu ujung pipa besentukan langsung dengan atmosfe, tentukan tekanan udaa dalam uang tetutup tesebut. 3) Sebuah pipa U yang beisi ai aksa beada dalam posisi tegak. Masing-masing ujung pipa dihubungan dengan wadah besisi gas dalam uang tetutup. Tampak bahwa pemukaan ai aksa dalam pipa memiliki pebedaan ketinggian 8 cm. Tentukan pebedaan tekanan gas dalam dua wadah tesebut. 4) Jika baomete ai aksa yang sedang menguku tekanan atm dimiingkan hingga membentuk sudut 45 o tehadap hoizontal, beapakah panjang kolom ai aksa dalam baomete tesebut? 5) Ketika sepotong kayu diletakkan di ai, sebanyak 0% volumnya menyembul di atas pemukaan ai. Beapa pesen volum katu tesebut yang menyembul jika diletakkan dalam fluida yang memiliki massa jenis, g/cm 3? 6) Beapa ketebalan lapisan atmosfe jika massa jenis udaa dianggap sama untuk semua ketinggian, yaitu,9 kg/m 3. 7) Beapa faksi aluminium yang tecelup dalam ai aksa ketika batang aluminium mengapung di atas ai aksa? Massa jenis aluminium adalah 700 kg/m 3. 8) Massa jenis baja jauh lebih besa daipada massa jenis ai laut. Mengapa kapal laut yang tebuat dai baja bisa teapung di atas ai laut? 9) Sebuah wadah tetutup yang volum luanya L beisi alcohol di dalamnya. Ketika 60

264 diletakkan di ai, wadah tesebut melayang dalam ai. Jika 0, L alkohol di dalamnya dikeluakan, beapa pesen volum wadah yang teapung di atas pemukaan ai? 6

265 Bab Fluida Dinamik Setelah mempelajai statika fluida pada Bab 0, mai sekaang kita peluas pengetahuan kita tentang fluida dengan mempelajai fluida dinamik. Kita akan lihat bahwa pesamaan-pesamaan Newton yang telah kita pakai pada dinamika patikel dapat diteapkan pula pada fluida. Gamba. Peancangan teknologi di atas haus menggunakan hukum-hukum tentang fluida dinamik. Laju alian fluida Salah satu besaan yang penting dalam mempelajai fluida begeak adalah laju alian fluida. Laju alian menguku jaak yang ditempuh satu elemen dalam fluida pe satuan waktu. x t Gamba. Selama selang waktu t, elemen dalam fluida bepindah sejauh x. 6

266 Pada Gb. sebuah elemen fluida bepindah sejauh x dalam selang waktu t. Laju alian fluida memenuhi x v (.) t. Debit Alian Debit alian adalah jumlah volum fluida yang mengali pe satuan waktu. v x x t Gamba.3 Elemen fluda beupa silinde dengan ketebalan x bepindah sejuh x selama selang waktu t. Kita lihat iisan fluida tegak luus penampang pipa yang tebalnya x. Anggap luas penampang pipa A. Volume fluida dalam elemen tesebut adalah V A x. Elemen tesebut tepat begese sejauh x selama selang waktu t. Jika laju alian fluida adalah v maka x v t, sehingga elemen volum fluida yang mengali adalah V Av t Debit alian fluida didefinisikan sebagai V Q t Av t t Av (.) Contoh. Ai yang mengali kelua dai kean ditampung dengan embe. Setelah satu 63

267 menit tenyata jumlah ai yang tetampung adalah 0 L. Jika diamete penampang kean adalah cm, beapakah laju alian fluida dalam pipa kean? Dalam satu menit, t menit 60 s, jumlah ai yang kelua kean adalah V 0 L m 3 0,0 m 3. Dengan demikian, debit alian ai adalah V 0,0 Q 0,00033 m 3 /s t 60 Jai-jai penampang kean / 0,5 cm m. Luas penampang kean 3 A π 3,4 (5 0 ) 7, m. Laju alian ai dalam kean 0,00033 v Q 4, m/s 5 A 7, Pesamaan Kontinuitas Jika pipa yang dialii fluida tidak boco sehingga tidak ada fluida yang meninggalkan pipa atau fluida dai lua yang masuk ke dalam pipa sepanjang pipa maka belaku hukum kekekalan massa. Jumlah massa fluida yang mengali pe satuan waktu pada bebagai penampang pipa selalu sama. A v A v Gamba.4 Massa fluida yang mengali pe satuan waktu pada bebagai penampang pipa selalu sama. Akibat hukum kekekalan massa maka atau Q Q A (.3) v Av Pesamaan (.3) disebut juga pesamaan kontinuitas. Bedasakan pesamaan di atas 64

268 kita akan dapatkan bahwa pada bagian pipa yang sempit, fluida begeak dengan kecepatan lebih cepat. Pada daeah penyempitan sungai alian ai lebih kencang daipada pada daeah yang leba. Ai yang kelua dai kean (tidak menyembu) mempelihatkan peubahan luas penampang yang makin kecil pada posisi yang makin ke bawah. Akibat gavitasi, makin ke bawah, laju ai makin besa. Aga tepenuhi pesamaan kontinuitas, maka makin ke bawah, luas penampang ai haus makin kecil. Gamba.5 Ai yang mengali tuun dai suatu kean mengalami peubahan luas penampang. Makin ke bawah, penampang ai makin kecil..4 Kompessibilitas Kompesibilitas menguku peubahan volum fluida jika dibei tekanan. Jika fluida beupa gas maka tekanan dapat mengubah volume gas dengan mudah. Kita katakan gas meupakan fluida yang kompesibel. Zat cai tidak telalu dipengauhi oleh tekanan. Tekanan yang sangat besa sekalipun hanya mengubah volume caian dalam faksi yang sangat kecil. Untuk mudahnya, dalam bab ini kita anggap fluida cai tidak mengalami peubahan volum akibat pembeian tekanan. Jadi fluida cai kita anggap tidak kompesibel..5 Alian Lamine dan Tubulen Kalian penah mengamati alian ai sungai atau selokan yang cukup kencang bukan? Tampak adanya pusaan-pusaan ai. Alian yang mengandung pusaan-pusaan semacam itu disebut alian tubulen. Membahas fluida yang mengandung alian tubulen sangat sulit. Untuk itu, pada bab ini kita hanya membahas alian fluida yang tidak tubulen. Alian semacam ini disebut alian lamine. 65

269 Gamba.6 (a) Alian lamine dan (b) alian tubulen.6 Hukum Benoulli Salah satu hukum dasa dalam menyelesaikan pesoalan fluida begeak adalah hukum Benoulli. Hukum Benoulli sebenanya adalah hukum tentang enegi mekanik yang diteapkan pada fluida begeak sehingga kelua pesamaan yang bentuknya khas. Sebagaimana lazimnya, untuk menuunkan hukum Benoulli, mai kita amati Gb.7. Coba kita lihat elemen fluida pada lokasi. Luas penampang pipa: A Ketebalan elemen pipa: x Volum elemen fluida: V A x Massa elemen fluida: m ρ V Kecepatan elemen: v Dengan demikian Enegi kinetik elemen: K mv ρ Vv Enegi potensial elemen: U mgh ρ Vgh 66

270 Enegi mekanik elemen di lokasi EM K + U ρ Vv + ρ Vgh P x A Lokasi v Lokasi x h A v P h Gamba.7 Ilustasi untuk menuunkan hokum Benoulli Sekaang mai kita lihat elemen pada lokasi Luas penampang pipa: A Ketebalan elemen pipa: x Volum elemen fluida: V A x Massa elemen fluida: m ρ V Kecepatan elemen: v Dengan demikian Enegi kinetik elemen: K m v ρ Vv Enegi potensial elemen: U Enegi mekanik elemen di lokasi mgh ρ Vgh EM K + U ρ Vv + ρ Vgh Elemen pada lokasi dikenai gaya non konsevatif F P A dan bepindah seajauh x seaah gaya. Dengan demikian, usaha yang dialukan gaya tesebut adalah W F x P A x P V 67

271 Elemen pada lokasi dikenai gaya non konsevatif F P A dan bepindah seajauh x dalam aah belawanan gaya. Dengan demikian, usaha yang dialukan gaya tesebut adalah W F x P A x P V Keja non konsevatif total yang bekeja pada elemen fluida adalah W W + W P V P V ( P P ) V (.4) Selama begeak dai lokasi ke lokasi, elemen fluida mengalami peubahan enegi mekanik EM EM EM ρ Vv + ρ Vgh ρ Vv + ρ Vgh (.5) Bedasakan pinsip usaha enegi, usaha oleh gaya non konsevatif sama dengan peubahan enegi mekanik benda. Dengan menggunakan pesamaan (.4) dan (.5) kita dapatkan W EM ( P P ) V ρ Vv + ρ Vgh ρ Vv + ρ Vgh (.6) Hilangkan V pada ke dua uas pesamaan (.6) sehingga dipeoleh P P ρv + ρgh yang bisa disusun ulang menjadi ρv ρgh P + ρ v + ρgh P + ρv + ρgh (.7) Pesamaan (.7) dikenal dengan hukum Benoulli. 68

272 .7 Bebeapa Aplikasi Hukum Benoulli Hukum Benoulli yang meupakan pesamaan dasa fluida tidak kompessibel yang mengali secaa lamine telah diteapkan pada bebagai hal. Untuk lebih memahami hukum tesebut mai kita lihat bebeapa aplikasinya. Asas Toicelli Asas Toicelli sebenanya aplikasi khusus dai hokum Benoulli. Tetapi asas ini ditemukan oleh Toicelli satu abad sebelum hukum Benoulli diumuskan sehingga nama asas Toicelli telah umum digunakan. P P o Lokasi v 0 h -h h v h Lokasi P P o Gamba.8 sangat besa. Menentukan laju kelua ai dai suatu kean pada bak penampung yang Bak yang penampangnya sangat besa diisi dengan ai. Di dasa bak dipasang sebuah kean yang penampangnya jauh lebih kecil daipada penampang bak. Beapa laju alian ai yang kelua dai kean? Kita teapkan hokum Benoulli pada lokasi dan lokasi, yaitu pada pemukaan ai dalam bak dan pada mulut kean. P + ρ v + ρgh P + ρv + ρgh Di lokasi maupun lokasi ai didoong oleh tekanan udaa lua sebesa atm. Jadi, 69

273 P P P o atm. Kaena luas penampang di lokasi jauh lebih besa daipada luas n ai dalam bak sangat kecil dan dapat penampang di lokasi maka laju tuun pemukaa d ianggap nol. Jadi kita ambil v 0. Akhinya hukum Benoulli selanjutnya dapat ditulis atau atau Po ρ gh Po + ρv + ρgh ρ v ρg( h h v h ) g( h ) (.8) Contoh. Menaa ai dengan luas penampang sangat besa memiliki ketinggian 0 m dai posisi kean. Jika diamete lubang kean cm, hitunglah: (a) laju ai yang kelua dai kean, (b) debit ai yang kelua dai kean, dan (c) volume ai yang kelua dai kean selama menit. Infomasi yang dibeikan soal adalah h h 0 m (a) Laju alian ai yang kelua dai kean v g( h h ) m/s (b) Jai-jai lubang kean: / 0,5 cm m. 3 Luas penampang kean: A π 3,4 (5 0 7, m. ) Debit ai yang kelua dai kean Q Av 7,85 0 0, 57 m3/s. (c) Setelah t menit 60 s, volum ai yang mengali kelua dai kean adalah V Q t, ,94 m3. Penampang penampung tidak telalu besa Kita telah membahas penampung yang penampangnya sangat bea dibandingkan dengan penampang kean. Bagaim ana jika penampang penampung tidak 70

274 telalu besa dibandingkan dengan penampang kean? Mai kita kembali ke pesamaan Benoulli dengan menggunakan P P P atm. Kita peoleh Po + ρ v + ρgh Po + v ρ + o ρgh atau v + gh v + gh (.9) Selanjutnya kita gunakan pesamaan kontinuitas A v Av, atau A v v (.0) A Dengan mengganti v pada pesamaan (.9) dengan pesamaan (.0) kita dipeoleh A v A + gh v + gh A v g( h h ) A atau g( h h ) v (.) A A Contoh.3 Menaa ai yang tinggi pemukaannya 0 mete memiliki luas jai-jai penampang 50 cm. (a) Tentukan laju keluanya ai di suatu pipa yang jai-jai penampangnya 8 cm yang beada di dasa menaa, (b) Teuntukan laju tuunya pemukaan ai di bak penampung, (c) Beapa jauh tuunya pemukaan ai di bak penampung setelah ai mengali kelua selama detik? Infomasi yang dibeikan soal adalah h h 0 m, m, dan A π 3,4 (0,08 0,0 m ) A π 0,785 3,4 (0,5) 7

275 a) Dengan menggunakan pesamaan (.) maka laju kelua ai di pipa pengeluaan memenuhi g( h h ) 0 0 v 00,3 A (0,0) A (0,785) atau v 00,3 4,5 m/s b) Dengan menggunakan pesamaan kont inuitas, laju tuunya pemukaan ai di bak penampung adalah A 0,0 v v 4,5 0,36 m/s A 0,785 c) Jauh tuunnya pemukaan ai di bak penampung setelah s adalah h v t 0,36 0,7 m Ventuimete Ventuimete adalah alat yang digunakan untuk menguku laju alian fluida dalam bipa tetutup. Contohnya menguku laju alian minyak pada pipa-pipa penyelu minyak dai tempat pengilangan ke kapal tangke di pelabuhan. Kaena minyak yang mengali dalam pipa tidak dapat dilihat, maka dipelukan teknik khusus untuk menguku laju aliannya tesebut. Teknik yang dilakukan adalah memasang pipa yang penampangnya bebeda dengan penampang pipa utama kemudian menguku tekanan fluida pada pipa utama dan pipa yang dipasang. Kita teapkah hukum Benoulli pada dua lokasi di pipa utama dan pipa yang dipasang. P + ρ v + ρgh P + ρv + ρgh Kaena pipa posisinya mendata, maka kita dapat mengambil h h sehingga 7

276 P + ρ v P + ρv (.) P P A v v A Gamba.9 Skema pengukuan alian fluida dengan ventuimete Selanjutnya kita gunakan pesamaan kontinuitas A v Av, atau A v v A sehingga kita peoleh atau atau A P + ρ v P + ρ v A A ( P ) P ρ v A v ( P A ρ A P ) (.3) Contoh.4 Untuk menguku pebedaan tekanan pada pipa bepenampang kecil dan besa pada pada pipa yang dialii ai, digunakan ventuimete bebentuk pipa U yang beisi ai aksa. Pebandingan luas penampang pipa kecil dan pipa besa adalah :. Jika selisih tinggi pemukaan ai aksa pada pipa-u adalah 5 cm, beapakah kecepatan fluida pada pipa bepenampnag besa dan pipa bepenampang kecil? Beapa pula debit alian fluida jika jai-jai penampang pipa kecil 5 cm? 73

277 Dibeikan di soal A /A /, atau A /A. Pebedaan tekanan pada pipa bepenampang besa dan kecil adalah P P Hg 4 ρ gh, , Pa Kecepatan alian fluda pada pipa bepenampang besa dihitung dengan pesamaan (.3) v ( P P ) 6800 A 000 A ρ ai 3600 ( ) ,53 atau v 4,53, m/s Dengan menggunakan pesamaan kontinuitas, maka laju alian ai di pipa bepenampang kecil adalah A v v, 4, m/s A Luas penampang pipa kecil adalah 3,4 (0,05) A π 0,008 m Debit alian ai adalah Q A v 0,008 4, 0,034 m3/s. Tabung Pitot Tabung pitot dapat digunakan untuk menguku laju alian udaa. Tabung ini memilikidua ujung pipa. Satu ujung pipa (ujung ) memiliki lubang yang menghadap alian udaa dan ujung yang lain (ujung ) memiliki lubang yang menyinggung alian udaa. Udaa yang masuk pada ujung pada akhinya diam di dalam pipa sedangkan udaa pada ujung memiliki laju yang sama dengan laju udaa lua. Alat uku tekanan menguku beda tekana udaa pada dua ujung pipa. Kita gunakan hokum Benoulli pada ujung dan ujung P + ρ v + ρgh P + ρv + ρgh 74

278 P P P Gamba.0 Skema tabung pitot Kita pehatikan, Ketinggian ujung dan ujung hampi sama atau h h, sehingga P + ρ v P + ρv Laju udaa di ujung nol dan di ujung sama dengan laju udaa lua atau, v v atau, sehingga P + 0 P + ρv v v 0, dan ( P ) (.4) ρ P Penguku tekanan menguku selisih tekanan pada dua ujung pipa, atau P P P. Bedasakan beda tekanan tesebut maka laju alian udaa dapat ditentukan menjadi P v (.5) ρ Contoh.5 Sebuah tabung pipot digunakan untuk menguku laju alian udaa. Jika saat itu sedang betiup angin dengan laju 4 m/s, beapakah beda tekanan udaa dalam satuan 75

279 atm yang tdicatat oleh alat uku? Massa jenis udaa ρ,9 kg/m 3, laju udaa: v 4 m/s. Dengan menggunakan pesamaan (.5), beda tekana udaa yang dicatat alat uku adalah P ρ v,9 4 0,3 Pa Kaena atm, Pa, maka pembacaan alat uku dalam satuan atm adalah 0,3/(, ) 0-4 atm Gaya Angkat Pada Pesawat Tebang Pesawat tebang bisa naik atau tuun bukan kaena memiliki mesin yang dapat mendoong ke atas atau ke bawah. Mesin pesawat hanya menghasilkan gaya doong ke aah depan. Tetapi mengapa pesawat bisa naik dan tuun? Bahkan pesawat jet komesial bisa naik hingga ketinggian di atas 0 km dai pemukaan laut. Penyebabnya adalah stuktu sayap pesawat tebang yang diancang sedemikian upa sehingga laju alian udaa tepat di sebelah atas sayap lebih kecil daipada laju alian udaa tepat di bawah sayap. Maka penampang pesawat tebang haus melengkung di sisi atas dan data di sisi bawah. Udaa di sisi atas pesawat menempuh jaak yang lebih jauh dai udasa di sisi bawah. Aga alian yang dihasilkan lamine maka molekul udaa yang bedekatan pada ujung depan pesawat kemudian dibelah oleh saya sehingga salah satu begeak di sisi atas sayap dan salah satu begeak di sisi bawah sayap haus kembali betemu di ujung belakang sayap. Ini beati, molekul-molekul tesebut begeak dai ujung depan ke ujung belakang sayap dalam selang waktu yang sama. Ini hanya bisa tejadi jika laju udaa di sisi atas pesawat lebih besa daipada laju udaa di sisi bawah sayap. Gamba. Pesawat bisa tebang kaena memanfaatkan hukum Benoulli 76

280 Untuk mempelihatkan adanya gaya angkat, mai kita teapkah hukum Benoulli pada titik di sisi atas dan sisi bawah sayap P + ρ v + ρgh P + ρv + ρgh Kita anggap sayap pesawat tidak telalu tebal sehingga ketinggian titik di dua sisi p esawat dapat dianggap sama, atau h h, sehingga P + ρ v P + ρv (.6) Jika luas effektif sayap pesawat adal ah A ef, maka gaya ke atas oleh udaa di sisi bawah sayap adalah F P A ef (.7) dan gaya ke bawah oleh udaa di sisi atas sayap adalah F ef P A (.8) Gaya netto ke atas yang dilakukan udaa pada sayap pesawat adalah F F F ( P P ) (.9) Aef Dai pesamaan (.6) kita dapat menulis P P ρ v ρv ρ ( v v ) sehingga dengan melakukan substiusi ke dalam pesamaan (.9) dipeoleh F ρ ( v v )A ef (.0) Aga pesawat bisa teangkat naik maka gaya pada pesamaan (.0) haus lebih besa daipada beat total pesawat (pesawat dan muatan). Ini dapat dicapai bila laju pesawat cukup tinggi. Itu sebabnya mengapa saat take off pesawat haus memiliki laju yang cukup dulu sebelum meninggalkan landasan. Laju minimum yang dipelukan 77

281 pesawat saat take off begantung pada beat pesawat. Pesawat besa mnemelukan laju yang lebih besa. Laju ini dicapai dengan menempuh jaak tetentu pada landasan. Oleh kaena itu pesawat besa memelukan landas pacu yang lebih panjang. Pafum Spay Banyak pafum menggunakan caa spay untuk menyempotkan caian dalam botol ke tubuh. Pinsip yang dilakukan adalah menghasilkan laju udaa yang besa di ujung atas selang botol pafum. Ujung bawah selang masuk ke dalam caian pafum. Tekanan udaa di pemukaan caian pafum dalam botol sama dengan tekanan atmosfe. Akibat laju udaa yang tinggi di ujung atas selang maka tekanan udaa di ujung atas selang menuun. Akibatnya, caian pafum tedesak ke atas sepanjang selang. Dan ketika mencapai ujung atas selang, caian tesebut dibawa oleh sembuan udaa sehingga kelua dalam bentuk sembuan doplet pafum. Pinsip seupa kita jumpai pada pengecatan aibush. Udaa yang dihasilkan oleh kompeso dialikan di ujung atas selang penampung cat sehingga kelua sembuan doplet cat ke aah pemukaan benda yang akan dilukis. Gamba. Pinsip keja spay Belaya Melawan Angin Peahu laya biasanya begeak seaah angin kaena doongan angin pada laya. Tetapi dengan memanfaatkan hokum Benoulli oang bisa meancang laya peahu sehingga dapat begeak dalam aah belawanan dengan aah angin. Peahu semacam ini pelu dua buah laya yang bisa diatu-atu oientasinya. 78

282 Jila kalian lihat lomba laya intenasional, tampak bahwa semua peahu memiliki dua laya. Ini dimaksudkan aga peahu tetap dapat begeak ke aah yang diinginkan, dai manapun aah angin betiup, sekalipun dai aah depan. Bagaimana menjelaskannya? Gamba.3 Peahu laya sedang sedang begeak melawan angin. Aah angin Kecepatan udaa kecil Laya bantu Gaya Benoulli Gaya oleh ai pada kemudi F R F A Laya utama Kecepatan udaa besa F B Gamba.4 Diagam gaya pada peahu. Untuk menghasilkan geak belawanan aah angin, kedua laya diatu sedemikian upa sehingga angin yang masuk uang anda dua laya memiliki kecepatan lebih besa. Lengkungan laya miip dengan lengkungan sisi atas sayap pesawat tebang sehingga kecepatan angin pasa sisi lengkungan laya (di depan laya) lebih besa daipada kecepatan angin di belakang laya. Gaya Benoulli (akibat pebedaan tekanan) mendoong peahu dalam aah tegak luus aah angin. Nanum, pada saat besamaan, ai laut menaik siip peahu dalah aah yang hampi tegak luus dengan sumbu peahu. 79

283 Jadi ada dua gaya sekaligus yang bekeja pada peahu, yaitu gaya Benouli yang bekeja pada laya dan gaya oleh ai pada siip peahu. Diagam kedua gaya tesebut tampak pada Gb.4. Resultan ke dua gaya tesebut memiliki aah yang hampi belawanan dengan aah angin. Dengan demikian, peahu begeak dalam aah hampi belawanan dengan aah datang angin..8 Viskositas Viskositas adalah besaan yang menguku kekentalan fluida. Hingga saat ini, kita anggap fluida tidak kental. Pesamaan Benolli yang telah kita bahas belaku untuk fluida yang tidak kental. Namun, sebenanya, semua fluida memiliki kekentalan, temasuk gas. Untuk mempeagakan adanya kekentalan fluida, lihat Gamba.5. Fluida diletakkan di antaa dua pelat sejaja. Satu pelat digeakkan dengan kecepatan konstan v aah sejaja ke dua pelat. Pemukaan fluida yang besentuhan dengan pelat yang diap tetap diam sedangkan yang besentuhan dengan pelat yang begeak ikut begeak dengan kecepatan v juga. Akibatnya tebentuk gadien kecepatan. Lapisan fluida yang lebih dekat dengan pelat begeak memiliki kecepatan yang lebih besa. Untuk mempetahankan kecepatan tesebut, dipelukan adanya gaya F yang memenuhi Pelat begeak v F l Pelat diam Gamba.5 Menentukan kekentalan fluida. v F ηa (.) l dengan A luas penampang pelat, l jaak pisah dua pelat, F gaya yang dipelukan untuk mempetahankan pelat tetap begeak elatif dengan kecepatan v, dan η : konstanta yang disebut koefisien viskositas fluida. Satuan viskositas adalah N s/m. Jika dinyatakan dalam satuan CGS, satuan viskositas adalah dyne s/cm. Satuan ini disebut juga poise (P). Umumnya koefisien viskositas dinyatakan dalam cp (centipoises 0,00 P). Tabel 80

284 . adalah koefisien viskositas bebeapa jenis fuida Tabel. Koefisien viskositas bebeapa jenis fluida Fluida Suhu, o C Koefisien viskositas, η, Poise Ai 0,8 0,0 00 0,3 Etanol 0, Oli mesin (SAE 9) Glisein Udaa 0 0,08 Hidogen 0 0,009 Uap ai 00 0,03.9 Pesamaan Poiseuille Salah satu caa menentukan koefisien viskositas fluida diumuskan oleh J. L. Poiseuille ( ). Satuan poise untuk koefisien viskositas diambil dai namanya. Kita dapat menentukan koefisien viskositas fluida dengan mengalikan fluida tesebut ke dalam pipa dengan luas penampang tetentu. Aga fluida dapat mengali maka antaa dua ujung pipa haus ada pebeda an tekanan. Debit fluida yang mengali melaui pipa memenuhi pesamaan Poiseuille P Q π 4 8ηL (.) dengan Q debit alian fluida, jai-jai penampang pipa, L panjang pipa, P beda tekanan antaa dua ujung pipa, η koefisien viskositas. Untuk mengalikan minyak dai satu tempat ke tempat lain melaui pipa-pipa dipelukan pompa yang cukup kuat sehingga tejadi pebedaan tekanan antaa dua ujung pipa. Geakan jantung menyebabkan pebedaan tekanan antaa ujung pembuluh daah sehingga daah bisa mengali. Pompa yang dipasang pada sumbe lumpu lapindo seing gagal bekeja kaena viskositas lumpu yang sangat besa. Bedasakan pesamaan (.) debit alian bebanding tebalik dengan viskositas. Viskositas lumpu yang sangat besa menyebabkan debit alian yang sangat kecil meskipun pebedaan tekanan yang dihasilkan pompa cukup besa. 8

285 Contoh.6 Oli mesin SAE 0 mengali melalui pipa kecil dengan diamete penampang,8 mm. Panjang pipa adalah 5,5 cm. Beapakah beda tekanan antaa dua ujung pipa aga oli mengali dengan debit 5,6 ml/menit? Jai-jai penampang pipa,8/ 0,9 mm m. Panjang pipa L 5,5 cm 5,5 0 - m. Debit alian Q 5,6 ml/menit 5,6 0-6 m 3 /60 s 9,3 0-8 m 3 /s. Bedasakan Tabel., η 00 P Pa.s 0, Pa.s. Dengan menggunakan pesamaan Poiseuille dipeoleh 8η LQ P 4 π 8 0, (5,5 0 ) (9, ,4 (9 0 ) 8 ) 3973 Pa.0 Hukum Stokes Hukum Stokes bisa pula digunakan untuk menentukan koefisien viskositas fluida. Benda yang begeak dalam fluida mendapat gaya gesekan yang aahnya belawanan dengan aah geak benda. Besanya gaya gesekan begantung pada kecepatan elatif benda tehadap fluida seta bentuk benda. Untuk benda yang bebentuk bola, besanya gaya gesekan memenuhi hokum Stokes F 6πηv (.3) dengan F gaya gesekan pada benda oleh fluida, jai-jai bola, v laju bola elatif tehadap fluida, dan η koefisien viskositas. Jika benda bebentuk bola dijatuhkan dalam fluida maka mula-mula benda begeak tuun dengan kecepatan yang makin besa akibat adanya pecepatan gavitasi. Pada suatu saat kecepatan benda tidak beubah lagi. Kecepatan ini dinamakan kecepatan teminal. Gaya yang bekeja pada benda selama begeak jatuh adalah gaya beat ke bawah, gaya angkat Achimedes ke atas, dan gaya Stokes yang melawan aah geak (ke atas juga). Saat tecapat kecepatan teminal, ketiga gaya tesebut seimbang. Besanya gaya beat benda 8

286 W 4π mg ρ bvg ρb 3 3 g Besanya gaya angkat Achimede F A Besanya gaya stokes Vg 4π ρ f ρ f 3 3 g F S 6πηv F A F S W Gamba.6 Gaya yang bekeja pada bola yang jatuh ke dalam fluida. Ketika benda mencapai kecepatan teminal, ke tiga gaya tesebut memenuhi W F A + F S 4π 3 4π 3 ρb g ρ f g + 6πηv 3 3 atau π ( ρ ρ ) 6πηv b f 9 ηv ρ b ρ f (.4) 83

287 . Tansisi dai Alian Lamine ke Tubulen Fluida yang mengali melalui benda atau mengali dalam pipa besifat lamina jika laju fluida cukup kecil. Jika laju fluida dipebesa maka suatu saat alian fluida menjadi tubulen. Adakah kiteia untuk menentukan apakah alian fluida besifat lamina aau tubulen? annya ada. Kiteia tesebut dibeikan oleh bilangan Reynolds. Bilangan Reynolds didefinisikan sebagai ρvd R (.5) η dengan R bilangan Reynolds (tidak bedimensi), ρ massa jenis fluida, v laju alian fluida, η koefisien viskositas, dan D dimensi benda yang dilalui fluida atau diamete penampang pipa yang dialii fluida. Jika R kuang dai 000 maka alian fluida adalah lamina. Tetapi jika R lebih besa dai 5000 maka alian fluida adalah tubulen. Contoh.7 o Ai yang besuhu 0 C mengali dengan laju,5 m/s melalui pipa yang memiliki diamete penampang 6 mm. Hitungan bilangan Reynolds, dan apakah alian besifat lamina atau tubulen? Bedasakan Tabel. koefisien viskositas ai pada suhu 0 o C adalah η,0 0-3 Pa.s. Bilangan Reynolds adalah R ρvd η 0 3,5 (6 0 3,0 0 3 ) 9000 Kaena R lebih besa dai 5000 maka alian ai besifat tubulen. Gesekan Udaa Fenomena gesekan udaa pada benda yang begeak memegang peanan penting dalam peancangan alat-alapemboosan penggunakan bahan baka kaena sebagian gaya yang dihasilkan oleh tanspotasi. Adanya gesekan udaa menimbulkan mesin kendaaan atau pesawat digunakan untuk melawan gesekan udaa. Pabik yang ingin meancang mobil bekecepatan tinggi, sepeti mobil balap haus mempehitungkan bena gesekan udaa. Stuktu mobil balap diancang sedemikian 84

288 upa sehingga gesekan udaa yang dihasilkan sekecil mungkin. Besanya gesekan udaa pada benda yang begeak memenuhi pesamaan F CD ρapv (.6) dengan C D koefisien gesekan, ρ massa jenis udaa, v laju elatif benda tehadap udaa, dan A p poyeksi luas benda tehadap aah alian udaa. Koefisien gesekan tegantung pada bentuk pemukaan benda. Mobil balap memiliki koefisien gesekan kecil dibandingkan dengan mobil biasa. Gb.7 adalah ilustasi koefisien gesekan pada bebagai jenis kendaaan. Gamba.7 Koefisien gesekan udaa pada bebagai jenis kendaaan Paasut yang digunakan penejun payung dimaksudkan untuk menghasilkan gesekan u daa sehingga kecepatan tuun penejun tidak telalu besa yang memungkinkan pendaatan dengan selamat. Saat pesawat ulang-alik mendaat kembali di bumi, seing kali paasut dilepas dai bagian ekonya untuk menghasilkan gesekan udaa sehingga pesawat dapat behenti dengan segea. Paa pembalap sepeda menggunakan helm khusus yang dapat menguangi gesekan udaa sehingga pembalap tidak cepat lelah meskipun memacu sepeda dengan kecepatan tinggi. 85

289 Gesakan udaa juga bepengauh pada stabilitas benda yang begeak, khususnya jika kecepatan benda sangat tinggi. Alat tanspotasi sepeti pesawat tebang dan keeta api bekecapatan tinggi haus diancang khusus sehingga gesekan udaa ditekan sekecil mungkin dan kestabilannya tejaga akibat adanya gaya yang dihasilkan oleh udaa. Gb.8 adalah bentuk depan salah satu keeta api supecepat di Jepang shinkansen yang memungkinkan keeta api tesebut tetap stabil meskipun begeak dengan kecepatan di atas 300 km/jam. Gamba.8 Rancangan bagian depan keeta supecepa Shinkansen untuk menguangi gaya gesekan dan meningkatkan kestabilan geak. Soal dan Penyelesaian ) Sebuah menaa ai yang memiliki penampang cukup besa menampung ai yang ketinggian pemukaannya 5 mete di atas posisi kean-kean di umah. Sebuah kean yang memiliki gais tengah cm dibuka selama empat menit. Beapa laju alian ai kelua dai kean? Beapa massa ai yang tetampung selama selang waktu tesebut? Dengan menggunakan asas Toicelli, laju alian kelua ai di kean adalah v gh ,3 m/s Luas penampang kean adalah d (0,0) A π π 3,4 7, m 4 4 Debit ai yang kelua dai kean 5 Q va 7,3 7,85 0,4 0-3 m3/s 86

290 Volume ai yang kelua selama t 4 menit s adalah V Q t, ,336 m3 ) Sebuah bak ai yang memiliki penampang sangat besa di tempatkan di atas bidang data. Ketinggian pemukaan ai dalam bak dai bidang adalah,5 m. (a) Jika pada ketinggian m dai bidang dibuat lubang yang gais tengahnya cm, beapa juah dai pinggi bak (aah hoizontal) ai jatuh di lantai? (b) Pada ketinggian beapa dai lantai aga ai jatuh pada jaak tejauh dai bak? (a) Dengan asas Toicelli, laju kelua ai dai lubang (aah hoizontal) adalah v gh 0 0,5 0 3, m/s Saat kelua dai lubang, ai tidak memiliki komponen kecepaan aah vetical. Maka, waktu yang dipelukan ai mencapai lantai memenuhi y t 0, 0,45 s g 0 Dengan demikian, jaak jatuh ai dai dasa bak adalah x vt 3, 0,45,44 m y ( / ) gt atau (b) Menentukan ketinggian lubang aga ai mencapai jaak tejauh. Misalkan tinggi lubang dai lanyai adalah y. Dengan asas Toicell, maka laju kelua ai dai lubang adalah v g(,5 y) Waktu yang dipelukan ai mencapai lantai adalah t y g Dengan demikian, jaak jatuh ai dai dasa bak adalah x vt y g(,5 y) 4(,5 y) y 6y 4y g Jaak tebesa dicapai pada haga y yang memenuhi 87

291 atau dx 0 dy 6 8y 0 6y 4y yang tepenuhi oleh menjadi 6 8y 0, atau y 6 / 8 0,75 m. Jaak jatuh ai dai dasa bak x 6y 4y 6 0,75 4 0,75,5,5 m 3) Pebedaan tekanan pada penampang besa dan kecil suatu pipa yang dialii ai adalah 0 3 Pa. Jika pipa ditempatkan dalam posisi hoisontal dan laju fluida pada penampang besa adalah m/s, beapakah laju fluida pada penampang kecil? 3 P P 0 Pa Kaena pipa beada dalam posisi hoisontal maka pesamaan Benoulli P + ρ v + ρgh P + ρv + ρgh kita peoleh ρ v P P + ρv atau 3 ( P P ) 0 v + v + 3 ρ 0 3 atau h h. Dengan menggunakan v 3 m/s 4) Ja-jai pembuluh daah aota sekiat cm. Aah mengali melalui aota dengan laju 30 cm/s. Aota dihubungkan oleh pembuluh kapile yang memiliki jai-jai cm. Daah mengali melalui kapile dengan laju cm/s. Pekiakan jumlah pembuluh kapile dalam tubuh. 88

292 Luas penampang Aota A π 3,4 3, 4 cm Debit alian daah di Aota Q A v 3, , cm3/s Luas penampang satu pembuluh kapile A π 4 ( 4 ) 3, cm. Debit alian daah pada satu pembuluh kapile Q 7 Av ,5 0-8 cm3/s. Kaena debit alian daah di a ota haus sama dengan total debit liah daah pada semua pembuluh kapile, maka jumlah pembuluh kalipe adalah Q Q 94,, ,8 0 9 buah. 5) Ai dialikan pada sistem pemanas ai di umah. Jika ai dipompa dengan laju 0,5 m/s melalui pipa bediamete 4 cm di lantai dasa umah dengan tekanan 3 atm, beapa laju dan tekanan ai pada pipa bediamate,6 cm di lantai umah yang tingginya dai lantai dasa adalah 5 m? Jai-jai penampang pipa di dasa dan di lantai adalah 4/ cm dan,6/,3 cm.. Tekanan ai di dasa: P 3 atm Pa. Laju ai di lantai dihitung dengan pesamaan kontinuitas v A π v v v A π,3 0,5, m/s Tekanan ai pada lantian dihitung dengan pesamaan Benoulli P + ρ v + ρgh P + ρv + ρgh atau 89

293 P P ρv + ρg( h h ) ρv (0,5),5 0 5 Pa,5 atm (,) 6) Ai kelua dai kean yang bediamete,5 cm dengan laju,8 m/s. Beapa lama waktu yang dipelukan untuk mengisi sebuah kolam enang yang memiliki diamete 7, m dan kedalamam,5 m? Jai-jai kean,,5/ 0,75 cm 7,5 0-3 m. Debit ai yang kelua dai kean Q Av π v 3,4 (7,5 0 3 ),8 4,9 0-4 m3/s Jai-jai kolam enang: R 7,/ 3,6 m. Kedalaman kolam enag: h,5 m. Volum kolam enang yang haus diisi V πr h 3,4 3,6, 5 6 m3. Waktu yang dipelukan untuk mengisi kolam enang adalah 6 t V, 0 5 s, 05/ hai,4 hai. 4 Q 4,9 0 7) Jika angin betiup dengan laju 30 m/s di atas atp umah, beapakah gaya pada atap yang luasnta 40 m? Pebedaan tekanan udaa pada sisi dalam dan sisi lua atap dihitung dengan pesamaan Benoulli atau P + ρ v + ρgh P P P ρv ρv + ρ v + ρgh + ρgh ρgh Massa jenis udaa adalah,9 kg/m 3. Di sebelah dalam atap (dalam umah), udaa diam, atau v 0. Ketinggian sisi dalam dan sisi luat atap dapat dianggap sama, sehingga h 90

294 h. Dengan demikian P P ρ v, ,5 Pa Gaya ke atas yang dialami atap akibat pebedaan laju udaa adalah F ( P P ) 580,5 40,3 0 5 A N 8) Beapa beda tekanan antaa dua ujung pipa yang panjangnya,9 km dan diamete 9 cm jika digunakan untuk mengalii minyak (ρ 950 kg/m 3, η 0, Pa.s) dengan debit 450 cm 3 /s? Dengan menggunakan pesamaan Poiseuille, maka P P 3 8 ηlq 8 0, (,9 0 ) (4, π 3,4 (0,45) 4 ) 986 Pa. 9) Sebuah bola kaca yang memiliki jai-jai 0,5 cm dilepas dalam tabung yang besisi minyal. Massa jenis besi adalah 500 kg/m 3 dan madda jenis minyak adalah 00 kg/m 3. Jika koefisien viskositas minyak adalah 0, Pa.s, tentukan kecepatan teminal bola besi? Dengan menggunakan pesamaaan (.4) maka v ( ρb ρ f ) 9η ( , 3 ) (500 00) 0,04 m/s 4 cm/s. 0) Sebuah mobil balap memiliki luas penampang effekti,5 m. Mobil tesebut begeak dengan laju 00 m/s. Jika koefisien gesekan mobil dengan udaa adalah 0,, tentukan gaya gesekan yang dilakukan udaa pada mobil tesebut. Untuk menentukan gaya gesekan udaa pada mobil, kita gunakan pesamaan (4) F C A v 0, D ρ p,9,5 (55,5) 596 N 9

295 Soal Latihan ) Sebuah pipa ai dengan diamete dalam 0 mm memancakan ai sebanyak 30 kg selama menit. Hitunglah laju ai kelua dai pipa tesebut. ) Sebuah tabung pitot dipasang pada sebuah boat untuk menguku laju boat tesebut. Jika massa ai laut 050 kg/m3 dan pebedaan tekanan yang ditunjukkan oleh alat uku tekanan adalah 5,5 kpa, beapakah laju boat tesebut? 3) Minyak mengali secaa pelahan-lahan melalui pipa yang memiliki penampang konstan. Panjang pipa adalah mete dan diametenya,0 cm. Jika debit alian minyak adalah 8,5 0-6 m 3 /s, hitunglah beda tekanan antaa dua ujung pipa. Anggap massa jenis minyak 900 kg/m 3 dan koefisien viskositasnya 0,0 N s m -. 4) Sebual bola baja yang memiliki diamete 8,0 mm diuku waktu jatuhnya dalam minyak yang ditempatkan dalam tabung. Diamatai bahwa, bola tesebut memelukan waktu 0,56 s untuk jatuh sejauh 0, m. Jika massa jenis baja 7800 kg/m 3 dan massa jenis minyak 900 kg/m 3, hitunglah: (a) beat bola, (b) total gaya ke atas yang dialami bola (gaya Stokes dan Acimedes), dan (c) koefisien viskositas minyak. 5) Hitunglah laju teminal dai bola yang tebuat dai (a) timbal dan (b) butian es, masing-masing memiliki ja-jai mm ketika dijatuhkan di udaa. Diketahui massa jenis timbal,4 0 4 kg/m 3 dan massa jenis es 9, 0 3 kg/m 3. 6) Beapakah daya yang dipelukan untuk mempetahankan laju sebuah mobil pada 3 m/s (70 mph)? Diketahui, pada laju ini gaya gesekan antaa oda dengan jalan adalah 0 N, lua penampang lintang mobil adalah,8 m, keapatan udaa,3 kg/m 3, dan koefisien gesekan udaa dengan mobil adalah 0,4. (Petunjuk: hitung gaya gesekan total pada mobil. Untuk mempetahankan kecepatan, gaya yang dikelukan mobil sama dengan gaya gesekan total. Daya adalah pekalian gaya dan kecepatan). 7) Daya usak yang ditimbulkan oleh angin tonado di daeah pekotaan adalah kaena penuunan tekanan secaa tiba-tiba ketika tonado melintas. Besanya penuunan tekanan bisa mencapai 0% dai tekanan atmosfi. Mengapa bisa tejadi penuunan tekanan sepeti itu? 8) Seoang pasien dibeikan tansfusi daah. Daah dialikan melaui selang infus dai suatu tabung yang beada pada ketinggian tententu dai posisi jaum. Daah dimasukkan ke dalam pembuluh daah melalui jaum yang memiliki diamete 0,4 mm dan panjangnya 4 cm. Beapakah ketinggian tabung daah aga debit daah yang masuk dalam pembuluh daah adalah 4,0 cm 3 /menit? Anggap bahwa tekanan daah dalam pembuluh daah lebih tinggi 0 to daipada tekanan atmosfe, koefisien 9

296 viskositas daah 0,004 Pa.s, dan massa jenis daah 050 kg/m 3. (Petunjukan: to tekanan hidostatik yang dihasilkan ai aksa setinggi cm. Hitung pebedaan tekanan antaa dua ujung jaum. Lalu gunakan pesamaan Pouseille). 9) Pekiakan tekanan di tengah-tengah huicane katagoi 5 yang begeak dengan laju 300 km/jam. 0) Beapakah gaya angkat yang disebabkan oleh pinsip Benoulli pada sebuah sayap yang luasnya 80 m jika laju udaa di sisi atas sayap adalah 340 m/s dan di bawah sayap 90 m/s? ) Sebuah bak yang pemukaannya sangat luas memiliki dasa yang teletak pada ketinggian mete di atas lantai. Tinggi pemukaan ai dalam bak adalah,5 m. Jika di dasa bak dibuat lubang yang bukaannya beaah vetical, beapa lama waktu yang dipelukan ai yang kelua dai lubang mencapai lantai? Beapa jauh dai dinding bak ai jatuh (dalam aah hoizontal)? ) Ventuimete ai aksa digunakan untuk menguku laju alian minyak dalam sebuah pipa yang bediamate 50 cm. Pada saluan pipa tesebut, tedapat bagian pipa yang mengecil yang memiliki diamete 5 cm. Massa jenis minyal adalah 900 kg/m 3. Jika pebedaan tinggi pemukaan ai aksa pada ventuimete adalah 5 cm, beapakah laju minyak pada pipa besa? Beapa pula debit minyak? 93

297 Bab Teoi Kinetik Gas Sifat-sifat gas telah menaik minat peneliti sejak jaman dahulu. Hal ini mendoong meeka untuk menyelidiki sifat-sifat tesebut secaa ilmiah. Kita mengenal ilmuwan-ilmuwan yang memulai kajian ilmiah sifat-sifat gas sepeti Robet Boyle (697-69), Jacques Chales (746-83), dan Joseph Gay-Lussac ( ). Sehingga hokum-hukum gas dibei nama sesuai dengan nama meeka sebagai penghagaan. Pada bab ini kita akan mempelajai hukum-hukum gas yang ditemukan secaa empiik (ekspeimen) dan teoi kinetik gas yang meupakan peneapan hukum dinamika Newton pasa molekul-molekul gas.. Gas Ideal Gas yang akan kita bahas di sini adalah gas ideal. Gas ideal sebenanya tidak ada di alam. Gas ideal meupakan penyedehanaan atau idealisasi dai gas yang sebenanya (gas nyata) dengan membuang sifat-sifat yang tidak telalu signifikan sehingga memudahkan analisis. Namun oang dapat menciptakan kondisi sehingga gas nyata memiliki sifat-sifat yang mendekati sifat-sifat gas ideal. Bebeapa sifat gas ideal sebagai beikut. Tidak ada inteaksi anta molekul-molekul gas Anta molekul gas tidak ada gaya taik-menaik atau tolak-menolak meskipun jaak anta molekul sangat dekat. Inteaksi yang tejadi anta molekul gas hanyalah tumbukan anta molekul yang sifatnya elastik sempuna. Atinya, setelah tumbukan tidak tejadi peubahan enegi kinetik total molekul. Sebaliknya pada gas nyata ada taikan anta molekul-molekulnya jika jaak anta molekul sangat dekat. Gaya taik menaik inilah yang menyebabkan gas dapat mencai. Sedangkan gas ideal tidak dapat mencai. Gas nyata mendekati sifat gas ideal jika jaak ata-ata anta molekul sangat jauh sehingga gaya taik anta molekul dapat dianggap nol. Jaak anta molekul yang besa dapat dicapai dengan mempekecil tekanan gas dan mepebesa suhunya (jauh di atas titik didih). Molekul-molekul gas dapat dipandang sebagai patikel-patikel yang ukuannya dapat diabaikan (dapat dianggap nol). Dengan anggapan ini uang yang ditempati gas ideal dapat dianggap semuanya uang kosong kaena volume total semua patikel gas dapat dianggap nol. Kondisi ini 94

298 juga dapat didekati oleh gas nyata pada tekanan endah dan suhu tinggi di mana jaak ata-ata anta molekul jauh lebih besa daipada diamete molekul gas. Dalam satu wadah patikel gas begeak secaa acak ke segala aah. Tumbukan anta molekul gas maupun tumbukan anta molekul gas dengan dinding wadah besifat elastik sempuna sehingga enegi kinetik total molekul-molekul gas selalu tetap.. Hukum Boyle Robet Boyle menguku sifat-sifat gas dalam keadaan yang mendekati keadaan gas ideal. Boyle mencapai kesimpulan bahwa Pada suhu tetap maka volume gas bebanding tebalik dengan tekanannya Suhu tetap Tekanan diubah-ubah P (a) (b) V Gamba. (a) Skema pecobaan Boyle. (b) Hubungan antaa volum dan tekanan gas pada suhu konsntan. Tekanan gas bebanding tebalik dengan volum. Penyataan di atas dapat ditulis V /P, dengan V volum dan P tekanan. Hubungan ini dapat dutilis sebagai V C / P, atau PV C (.) dengan C adalah konstanta. Pesamaan (.) dikenal dengan hukum Boyle. Jika 95

299 digambakan pada diagam P dan V (V adalah sumbu data dan P adalah sumbu vetikal) maka jika tekanan atau volum gas diubah-ubah pada suhu tetap, maka nilai tekanan dan volum pada bebagai keadaaan beada pada kuva di Gb... Contoh. Pada tekanan,0 atm volum suatu gas ideal adalah,5 L. Beapakah volum jika tekanan gas menjadi setengah pada suhu yang sama? Kaena suhu sebelum dan sesudah sama, maka kita pakai hokum Boyle untuk menentukan V, yaitu P V,0,5 V 3 L P,0.3 Hukum Gay-Lussac Gay-Lussac mengamati pebuahan tekanan gas jika suhunya diubah-ubah dengan mempetahankan volume gas aga tetap. Gay-Lussac mendapatkan kesimpulan Pada volume tetap, tekanan gas bebanding luus dengan suhunya Penyataan di atas dapat ditulis P T, dengan T adalah suhu. Hubungan ini dapat dutilis sebagai P C T, atau P C (.) T dengan C adalah konstanta. Pesamaan (.) dikenal dengan hokum Gay-Lussac. Jika digambakan pada diagam P dan T (T adalah sumbu data dan P adalah sumbu vetical) maka jika suhu atau tekanan gas diubah-ubah pada volum tetap, maka nilai tekanan dan suhu pada bebagai keadaaan beada pada gais luus sepeti pada Gb... Contoh. Ban mobil yang bau diisi menunjukkan tekanan 30 kpa dan suhu 0 o C. Setelah menempuh pejanan 00 km, suhu ban meningkat menjadi 40 o C. Beapa 96

300 tekanan udaa dalam ban setelah pejalanan tesebut? Suhu diubah-ubah Senso tekanan P (a) (b) T Gamba. (a) Skema pecobaan Gay-Lussac. (b) Hubungan antaa suhu dan tekanan gas pada volum konsntan. Tekanan bebanding luus dengan suhu sebagaimana diungkapkan oleh hokum Gay-Lussac. Kaena volum udaa dalam ban dapat dianggap konstan maka kita dapat menggunakan hukum Gay-Lussac. Dibeikan dalam soal P 30 kpa 3,0 0 5 Pa, T 0 o C K, dan T 40 o C K. Bedasakan hukum Gay-Lussac dipeoleh T 33 P (3,0 0 5 P ) 3, Pa 333 kpa T 93.4 Hukum Chales Chales mengamati sifat gas yang mendekati sifat gas ideal pada tekanan tetap. Ia mengamati peubahan volum gas pada bebgai suhu. Chales sampai pada kesimpulan bahwa Jika tekanan gas dipetahankan konstant maka volum gas bebanding tebalik 97

301 dengan suhunya Suhu diubahubah Tekanan dipetahankan V (a) 0 o C (b) T(K) Gamba.3 (a) Skema pecobaan Chales. (b) Hubungan antaa suhu dan volum gas pada tekanan konsntan. Volum bebanding luus dengan suhu sebagaimana diungkapkan oleh hokum Chales. Penyataan di atas dapat ditulis V T. Hubungan ini dapat dutilis sebagai V C 3 T, atau P C 3 (.3) T dengan C 3 adalah konstanta. Pesamaan (.3) dikenal dengan hukum Chales. Jika digambakan pada diagam V dan T (T adalah sumbu data dan V adalah sumbu vetical) maka jika suhu atau volum gas diubah-ubah pada tekanan tetap, maka nilai volum dan suhu pada bebagai keadaaan beada pada gais luus sepeti pada Gb Hukum Gas Umum Pesamaan (.) sampai (.3) meupakan hasil pengamatan pada gas yang mendekati sifat gas ideal. Tiap pesamaan mengubungkan dua besaan gas, yaitu P dan V, P dan T, dan V dan T. Adakah suatu pesamaan yang menghubungkan ke tiga besaan tesebut sekaligus? annya ada. Tenyata, tiga buah hukum gas yang tetea pada 98

302 pesamaan (.) sampai (.3) dapat dilebu menjadi satu pesamaan PV T C 4 (.4) dengan C 4 adalah konstanta. i) Pada pesamaan (.), nilai C begantung pada suhu. Pada suhu yang bebeda, nilai C juga bebeda. ii) Pada pesamaan (.), nilai C begantung pada volum gas. Pada volum bebeda, nilai C juga bebeda. iii) Pada pesamaan (.3), nilai C 3 begantung pada tekanan gas. Pada tekanan bebeda, nilai C 3 juga bebeda. iv) Tetapi pada pesamaan (.4), nilai C 4 tidak begantung pada suhu, tekanan, maupun volum gas. Pasa suhu, tekanan, dan volum beapa pun, nilai C 4 selalau sama. Oleh kaena kekhasan tesebut, paa ahli tetaik menentukan nilai C 4 tesebut. Dan tenyata dai hasil pengukuan dipeoleh C n R 4 (.5) dengan n jumlah mol gas dan R disebut konstanta gas umum yang memiliki nilai 8,35 J/ (mol K). Dai pesamaan (.4) dan (.5) dipeoleh satu pesamaan yang belaku untuk semua gas ideal atau gas nyata yang mendekati sifat gas ideal, yaitu PV T nr (.6) Pesamaan (.6) disebut pesamaan gas umum. Contoh.3 Sebanyak 0, mol gas ideal beada dalam wadah yang volumnya 0 L dan tekanannya atm. (a) Beapakah suhu gas tesebut? (b) Beapakah volum gas jika suhunya dijadikan setengahnya dan tekanannya dilipatduakan? 99

303 Dibeikan dalam soal n 0, mol, V 0 L m 3 0,0 m 3, dan P atm 0 5 Pa. (a) Dengan menggunakan pesamaan (.6) PV 0 5 0,0 T 60 K nr 0, 8,35 (b) Jika suhu dituunkan menjadi setengah T ,5 K, dan tekanan digandakan P 0 5 Pa, maka volum gas menjadi nrt 0, 8,35 300,5 V 0,005 m 3,5 L. P 5 0 Contoh.4 Tentukan volum,0 mol gas ideal pada STP ( standad of tempeatue and pessue ). STP adalah keadaan dengan suhu dan tekanan yang ditetapkan sebagai standa. Yang ditetapkan sebagai suhu standa adalah T 73 K dan yang ditetapkan sebagai tekanan standa adalah P,00 atm, Pa. Jadi, volum,0 mol gas ideal pada STP adalah nrt,0 8,35 73 V,4 0-3 m3,4 L P 5, Teoema Ekipatisi Enegi Molekul-molekul gas ideal dalam suatu wadah begeak dalam aah sembaang. Namun, aah semabaang tesebut selalu dapat diuaikan atas tiga aah yang saling tegak luus, yaitu: sejaja sumbu x, sejaja sumbu y, dan sejaja sumbu z. Makin besa suhu gas maka makin besa kecepatan geak molekulnya, yang beati makin besa enegi kinetiknya. Petanyaan beikutnya adalah, adakah pesamaan yang mengubungkan enegi kinetik molekul gas ideal dengan suhu gas tesebut? annya dibeikan oleh teoema patisi enegi. Teoi ini menyatakan bahwa 300

304 Enegi ata-ata untuk tiap deajat kebebasan yang dimiliki molekul sama dengan kt/, dengan k adalah tetapan Boltzmann, J/K and T suhu gas (K). z v z v v y y v x x Gamba.4 Kecepatan patikel gas selalu dapat diuakan atas tiga komponen kecepatan yang sejaja sumbu x, sejaja sumbu y, dan sejaja sumbu z. Apa yang dimaksud dengan enegi untuk tiap deajat kekebasan di sini? Mai kita bahas. Molekul dalam uang tiga dimensi (misalnya dalam wadah) dapat begeak dengan bebas dalam tiga aah sembaang, yaitu aah sumbu x, aah sumbu y, dan aah sumbu z. Dalam keadaan demikian, molekul gas dikatakan memiliki tiga deajat kebebasan geak. Enegi ata-ata yang bekaitan dengan geak molekul gas, yaitu enegi kinetik gas tesebut pada suhu T menjadi 3 kt 3 kt Misalkan wadah dibuat sangat tipis sehingga dapat dianggap molekul hanya mungkin begeak secaa bebas dalam dua aah saja, yaitu aah x dan aah y maka dikatakan molekul memiliki dua deajat kebebasan geak. Dengan demikian, enegi ata-ata yang bekaitan dengan geak molekul, yaitu enegi kinetiknya, adalah kt kt 30

305 Teakhi, misalnya wadah bebentuk pipa dengan diamete sangat kecil sehingga molekul hanya bisa begeak dengan bebas sepanjang pipa, maka dikatakan molekul memiliki satu deajat kekebabasan geak. Enegi ata-ata yang bekaitan dengan geak molekul, enegi kinetiknya, menjadi kt kt Contoh.5 Dalam suatu kotak tedapat 0 molekul gas ideal. Suhu gas tesebut 7 o C. Beapakah enegi kinetik total ata-ata molekul-molekul gas ideal tesebut? Bedasakan infomasi soal suhu gas adalah T K dan jumlah molekul gas, N 0 molekul. Kaena gas beada dalam kotak maka jumlah deajat kebasan geak adalah tiga. Dengan demikian, enegi kinetik ata-ata satu molekul gas adalah 3 3 ε 3 kt kt, , 0 - J. Enegi kinetik total ata-ata semua molekul gas adalah E Nε 0 6, 0 6, J.7 Teoi Kinetik Gas Hukum Boyle, Gay-Lussac, Chales, maupun hukum gas umum semuanya didapat dai hasil pengukuan. Petanyaan selanjutnya adalah adakah landasan teoi bagi hukum-hukum tesebut? Bisakah pesamaan-pesamaan gas yang dipeoleh dai hail ekspeimen tesebut dituunkan secaa teoi? annya tenyata bisa! Dan ini yang akan kita pelajai sekaang. Mai kita tinjau gas yang beada dalam kubus tetutup dengan panjang sisi s. Misalkan jumlah patikel gas dalam kubus tesebut N yang nilainya sangat besa. Molekul-molekul begeak dalam aah sembaang. Selanjutnya kita tinjau molekul yang memiliki komponen kecepatan dalam aah y sebesa v y. Molekul begeak ke kanan dengan komponen kecepatan +v y. Molekul tesebut lalu dipantulkan oleh dinding kanan 30

306 secaa elastik sempuna sehingga begeak balik dengan komponen kecepatan aah y sebesa v y. Jika massa satu molekul adalam m maka s s s Gamba. 5 Patikel-patikel gas beada dalam kubus. z +v y y -v y x s Gamba.6 Patikel begeak bolak balik antaa dua dinding dalam aah sumbu-y. i) Momentum satu molekul sebelum menumbuk dinding kanan adalah p mv y (.7) ii) Momentum satu molekul setelah menumbuk dinding kanan adalah 303

307 p m( v y ) mv y (.8) iii) Peubahan momentum molekul akibat tumbukan p p mv (.9) p mv y mv y y Bedasakan hukum Newton, gaya yang dilakukan dinding pada molekul adalah F md p t mv t y (.0) Bedasakan hukum Newton III, gaya yang dilakukan molekul pada dinding adalah F dm F md mv t y (.) Molekul begeak bolak-balik antaa dinding kii dan kanan. Molekul akan kembali dipantulkan oleh dinding yang sama setelah menempuh jaak l s. Dengan demikian, selang waktu tejadinya tumbukan beuutan adalah l t v s y v y (.) Dengan menggabungkan pesamaan (.) dan (.) ipeoleh F dm mv y mv y (.3) s / v s y Luas satu dinding adalah s. Maka tekanan yang dialukan satu molekul pada dinding adalah F mv mv dm y y p (.4) 3 s s V 304

308 3 dengan V s adalah volume wadah (kubus). Tekanan ata-ata yang dilakukan satu molekul pada dinding adalah p mv mv y y (.5) V V Kaena tedapat N molekul dalam wadah maka tekanan total yang dihasilkan semua molekul pada dinding adalah N mv y N N P N p mv y K y (.6) V V V Lihat, K y adalah enegi kinetik ata-ata dalam aah sumbu-y. Enegi ini dihasilkan oleh satu deajat kebebasan geak. Dengan demikian, bedasakan teoema ekipatisi enegi, kita dapatkan K y kt (.7) Selanjutnya substitusi (.7) ke dalam (.6) dipeoleh N P kt V NkT V (.8) Jika n adalah jumlah mol gas dan N A adalah bilangan Avogado maka belaku N n N A. Dengan demikian P n ( N Ak) T V Dengan mendefinisikan N A k R maka dipeoleh pesamaan yang tidak lain daipada pesamaan gas umum, yaitu 305

309 n RT P (.6) V.8 Laju ms Salah satu besaan penting yang dimiliki molekul gas adalah laju ms. Rms adalah ingkatan dai oot mean squae (aka ata-ata kuadat). Kecepatan ini dipeoleh dengan telebih dahulu mengkuadatkan kecepatan, kemudian menentukan ata-atanya, dan menaik aka dai haga ata-ata tesebut. Untuk menentukan kecepatan ms, mai kita lakukan tahap beikut ini. Kecepatan molekul gas secaa umum memenuhi v v i + v x y j + v k z (.9) Kuadat dai kecepatan tesebut adalah v v + v + v.0) x y z ( Enegi kinetik total satu molekul gas adalah mv mvx + mv y + x y z mv z K + K + K (.) dengan K x, K y, dan K z masing-masing enegi kinetik yang bekaitan dengan komponen geak aah x saya, aah y saja, dan aah z saja. Enegi kinetik ata-ata adalah m v K x + K y + K z Kaena K x, K y, dan K z masing-masing mengandung satu deajat kebebasan geak, maka bedasakan teoema ekipatisi enegi, haga ata-atanya memenuhi K x kt/, K y kt/, dan K z kt/. Substitusi ke dalam pesamaan (.) dipeoleh atau m v kt + kt + kt 3 kt 306

310 v 3kT (.) m Dengan demikian, laju ms adalah 3kT v ms v (.3) m Contoh.6 Beapakah laju ms molekul oktigen pada suhu 00 o C? Masa atomic molekul oksigen adalah 3, sedangkan sma, kg. Massa atom oksogen m 3, ,344, kg dan suhu gas T 00 oc K. Laju ms adalah 3kT m 3 (,38 0 ) 373 5, v ms, m/s 6.9 Enegi Dalam Gas Ideal Dalam wadah yang besuhu T, molekul gas selalu begeal dengan acak ke segala aah. Jika enegi yang dimiliki molekul gas hanya disumbangkan oleh geaknya, maka enegi ata-ata yang dimiliki satu molekul gas adalah ε mv mvx + mv y + mvz (.4) Dengan menggunaka teoema ekipatisi enegi maka dipeoleh 3 ε kt + kt + kt kt (.5) Jika tedapat n mol gas, maka jumlah molekul gas adalah N nn A. Enegi total semua molekul gas menjadi 307

311 U 3 3 N ε nn A kt nrt (.6) di mana kita telah menggunakan hubungan dengan enegi dalam gas ideal. N A k R. Pesamaan (.6) dikenal Contoh.7 Pada suhu 73 o C enegi dalam gas ideal adalah 500 J. Beapakah jumlah mol gas? Dengan menggunakan pesamaan (.6) mama U 500 n 0, mol 3 RT 3 8,35 ( ) Gas monoatomik dan diatomik. Pesamaan (.6) selalu belaku untuk gas yang patikelnya hanya tedii dai satu atom. Gas semacam ini disebut gas monoatomik. Contoh gas monoatomik adalah helium, neon, agon, dan kypton. Jika satu patikl gas mengandung lebih dai satu atom, maka pesamaan enegi dalam akan bebeda jika suhu bebeda. Sebagai contoh, kita tinjau gas yang patikelnya tesusun oleh dua tom. Gas semacam ini disebut gas diatomic. Contoh gas diatomic adalah O, H, Cl, dan F. i) Jika suhu gas diatomik cukup endah, maka jaak anta atom hampi tidak mengalami peubahan. Enegi yang dimiliki tiap patikel gas paktis hanya enegi geaknya. Dengan demikian, ungkapan enegi dalam gas diatomik pada suhu endah sama dengan untuk gas monoatomik, yaitu 3 U nrt ii) Jika suhu gas diatomik dinaikkan maka getaan mendekat dan menjauh atom penyusun molekul gas mulai tejadi. Atom-atom gas dikatakan bevibasi. Vibasi tesebut menyebabkan munculnya dua deajat kebebasan bau yaitu peubahan jaak dua atom, x, dan kecepatan elatid dua atom, v. Peubahan jaak dua atom melahikan enegi potensial u kx / dan kecepatan elatif dua atom melahikan enegi kinetik K mv /. 308

312 Kaena tiap enegi vibasi memiliki satu deajat kebebasan, yaitu kebebasan posisi, maka bedasakan teoema ekipatisi enegi, enegi ata-atanya memenuhi u K kt kt x u kx / v K mv / Gamba.7 Vibasi molekul diatomik Enegi tiap molekul gas diatomic pada suhu sedang menjadi ε 3 kt + kt + kt 5 kt Jika tedapat n mol gas, maka enegi dalam gas diatomik pada suhu sedang adalah U 5 nrt (.7) iii) Jika suhu dinaikkan lagi maka muncul otasi molekul tehadap pusat massanya. Rotasi yang tejadi memiliki dua kemungkinan aah sepeti yang ditunjukkan pada Gb.8. Rotasi yang dapat tejadi adalah otasi mengelilingi sumbu x dan otasi mengelilingi sumbu z. Tidak dapat tejadi otasi mengelilingi sumbu y kaena sumbu y sejaja dengan sumbu molekul. Tiap aah otasi mengasilkanj enegi kinetik otasi masing-masing. Dengan teoema ekipatisi enegi, enegi ata-ata untuk masing-masing otasi adalah kt/. Dengan demikian, enegi tiap molekul gas diatomic pada suhu yang cukup tinggi menjadi 309

313 ε 5 kt + kt + kt 7 kt z Atom Atom y x Gamba.8 Rotasi molekul diatomic pada suhu tinggi Jika tedapat n mol gas, maka enegi dalam gas diatomik pada suhu tinggi adalah 7 U nrt (.8).0 Pesamaan untuk gas nyata Kita sudah mempelajai gas ideal dan mendapatkan pesamaan umum sepeti pada pesamaan (.6). Bagaimana dengan gas nyata yang dijumpai dalam kehidupan sehai-hai? Bagaimana pesamaan untuk gas tesebut? Sebab, kalau kita hanya begelut dengan gas ideal kita tidak akan dapat menjelaskan peistiwa pencaian dan pembekuan gas. Fenomena ini hanya mungkin tejadi jika ada taikan anata molekul-molekul gas. Van de Walls adalah oang yang petama membangun pesamaan untuk gas nyata. Ide van de Walls adalah sebagai beikut: i) Walaupun ukuan molekul gas kecil, tetapi jika volume sejumlah besa molekul tesebut dijumlahkan akan dipeoleh nilai volume tetentu. Oleh kaena itu volum yang tetulis pada pesamaam (.6) meuypakan jumlah volum uang kosong dan volume total semua molekul. ii) Volume total yang dimiliki semua molekul gas begantung pada jumlah mol-nya. Makin besa jumlah molnya, yang beati makin banyak molekul gas, maka makin besa volum total molekul-molekul gas. Sehingga dapat ditulis, volum total molekul gas 30

314 v an (.9) Dengan n jumlah mol molekul gas dan a adalah konstanta yang begantung pada jenis gas. Dengan demikian, volum uang kosong dalam wadah menjadi V : V v V an (.30) Hipotesis gas ideal menyatakan bahwa tidak ada taikan anta molekul-molekul gas. Namun, untuk gas nyata, taikan tesebut ada. Taikan anta molekul gas menyebabkan molekul yang akan menumbuk dinding wadah mendapat taikan ke dalam oleh molekul-molekul lain sehingga kekuatan tumbukan pada dinding bekuang. Akibatnya, tekanan yang dihasilkan oleh tumbukan molekul pada dinding bekuang. Dengan demikian, tekanan yang ada di pesamaan (.6) haus dilakukan koeksi. Tekanan tesebut telalu besa. Van de Walls menunjukkan bahwa besanya koeksi tekanan bebanding tebalik dengan kuadat volum, atau P bn /V. Pesamaan gas nyata dapat dipeoleh dai pesamaan gas ideal dengan mengganti bn P P + V V V an (.3) Dengan demikian dipeolej pesamaan untuk gas nyata bn P + V ( V an) nrt (.3) Pesamaan ini dapat menjelaskan peistiwa pencaian gas. dengan baik fenomena peubahan fasa gas, sepeti Soal dan Penyelesaian ) Pada keadaan STP, volume gas oksigen dalam suatu kontaine adalah 0,0 m 3. Beapakah massa gas oksigen dalam kontaine tesebut? Diketahui masa molekul oksigen adalah 3,0 smu. 3

315 Pada STP, volum mol gas adalah,4 L,4 0-3 m 3. Dengan demikian, jumlah mol gas oksigen dalam kontaine adalah 0 n 446 mol 3,4 0 Massa molekul oksigen adalah 3,0 smu. Ini beati, massa mol gas oksigen adalah 3,0 g atau 0,03 kg. Dengan demikia, massa oksigen dalam kontaine adalah 0, ,3 kg. ) Anggaplah sebuah balon helium memiliki bentuk yang peis bola dengan diamete 8,0 cm. Pada suhu 0 oc, tekanan di dalam balon adalah,05 atm.hitunglah jumlah mol dan massa gas helium dalam balon. Massa molekul hemiul adalah 4,0 sma. Jai-jai balon: 8,0/ 9,0 cm 0,09 m. Volum balon: ,4 (0,09) V π 0,003 m 3. Tekanan gas helium dalam balon: P,05 atm,05 (0 5 ), Pa. Suhu gas: T 0 o C K. Jumlah mol gas helium dalam balon PV, ,003 n 0,3 mol RT 8,35 93 Massa atom helium adalah 4,0 sma. Atinya, massa,0 mol gas helium adalah 4,0 g. Dengan demikian, total massa helium dalam balon adalah 0,3 4,0 0,5 g. 3) Beapakah enegi kinetik tanslasi ata-ata tiap molekul gas pada suhu 37 oc? T 37 o C K. Kaena tedapat tiga deajat kebebasan geak, maka enegi kinetik ata-ata adalah K kt kt (,38 0 ) 30-6,4 0 J 3

316 4) Hitunglah massa jenis gas oksigen pada STP. Massa molekul oksigen adalam 3,0 sma. Jumlah mol gas oksigen pe satuan volum pada kondidi STP adalah n 5,03 0 P 8, ,6 mol/m 3 V RT Kaena massa molekul oksigen adalah 3,0 sma maka massa satu mol molekul oksigen adalah 3 g 0,03 kg. Dengan demikian, massa jenis gas oksigen adalah n 3 ρ 0,03 0,03 44,6,4 kg/m V 5) Jika sebanyak 55,0 L oksigen pada suhu 8,0 o C dan tekana,45 atm ditekan sehingga volumnya menjadi 48,8 L dan pada saat besamaan suhu naik menjadi 50,0 o C, beapakah tekanan yang dibeikan tesebut? Jika tidak tejadi peubahan jumlah mol gas ideal, maka peubahan suhu, tekanan, dan volum akan memenuhi pesamaan umum PV P T T V Dibeikan dai soal V 55,0 L 55,0 0-3 m 3, T 8,0 o C K, P,45 atm, Pa, V 48,8 L 48,8 0-3 m 3, dan T 50,0 o C K. P PV T T V 3, Pa 3,06 atm 5 (,45 0 ) (55, ) 33 48, ) Sebuah gelembung ai di dasa danau yang bekedalaman 43,5 m memiliki volum,0 cm3. Jika suhu di dasa danau adalah 5,5 o C dan suhu di pemukaan adalah,0 o C, beapakah volum gelembung tepat sebelum mencapai pemukaan danau? 33

317 Tekanan di pemukaan danau P atm 0 5 Pa. Tekanan di dasa danau tekanan di pemukaan + tekanan hidostatik, yaitu P P + ρ g h ,5 5, Pa, suhu di dasa danau, T 5,5 o C 5, ,5 K, suhu di pemukaan danau, T,0 o C K, volum gelembung di dasa danau, V,0 cm3 0-6 m3. Maka volum gelembung sebelum mencapai pemukaan danau dihitung dengan pesamaan PV T PV T atau P V T (5,35 0 ) (0 ) V 5, m 3 5,65 cm 3 5 T P 78,5 0 7) Sebuah kubus yang volumnya 3,9 0 - m3 diisi dengan udaa pada tekanan atmosfe dan suhu 0 o C. Kotak tesebut kemudian ditutup dan dipanaskan hingga mencapai suhu 80 o C. Beapakah gaya total pada tiap sisi kubus yang dilakukan udaa dalam kubus? Petama kita hitung beapa tekanan udaa setelah dipanaskan. Volum kubus tetap sehingga kita gunakan hokum Gay-Lussac T P P T Dai soal kita peoleh infomasi T 0,0 o C K, T 80 o C K, dan P,0 atm 0 5 Pa. Jadi P 5, Pa. Jika panjang sisi kubus adalah s, maka atau s 3 volum kubus 3,9 0 - m 3 34

318 3 s 3,9 0 0,34 m Luas tiap sisi kubus adalah A s 0,34 0,34 0,6 m Gaya pada tiap sisi kubus yang dilakukan udaa di dalam kubus saat suhu mencapai 80 o C adalah 5 F P A (,55 0 ) 0,6,8 0 4 N 8) Hitunglah laju ms atom helium di dekat pemukaan matahai yang besuhu 6000 K? Massa atom helium adalah m 4,0 sma 4 (, ) 6, kg. Laju ms atom helium pada suhu T 6000 K adalah 3 3kT 3 (,38 0 ) 6000 v ms m/s 7 m 6,68 0 9) Suatu gas beada pada suhu 0 o C. Dinaikkan suhunya sampai beapakan aga laju ms molekul gas tesebut menjadi dua kali lipat? Untuk gas yang sama v ms T Maka v v ms, ms, T T Dai soal, dibeikan T 0 o C 73 K. Kaena v ms v ms maka, /, T 73 35

319 atau T 4 73 yang membeikan T K 0) Jika tekanan gas dilipatduakan sedangkan volumnya dipetahankan konstan, dengan facto beapakah tejadi peubahan laju ms? Bedasakan hokum Gay-Lussan, pada volum konstan tekanan bebanding luus dengan suhu. Jika tekanan dilipat duakan sedangkan volum tetap maka suhu gas menjadi dua kali lebih besa. Kaena laju ms sebanding dengan akan suhu, maka kenaikan suhu dua kali lipat menyebabkan laju ms naik sebesa,4 kali. Soal Latihan ) Beapakah suhu di dalam tangki yang mengandung 05,0 kg agon pada suhu 0 o C? Massa atom agon adalah 40,0 sma. ) Jika 3,0 m 3 gas yang mula-mula beada pada STP dikenai tekanan 4,0 atm suhunya menjadi 38,0 o C. Beapakah volume akhi gas? 3) Suatu tangki penyimpanan mengandung,6 kg nitogen (N) pada tekanan 3,65 atm. Beapakah tekanan jika nitogen tesebut digantikan dengan sejumlah massa yang sama dai gas CO? Diketahui massa molekul N adalah 8,0 sma dan massa molekul CO adalah 44,0 sma. 4) Sebuah balon mainan anak-anak lepas dai lokasi setinggi pemukaan laut pada suhu 0,0 o C. Ketika mencapai ketinggian 3000 m di mana suhu udaa 5,0 o C dan tekanan 0,7 atm, beapakah pebandingan volum balon pada tempat ini dibandingkan dengan volum saat lepas? 5) Hitunglan jumlah molekul gas ideal pe mete kubik pada STP 6) Beapakah enegi kinetik ata-ata molekul nitogen pada STP? Beapakah enegi kinetik tanslasi total,0 mol molekul nitogen p;ada suhu 0,0 o C? 7) Suatu gas beada pada suhu 0 o C. Dinaikkan suhunya sampai beapakan aga laju ms molekul gas tesebut menjadi dua kali lipat? 8) Suatu gas beada pada suhu 0,0 o C. Jika laju ms akan dinaikkan sebesa,0 pesen, beapakah suhu yang haus dibeikan pada gas tesebut? 36

320 Bab 3 Temodinamika Dalam bab ini kita akan bahas temodinamika, yaitu ilmu yang menghubungkan panas dengan mekanika. Topik utama yang akan kita bahwa adalah pemanfaatan enegi yang dihasilkan akibat adanya poses dalam gas untuk menghasilkan keja. Mesin jet Mesin diesel AC Mantel bumi Kulkas Gamba 3. Bebeapa pealatan atau poses yang menggunakan pinsip atau hukum-hukum temodinamika 3. Hukum ke Nol Temodinamika Kita mulai dengan definisi keseimbangan panas. Dua benda beada dalam 37

321 keseimbangan panas jika tidak ada petukaan kalo antaa dua benda tesebut saat keduanya disentuhkan. Kondisi ini hanya dapat dicapai jika suhu kedua benda sama. Sebab pepindahan kalo tejadi kaena adanya pebedaan suhu. Bekaitan dengan keseimbangan panas, kita memiliki hukum ke nol temodinamika. Hukum ini menyatakan: Jika benda A beada dalam keseimbagan panas dengan benda B dan Benda B beada dalam keseimbangan panas dengan benda C Maka Benda A beada dalam keseimbangan panas dengan benda C Keseimbangan panas Keseimbangan panas A B B C Keseimbangan panas A C Gamba 3. Ilustasi hokum ke-0 temodinamika Contohnya, kita memiliki tiga wadah yang tebuat dai logam Wadah A besisi ai Wadah B beisi minyak Wadah C beisi glisein Misalkan wadah beisi ai dan minyak disentuhkan dalam waktu yang cukup lama dan tidak diamati adanya peubahan suhu pada keduanya maka ai dan minyak maka kita katakan beada dalam keseimbangan panas. Setelah disentuhkan dengan ai, misalkan wadah beisi minyak disentuhkan dengan wadah beisi glisein, dan juga tidak diamati adanya peubahan suhu keduanya, maka minyak dan glisein juga beada dalam keseimbangan panas. Maka wadah beisi ai dan wadah beisi glisein tidak akan mengalami peubahan suhu ketika disentuhkan. Dengan kata lain, keduanya juga beada 38

322 dalam keseimbangan panas. 3. Sistem dan Lingkungan Dalam membahas temodinamika, alam semesta dibagi atas dua bagian, yaitu sistem dan lingkungan. Sistem adalah bagian yang sedang kita kaji/selidiki sedangkan lingkungan adalah semua bagian alam di lua sistem. Ketika kita bahas poses pemuaian gas dalam silinde maka: Sistem adalah gas dalam silinde. Lingkungan adalah silinde beseta semua bagian alam di sekelilingnya. Ketika kita membahas pemuaian gas dalam silinde dan poses penyeapan dan pelepasan panas oleh silinde, maka Sistem adalah gas dan silinde Lingkungan adalah seluuh bagian alam di lua silinde. Sistem temodinamikan yang akan kita pelajai adalah temodinamika gas. Vaiabel sistem temodinamika ini adalah besaan fisis yang meneangkan keadaan gas. Contoh vaiable temodinamika adalah suhu, tekanan, volume, dan jumlah bola gas. 3.3 Poses Poses adalah peistiwa peubahan keadaan gas dai satu keadaan awal ke satu keadaan akhi. Misalkan mula-mula keadaan gas diungkapkan oleh vaiable-vaiabel P, V, dan T. Jika selanjutnya nilai vaiable tesebut adalah P, V, dan T, maka dikatakan gas telah melewati suatu poses. Selama mengalami poses umumnya tejadi peubahan enegi dalam gas seta petukaan enegi antaa gas dengan lingkungan. Bekaitan dengan masalah petukaan enegi ini, kita mengklasifikasinya bebeapa poses yang dapat tejadi. Poses Adiabatik Pada poses adiabatik, tidak tejadi petukaan kalo antaa sistem dan lingkungan. Poses adiabatik dapat tejadi jika sistem dan lingkungan dibatasi oleh sekat yang tidak dapat dilalui kalo. Cotoh sekat yang sulit dilewati kalo adalah dinsing temos ai panas. Poses diatemik Kebalikan dengan poses adiabatik adalah poses diatemik. Pada poses ini 39

323 kalo dijinkan bepindah dai system ke lingkungan dan sebaliknya. Poses ini dapat belasung jika sistem dan lingkungan dibatasi oleh sekat yang mudah dilewati panas. Contoh sekat diatemik adalah logam. Poses Kuasistatik Pesamaan gas yang telah kita bahas pada Bab hanya dapat diteapkan jika gas tesebut beada dalam keadaan statik. Atinya tidak ada lagi poses yang belangsung dalam gas atau tidak ada lagi peubahan pada vaiable-vaiabel temodinamika gas. Selama gas mengalami suatu poses, pesamaan tesebut tidak belaku. Dengan demikian, selama poses belangsung, kita tidak dapat menentukan tekanan meskipun suhu dan volum diketahui kaena tidak ada pesamaan yang dapat dipakai. Namun, jika poses yang tejadi belangsung sangat lambat, maka setiap saat kita dapat menganggap gas seolah-olah beada dalam keadaan statik. Poses yang demikian disebut poses kuasistatik. Selama poses kuasistatik pesaman gas dapat digunakan. Dengan demikian, selama poses belangsung kita dapat menghitung volume gas jika tekanan dan suhunya diketahui. Pada bagian selanjutnya, semua poses yang akan kita bahas dianggap belangsung secaa kuasistatik. 3.4 Diagam P-V Dalam temodinamika, keadaan gas maupun poses yang dialami gas lebih seing digambakan dalam diagam P-V. Diagam ini tedii dai sumbu volum gas aah data dan sumbu tekanan gas aah vetikal. Satu keadaan yang dimiliki gas diwakili oleh satu titik pada diagam P-V. Titik yang bebeda mengandung infomasi tekanan, suhu, atau volum yang bebeda sehingga mewakili keadaan yang bebeda. P(Pa) (P,V,T ) (P,V,T ) V(m 3 ) Gamba 3.3 T itik yang bebeda dalam diagam P-V menggambakan keadaan yang bebeda. 30

324 Jika gas mengalami poses kuasistatik dai satu keadaan ke keadaan lainnya, maka poses tesebut diepesentasikan oleh sebuah kuva yang menghubungkan titik awal (keadaan awal) dan titik akhi (keadaan akhi) pada diagam P-V. Keadaan gas selama poses ditentukan oleh nilai P,V, dan T pada titik-titik sepanjang kuva. P(Pa) (P,V,T ) poses (P,V,T ) V(m 3 ) Gamba 3.4 Poses yang belangsung pada gas diwakili oleh sebuah kuva. 3.5 Poses-Poses Khusus Dengan bantuan diagam P-V kita akan bahas bebeapa poses khusus, yang memiliki kuva yang khas pada diagam P-V. Poses Isokhoik Poses isokhoik adalah poses yang belangsung pada volum tetap. Jika digambakan pada diagam P-V, kuva poses isokhoik adalah kuva tegak. Contoh poses ini adalah poses yang belangsung pada gas dalam wadah tetutup yang volumnya tidak beubah selama poses belangsung. P(Pa) (P,V,T ) P(Pa) (P,V,T ) (P,V,T ) (P,V,T ) V(m 3 ) V(m 3 ) Gamba 3.5 Poses isokhoik: (a) tekanan mengalami petambahan (b) tekanan mengalami penguangan. 3

325 Poses isobaik Poses isobaik adalah poses yang belangsung pada tekanan tetap. Jika digambakan pada diagam P-V, kuva poses isobaik adalah kuva mendata. Contoh poses ini adalah poses yang belangsung dalam wadah yang dilengkapi sebuah piston di bagian atasnya. Piston tesebut dapat begeak. Piston tesebut mendapat tekanan dai udaa lua (atmosfe) sehingga nilainya konstan. Dengan demikian, tekanan dalam gas juga konstan. P(Pa) P(Pa) (P,V,T ) (P,V,T ) (P,V,T ) (P,V,T ) V(m 3 ) V(m 3 ) Gamba 3.6 Poses isobaik: (a) volume mengalami petambahan (b) volum mengalami penguangan. (P 3,V 3,T 3 ) P(Pa) (P,V,T ) (a) (b) (P 4,V 4,T 3 ) (P,V,T ) V(m 3 ) Gamba 4.6 Poses isotemal: Kuva (a) belansung pada suhu yang lebih tinggi daipadai kuva (b). Poses isotemal Poses isotemal adalah poses yang belangsung pada suhu tetap. Dengan menggunakan pesamaan gas ideal, P nrt / V, maka P bebanding tebalik dengan V. Jika digambakan pada diagam P-V, kuva poses isotemal tampak pada Gb

326 Contoh poses ini adalah poses yang belangsung dalam wadah logam di mana wadah tesebut dicelupkan dalam ai yang voumenya sangat besa. Kaena volume ai yang sangat besa, maka selama poses belangsung suhu ai dapat dianggap konstan sehinagg suhu gas dalam wadah juga dianggap konstan. Juga poses ini dapat dihasilkan dengan memasang pemanas otomatik yang bisa mengontol suhu sehingga konstan. 3.6 Usaha Misalkan gas dalam wadah memiliki tekanan P. Maka gas tesebut melakukan gaya doong pada semua bagian wadah. Jika gas mengalami peubahan volum, maka ada bagian wadah yang bepindah. Bagian wadah bepindah kelua jika volum gas betambah dan bepindah ke dalam jika volum gas bekuang. Kaena bagian wadah tesebut mendapat gaya, maka pepindahan bagian wadah menunjukkan adanya keja yang dilakukan gas. Mai kita tentukan keja yang dialakukan gas jika volumnya beubah. Untuk mudahnya kita tinjau gas dalam silinde tegak yang memiliki luas penampang A. Silinde tesebut dilengapi sebuah piston yang dapat begeak dengan mudah. Poses menyebabkan bepindahnya piston sejauh x. Gaya yang dialami piston adalah F PA P P x V V Gamba 3.8 Gas dalam silinde. Jika volum beubah maka posisi piston juga beubah. Usaha yang dilakukan gas untuk memindahkan piston adalah W F x PA x (3.) 33

327 Tetapi, A x V, yaitu peubahan volum gas. Dengan demikian, usaha yang dilalukan gas adalah W P V (3.) Pejanjian. Dalam temodinamika, kita definisikan usaha sebagai usaha yang dilakukan lingkungan pada sistem. Pesamaan (3.) mengungkapkan usaha yang dialkukan gas (sistem) pada lingkungan. Usaha yang dilakukan lingkungan pada sistem adalah negatif dai nilai tesebut. Jadi, keja selama poses didefinisikan usaha sebagai W P V (3.3) Keja total selama satu poses Untuk menentukan keja selama satu poses, kita dibantu oleh diagam P-V. Keja yang dialakukan ketika gas mengalami poses dai keadaan A ke keadaan B, W AB, sama dengan negatif luas daeah di bawah kuva antaa A dan B. P(Pa) (P A,V A,T A ) (P B,V B,T B ) - W V(m 3 ) Gamba 3.9 Keja selama p oses dai keadaan A ke B sama dengan negatif luas daeah di bawah kuva. Untuk kuva yang sembaang, luas daeah di bawah kuva dihitung dengan integal. Jadi keja yang dilakukan lingkungan untuk mengubah sistem gas dai keadaan A ke keadaan B adalah 34

328 W AB V B V A P dv (3.4) Contoh 3. Sebanyak,5 mol gas dalam wadah mengalami pemuaian isobaic pada tekanan 0 5 Pa. Suhu awal gas adalah 300 K dan suku akhinya 600 K. Beapakah usaha selama poses? P(Pa) 0 5 V V V(m 3 ) Gamba 3.0 L uas daeah di bawah kuva adalah adalah W P V V ) ( P( V ) V. Dengan demikian, keja selama poses Kita tentukan dulu V dan V. Pada suhu T 300 K nrt P,5 8, V 0,09 m3 5 Pada suhu T 600 K nrt P,5 8, V 0,037 m3 5 Keja selama poses 5 W P( V V ) 0 (0,037 0,09) J 35

329 3.7 Hukum I Temodinamika Selama gas mengalami suatu poses maka ada bebeapa peistiwa yang dapat tejadi, sepeti: Enegi dalam yang dimiliki gas beubah Muncul keja yang dilakukan oleh gas atau yang dilakukan oleh lingkungan Ada petukaan kalo antaa gas dan lingkungan Peistiwa di atas emuanya bepengauh pada jumlah enegi yang dimiliki gas. Hukum I temodinamika meupakan hukum kekekalan enegi yang diteapkan pada sistem temodinamika. Misalkan enegi dalam awal gas U dan enegi dalam akhi U. Maka peubahan enegi dalam adalah U U U (3.5) Misalkan pada gas dilakukan keja oleh lingkungan sebesa W. Misalkan juga tejadi alian masuk kalo ke dalam gas sebesa Q Kaena enegi haus kekal maka petambahan enegi dalam gas hanya tejadi kaena adanya keja yang dilakukan lingkungan pada gas dan adanya alian masuk kalo ke dalam gas. Secaa matematika, penyataan di atas dapat diungkapkan oleh pesamaan U W + Q (3.6) Pesamaan (3.6) meupakan ungkapah hukum I temodinamika. Ketika meneapkah hukum I temodinamika, kita haus mempehatikan tanda dengan seksama. Pejanjian untuk tanda U, W, dan Q sebgai beikut: U positif jika enegi dalam yang dimiliki gas betambah U negatif jika enegi dalam yang dimiliki gas bekuang W positif jika lingkungan melakukan keja pada gas (sistem) W negatif jika gas (sistem) melakukan keja pada lingkungan Q positif jika kalo mengali masuk dai lingkungan ke gas (sistem) Q positif jika kalo mengali kelua dai gas (sistem) ke lingkungan Contoh 3. Dalam suatu poses isobaic, volum gas beubah dai L menjadi L. Tekanan gas adalah 0 5 Pa. Jika pada poses tesebut kalo masuk ke dalam gas sebanyak 500 J, beapa peubahan enegi dalam gas? 36

330 Kaena kalo masuk maka Q J Keja isobaik: W - P (V V ) ( ) - 00 J Bedasakan hokum I temodinamika U W + Q J Contoh 3.3 Ketika menyeap kalo, sebanyak 0, mol gas monoatomik mengalami poses isokhoik hingga suhunya beubah dai 00 o C menjadi 300 o C. Beapakah kalo yang telibat? Apakah kalo tesbut masuk ke gas atau kelua dai gas? Infomasi yang dibeikan dalam soal adalah n 0, mol, T 00 o C K, dan T 300 o C K. Pada poses isokhoik, volum konstan, sehingga W 0. Dengan hukum I temodinamika didapat Q U. Untuk gas monoatomik enegi dalam memenuhi 3 U nrt sehingga U 3 nr( T 3 T ) 0, 8,35 ( ) 499 J Dengan demikian Q U 499 J. Kaena Q positif maka kalo mengali masuk ke dalam gas. 3.8 Kapasitas Kalo Kapasitas kalo didefinisikan sebagai kalo yang diseap/dilepas pe satuan peubahan suhu, atau Q C (3.7) T 37

331 dengan Q kalo yang diseap/dilepas dan T suhu. Sekaang kita akan tentukan kapasitas kalo untuk poses-poses khusus. Kapasitas kalo pada volum tetap Jika poses belangsung pada volum tetap atau isokhoik,maka V V sehingga W - P(V -V ) 0. Dalam kondisi demikian maka hukum I temodinamika menjadi Q U (3.8) Dengan demikian, kapasitas kalo pada volum tetap memenuhi C v Q U (3.9) T T Untuk gas monoatomik pada semua suhu atau gas diatomik yang beada pada suhu endah kita telah tunjukkan U (3/)nRT, atau U (3/)nR T. Dengan demikian, (3/ )nr T 3 C v nr (3.0) T Utuk gas diatomik pada suhu menengah, U (5/)nRT, atau U (5/)nR T, sehingga (5/ ) nr T 5 C v nr (3.) T Utuk gas diatomik pada suhu tinggi, U (7/)nRT, atau U (7/)nR T sehingga (7 / ) nr T 7 C v nr (3.) T Kapasitas kalo pada tekanan tetap Hukum I temodinamika dapat ditulis U P V + Q (3.3) 38

332 Jika tekanan konstan, kita dapat menulis P V ( PV ) (3.4) Tetapi dai pesamaan gas ideal PVnRT, maka (PV) (nrt) nr T sehingga kita bisa menulis P V nr T (3.5) Dengan mensubstitusi dapatkan pesamaan (3.9) dan (3.5) ke dalam pesamaan (3.3) kita atau C v T nr T + Q Q ( Cv + nr) T (3.6) Kapasitas kalo pada tekanan tetap menjadi C Q Cv nr (3.7) T p + Tampak bahwa kapasitas kalo pada tekanan tetap lebih besa daipada kapasitas kalo pada volum tetap. Pebedaannya adalah nr. 3.9 Pesamaan Poses Adiabatik Poses adiabatik adalah poses yang tidak melibatkan petukaan kalo anta sistem dan lingkungan, atau Q 0. Pada poses ini, hukum I temodinamika menjadi U W. Jika dinyatakan dalam bentuk difeensial, poses adibatik memenuhi du dw (3.8) Bedasakan definisi yang sudah kita bahas sebelumnya du C dt v dw PdV 39

333 maka untuk poses adiabatik dipenuhi dt C v PdV (3.9) Dai pesamaan gas ideal PV nrt kita dapat menulis T PV/nR. Dengan melakukan difeensial ke dua uas dipeoleh dt PdV + VdP (3.0) nr Substitusi pesamaan (3.0) ke dalam pesamaan (3.9) maka PdV + VdP Cv PdV nr C PdV + C VdP nrpdv v ( C v v + nr) PdV + C VdP 0 v C p PdV + C VdP 0 v C C p v dv V dp + P 0 dv dp γ + 0 (3.) V P dengan γ C / C p v. Selanjutnya, dengan melakukan integal dua uas pesamaan (3.) kita dapatkan dv γ + V dp P γ lnv + ln P C lnv γ + ln P C γ ln( PV ) C γ PV γ PV C exp( C ) C (3.) Pada penuunan pesamaan (3.) baik C maupun C adalah konstan. Jadi pada peoses adiabatik, tekanan dan volum beubah menuut pesamaan (3.). 330

334 Contoh 3.4 Gas hidogen sebanyak 0,5 mol pada suhu menenghah mengalami poses adiabatik. Suhu awal dan tekanan awal gas masing-masing 300 K dan,5 0 5 Pa. Jika tekanan akhi has adalah,5 0 5 Pa, tentukan a) Volum awal gas b) Volum akhi gas c) Peubahan enegi dalam gas d) Keja a) Gunakan pesaman gas ideal umtuk menentukan volum gas V nrt 0,5 8, P,5 0 0,004 m 3. b) Gas hydogen adalah gas diatomik. Pada suhu menengah, kapasitas kalo pada volum tetap memenuhi 5 5 C v nr 0,5 8,35 5, J/K Kapasitas kalo pada tekanan tetap C p C + nr 5, + 0,5 8, 35 7,3 J/K v Dengan demikian γ C p C v 7,3 5,,4 Kaena poses dai keadaan awal ke peadaan akhi belansung secaa diabatik maka P V γ γ V PV γ PV P γ 5,5 0,5 0 ( 0,004) 5,4 0,00064 atau /, 4 ( 0,00064) V 0,008 m 3 33

335 c) Suhu akhi gas dihitung dengan pesamaan gas ideal, yaitu T PV nr 5,5 0 0, K 0,5 8,35 Peubahan enegi dalam gas U C T C ( T T) 5, (337 v v 300) 9 J d) Kaena tidak ada petukaan kalo maka keja pada poses adiabatik adalah W U 9 J 3.0 Siklus Siklus adalah poses yang beawal dai satu keadaan dan beakhi kembali di keadaan semula. Jika digambakan dalam diagam P-V, maka siklus akan beupa kuva tetutup. Telah kita bahas bahwa keja dalam poses temodinamika sama dengan negatif luas daeah di bawah kuva P-V. Ketika poses belangsung satu siklus, beapa keja yang dihasilkan poses tesebut? Untuk mudahnya, mai kita tinjau contoh beikut ini. P(Pa) P B C P A D V V V(m 3 ) Gamba 3. Contoh poses satu siklus Poses bemula dai keadaan A menuju keadaan B, C, dan D, kemudian kembali ke keadaan A. Mai kita hitung beapa keja yang dihasilkan pada tiap elemen poses. i) Poses A B Poses ini belansung secaa isokhoik, sehingga keja yang dilakukan nol, atau 0. W AB 33

336 ii) Poses B C Poses ini belangsung secaa isokhoik pada tekanan P. Keja yang dilakukan adalah W BC P ( V ) V iii) Poses C D Poses ini belansung secaa isokhoik, sehingga keja yang dilakukan nol, atau W 0. CD iv) Poses D A Poses ini belangsung secaa isokhoik pada tekanan P. Keja yang dilakukan adalah W DA P ( V V ) P ( V V ) Keja total selama satu siklus adalaj jumlah dai keja pada tiap poses W WAB + WBC + W CD + WDA 0 P ( V V ) P ( V V ) ( P P )( V V ) Mai kita hitung luas daeah yang dilingkupi kuva siklus Luas panjang leba ( P P )( V V ) Ungkapan luas di atas pesis sama dengan ungkapan keja total selama satu siklus, kecuali pada tanda. Jadi dapat disimpulkan bahwa Keja total selama satu siklus sama dengan negatif luas daeah yang dilingkupi siklus. Contoh 3.5 Gas ideal melakukan poses sepeti pada gamba beikut ini 3.. Hitung keja. 333

337 P(Pa) B, A 0 - C V(m 3 ) Gamba 3. Petama, kita hitung luas daeah yang dlingkupi kuva Luas (/) panjang leba 5 5 (,5 0 0 ) ( ) 50 J. Keja selama satu siklus sama dengan negatif luas daeah tesebut, yaitu W - Luas - 50 J. Contoh 3.6 Sebanyak 0, mol gas yang memiliki tekanan 0 5 Pa dan volum L melakukan poses isokhoik sehingga tekanannya menjadi dua kali lipat. Selanjutnya gas tesebut m engalami poses isobaik hingga volumnya menjadi setengahnya. Gas kemudian kembali ke keadaan awal melalui gais luus pada diagam P-V. Tentukan keja selama satu siklus. Bedasakan infomasi di soal, keadaan awal gas: P 0 5 A Pa V A L 0-3 m 3 Gas melakukan poses isokhoik ke keadaan B sehingga tekanannya menjadi dua kali lipat P 0 5 B PA 4 Pa 334

338 V B V A 0-3 m 3 Dai B gas melakukan poses isobaik ke C sehingga volum menjadi setengahnya. Maka P 5 C P B 4 0 Pa V C (/)V B 0-3 m 3 Dai C keadaan kembali ke A. Kuva poses selama satu siklus sebagai beikut P(Pa) P,V C C P,V B B P A,V A V(m 3 ) Gamba 3.3 Petama kita hitung luas daeah yang dilingkupi kuva. Untuk aah poses yang belawanan geakan jaum jam, luas daeah dibei tanda negatif. Luas - (/) panjang leba ( P P )( V V ) ( )( B A B ) - 00 J A Maka, keja selama satu siklus adalah W - Luas 00 J 3. Mesin Kalo Dai pembahasan di atas tampak bahwa jika gas melakukan poses satu siklus maka keja total yang dihasilkan dapat behaga negatif. Keja yang behaga negatif menunjukkan bahwa gas melakukan keja pada lingkungan. Jika siklus poses dapat dilakukan beulang-ulang maka gas akan melakukan keja teus-meneus pada lingkungan. Untuk memanfaatkan keja yang dilakukan oleh gas tesebut oang lalu meancang mesin, yang dikenal dengan mesin kalo. Dalam mesin ini gas diatu untuk melakukan siklus poses secaa teus meneus. Keja yang dihasilkan gas digunakan 335

339 untuk memuta mesin, yang kemudian dapat diubah ke enegi bentuk lain sepeti enegi listik, menggeakkan oda kendaaan, dan lain-lain. Contoh mesin kalo adalah mesin kendaaan bemoto, tubin, mesin jet, dan sebagainya. Aga gas dalam mesin kalo dapat melakukan poses siklus teus meneus, maka gas tesebut pelu menyeap kalo. Sebagian kalo digunakan untuk melakukan keja (menggeakkan mesin) dan sisanya dibuang. Contohnya, dalam mesin kendaaan, kalo diseap dai poses pembakaan bahan baka dan sisa kalo dibuang ke lingkungan udaa lua. Dengan demikian, secaa skematik, mesin kalo dapat digambakan sebagai beikut T R esevoi panas Q W T Q Resevoi dingin Gamba 3.4 Skema mesin kalo Mesin kalo bekeja antaa dua buah esevoi (sumbe panas), yaitu esevoi panas yang besuhu T dan esevoi dingin yang besuhu T. Kalo mengali dai esevoi panas me nuju esevoi dingin melewati mesin. Sebagian kalo dai esevoi panas digunakan untuk menghasilkan keja dan sisanya dibuang ke esevoi dingin. Dengan hukum kekekalan enegi dipeoleh Q Q + W (3.3) dengan Q jumlah kalo yang diseap dai esevoi panas, Q jumlah kalo yang dibuang ke esevoi dingin, dan W keja yang dilakukan. Efisiensi Efisiensi menguku kemampuan suatu mesin mengubah kalo yang diseap dai esevoi panas menjadi keja. Untuk Q yang sama, mesin yang bisa menghasilkan 336

340 keja lebih besa dikatakan memiliki efisiensi lebih tinggi. Oleh kaena itu, efisiensi didefinisikan sebagai W ε 00% (3.4) Q Contoh 3.7 Sebuah mesin kalo menyeap kalo dai esevoi panas sebasa 000 J dan membuang kalo ke esevoi dingin sebesa 800 J. Beapaah efisiensi mesin tesebut? Keja yang dilakukan mesin W Q Q J Efisiensi mesin W 00 ε 00% 00% 0% Q 000 Contoh 3.8 Sebanyak 0, mol gas monoatomik mengalami poses sebagai beikut. P(Pa) B C A D V(L) Gamba 3.5 Tentukan a) Kalo yang disedot dai esevoi panas b) Kalo yang dibuang ke esevoi dingin c) Keja yang dihasilkan d) Efisiensi mesin 337

341 Untuk diketahui Mesin menyeap kalo jika Q behaga positif Mesin menyeap kalo jika Q behaga negatif Mai kita tinjau tiap-tiap elemen poses i) Poses A B adalah isokhoik sehingga W 0 dan Q AB U AB Tetapi U 3/ ) nr( T T ). Kaena AB ( B A gunakan pesamaan gas ideal itu kita pelu menentukan T A dan T B. Kita T T A B PAV nr PBV nr A B , 8, , 8, K 60 K Dengan demikian, 3 Q AB 0, 8,35 (60 48) 50 J. Kaena Q AB positif maka kalo disedot dai esevopi panas selama poses AB. ii) Poses B C adalah isobaik sehingga 5 W P V V 0 ( BC B ( C B ) 5 0 ) J Peubahan enegi dalam dihitung dai umus umum U BC 3 nr( T C T B ) Kita pelu tentukan T C telebih dahulu. Dengan hukum gas ideal 338

342 5 3 PC VC TC 0 K nr 0, 8,35 Dengan demikian, peubahan enegi dalam adalah 3 U BC 0, 8,35 (0 60) 750 J Kalo yang telibat adalah Q U W 750 (-500) 50 J. BC BC BC Pada poses ini pun kalo diseap dai esevoi panas. iii) Poses C D adalah isokhoik sehingga W 0 dan Q CD U CD 3 nr( T D T Kita selanjutnya pelu menentukan T D. Kita gunakan hukum gas ideal C ) 5 3 P T D V D D 96 K nr 0, 8,35 Dengan demikian dipeoleh 3 QCD 0, 8,35 (96 0) - 99 J Nilai Q negaitf menunjukkan pada poses CD kalo dibuang ke esevoi dingin. iv) Poses D A adalah isobaik sehingga W DA PA ( VA VD ) 4 0 ( ) 400 J Enegi dalam dihitung dai umus um um 3 3 U DA nr( TA TD ) 0, 8,35 (48 96) J Dengan demikian kalo yang telibat adalah Q U W J DA DA DA 339

343 Nilai Q negaitf juga menunjukkan bahwa selama poses DA diseahkan kalo ke esevoi dingin. Kalo total yang diseap dai esevoi panas Q Q AB + Q BA J Besanya kalo yang dibuang ke esevoi dingin (kita hitung nilai positifnya) Q Q CD + Q DA J Keja yang dilakukan W Q Q J Dengan demikian efisiensi mesin Q W ε 00% % 7% 3. Mesin Canot Efisiensi mesin kalo yang dibuat hingga sekaang tidak telampau tinggi. Hampi tidak ada mesin kalo yang dibuat dengan efisiensi di atas 50%. Petanyaan beikutnya, beapakah efisiensi tetinggi yang dapat dimiliki mesin kalo? Mesin kalo dengan efisiensi tetinggi adalah mesin Canot, yang petama kali dikaji oleh ilmuwan Pancis Sadi Canot (796-83). Mesin Canot memiliki siklus yang tedii dai dua poses adiabtik dan dua poses isotemal. Poses AB dan CD adalah isobaik dan poses BC dan DA adalah isotemal. Kalo diseap dai esevoli besuhu tinggi hanya pada poses BC dan kalo dibuang ke esevoit besuhu endah hanya pada poses DA. Efisiensi mesin Canot adalah T ε 00% (3.5) T 340

344 P B C T A D T V Gamba 3.6 Siklus mesin Canot Mesin Canot adalah mesin yang paling sempuna. Namun,mesin ini tidak dapat dibuat. Mesin Canot hanyalah mesin yang ada dalam teoi. Dai pesamaan (4.) kita akan dapatkan bahwa efisiensi mesin Cenot sama dengan 00% jika T atau T 0. Tetapi suhu nol dan tak behingga tidak dapat dihasilkan. Jadi, efisiensi mesin Canot tidak mungkin mencapai seatus pesen. Kaena mesin Canot meupakan mesin yang paling efisien, maka efisiensi mesin kalo umumnya beada jauh di bawah 00%. Penuunan efisiensi mesin Canot ditempatkah di akhi bab ini Contoh 3.9 Efisiensi sebuah mesin Canot adalah 60%. Jika esevoi besuhu endah memiliki suhu 50 o C, beapakah suhu esevoi besuhu tinggi? Diinfomasikan di soal ε 60%, T 50 o C K. T? T ε T 00% 33 60% 00% T 33 0,6 T atau 33 0,6 0,4 T 34

345 T 33/0,4 807,5 K 3.3 Mesin Pendingin Mesin pendingin memiliki aah alian kalo yang bebeda dengan mesin kalo. Pada mesin pendingin, kalo mengali dai esevoi besuhu endah menuju esevoi besuhu tinggi. Poses ini hanya dapat belangsung jika dibeikan keja dai lua, kaena kalo tidak dapat mengali secada spontan dai tempat besuhu endah ke tempat besuhu tinggi. Dengan sistem alian kalo semacam ini maka suhu esevoi dingin akan semakin dingin. Contoh mesin pendingin yang kalian kenal adalah kulkas dan AC. Keja lua yang dibeikan pada mesin ini adalah enegi listik PLN. T Resevoi panas W Q T T Q R Resevoi dingin Gamba 3. 7 Diagam skelamik mesin pendingin Bedasakan Gb. 3.7 Q R adalah kalo yang disedot dai esevoi dingin, Q T kalo yang dibuang ke esevoit panas dan W keja lua yang dibeikan. Dengan hukum kekekalan enegi maka belaku W Q T Q R (3.6) Mesin pendingin yang baik adalah yang dapat menyedot panas sebanyak-banyaknya dai esevoi dingin untuk jumlah keja tetentu. Untuk itu didefinisikan koefisien unjuk keja mesin pendingin sebagai beikut Q η R W (3.7) 34

346 Makin besa koefisien unjuk keja maka makin baik mesin tesebut, kaena dengan keja tetentu yang dibeikan dapat menuunkan suhu lebih endah. Untuk mesin pendingin ideal (yang bekeja pada siklus Canot) kita dapat mengungkapkan koefisien unjuk keja sebagai beikut: Efisiensi mesin Canot (dinyatakan dalam desimal) atau T T ε T T T ε T T T (3.8) Koefisien unjuk keja mesin pendingin dapat ditulis η QR W QT W W QT W T ε T T T T ( ) T T T T (3.9) T T Contoh 3.0 Suhu kumpaan pendingin pada lemai es adalah 5 o C sedangkan suhu esevoi pembuangan adalah 30 o C. Beapakah koefisien unjuk keja maksium lemai es tesebut? Dengan menggunakan pesamaan (3.9) maka koefisien pefoemance maksimum adalah T η 5, 7 T T ( ) ( 5 73) Pompa Panas Pompa panas adalah alat yang digunakan untuk menghasilkan panas. Jika pompa panas bekeja maka suhu esevoi tinggi makin tinggi. Untuk itu pompa panas bekeja dengan menyedot kalo dai esevoi dingin dan membuangknya ke esevoi panas. Aga poses ini belangsung maka dipelukan keja lua. Contoh pompa panas 343

347 adalah pemanas uangan, hai dye, hand dye, dan sebagainya. Diagam pompa panas pesis sama dengan mesin pendingin. Namun, yang menjadi pehatian kita pada pompa panas adalah kenaikan suhu esevoi panas. Sedangkan untuk mesin pendingin, yang menjadi pehatian kita adalah penuunan suhu esevoi dingin. Pompa panas yang baik adalah yang dalam menyeahkan kalo yang lebih besa ke esevoi panas. Untuk itu, unjuk keja pompa panas didefinisikan sebagai Q T η (3.30) W dengan η koefisien unjuk keja, Q T kalo yang diseahkan esevoi besuhu tinggi, dan W keja yang dibeikan 3.5 Hukum II Temodinamika Telah kita bahas bahwa kalo dapat dimanfaatkan untuk menghasilkan keja. Namun, ada batasan tentang caa pemanfaatan kalo tesebut. Batasan tesebut diungkapkan oleh hukum II temodinamika. Ada dua vesi ungkapan hukum II temodinamika, yang ekivalen satu sama lain. Jika ungkapan petama bena maka ungkapan kedua bena, dan sebaliknya. Penyataan Kelvin-Planck Tidak mungkin mebuat mesin yang menyeap kalo dai esevoi panas dan mengubah seluuhnya menjadi keja. Konsekuansi penyataan ini adalah tidak mungkin membuat mesin kalo yang memiliki efisiensi 00%. Penyataan Clausius Tidak mungkin membuat mesin pendingin yang menyeap kalo dai esevoi besuhu endah dan membuang ke esevoi besuhu tinggi tanpa bantuan keja dai lua. Penyataan ini memiliki konsekuensi bahwa tidak mungkin meancang mesin pendingin sempuna dengan koefisien unjuk keja. 344

348 3.6 Entopi Kita sudah melihat dua penyataan hukum II temodinamika yang ekivalen, yaitu Kelvin-Planck dan Clausius. Namun, kedua penyataan tesebut dapat digenealisasi menjadi satu penyataan dengan mempekenalkan telebih dahulu besaan yang benapa entopi. Entopi petama kali dipekenalkan oleh Clausisus tahun 860. Menuut Clausius, suatu sistem yang melakukan poses evesibel (dapat dibalik aahnya) pada suhu konstan disetai penyeapan kalo Q mengalami peubahan entopi Q S (4.7) T dengan S peubahan entopy, Q kalo yang diseap, dan T suhu poses. Contoh 3. Sebuah kubus es yang bemassa 60 g dan suhu 0 o C ditempatkan di dalam gelas. Setelah disimpan bebeapa lama, setengah dai es tesebut telah mencai menjadi ai yang besuhu 0 o C. Beapa peubahan entopi es/ai? Diketahui kalo laten pelebuan es adalah 80 kal/g. Massa es yang mencai m 30 g. Kalo yang dipelukan untuk melebu es tesebut adalah Q m L kal. Kaena poses belangsung pada suhu tetap T 0 o C 73 K m aka peubahan entopi es/ai adalah Q 400 S + 8,8 kal/k T 73 Dalam poses alamiah, peubahan entopi memenuhi pesyaatan-pesyaatan beikut ini Untuk sistem yang teisolasi, peubahan entopi semua poses memenuhi S > 0 Untuk sistem yang tidak teisolasi, peubahan entopi total, yaitu jumlah entopi sistem dan lingkungan selalu posisitif, 345

349 S S sis + S ling > 0 Dengan menggunakan konsep entopi, hukum ke II temodinamika bebunyi Pada setiap poses alamiah, entopi total sistem dan lingkungan selalu mengalami petambahan. 3.7 Penuunan Efisiensi Mesin Canot Di akhi bab ini kita akan menuunkan pesamaan efisiensi mesin Canot. Untuk maksud tesebut kita mengacu kepada silus Canot sepeti pada Gb 3.6. Kita mencai kalo dan keja yang dilakukan pada masing-masing uas siklus. Poses A-B adalah adiabatik sehingga Q AB 0 Dengan hukum I temodinamika maka W AB U AB C v ( ) T T Poses B-C adalah isotemal sehingga U BC 0 W BC V C V B PdV Dengan menggunakan pesaman gas ideal belangsung secaa isotemal pada suhu T maka kita dapat menulis PV nrt dan mengingat poses B-C W BC V C C nrt dv dv nrt V V VB V VB V nrt ln V C B Kaena U BC 0 maka Q BC W BC V C nrt ln V B Pada poses ini nilai Q BC positif sehingga kalo diseap masuk ke dalam mesin. Poses C-D adalah adiabatik sehingga Q CD 0 dan W CD U CD C v ( ) T T Poses D-A adalah isotemal sehingga U DA 0 dan 346

350 D A V V V V DA V V nrt V dv nrt dv V nrt W A D A B ln Kaena U DA 0 maka A A V D nrt V nrt W Q ln ln D DA DA V V Pada poses ini nilai Q DA negatif sehingga kalo kelua dai mesin. Efisiensi mesin Canot adalah besa kalo masuk besa kalo kelua ε ) / ln ln( ) / ln( / ln( A D DA T T V V nrt V V nrt Q ( ) / ) B C A D B C BC V V V V Q elanjutnya kita gunakan pesamaan adiabatik untuk poses A-B dan C-D. Hubungan uas pesamaan sehingga dipeoleh S antaa tekanan dan volum memenuhi γ γ B B A A V P V P γ γ C C D D V P V P Bagi masing-masing dua γ γ γ γ C C B B D D A A P V P V V P P V ) ( ) ( γ γ C C C D D D V P V V V P ) ( ) ( γ γ B B B A A A V P V V P V γ C C C D D D V P V V V P γ γ γ B B B A A A V P V V P V Kaena poses B-C belangsung secaa isotemal maka P B V B P C V C dan kaena poses D-A belansung secaa isotemal pula maka P D V D P A V A. Dengan demikian kita peoleh γ γ γ γ C B D A V V V V C B D A V V V V γ γ 347

351 V V A D V V B C V ln V A D V ln V B C Dengan demikian, efisiensi mesin Canot menjadi T ε T Soal dan Penyelesaian )(a) Sebanyak 500 J kalo ditambahkan pada suatu sistem. Pada saat besamaan, sistem melakukan keja 800 J. Beapa peubahan enegi dalam sistem? (b) Beapa peubahan enegi dalam sistem jika 500 J kaloe ditambahkan ke dalam sistem dan lingkungan juga melakukan keja pada sistem sebesa 800 J? a) Kalo masuk pada sistem sehingga Q 500 J. Sistem melakukan keja sehingga W J. Dengan hukum I temodinamika U Q + W (- 800) 700 J b) Kalo masuk pada sistem sehingga Q 500 J. Lingkungan melakukan keja pada sistem sehingga W 800 J. Dengan hukum I temodinamika U Q + W J ) Gas ideal ditekan pelahan-lahan pada tekanan konstant,0 atm sehingga volumnya beubah dai 0,0 L menjasi,0 L. Pada poses ini gas mengalami penuunan suhu. Kemudian gas dipanaskan pada volum konstant sehingga suhu gas kembali sama dengan suhu awal. (a) Tentukan keja total yang dilakukan gas. (b) Tentukan kalo total yang mengali masuk ke dalam gas. Poses yang belangsung tampak pada Gb

352 P P C C P B V B V A A V Gamba 3.8 Bedasakan infomasi soal maka P A P B atm 0 5 Pa, V A 0 L 0 - m 3, dan V B L 0-3 Pa. Misalkan pada keadaan A, suhu gas T A. Kaena poses AB belangsung secaa isobaik maka keja adalah W AB PA ( VB VA ) 0 ( J ) Kaena poses BC belangsung secaa isokhoik, maka keja selama poses AC memenuhi W BC 0. Keja total W W + W AC AB BC J Suhu T C T A. Kaena enegi dalam hanya begantung pada suhu, maka enegi dalam di A dan di C sama, sehingga U U U 0. Dengan menggunakan hukum I temodinamika, kita peoleh AC C A Q U W J 3) Dalam sebuah mesin, gas sebanyak 0,5 mol mengembang dengan cepat secaa adiabatic dalam silinde. Dalam poses tesebut, suhu tuun dai 50 K menjadi 400 K. Beapa keja yang dilakukan gas? Anggap pada suhu tesebut, kapasitas kalo gas memenuhi C V (3/ ) nr. Peubahan enegi dalam gas U 3 ( T ) 0,5 8,35 (400 50) 3 C V T nr f T i J 349

353 Kaena poses belangsun g adiabatic maka Q 0. Dengan menggunakan hukum I temodinamika maka keja yang dilakukan system pada gas W U Q J Keja yang dilakukan gas pada sistem adalah 300 J (negatif dai keja yang dilakukan system pada gas). 4) Tentukan peubahan enegi dalam,0 L ai yang diuapkan pada suhu 00 o C dan tekanan atmosfe sehingga seluuhnya menjadi uap yang memiliki volum 68 L dan suhu 00 o C. Diketahui kalo laten penguapan ai adalah L v,6 0 6 J/kg. Volum ai V i L 0,00 m 3. Massa ai m ρv kg. Volum uap V f 67 L,67 m 3. Tekanan P atm 0 5 Pa. Kalo yang diseap Q m L v,6 0 6,6 0 6 J. Keja yang dihasilkan 5 W P V P( V f Vi ) 0 (,67 0,00) -,7 0 J Dengan hukum I temodinamika maka U Q + W,6 0,7 0, 0 J. 5) Beapakah efisiensi maksimum sebuah mesin panas yang bekeja antaa esevoi besuhu 0 o C dan 00 o C. Mesin tesebut menghasilkan keja dengan daya kw. Beapa laju penyeapan enegi dai esevoi panas? Efisiensi maksimum tecapai jika mesin bekeja bedasakan siklus Canot. tesebut adalah Efisiensi T ε 00% 00% % T Daya yang dihasilkan mesin kw 000 J/s. Dengan demikian, selama detik, mesin melakukan keja W 000 J. Kalo yang diseap dai esevoi panas selama detik, yaitu Q T memenuhi 350

354 atau ε W Q T W 000 Q T J. ε 0, Jadi kalo yang diseap dai esevoi panas selama satu detik adalah J. Atau laju penyeepan kalo dai esevoi panas adalah Watt 4,8 kw. 6) Sebuah pabik pembuat mesin mengklaim sebagai beikut. Enegi input ke mesin pe detik adalah 9,9 kj pada suhu 375 K. Enegi output pe sekon adalah 4,0 kj pada suhu 5 K. Apakah kalian pecaya dengan klaim tesebut? Bedasakan klaim yang ada di soal, efisiensi mesin adalah W QT QR 9,9 4,0 ε 00 % 00% 00% 60% Q Q 9,9 T T Bedasakan hukum temodinamika, efisiensi maksimum yang dapat dimiliki mesin adalah apabila mesin tesebut bekeja bedasakan siklus Canot. Efisiensi maksimum mesin tesebut adalah T 5 ε 00% 00% 40% T 375 Tampak bahwa klaim pabik pembuat mesin melangga hokum temodinamika. Atinya, klaim pabik pembuat mesin hanya bohong belaka. 7) Gambakan diagam P-V poses beikut ini:,0 L gas ideal didinginkan pada tekanan atmosfe hingga mencapai volum,0 L kemudian dikembangkan secaa isotemal sehingga mencapai volum awal,0 L. Teakhi, tekanan dipebesa pada volum konstan sehingga dicapai keadaan awal. 35

355 Diagam poses tampak pada Gamb 3.9 P P atm 3 L L V Gamba 3.9 8) Dalam sebuah mesin, gas ideal ditekan secaa diabatik sehingga volumnya menjadi setengahnya. Pada poses tesebut, sebanyak 359 J keja dilakukan pada gas. (a) Beapa banyak kalo yang mengali masuk atau kelua gas? (b) Beapa peubaha enegi dalam gas? (c) Apakah suhu naik atau tuun? Usaha dilakukan lingkungan pada gas, maka nilainya positif, aau W 359 J (a) Kaena poses belangsung adiabatik maka Q 0 (b) Dengan hukum I temodinamika, maka peubahan enegi dalam gas adalah U W + Q J (c) Kaena U C T T ) dan mengingat U positif, maka T > T, atau V ( akhi awal suhu gas betambah selama poses. akhi awal 9) Suhu pembuangan sebuah mesin adalah 30 o C. Beapakah suhu esevoi besuhu tinggi aga efisiensi Canot adalah 8 pesen? Efieisnsi Canot memenuhi T ε T 00% 35

356 543 8 % 00% T 543 0,8 T atau 543 T 754 K 48 o C 0,8 0) Sebuah pembangkit tenaga nukli bekeja dengan efisiensi 75% dai efisiensi maksimum Canot yang bekeja antaa suhu 600 o C dan 350 o C. Jika pembangkit tenaga tesebut menghasilkan enegi dengan laju,3 GW, beapa laju pembuangan kalo pe jam? Efisiensi mesin Canot T ε 00% 00% 9% T Efisiensi pembangkit tenagan nukli ε ' 0,75ε 0,75 9% % Kaena daya,3 Giga Watt maka enegi yang dihasilkan pe detik adalah W,3 GJ,3 0 9 J Efsisiensi dapat ditulis ε ' W Q W W + T Q R Dengan demikian, kalo yang dibuang ke esevoi suhu endah pe detik adalah W ε ',3 0 0, 9 9 Q W,3 0 4,6 0 9 R J Kalo yang dibuang pe jam 3600 Q R ,6 0 9,7 0 3 J 7 TJ ) Jika sebuah lemai es dapat mempetahankan suhu di dalamnya sebesa 5 o C 353

357 sedangkan suhu uangan o C, beapakah koefisien unjuk keja lemai es tesebut? Koefisien pefoemance maksimum adalah T η 7 T T ( + 73) ( ) ) Sebuah mesin kalo memiliki efisiensi 35%. Jika mesin kalo tesebut diopeasikan dalam aah tebalik sehingga menjadi pompa panas, beapakah koefisien ujuk kejanya? Dibeikan ε W Q T 35 % 0,35 Koefisien unjuk keja pompa panas Q η T,86 W ε 0,35 Soal Latihan ) Sebuah mesin kalo melakukan 700 J keja dalam setiap siklus ketika menyeap kalo dai esevoi besuhu tinggi sebesa,0 kj. Beapakah efisiensi mesin? ) Sebanyak,0 L udaa dengan tekanan 6,5 atm mengalami pemuaian isotemal sehingga tekanannya menjadi,0 atm. Gas tesebut kemudian ditekan pada tekanan tetap sehingga volumnya kembali ke volum semula. Teakhi, gas dikembalikan ke keadaan semula dengan melakukan pemanasan pada volum tetap. Gambakan poses tesebut dalam diagam PV. 3) Satu lite ai didinginkan pada tekanan tetap hingga volumnya menjadi setengah. Kemudian udaa tesebut dikembangkan secaa isotemal sehingga mencapai volum mula-mula. Gambakan poses dalam diagam PV. 4) Sebuah piston yang memiliki volum 000 cm 3 mengandung gas betekanan, 0 5 Pa. Gas mengembang pada suhu tetap sehingga volumnya betambah 0%. (a) Beapa keja yang dihasilkan dalam poses tesebut? (b) Beapa kalo yang haus diseap oleh gas dai lingkungan dalam poses tesebut? 5) Sebuah piston mengandung 0,05 mol gas ideal pada suhu 7 o C. Tekanan gas adalah 0 5 Pa. a) Beapa volum silinde? (b) Beapakah enegi dalam gas tesebut? 354

358 Kemudian gas dipanaskan hingga suhunya mencapat 77 o C sehingga volum piston betambah pada tekanan konstan. (c) beapakah peubahan enegi dalam gas? (d) beapakah keja yang dilakukan oleh gas? (e) beapa enegi kalo yang diseap gas dai lingkungannya? 6) Sebuah mesin Canot menghasilkan keja dengan laju (daya) 440 kw saat menyeap panas sebanyak 680 kkal pe detik dai esevoi panas ( kal 4,86 J). Jika suhu esevoi panas 570 o C, beapakah suhu esevoi dingin? 7) Sebuah mesin kalo menggunakan sumbe panas 550 o C dan menghasilkan efisiensi maksimum (Canot) sebesa 30 pesen. Beapakah suhu sumbe panas aga efisiensi meningkat menjadi 40 pesen? 8) Sebuah mesin panas membuang kalo pada esevoi yang besuhu 350 o C dan menghasilkan efiosiensi Canot 39 pesen. Beapakah suhu esevoi suhu endah aga efisiensi meningkat menjadi 50 pesen? 9) Pendingin pada sebuah estoan memiliki koefisien unjuk keja 5,0. Jika suhu uangan di dapu adalah 9 o C, beapakah suhu teendah yang dapat dicapai dalam uang pendingin jika dianggap pendingin tesebut ideal? 0) Sebuah pompa panas digunakan untuk mempetahankan suhu uangan tetap o C. Beapa banyak keja yang dipelukan untuk membeikan kalo sebesa 800 J ke dalam uangan jika suhu di lua ungan adalah (a) 0 o C, (b) 5 o C. Anggap pompa panas menggunakan sikli Canot. 355

359 Bab 0 Teoi Relavitas Khusus Ea fisika moden ditandai dengan lahinya teoi kuantum dan teoi elativitas khusus pada awal abad 0. Dalam fisika moden, caa kita menjelaskan fenomena alam bebeda dengan fisika klasik, khususnya ketika kita akan menjelaskan fenomena yang melibatkan patikel sub atomic seta patikel yang begeak dengan laju mendekati laju cahaya. Khusus untuk menjelaskan peistiwa yang melibatkan geakan mendekati laju cahaya, hokum mekanika Newton tenyata gagal. Kita pelu membangun suatu metode bau untuk menjelaskan fenomena tesebut, dan itu yang dilakukan Einstein dengan teoi elativitas khusus. Pada bab ini kita akan mempelajai secaa singkat ide-ide yang tekandung dalam teoi elativitas khusus yang dipekenalkan Einstein tahun Tansfomasi Galileo Kita membayangkan mengamati kondisi beikut ini. Sebuah keeta api begeak dalam aah x dengan kecepatan u. Dalam keeta ada seoang penumpang yang sedang bejalan dalam aah x juga dengan kecepatan v tehadap keeta. Di tepi jalan ada seoang pengamat yang melihat geakan keeta api maupun penumpang dalam keeta. Kecepatan penumpang yang sedang bejalan diuku dai tanah menuut pengamat di tanah hanyalah penjumlahan kedua kecepatan di atas, atau w u + v (4.) dengan w kecepatan penumpang tehadap tanah. Jika penumpang dalam keeta bejalan dalam aah belawanan aah geak keeta dengan kecepatan v tehadap keeta (aah -x), maka menuuh pengamat di tanah, kecepatan penumpang ini tehadap tanah adalah w u v (4.) Misalkan posisi penumpang dalam keeta yang diuku oleh pengamat di tanah adalah x dan yang diuku oleh pengamat di keeta adalah x maka dx w (4.3) dt dx' v (4.4) dt 356

360 Dengan demikian, pesamaan (4.) dapat ditulis menjadi dx dt dx' u + (4.5) dt Dan pesamaan (4.) dapat ditulis menjadi dx dt dx' u (4.6) dt Dengan melakukan integal pesamaan (4.5) dan (4.6) tehadap waktu didipatkan x ut + x' (4.7) untuk penumpang yang begeak dalam aah yang sama dengan keeta dan x ut x' (4.8) untuk penumpang yang begeak dalam aah yang belawanan dengan keeta. Bentuk penjumlahan pada pesamaan (4.8) dan (4.9) dikenal dengan tansfomasi Galileo. Dan tansfomasi ini tampak nyata dalam kehidupan sehai-hai. Apa yang tejadi andaikan penumpang yang bejalan diganti dengan bekas cahaya? Dengan menggunakan pesamaan (4.) dan (4.) maka bekas cahaya yang begeak seaah geakan keeta akan diamati oleh pengamat di tanah memiliki kecepatan w u + c tehadap tanah. Dan bekas yang begeak belawanan aah geak keeta diamati pengamat di tanah memeiliki kecepatan w u + c tehadap tanah. Tampak w w. Dengan kata lain kecepatan cahaya dalam dua aah tidak sama. Ini betentangan dengan pengamatan Michelson dan Moley bahwa kecepatan cahaya haus sama ke segala aah. Dengan demikian, tansfomasi Galileo tidak dapat diteapkan untuk cahaya. Kalau begitu tansfomasi yang bagaimanakah yang dapat dipakai? Albet Einstein mengusulkan suatu bentuk penjumlahan kecepatan yang lebih umum. Menuut pengamatan di tanah, kecepatan penumpang yang bejalan seaah keeta bukan w u + v, tetapi u + v w (4.9) uv + c 357

361 Dan kecepatan penumpang yang sedang bejalan dalam aah belawanan dengan aah geak keeta menuut pengamatan di tanah bukan w u - v, tetapi u v w (4.0) uv c Kelihatannya jadi umit ya? nya ya, lebih umit. Tetapi haus diteima kaena tenyata dapat menjelaskan penjumlahan kecepatan untuk semua kecepatan. Mai kita lihat. Kecepatan cahaya dalam uang hampa adalah m/s. Kecepatan keeta api umumnya sekita u 00 km/jam m/3600 s 7.8 m/s. Kecepatan jalan penumpang katakanlah 5 km/jam m/3600 s.4 m/s. Dengan demikian uv/c 7.8.4/(3 0 8 ) Nilai ini jauh lebih kecil dai satu sehingga penyebut dalam pesamaan penjumlahan Einstein dapat dianggap satu. Dengan demikian, pesamaan penjumlahan Einstein kembali ke bentuk penjumlhana Galileo. Dan untuk kecepatan-kecepatan yang biasa kita jumpai sehai-hai, temasuk kecepatan planet-planet mengitai matahai, penyebut pada pesaman penjumlahan Einstein masih mendati satu, yang beati hasil pehitungan dengan pesaman penjumlahan kecepatan Einstein dan Galileo sama. Penyebut dalam pesamaan penjumlahan Einstein menyimpang dai nilai satu ketika kecepatan yang dijumlahkan mendekati kecepatan cahaya. Misalkan ada sebuah atom begeak dengan kecepatan u 0,5c (yaitu setengah dai kecepatan cahaya). Atom tesebut tiba-tiba memancakan electon dalam aah geak atom dengan kecepatan v 0,7c tehadap atom. v 8 c 3 0 Apabila menggunakan tansfomasi Galileo, maka kecepatan electon tehadap tanah adalah w u + v 0,5c + 0,7c,c. Tetapi dengan menggunakan penjumlahan kecepatan Einstein, maka kecepatan electon tehadap tanah adalah u + v 0.5c + 0.7c.c.c w 0. 89c uv 0.5c 0.7c c c Tampak bahwa nilai kecepatan yang dihitung dengan pesamaan Einstein lebih endah daipada yang dihitung dengan tansfomasi Galileo. 358

362 Jika penumpang diganti dengan bekas cahaya, atau v c maka kecepatan bekas cahaya yang meambat seaah keeta menuut pengamat di tanah adalah u + c u + c u + c w c uc u + + ( c + u) c c c Dan kecepatan cahaya yang meambat dalam aah belawanan dengan keeta adalah w u c uc c u c u c u c c ( c u) c u c ( c u) c yaitu pesis sama dengan kecepatan cahaya yang meambat seaah keeta, hanya aahnya belawanan. Hasil ini semuai dengan hasil pengamatan Michelson dam Moley bahwa kecepatan cahaya ke segala aah sama, tidak dipengauhi oleh geak sumbe maupun pengamat Contoh 4. Sebuah pesawat begeak ke kanan dengan kecepatan 0,3c tehadap bumi. Pesawat kedua begeak ke kii dengan kecepatan 0,8c tehadap bumi. Beapa kecepatan pesawat petama tehadap pasawat kedua? Infomasi yang dibeikan soal adalah v + 0,3c dan v - 0,8c. Jika kita menggunakan penjumlahan kecepatan Galileo, kecepatan pesawat peatama tehadap pesawat kedua adalah v v v. Tetapi penjumlahan ini salah untuk kecepatan-kecepatan yang besa. Kita haus menggunakan penjumlahan kecepatan Einstein, yaitu v v + 0,3c ( 0,8c), c v 0,89c vv ( + 0,3c)( 0,8c) + 0,4 c c Contoh 4. Pesawat A begeak ke kanan dengan kecepatan 0,5c tehadap bumi. Pesawat B begeak tehadap pesawat petama dengan kecepatan 0,7c ke kanan. Beapa kecepatan pesawat kedua tehadap bumi? 359

363 Infomasi dai soal adalah v A + 0,5c dan v BA + 0,7c. Yang ditanyakan adalah v B? Jika menggunakan tansfomasi Galileo kita dapatkan umus v v + v. Namun dengan menggunakan penjumlahan Einstein kita dapatkan nilai yang bena, yaitu B A BA va + vba 0,5c + 0,7c,c vb 0,89c vavba (0,5c)(0,7c) ,35 c c 4. Tansfomasi Loentz Mai kita pandang tanah sebagai sebuah keangka acuan yang dinyatakan dengan posisi x dan waktu t. Kita pandang keeta sebagai keangka acuan lain dengan vaiable posisi x dan waktu t, yang begeak elatif tehadap keangka acuan x. Kaena v adalah kecepatan penumpang tehadap keeta (keangka acuan x ) maka dapat ditulis x' v (4.) t' Kaena w adalah kecepatan penumpang di keeta diuku dai tanah (keangka acuan x) maka dapat ditulis x w (4.) t Dengan demikian, pesamaan (4.9) dapat kita tulis x t x' u + ' u t x' + c t' (4.3) Kalikan sisi kanan pesamaan (4.3) dengan t' / t' x t u t' + x' u x' t' + c (0.4) 360

364 Hubungan di atas dapat ditulis dalam dua pesamaan tepisah x γ ( x' + u t' ) (4.5) dan u x' t γ t' + (4.6) c dengan γ adalah fakto yang begantung pada laju elatif keangka acuan x tehadap keangka acuan x. Aga kecepatan cahaya sama ke segala aah, maka bentuk kebegantungan γ tehadap kecepatan hauslah γ (4.7) u c Akhinya kita dapatkan hubungan x' + u t' x (4.8) u c dan t' + u x' / c t (4.9) u c Hubungan (4.8) dan (4.9) dikenal dengan tansfomasi Loentz. 0.3 Kontaksi Loentz Apakah kontaksi Loentz itu? Yaitu penyusutan panjang benda akibat geak elatif benda itu tehadap pengamat. Misalnya, panjang keeata api menuut oang di tanah (yang begeak elatif tehadap keeta) lebih pendek daipada menuut penumpang keeta (diam tehadap keeta). Hubungan panjang menuut dua pengamatan tesebut 36

365 dapat dituunkan sebagai beikut. adalah L o maka Misalkan panjang keeta menuut pengamat di keeta (diam tehadap keeta) x ' (4.0) L o Baapa panjang yang diuku oleh pengamat di tanah (begeak tehadap keeta)? Pengamat di tanah haus mencatat secaa seentak posisi dua ujung keeta. Jika tidak dicatat seentak maka panjang keeta yang diuku salah. Misalnya sekaang mencatat posisi eko keeta dan dipeoleh nilai x 00 m. Bebeapa menit kemudian dicatat posisi hidung keeta dan dipeoleh nilai 300 m. Maka pengamat tesebut mengatakan panjang keketa adalah m. Jelas ini hasil yang salah kaena setelah menunggu bebeapa menit, keeta sudah begeak maju dan pada saat hidung keeta pada posisi 300 m mungkin ekonya sudah beada pada posisi yang lain (bukan 00 m lagi). Hasil yang tepat akan dipeoleh jika dua posisi diuku dalam waktu yang sama sehingga selisih kedua posisi tesebut bena-bena meupakan panjang keeta. Dengan kata lain, pengamat di tanah haus menguku panjang keeta dengan meneapkan t 0. Misalkan panjang yang tecatat adalah L maka x L (4.) Dengan memasukkan t 0 pada pesamaan (4.9) kita peoleh atau t' + u x' / c 0 u c u x' t' (4.) c Substitusi pesamaan (4.) ke dalam pesamaan (4.8) dipeoleh ( u x' / c ) x' + u x u c u u x' x' x' c c u u c c x' u c 36

366 Kaena x ' dan x L maka L o atau u L Lo (4.3) c panjang pengamat menuut begeak panjang pengamat menuut diam u c (4.4) Yang dimaksud pengamat begeak dalam ungkapan pesamaan (4.4) adalah pengamat yang begeak tehadap benda yang sedang diamati. Dan yang dimaksud pengamat diam adalah pengamat yang diam tehadap benda yang diamati. ) Jika yang diamati adalah panjang gedung maka yang menjadi pengamat diam adalah pengamat yang ada di tanah dan pengamat begeak adalah pengamat yang sedang naik keeta api, mobil, atau pesawat. ) Jika yang diamati adalah panjang pesawat jet yang sedang tebang maka yang dimaksud pengamat diam adalah pilot, pamugai, atau penumpang pesawat. Dan pengamat begeak misalnya adalah oang di tanah. Contoh 4.3 Menuut pilot, panjang pesawat adalah 0 m. Beapa panjang pesawat tesebut menuut oang di bumi jika pesawat begeak dengan laju 0,6c? Di sini pilot befungsi sebagai pengamat diam dan oang di bumi sebagai pengamat begeak. Jadi L o 0 m dan u 0,6c. Dengan menggunakan pesamaan (4.3) maka u (0,6c) L Lo 0 0 0,36 0 0,64 6 m c c Contoh 4.4 Sebuah keeta api supecepat memiliki panjang 50 m. Keeta tesebut begeak dengan kecepatan 360 km/jam melintasi sebuah stasiun. Beapa panjang keeta menuut pengamat yang duduk di stasiun? 363

367 Pengamat di stasiun adalah pengamat yang begeak tehadap keeta. Jadi yang dia uku adalah L. Panjang keeta dalam soal adalah panjang menuut pengamat diam, yaitu L o 50 m. Kecepatan keeta v 360 km/jam m/3 600 s 00 m/s. Dengan demikian L L o u c 50 (00) 8 (3 0 ) 50, 0 3 Kita gunakan pendekatan binomial yaitu untuk x yang jauh lebih kecil dai satu tepenuhi x x. Pada hasil di atas, x, 0-3. Dengan demikian 3 L 50, 0 50 m Pengamat di stasiun juga mengamati panjang keeta yang hampi sama dengan menuut pengamat di keeta. Selisihnya hanya sekita 8,3 0 - m. Nilai yang sama ini tejadi kaena kacepatan keeta jauh lebih kecil daipada kecepatan cahaya. Peubahan panjang bau teamati jika kecepatan benda mendekati kecepatan cahaya. 0.4 Dilatasi Waktu Lampu keeta api beada pada posisi tetap di dalam keeta. Atau nilai x untuk lampu selalu tetap. Misalkan lampu bependa dua kali betuut-tuut. Misalkan menuut penumpang keeta (yang diam tehadap lampu) selang waktu pendaan tesebut adalah T o maka di dalam pesamaan (4.9) t ' T o (4.5) Kaena nilai x' untuk lampu tetap maka x ' 0. Menuut pengamat di tanah yang begeak elatif tehadap lampu, selang waktu tesebut adalah T maka t T (4.6) Dengan memasukkan x' 0 ke dalam pesamaan (4.9) didapat 364

368 t t' + 0 u c Kaena t ' T o dan t T maka dapat ditulis T To (4.7) u c atau selang pengamat waktu yang menuut begeak selang pengamat waktu yang u c menuut diam (4.8) Juga pelu ditekankan di sini yang dimaksud pengamat begeak dalam pesamaan (4.8) adalah pengamat yang begeak tehadap jam (lokasi peistiwa) yang sedang diamati. Dan yang dimaksud pengamat diam adalah pengamat yang diam tehadap jam (lokasi peistiwa) yang diamati. ) Jika yang diamati adalah jam yang ada di gedung maka yang menjadi pengamat diam adalah pengamat yang ada di tanah dan pengamat begeak adalah pengamat yang sedang naik keeta api, mobil, atau pesawat. ) Jika yang diamati adalah jam yang ada di pesawat yang sedang tebang maka yang dimaksud pengamat diam adalah pilot, pamugai, atau penumpang pesawat. Dan pengamat begeak misalnya adalah oang di tanah. Contoh 4.5 Patikel X dapat meluuh menjadi patikel Y dalam waktu yang sangat pendek. Pada saat dilakukan pengukuan di laboatoium di mana patikel X hampi diam (memiliki kecepatan yang sangat kecil), patikel X meluuh menjadi patikel Y dalam waktu,50 µs. Ketika dilakukan pengamatan peluuhan patikel X yang dihasilkan di atmosfe dan sedang begeak dengan laju tetentu, waktu peluuhan patikel X menjadi,00 µs. Beapakah kecepatan patikel X? 365

369 Waktu yang dipelukan patikel X yang diam untuk meluuh, T o,50 µs. Waktu yang dipelukan patikel X yang sedang begeak untuk meluuh, T,00 µs. Dengan umus dilatasi waktu maka T T o u c atau T T u o c,50,00 0,75 u c (0,75) 0,565 atau u c 0,565 0,4375 u 0, 4375c 0,66c Pengujian dilatasi waktu Teoi elativitas khusus yang diusulkan Einstein didasakan pada sejumlah hipotesis. Untuk menguji kebenaan amalan teoi tesebut pelu dilakukan ekpeimen. Jika amalan teoi tidak sesuai dengan pengamatan maka teoi haus ditolak. Sebaliknya, teoi dapat diteima selama amalannya sesuai dengan data ekspeimen. Ekspeimen yang dilakukan di CERN, Swiss, tahun 977 meupakan salah satu caa menguji dilatasi waktu yang diamalkan teoi elativitas. Bekas muon dipecepat dalam lintasan lingkaan yang bejai-jai 7,0 m hingga mencapai laju 0,99994c. Muon adalah patikel yang sangat tidak stabil. Pengamatan di laboatoium menunjukkan bahwa muon yang hampi diam (memiliki kecepatan yang sangat kecil) meluuh menjadi patikel lain dalam waktu,00 µs. Akibat dilatasi waktu maka muon dapat betahan lebih lama dai peluuhan. Umu muon yang begeak dengan laju u 0,99994c betambah menjadi T,00,00 63,5 µs. u / c (0,99994c) / c 366

370 Pengukuan di CERN tehadap muon yang diputa dengan laju di atas menunjukkan umu muon yang sangat dekat dengan pehitungan di atas. Ini membuktikan bahwa amalah dilatasi waktu Einstein sesuai dengan ekspeimen. Pada bulan Oktobe 977, Joseph Hafele dan Richad Keating membawa tebang empat jam atom dua kali mengelilingi bumi menggunakan pesawat tebang ekonomi. Meeka mengkonfimasi adanya dilatasi waktu pada jam tesebut dengan kesalahan sekita 0%. Bebeapa tahun beikutnya, fisikawan pada Univesitas Mayland melakukan pecobaan seupa dengan menggunakan jam atom yang lebih teliti. Meeka behasil membuktikan dilatasi waktu dengan kesalahan hanya %. Oleh kaena itu, saat ini, ketika jam atom dibawa dai satu tempat ke tempat lain, kalibasi tehadap dilatasi waktu haus dilakukan. 0.5 Relativitas massa, momentum dan enegi Apa yang kalian lihat dai pesamaan tansfomasi Loentz? Ada facto (-u /c ) /. Apa akibat jika kecepatan benda melebihi kecepatan cahaya (u > c)? Nilai -u /c menjadi negatif sehingga (-u /c ) / menjadi tidak bemakna (imajine). Dengan demikian, posisi maupun waktu menjadi imajine, yang jelas bukan meupakan besaan fisis. Untuk menghindai keimajinean besaan-besaan fisis tesebut maka satu-satunya pemecahan adalah kecepatan benda tidak boleh melebihi kecepatan cahaya. Atau kecepatan cehaya meupakan batas tetinggi dai kecepatan yang boleh dimiliki benda di alam semesta. Tetapi bagaimana kalau benda bemassa m dikenai gaya F teus meneus? Tentu benda tesebut akan memiliki kecepatan a F/m yang menyebabkan kecepatan benda makin lama makin besa. Dan jika lama waktu gaya bekeja cukup besa bisa jadi pada akhinya kecepatan benda akan melebihi kecepatan cahaya. Nah, bagaimana dengan batasan kecepatan benda yang memiliki nilai maksimum sama dengan kecepatan cahaya? Apakah pembeian batas tesebut tidak konsisten? Untuk mengatasi ketidakkonsisten ini Einstein mengusulkan bahwa sebananya massa benda tidak tetap, tetapi begantung pada kecepatannya. Makin besa masa benda maka makin besa massanya sehingga dengan pembeian gaya F pecepatan benda makin kecil ketika laju benda makin besa. Jika laju benda mendekati laju cahaya maka massa benda haus mendekati tak behingga sehingga pecepatan benda mendekati nol. Akibatnya benda sulit lagi untuk dipecepat, atau laju benda hampi tidak beubah lagi. Hubungan antaa massa dan laju benda yang memenuhi pesyaatan di atas adalah 367

371 mo m (4.9) u c dengan m o adalah massa benda dalam keadaan diam dan m massa benda dalam keadaan begeak Einstein menuunkan pesamaan di atas dengan meneapkan hukum kekekalan momentum pada tumbukan dua benda yang massanya sama. Kaena momentum meupakan pekalian massa dan kecepatan, maka secaa umum momentum benda memiliki bentuk mou p mu (4.30) u c Tampak dai pesamaan (4.9) dan (4.30), bentuk umus untuk massa dan momentum dalam teoi elativitas sangat bebeda dengan bentuk dalam mekanika klasik. Dengan demikian dihaapkan pula bentuk umus untuk enegi kinetik akan bebeda juga dengan bentuk dalam mekanika klasik. Einstein menuunkan enegi kinetik benda dapat ditulis secaa umum sebagai K mc moc (4.3) yang dapat ditulis sebagai dengan K E E E o m c o mc (4.3) u c E m c o o (4.33) E o dapat dipandang sebagai enegi total benda dalam keadaan diam sedangkan E adalah enegi total benda dalam keadaan begeak. Dengan demikian enegi kinetik adalah selisih enegi total benda dalam keadaan begeak dan dalam keadaan diam. Penuunan 368

372 pesamaan (4.3) dapat dilihat di akhi bab. Untuk kecepatan yang cukup kecil dibandingkan dengan kecepatan cahaya, secaa matematika dapat ditunjukkan bahwa u c u + c (4.34) Sebagai contoh, untuk u m/s, maka / u / c, , sedangkan + (/ ) u / c inipun ( u 0. c,005 yang nilainya cukup dekat. Untuk kecepatan yang cukup besa ) nilai ke dua facto di atas sudah sangat dekat. Apalagi kecepatan yang lebih kecil lagi yang umumnya dijumpai sehai-hai. Paktis dapat dianggap nilai kedua facto di atas pesis sama. Dengan pendekatan (4.34) maka untuk kecepatan kecil, enegi konetik benda memiliki bentuk K u + c mo c m c m c m u m c m u o o + o o o (4.35) yang pesis sama dengan ungkpanan enegi kinetik dalam fisika klasik. Dengan kata lain, ungkapan enegi kinetik dalah fisika klasik meupakan bentuk khusus dai ungkapan enegi kinetik elativitas untuk kecepatan-kecepatan benda yang sangat kecil dibandingkna dengan kecepatan cahaya. Jika benda yang begeak dihentikan, maka benda tesebut akan melepaskan enegi (yang beasal dai enegi kinetiknya) sebesa E mc m c o ( m m ) c mc o Benda yang begeak memiliki massa m dan benda yang diam memiliki massa m o. Dengan demikian, penghentian geak benda ekivalen dengan menghilangkan massa benda sebesa m m m o Jadi, selama poses penghentian benda, tejadi penghilangan massa sebesa m, yang 369

373 pada saat besamaan tejadi pelepasan enegi sebesa E mc. Dengan kata-lain, massa dapat diubah menjadi enegi. Besa enegi yang dihasikan sama dengan pekalian massa tesebut dengan kuadat kecepatan cahaya. Pinsip inilah yang belaku pada eaksi nukli. Enegi yang sangat besa yang dihasilkan eacto nukli atau bom atom beasal dai penghancuan sebagian massa atom. Gamba 4. (kii atas) Ledakan bom atom meupakan peistiwa pengubahan massa menjadi enegi, (kanan atas) Little Boy adalah nama bom atom yang dijatuhkan di kota Hioshima, kii, dan Fat Man adalah nama bom atom yang dijatuhkan di kota Nagasaki, kanan, (kii bawah) keadaan kota Hioshima setelah dijatuhi bom atom, (kanan bawah) Enola Gay adalah nama pesawat yang menjatuhkan bom atom di kota Hioshima. Bentuk pesamaan enegi total dapat juga dinyatakan sebagai beikut. Bedasakan pesamaan (4.30) kita dapat menulis ( pc) m u 4 o o c (4.36) u c m c u c u c 370

374 pc 4 mo c u 4 ( m c ) m ( ) + o + c o u c c mo c u mo c u mo c + u c u c (4.37) u c c c Suku teakhi dalam pesamaan (4.37) tidak lain daipada kuadat enegi total. Jadi, dai pesamaan (4.37) kita dapatkan E ( m ) (4.38) ( pc) + oc Contoh 4.6 Sebuah meson pi, π 0, memiliki massa mo,4 0-8 kg. Meson tesebut begeak dengan laju,4 0 8 m/s. Beapa enegi kinetik meson tesebut? Bandingkan dengan enegi kinetik yang dihitung dengan hukum klasik. Bedasakan infomasi soal kita dapatkan 8 8 c u,4 0,4 0 0,8c 8 (3 0 ) m o,4 0-8 kg Enegi kinetik meson adalah m K o c u / c (, ) (3 0 ) (0,8c) / c (,6 0 ) 0,64 (,6 0 ) 0,36 (,6 0 ) 0,6 0,4 0,6 (,6 0 ),44 0 J Jika dihitung dengan pesamaan klasik maka enegi kinetik muon adalah 37

375 K 8 8 m u (,4 0 ) (,4 0 ) 6,9 0 kl o J Contoh 4.7 Beapa enegi yang dilepaskan jika elekton yang beada dalam keadaan diam diubah seluuhnya menjadi adiasi elektomagnetik? Massa diam elekton mo 9, 0-3 kg. Enegi yang dilepaskan sama dengan enegi diam elekton, yaitu E mo c (9, 0 ) (3 0 ) 8,9 0 J Jika dinyatakan dalam elektonvolt, besa enegi tesebut adalah 8,9 0, , 0 5 ev 0,5 MeV 0.6 Penuunan pesamaan enegi kinetik elativitas Misalkan kita melakukan keja pada benda dai keadaan diam hingga memiliki laju u. Bedasakan teoema usaha enegi keja yang dilakukan sama dengan peubahan enegi kinetik benda. Kaena mula-mula benda diam, enegi kinetik mula-mula nol. Dengan demikian, keja yang dilakukan sama dengan enegi kinetik akhi benda, atau K u u 0 dw Untuk geak luus kita memiliki hubungan antaa enegi dan gaya, yaitu dp dx dw F dx dx dp dpu dt dt Dengan menggunakan atuan antai untuk opeasi difeensial, d(up) pdu + udp atau udp d(up) pdu, maka kita dapat menulis dw d( pu) pdu 37

376 du c u u m c u u m d o o Enegi kinetik benda menjadi u o u o du c u u m c u u m d K 0 0 u o u o du c u u m c u u m 0 0 u o o du c u u m c u u m 0 Untuk menyelesaikan integal di suku kedua kita misalkan u /c y. Lakukan difeensial pada dua sisi sehingga didapat udu/c dy atau udu - c dy/. Dengan pemisalan ini kita dapat menulis u o o y dy c m c u u m K 0 / ) / ( + u o o dy y c m c u u m 0 / [ ] u o o y c m c u u m 0 / + 373

377 u o o c u c m c u u m 0 + c m c u c m c u u m o o o + c m c u c u c m c u u m o o o + c m c u c m o o Soal dan Penyelesaian ) Sebuah patikel begeak sepanjang x dalam keangka acuan X dengan laju 0,40c. Keangka S begeak dengan laju 0,60c tehadap keangka S. Beapa laju patikel diuku dai keangka S? Dibeikan di soal u 0,40c dan v 0,60c. Laju patikel tehadap keangka S meupakan penjumlahan elativistik dua kecepatan di atas, yaitu 0,4,00 ) )(0,60 (0,40 0,60 0, c c c c c c c uv v u w 0,8c ) Sebuah patikel sina kosmis mendekati bumi sepanjang sumbu bumi menuju kutub utaa dengan laju 0,80c. Patikel sinat kosmis lain mendekati bumi sepanjang sumbu bumi menuju kutub selatan dengan laju 0,60c. Beapa laju elatif satu patikel tehadap patikel lainnya? 374

378 Kita ambil aah utaa ke selatan sebagai aah positif sehingga nilai kecepatan menjadi u +0,80c dan v -0,60c. Kecepatan elatif patikel petama tehadap patikel kedua meupakan penguangan elativistik dua kecepatan di atas, atau u v 0,80c ( 0,60c),40c w 0,95 c uv (0,80c)( 0,60c) + 0,48 c c 3) Sebuah pesawat uang angkasa yang memiliki panjang diam 350 m memiliki laju 0,8c tehadap suatu keangka acuan. Sebuah mikometeoit juga memiliki kecepatan 0,8c tehadap keangka acuan ini tetapi begeak dalam aah belawanan dengan pesawat. Ketika melintasi pesawat, beapa lama waktu yang dipelukan mikometeoit melewati pesawat tesebut? Infomasi yang dibeikan soal adalah kecepatan pesawat u 0,8c dan kecepatan mikometeoit v -0,8c. Kecepatan mikometeoit tehadap pesawat adalah w v u vu c 0,8c 0,8c ( 0,8c)(0,8c) c Atau, laju mikometeoit tehadap pesawat 0,98c,64c -0,98c + 0,674 Panjang pesawat menuut pengamat yang diam di pesawat L o 350 m. Panjang pesawat menuut pengamat di mikometeoit adalah L Lo w / c 350 (0,98c) / c 350 0, ,6 m Waktu yang dipelukan mikometeoit melewati pesawat 69,6 69,6 7 t L,4 0 8 w 0,98c 0,98 (3 0 ) s 4) Umu ata-ata muon yang dihentikan pada balok timbal di dalam laboatoium adalah, µs. Umu ata-ata muon yang begeak dengan kecepatan tinggi yang beasal dai sina kosmis ketika diamati di bumi adalah 6 µs. Beapa kecepatan muon tesebut? Infomasi yang dibeikan soal adalah T o, µs dan T 6 µs. Dengan pesamaan 375

379 dilatasi waktu kita dapat menulis atau u c u c To T (0,375), 6 0,375 0,09 atau atau u c 0,09 0,98 u 0, 98c 0,99c 5) Sebuah pion dihasilkan di pemukaan atas atmosfe bumi ketika sina kosmik benegi tinggi betumbukan dengan inti atom di pemukaan atmosfe. Pion yang dihasilkan begeak menuju bumi dengan laju 0,99c. Di dalam keaangka acuan di mana pion diam, pion tesebut meluuh dalam waktu 6 ns. Ketika diuku pada keangka acuan yang tetap tehadap bumi, beapa jauh pion begeak di atmosfe sebelum meluuh? Infomasi yang kita dapatkan dai soal adalah T o 6 ns,6 0-8 s dan u 0,99c 0,99 (3 0 8 m/s), m/s. Ketika begeak dengan laju u, umu pion menuut pengamatan di bumi betambah akibat dilatasi waktu. Umu pion menjadi T 8 8 To,6 0,6 0 u / c (0,99c) / c 0,98 8 8,6 0,6 0 7,86 0 s 0,0 0,4 Jaak tempuh pion menuut pengamat di bumi 8 7 X ut (,97 0 ) (,86 0 ) 55 m 6) Beapa hausnya laju pion aga meluuh setelah menempuh jaak 0,0 m? Umu 376

380 ata-ata pion dalam keadaan diam adalah, s. Misalkan jaak 0,0 mete tesebut yang diuku oleh pengamat yang begeak besama pion adalah L, maka L u 0,0 / c Menuut pengamatan di pion, umu pion adalah T o, s dan pion tesebut begeak dengan laju u. Dengan demikian, aga pengamat di pion mengamati pion menempuh jaak L sebelum meluuh maka L ut o, u Dengan demikian 6,60 0 u 0,0 u / c 7,60 0 u u / c 4 6,76 0 u u / c 6,76 0 6,76 0 u 6084 c 4 4 c u c (3 0 u c u 6085 c c u 0,03c u c ) u c u c 7) Sebuah pesawat yang memiliki panjang diam 30 m melewati sebuah stasion waktu dengan laju 0,740c. a) Beapa panjang pesawat menuut pengamat di stasion waktu? B) Beapa selang waktu yang diamati pengamat di stasion waktu antaa ujung depan dan ujung belakang pesawat melewati sebuah titik? 377

381 Infomasi yang ada di soal adalah u 0,740c 0,740 (3 0 8 ), 0 8 m/s dan L o 30 m a) Pengamat di stasion waktu begeak elatif tehadap pesawat. Maka panjang pesawat menuut pengamat ini adalah L Lo u / c 30 (0,740c) / c 30 0, m b) Selang waktu antaa ujung depan dan ujung belakang pesawat melewati sebuah titik menuut pengamat di stasion waktu 87 3,9 0 8, 0 7 t s L u 8) Tahun 979 Ameika mengkonsumsi enegi listik sekita, 0 kw h. Beapa massa yang ekivalen dengan enegi ini? Telebih dahulu kita ubah enegi di atas dalam satuan joule. E, 0 kw h (, 0 ) ( 000 W) (3 600 s) 7,9 0 8 J Dengan menggunakan kesetaaan massa-enegi, maka massa yang ekivalen dengan enegi di atas adalah 8 E 7,9 0 m 88 kg c 8 (3 0 ) 9) Beapa laju patikel yang memiliki (a) enegi kinetik dua kali enegi diamnya? (a) enegi total dua kali enegi diamnya? a) Enegi kinetik elekton memenuhi K m o c Ediam u / c u / c 378

382 Jadi, aga K/E diam maka / c u 3 / c u 3 / c u 9 / c u / c u atau u 9c 8/ 0,94c b) Enegi total elekton memenuhi / / c u E c u c m E diam o Jadi, aga E/E diam maka / c u / c u 4 / c u / c u atau u 4c 3/ 0,866c 0) Sebuah patikel bemassa m memiliki momentum m o c. (a) Beapakah laju patikel? (b) beapakah enegi kinetiknya? 379

383 a) Momentum patikel memenuhi c u u m p o / Aga momentum sama dengan m o c maka / c u u m c m o o atau c u c u / / / / c u c u / c u / / c u atau c u 0,7c b) Enegi kinetik patikel / ) (/ / c m c m c u c m K o o o ( ) 0,4 / c m c m c m o o o ) Jika inti uanium yang beada dalam keadaan diam pecah melalui eaksi fisi pada suatu ekato, patikel hasil pecahannya memiliki enegi kinetik 00 MeV. Beapa massa yang hilang dalam poses tesebut? Enegi kinetik yang dimiliki pecahan inti uanium beasal dai kehilangan massa dalam poses tesebut. Besa enegi yang dilepas adalah 00 MeV (,6 0-9 ) 3, 0 - J 380

384 Massa yang hilang dalam eaksi tesebut 3, 0 3, 0 8 3,6 0 8 m kg c (3 0 ) Soal-Soal ) Keangka acuah S begeak elatif tehadap keangka acuan S dengan laju 0,6c dalam aah petambahan x. Sebuah patikel di dalam keangka acuan S begeak dengan laju 0,47c tehadap keangka acuan S dalam aah petambahan x. (b) beapa kecepatan patikel tehadap keangka acuan S? (b) Beapa kecepatan patikel tehadap keangka S jika aah geak patikel adalah ke aah x negatif? ) Galaksi A dimatai begeak menjauhi galaksi kita dengan laju 0,35c. Galaksi B yang lokasinya besebeangan dengan galaksi A juga begeak menjauhi galaksi kita dengan laju yang sama. Jika diuku dai galaksi A, (a) beapa kecepatan galaksi kita? (b) beapa kecepatan galaksi B? 3) Dai hasil pengamatan pegesean spektum bintang disimpulkna bahwa quasa Q begeak menjauhi kita dengan laju 0,800c dan quasa Q dalam aah yang sama tetapi lebih dekat ke kita begeak menjauhi kita dengan laju 0,400c. Beapa laju quasa Q diuku oleh pengamat pada quasa Q? 4) Sebuah patikel enegi tinggi yang tidak stabil memasuki detekto dan meninggalkan jejak lintasan sepanjang,05 mm sebelum meluuh. Laju patikel elatif tehadap detekto adalah 0,99c. Beapakah umu patikel dalam keadaan diam? 5) Sebuah batang diletakkan sejaja sumbu x dai keangka acuan S. Panjang batang dalam keadaan diam adalah,80m. Jika batang tesebut begeak sejaja sumbu x dengan laju 0,630c, beapa panjang batang menuut pengamat di keangka acuan S? 6) Panjang sebuah pesawat uang angkasa yang sedang tebang teuku pesis setengah panjang dalam keadaan diam. Beapa laju pesawat tesebut tehadap pengamat? 7) Jika kamu menuju bintang yang jaaknya 00 tahun cahaya dai bumi dengan pesawat yang lajunya, m/s, beapa jaak tesebut yang kamu uku? 8) Misalkan kamu ingin menuju suatu bintang yang jauhnya 90 tahun cahaya. Kamu ingin menempuh pejalanan tesebut selama 5 tahun. Beapa hausnya laju pesawat kamu? 9) Sebuah elekton begeak dengan laju 0, c sepanjang sumbu tabung vakum yang panjangnya 3,00 m menuut pengamat di laboatoium yang diam besama tabung. Pengamat lain yang begeak besama elekton akan melihat tabung 38

385 begeak ke belakang dengan laju 0, c. Beapa panjang tabung menuut pegamat yang begeak ini? 0) (a) Secaa pinsip, dapatkan seseoang dai bumi tebang dan mencapai pusat galaksi yang jaaknya dai bumi tahun cahaya? Beti penjelasan menggunakan dilatasi waktu atau kontaksi Loentz (b) Beapa kecepatan pesawat yang ia tumpangi aga bisa mencapat pusat galaksi dalam waktu 30 tahun? ) Beapa keja yang dipelukan untuk meningkatkan laju elekton dai keadaan diam hingga memiliki laju (a) 0,50c, (b) 0,990c, dan (c) 0,9990c? ) Sebuah elekton begeak dengan laju sedemikian sehingga dapat mengitai bumi di khatulistiwa selama,00 s. (a) Beapa laju elekton dinyatakan dalam laju cahaya? (b) beapa eneki kinetiknya? (c) beapa pesentase kesalahan pehitungan enegi kinetik jika menggunakan umus klasik? 3) Sebuah patikel memiliki laju 0,990c tehadap suatu keangka acuan. Beapakah enegi kinetik, enegi total, dan momentum jika patikel tesebut adalah (a) elekton, (b) poton? 4) Quasa dipandang sebagai inti aktif galaksi dalam tahap awal pembentukannya. Kebanyakan quasa memancakan enegi dengan daya 0 4 W. Beapakah laju penguangan massa quasa aga dapat memancakan enegi sebesa ini? 5) Beapa momentum patikel yang memiliki massa m aga enegi totalnya sama dengan tiga kali enegi diamnya. 6) (a) Beapa enegi yang dilepaskan dai peledakan bom fisi yang memiliki 3,0 kg. Anggap bahwa 0,0% massa diubah menjadi enegi. (b) Beapa massa TNT yang haus diledakkan untuk menghasilkan enegi yang sama. Anggap tiap mol TNT menghasilkan enegi 3,4 MJ pada peledakan. 38