PRAKTIKUM ISYARAT DAN SISTEM TOPIK 1 ISYARAT DAN SISTEM A. Tujuan 1. Mahasiswa dapat mengenali jenis-jenis isyarat dasar. 2. Mahasiswa dapat merepresentasikan isyarat-isyarat dasar tersebut pada MATLAB 3. Mahasiswa dapat menghitung besarnya energi dan daya dari suatu isyarat 4. Mahasiswa dapat mengerti sifat-sifat sistem dasar dan LTI B. Dasar Teori Jenis-jenis Isyarat Dasar Isyarat Sinusoidal dan Eksponensial Isyarat sinusoidal adalah isyarat yang berbentuk sinus maupun cosinus. Isyarat ini memiliki peranan penting dalam analisa Isyarat dan Sistem. Sedangkan isyarat eksponensial adalah isyarat yang memiliki bentuk umum. Pada isyarat eksponensial kompleks, s merupakan bilangan kompleks. Bentuk umum rumus-euler ialah: Isyarat sinus maupun cosinus dapat dibentuk dengan menggunakan relasi isyarat eksponensial kompleks pada persamaan diatas. Syarat Periodisitas Isyarat sinus maupun cosinus merupakan contoh sederhana isyarat yang periodik. Isyarat periodik adalah isyarat yang berulang dalam selang waktu/sampel tertentu. Definisi ini dapat diungkapkan secara matematis sbb.: x ( t ) = x ( t + T ) untuk isyarat waktu-kontinu x [ n ] = x [ n + N ] untuk isyarat waktu-diskrit Dimana T dan N merupakan periode dasar isyarat pada waktu-kontinu dan waktu diskrit berturut-turut. 1
Cara menghitung periode dasar suatu isyarat sinusoida : Keterangan : m= 1,2,3, dst Fungsi-fungsi Dasar Berikut adalah beberapa fungsi dasar yang biasa digunakan di dalam bidang Isyarat dan Sistem: a).unit impuls Waktu kontinu: Waktu diskrit: Maksud dari keterangan diatas yaitu unit tersebut memiliki luas sebesar 1. b). Unit undak (step) Waktu kontinu: Waktu diskrit: c). Unit lereng (ramp) Waktu kontinu: Waktu diskrit: Transformasi pada variabel bebas isyarat Dalam penggunaannya di masa yang akan datang, berikut adalah beberapa transformasi pada variabel bebas isyarat (t,n,f, dsb) yang sering digunakan: a. Pergeseran waktu (shifting) Contoh: u(t-2) akan menggeser fungsi undak ke arah sumbu t positif sejauh 2 detik, sebaliknya [n+1] akan menggeser fungsi impuls 1 sampel ke arah sumbu n negatif b. Waktu balikan (time reversal) Contoh: sin(-t) diperoleh dari isyarat sin(t) dengan pemantulan pada t=0 (yaitu dengan membalikan sinyal). c. Penskalaan waktu (time-scaling) Contoh: y(kx) dengan k > 0 akan mempersempit isyarat, sedangkan jika k < 0 isyarat akan melebar. 2
Berikut contoh sinyal g(t) yang mengalami amplitudo terskala, pergeseran waktu dan penskalaan waktu: Amplitudo terskala pergeseran waktu penskalaan waktu Untuk contoh lainnya bisa dilihat di buku Oppenheim. Energi dan Daya dari Isyarat Kontinu Sebuah isyarat kontinu x(t), memiliki besar energi pada interval a t b sebesar: Energi total isyarat didefinisikan sbb.: Namun sebagian besar isyarat memiliki energi yang terbatas. Sehingga cara analisa paling mudah untuk isyarat tersebut adalah dengan menggunakan daya rata-rata isyarat pada interval a t b yang didefinisikan sbb.: Daya total isyarat didefinisikan sbb: 3
Sifat-sifat Sistem Dasar a. Sistem tanpa memori dan sistem dengan memori Sistem tanpa memori adalah sistem yang keluarannya hanya bergantung pada masukan di waktu yang sama. Contoh: y[n] = 2x[n] + 10 Sistem dengan memori adalah sistem yang keluarannya bergantung pada masukan di waktu yang sama dan masukan waktu sebelumnya. Contoh: y(t) = 5x 2 (t) - x(t-1) b. Invertibilitas Sistem invertibel jika dari keluaran sistem tersebut dapat diperoleh masukannya. Sistem lain yang digunakan untuk memperoleh masukan dari keluaran sistem sebelumnya disebut sistem inversi. Contoh: y(t) = 2x(t) dengan sistem inverse-nya ialah z(t) = y(t) / 2 c. Kausalitas Sistem kausal jika keluarannya hanya bergantung pada masukan saat sekarang dan masukan sebelumnya. Contoh: y[n] = x[n] - 5x[n-1] - 10x[n-3] Sedangkan sistem tidak kausal jika keluarannya bergantung pada masukan saat sekarang, masukan sebelumnya dan masukan yang akan datang. Contoh: y[n] = x[n-1] - 23x[n-3] + 2x[n+1] d. Stabilitas Sistem yang stabil adalah sistem yang dengan masukan yang terbatas, akan menghasilkan keluaran yang terbatas pula. Contoh: Amplifier tidak akan menghasilkan output jika tidak ada input. e. Invariasi waktu (time invariant) Sistem invarian terhadap waktu jika karakterisitiknya tetap terhadap waktu. Output dari sistem akan selalu sama jika inputnya sama kapanpun outputnya diukur. Contoh: Resistor yang diberikan arus tetap akan menghasilkan tegangan yang selalu tetap. Secara matematis invariasi waktu dari sistem dinyatakan sbb: Jika x(t) y(t) maka x(t-t 0 ) y(t-t 0 ) Jika masukan digeser sebesar t 0 maka keluaran pun akan tergeser sejauh t 0. f. Linearitas Sistem linear jika output berbanding tetap dengan input sebesar konstanta k (dalam bentuk matematis: y(t) = k x(t)), dan besarnya konstanta k ini tidak terpengaruh oleh waktu dan amplitudo input. Contoh: rangkaian resistor pembagi tegangan 4
Sebaliknya sistem tidak linear jika k merupakan fungsi waktu dan/atau amplitudo input. Contoh: rangkaian resistor dan dioda yang forward biased secara seri dengan tegangan dioda sebagai output. Besarnya tegangan dioda akan berubah terhadap amplitudo input karena adanya tegangan buka 0.7 V. Sebuah sistem yang linear harus memenuhi 2 buah sifat, yakni: 1. Homogenitas. Jika masukan sistem dikalikan dengan sebuah konstanta, maka keluaran yang dihasilkan juga dikalikan dengan konstanta yang sama 2. Additivity. Jika masukan sistem ditambahkan dengan masukan lain, maka keluarannya akan merupakan penjumlahan dari masing-masing masukan tersebut secara terpisah. Untuk sifat linearitas sistem, baca juga buku Oppenheim halaman 48-49. Sifat-sifat Sistem LTI Sistem LTI (Linear Time Invariant) adalah sistem yang memiliki dua sifat linear dan time invariant secara bersamaan. Akibatnya sistem LTI harus memenuhi syarat / memiliki sifat homogenitas dan additivity pula. Penerapan konsep additivity adalah jika masukan sebuah sistem merupakan gabungan beberapa isyarat, maka kita dapat menghitung keluaran sistem tersebut dengan menggunakan superposisi pada masing-masing isyarat masukan. (ingat konsep superposisi pada mata-kuliah Untai 1) C. Petunjuk Praktikum Cobalah setiap listing dan perintah lebih lanjut dari bagian ini sebagai persiapan dalam menjalani praktikum. Jenis-jenis Fungsi Dasar - Berikut adalah contoh fungsi untuk menampilkan fungsi impuls dalam range waktu tertentu (misal: -5:5) : function f = impuls(t) for i=1:length(t) if t(i)==0 f(i)=1; else f(i)=0; end end plot(t,f);grid on; 5
Contoh penggunaannya (tuliskan pada command-window matlab): >> f=impuls(-5:5) f = 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 Untuk menampilkan fungsi impuls dalam waktu diskrit, perintah plot (t,f) diatas dapat kita ganti dengan stem (t,f). - Berikut contoh untuk membuat unit undak (step) Untuk membuat unit undak (step function) kita bisa menggunakan fungsi heaviside t = -5 : 0.01 : 5; % range waktu f = heaviside (t); % membuat fungsi undak terhadap t plot(t,f) ; grid on ; % plot fungsi f terhadap t secara kontinu axis([-5 5-2 2]) % digunakan untuk menentukan batasan tampilan plot Coba juga program diatas dengan menggunakan t= -5 :5 dan t = -5 : 0.1 : 5 Cobalah membuat fungsi lainnya untuk menampilkan fungsi-lereng. Coba juga untuk membuat fungsi yang serupa dalam ranah diskrit. Ingat kembali bagaimana menggambarkan setiap isyarat pada MATLAB, dimana untuk isyarat waktu-kontinu gunakan plot dan untuk isyarat waktu-diskrit gunakan stem. Membuat Ekspresi Simbolik MATLAB menyediakan cara membentuk ekspresi-simbolik dari suatu isyarat tertentu. Sebagai contohnya, ekspresi-simbolik isyarat x(t)=sin(2πt/t) dapat dibuat pada MATLAB dengan cara: >> x=sym( sin(2*pi*t/t) ); Variabel dari x disini ialah t dan T. Lebih lanjut kita dapat menggambarkan ekspresi-simbolik di atas dengan menggunakan fungsi ezplot. Namun fungsi ezplot hanya memungkinkan 1 variabel yang dapat diakses saja(dalam hal ini salah satu diantara t atau T), untuk itu kita perlu mengasumsikan T=3. Langkah selanjutnya memasukan T=3 dengan cara berikut: >> x3=subs(x,3, T ); Dengan demikian x3 yang telah kita buat tersebut merupakan ekspresi-simbolik isyarat x(t)=sin(2πt/3). 6
Transformasi pada variabel bebas isyarat Cobalah listing program berikut ini : t= -5 :5 ; % range waktu f= sym ('(heaviside (t+1) - heaviside (t-1))'); % membuat isyarat u(t+1) % u(t-1) y1= compose (f,sym ('t+1')); % compose digunakan untuk mengubah % variabel bebas t dari f y2=compose(f,sym('t-2')); y3=compose(f,sym('t/3')); subplot(2,2,1);ezplot(f,t); % subplot untuk memplot gambar yg lebih dr 1 subplot(2,2,2);ezplot(y1,t); subplot(2,2,3);ezplot(y2,t); subplot(2,2,3);ezplot(y3,t); Program di atas adalah program untuk mengubah-ubah variabel bebas t menggunakan fungsi compose. Energi dan Daya dari Isyarat Kontinu Program dibawah ini digunakan untuk menghitung energi dalam selang waktu tertentu pada suatu isyarat syms t; x=sin(pi*t/7); E= int(x.*x,t,-2*pi,2*pi) %fungsi integral Program diatas digunakan untuk menghitung besar energi dalam selang waktu -2π t 2π pada isyarat sin ((π/7) t) Sifat-sifat Sistem LTI Contoh pembuktian syarat homogenitas dan additivity dengan perhitungan matematis: Untuk sistem: y(t) = 2x(t) + 3 Additivity kita definisikan x 1 (t) dan x 2 (t) sehingga: y 1 (t) = 2x 1 (t) + 3 y 2 (t) = 2x 2 (t) + 3 maka: 2(x 1 (t) + x 2 (t)) + 3 = y 1 (t) + y 2 (t) 2(x 1 (t) + x 2 (t)) + 3 = 2x 1 (t) + 3 + 2x 2 (t) + 3 2(x 1 (t) + x 2 (t)) + 3 2x 1 (t) + 2x 2 (t) + 6 Homogenitas Kita asumsikan faktor skala k, misal: k = 3 2(k x(t)) + 3 = k y(t) 2(3x(t)) + 3 = 3(2 x(t) + 3) 6 x(t) + 3 6 x(t) + 9 7
Algoritma pembuktian syarat homogenitas dan additivity pada MATLAB: - Definisikan y 1 (t) dan y 2 (t) sebagai fungsi x(t), nilai x(t) didefinisikan pada range tertentu, misal: isyarat x memiliki variabel peubah bebas dengan jangkauan t=0:0.5:20. Asumsikan x(t)=t untuk mempermudah. - Definisikan ruas-kiri dan ruas-kanan baik pada homogenitas maupun additivity, misal sama dengan kasus diatas, dimana y(t)=2x(t)+3, sehingga untuk additivity: ruas_kiri=2*(x+x)+3; dan ruas_kanan=y1+y2; - Gambarkan ruas-kiri dan ruas-kanan terhadap t pada satu buah gambar dengan warna yang berbeda (gunakan hold on, untuk warna baca help dari plot) - Jika kedua gambar berhimpit maka ruas-kiri = ruas-kanan dan syarat terpenuhi dan sebaliknya. 8