Bab Persamaan Beda dan Operasi Konvolusi

Ukuran: px

Mulai penontonan dengan halaman:

Download "Bab Persamaan Beda dan Operasi Konvolusi"

Hengki Irawan
7 tahun lalu
Tontonan:

1 Bab Persamaan Beda dan Operasi Konvolusi Oleh: Tri Budi Santoso Politeknik Elektronika Negeri Surabaya-ITS Tujuan: -Siswa mampu membedakan persamaan beda dengan persamaan diferensial -Siswa mampu menyelesaikan persmasalahan konvolusi diskrit dan menggambarkan contoh aplikasinya

2 Sub Bab: 3.1.Persamaan Beda Linear Input/Output dengan Koefisien Konstan 3.2. Penyelesaian dengan Rekursi 3.3 Representasi Konvolusi pada Sistem LTI waktu Diskrit 3.4. Studi Kasus Filter Digital

3 3.1. Persamaan Beda Linear Input/Output dengan Koefisien Konstan Pertimbangkan sistem waktu diskrit single-input single-output (SISO) dimana: y[ n] + N i= 1 a i y[ n i] i= 0 y[ n i] n = indek waktu diskrit bernilai integer x[n] = input y[n] = output Asumsi: - Koefisien-koefisien a 1, a 2, a 3,.. a N adalah konstanta - Koefieisn-koefisien b 1, b 2, b 3,.. b M adalah konstanta. - N : disebut orde atau dimensi dari sistem. = M b Persamaan (15) merupakan sistem kausal jika output y[n] pada suatu waktu n hanya tergantung pada nilai-nilai output dan input x[n] di waktu sebelumya i (15)

4 3.2. Penyelesaian dengan Rekursi Persamaan beda linear input/output dapat diselesaikan dengan prosedur numerik melalui rekursi: Tulis ulang persamaan (15) y N M [ n] = ai y[ n i] + bi x[ n i] (16) i= 1 i= 1 Tetapkan n=0 y[0]= -a 1 y[-1] - a 2 y[-2]-..- a N y[-n] + b 0 x[0] + b 1 x[-1] +..+b M x[-m] Sehingga output y[0] pada waktu 0 adalah suatu kombinasi linear pada y[-1], y[-2],. y[-n] dan x[0], x[-1], x[-m]. Tetapkan n=1 y[1]= -a 1 y[0] - a 2 y[-1]-..- a N y[-n+1] + b 0 x[1] + b 1 x[0] +..+b M x[-m+1] Sehingga y[1] adalah suatu kombinasi linear pada y[0], y[-1],. y[-n+1] dan x[1], x[0], x[-m+1]. Jika proses ini dilanjutkan, sudah jelas bahwa nilai selanjutnya pada output adalah suatu kombinasi linear pada N nilai terakhir pada output dan M+1 nilai pada input. Pada setiap step pada komputasi, diperlukan untuk menyimpan hanya N nilai akhir pada output (tentu saja ditambah nilai input). Proses ini disebut sebagai suatu rekursi orde ke-n.

5 Jika semua a i adalah nol, persamaan (15) menjadi: y [ n] = M bi x[ n i] (17) i= 0 Dalam kasus ini output pada suatu titik waktu tertentu tergantung hanya pada nilai-nilai input x[n], sehingga ouputnya tidak terkomputasi secara recursive. Sistem semacam ini disebut sistem non recursive. Perlu dicatat bahwa struktur rekursif digambarkan diatas adalah suatu hasil dimensionalitas berhingga. Jika sistem ini dimensionalitasnya tak berhingga, respon output y[n] tidak dapat dihitung secara rekursif y[ n] n = i= n i x[ i] n 1 adalah infinite dimensional. Dalam kasus ini y[n] tidak dapat diekspresikan dalam bentuk seperti persamaan (15) untuk suatu nilai N, dan selanjutnya y[n] tidak dapat dikomputasi secara rekursif.

6 Contoh 1 Pertimbangkan sebuah ssstem waktu diskrit yang diberikan persamaan beda input/ouput orde 2 seperti berikut: y[n] -1,5 y[n-1] + y[n-2] = 2x[n-2] (i) Penyelesaian: Tuliskan kembali persamaan (i) menjadi seperti berikut ini: y[n] = 1,5 y[n-1] - y[n-2] + 2x[n-2] (ii) Sekarang tunjukkan bahwa input x[n] adalah fungsi unit-step waktu diskrit u[n] dan nilai ouput awal adalah y[-2] = 2, y[-1] = 1. Kemudian tetapkan n=0 dalam persamaan (ii) memberikan: y[0] = 1,5 y[-1] - y[-2] + 2x[-2] = 1,5 (1) (2) + 2(0) = -0,5

7 Dengan n =1 dalam persamaan (ii) memberikan: y[1] = 1,5 y[0] - y[-1] + 2x[-1] = 1,5 (-0,5) (1) + 2(0) = -1,75 Lanjutkan proses ini, selajutnya akan memberikan: y[2] = 1,5 y[1] - y[0] + 2x[0] = 1,5 (-1,75) (0,5) + 2(1) = -0,125 y[3] = 1,5 y[2] - y[1] + 2x[1] = 1,5 (-0,125) -(-1,75) + 2(1) = 3,5625 demikian seterusnya.

8 3. 3. Representasi Konvolusi pada Sistem LTI waktu Diskrit Pertimbangkan sistem waktu diskrit single-input single-output (SISO) dengan input x[n] dan output y[n]. Disini diasumsikan bahwa respon output dihasilkan dari input x[n] tanpa energi awal dalam sistem diprioritaskan untuk aplikasi dari x[n]. Juga diasumsikan bahwa sistem bersifat kausal, linear dan time invariant

9 Respon Unit Pulsa Pangil kembali δ[0] = 1 dan δ[n] = 0 untuk semua nilai n bukan nol. Respon h[n] disebut respon unit pulsa pada sistem. Catatan bahwa dengan δ[n] = -1, -2, dengan kausalitas respon unit-pulsa h[n] harus nol untuk semua integer n<0 Input = δ[n] Output = h[n] 0 n Sistem 0 n Gambar 3.1. Pembangkitan pada respon unit pulsa

10 Contoh 2 Pertimbangkan suatu sistem waktu diskrit finite dimensional yang diberikan dengan persamaan beda input/output: y[n] + ay[n-1] = bx[n] dimana a dan b adalah konstanta yang. Berikan gambaran respon sistem jika input adalah unit pulsa. Penyelesaian: Respon unit pulsa pada sistem ini dapat dikomputasi dengan menyelesaikan persamaan (3-70) dengan kondisi awal y[-1] = 0 dan input x[n]=d[n]. Dari pembicaraan bab 2.3, penyelesaian untuk (3-70) dapat diekspresikan dalam bentuk: y n n i [ n] = ( a) bδ[ i= 0 i]

11 Konvolusi pada Sinyal Waktu Diskrit Dua sinyal diskrit x[n] dan v[n], bentuk konvolusi kedua sinyal x[ n]* v[ n] = x[ i] v[ n i] = i Jika x[n] dan v[n] memiliki nilai 0 untuk semua integer pada n<0, maka: x[ n]* v[ n] 0 = n i= 0 x[ i] v[ n i], n, n = 1, 2,... = 0,1,2,...

12 Mekanisme Konvolusi Pada Sinyal Diskrit Contoh penghitung konvolusi pada dua deret nilai integer berikut ini. Sinyal pertama: x[i]= Sinyal kedua: v[i]= Step pertama adalah pembalikan sinyal kedua, v[n] sehingga didapatan kondisi seperti berikut: Sinyal pertama: x[i] = Sinyal kedua: v[-i] = Step ke dua adalah pergeseran dan penjumlahan Sinyal pertama: Sinyal kedua: x product and sum: =2 Step ke tiga adalah pergeseran satu step dan penjumlahan Sinyal pertama: Sinyal kedua: x product and sum: =5

13 Step ke empat adalah pergeseran satu step dan penjumlahan Sinyal pertama: Sinyal kedua: x product and sum: =11 Step ke lima adalah pergeseran satu step dan penjumlahan Sinyal pertama: Sinyal kedua: x product and sum: = 9 Step ke enam adalah pergeseran satu step dan penjumlahan Sinyal pertama: Sinyal kedua: x product and sum: = 9

14 Step ke tujuh adalah pergeseran satu step dan penjumlahan Sinyal pertama: Sinyal kedua: x product and sum: = 0 Dari hasil product and sum tersebut hasilnya dapat dilihat dalam bentuk deret sebagai berikut: %File Name: contoh_konvolusi.m x= [1 2 3] ; v= [2 1 3]; xv=conv(x,v); stem(xv)

15 Gambar 3.2. Mekanisme konvolusi

16 Contoh 3 Berikan gambaran hasil konvolusi dua sinyal persegi x[n] = dengan v[n]= Penyelesaian: Dengan langkah yang sama dengan cara yang telah diberikan di atas, kita manfaatkan perangkat lunak Matlab, dan hasilnya seperti Gambar 3.3 berikut ini. %File Name: contoh_konvolusi_2.m p=[ones(1,10) zeros(1,5)]; x=p; v=p; y=conv(x,v); subplot(3,1,1) stem(x) ylabel('x[n]') subplot(3,1,2) stem(v) ylabel('v[n]') subplot(3,1,3) stem(y) xlabel('n') ylabel('x[n]*v[n]')

17 Gambar 3.3 Hasil konvolusi pada contoh 3

18 3.4. Studi Kasus Proses Pemfilteran Pada Sinyal Ber-nois Perhatikan kasus pemfilteran secara digital pada sebuah sinyal ber-noise berikut ini

19 Kita coba melakukan pemfilteran dengan menggunakan sebuah filter FIR Sebuah finite impulse respon filter (filter FIR) memiliki hubungan input dan output dalam domain waktu diskrit sebagai berikut: y M [] n = b [ ] = [][ ] k x n k h k x n k k = 0 M k = 0 dimana: -{bk} = koefisien feed forward - banyaknya (total koefisien) L = M M ditetapkan sebagai orde filter FIR

20 b 0 x[n] y[n] z -1 b z -1 b M

21 Pemfilteran Koefisien-koefisien bn dalam hal ini bernilai: Disini kita gunakan 17 koefisien, atau orde filter = 17 Misalnya input berupa sinyal sinus bernois, maka dengan melakukan operasi konvolusi proses pemfilteran dapat kita lakukan.

22 Pada kasus ini kita gunakan simulasi Matlab seperti berikut: %File Name: konvolusi_01.m clear all; T=1000; LPF_01=fir1(16,0.2,'low') t=1/t:1/t:1; y=sin(2*pi*t); tt=length(y); nois=0.2*randn(1,tt); y_n = y + nois; subplot(2,1,1); plot(t,y_n,'linewidth',2) axis([ ]) xlabel('waktu (dt)') grid on %pemfilteran y_filter=conv(y_n,lpf_01); subplot(2,1,2); t_yfil=length(y_filter); t=1/t:1/t:t_yfil/t; plot(t,y_filter,'linewidth',2) axis([ ]) xlabel('waktu (dt)') grid on

23 Hasilnya

24 Penjelasan. Dari gambaran proses pemfilteran di atas dapat dilihat bahwa setelah proses konvolusi sinyal bernois akan mengalami perubahan bentuk menjadi lebih mendekati bentuk sinyal sinus. Dengan demikian dapat dikatakan bahwa konvolusi dapat digunakan pada proses pemfilteran

dokumen-dokumen yang mirip

BAB III SINYAL DAN SISTEM WAKTU DISKRIT

BAB III SINYAL DAN SISTEM WAKTU DISKRIT BAB III SINYAL DAN SISTEM WAKTU DISKRIT A. Pengertian Sinyal Waktu Diskrit Sinyal waktu diskrit merupakan fungsi dari variabel bebas yaitu waktu yang mana nilai