Ikhtisar Sinyal dan Sistem Linier

Transkripsi

1 Ikhtisar Sinyal dan Sistem Linier Waktu Kontinu dan Waktu Diskrit Oleh: Armein Z R Langi dan Erwin Cahyadi Kelompok Riset dan Teknologi Pemrosesan Sinyal Digital Kelompok Keilmuan Teknologi Informasi Sekolah Teknik Elektro dan Informatika Institut Teknologi Bandung Edisi Pertama Penerbit: Pusat Penelitian Teknologi Informasi dan Komunikasi (PPTIK) Institut Teknologi Bandung

2 Ikhtisar Sinyal dan Sistem Linier Waktu Kontinu dan Waktu Diskrit Edisi I 202 Oleh Armein Z. R. Langi dan Erwin Cahyadi Diterbitkan Oleh: Pusat Penelitian Teknologi Informasi dan Komunikasi (PPTIK) Institut Teknologi Bandung Jalan Ganeca 0 Bandung, Jawa Barat, Indonesia ISBN

3 Contents Sinyal dan Sistem. Tinjauan Sinyal Sistem Konteks dan Latar Belakang Ringkasan Konsep Sinyal dan Sistem Jenis Sinyal Sinyal Waktu Kontinu dan Waktu Diskrit Transformasi Waktu Sinyal Sinyal Periodik Sinyal Genap dan Ganjil Sinyal Sinusoidal dan Sinyal Eksponensial Sinusoidal Eksponensial Kompleks Sinyal Primitif dan Superposisinya Sinyal Primitif Sinyal Superposisi dari Sinyal Primitif Sinyal Superposisi Eksponensial Kompleks Sinyal Superposisi Eksponensial Kompleks Terhubung Harmonis Sistem CT dan DT Berbagai Jenis Sistem Sistem Dengan dan Tanpa Memori Kausalitas dan Stabilitas Linieritas dan Time Invariance Penutup Soal-Soal Latihan Laboratorium Komputer Sistem Linear Time-Invariant Sistem LTI, Respons Impulse dan Konvolusi Sifat Dasar Sistem LTI dan Simulasi Komputer Konvolusi Representasi Sinyal Menggunakan Konvolusi Impuls Representasi Sistem LTI Dengan Konvolusi Respons Impuls Respons Sistem Dengan Konvolusi Respons Impuls Respons Sistem LTI CT Respons Sistem LTI DT Respons Step Kasus Mencari Input dari Output Sifat-Sifat Sistem LTI Kausalitas Stabilitas Kasus Kausalitas, Stabilitas dan Periodisitas

4 Contents Memori LCCDE Persamaan Diferensial Koefisen Konstan Simulasi LCCDE Solusi Persamaan LCCDE Simulasi Solusi LCCDE Penerapan Pada Sistem LCCDE Formulasi Sistem LCCDE Aplikasi Pada Sistem LCCDE CT Aplikasi Pada Sistem LCCDE DT Simulasi Solusi LCCDE DT Tutorial Solusi LCCDE Kasus Orde CT Kasus Orde DT Kasus Menghitung Respons Impuls Kasus Solusi Partikular Tidak Independen Penutup Fourier Series Untuk Sinyal Periodik Eigenfunctions: Respon sistem LTI pada sinyal kompleks eksponensial Konsep eigenfunction dan eigenvalue Sinyal kompleks eksponensial adalah eigenfunction dari sistem LTI CT Sinyal kompleks eksponensial adalah eigenfunction dari sistem LTI DT Kombinasi linear sinyal kompleks eksponensial Representasi Deret Fourier pada sinyal CT Kombinasi linear dari sinyal kompleks eksponensial terhubung harmonik Menentukan representasi deret Fourier pada sinyal periodik CT Kasus: Menghitung deret Fourier dari sinyal kotak Konvergensi Deret Fourier Sifat-Sifat Deret Fourier CT Linearitas, Time Shifting, Time Reversal Time Scaling, Multiplication, Konjugasi dan Simetri Konjugat Relasi Parseval untuk Sinyal Periodik Waktu kontinu Contoh Soal Deret Fourier untuk sinyal DT dan sifat-sifatnya Kombinasi linear dari sinyal kompleks eksponensial terhubung harmonik Menentukan representasi deret Fourier pada sinyal periodik DT Sifat Deret Fourier DT Contoh Soal Sistem LTI dan Filter Sistem LTI dan Respon Frekuensi Contoh Soal Sistem LTI Filter Frekuensi Shaping Filter Selektif Frekuensi Contoh Filter CT dan DT LCCDE untuk sinyal periodik Filter RC Lowpass CT

5 Contents Filter RC Highpass CT Filter DT rekursif orde Filter DT non-rekursif Penutup Transformasi Fourier Waktu Kontinu Transformasi Fourier Untuk Sinyal CT Aperiodik Definisi dan Tinjauan Umum Definisi Konvergensi Beberapa Contoh Kasus Aperiodik Ekstensi Deret Fourier Untuk Sinyal Aperiodik Transformasi Fourier Sinyal Periodik Sifat Transformasi Fourier Daftar Sifat-Sifat Kasus-Kasus Dasar Linearitas dan Time Shifting Diferensiasi dan Integrasi Time Scaling Dualitas Domain Waktu dan Domain Fourier Relasi Parseval Konvolusi Multiplikasi Sistem LCCDE di Domain Transformasi Fourier Respons Frekuensi Contoh Orde Satu Contoh Orde Dua Contoh Menghitung Output Dengan TF Penutup Soal Tambahan DT Fourier Transform Transformasi Fourier untuk Sinyal DT Aperiodik Tinjauan dan Definisi Definisi Konvergensi Beberapa Contoh Kasus Aperiodik Eksistensi Deret Fourier untuk Sinyal Aperiodik Transformasi Fourier Sinyal Periodik Sifat Transformasi Fourier dan Pasangan Transformasi Daftar Sifat-Sifat Kasus Dasar Sifat Konvolusi Sifat Multiplikasi Sistem LCCDE di Domain Transformasi Fourier Respons Frekuensi Contoh Orde Satu Contoh Orde Dua Contoh Menghitung Output Dengan TF Penutup

6 Contents 6 Filter dan Karakterisasi Waktu-Frekuensi 4 6. Representasi Respons Magnituda dan Phasa, dan Pengaruhnya Pada Integritas Sinyal di Domain Waktu Makna Respons Magnituda dan Fasa Fasa Linier Group Delay Filter Ideal dan Filter Praktis Kasus Ideal Kasus Tidak Ideal Log Magnitude dan Bode Plots Sifat Waktu-Frekuensi Filter LCCDE CT Magnituda CT Orde Satu Fasa CT Orde Satu Magnituda Orde Dua CT Fasa CT Orde Dua LCCDE CT Orde Tinggi dan DT orde rendah CT Orde Tinggi Contoh Kasus DT Orde Satu DT Orde Dua Soal Tambahan Penutup Sampling Representasi Sinyal CT dengan DT Sampling Impulse Train Sampling dengan Zero-Order Hold Rekonstruksi sinyal dari sampel-sampelnya menggunakan interpolasi Contoh Soal Aliasing Teorema Sampling Undersampling Contoh Soal Contoh Soal Pemrosesan Sinyal CT dengan Sistem DT Konversi C/D, Konversi D/C Hubungan Sistem Waktu Diskrit Dengan Sistem Waktu Kontinu Diferensiator Digital Delay Setengah Sampel Penutup Transformasi Laplace Definisi Transformasi Laplace dan Konvergensinya Definisi dan Hubungan Dengan FT Region of Covergence Kasus Rasional Sifat RoC Transformasi Laplace Sifat-Sifat dan Pasangan Transformasi Sifat-sifat Dasar Aplikasi Dasar

7 Contents Pasangan Transformasi Aplikasi Dasar Inversi dan Partial Fraction Inversi untuk Kasus Rasional Partial Fraction Pole-Zero dan Evaluasi Geometri Transformasi Fourier Kasus Orde Satu, Dua, dan Allpass Analisa Sistem LTI dan LCCDE Fungsi Sistem dan Kausalitas Stabilitas Fungsi Sistem LCCDE Relasi Sifat Sistem dan Fungsi Sistem Filter Butterworth Sifat Respons Frekuensi Poles Fungsi Sistem Persamaan LCCDE Diagram Blok dan Transformasi Satu Sisi Sistem Paralel, Seri, dan Umpan Balik Diagram Blok dari LCCDE Transformasi Laplace Satu Sisi Penerapan ULT Pada sistem LCCDE Penutup Transformasi z Definisi dan Konvergensi Transformasi z Definisi dan Hubungan dengan Fourier Transform Region of Convergence Sifat-Sifat ROC Transformasi z Rasional Inversi dan Partial Fraction Inversi Transformasi z Pole-Zero Ekspansi Partial Fraction Evaluasi Geometri Kasus Orde Satu, Orde Dua Kasus Orde Satu Kasus Orde Dua Sifat-Sifat dan Pasangan Transformasi z Sifat-Sifat Dasar Aplikasi Sifat Dasar Aplikasi Sifat Dasar Pasangan Transformasi z Analisa Sistem LTI dan Sistem LCCDE Fungsi sistem dan Kausalitas Stabilitas Fungsi Sistem LCCDE Relasi Sifat Sistem dan Fungsi Sistem Fungsi Sistem Aljabar dan Block Diagram Fungsi Sistem untuk Interkoneksi dari Sistem LTI Sistem Paralel dan Sistem Cascade

8 Contents Diagram Blok LCCDE Direct Form Realisasi Direct Form, Sistem Paralel, dan Sistem Cascade Transformasi z Satu Sisi Definisi transformasi z satu sisi Contoh transformasi z satu sisi dan inversinya Sifat Transformasi z Satu Sisi Aplikasi transformasi z satu sisi Penutup

9 Kata Pengantar Buku ini adalah ikhtisar dan saduran bebas dari buku Signals & Systems (Second Edition) karangan Alan V. Oppenheim dan Alan S. Willsky (dengan S. Hamid Nawab). Buku teks tersebut digunakan dalam kuliah II 2094 Sinyal dan Sistem, pada program studi Sistem dan Teknologi Informasi (STI), di Sekolah Teknik Elektro dan Informatika Institut Teknologi Bandung (STEI-ITB). Meskipun buku tersebut sudah cukup lengkap dengan penyajian yang cukup sederhana, akan tetapi masih diperlukan catatan kuliah dengan materi yang lebih selektif, mengingat matakuliah tersebut diberikan pada mahasiswa tingkat kedua. Secara khusus, beberapa hasil riset penulis seperti SignalSheet digunakan juga untuk memperkaya buku ini. SignalSheet adalah platform spreadsheet untuk pengelolaan sinyal digital. SignalSheet digunakan pada Bab dan Bab 2, dan tidak terdapat pada buku teks tersebut di atas. Oleh sebab itu, buku ini ditulis dengan maksud untuk menjadi pengganti catatan kuliah dari peserta. Dengan adanya buku ini, maka peserta kuliah tidak perlu banyak mencatat lagi, dan bisa berkonsentrasi pada penjelasan dalam kelas. Buku ini juga berguna bagi pengajar kuliah ini, karena materi yang hendak disampaikan dalam kelas sudah dirangkum dalam buku ini. Buku ini disusun sesuai dengan tujuan pembelajaran Kuliah II Penulis sengaja menyusun buku ini dengan struktur yang sesuai dengan struktur perkuliahan II Kuliah tersebut didesain untuk satu semester (5 minggu, termasuk dua UTS) dengan beban 3 SKS. Maka materi buku ini didesain sesuai rencana pembelajaran, yang bisa di lihat pada lampiran. Buku ini tidak dimaksudkan untuk menggantikan buku teks tersebut di atas. Buku ini dibuat sebagai pelengkap buku teks tersebut, dengan tujuan utama untuk memudahkan perkuliahan. Oleh sebab itu penulis tetap menggunakan struktur, notasi, contoh soal, serta ilustrasi yang ada dalam buku teks tersebut dengan modifikasi minimal. Ini dimaksudkan untuk menghindari kebingungan yang tidak perlu. Namun demikian, buku ini tetap memiliki kekhasan sebagai sebuah ikhtisar dengan struktur materi yang disesuaikan dengan rencana perkuliahan. Penulis juga memanfaatkan materi tambahan dari MIT Opencourseware dan Signals and Systems (Hwei P Hsu). Penulis berterimakasih kepada kolega pengajar Sinyal dan Sistem yang telah mendorong penulisan buku ini. Penulisan buku ini dilakukan bersama dengan Erwin Cahyadi, yang merupakan asisten tetap pada mata kuliah II Bab 3, 5, 7, dan 9 ditulis oleh Erwin Cahyadi. Harapan penulis buku ini dapat bermanfaat bagi peserta serta pengajar kuliah Sinyal dan Sistem Linier. Bandung 6 April 202 Armein Z R Langi dan Erwin Cahyadi 9

10 Contents Dedikasi: For students: Stay hungry, stay foolish (Steve Jobs) 0

11 Sinyal dan Sistem. Tinjauan Sinyal Sistem.. Konteks dan Latar Belakang Sinyal dan sistem perlu dipahami dalam tiga konteks realitas: (i) realitas yang di alami pancaindera, (ii) realitas yang dituangkan dalam bahasa, dan (iii) realitas yang dibangun di dunia maya (realitas digital) seperti diperlihatkan pada Gambar.. Ada dua elemen dalam memahami realitas: (i) stimulus dan (ii) entitas penghasil stimulus. Stimulus ini dimodelkan sebagai sinyal, dan entitas dimodelkan sebagai sistem. Dalam realitas yang dialami pancaindera (realitas alamiah), stimulus harus memiliki tingkat energi minimal tertentu untuk bisa dideteksi indera. Stimulus dengan tingkat energi rendah dapat dilalukan pada entitas (sistem/instrumen) yang memperkuat energi stimulus sehingga dapat terdeteksi indera. Untuk memfasilitas pemahaman manusia tentang realitas, trerdapat realitas yang dideskripsikan ke dalam bahasa. Di dalam realitas yang berada dalam pikiran manusia ini, stimulus menjadi peristiwa (event). Selanjutnya entitas menjadi sistem dengan perubahan keadaan yang menghasilkan peristiwa tersebut. Realitas bahasa yang lebih khusus menggunakan logika, matematika dan pemodelan. Pemodelan dapat diterima apabila prediksi perilakunya dapat dikonfirmasi pada realitas alamiah. Berbekal realitas alamiah dan realitas bahasa (khususnya model matematis), kita dapat membangun realitas maya berbasis komputasi. Realitas ini merupakan hibrid dari realitas alamiah dan bahasa. Komputer (hardware) adalah instrumen yang berada pada realitas alamiah, tapi perilakunya ditentukan program (software) yang adalah sistem di realitas bahasa. Tujuan akhir dari kuliah sinyal sistem adalah membekali peserta dengan pengetahuan dan kemampuan untuk dapat membangun realitas baru (alamiah, bahasa, dan maya) untuk meningkatkan kualitas hidup manusia...2 Ringkasan Konsep Sinyal dan Sistem Tabel. meringkas konsep sinyal dan sistem. Konsep sinyal dari sistem dibangun dari berbagai persepektif, seperti perspektif fisik (alamiah), bahasa, visual 2D, matematika (real, kompleks), dan instrumen komputer. Sinyal adalah model dari besaran fisik yang berubah terhadap waktu. Besaran ini bisa dideteksi dengan alat ukur apabila ia memiliki cukup energi E. Agar dinamika sumber sinyal bisa diamati, maka sinyal perlu merambat, menembus medium (yakni sistem), untuk tiba di tempat pengamat. Namun medium seringkali bersifat resistif, mengambil energi panas dari sinyal, sehingga tidak banyak lagi energi yang tersisa untuk diamati di tempat penerima. Sifat peredaman medium ternyata bergantung dari sebuah besaran yang disebut frekuensi. Setiap sinyal memiliki karakteristik frekuensi. Bisa dikatakan energi dari sinyal dibawa secara efektif oleh komponen berfrekuensi tertentu. Setiap medium juga memiliki karakteristik frekuensi, yang disebut respons frekuensi (frequency response) dari

12 Sinyal dan Sistem Gambar.: Konteks sinyal dan sistem dalam tiga realitas 2

13 Sinyal dan Sistem Tabel.: Ringkasan Sinyal dan sistem Realitas Dunia Energi Kontinu Dunia Bahasa Diskrit Dunia Maya Digital Elemen Stimulus Entitas Event Entitas Data Proses Komputasi Fisik Energi (berubah) Pengubah Energi Peristiwa Keadaan / State / Penyebab Peristiwa Data Bit + Jaringan Prosesor + Algorima + Memori Bahasa Sinyal Sistem Sinyal Sistem Sinyal Sistem Visual 2D Matematika Fungsi Persamaan Deret s [n] Persamaan Bilangan Algoritma (Real) kontinu s (t) I/O + Differential Equations I/O + Difference Equations {, 3, 2, 7,...} Matematika (Real- Kompleks) Fourier CT Fourier CT Fourier DT Fourier DT DFT/FFT DFT/FFT Filter / Goertzel Matematika Laplace Laplace Z Z (Kompleks) Instrumen (Elektro/nik, Komputer) Microphone, Camera Filter Analog; Converters; Modem Filter Digital; Samplers; Modem Network, Terminal Computers, DSP, Gadgets 3

14 Sinyal dan Sistem Gambar.2: Kategori jenis sinyal. medium ini. Kecocokan antara karakteristik frekuensi sinyal dan respon frekuensi medium menentukan apakah sinyal berhasil merambat untuk tiba di pengamat dengan energi yang cukup untuk diukur atau tidak. Sifat medium yang menapis atau melalukan sinyal berdasarkan karakteristik frekuensi disebut filter. Dengan hadirnya komputer, yang merupakan teknologi digital, maka sinyal dapat direpresentasikan sebagai data komputer. Sinyal yang berupa data komputer ini disebut sinyal digital. Sebuah alat yang disebut analog to digital converter (ADC) dapat mengubah sinyal analog menjadi sinyal digital. Karakteristik utama sinyal digital adalah varibel independen dari sinyal digital tidak lagi waktu kontinu, melainkan waktu diskrit (discrete time). Sinyal digital juga merambat secara digital melalui sistem komputer dan jaringan data. Sistem digital ini menjadi medium bagi sinyal digital, dan juga memiliki karakteristik frekuensi. Sehingga medium digital ini adalah juga filter, tepatnya filter digital...3 Jenis Sinyal Sinyal dapat dikategorikan ke dalam berbagai jenis, seperti diperlihatkan pada Gambar Sinyal Waktu Kontinu dan Waktu Diskrit Secara umum sinyal analog dimodelkan sebagai besaran x(t), yaitu besaran yang berubah terhadap waktu kontinu t. Sedangkan sinyal digital dimodelkan sebagai x[n], yaitu besaran yang berubah terahap indeks (waktu) diskrit n. Arus listrik misalnya sebagai besar muatan listrik yang bergerak dalam satuan waktu (i(t) = d dtq(t) Ampere) membawa energi, sehingga bisa diukur. Bila arus sebesar ini menembus sebuah entitas hambatan (resistor) sebesar R ohm, maka dalam durasi waktu[t, t 2 ] resistor ini mendisipasi energi sebesar E = ˆ t2 t i 2 (t)rdt (.) Resistor ini dimodelkan sebagai sistem yang mengubah kandungan energi dari sinyal i(t). Besaran listrik lain yang umum dikenal adalah tegangan listrik (v(t) = i(t)r). Kita dapat mendefinisikan daya listrik sebagai P (t) = v(t)i(t). Bagi kasus beban resistif, energi yang dibawa arus listrik adalah 4

15 Sinyal dan Sistem E = ˆ t2 ˆ t2 ˆ t2 t R v2 (t)dt = v(t)i(t)dt = P (t)dt (.2) t t Dalam konteks ini, baik arus listrik (i(t)) maupun tegangan listrik (v(t)) dipandang sebagai sinyal yang membawa informasi mengenai sumber dari energi yang dibawanya. Dinamika berubahnya sinyal terhadap waktu mencerminkan dinamika sumber dari sinyal itu. Perhatikan bahwa bila resistor bernilai Ohm, maka energi yang didisipasi adalah dengan daya E = ˆ t2 t v 2 (t)dt (.3) P = ˆ t2 v 2 (t)dt (.4) t 2 t t Sinyal listrik seperti v(t) dan i(t) adalah besaran dengan variabel independen waktu yang kontinu (continuous time). Sinyal ini dapat digambarkan seperti gelombang, di mana semakin kuat sinyal ini semakin besar gelombangnya. Besar energi yang dibawa sinyal dicerminkan oleh besar gelombang. Sinyal gelombang yang berubah terhadap waktu yang kontinu ini disebut sinyal analog. Sinyal analog disebut membawa energi sebesar dengan daya E = ˆ t2 t x 2 (t)dt (.5) P = ˆ t2 x 2 (t)dt (.6) t 2 t t Dengan meminjam analogi yang sama, energi yang dibawa sebuah sinyal digital selama durasi indeks waktu [n, n 2 ] didefinisikan sebagai dengan daya E = n 2 n=n x 2 [n] (.7) P = n 2 n + n 2 n=n x 2 [n] (.8) Dalam praktek dikenal besaran root mean square (rms) untuk sinyal x(t) dalam durasi waktu[t, t 2 ] dengan definisi ˆ t2 x rms x(t) 2 dt (.9) t 2 t t dan untuk besaran digital dalam durasi indeks [, N] x rms = N x[n] 2 (.0) N n= 5

16 Sinyal dan Sistem Kasus: Cari x rms dari x(t) = a cos(ωt) Jawab: Karena x(t) 2 = a 2 cos 2 (ωt) = a 2 ( cos (2ωt)), maka x rms = a/ 2. Perhatikan bahwa untuk sinyal baik analog maupun digital berlaku P = x 2 rms (.) Untuk bisa memahami bagaimana filter bekerja yakni meredam atau memperkuat energi sinyal dalam medium kita perlu mendefinisikan dahulu karakteristik frekuensi dari sinyal, baik sinyal analog maupun sinyal digital. Konsep frekuensi dapat didekati melalui fenomena periodisitas..2 Transformasi Waktu Sinyal.2. Sinyal Periodik Karena medium cenderung menyerap energi sinyal, maka sinyal yang berhasil diamati biasanya sinyal memiliki kemampuan men-sustain energi dalam durasi yang cukup lama. Karena kapasitas sumber energi itu sendiri cukup terbatas, maka strategi yang dipilih adalah mengulang-ulang pengiriman energi secara berkala. Sinyal bentuk ini bersifat periodik. Sinyal analog disebut periodik bila ada sebuah konstanta T (yang disebut periode dasar atau fundamental) sehingga untuk < t < berlaku x(t + T ) = x(t) (.2) Sinyal digital disebut periodik bila ada konstanta N (yang disebut periode dasar atau fundamental) sehingga untuk < n < berlaku x([n + N] = x[n] (.3) Sinyal periodik memiliki energi tak terhingga karena durasi sinyal yang tak terhingga. Namun demikian sinyal ini dapat memiliki daya terbatas, yakni dan P = T ˆ T 0 x 2 (t)dt = x 2 rms (.4) P = N Jadi sinyal periodik adalah sinyal daya..2.2 Sinyal Genap dan Ganjil N n=0 x 2 [n] = x 2 rms (.5) Sinyal simetri adalah sinyal yang memiliki besaran yang serupa menurut cerminan waktu. Ada dua jenis sinyal simetri: sinyal ganjil dan sinyal genap. Sebuah sinyal CT disebut ganjil bila untuk semua t dan pada kasus DT untuk semua n x (t) = x ( t) (.6) 6

17 Sinyal dan Sistem x [n] = x [ n] (.7) Sinyal CT dan DT yang bersimetri genap masing-masing memenuhi persamaan (untuk semua t dan n) x (t) = x ( t) (.8) x [n] = x [ n] (.9) Sebuah sinyal x (t) dapat diuraikan menjadi dua sinyal ganjil x o (t) dan genap x e (t) menurut x o (t) = [x (t) x ( t)] (.20) 2 x e (t) = [x (t) + x ( t)] (.2) 2 Perhatikan bahwa x o (t) ganjil karena memenuhi Persamaan (.6). Selanjutnya x e (t) genap karena memenuhi Persamaan (.8). Kemudian dengan mudah diperlihatkan x (t) = x o (t) + x e (t) (.22) Dengan cara yang sama sinyal x [n] selalu dapat diuraikan menjadi dua sinyal ganjil x o [n] dan genap x e [n]..2.3 Sinyal Sinusoidal dan Sinyal Eksponensial.2.3. Sinusoidal Sinyal periodik yang banyak dikenal orang adalah sinyal sinusoidal, seperti untuk kasus sinyal analog x(t) = A cos (ωt + θ) = A cos (2πft + θ) (.23) dimana A, ω = 2πf dan θ adalah bilangan nyata (real). Sinyal ini periodik dengan periode T = /f. Periode ini menjadi panjang gelombang. Besaran ω dan f masing-masing dikenal sebagai frekuensi sinyal sinusoidal dalam radian dan dalam Hertz. Besaran θ sering disebut fase dari sinyal sinusoid. Besaran A disebut amplituda. Latihan: Buktikan bila T = /f, x(t) pada Pers. (.23) periodik. Bukti: x(t + T ) = A cos (2πf(t + T ) + θ) = A cos (2πft + 2πfT + θ) Bila T = /f, maka x(t + T ) = A cos (2πft + 2π + θ) = A cos (2πft + θ) = x(t) Sinyal digital juga mengenal bentuk sinuosidal x[n] = A cos (ωn + θ) = A cos (2πfn + θ) (.24) namun sinyal ini tidak selalu periodik. Sinyal ini hanya periodik dengan periode N bila f = k N adalah pecahan yang sudah disederhanakan. 7

18 Sinyal dan Sistem Latihan Buktikan bila f = k N adalah pecahan yang sudah disederhanakan, maka x[n] pada Pers. (.24) periodik dengan periode N. Bukti: x[n + N] = A cos ( 2π k N (n + N) + θ) = A cos ( 2π k N n + 2πk + θ) Karena f = k N, maka x[n + N] = A cos ( 2π k N n + θ) = A cos (2πft + θ) = x[n] Frekuensi dari sinyal sinusoidal digital memiliki sifat periodik. Sinyal dengan frekuensi ω dan ω 2 = ω + 2πk (k = 2,, 0,, 2, ) adalah identik. Jadi sinyal sinusoidal dengan frekuensi yang unik adalah sinyal sinuosidal yang memiliki frekuensi π < ω < π. Sinyal sinusoidal pada frekuensi ω 2 di luar interval ini merupakan alias (identik) dengan ω di mana π < ω < π dan ω 2 = ω + 2πk. Latihan: Buktikan x [n] = A cos (ωn + θ) identik dengan x 2 [n] = A cos ((ω + 2πk)n + θ) Bukti: x 2 [n] = A cos ((ω + 2πk)n + θ) = A cos (ωn + 2πkn + θ) sehingga x 2 [n] = A cos (ωn + θ) = x [n] Sebagai sinyal periodik, energi sinyal sinusoidal tak terhingga. Daya sinyal sinusoidal adalah P = T ˆ T 0 A 2 cos 2 (ωt + θ)dt (.25) P = A 2 /2 (.26) Hasil yang sama diperoleh juga untuk sinusoidal digital periodik. Dapat disimpulkan, besar daya dari sinyal sinusoidal diperlihatkan oleh besar amplituda. Semakin besar amplituda sinusoidal maka semakin besar x rms secara proporsional, dan semakin besar daya secara kuadratik. Melalui sinyal sinusoidal kita mengenal frekuensi (ω atau f). Frekuensi dari sinyal sinusoidal berhubungan erat dengan periodisitas. Bagi sinyal sinusoidal analog, frekuensi adalah jumlah osilasi gelombang per satuan waktu. Frekuensi berbanding terbalik dengan periode. Bagi sinyal sinusoidal digital, adanya frekuensi tidak otomatis berarti periodik. Kemudian sinyal sinusoidal yang unik hanya terbatas pada frekuensi π < ω < π. Dan setiap sinyal sinusoidal membawa daya (atau energi rata-rata) yang besarnya berbanding lurus dengan kuadrat amplituda. Setiap sinyal sinusoidal membawa nilai RMS berbanding lurus dengan amplituda Eksponensial Kompleks Sinyal periodik yang sangat penting adalah sinyal eksponensial kompleks (complex exponential). Kita dapat mendefinisikan sebuah fungsi kompleks eksponensial menggunakan fungsi sinusoidal menurut identitas Euler: e jx = cos x + j sin x Sebuah sinyal kompleks eksponensial analog dan digita masing-masing memiliki bentuk x(t) = ce jωt ; x[n] = ce jωn (.27) 8

19 Sinyal dan Sistem Sinyal eksponensial kompleks ini memiliki frekuensi ω dan amplituda kompleks c. Karena identitas Euler mengatakan bahwa e jx = cos x + j sin x, maka dengan mudah diperlihatkan bahwa semua sifat-sifat sinyal sinusoidal di atas periodisitas, frekuensi, dan daya dapat berlaku pada sinyal eksponensial kompleks. Periode dari sinyal ini sama dengan periode dari sinusoidal. Daya dari sinyal ini adalah P = c 2 (.28) Lebih lanjut, sinyal eksponensial kompleks dapat dianggap penyusun dari sinyal sinusoidal, karena sinyal sinusoidal dapat diuraikan ke dalam sinyal eksponensial kompleks melalui identitas sin x = 2j ejx 2j e jx (.29) cos x = 2 ejx + 2 e jx (.30) Perhatikan bahwa sinyal x(t) = A cos (ωt + θ) dapat ditulis menjadi x(t) = A 2 ej(ωt+θ) + A 2 ej(ωt+θ) (.3) = ( A 2 ejθ )e jωt + ( A 2 e jθ )e jωt (.32) = s (t) + s 2 (t) (.33) di mana s (t) = ( A 2 ejθ )e jωt dan s 2 (t) adalah konjugasi kompleks dari s (t). Dengan kata lain dua eksponensial kompleks s (t) dan s 2 (t) adalah komponen penyusun sinyal sinusoidal. Karena setiap eksponensial kompleks memiliki frekuensi sendiri, maka s (t) dan s 2 (t) juga dibedakan melalui frekuensi nya. Perhatikan bahwa daya dari s (t) dan s 2 (t) masing-masing adalah A2 4, sehingga total daya adalah A2 2 seperti yang diperoleh sebelumnya. Dengan kata lain komponen kompleks eksponensial adalah komponen pembawa energi dari sinyal sinusoidal. Merambatnya sinyal sinusoidal ditentukan oleh merambatnya komponen eksponensial kompleks. Kemampuan sinyal sinusoidal menembus medium ditentukan oleh kemampuan individual eksponensial kompleks menembus medium ini. Energi sinyal sinusoidal dibagikan kepada komponen frekuensi berbeda untk dikirim oleh masing-masing komponennya. Dengan demikian, perilaku filter terhadap sinusoid dapat dipelajari melalui perilaku filter terhadap eksponensial kompleks. Konsep bahwa energi sinyal yang merambat melalui medium dibawa oleh komponen kompleks eksponensial dengan frekuensi tertentu melalui amplitudanya adalah konsep paling dasar dari dari pemrosesan sinyal..2.4 Sinyal Primitif dan Superposisinya Sinyal juga dapat dibangun melalui superposisi dari sinyal primitif Sinyal Primitif Dua sinyal primitif di domain waktu adalah sinyal impuls satuan (unit impulse) dan step satuan (unit step). Untuk CT, kedua sinyal itu adalah δ (t) dan u (t). Sedangkan 9

20 Sinyal dan Sistem untuk DT, kedua sinyal itu adalah δ [n] dan u [n]. Sinyal-sinyal primitif ini di definisikan sebagai { {, t = 0 δ (t) = 0, else ; u (t) =, t 0 0, else δ [n] = {, n = 0 0, else ; u [n] = Sinyal Superposisi dari Sinyal Primitif {, n 0 0, else (.34) Sebuah sinyal x dapat dibangun dengan proses superposisi dari sinyal-sinyal lain s i, dalam bentuk kombinasi linier dengan bobot skalar α i x = i α i s i (.35) Misalnya, setiap x [n] dapat dianggap kombinasi linier dari x [n] = α i δ [n i] (.36) Sinyal Superposisi Eksponensial Kompleks Kita dapat memperluas cakupan peran sinyal eksponensial kompleks sebagai pembawa energi pada frekuensi tertentu dari sinyal sinusoidal ke kelas yang lebih luas yaitu sinyal superposisi x(t) = x[n] = N k=0 N k=0 s k (t) = s k [n] = N k=0 N k=0 c k e jω kt c k e jω kn (.37) (.38) Ini berarti sinyal x(t) (atau x[n]) jenis ini merupakan penjumlahan (superposisi) dari N buah komponen eksponensial kompleks s k (t) = c k e jω kt (dan s k [n] = c k e jω kn ). Setiap komponen memiliki frekuensi ω k yang berbeda. Daya dari masing-masing komponen ini adalah dan daya dari sinyal x(t) (atau x[n]) adalah P = N k=0 P k = c k 2 (.39) P k = c c c N 2 (.40) Sinyal Superposisi Eksponensial Kompleks Terhubung Harmonis Sebuah kasus khusus dari sinyal superposisi eksponensial kompleks adalah sinyal di mana s k (t) = c k e jω kt (atau s k [n] = c k e jω kn ) terhubung erat satu sama lain. Frekuensi yang satu merupakan kelipatan (harmonis) dari sebuah frekuensi dasar, yakni ω k = kω 0 (.4) 20

21 Sinyal dan Sistem Sinyal jenis ini berbentuk x(t) = x[n] = N k=0 N k=0 s k (t) = s k [n] = N k=0 N k=0 c k e jkω 0t c k e jkω 0n (.42) (.43) Daya dari masing-masing komponen ini masih tetap sama seperti sebelumnya. Demikian juga daya totalnya. Di sini s k (t) (atau s k [n]) adalah pembawa energi x(t) (atau x[n]) dengan daya sebesar P k = c k 2 pada frekuensi ω k = kω 0 Perhatikan bahwa sebuah sinyal dasar s 0 (t) = c 0 e jω0t (atau s 0 [n] = c 0 e jω0n ) cukup untuk digunakan membangun komponen sinyal s k (t) (atau s k [n]) yang lain. Jadi sekarang komponen eksponensial terhubung secara harmonis. Komponen yang satu adalah harmonis dari komponen dasar s 0 (t) (atau s 0 [n]). Dengan demikian maka sinyal jenis ini adalah sinyal periodik dengan periode T = 2π/ω 0 atau N = 2πk/ω 0 (di mana f 0 = ω 0 2π = k N adalah bilangan pecahan/rasional yang sudah disederhanakan). Latihan: Buktikan bahwa x(t) = N k=0 c ke jkω 0t periodik dengan periode T = 2π/ω 0. Jawab: Perhatikan bahwa s k (t + T ) = c k e jkω 0(t+2π/ω 0 ). = c k e jkω 0t e jk2π = c k e jkω 0t = s k (t). Maka x(t + T ) = N k=0 s k(t + T ) = N k=0 s k(t) = x(t) Latihan: Buktikan bahwa x[n] = N k=0 c ke jkω 0n periodik dengan periode N = 2πk/ω 0. Perhatikan bahwa s k [n + N] = c k e jkω 0(n+2πk/ω 0 ) = c k e jkω 0n e jk2 2π. Sehingga s k [n + N] = c k e jkω 0n = s k [n] Maka x[n + N] = N k=0 s k[n + N] = N k=0 s k[n] = x[n].3 Sistem CT dan DT.3. Berbagai Jenis Sistem Sistem mengubah sinyal input menjadi sinyal output. Sistem dapat dikategorikan ke dalam berbagai jenis, seperti diperlihatkan pada Gambar.3. Sistem CT mengubah sinyal CT. Sistem DT mengubah sinyal DT..3.2 Sistem Dengan dan Tanpa Memori Sebuah sistem F disebut tanpa memori apabila output pada suatu saat hanya bergantung pada input saat itu. Untuk CT sistem tanpa memori memenuhi { F {x (t)}, t = t 0 y (t 0 ) = (.44) 0, else sedangkan untuk DT sistem kausal y [n 0 ] = Di luar itu, sistem disebut memiliki memori. { F {x [n]}, n = n 0 0, else (.45) 2

22 Sinyal dan Sistem Gambar.3: Jenis Sistem.3.3 Kausalitas dan Stabilitas Sebuah sistem F disebut kausal bila ouput pada suatu waktu tertentu hanya ditentukan oleh input pada waktu tersebut atau sebelumnya. Untuk CT sistem kausal memenuhi { F {x (t)}, t t 0 y (t 0 ) = (.46) 0, t > t 0 sedangkan untuk DT sistem kausal y [n 0 ] = { F {x [n]}, n n 0 0, n > n 0 (.47) Sistem yang tidak kausal disebut non causal atau anticausal. Sebuah sistem F disebut stabil bila untuk setiap input x berlaku output bernilai terbatas yaitu F {x} < (.48) Dalam kasus yang lebih umum, sebuah sistem F disebut stabil BIBO (bounded-input, bounded-output) apabila berlaku x < F {x} < (.49) Sistem yang tidak memenuhi satu dari kedua syarat/kondisi ini disebut tidak stabil..3.4 Linieritas dan Time Invariance Sebuah sistem F di sebut linier bila untuk setiap input x dan x 2 (baik untuk DT maupun CT) berlaku F {α x + α 2 x 2 } = α F {x } + α 2 F {x 2 } (.50) Sebuah sistem F disebut time invariant bila input yang tertunda akan menghasilkan output yang tertunda. Untuk kasus CT, berarti sedangkan untuk kasus DT, berlaku y (t) = F {x (t)} y (t t 0 ) = F {x (t t 0 )} (.5) y [n] = F {x [n]} y [n n 0 ] = F {x [n n 0 ]} (.52) 22

23 Sinyal dan Sistem.4 Penutup Sinyal membawa energi. Energi membawa perubahan. Perubahan terjadi pada sistem, melalui sinyal input. Perubahan ini adalah perubahan keadaan (state) dari sistem. Perubahan state ini diperlihatkan oleh sinyal output..5 Soal-Soal Latihan. Tentukan komponen sinyal genap dan komponen sinyal ganjil dari sinyal-sinyal berikut: a) Sinyal x [n] = {, 2, 4, 3, 2, 3, 4, 3, 2, } b) Sinyal eksponensial kompleks x (t) = e j2t 2. Tunjukkan bahwa sinyal x (t) = 2 cos (0t + ) sin (4t ) adalah sinyal periodik. tentukan periode fundamental dari sinyal tersebut. 3. Diketahui x (t) dan x 2 (t) adalah sinyal periodik dengan periode fundamental masing-masing T dan T 2. Pada kondisi apakah jumlah sinyal x (t) = x (t)+x 2 (t) periodik, dan berapakah periode fundamental dari sinyal x (t) jika sinyal ini periodik? 4. Tentukan energi dan daya dari masing-masing sinyal berikut a) Sinyal x [n] = ( 2) n u [n] b) Sinyal x [n] = cos ( π 4 n) 5. Cari x rms dari x(t) = a cos(ωt) Jawab: Karena x(t) 2 = a 2 cos 2 (ωt) = a 2 ( cos (2ωt)), maka x rms = a/ Diketahui sistem-sistem: (i) y(t) = x(t) cos(3t) di mana ω 0, dan (ii) y(t) = x (τ) dτ t a) Apakah sistem linier? b) Apakah sistem time invariant? c) Apakah sistem causal? d) Apakah sistem stabil? 7. Diketahui sistem-sistem: (i) y[n] = ( 3) n (x [n] + 2), (ii) y[n] = n k= ( x 2 [k] x [k + ] ), dan (iii) y[n] = n k= ( 2) n k x [k]. a) Apakah sistem linier? b) Apakah sistem time invariant? c) Apakah sistem causal? d) Apakah sistem stabil? 23

24 Sinyal dan Sistem Tabel.2: Tabel sinyal x[n] A B n x[n] Laboratorium Komputer Sinyal dan sistem dapat disimulasikan di komputer.. Sebuah sinyal digital x[n] = {, 0,, 2, 3, 3,,, 0, } dengan sample pada n = 0 diberi notasi tebal (bold). Tabel dan kurva sinyal menggunakan sebuah spreadsheet, untuk n = 5 : 5, diperlihatkan pada Tabel.2 dan Gambar Energi dari sinyal x[n] = {, 0,, 2, 3, 3,,, 0, }, dengan n = 5 dan n 2 = 5 adalah dan daya E = = 25 P = ( ) = 2.27 Hasil yang sama diperoleh menggunakan spreadsheet pada Tabel.3. Perhatikan bahwa pada spreadsheet, rumus untuk menghitung Energi pada sel B4 dan Daya pada sel B5 memanfaatkan fungsi array yang tersedia pada spreadsheet. Pada spreadsheet seperti Microsoft Excel, fungsi array diperoleh dengan memasukkan formula pada sel yang dipilih kemudian diikuti dengan menekan simultan tombol [ctrl enter]. 24

25 Sinyal dan Sistem Gambar.4: Gambar sinyal. Tabel.3: Menghitung energi dan daya dari sinyal. A B n x[n] Energi = Durasi = 6 Daya = 2.27 B4 =SUM(B2:B2*B2:B2) (ctrl-enter) B5 =COUNT(B2:B2) (enter) B6 =SUM(B2:B2*B2:B2)/COUNT(B2:B2) (ctrl-enter) 25

26 2 Sistem Linear Time-Invariant Model sistem menjadi sederhana bila sistem diasumsikan linier dan time invariant (LTI). Pertama, sistem dapat dikarakterisasi menggunakan respons impuls. Kedua, respons dari sistem dapat dihitung melalui proses konvolusi. Salah satu sistem LTI terpenting adalah sistem linear differential constant coefficients (LCCDE). Pada sistem LCCDE persamaan input-output dapat dimodelkan dengan persamaan diferensial. Dengan demikian respons dari sistem LCCDE adalah solusi dari persamaan diferensial. Tujuan dari bab ini adalah membekali peserta dengan pengetahuan dan kemampuan untuk menghitung output dari sistem LTI dan LCCDE. 2. Sistem LTI, Respons Impulse dan Konvolusi 2.. Sifat Dasar Sistem LTI dan Simulasi Komputer Sistem F secara umum menghasilkan sinyal output sinyal y dengan memproses (menembuskan) sinyal input x (lihat Gambar 2.), yang ditulis secara umum y = F {x} (2.) Secara khusus sistem ini menghasilkan sinyal h bila dimasuki input impuls δ. Sinyal h disebut respons impuls. Selanjutnya sistem ini akan menghasilkan respons step s bila dimasuki input step u. Pada umumnya sistem dinyatakan melalui persamaan I/O (input-output). Sebagai contoh, sebuah sistem DT memiliki persamaan I/O y[n] = a 2 y[n 2] a y[n ] + b 0 x[n] + b x[n ] + b 2 x[n 2] (Sistem ini dikenal sebagai sistem LCCDE orde dua). Persamaan I/O ini menjelaskan bagaimana sistem mengubah sinyal input menjadi sinyal output, sampel per sampel. Kasus: Sifat perubahan yang terjadi akibat sistem LCCDE, terutama dalam mengubah energi sinyal, bergantung dari frekuensi sinyal. Sebagai contoh, misalnya sistem orde dua tersebut di atas memiliki koefisien seperti pada Tabel 2.. Kemudian sistem ini dimasuki sinyal sinusoid x [n] = cos (.5n) (lihat Gambar 2.2). Dengan bantuan spreadsheet Tabel 2.2 kita dapat menghitung sampel output y[n]. Dari Gambar 2.2 terlihat bahwa gelombang output sudah mengecil. Berarti sistem ini telah meredam sinyal x [n], sebesar lebih dari 22dB berdasarkan perhitungan x h y Gambar 2.: Sistem 26

27 2 Sistem Linear Time-Invariant Tabel 2.: Contoh koefisien orde dua DT Koefisien Nilai a a a 0 b b b Tabel 2.2: Output dari sistem orde dua terhadap sinyal sinusoid sebanyak 60 sampel. A B C D E Koefisien Nilai Nilai 2 a a a 0 5 b b b Frek: n x [n] y [n] x 2 [n] y 2 [n] Energy Relatif (db) Kode spreadsheet: B:=COS(B$9*A) [enter] D:=COS(D$9*A) [enter] C3: =SUM(B:B3*C$5:C$7)-SUM(C:C2*C$2:C$3) [ctrl+shift]-[enter] E3: =SUM(D:D3*E$5:E$7)-SUM(E:E2*E$2:E$3) [ctrl+shift]-[enter] B74:=SUM(B3:B72*B3:B72) [ctrl+shift]-[enter] C74:=SUM(C3:C72*C3:C72) [ctrl+shift]-[enter] D74:=SUM(D3:D72*D3:D72) [ctrl+shift]-[enter] E74:=SUM(E3:E72*E3:E72) [ctrl+shift]-[enter] C75:=0*LOG0(C74/B74) [enter] E75:=0*LOG0(E74/D74) [enter] 27

28 2 Sistem Linear Time-Invariant Gambar 2.2: Sinyal output untuk input x[n] = cos.5n. spreadsheet. Sinyal sinusoid lain yang frekuensi lebih tinggi, x [n] = cos (2.5n) juga teredam, tetapi hanya sebesar 0.2 db (Gambar 2.3). Sistem LTI adalah sistem yang sekaligus linier dan time invariant. Sistem F di sebut linier bila untuk setiap input x dan x 2 (baik untuk DT maupun CT) berlaku F {α x + α 2 x 2 } = α F {x } + α 2 F {x 2 } (2.2) Selanjutnya sistem F ini juga disebut time invariant bila input yang tertunda akan menghasilkan output yang tertunda. Untuk kasus CT, berarti sedangkan untuk kasus DT, berlaku y (t) = F {x (t)} y (t t 0 ) = F {x (t t 0 )} (2.3) y [n] = F {x [n]} y [n n 0 ] = F {x [n n 0 ]} (2.4) Catat juga bahwa untuk sistem time invariant, berlaku F {δ (t t 0 )} = h (t t 0 ) ; F {δ [n n 0 ]} = h [n n 0 ] Soal: Dari pengamatan input-output sebuah sistem time-invariant diperoleh pasangan input-output sebagai berikut. x[n] y[n] {, 0, 2} {0,, 2} {0, 0, 3} {, 0, 0, 2} {0, 0, 0, } {, 2, }. Tentukan apakah sistem linier atau tidak? 28

29 2 Sistem Linear Time-Invariant Gambar 2.3: Sinyal output untuk input x[n] = cos 2.5n. 2. Cari respons impulse h[n] Soal: Dari pengamatan sebuah sistem linier, diperoleh hubungan input-output berikut ini x [n] y [n] {, 2, } {, 2,, } {,, } {,, 0, 2} {0,, } {, 2, }. Tentukan apakah sistem ini time-invariant atau tidak? 2. Carilah respons impuls dari sistem ini. Kasus: Sebuah sistem LTI CT memiliki respons step s(t) = e t u(t). Tentukan output bila sistem dimasuki sinyal x(t) seperti pada gambar di bawah. x (t) 0 2 3t Perhatikan bahwa x(t) = u(t ) u(t 3). Dari sifat LTI, disimpulkan bahwa y(t) = s(t ) s(t 3). Hasil ini dapat dilihat pada gambar berikut. 29

30 2 Sistem Linear Time-Invariant s(t) s(t ) 0 3 t s(t 3) y(t) 0 3 t 2..2 Konvolusi Konvolusi antara dua sinyal s dan v menghasilkan sinyal w yang dinyatakan dengan notasi sebagai yang didefinisikan untuk kasus CT sebagai dan untuk kasus DT sebagai w (t) = s (t) v (t) = w [n] = s [n] v [n] = w = s v (2.5) ˆ l= Melalui kedua definisi ini dapat dibuktikan sifat komutatif bahwa s (τ) v (t τ) dτ (2.6) s [l] v [n l] (2.7) s v = v s (2.8) Dalam praktek kita memilih cara di ruas kiri bila s berdurasi lebih pendek daripada v, karena ini menyerhanakan perhitungan Representasi Sinyal Menggunakan Konvolusi Impuls Sebuah sinyal dapat direpresentasikan sebagai konvolusi sinyal itu terhadap sinyal impuls. Dalam kasus CT, sinyal x(t) dapat diekspresikan sebagai x(t) = ˆ x (τ) δ (t τ) dτ = x (t) δ (t) (2.9) Dengan cara yang serupa untuk kasus DT, sebuah sinyal x[n] dapat direpresentasikan sebagai x [n] = l= x [l] δ [n l] = x [n] δ [n] (2.0) 30

31 2 Sistem Linear Time-Invariant Representasi ini adalah kasus khusus dari sifat umum bahwa sebuah sinyal CT dapat direpresentasikan dalam bentuk integral terhadap sebuah kernel s(t, τ) menurut x(t) = ˆ X (τ) s(t, τ)dτ (2.) dan sinyal DT dapat direpresentasikan oleh sebuah kombinasi linier dari sinyal basis s (n, l) menurut x [n] = l= X [l] s (n, l) (2.2) 2..4 Representasi Sistem LTI Dengan Konvolusi Respons Impuls Setiap sistem, termasuk sistem LTI, memiliki respons impuls h. Khusus untuk sistem LTI, respons impuls sangat berperan untuk merepresentasikan sistem, artinya repons sistem dapat digunakan untuk menghitung ouput dari input x. Tepatnya, y = x h (2.3) Untuk memperlihatkan hal ini dalam kasus DT, perhatikan bahwa { } y[n] = F {x[n]} = F x [l] δ [n l] maka diperoleh y[n] = y [n] = l= l= l= x [l] F {δ [n l]} x [l] h [n l] (2.4) dan untuk kasus CT, {ˆ } y(t) = F {x (t)} = F x (τ) δ (t τ) dτ maka diperoleh y(t) = y (t) = ˆ ˆ x (τ) F {δ (t τ)} dτ x (τ) h (t τ) dτ (2.5) Kasus: Sebuah sistem CT memiliki h(t) = e αt u (t), di mana α > 0, dimasuki input x(t) = u(t). Cari output y(t). Cara-: y = x h = u h, Diperoleh y (t) = ˆ u (τ) h (t τ) dτ 3

32 2 Sistem Linear Time-Invariant = ˆ u (τ) e α(t τ) u (t τ) dτ Dan [ˆ t = 0 ] ˆ t e α(t τ) dτ u (t) = u(t)e αt e ατ dτ 0 y(t) = α [ e αt ] u(t) Cara-2: y = h x = h u, Diperoleh y (t) = ˆ h (τ) x (t τ) dτ dan = ˆ e ατ u (τ) u (t τ) dτ [ˆ t = 0 ] e ατ dτ u (t) y(t) = α [ e αt ] u(t) 2.2 Respons Sistem Dengan Konvolusi Respons Impuls 2.2. Respons Sistem LTI CT Soal: Hitunglah/sketsalah y (t) = x (t) h (t), dengan x (t) dan h (t) menurut gambar berikut x (t) h (t) t 0 2 t Respons Sistem LTI DT Kasus: Tentukan output bila respons impuls dan input seperti pada gambar berikut. h [n] n 32

33 2 Sistem Linear Time-Invariant x [n] n Jawab: Dari gambar dapat disimpulkan bahwa sinyal input hanya terdiri dari dua pulsa, x[n] = δ [n 2] δ [n 4], sedangkan sinyal respons impuls terdiri dari enam pulsa. Oleh sebab itu, lebih mudah kita menggunakan konvolusi jenis y[n] = x [n] h [n], yang berarti: y[n] = h [n 2] h [n 4] Menggunakan tabel sederhana, kita dapat menghitung y[n] sebagai berikut n h[n] h[n 2] -h[n 4] y[n] Output ini dapat juga dilihat scara visual sebagai penjumlahan dua gelombang respons impuls yang tergeser masing-masing 2 dan 4 sampel. h [n 2] n h [n 4] n 33

34 2 Sistem Linear Time-Invariant y [n] = h [n 2] h [n 4] n 2 Kasus: Sebuah sistem DT memiliki h[n] = α n u[n], dimasuki unit step. Cari outputnya. Karena sinyal dan sistem kausal, maka y[n] = x[n] h[n] tapi sehingga n α n k = k=0 y[n] = u[n] 0 α m = m=n n k=0 n m=0 α n k α m = αn+ α Respons Step Respons dari sinyal step adalah s(t) y[n] = αn+ α u[n] s (t) = F {u (t)} = h (t) u (t) = s (t) = ˆ t ˆ h (τ) dτ h (τ) u (t τ) dτ Catatan, dapat diperlihatkan bahwa h(t) = d dt s (t), karena δ(t) = d dt u (t) Kasus Mencari Input dari Output Soal: Perhatikan sebuah sistem LTI waktu kontinu dengan respons impuls h (t). h (t) x (t) h (t) y (t) - t 34

35 2 Sistem Linear Time-Invariant. Bila input adalah x (t) = k=2 δ (t k), sebagaimana diperlihatkan berikut ini, Carilah dan sketsalah output y (t). x (t) t 2. Kemudian coba cari/sketsa input x (t) apabila output y(t) diketahui periodik pada gambar sebagai berikut. y (t) t Sifat-Sifat Sistem LTI 2.3. Kausalitas Pada sistem LTI kausal, h(t) = 0 pada t < 0, sehingga bentuk konvolusinya menjadi: atau y(t) = ˆ 0 h (τ) x (t τ) dτ y(t) = ˆ t x (τ) h (t τ) dτ Kita dapat mendefinisikan sinyal kausal sebagai sinyal dengan sifat x(t) = 0 untuk t < 0, dan anti kausal bersifat x(t) = 0 untuk t > 0. Maka bia kedua sinyal dan sistem kausal, persamaan konvolusi menjadi: atau y(t) = ˆ t 0 h (τ) x (t τ) dτ y(t) = ˆ t 0 x (τ) h (t τ) dτ Hasil yang serupa diperoleh juga untuk kasus DT Stabilitas Sistem LTI yang stabil secara bounded-input bounded-output (BIBO) memiliki respons impuls dengan sifat ˆ h (τ) dτ < (2.6) 35

36 2 Sistem Linear Time-Invariant Hal ini diperlihatkan melalui y (t) = = ˆ Bila input bounded, yakni ˆ x (τ) h (t τ) dτ = ˆ x (τ) dτ ˆ x (τ) h (t τ) dτ ˆ ˆ x (τ) dτ < x (τ) h (t τ) dτ h (τ) dτ dan Persamaan (2.6) terpenuhi, maka output bounded. Dengan cara yang sama diperoleh untuk kasus sistem LTI DT n= h (n) < Soal: Perkirakan apakah sistem berikut ini stabil BIBO? y[n] = 3y[n ] + 4y[n 2] +x[n] + 2x[n ] Kasus Kausalitas, Stabilitas dan Periodisitas Kasus: Sebuah sistem LTI memiliki respons impuls h[n] = α n u[n].. Apakah sistem kausal? Jawab: ya, karena h[n] = 0 untuk n < Apakah sistem stabil BIBO? Jawab: k= h[k] = k= α k u[k] = α k k=0 Maka ini tidak stabil, kecuali bila α < karena kemudian k= h[k] = α k = k=0 α < Kasus: Perlihatkan bahwa pada sistem LTI bila x[n] periodik dengan periode N, maka y[n] juga periodik dengan periode N. Perhatikan bahwa pada sistem LTI y [n] = l= h [l] x [n l] 36

37 2 Sistem Linear Time-Invariant Asumsi n = m + N, maka diperoleh y [m + N] = = l= l= h [l] x [m + N l] h [l] x [(m l + N] Karena x[n] periodik, x[(m l) + N] = x[m l], sehingga y [m + N] = l= yang berarti y[n] periodik dengan periode N Memori h [l] x [m l] = y[m] Pada sistem tanpa memori, y(t) hanya bergantung x(t) pada saat t. Untuk sistem LTI tanpa memori, y(t) = Kx(t), dan h(t) = Kδ(t). Jadi bila h(t 0 ) 0 untuk t 0 0, maka sistem memiliki memori. Sistem bermemori yang paling dikenal adalah LCCDE. 2.4 LCCDE Selama ini kita sudah mengkarakterisasi sistem berdasarkan hubungan I/O (terutama persamaan I/O) dan respons impuls. Sekarang kita ingin memodelkan sistem LTI dalam bentuk khusus, yaitu persamaan I/O nya memenuhi sebuah persamaan diferensial (untuk CT) dan diferens (untuk DT) Persamaan Diferensial Koefisen Konstan Sebuah persamaan diferensial dengan koefisien konstan orde N (untuk CT) memiliki bentuk umum N d k M a k dt k y (t) = d k b k x (t) (2.7) dtk k=0 k=0 dengan sebuah kasus khusus orde dua berbentuk d 2 y (t) dy (t) d 2 x (t) dx (t) a 2 dt 2 + a + a 0 y (t) = b 2 dt dt 2 + b + b 0 x (t) (2.8) dt Dengan cara serupa untuk DT, persamaan diferens dengan koefisien konstan berorde N memiliki bentuk N M a k y [n k] = b k x [n k] (2.9) k=0 k=0 dengan sebuah kasus khusus orde dua berbentuk a 2 y [n 2] + a y [n ] + a 0 y [n] = b 2 x [n 2] + b x [n ] + b 0 x [n] (2.20) 37

38 2 Sistem Linear Time-Invariant x[n] Gambar 2.4: Sistem LCCDE direct from I v[n] y[n] z b 0 z z b a z z b 2 a 2 z z b M a N z b M a N Tabel 2.3: Jumlah komputasi untuk LCCDE dalam implementasi direct form. Komputasi Tipe I Tipe II Perkalian skalar N + M + N + M + Perjumlahan N + M N + M Elemen Delay N + M N Jumlah 3N + 3M + 3N + 2M + Baik persamaan (2.7) maupun (2.9) bersifat linier dengan koefisien konstan, sehingga keduanya disebut LCCDE (linear constant coefficient differential/difference equation). Sistem LCCDE DT dapat diimplementasi dalam sebuah bentuk seperti pada Gambar 2.4. Bentuk ini disebut bentuk direct form tipe karena koefisien serta arsitektur bentuk ini langsung diperoleh dari persamaan. Jumlah komputasi yang diperlukan adalah kombinasi dari jumlah perkalian skalar, penjumlahan, dan elemen delay. Sebagaimana diperlihatkan pada Tabel 2.3, jumlah komputasi untuk direct form tipe I adalah 3M + 3N +. Perhatikan bahwa sistem ini dapat dianggap kaskade antara dua sistem (lihat Gambar 2.4). v[n] = M b k x[n k] k=0 38

39 2 Sistem Linear Time-Invariant x[n] Gambar 2.5: Pembentukan LCCDE direct form II w[n] y[n] z z b 0 a z z b a 2 z z b 2 a N z z b M a N b M y[n] = N a k y[n k] + v[n] k= Karena kedua sistem ini linier, maka kaskade ini bersifat komutatif, sehingga dapat diubah menjadi kaskade antara dua sistem (Gambar 2.5). w[n] = y[n] = N a k w[n k] + x[n] k= M b k w[n k] k=0 dengan hasil yang identik. Karena kedua sistem ini menggunakan w[n k] yang sama, maka kedua kaskade dapat digabung dengan men-share elemen delay (Gambar 2.6). Bentuk ini disebut direct form tipe II. Karena delay elemen digabung, maka terjadi penghematan sumberdaya komputasi. Asumsi N M, maka jumlah sumber daya komputasi yang diperlukan tinggal 3N + 2M + (Tabel 2.3). Sistem LCCDE orde dua memiliki bentuk (lihat Gambar 2.7): y[n] = a 2 y[n 2] a y[n ] + b 0 x[n] + b x[n ] + b 2 x[n 2] (2.2) 39

40 2 Sistem Linear Time-Invariant Gambar 2.6: LCCDE direct form II x[n] y[n] z b 0 a z b a 2 b 2 a N z b N a N b N x[n] Gambar 2.7: LCCDE orde 2 y[n] z b 0 a z b a 2 b 2 40

41 2 Sistem Linear Time-Invariant Kode spreadsheet: Tabel 2.4: Tabel simulasi LCCDE dengan spreadsheet. A B C Koefisien Nilai 2 a a a 0 5 b b 0 7 b n x[n] y[n] C2: =SUM(B0:B2*C$5:C$7)-SUM(C0:C*C$2:C$3) [ctrl+shift]-[enter] C3: =SUM(B:B3*C$5:C$7)-SUM(C:C2*C$2:C$3) [ctrl+shift]-[enter] dst Simulasi LCCDE Persamaan LCCDE memiliki memori y[n k] dan x[n k] untuk k > 0 yang menentukan keadaan (state) persamaan pada saat n = 0. Dalam keadaan rileks, y[n k] dan x[n k] ini bernilai 0. State ini berubah oleh x[n]. Dengan bentuk LCCDE, kita dapat menggunakan komputer untuk mensimulasi perubahan state akibat perubahan x[n]. Kasus: Gunakan tabel spreadsheet untuk mensimulasikan LCCDE orde dua rileks dengan persamaan yang dipicu oleh x[n] = δ[n]. 6 y [n 2] 5 y [n ] + y [n] = x [n] 6 Pada Tabel 2.4 mula-mula kita meletakkan koefisien dari persamaan ini ke dalam kolom B untuk label dan C untuk nilai mulai dari baris 2 s/d 7. Kemudian pada baris 9 kita memberikan label indeks waktu n, eksitasi x[n], serta state y[n]. Pada baris 0 dan, kita mengisi kondisi awal rileks untuk x[n] dan y[n]. Kita lalu mengisi baris berikutnya dengan sample dari δ[n]. Untuk menghitung y[0], y[] dan seterusnya kita menggunakan perhitungan 4

42 2 Sistem Linear Time-Invariant Tabel 2.5: Solusi partikular, di mana A, K, dan K i adalah konstanta, dan n 0. Input x[n] Solusi Partikular y p [n] δ [n] 0 A K AM n KM n An M M ( l=0 K M ln l M ) A n n M A n l=0 K M ln l A cos(ω 0 n) A sin(ω 0 n) K cos ω 0 n + K 2 sin ω 0 n y[0] = a 0 x[0] a a 0 y [ ] a 2 a 0 y [ 2] y[] = a 0 x[] a a 0 y [0] a 2 a 0 y [ ]. yang dapat dilakukan oleh spreadsheet menggunakan fungsi array yang di copypaste pada setiap sel di kolom C mulai baris 2: C2: =SUM(B0:B2*C$5:C$7)-SUM(C0:C*C$2:C$3) [ctrl+shift]-[enter] C3: =SUM(B:B3*C$5:C$7)-SUM(C:C2*C$2:C$3) [ctrl+shift]-[enter] dst Maka keadaan (state) pada setiap waktu dapat dilihat pada Tabel Solusi Persamaan LCCDE Solusi persamaan LCCDE y(t) (atau y[n]) akibat input x(t) (atau y[n]) serta akibat kondisi awal, terdiri dari dua bagian: solusi homogen y h (t) (atau y h [n]) dan solusi partikular y p (t) (atau y p [n]), sehingga y(t) = y h (t) + y p (t) y[n] = y h [n] + y p [n] (2.22) Solusi homogen adalah kontribusi internal sistem akibat kondisi awal sedangkan solusi partikular adalah kontribusi input. Solusi y[n] ini hanya dihitung untuk n 0, sedangkan y[n] pada n < 0 ditentukan langsung oleh kondisi awal. Solusi partikular y p (t) (atau y p [n]) adalah fungsi dari x(t) (atau x[n]) yang memenuhi persamaan LCCDE dan independen dari solusi homogen. Tabel 2.5 memperlihatkan beberapa bentuk sinyal input, dan usulan solusi partikular yang sesuai untuk kasus DT. Konstanta K, dan K i adalah koefisien yang membuat y p [n] memenuhi persamaan LCCDE untuk semua n. Solusi homogen itu sendiri adalah solusi persamaan homogen untuk CT atau untuk DT N k=0 a k d k dt k y h (t) = 0 (2.23) N a k y h [n k] = 0 (2.24) k=0 42

43 2 Sistem Linear Time-Invariant Fungsi yang dikenal mempertahankan bentuk akibat diferensiasi adalah bentuk eksponensial, sehingga bentuk eksponensial ini secara alamiah dapat membentuk persamaan homogen. Asumsi solusi homogen y h [n] memiliki bentuk kompleks eksponensial, maka kita coba bentuk yang paling sederhana: y h [n] = λ n Karena solusi homogen memenuhi persamaan homogen, maka kita peroleh perhatikan N a k y h [n k] = 0 k=0 N a k y h [n k] = k=0 N a k λ n k = λ n N k=0 N k=0 maka solusi persamaan homogen yang tidak trivial memenuhi N a N k λ k = 0 k=0 a N k λ k Ruas kiri adalah polinomial λ (disebut polinomial karakteristik) berorde N yang memiliki N buah akar λ i yang menjadi solusi persamaan homogen ini. Maka solusi homogen yang akan kita gunakan adalah kombinasi linier dari akar-akar ini, yakni y h [n] = N c i λ n i (2.25) yang sudah dipastikan melalui proses penurunan tersebut akan memenuhi persamaan homogen. Konstanta c i ditentukan oleh kondisi awal dari LCCDE. Bila ada N buah c i yang perlu diketahui maka diperlukan N buah kondisi awal untuk membentuk N persamaan dengan N yang tidak diketahui Simulasi Solusi LCCDE Kasus: Cari solusi partikular dari persamaan diferens LCCDE orde dua bila diketahui input x [n] = 2 n u [n]. i=0 6 y [n 2] 5 y [n ] + y [n] = x [n] 6 Jawab: Dari Tabel 2.5 diperoleh kandidat dsolusi partikular y p [n] = K2 n u [n]. Untuk menentukan konstanta K yang memenuhi persamaan LCCDE, maka kita melakukan substitusi menjadi 6 y p [n 2] 5 6 y p [n ] + y p [n] = x [n] 43

44 2 Sistem Linear Time-Invariant 6 K2n 2 u [n 2] 5 6 K2n u [n ] + K2 n u [n] = 2 n u [n] Karena persamaan ini linier, n yang manapun kita pilih untuk evaluasi akan menghasilkan K yang berlaku untuk semua n, asalkan semua term dalam persamaan ikut terevaluasi. Maka kita mengevaluasi persamaan dengan pilihan n = 2 karena n ini tersederhana yang mengikutkan semua term dalam persamaan. Untuk n = 2, kita dapatkan 6 K 5 6 K2 + K22 = 2 2 dan kemudian K = 8 5, sehingga kita peroleh y p [n] = 8 5 2n u [n] Kasus: Tentukan solusi homogen dari LCCDE orde dua dalam kondisi relaks (kondisi awal y[n] = 0, pada n < 0), bila persamaan LCCDE berbentuk Jawab: dari persamaan homogen kita peroleh polinomial karakteristik 6 y [n 2] 5 y [n ] + y [n] = x [n] (2.26) 6 6 y [n 2] 5 y [n ] + y [n] = 0 6 p (λ) = λ + λ2 = ( λ ) ( λ ) 2 3 sehingga diperoleh akar λ = 2 dan λ 2 = 3, dan solusi homogen n 0 adalah y h [n] = c ( 2 ) n ( ) n + c 2 (2.27) 3 Kasus: Solusi total adalah gabungan solusi homogen dengan solusi partikular. Dalam kasus di atas, solusi total adalah y[n] = c ( 2 ) n ( ) n + c n u [n] Pada umumnya solusi homogen mengandung koefisien c i, yang harus ditentukan pada saat menetapkan solusi total. Koefisien ini ditentukan oleh kondisi awal. 44

45 2 Sistem Linear Time-Invariant 2.5 Penerapan Pada Sistem LCCDE 2.5. Formulasi Sistem LCCDE Secara umum sebuah sistem LCCDE dengan orde N berbentuk N M y[n] = a k y[n k] + b k x[n k] (2.28) k= Perhatikan bahwa sistem ini pada dasarnya mengambil bentuk Persamaan (2.9) dengan a 0 =. Sistem DT ini dapat diimplementasi menggunakan komputer atau spreadsheet, seperti pada contoh sebelumnya. Kasus: Simulasikan sistem LCCDE rileks k=0 y[n] = 3y[n ] + 4y[n 2] +x[n] + 2x[n ] untuk mencari y[n] pada n 0 bila dimasuki input x[n] = 4 n u[n]. Jawab: dengan cara serupa pada Tabel 2.4, kita peroleh hasil pada Tabel 2.6. Perubahan yang dilakukan adalah mengubah nilai koefisien pada sel C2 s/d C7, serta mensimulasikan input pada kolom B2, B3 dst dengan x[n] = 4 n u[n] Aplikasi Pada Sistem LCCDE CT Soal: Diketahui sistem waktu kontinu dengan persamaan diferensial y (t) + 2y (t) = x (t) + x (t) Carilah respon impuls h(t) dari sistem ini Aplikasi Pada Sistem LCCDE DT Soal: Diketahui sistem waktu diskrit dengan persamaan diferens y [n] + 2y [n ] = x [n] + x [n ] Carilah respons impuls h[n] dari sistem ini. Kasus: Cari respons impuls dari sistem LCCDE yang rileks y [n] = 6 y [n 2] + 5 y [n ] + x [n] 6 Sistem ini memiliki bentuk LCCDE sebagaimana persamaan (2.26). Maka kita dapat langsung menggunakan solusi homogen pada persamaan (2.27). Karena kita menghitung respons impuls, maka x[n] = 0 untuk n > 0, sehingga solusi partikular. Jadi impul respons adalah solusi total yang sama dengan solusi homogen. h [n] = c ( 2 ) n ( ) n + c

46 2 Sistem Linear Time-Invariant Kode spreadsheet: Tabel 2.6: Simulasi sistem LCCDE. A B C D Koefisien Nilai 2 a a -3 4 a 0 5 b b 2 7 b n x[n] y[n] y[n] B2: =4^A2 [enter] B3: =4^A3 [enter] dst C2: =SUM(B0:B2*C$5:C$7)-SUM(C0:C*C$2:C$3) [ctrl+shift]-[enter] C3: =SUM(B:B3*C$5:C$7)-SUM(C:C2*C$2:C$3) [ctrl+shift]-[enter] dst D2: =(-/25*(-)^A2)+(26/25*(4)^A2)+(6/5*A2*(4)^A2) [enter] D3: =(-/25*(-)^A3)+(26/25*(4)^A3)+(6/5*A3*(4)^A3) [enter] dst 46

47 2 Sistem Linear Time-Invariant Kita membutuhkan dua persamaan untuk mencari kedua koefisien c dan c 2, yang bisa kita bentuk menggunakan solusi ini pada n = 0 dan n = : ( h[0] = c 0 ( 2) + c ( 2 3 h[] = c ( 2) + c 2 3 Untuk keperluan ini kita memanfaatkan Tabel 2.4 pada n = 0 dan n =, sehingga diperoleh (secara pecahan) y[0] = dan y[] = 5 6. Sekarang kita punya sistem dua persamaan dengan dua tidak diketahui ) 0 ) = c + c = 2 c + 3 c 2 yang menghasilkan c = 3 dan c 2 = 2. Maka solusi total adalah h [n] = Simulasi Solusi LCCDE DT ( ) n ( ) n Hasil tersebut di atas dapat diverifikasi menggunakan mengembangan Tabel 2.4 menjadi Tabel 2.7. Misalnya, pada n = 0, kita peroleh h [0] = 3 ( 0 ( 2) 2 0 3) yang dapat dihitung menggunakan rumus spreadsheet: D22: =(3*(/2)^A22)-(2*(/3)^A22) [enter] dst Tabel 2.7 mengkonfirmasi hasil yang identik antara pendekatan simulasi menggunakan persamaan I/O LCCDE dan simulasi menggunakan solusi LCCDE. Meskipun cara yang kedua lebih panjang, tapi sekali solusi ditemukan, persamaan solusi bisa langsung digunakan untuk n berapapun. Cara yang pertama memerlukan hasil dari n sebelum karena bersifat rekursif. 2.6 Tutorial Solusi LCCDE 2.6. Kasus Orde CT Soal: Diketahui sebuah sistem waktu kontinu dengan input x (t) dan output y (t) dengan hubungan di mana a konstanta. d y (t) + ay (t) = x (t) dt. Carilah y(t) dengan kondisi awal y (0) = y 0 dan x (t) = Ke bt u (t) 2. Nyatakan y (t) dalam penjumlahan respon zero-input dan respon zero-state. 47

48 2 Sistem Linear Time-Invariant Kode spreadsheet: Tabel 2.7: Simulasi solusi LCCDE A B C D 8 9 n x[n] y[n] y[n] D2: =(3*(/2)^A2)-(2*(/3)^A2) [enter] D3: =(3*(/2)^A3)-(2*(/3)^A3) [enter] dst Kasus Orde DT Soal: Sebuah sistem waktu diskrit dengan input x[n] dan output y[n] dengan hubungan y [n] ay [n ] = x [n] dengan a adalah konstan. Bila sistem relaks, carilah y[n] untuk input x [n] = Kb n u [n] Kasus Menghitung Respons Impuls Kasus: Cari solusi dari sistem LCCDE rileks untuk mencari respons impuls h[n]. Jawab: y[n] = 3y[n ] + 4y[n 2] +x[n] + 2x[n ] Untuk mencari solusi y[n] = y h [n] + y p [n] kita perlu mengubah bentuk persamaan ke dalam bentuk LCCDE, kemudian menghitung solusi partikular y p [n] dan solusi homogen y h [n]. Persamaan LCCDE menjadi y[n] 3y[n ] 4y[n 2] = x[n] + 2x[n ] Persamaan sistem untuk respons impuls adalah 48

49 2 Sistem Linear Time-Invariant h[n] = 3h[n ] + 4h[n 2] +δ[n] + 2δ[n ] Untuk menghitung respons impuls, kita tidak perlu menghitung solusi partikular. Dengan demikian solusi yang diperlukan berasal dari soulsi homogen. Untuk LCCDE di atas, kita peroleh persamaan homogen dan karakteristik polinomial y[n] 3y[n ] 4y[n 2] = 0 p (λ) = λ 2 3λ 4 = (λ + ) (λ 4) dengan demikian maka solusi homogen adalah h[n] = c ( ) n + c 2 (4) n Dari persamaan ini dapat dibuat dua persamaan untk mencari c dan c 2 dengan memilin n = 0 dan n = : h[0] = c + c 2 h[] = c + 4c 2 Kemudian dari persamaan sistem respons impuls di atas diproleh dua sample pertama dari impulse respons sehingga h[0] = 3h[ ] + 4h[ 2] +δ[0] + 2δ[ ] = = h[] = 3h[0] + 4h[ ] +δ[] + 2δ[0] = = 5 = c + c 2 5 = c + 4c 2 dan diperoleh c = 5 dan c 2 = 6 5. Jadi respons impuls nya adalah h[n] = ( 5 ( )n + 65 (4)n ) u [n] 49

50 2 Sistem Linear Time-Invariant Kasus Solusi Partikular Tidak Independen Kasus: Cari solusi dari sistem LCCDE rileks y[n] = 3y[n ] + 4y[n 2] +x[n] + 2x[n ] untuk mencari y[n] pada n 0 bila dimasuki input x[n] = 4 n u[n]. Jawab: Sebagaimana sebelumnya, untuk mencari solusi y[n] = y h [n] + y p [n] kita perlu mengubah bentuk persamaan menjadi y[n] 3y[n ] 4y[n 2] = x[n] + 2x[n ] Kandidat solusi partikular untuk input x[n] = 4 n u[n] ini adalah y p [n] = K (4) n u [n], di mana K seharusnya dapat diperoleh melalui substitusi pada persamaan LCCDE untuk n = 2. Akan tetapi khusus untuk kasus ini ternyata solusi ini tidak independen karena juga sudah terdapat pada solusi homogen, sehingga perlu dicari kandidat lain. Kandidat solusi partikular berikutnya yang masih mengandung input tapi bukan bagian dari solusi homogen adalah y p [n] = Kn (4) n u [n] sehingga diperoleh persamaan substitusi Kn (4) n u [n] 3K(n ) (4) n u [n ] 4(n 2)K (4) n 2 u [n 2] = (4) n u[n] + 2 (4) n u[n ] dari sini, setelah dievaluasi pada n = 2 diperoleh K2 (4) 2 u [n] 3K (4) 4(0)K (4) 0 = (4) (4) dan K = 6 5. Jadi solusi partikular adalah y p [n] = 6 5 n (4)n u [n] Karena kita sudah menghitung solusi homogen pada bagian sebelumnya, solusi total untuk n 0 adalah dengan koefisien c dan c 2 dicari melalui y [n] = c ( ) n + c 2 (4) n n (4)n y [0] = c ( ) 0 + c 2 (4) (4)0 = c + c 2 y [] = c ( ) + c 2 (4) (4) = c + 4c Kita kemudian memanfaatkan Tabel 2.6, kita peroleh y[0] = dan y[] = 9, sehingga 50

51 2 Sistem Linear Time-Invariant = c + c 2 9 = c + 4c menghasilkan c = 25 dan c 2 = Maka solusi total adalah untuk n 0 y [n] = 25 ( )n (4)n n (4)n Hasil ini dapat diverifikasi pada kolom D spreadsheet di Tabel Penutup Sistem LTI dapat dikarakterisasi menggunakan respons impuls. Respons dari sistem dapat dihitung melalui proses konvolusi input dengan respons input. Sesuai namanya, sistem LCCDE persamaan input-output dimodelkan dengan persamaan diferensial. Respons dari sistem LCCDE adalah solusi dari persamaan diferensial. 5

52 3 Fourier Series Untuk Sinyal Periodik Pada bab ini akan dibahas alternatif representasi sinyal periodik menggunakan sinyal kompleks eksponensial. Hasil representasi ini dikenal sebagai deret Fourier waktu kontinu dan deret Fourier waktu diskrit. Representasi ini dapat digunakan untuk membentuk berbagai bentuk sinyal yang berguna. Karena sifat superposisi, respon dari sistem LTI terhadap input yang terdiri dari kombinasi linear dari sinyal dasar adalah kombinasi linear yang sama dari respon individual terhadap setiap sinyal dasar tersebut. Respon sistem LTI terhadap sebuah sinyal kompleks eksponensial juga memiliki bentuk yang sederhana, yang memberikan kita representasi sistem LTI yang mudah dan dengan cara yang lain untuk melakukan analisa sistem dan menambah wawasan terhadap sifat deret Fourier. Tujuan dari bab ini adalah membekali peserta dengan pengetahuan dan kemampuan untuk menghitung deret Fourier dari sinyal periodik. 3. Eigenfunctions: Respon sistem LTI pada sinyal kompleks eksponensial 3.. Konsep eigenfunction dan eigenvalue Mempelajari sistem LTI dengan mepresentasikan sinyal sebagai kombinasi linear dari sinyal dasar memberikan banyak kemudahan. Sinyal dasar yang digunakan memiliki dua sifat berikut:. Kumpulan sinyal dasar dapat digunakan untuk membentuk kelas sinyal yang beragam dan berguna. 2. Respon dari sebuah sistem LTI dari setiap sinyal harus memiliki struktur yang cukup sederhana untuk memberikan kepada kita, kemudahan representasi untuk respon sistem terhadap sinyal apapun yang dibentuk dari kombinasi linear dari sinyal dasar. Hasil analisis Fourier dengan dua sifat tersebut diberikan dengan kumpulan sinyal kompleks eksponensial waktu kontinu dan waktu diskrit. Sinyal dalam bentuk e st untuk sinyal waktu kontinu. Sinyal dalam bentuk z n untuk sinyal waktu diskrit. Dalam hal ini s dan z adalah bilangan kompleks. Pentingnya sinyal kompleks eksponensial dalam pembahasan sistem LTI berasal dari fakta bahwa respon dari sebuah sistem LTI terhadap sinyal input kompleks eksponensial adalah sinyal kompleks eksponensial yang sama dengan hanya perubahan pada amplituda; yaitu, waktu kontinu: e st H(s)e st, (3.) waktu diskrit: z n H(z)z n, (3.2) 52

53 3 Fourier Series Untuk Sinyal Periodik di mana faktor amplituda kompleks H(s) dan H(z) secara umum adalah fungsi dari variabel kompleks s atau z. Sebuah sinyal yang menyebabkan output dari sistem konstanta (biasanya bilangan kompleks) dari input disebut sebagai fungsi eigen (eigenfunction) dari sistem, dan faktor amplituda disebut sebagai nilai eigen (eigenvalue) dari sistem Sinyal kompleks eksponensial adalah eigenfunction dari sistem LTI CT Untuk menunjukkan bahwa sinyal kompleks eksponensial adalah eigenfunction dari sistem LTI waktu kontinu, lihatlah sistem LTI waktu kontinu dengan respon impuls h(t). Untuk input x(t), kita dapat menentukan output dengan menggunakan integral konvolusi, sehingga dengan x(t) = e st y(t) = ˆ + h(τ)x(t τ)dτ = ˆ + h(τ)e s(t τ) dτ (3.3) Dengan mengekspresikan e s(t τ) sebagai e st e sτ, dan dapat kita lihat e st dapat dikeluarkan dari integral, maka persamaan (3.3) akan menjadi ˆ + y(t) = e st h(τ)e sτ dτ (3.4) Asumsikan bahwa integral pada sisi kanan dari persamaan (3.4) konvergen, maka respon terhadap e st memiliki bentuk y(t) = H(s)e st (3.5) dengan H(s)adalah konstanta kompleks yang nilainya bergantung pada s dan memiliki hubungan dengan respon impuls sistem, yaitu H(s) = ˆ + h(τ)e sτ dτ (3.6) Dari sini kita dapat melihat bahwa kompleks eksponensial adalah eigenfunction dari sistem LTI waktu kontinu. Konstanta H(s) untuk sebuah nilai spesifik s adalah eigenvalue yang berasosiasi dengan eigenfunction e st Sinyal kompleks eksponensial adalah eigenfunction dari sistem LTI DT Dengan cara yang sama kita dapat melihat bahwa barisan kompleks eksponensial adalah eigenfunction dari sistem LTI waktu kontinu. Lihatlah sistem LTI waktu diskrit dengan respon impuls h[n]. Untuk input x[n] = z n, y[n] = + k= h[k]x[n k] = + k= h[k]z n k (3.7) Dengan mengekspresikan z n k sebagai z n z k, dan dapat kita lihat z n dapat dikeluarkan dari integral, maka persamaan (3.7) akan menjadi y[n] = z n + k= h[k]z k (3.8) 53

54 3 Fourier Series Untuk Sinyal Periodik Asumsikan bahwa penjumlahan pada sisi kanan dari persamaan (3.8) konvergen, maka respon terhadap z n memiliki bentuk y[n] = H(z)z n (3.9) dengan H(s) adalah konstanta kompleks yang nilainya bergantung pada s dan memiliki hubungan dengan respon impuls sistem, yaitu H(z) = + k= h[k]z k (3.0) Dari sini kita dapat melihat bahwa kompleks eksponensial adalah eigenfunction dari sistem LTI waktu diskrit. Konstanta H(z) untuk sebuah nilai spesifik z adalah eigenvalue yang berasosiasi dengan eigenfunction z n Kombinasi linear sinyal kompleks eksponensial Untuk analisis sistem LTI, kegunaan dari dekomposisi sinyal umum ke dalam eigenfunction dapat dari sebuah contoh. Misalkan x(t) berkorespondensi kepada kombinasi linear dari tiga buah sinyal kompleks eksponensial, yaitu, x(t) = a e s t + a 2 e s 2t + a 3 e s 3t (3.) Dari sifat eigenfunction, respon masing-masing komponen adalah ae s t a H(s )e s t, a 2 e s 2t a 2 H(s 2 )e s 2t, a 3 e s 3t a 3 H(s 3 )e s 3t, dan dari sifat superposisi, respon terhadap input x(t) adalah penjumlahan dari respon masing-masing komponen, sehingga y(t) = a H(s )e s t + a 2 H(s 2 )e s 2t + a 3 H(s 3 )e s 3t (3.2) Secara umum, pada waktu kontinu, persamaan (3.5), dengan sifat superposisi, mengimplikasikan bahwa representasi sinyal sebagai kombinasi linear dari sinyal kompleks eksponensial memberikan kemudahan untuk memperoleh ekspresi dari respon dari sebuah sistem LTI. Secara spesifik, bila input terhadap seubah sistem LTI waktu kontinu direpresentasikan sebagai kombinasi linear dari sinyal kompleks eksponensial, yaitu, jika x(t) = k a k e s kt, (3.3) maka akan diperoleh output y(t) = k a k H(s k )e s kt. (3.4) Dengan analogi yang sama, jika input terhadap sistem LTI waktu diskrit direpresentasikan sebagai kombinasi linear dari sinyal eksponensial yaitu, jika x[n] = k a k z n k, (3.5) 54

55 3 Fourier Series Untuk Sinyal Periodik maka akan diperoleh output y[n] = k a k H(z k )z n k. (3.6) Dengan perkataan lain, untuk waktu kontinu dan waktu diskrit, jika input terhadap sebuah sistem LTI direpresentasikan dengan kombinasi linear dari sinyal kompleks eksponensial, maka output juga dapat direpresentasikan sebagai kombinasi linear dari sinyal kompleks eksponensial yang sama. Setiap koefisien pada representasi dari output diperoleh dengan perkalian koefisien a k dari input dan eigenvalue dari sistem H(s k ) atau H(z k ) yang berasosiasi dengan eigenfunction e s kt atau z n k. 3.2 Representasi Deret Fourier pada sinyal CT 3.2. Kombinasi linear dari sinyal kompleks eksponensial terhubung harmonik Sebuah sinyal dikatakan periodik jika, untuk terdapat nilai positif T, x(t) = x(t + T ) untuk semua t (3.7) Periode fundamental dari x(t) adalah nilai positif minimum tidak nol dari T sehingga persamaan (3.7) dipenuhi, dan nilai ω 0 = 2π/T didefinisikan sebagai frekuensi fundamental dari sinyal x(t). Kita telah mempelajari dua sinyal dasar periodik, sinyal sinusoidal dan sinyal periodik kompleks eksponensial x(t) = cos ω 0 t (3.8) x(t) = e jω 0t. (3.9) Kedua sinyal ini periodik dengan frekuensi fundamental ω 0 dan periode fundamental T = 2π/ω 0. Terdapat kumpulan sinyal kompleks eksponensial yang terhubung harmonik dengan sinyal pada persamaan (3.9) yaitu φ k (t) = e jkω 0t = e jk(2π/t )t, k = 0, ±, ±2,.... (3.20) Tiap sinyal ini memiliki sebuah frekuensi fundamental yang merupakan kelipatan dari ω 0, dan oleh sebab itu, masing-masing periodik dengan periode T (walaupun untuk k > 2, periode fundamental dari φ k (t) adalah pecahan dari T ). Maka, seubah kombinasi linear dari sinyal kompleks eksponensial yang terhubung harmonik dengan bentuk x(t) = + k= a k e jkω 0t = + k= a k e jk(2π/t )t (3.2) juga periodik dengan periode T. Pada persamaan (3.2) term untuk k = 0 adalah sebuah konstanta. Term untuk k = + dan k =, keduanya memiliki frekuensi fundamental ω 0 dan secara kolektif didefinisikan sebagai komponen fundamental atau komponen harmonik pertama. Dua term untuk k = +2 dan k = 2, adalah periodik dengan setengah periode fundamental (atau ekuivalen, mempunyai frekuensi dua kali lebih besar) dari komponen fundamental dan didefinisikan sebagai komponen harmonik 55

56 3 Fourier Series Untuk Sinyal Periodik kedua. Secara umum, komponen untuk k = +N dan k = N didefinisikan sebagai komponen harmonik ke-n. Representasi dari sinyal periodik dengan bentuk pada persamaan (3.2) didefinisikan sebagai representasi deret Fourier. Misalkan sebuah sinyal periodik x(t), dengan frekuensi fundamental 2π, diekspresikan dengan bentuk dengan x(t) = +3 k= 3 a k e jk2πt, (3.22) a 0 = a = a = 4 a 2 = a 2 = 2 a 3 = a 3 = 3 dengan menulis ulang persamaan (3.22) dan mengumpulkan setiap dari komponen harmonik yang memiliki frekuensi fundamental yang sama, kita akan memperoleh x(t) = + 4 (ej2πt + e j2πt ) + 2 (ej4πt + e j4πt ) (3.23) + 3 (ej6πt + e j6πt ). Dengan menggunakan relasi Euler, kita dapat menuliskan x(t) dalam bentuk x(t) = + 2 cos 2πt + cos 4πt + 2 cos 6πt. (3.24) 3 Persamaan (3.24) adalah contoh dari bentuk alternatif dari deret Fourier untuk sinyal periodik real. Secara spesifik, misalkan x(t) adalah bernilai real dan dapat direpresentasikan dalam bentuk persamaan (3.2). Karena x (t) = x(t), maka kita memperoleh x(t) = + k= a k e jkω 0t. Dengan mengganti k dengan k pada penjumlahan, kita mendapatkan x(t) = + k= a k ejkω 0t, maka bila dibandingkan dengan persamaan (3.2), maka haruslah a k = a k, atau ekivalen juga dengan a k = a k. (3.25) Kita lihat bahwa pada contoh sebelumnya adalah kasus di mana a k adalah bernilai real dan a k = a k. Untuk menurunkan bentuk alternatif dari deret Fourier, kita harus menyusun penjumlahan dalam persamaan (3.2) menjadi 56

57 3 Fourier Series Untuk Sinyal Periodik x(t) = a 0 + [a ] k e jkω0t + a k e jkω 0t k= dengan mengganti a k dengan a k dari persamaan (3.25) maka kita memperoleh x(t) = a 0 + k= [ a k e jkω 0t + a k e jkω 0t ]. Karena dua term di dalam penjumlahan adalah pasangan kompleks konjugat, maka kita peroleh x(t) = a 0 + k= Jika a k dinyatakan dalam bentuk polar sebagai maka persamaan (3.26) menjadi Dapat juga ditulis menjadi x(t) = a x(t) = a { } 2Re a k e jkω 0t. (3.26) a k = A k e jθ k, k= { } Re A k e j(kω 0t+θ k ). A k cos(kω 0 t + θ k ). (3.27) k= Persamaan (3.27) adalah satu bentuk dasar yang ditemui untuk deret Fourier untuk sinyal real periodik waktu kontinu. Bentuk lain diperoleh dengan menulis a k dalam bentuk rectangular sebagai a k = B k + jc k, dengan nilai B k dan C k keduanya bernilai real. Dengan ekspresi ini maka persamaan (3.26) akan mempunyai bentuk x(t) = a [B k cos kω 0 t C k sin kω 0 t]. (3.28) k= Maka untuk fungsi periodik real, deret Fourier dalam term kompleks eksponensial seperti ditunjukkan pada persamaan (3.2), secara matematik ekuivalen dengan dua bentuk baik pada persamaan (3.27) dan (3.28) dengan menggunakan fungsi trigonometri. Namun bentuk persamaan (3.2) memberikan kemudahan untuk analisa kita, maka kita akan lebih sering menggunakannya Menentukan representasi deret Fourier pada sinyal periodik CT Asumsikan bahwa sebuah sinyal periodik dapat direpresentasikan dengan deret dari persamaan x(t) = + k= a k e jkω 0t = + k= a k e jk(2π/t )t, (3.29) 57

58 3 Fourier Series Untuk Sinyal Periodik kita memerlukan sebuah prosedur untuk menentukan koefisien a k. Mengalikan kedua sisi dari persamaan (3.29) dengan e jnω 0t, kita memperoleh x(t)e jnω 0t = + k= a k e jkω 0t e jnω 0t. Dengan melakukan integrasi kedua sisi dari 0 sampai T = 2π/ω 0, kita mempunyai ˆ T 0 x(t)e jnω 0t dt = ˆ T 0 + k= a k e jkω 0t e jnω 0t dt. Dalam hal ini, T adalah periode fundamental dari x(t), dan konsekuensinya, kita melakukan integrasi pada rentang satu periode. Dengan menukar urutan integrasi dan penjumlahan menghasilkan ˆ T 0 x(t)e jnω 0t dt = + k= a k [ˆ T 0 ] e j(k n)ω0t dt. (3.30) Hasil evaluasi dari integrasi dengan kurung siku dengan formula Euler dapat diperoleh, T 0 ej(k n)ω 0t dt = T 0 cos(k n)ω 0tdt (3.3) +j T 0 sin(k n)ω 0tdt. Untuk k n, cos(k n)ω 0 t dan sin(k n)ω 0 t adalah sinyal sinusoidal periodik dengan periode fundamental (T/ k n ). Oleh karena itu, pada persamaan (3.3), kita melakukan integrasi pada sebuah interval (dengan panjang T ). Karena integrasi dapat dipandang sebagai menghitung luas total di bawah fungsi pada rentang integrasi, kita dapat melihat bahwa untuk k n, kedua integrasi pada sisi kanan persamaan (3.3) bernilai nol. Untuk k = n, bagian yang diintegrasikan bernilai, sehingga hasil integrasi bernilai T. Sehingga kita peroleh ˆ { T e j(k n)ω0t T, k = n dt = 0, k n, 0 sehingga, bagian sisi kanan dari persamaan (3.30) menjadi T a n. Sehingga, a n = T ˆ T 0 x(t)e jnω 0t dt, (3.32) yang memberikan persamaan untuk menentukan koefisien. Lebih jauh lagi, ketika melakukan evaluasi pada persamaan (3.3), kita hanya menggunakan fakta rentang integrasi pada interval dengan panjang T. Oleh sebab itu kita akan memperoleh hasil yang sama jika kita melakukan integrasi pada interval dengan panjang T. Maka kita peroleh a n = ˆ x(t)e jnω0t dt. (3.33) T T Jika x(t) memiliki representasi deret Fourier [yaitu dapat diekspresikan sebagai kombinasi linear dari sinyal kompleks eksponensial yang terhubung secara harmonik dalam bentuk persamaan (3.29)], maka koefisien dapat ditentukan oleh persamaan (3.33). Pasangan dari persamaan ini, mendefinisikan deret Fourier dari sinyal periodik waktu kontinu: 58

59 3 Fourier Series Untuk Sinyal Periodik a k = T x(t) = ˆ T + k= a k e jkω 0t = x(t)e jkω 0t dt = T + k= ˆ T a k e jk(2π/t )t (3.34) x(t)e jk(2π/t )t dt. (3.35) Persamaan (3.34) didefinisikan sebagai persamaan sintesis dan persamaan (3.35) didefinisikan sebagai persamaan analisis. Kumpulan koefisien {a k } biasanya disebut koefisien deret Fourier atau koefisien spektral dari x(t). Koefisien kompleks ini mengukur porsi dari sinyal x(t) pada setiap harmonik komponen fundamental. Koefisien a 0 adalah nilai DC atau komponen konstan dari x(t) yang ditentukan oleh persamaan (3.35) dengan k = 0, yaitu a 0 = ˆ x(t)dt, (3.36) T yaitu nilai rata-rata dari x(t) pada satu periode Kasus: Menghitung deret Fourier dari sinyal kotak Sinyal kotak periodik, seperti terlihat pada gambar dan didefinisikan pada satu periode sebagai {, t < T x(t) = 0, T < t < T/2. (3.37) Sinyal ini periodik dengan periode fundamental T dan frekuensi fundamental ω 0 = 2π/T. T x(t) T T T 2 T 0 T T 2 T 2T t Untuk menentukan koefisien deret Fourier untuk x(t), kita menggunakan persamaan (3.35). Karena x(t) simetris pada t = 0, maka akan lebih mudah memilih T/2 t < T/2 sebagai interval dari integrasi, walaupun setiap interval dengan panjang T samasama valid dan menghasilkan hasil yang sama. Dengan menggunakan batas integrasi ini dan menggunakan persamaan (3.37), kita memperoleh untuk k = 0, a 0 = T ˆ T T dt = 2T T. (3.38) Seperti telah disebutkan sebelumnya, a 0 diinterpretasikan sebagai nilai rata-rata dari x(t). Untuk k 0, kita memperoleh a k = T yang dapat ditulis sebagai e jkω0t dt = T jkω 0 T e jkω 0t ˆ T T T, 59

60 3 Fourier Series Untuk Sinyal Periodik a k = 2 kω 0 T [ e jkω 0 T e jkω 0T 2j ]. (3.39) Perhatikan bahwa term dalam kurung siku adalah sin kω 0 T, kita dapat menuliskan koefisien a k sebagai a k = 2 sin (kω 0T ) kω 0 T = sin (kω 0T ), k 0. (3.40) kπ Konvergensi Deret Fourier Pada contoh sebelumnya dapat dilihat walaupun x(t) diskontinu tetapi tiap-tiap komponen harmoniknya kontinu. Fourier menyatakan setiap sinyal periodik dapat direpresentasikan dengan deret Fourier. Walaupun hal ini tidak sepenuhnya tepat, akan tetapi benar bahwa deret Fourier dapat digunakan untuk merepresentasikan sejumlah besar kelas dari sinyal periodik, termasuk sinyal kotak dan sinyal-sinyal periodik lainnya. Kita akan melihat masalah aproksimasi (pendekatan) sinyal periodik x(t) dengan kombinasi linear dari jumlah terbatas sinyal komplek eksponensial terhubung harmonik dengan bentuk, x N (t) = N k= N Kita definisikan error aproksimasi dengan e N (t), yaitu e N (t) = x(t) x N (t) = x(t) a k e jkω 0t. (3.4) N k= N a k e jkω 0t. (3.42) Untuk menentukan seberapa baik sebuah aproksimasi, kita perlu menentukan ukuran kuantitatif dari ukuran error aproksimasi. Kriteria yang akan digunakan adalah energi dari error pada satu periode: ˆ E N = e N (t) 2 dt. (3.43) T Dapat dibuktikan bahwa pilihan untuk koefisien dalam persamaan (3.4) untuk meminimalkan energi dari error adalah a k = ˆ x(t)e jkω0t dt. (3.44) T T Kita dapat persamaan (3.44) adalah indentik dengan ekpsresi yang digunakan untuk menentukan koefisien deret Fourier. Maka jika x(t) memiliki representasi deret Fourier, maka aproksimasi terbaik dengan hanya menggunakan jumlah terbatas dari kombinasi linear sinyal kompleks eksponensial terhubung harmonik dapat diperoleh dengan memotong deret Fourier dengan jumlah term yang diinginkan. Ketika N bertambah, maka jumlah term akan bertambah dan E N akan berkurang. Pada faktanya jika x(t) memiliki representasi deret Fourier maka limit dari E N ketika N adalah nol. Bagaimana menentukan sebuah sinyal x(t) memiliki representasi deret Fourier? Tentu saja untuk semua sinyal, kita dapat mendapatkan kumpulan koefisien Fourier dengan menggunakan persamaan (3.35). Bagaimanapun, pada beberapa kasus integral pada persamaan (3.35) dapat menjadi divergen; yaitu ketika diperoleh beberapa nilai a k adalah tak terbatas (infinite). Lebih lagi, walau semua koefisien yang diperoleh dari persamaan 60

61 3 Fourier Series Untuk Sinyal Periodik (3.35) adalah terbatas (finite), ketika koefisien ini disubtitusikan ke persamaan sintesis (3.34), hasilnya dapat saja tidak konvergen kepada sinyal asli x(t). Beruntungnya, tidak terdapat kesulitan konvergensi untuk sejumlah kelas dari sinyal periodik. Contohnya, setiap sinyal periodik kontinu memiliki representasi deret Fourier dengan energi E N untuk error aproksimasi menuju nol ketika N menuju. Ini juga berlaku untuk banyak sinyal diskontinu. Karena dirasakan berguna untuk memasukkan sinyal diskontinu seperti sinyal kotak, menjadi bermanfaat untuk menyelidiki isu konvergensi dengan lebih detil. Salah satu kelas sinyal periodik yang dapat direpresentasikan dengan deret Fourier adalah sinyal yang memiliki energi terbatas pada interval satu periode, yaitu sinyal dengan ˆ x(t) 2 dt <. (3.45) T Ketika kondisi ini dipenuhi, maka dapat dijamin bahwa koefisien a k yang diperoleh dari persamaan (3.35) adalah terbatas. Lebih jauh lagi, misalkan x N (t) adalah aproksimasi x(t) yang diperoleh dengan menggunakan koefisien ini untuk k N: x N (t) = +N k= N a k e jkω 0t. (3.46) Maka dijamin bahwa energi E N pada error aproksimasi, seperti yang didefinisikan pada persamaan (3.43), konvergen ke 0 ketika kita menambah banyak term. Jika kita mendefinisikan maka e(t) = x(t) ˆ T + k= a k e jkω 0t. (3.47) e(t) 2 dt = 0. (3.48) Tetapi persamaan (3.48) tidak mengimplikasikan bahwa sinyal x(t) dan representasi deret Fourier + k= a k e jkω 0t. (3.49) adalah sama pada setiap nilai t. Persamaan (3.48) hanya menyatakan bahwa tidak terdapat perbedaan energi pada keduanya. Lebih lagi, sebuah alternatif kumpulan kondisi yang dibuat oleh Dirichlet yang berlaku untuk semua sinyal yang akan banyak digunakan, menjamin bahwa x(t) akan sama dengan representasi deret Fourier, kecuali pada nilai t terisolasi yang menyebabkan x(t) diskontinu. Pada nilai ini, deret tak terbatas dari persamaan (3.49) konvergen pada nilai rata-rata dari nilai pada setiap sisi pada diskontinu. Kondisi Dirichlet antara lain: 6

62 3 Fourier Series Untuk Sinyal Periodik Kondisi Pada satu periode manapun, x(t) harus absolutely integrable, yaitu ˆ x(t) dt <. (3.50) T Hal ini akan menjamin bahwa setiap koefisien dari a k akan terbatas karena a k ˆ x(t)e jkω 0t dt = ˆ x(t) dt. (3.5) T T Kondisi 2 T Pada interval waktu terbatas manapun, x(t) memiliki variasi terbatas; yaitu, hanya memiliki sejumlah berhingga maxima dan minima pada satu periode sinyal manapun. Kondisi 3 Pada interval waktu terbatas manapun, hanya terdapat sejumlah berhingga jumlah diskontinuitas. 3.3 Sifat-Sifat Deret Fourier CT Kita akan mendefinisikan sebuah notasi singkat untuk mengindikasikan relasi antara sebuah sinyal periodik dengan koefisien deret Fouriernya, yaitu T x(t) a k 3.3. Linearitas, Time Shifting, Time Reversal Linearitas Misalkan x(t) dan y(t) merupakan dua buah sinyal periodik dengan periode T dan memiliki koefisien deret Fourier a k dan b k, yaitu x(t) a k y(t) b k Karena x(t) dan y(t) memiliki periode yang sama yaitu T, maka dengan mudah disimpulkan bahwa setiap kombinasi linear dari dua sinyal tersebut juga periodik dengan periode T. Lebih jauh lagi, koefisien deret Fourier c k dari kombinasi linear x(t) dan y(t), z(t) = Ax(t) + By(t), diberikan oleh kombinasi linear yang sama dari koefisien deret Fourier untuk x(t) dan y(t). z(t) = Ax(t) + By(t) c k = Aa k + Bb k. (3.52) Sifat linearitas ini juga dengan mudah diperluas kepada kombinasi linear dari sejumlah lain sinyal dengan periode T. 62

63 3 Fourier Series Untuk Sinyal Periodik Time Shifting Ketika pergeseran waktu (time shift) dilakukan pada sinyal periodik x(t), periode T dari sinyal akan tetap sama. Koefisien deret Fourier b k yang dihasilkan dari sinyal y(t) = x(t t 0 ) dapat diekspresikan sebagai b k = ˆ x(t t 0 )e jkω0t dt. (3.53) T T Subtitusi τ = t t 0 pada integral, variabel τ juga memiliki rentang pada interval dengan durasi T, sehingga kita memperoleh ˆ ˆ x(τ)e jkω 0(τ+t 0 ) dτ = e jkω 0t 0 x(τ)e jkω0τ dτ (3.54) T T T e jkω 0t 0 a k = e jk(2π/t )t 0 a k, di mana a k adalah koefisien Fourier dari sinyal x(t), Yaitu jika maka x(t) a k, x(t t 0 ) e jkω 0t 0 a k. Konsekuensi dari sifat ini adalah, ketika sinyal periodik mengalami pergeseran waktu, maka magnitude dari koefisien deret Fourier tidak berubah. Time Reversal Periode T dari sinyal periodik x(t) juga tidak berubah ketika sinyal mengalami time reversal. Untuk menentukan koefisien deret Fourier dari y(t) = x(t), kita akan melihat pengaruh dari time reversal pada persamaan sintesis (3.34): x( t) = Buat subtitusi k = m, kita memperoleh y(t) = x( t) = + k= + m= T a k e jk2πt/t a m e jm2πt/t Kita dapat melihat sisi kanan dari persamaan ini memiliki bentuk sintesis deret Fourier untuk x( t), di mana koefisien b k adalah Jadi jika maka b k = a k. x(t) a k, x( t) a k. 63

64 3 Fourier Series Untuk Sinyal Periodik Time Scaling, Multiplication, Konjugasi dan Simetri Konjugat Time Scaling Time scaling adalah operasi perubahan periode dari sinyal. Jika x(t) periodik dengan periode T dan frekuensi fundamental ω 0 = 2π/T, maka x(αt) dengan α adalah sebuah bilangan real positif adalah periodik dengan periode T/α dan frekuensi fundamental αω 0. Karena operasi time scaling beroperasi langsung pada setiap komponen harmonik dari x(t), maka dapat disimpulkan bahwa koefisien deret Fourier untuk tiap-tiap komponen adalah tetap sama. Jika x(t) memiliki representasi deret Fourier, maka x(αt) = + k= adalah representasi deret Fourier dari x(αt). Multiplication a k e jk(αω 0)t Misalkan x(t) dan y(t) merupakan dua buah sinyal periodik dengan periode T dan memiliki koefisien deret Fourier a k dan b k, yaitu x(t) a k, y(t) b k. Karena hasil perkalian x(t)y(t) juga periodik dengan periode T, kita dapat melakukan ekspansi dalam sebuah deret Fourier dengan koefisien deret Fourier h k dengan Konjugasi dan Simetri Konjugat x(t)y(t) h k = + l= a l b k l (3.55) Mengambil kompleks konjugat dari sinyal periodik x(t) mempunyai imbas kompleks konjugasi dan time reversal pada koefisien deret Fourier yang diperoleh. Yaitu jika maka x(t) a k, x (t) a k. Beberapa konsekuensi menarik dapat diperoleh dari sifat ini untuk x(t) real, yaitu ketika x(t) = x (t). Pada kasus ini diperoleh koefisien deret Fourier akan konjugat simetris, a k = a k. Jika x(t) bernilai real maka a 0 juga bernilai real dan a k = a k. Jika x(t) bernilai real dan fungsi genap maka a k = a k. Jika x(t) bernilai real dan fungsi ganjil maka koefisien deret Fourier merupakan bilangan imajiner murni dan ganjil. 64

65 3 Fourier Series Untuk Sinyal Periodik Relasi Parseval untuk Sinyal Periodik Waktu kontinu Relasi Parseval untuk sinyal periodik waktu kontinu adalah T ˆ T x(t) 2 dt = + k= a k 2, di mana a k adalah koefisien deret Fourier dari x(t) dan T adalah periodenya. Juga berlaku, ˆ a k e jkω 0t 2 dt = ˆ a k 2 dt = a k 2, T T T a k 2 adalah daya rata-rata pada komponen harmonik ke-k dari x(t). Jadi yang hendak dikatakan oleh relasi Parseval adalah total daya rata-rata dari sinyal periodik adalah sama dengan jumlah dari daya rata-rata dari komponen harmoniknya Contoh Soal Carilah x(t) bila kita diberikan beberapa fakta tentang sinyal x(t):. x(t) adalah sinyal real. 2. x(t) adalah periodik dengan T = 4, dan memiliki koefisien deret Fourier a k. 3. a k = 0 untuk k >. 4. Sinyal dengan koefisien Fourier b k = e jπk/2 a k adalah sinyal genap x(t) 2 dt = / Deret Fourier untuk sinyal DT dan sifat-sifatnya 3.4. Kombinasi linear dari sinyal kompleks eksponensial terhubung harmonik Sinyal waktu diskrit x[n] adalah periodik dengan periode N jika T x[n] = x[n + N]. (3.56) Periode fundamental adalah bilangan bulat N positif yang terkecil di mana persamaan (3.56) berlaku, dan ω 0 = 2π/N adalah frekuensi fundamental. Sinyal kompleks eksponensial e j(2π/n)n adalah periodik dengan periode N, maka sekumpulan sinyal kompleks eksponensial periodik waktu diskrit dengan periode N diberikan oleh φ k [n] = e jkω 0n = e jk(2π/n)n, k = 0, ±, ±2,... (3.57) Semua sinyal ini mempunyai frekuensi-frekuensi fundamental yang merupakan kelipatan dari 2π/N dan dengan demikian terhubung secara harmonik. Dalam hal ini hanya terdapat sekumpulan N buah sinyal berbeda. Hal ini merupakan konsekuensi dari fakta bahwa sinyal kompleks eksponensial waktu diskrit yang memiliki perbedaan frekuensi sebesar kelipatan dari 2π adalah identik. Dari fakta ini kita memperoleh kombinasi linear dari sinyal kompleks eksponensial terhubung harmonik untuk sinyal waktu diskrit adalah 65

66 3 Fourier Series Untuk Sinyal Periodik x[n] = k= N a k φ k [n] = k= N a k e jkω 0n = k= N a k e jk(2π/n)n. (3.58) Umumnya kita menggunakan nilai k = 0,,..., N. Persamaan (3.58) didefinisikan sebagai deret Fourier waktu diskrit dan koefisien-koefisien a k sebagai koefisien-koefisien deret Fourier-nya Menentukan representasi deret Fourier pada sinyal periodik DT Misalkan kepada kita diberikan sinyal x[n] yang periodik dengan periode fundamental N. Kita ingin menentukan apakah terdapat representasi x[n] dalam bentuk persamaan (3.58), dan jika ada kita ingin mendapatkan koefisien a k. Kita dapat memperolehnya dengan mencari solusi dari sekumpulan persamaan linear. Bila kita melakukan evaluasai dari persamaan (3.58) untuk N buah nilai n yang berurutan dalam satu periode x[n], kita memperoleh x[0] = x[] = k= N x[n ] = k= N. k= N a k a k e j2πk/n (3.59) a k e j2πk(n )/N Persamaan (3.59) merepresentasikan N buah persamaan linear untuk N buah koefisien a k. Dapat dilihat kumpulan persamaan ini bersifat bebas linear dan dapat diselesaikan untuk memperoleh koefisen a k. Dapat diperoleh a r = N n= N x[n]e jr(2π/n)n Kita memiliki pasangan persamaan deret Fourier waktu diskrit sebagai berikut: a k = N x[n] = a k e jkω 0n = n= N x[n]e jkω 0n = N k= N a k e jk(2π/n)n, (3.60) n= N x[n]e jk(2π/n)n. (3.6) Persamaan (3.60) merupakan persamaan sintesis dan persamaan (3.6) merupakan persamaan analisis. Seperti pada waktu kontinu, koefisien deret Fourier waktu diskrit a k juga sering disebut sebagai koefisien spektral dari x[n]. Hal penting yang harus diperhatikan adalah hanya terdapat N buah term pada representasi deret Fourier waktu diskrit. 66

67 3 Fourier Series Untuk Sinyal Periodik Sifat Deret Fourier DT Terdapat kemiripan yang kuat antara sifat-sifat deret Fourier waktu diskrit dengan sifatsifat deret Fourier waktu kontinu. Akan digunakan notasi singkat untuk mengindikasikan relasi antara sebuah sinyal periodik dengan koefisien deret Fourier dengan Linearitas Jika maka Time Shifting jika maka Frequency Shifting Jika maka Time Reversal Jika maka x[n] a k. x[n] a k, y[n] b k, Ax[n] + By[n] Aa k + Bb k. x[n] a k, x[n n 0 ] e jk(2π/n)n 0 a k. x[n] a k, e jm(2π/n)n x[n] a k M. x[n] a k, x[ n] a k. 67

68 3 Fourier Series Untuk Sinyal Periodik Multiplikasi Jika x[n] a k, y[n] b k, maka x[n]y[n] d k = l= N a l b k l. Diferensiasi Pertama Jika x[n] a k, maka x[n] x[n ] ( e jk(2π/n) )a k. Relasi Parseval untuk Sinyal Periodik Waktu Diskrit Relasi Parseval diberikan oleh persamaan N n= N x[n] 2 = n= N a k 2. (3.62) Persamaan ruas kiri dari relasi Parseval adalah daya rata-rata dari satu periode sinyal periodik x[n]. a k 2 adalah daya rata-rata dari harmonik ke-k dari komponen x[n]. Jadi sekali lagi, relasi Parseval menyatakan bahwa daya rata-rata dari sinyal periodik adalah sama dengan jumlah dari daya rata-rata dari semua komponen harmoniknya. Pada waktu diskrit, tentu saja hanya terdapat N buah komponen harmonik yang berbeda Contoh Soal Cari sinyal x[n] bila kita diberikan beberapa fakta tentang sinyal x[n]:. x[n] adalah periodik dengan N = n=0 x[n] = n=2 ( )n x[n] =. 4. x[n] memiliki daya minimum per periode di antara sekumpulan sinyal yang memenuhi tiga kondisi sebelumnya. 68

69 3.5 Sistem LTI dan Filter 3 Fourier Series Untuk Sinyal Periodik 3.5. Sistem LTI dan Respon Frekuensi Kita telah melihat bahwa representasi deret Fourier dapat digunakan untuk membentuk setiap sinyal periodik waktu diskrit dan semua sinyal periodik waktu kontinu yang penting. Kita juga telah melihat respon sistem LTI kepada kombinasi linear dari sinyal kompleks eksponensial memberikan bentuk yang sederhana. Contohnya untuk waktu kontinu, jika x(t) = e st adalah input kepada sistem LTI waktu kontinu, maka menghasilkan output y(t) = H(s)e st, dengan H(s) = ˆ + h(τ)e sτ dτ, (3.63) dengan h(t) adalah respon impuls dari sistem LTI. Demikian juga sdengan sistem waktu diskrit, jika x[n] = z n adalah input kepada sistem LTI waktu diskrit, maka menghasilkan output y[n] = H(z)z n, dengan H(z) = + k= h[k]z k, (3.64) dengan h[n] adalah respon impuls dari sistem LTI. H(s) dan H(z) didefinisikan sebagai fungsi sistem dari sistem yang bersesuaian, dengan s dan z adalah bilangan kompleks umum. Untuk sinyal dan sistem waktu kontinu, kita akan melihat kasus khusus untuk Re{s} = 0, sehingga s = jω, sehingga e st adalah dalam bentuk e jωt. Ini adalah input kompleks eksponensial pada frekuensi ω. Fungsi sistem adalah dalam bentuk s = jω, H(jω) dilihat sebagai fungsi dari ω didefinisikan sebagai respon frekuensi dari sistem dan dituliskan dengan H(jω) = ˆ + h(t)e jωt dt. (3.65) Dengan cara yang sama untuk sinyal dan sistem waktu diskrit, kita akan melihat kasus khusus untuk nilai z dengan z =, sehingga z = e jω, sehingga z n adalah dalam bentuk e jωn. Ini adalah input kompleks eksponensial pada frekuensi ω. Fungsi sistem adalah dalam bentuk z = e jω, H(e jω ) dilihat sebagai fungsi dari ω didefinisikan sebagai respon frekuensi dari sistem dan dituliskan dengan H(e jω ) = + n= h[n]e jωn. (3.66) Respon sebuah sistem LTI terhadap sinyal kompleks eksponensial dengan bentuk e jωt (untuk waktu kontinu) atau e jωn (untuk waktu diskrit) adalah sangat sederhana untuk mengekspresikan respon frekuensi dari sistem. Lebih jauh lagi karena berlaku sifat superposisi dari sistem LTI, maka kita dapat mendapatkan respon sistem LTI dengan kombinasi linear dari sinyal kompleks eksponensial. Untuk kasus waktu kontinu, misalkan x(t) adalah sinyal periodik dengan representasi deret Fourier diberikan oleh x(t) = + k= a k e jkω 0t. (3.67) 69

70 3 Fourier Series Untuk Sinyal Periodik Misalkan kita menggunakan sinyal ini sebagai input dari sistem LTI dengan respon impuls h(t). Karena setiap sinyal kompleks eksponensial pada persamaan (3.67) adalah eigenfunction dari sistem, maka output dari sistem adalah y(t) = + k= a k H (jkω 0 ) e jkω 0t. (3.68) Maka output y(t) juga adalah periodik dengan frekuensi fundamental yang sama seperti x(t). Lebih lagi, jika {a k } adalah kumpulan koefisien deret Fourier untuk input x(t), maka {a k H (jkω 0 )} adalah kumpulan koefisien deret Fourier untuk output y(t). Jadi, impak dari sistem LTI waktu kontinu adalah melakukan modifikasi secara individual setiap dari koefisien Fourier dari input melalui multiplikasi dengan nilai dari respon frekuensi pada frekuensi yang bersesuaian. Untuk kasus waktu diskrit, misalkan x[n] adalah sinyal periodik dengan representasi deret Fourier diberikan oleh x[n] = k= N a k e jk(2π/n)n. (3.69) Misalkan kita menggunakan sinyal ini sebagai input dari sistem LTI dengan respon impuls h[n]. Karena setiap sinyal kompleks eksponensial pada persamaan (3.69) adalah eigenfunction dari sistem, maka output dari sistem adalah y[n] = ( a k H e jk(2π/n)) e jk(2π/n)n. (3.70) k= N Maka output y[n] juga adalah periodik dengan frekuensi fundamental yang sama seperti x[n]. Lebih lagi, jika {a k } adalah kumpulan koefisien deret Fourier untuk input x[t], maka {a k H ( e jk(2π/n)) } adalah kumpulan koefisien deret Fourier untuk output y[t]. Jadi, impak dari sistem LTI waktu diskrit adalah melakukan modifikasi secara individual setiap dari koefisien Fourier dari input melalui multiplikasi dengan nilai dari respon frekuensi pada frekuensi yang bersesuaian Contoh Soal Sistem LTI Misalkan sebuah sinyal dengan x(t) = +3 k= 3 a k e jk2πt, a 0 = a = a = 4 a 2 = a 2 = 2 a 3 = a 3 = 3 adalah input kepada sistem LTI dengan respon impuls h(t) = e t u(t). 70

71 3 Fourier Series Untuk Sinyal Periodik Untuk menghitung koefisien deret Fourier dari sinyal output y(t), maka kita harus menghitung respon frekuensi: H(jω) = ˆ 0 H(jω) = e τ e jωτ dτ + jω. (3.7) dengan menggunakan persamaan (3.68) dan persamaan (3.7), dengan fakta ω 0 = 2π, maka kita memperoleh dengan b k = a k H (jk2π), sehingga y(t) = +3 k= 3 b k e jk2πt, Filter Frekuensi Shaping b 0 = b = ( ), b = ( ), 4 + j2π 4 j2π b 2 = ( ), b 2 = ( ), 2 + j4π 2 j4π b 3 = ( ), b 3 = ( ). 3 + j6π 3 j6π Sistem LTI yang dapat mengubah bentuk dari spektrum seringkali didefinisikan sebagai filter frekuensi shaping. Satu aplikasi dari filter frekuensi shaping adalah seing ditemukan pada sistem audio. Contohnya pada sistem ini, filter LTI memungkinkan pengguna untuk melakukan modifikasi dari jumlah relatif dari energi frekuensi rendah (bass) dan energi frekuensi tinggi (treble). Kelas lain dari filter frekuensi shaping sering ditemui di mana output dari sistem adalah turunan dari input, yaitu y(t) = d x(t)/dt. Dengan x(t) dalam bentuk x(t) = e jωt, akan diperoleh y(t) = jωe jωt, sehingga diperoleh respon frekuensi adalah H(jω) = jω. (3.72) Dari respon frekuensi filter diferensiator ini, maka sinyal kompleks eksponensial e jωt akan mendapatkan penguatan lebih besar untuk nilai ω yang lebih besar. Filter ini digunakan untuk memperkuat variasi yang cepat atau transisi dari sinyal. Salah satu kegunaan dari filter diferensiator ini adalah sering digunakan untuk memperbaiki edge dalam pengolahan gambar Filter Selektif Frekuensi Filter selektif frekuensi adalah sebuah kelas filter yang dibuat dengan tujuan secara akurat atau mendekati melewatkan beberapa band frekuensi dan meredam band lainnya. Penggunaan dari filter selektif frekuensi muncul pada beberapa situasi, contohnya jika derau pada sebuah rekaman audio berada pada band frekuensi yang lebih tinggi dibandingkan dengan musik atau suara pada rekaman, maka derau dapat dihilangkan dengan filter selektif frekuensi. 7

72 3 Fourier Series Untuk Sinyal Periodik Filter low pass adalah filter yang melewatkan frekuensi rendah dan melakukan peredaman pada frekuensi yang lebih tinggi. Filter high pass adalah filter yang melewatkan frekuensi tinggi dan melakukan peredaman pada frekuensi rendah. Filter band pass adalah filter yang melewatkan sebuah band frekuensi dan melakukan peredaman pada frekuensi yang lebih tinggi dan lebih rendah dari band frekuensi tersebut. Frekuensi cut off adalah yang mendefinisikan batasan frekuensi yang dilewatkan (frekuensi pass band) dan frekuensi yang diredam (frekuensi stop band). Filter selektif frekuensi ideal adalah filter yang secara akurat melewatkan sinyal kompleks eksponensial tanpa distorsi pada pass band dan meredam secara lengkap sinyal pada stop band. Filter ideal berguna untuk mendeskripsikan konfigurasi sistem ideal untuk berbagai aplikasi, namun filter ini tidak dapat direalisasikan sehingga kita hanya bisa melakukan aproksimasi (pendekatan) dari filter ideal ini. 3.6 Contoh Filter CT dan DT LCCDE untuk sinyal periodik 3.6. Filter RC Lowpass CT Rangkaian elektrik banyak digunakan untuk mengimplementasikan operasi pemfilteran waktu kontinu. Satu contoh paling sederhana adalah rangkaian seri RC order satu seperti diperlihatkan pada gambar berikut, di mana sumber tegangan v s (t) adalah input dari sistem. Rangkaian ini dapat digunakan untuk menghasilkan baik operasi filter low pass maupun filter high pass, bergantung pada apa yang kita ambil sebagai sinyal output. Misalkan kita mengambil tegangan kapasitor v c (t) sebagai output. Tegangan output ini berhubungan dengan tegangan input melalui persamaan diferensial linear dengan koefisien konstan + RC dv c(t) dt + v c (t) = v s (t). (3.73) v R (t) + v s (t) + v C (t) Asumsikan sistem relaks, sistem dengan persamaan (3.73) adalah sistem LTI. Untuk menentukan respon frekuensi H(jω), dengan definisi, dengan tegangan input v s (t) = e jωt, kita akan memiliki tegangan output v c (t) = H(jω)e jωt. Jika kita mensubsitusikannya, kita akan memperoleh Maka akan diperoleh RC d dt [ H(jω)e jωt ] + H(jω)e jωt = e jωt. (3.74) H(jω) = + RCjω. (3.75) 72

73 3 Fourier Series Untuk Sinyal Periodik Besar dari respon frekuensi H(jω) diperlihatkan pada gambar di bawah. Perhatikan untuk frekuensi-frekuensi di dekat ω = 0 maka H(jω), sedangkan untuk harga ω yang lebih besar (positif atau negatif), maka H(jω) agak lebih kecil dan kenyataannya tetap berkurang selama ω bertambah. Dengan demikian, filter RC yang sederhana ini (dengan v c (t) sebagai output) merupakan filter low pass non ideal. H(ω) /RC 0 /RC ω H(ω) π/2 /RC π/4 π/4 /RC π/2 ω Tanggapan impuls dari sistem yang digambarkan oleh persamaan (3.73) adalah h(t) = RC e t/rc u(t), (3.76) dan respon terhadap sinyal step adalah [ s(t) = e t/rc] u(t), (3.77) dengan digambarkan pada gambar berikut (dengan τ = RC). h(t) τ τe τ t s(t) e τ t 73

74 3 Fourier Series Untuk Sinyal Periodik Filter RC Highpass CT Sebagai rangkaian alternatif dalam memilih tegangan kapasitor sebagai output dalam rangkaian RC, kita dapat memilih tegangan resistor. Dalam kasus ini persamaan diferensial yang menghubungkan input dengan output adalah RC dv r(t) + v r (t) = RC dv s(t). (3.78) dt dt Asumsikan sistem relaks, sistem dengan persamaan (3.78) adalah sistem LTI. Untuk menentukan respon frekuensi G(jω), dengan definisi, dengan tegangan input v s (t) = e jωt, kita akan memiliki tegangan output v r (t) = G(jω)e jωt. Jika kita mensubsitusikannya, kita akan memperoleh Maka akan diperoleh RC dg(jω)ejωt dt + G(jω)e jωt = RC dejωt. (3.79) dt G(jω) = jωrc + ωrc. (3.80) Besar dari respon frekuensi G(jω) diperlihatkan pada gambar di bawah. H(ω) /RC 0 /RC ω H(ω) π/2 π/4 /RC /RC π/4 π/2 ω Tanggapan step dari filter high pass adalah s(t) = e t/rc u(t), (3.8) dengan digambarkan pada gambar berikut (dengan τ = RC). s(t) e τ = RC t 74

75 3 Fourier Series Untuk Sinyal Periodik Filter DT rekursif orde Filter waktu diskrit reskursif orde adalah sistem LTI yang digambarkan dengan persamaan difference orde satu y[n] ay[n ] = x[n] (3.82) Dari sifat fungsi eigen sinyal kompleks eksponensial, kita mengetahui jika x[n] = e jωn, maka y[n] = H(e jω )e jωn, dengan H(e jω ) adalah respon frekuensi dari sistem. Subtitusi ke persamaan (3.82), maka kita memperoleh atau sehingga diperoleh H(e jω )e jωn ah(e jω )e jω(n ) = e jωn, (3.83) [ ae jω ]H(e jω )e jωn = e jωn, (3.84) H(e jω ) = ae jω (3.85) Kita melihat bahwa, untuk a bernilai positif, persamaan difference berlaku seperti filter low pass dengan atenuasi minimal pada frekuensi rendah di dekat ω = 0 dan atenuasi bertambah ketika kita menambah ω menuju ω = π. Untuk a bernilai negatif, persamaan difference berlaku seperti filter high pass melewatkan frekuensi rendah di dekat ω = π dan meredam frekuensi rendah, sedangkan untuk setiap bilangan positif a <, sistem mendekati filter low pass. Untuk setiap bilangan negatif a >, sistem mendekati filter high pass, di mana a mengendalikan ukuran dari passband filter, passband melebar ketika a bertambah Filter DT non-rekursif Bentuk umum dari filter waktu diskrit non rekursif (filter Finite Impulse Response) adalah y[n] = M k= N b k x[n k]. (3.86) Output y[n] adalah nilai rata-rata terbobot dari (N + M + ) buah x[n] dari x[n M] sampai x[n + N], dengan bobot diberikan oleh koefisien b k. Sistem dengan bentuk ini dapat digunakan untuk berbagai macam kebutuhan pemfilteran, termasuk filter selektif frekuensi. Satu jenis filter yang sering digunakan adalah filter moving average, di mana output y[n] untuk setiap n, anggap n 0 merupakan nilai rata-rata dari harga x[n] di sekitar n Penutup Representasi sinyal periodik menggunakan sinyal kompleks eksponensial dikenal sebagai deret Fourier waktu kontinu dan deret Fourier waktu diskrit. Representasi kompleks eksponensial dapat digunakan untuk membentuk berbagai bentuk sinyal yang berguna melalui superposisi. 75

76 3 Fourier Series Untuk Sinyal Periodik Melalui sifat superposisi, respon dari sistem LTI terhadap input yang terdiri dari kombinasi linear dari sinyal dasar adalah kombinasi linear yang sama dari respon individual terhadap setiap sinyal dasar tersebut. 76

77 4 Transformasi Fourier Waktu Kontinu Sinyal waktu kontinu secara umum (periodik maupun tidak periodik) dapat dapat direpresentasikan menurut kernel integral, salah satunya disebut transformasi Fourier (spektrum). Banyak sifat istimewa dan intrepretasi deret Fourier, terutama terkait dengan fungsi eigen dan kandungan frekuensi, berlaku juga di transformasi Fourier. Secara khusus transformasi Fourier memperlihatkan spektrum distribusi energi berdasarkan frekuensi. Transformasi Fourier lebih umum dari deret Fourier, dan deret Fourier, yang hanya didefinisikan untuk sinyal periodik, dapat dianggap kasus khusus dari transformasi Fourier. Analisa transformasi Fourier dapat dipermudah dengan sifat-sifat transformasi serta mengingat pasangan transformasi dari sinyal primitif. Sistem juga dapat dimodelkan dengan transformasi Fourier dari respons impuls, yang disebut respons frekuensi. Secara khusus, untuk sistem LCCDE (linear differential constant coefficients), respons frekuensi berbentuk pecahan dari polinomial frekuensi. Perlu disampaikan bahwa transformasi Fourier dapat didefinisikan secara independen dari deret Fourier. Namun pengetahuan kita sebelumnya mengenai deret Fourier membantu kita secara lebih intuitif untuk memahami makna transformasi Fourier: pola distribusi energi menurut frekuensi. Bahkan transformasi Fourier diperkenalkan sebagai ekstensi deret Fourier dengan menganggap sinyal aperiodik adalah sinyal periodik dengan periode menuju tak hingga. Tujuan dari bab ini adalah membekali peserta dengan pengetahuan dan kemampuan untuk menghitung representasi Fourier dari sinyal aperiodik dan periodik, serta menerapkannya untuk menghitung output dari sistem LTI dan LCCDE. 4. Transformasi Fourier Untuk Sinyal CT Aperiodik 4.. Definisi dan Tinjauan Umum 4... Definisi Secara umum sebuah sinyal CT x(t) dapat direpresentasikan oleh X (τ) menurut hubungan berbentuk integral terhadap sebuah kernel s(t, τ): x(t) = ˆ X (τ) s(t, τ)dτ (4.) Dalam kasus transformasi Fourier, kita memilih τ = ω, dan kernel s(t, τ) = 2π ejωt. Maka X (τ) = X (ω) disebut transfromasi Fourier (spektrum) dari x(t) menurut x(t) = 2π ˆ X (ω) e jωt dω (4.2) Sama dengan semua representasi integral kernel, transformasi Fourier dari x(t), yaitu X (ω), dapat dihitung melalui integral dari x(t) terhadap konjugasi dari kernel: X (ω) = ˆ x(t)e jωt dt (4.3) 77

78 4 Transformasi Fourier Waktu Kontinu Pada umumnya spektrum X (ω) adalah bilangan kompleks, sehingga dapat direpresentasikan secara rektangular dan polar sebagai X (ω) = Re {X (ω)} + jim {X (ω)} (4.4) di mana magnituda spektrum: X (ω) = dan sudut spektrum atau fasa: X (ω) = X (ω) e j X(jω) (4.5) Re {X (ω)} 2 + Im {X (ω)} 2 (4.6) X (ω) = arctan Im {X (ω)} Re {X (ω)} (4.7) Konvergensi Pada kondisi apa transformasi Fourier X (ω) dijamin konvergen? Konvergensi terjadi berdasarkan besar error e (t) = x(t) ˆ X (ω) e jωt dω 2π. Bila sinyal x(t) memiliki energi terbatas ˆ x (t) 2 dt < maka konvergensi transformasi Fourier X (ω) dicapai berdasarkan pengertian bahwa energi error 0, yakni ˆ e (t) 2 dt = 0 2. Bila sinyal x(t) memenuhi kondisi Dirichlet, yakni a) absolutety integrable ˆ x (t) dt < b) hanya ada sejumlah terbatas maksima dan minima pada setiap interval c) hanya ada sejumlah terbatas diskontinuitas maka konvergensi transformasi Fourier X (ω) dicapai berdasarkan pengertian bahwa e (t) = 0. 78

79 4 Transformasi Fourier Waktu Kontinu Tabel 4.: Ringkasan pasangan transformasi Fourier untuk sinyal aperiodik. x(t) X(ω) δ (t) δ (t t 0 ) e jωt 0 e at u(t); Re {a} > 0 a+jω te at u(t); Re {a} > 0 (a+jω) 2 t n (n )! e at u(t); Re {a} > 0 (a+jω) n u(t) jω + πδ (ω) 4..2 Beberapa Contoh Kasus Aperiodik Tabel 4. meringkas transformasi Fourier untuk beberapa kasus sinyal dasar aperiodik, yang sebagian dapat dijelaskan pada bagian berikut ini. Secara khusus, kita perlu memahami spektrum dari sinyal eksponensial. Kasus: Cari transformasi Fourier (spektrum distribusi energi) dari δ (t). Jawab: X (ω) = δ (t) e jωt dt = Kasus: Sebuah sinyal x(t) = e at u(t) dengan a > 0. (spektrum X (ω)). x(t) Cari transformasi Fouriernya e Jawab: karena a X (ω) = ˆ 0 e at e jωt dt = t ˆ 0 e (a+jω)t dt = a + jω e (a+jω)t 0 = a + jω e (a+jω)t = 0 e (a+jω) = 0 = e (a+jω)0 Dalam representasi polar, transformasi ini berbentuk X (ω) = a 2 + ω 2 79

80 4 Transformasi Fourier Waktu Kontinu Magnituda spektrum (distribusi energi): ( ω ) X (ω) = arctan a X(ω) a a 2 a 0 a ω Sudut spektrum atau fasa: X(ω) π/2 a π/4 π/2 π/4 a ω Kasus: Sebuah sinyal x(t) = e a t dengan a > 0. Cari transformasi Fouriernya: X (ω). x(t) e a a t Jawab: Distribusi energi nya ternyata berfasa 0 ( X (ω) = 0) karena: = X (ω) = ˆ = 0 ˆ e (a jω)t dt + e a t e jωt dt ˆ a jω + a + jω = 0 e (a+jω)t dt 2a a 2 + ω 2 80

81 4 Transformasi Fourier Waktu Kontinu X(ω) 2 a a a a ω 4..3 Ekstensi Deret Fourier Untuk Sinyal Aperiodik Bagaimana memahami transformasi Fourier sebagai distribusi energi dari sinyal aperiodik dalam pengertian yang serupa dengan deret Fourier? Asumsi kita memiliki sinyal aperiodik x(t) yang bernilai 0 untuk rentang t > T/2 kemudian kita menggunakannya untuk mengkonstruksi sinyal periodik x p (t) dengan mereplikasi x(t) menurut x p (t) = k= x(t kt ) (4.8) Dengan cara konstruksi seperti ini maka khusus dalam rentang t T/2 berlaku x(t) = x p (t), T 2 t T 2 (4.9) Mudah diperlihatkan sinyal x p (t) periodik dengan periode T (dan berarti memiliki frekuensi dasar ω 0 ), sehingga berlaku deret Fourier x p (t) = + k= a k e jkω 0t = + k= jk(2π/t )t a k e dan distribusi daya (atau energi dalam satu perioda) adalah a k = T ˆ T 2 T 2 x p (t)e jkω 0t dt Tapi juga akibat Persamaan (4.9) kita dapat memperoleh deret Fourier dari x p (t) langsung dari sinyal aperiodik x(t) menurut a k = T ˆ T 2 T 2 x(t)e jkω 0t dt (4.0) Lihat bahwa dengan membuat T sekalipun, persamaan (4.0) tetap menghasilkan deret Fourier tersebut. Saat T, maka x p (t) semakin menyerupai sinyal aperiodik x(t), dengan a k = T ˆ x(t)e jkω 0t dt 8

82 4 Transformasi Fourier Waktu Kontinu Maka kita simpulkan bahwa persamaan ini adalah terkait distribusi energi sinyal x(t), khusus untuk sinyal yang bernilai 0 untuk rentang t > T/2 Sekarang kita ingin tahu bagaimana sifat distribusi energi x(t) untuk berbagai nilai T. Perhatikan kalau kita mendefinisikan besaran (yang sudah kita kenal sebagai transformasi Fourier) X (ω) = ˆ x(t)e jωt dt maka distribusi energi a k bersumber dari X (ω) menurut a k = T X (kω 0) Kita simpulkan bahwa deret Fourier dari sinyal periodik x p (t) yang dikonstruksi menurut persamaan 4.8 (i) proporsional dengan sampel berjarak ω 0 dari transformasi Fourier sinyal aperiodik pengkonstruksi x(t), dan (ii) berbanding terbalik dengan periode konstruksi T, atau: a k T = X (ω) ω=kω0 (4.) Dengan kata lain X (ω) adalah envelop dari a k T. T membesar, jarak sampling ω 0 merapat, sehingga a k semakin menyerupai X (ω). Karena x p (t) bersumber dari x(t), sehingga energi (atau tepatnya daya) x p (t) bersumber dari energi x(t), maka kita melihat bahwa distribusi energi dari x(t) diatur oleh X (ω) menurut pengertian yang serupa (meskipun tidak persis sama) dengan deret Fourier. Tepatnya, X (ω) adalah densitas dari energi x(t) berdasarkan frekuensi. Itulah sebabnya transformasi Fourier disebut juga spektrum (densitas) Transformasi Fourier Sinyal Periodik Tabel 4.2 meringkas pasangan transformasi untuk kasus sinyal periodik. Secara konvensional sinyal periodik ini sebenarnya tidak memiliki transformasi Fourier karena tidak memenuhi sifat konvergensi energi (mengapa?). Konvergensi secara daya baru bisa dicapai dengan bantuan konsep spektrum impuls δ (ω). Kita tahu bahwa sinyal δ (t) memiliki spektrum X (ω) =. Sebaliknya menurut Persamaan (4.3) sinyal x(t) = memiliki spektrum 2πδ (ω). Berbekal konsep ini maka transformasi Fourier dari sinyal x(t) periodik adalah { + } + X (ω) = F a k e jkω 0t = a k F {e } jkω 0t X (ω) = k= + k= a k F {x k (t)} = di mana kita mendefinisikan sebuah sinyal x k (t) k= + k= x k (t) = e jkω 0t = e jkω 0t x(t) a k X k (ω) dengan x(t) =. Dari sifat transformasi Fourier (Tabel 4.3), kita peroleh transformasi Fourier X k (ω) yang berbentuk sebuah sample tergeser sejauh kω 0. X k (ω) = 2πδ (ω kω 0 ) 82

83 4 Transformasi Fourier Waktu Kontinu maka transformasi Fourier dari setiap sinyal periodik adalah X (ω) = + k= a k 2πδ (ω kω 0 ) (4.2) Dengan kata lain, transformasi Fourier dari sinyal periodik adalah sederetan pulsa yang berspasi kω 0 dengan besar 2πa k pada setiap pulsa. Kasus: Cari transformasi Fourier dari sinyal x (t) = sin(ω 0 t) dan x 2 (t) = cos(ω 0 t). Karena deret Fourier dari kedua sinyal ini adalah 0 kecuali a = /2j dan a = /2j untuk sinyal x (t), serta a = /2 dan a = /2 untuk sinyal x 2 (t), maka X (ω) = π j δ (ω + ω 0) + π j δ (ω ω 0) X 2 (ω) = π 2 δ (ω + ω 0) + π 2 δ (ω ω 0) X (ω) π j π X 2 (ω) π ω 0 0 ω 0 ω ω 0 0 ω 0 ω π j Kasus: Cari transformasi Fourier dari sinyal x (t) = δ (t kt ) k= Jawab: Karena deret Fouriermya adalah ˆ T/2 a k = T T/2 δ (t) e jkω 0t dt = T Maka X (ω) = 2π T + k= δ (ω kω 0 ) Kasus: Cari transformasi Fourier dari sinyal deretan kotak berikut ini x(t) T T T 2 T 0 T T 2 T 2T t 83

84 4 Transformasi Fourier Waktu Kontinu Tabel 4.2: Pasangan Transformasi Fourier Untuk Sinyal Periodik x(t) a k X(ω) { ; k = 0 2πδ (ω) 0; k 0 { e jω ; k = 0t 2πδ (ω ω 0 ) 0; k k= α ke jω 0t α k 2π + { k= α kδ (ω kω 0 ) cos ω 0 t 2 ; k =, π 2 0; k lainnya δ (ω + ω 0) + π 2 δ (ω ω 0) 2j ; k = sin(ω 0 t) 2j ; k = π j δ (ω + ω 0) + π j δ (ω ω 0) 0; k lainnya n= B (t nt ) ; sin kω 0 T πk π + k= sin kω 0T k δ (ω kω 0 ) { ; t T < T 2 0; lainnya n= δ (t nt ) T B(t) = 2π T k= δ ( ω 2π T k) Jawab: Dari hasil sebelumnya diketahui deret Fourier sinyal ini adalah a k = sin kω 0T πk Maka diperoleh transformasi Fourier X (ω) = + k= 2 sin kω 0T δ (ω kω 0 ) k 4.2 Sifat Transformasi Fourier 4.2. Daftar Sifat-Sifat Asumsi pasangan transformasi Fourier: x(t) X(ω) Sifat transformasi dapat diringkas pada Tabel 4.3 yang dijelaskan pada bagian berikut ini Kasus-Kasus Dasar Linearitas dan Time Shifting Perhatikan sifat-sifat: α x (t) + α 2 x 2 (t) α X (ω) + α 2 X 2 (ω) x(t t 0 ) e jωt 0 X(ω) 84

85 4 Transformasi Fourier Waktu Kontinu Tabel 4.3: Sifat-Sifat Transformasi Fourier Sifat Sinyal Domain waktu Transformasi Fourier Linieritas α x (t) + α 2 x 2 (t) α X (ω) + α 2 X 2 (ω) Time x(t t 0 ) e jωt 0 X(ω) shifting Frequency Shifting e jω0t x(t) X (ω ω 0 ) Konjugasi x (t) X ( ω) Scaling x(at) a X ( ) ω a Time x( t) X ( ω) Reversal Konvolusi x(τ)h(t τ)dτ H (ω) X (ω) Multiplikasi s(t)p(t) 2π S(υ)P (ω υ)dυ d Diferensiasi dt x(t) jωx (ω) waktu t Integrasi x (τ) dτ jω X (ω) + πx (0) δ (ω) Diferensiasi tx(t) j d dω X (ω) frekuensi X( ω) = X (ω) Konjugasi simetri Sinyal real x(t) real Re {X( ω)} = Re {X(ω)} Im {X( ω)} = Im {X(ω)} X( ω) = X(ω) X( ω) = X(ω) Simetri x(t) real genap X (ω) real genap Real-Genap Simetri x(t) real ganjil X (ω) imajinari ganjil Real-Ganjil Dekomposisi Even {x(t)} = Re {X(ω)} Genap 2 {x(t) + x( t)};x(t) real Dekomposisi Odd {x(t)} = Ganjil Relasi Parseval j Im {X(ω)} 2 {x(t) x( t)}; x(t) real E = x(t) 2 dt E = 2π X(ω) 2 dω 85

86 4 Transformasi Fourier Waktu Kontinu Kasus: Cari transformasi Fourier dari sinyal x(t) berikut ini:.5 x(t) t Jawab: Perhatikan bahwa kita bisa mendefinisikan x (t) dan x 2 (t) sehingga x(t) =.5x (t 2.5) + x 2 (t 2.5) x (t) x 2 (t) x 3 (t) t.5.5 t T T t Sedangkan x (t) dan x 2 (t) itu sendiri adalah kasus khusus dari x 3 (t) yang diketahui memiliki transformasi Fourier Maka kita simpulkan bahwa X (ω) = ω X 3 (ω) = 2 sin ωt ω ( 3 sin ω sin ω 3 ) e jω Diferensiasi dan Integrasi Perhatikan sifat-sifat: ˆ t Kasus: x(t) = u(t). Cari X(ω). Jawab: Karena dan bila g(t) = δ (t) berakibat d x(t) jωx (ω) dt x (τ) dτ X (ω) + πx (0) δ (ω) jω u(t) = ˆ t δ (τ) dτ G (ω) = 86

87 4 Transformasi Fourier Waktu Kontinu maka kita peroleh X (ω) = G (ω) + πg (0) δ (ω) jω X (ω) = + πδ (ω) jω Kasus: Apa transformasi Fourier dari turunan pertama sinyal impuls? Jawab: Kita cari respons impuls dari sebuah sistem diferensiator dengan persamaan input-output: y(t) = d dt x(t) Dengan mentransformasi ruas kiri dan kanan diperoleh Y (ω) = jωx (ω) Selanjutnya dari sifat konvolusi pada Tabel (dan penjelasan di bawah nanti), secara umum untuk sistem LTI berlaku Y (ω) = H (ω) X (ω). Maka dapat disimpulkan bahwa H (ω) = jω Maka turunan pertama dari sinyal impuls memiliki transfromasi Fourier jω. Bentuk ini akan menjadi komponen dasar penyusun polinomial H (ω) pada sistem LCCDE nanti. Kasus: Cari trasnformasi Fourier dari respons impuls dari sebuah sistem diferensiator orde k dengan persamaan input-output: y(t) = dk dt k x(t) Jawab: Dengan mentransformasi ruas kiri dan kanan berulang-ulang diperoleh Maka dapat disimpulkan bahwa Y (ω) = (jω) k X (ω) H (ω) = (jω) k Maka turunan ke k dari sinyal impuls memiliki transfromasi Fourier (jω) k. 87

88 4 Transformasi Fourier Waktu Kontinu Time Scaling Perhatikan sifat berikut: x(at) ( ω ) a X a Interpretasi: pulsa merapat spektrum melebar. Kasus: Time reversal: a = x( t) X ( ω) Dualitas Domain Waktu dan Domain Fourier Kasus: Sinyal kotak di domain waktu menghasilkan sinyal sinc di domain Fourier. Sebaliknya sinyal kotak di domain Fourier menghasilkan sinyal sinc di domain waktu. Kasus: Cari distribusi energi dari sinyal kotak { ; t T x(t) = 0; t > T x(t) T T t Jawab: Distribusi energinya juga berfasa 0 dengan pola Sinc (sin x/x). X (ω) = ˆ T T e jωt dt = jω e jωt T T X (ω) = 2 ( e jωt e +jωt ) = 2 sin (ωt ) ω 2j ω 2T X(ω) 2 π T π T 0 π T 2 π T ω Kasus: Cari sinyal x(t) bila X(ω) berbentuk kotak X(ω) = { ; ω W 0; ω > W 88

89 4 Transformasi Fourier Waktu Kontinu X(ω) W W ω Jawab: x(t) x(t) = ˆ W e jωt dω = sin W t 2π W πt W π π W 0 2 π W t Kasus: diferensiasi di domain Fourier: Kasus: pergeseran di domain Fourier Kasus: integrasi di domain Fourier Relasi Parseval jtx(t) d dω X (ω) e jω 0t x(t) X (ω ω 0 ) jt x(t) + πx(0)δ(t) ˆ ω x(τ)dτ Transformasi Fourier sebagai spektrum densitas energi diperlihatkan melalui relasi Parseval ini. ˆ x(t) 2 dt = E = ˆ X(ω) 2 dω 2π Konvolusi Konvolusi di domain waktu dari x(t) dan h(t) mengakibatkan perkalian di domain Fourier dari masing-masing spektrum X (ω) dan H (ω). ˆ x(τ)h(t τ)dτ H (ω) X (ω) Jadi output dari sistem LTI, y(t), adalah konvolusi dari sinyal input x(t) dan respons impuls h(t). Maka kita dapat menghitung output melalui transformasi Fourier. Pertama kita menghitung X (ω) dan H (ω). Setelah itu kita menghitung Y (ω). Terakhir kita menghitung output y(t) dari Y (ω). 89

90 4 Transformasi Fourier Waktu Kontinu Kasus: sebuah sistem LTI memiliki h(t) = δ (t t 0 ). Apa akibat terhadap sinyal x(t)? Jawab: Dari tabel pasangan kita peroleh H (ω) = e jωt 0. Maka kita peroleh dan dari Tabel sifat kita simpulkan Y (ω) = e jωt 0 X (ω) y (t) = x(t t 0 ) Kasus: carilah respons impuls dari sistem yang memiliki H(ω) berbentuk kotak. H(ω) ω c ω c ω Jawab: Dari kasus sebelumnya, kita peroleh h (t) = πt sin ω ct Kasus: Cari output dari sistem LTI dengan cara transformasi Fourier apabila input dan respons impuls masing-masing untuk a > 0 dan b > 0 adalah x(t) = e bt u(t) Dari Tabel pasangan, kita peroleh dan Maka dengan segera kita peroleh h(t) = e at u(t) X (ω) = b + jω H (ω) = Y (ω) = H (ω) X (ω) = a + jω (a + jω) (b + jω) Seandainya besaran di ruas kanan ada dalam tabel, kita bisa langsung memperoleh y(t). Bila tidak ada, maka kita lakukan proses aljabar agar ruas kanan berbentuk term yang ada dalam tabel. Cara yang standar adalah dengan mengasumsikan konstan A dan B, sehingga 90

91 4 Transformasi Fourier Waktu Kontinu Y (ω) = A (a + jω) + B (b + jω) Kalau asumsi kita benar maka dari tabel kita peroleh y(t) = Ae at u(t) + Be bt u(t) Bagaimana cara mencari A dan B yang valid? Perhatikan bahwa A (a + jω) + B Ab + ab + jaω + jbω = (b + jω) (a + jω) (b + jω) Agar asumsi di atas valid maka harus berlaku (Ab + ab) + jω (A + B) (a + jω) (b + jω) = (a + jω) (b + jω) Agar ruas kiri sama dengan ruas kanan maka Ab + ab = ; A + B = 0 Sehingga disimpulkan bahwa A dan B yang valid adalah Maka kita peroleh A = b a ; B = a b y(t) = b a e at u(t) + a b e bt u(t) Apa arti nya? Untuk sistem ini, sinyal input berbentuk eksponensial ternyata muncul lagi di output dengan skala A. Kemudian respons impuls turut juga muncul sebagai output terskala B. Kasus: Ulangi soal di atas ini dengan input berubah menjadi (a > 0) x(t) = e at u(t) Jawab: Dengan cara yang sama seperti di atas kita peroleh Y (ω) = H (ω) X (ω) = dan mengunakan tabel, kita dapatkan (a + jω) 2 y(t) = te at u(t) 9

92 4 Transformasi Fourier Waktu Kontinu Multiplikasi Perkalian di domain waktu mengakibatkan konvolusi di domain Fourier. s(t)p(t) 2π ˆ S(υ)P (ω υ)dυ Kasus: Gunakan sifat multiplikasi untuk memahami sifat sebuah modulator dengan input s(t), sampler p(t) dan output r(t) berikut ini. s(t) r(t) p(t) Asumsi bahwa p(t) = cos ω 0 t, dan spektrum s(t) diperlihatkan pada gambar di bawah. Jawab: Spektrum dari p(t) adalah P (ω) = πδ (ω ω 0 ) + πδ (ω + ω 0 ) Maka spektrum dari r(t) adalah konvolusi R (ω) = ˆ S(υ)P (ω υ)dυ 2π = 2 S (ω ω 0) + 2 S (ω + ω 0) Perhatikan bahwa spektrum r(t) memiliki bentuk yang sama dengan spektrum s(t), tapi posisi frekeunsi tengah telah bergeser pada frekuensi dari p(t). S(ω) A ω 0 ω ω ω 0 ω P (ω) A ω 0 ω ω ω 0 ω 92

93 4 Transformasi Fourier Waktu Kontinu R(ω) A A 2 ω 0 ω ω ω 0 ω Kasus: kembali kita mengunakan sistem yang serupa dengan p(t) yang sama, tapi inputnya adalah sinyal r(t) pada soal sebelumnya, menghasilkan output g(t). Sketsa spektrum g(t). r(t) g(t) p(t) Jawab: Dari Gambar ini kita peroleh persamaan g(t) = r(t)p(t) sehingga kita dapatkan spektrum konvolusi G (ω) = ˆ R(υ)P (ω υ)dυ 2π = 2 R (ω ω 0) + 2 R (ω + ω 0) tapi karena r(t) ini berasal dari hasil modulasi, maka berlaku R (ω ω 0 ) = 2 S (ω 2ω 0) + 2 S (ω) Sehingga kita peroleh R (ω + ω 0 ) = 2 S (ω) + 2 S (ω + 2ω 0) G (ω) = 4 S (ω 2ω 0) + 2 S (ω) + 4 S (ω + 2ω 0) Perhatikan bahwa ada komponen spektrum g(t) memiliki bentuk yang sama dengan spektrum s(t), dengan posisi frekuensi tengah tepat meskipun telah terskala setengahnya. Ini berarti terjadi demodulasi sinyal dari r(t) menjadi s(t) kembali. 93

94 4 Transformasi Fourier Waktu Kontinu R(ω) A A 2 2ω0 ω 0 ω ω ω 0 2ω 0 ω P (ω) A 2ω0 ω 0 ω ω ω 0 2ω 0 ω G(ω) A A 4 2ω0 ω 0 ω ω ω 0 2ω 0 A 2 A 4 ω 4.3 Sistem LCCDE di Domain Transformasi Fourier 4.3. Respons Frekuensi Secara umum sistem LTI memenuhi persamaan I/O y(t) = ˆ sehingga di domain Fourier kita peroleh x(τ)h(t τ)dτ Y (ω) = H (ω) X (ω) di mana skalar Y (ω) = F {y(t)}, H (ω) = F {h(t)}, X (ω) = F {x(t)}, sehingga respons frekuensi H (ω) = Y (ω) X (ω) Hasil ini memperlihatkan bahwa sistem LTI mengubah spektrum dari sinyal secara perkalian aljabar dengan respons frekuensi. Untuk menghitung output, cukup kita menghitung spektrum sinyal input dengan resposn impuls, mengalikannya untuk menghasilkan spektrum output, kemudian memperoleh sinyal output dari informasi spektrum output. Sistem LTI LCCDE memenuhi persamaan I/O 94

95 4 Transformasi Fourier Waktu Kontinu N d k M a k dt k y (t) = d k b k x (t) (4.3) dtk k=0 Karena sifat linier, maka kita beroleh k=0 k=0 N { } d k M { } d k a k F dt k y (t) = b k F dt k x (t) k=0 k=0 N M a k (jω) k Y (ω) = b k (jω) k X (ω) k=0 k=0 N M Y (ω) a k (jω) k = X (ω) b k (jω) k (4.4) Maka sebagai sistem LTI, disimpukan bahwa transformasi Fourier dari sistem LCCDE adalah pecahan (rasional) dari dua polinomial dalam jω Contoh Orde Satu H (ω) = Y (ω) X (ω) = k=0 Kasus: cari respons impuls dari sistem berikut ini (a > 0) M k=0 b k (jω) k N k=0 a k (jω) k (4.5) d y (t) + ay (t) = x (t) dt Jawab: Disimpulkan bahwa ini LCCDE dengan N =, M = 0. Maka dari persamaan (4.5) diperoleh template H (ω) = b 0 (jω) 0 a (jω) + a 0 (jω) 0 = b 0 a jω + a 0 selanjutnya diamati b 0 =, a 0 = a, dan a =. Maka diperoleh hasil Kemudian dari Tabel diperoleh Contoh Orde Dua H (ω) = jω + a h(t) = e at u(t) Kasus: cari respons impuls dari sistem LCCDE d 2 dt 2 y (t) + 4 d dt y (t) + 3y (t) = d x (t) + 2x (t) dt Jawab: Disimpulkan bahwa ini sistem LCCDE dengan N = 2 dan M =. Maka dari persamaan (4.5) diperoleh template 95

96 4 Transformasi Fourier Waktu Kontinu H (ω) = b (jω) + b 0 (jω) 0 a 2 (jω) 2 + a (jω) + a 0 (jω) 0 H (ω) = b jω + b 0 a 2 (jω) 2 + a jω + a 0 kemudian kita amati bahwa b 0 = 2, b =, a 0 = 3, a = 4, dan a 2 =. Maka diperoleh hasil H (ω) = jω + 2 (jω) 2 + 4jω + 3 Karena bentuk ini tidak ada dalam tabel, maka kita lakukan proses aljabar (faktorisasi) Asumsi ada A dan B, sehingga jω + 2 (jω) 2 + 4jω + 3 = jω + 2 (jω + ) (jω + 3) H (ω) = A (jω + ) + B (jω + 3) yang valid bila A = 2 dan B = 2. Maka kita dapatkan respons impuls h(t) = 2 e t u(t) + 2 e 3t u(t) Contoh Menghitung Output Dengan TF Kasus: cari input apabila sistem orde dua dia atas di masuki input x(t) = e t u(t). Jawab: Karena kita tahu untuk input ini X (ω) = sedangkan kita sudah menghitung bahwa H (ω) = (jω + ) jω + 2 (jω + ) (jω + 3) maka kita peroleh [ ] [ ] jω + 2 Y (ω) = (jω + ) (jω + 3) (jω + ) dan kita mendapatkan ekspresi Y (ω) = jω + 2 (jω + ) 2 (jω + 3) 96

97 4 Transformasi Fourier Waktu Kontinu Karena bentuk ini tidak dikenal dalam tabel, maka kita asumsi ada A, B, dan C sehingga H (ω) = A (jω + ) + B (jω + ) 2 + C (jω + 3) Dengan cara yang dikenal dengan nama partial fraction, kita dapatkan A = 4, B = 2, dan C = 4. Maka output dari sistem adalah y(t) = 4 e t u(t) + 2 te t u(t) 4 e 3t u(t) Perhatikan, pada sistem LCCDE juga input yang ini tembus ke output, tetapi mengalami penambahan sinyal kontribusi dari respons impuls. 4.4 Penutup Sinyal waktu kontinu dapat direpresentasikan menurut kernel integral transformasi Fourier. Sifat istimewa dan intrepretasi deret Fourier, yang terkait dengan fungsi eigen dan kandungan frekuensi, berlaku juga di transformasi Fourier. Transformasi Fourier memperlihatkan spektrum distribusi energi berdasarkan frekuensi. Transformasi Fourier lebih umum dari deret Fourier, dan deret Fourier, yang hanya didefinisikan untuk sinyal periodik, dapat dianggap kasus khusus dari transformasi Fourier. Transformasi Fourier dari respons impuls yang disebut respons frekuensi. Pada sistem LCCDE respons frekuensi berbentuk pecahan dari polinomial frekuensi, dengan pole dan zero. Deret Fourier membantu kita secara lebih intuitif untuk memahami makna transformasi Fourier yakni pola distribusi energi menurut frekuensi. 4.5 Soal Tambahan. Soal: Perhatikan kaskade sistem LTI di bawah ini Overall System x (t) Sistem A z (t) Sistem B y (t) Sistem A adalah LCCDE dengan persamaan input-output dz (t) dt + 6z (t) = dx (t) dt sedangkan respons impulse dari sistem B adalah + 5x (t) h b (t) = e 0t u (t) a) Cari response frekuensi dari sistem keseluruhan H (ω) = Y (ω) X(ω) = 97

98 4 Transformasi Fourier Waktu Kontinu b) Cari respons impuls dari sistem keseluruhan h (t) = c) Cari persamaan diferensial dari keseluruhan sistem (yang menghubungkan x (t) dengan y(t)). 2. Sebuah sinyal x(t) memiliki persamaan x (t) = { a, t < T 0, t > T Cari dan sketsalah X(ω). Apa yang terjadi pada X(ω) bila T membesar atau mengecil? Apa yang terjadi pada X(ω) bila T membesar atau mengecil? 3. Sebuah sinyal x(t) memiliki transformasi Fourier X (jω) = { α, ω < W 0, ω > W Cari dan sketsalah x(t). Apa yang terjadi pada x(t) bila α membesar atau mengecil? Apa yang terjadi pada x(t) bila W membesar atau mengecil? 4. Sebuah sistem LTI yang causal dan stabil memiliki respons frekuensi H (jω) = a) Cari persamaan LCCDE sistem ini jω ω 2 + 5jω b) Tentukan respons impulse h(t) dari sistem ini c) Tentukan output sistem y(t) ini bila dimasuki input x(t) = e 4t u (t) te 4t u (t) 98

99 5 DT Fourier Transform Pada Bab ini akan diterapkan konsep-konsep yang telah dibahas pada dua bab sebelumnya untuk kasus sinyal aperiodik waktu diskrit. Pada Bab 3 telah kita dapat melihat bahwa ada banyak kesamaan dan hubungan yang kuat dalam melakukan analisis sinyal waktu kontinu dan waktu diskrit. Namun terdapat perbedaan antara representasi deret Fourier dari sinyal periodik waktu diskrit yang merupakan deret terbatas, dan berbeda sekali dengan representasi deret Fourier tak berhingga untuk sinyal periodik waktu kontinu. Kita akan melihat perbedaan-perbedaan yang berhubungan antara transformasi Fourier waktu kontinu dengan waktu diskit. Sinyal waktu diskrit baik yang periodik maupun aperiodik dapat direpresentasikan dengan transformasi Fourier. Banyak sifat istimewa dan intrepretasi deret Fourier, terutama terkait dengan fungsi eigen dan kandungan frekuensi, berlaku juga di transformasi Fourier. Tranformasi Fourier lebih umum dari deret Fourier, dan deret Fourier, yang hanya didefinisikan untuk sinyal periodik, dapat dianggap kasus khusus dari transformasi Fourier. Analisa transformasi Fourier dapat dipermudah dengan sifat-sifat transformasi serta mengingat pasangan transformasi dari sinyal primitif. Sistem juga dapat dimodelkan dengan transformasi Fourier dari respons impuls, yang disebut respons frekuensi. Secara khusus, untuk sistem LCCDE (linear constant coefficients difference equation), repons frekuensi berbentuk pecahan dari polinomial yang memiliki zeros dan poles. Jadi respons frekuensi dapat diestimasi secara geometri dari posisi pole dan zero. Tujuan dari bab ini adalah membekali peserta dengan pengetahuan dan kemampuan untuk menghitung representasi Fourier dari sinyal periodik dan aperiodik waktu diskrit, serta menerapkannya untuk menghitung output dari sistem LTI dan LCCDE. 5. Transformasi Fourier untuk Sinyal DT Aperiodik 5.. Tinjauan dan Definisi 5... Definisi Transformasi Fourier didefinisikan dengan persamaan x[n] = ˆ X ( e jω) e jωn dω (5.) 2π X ( e jω) = 2π + n= x[n]e jωn (5.2) Persamaan (5.) dan (5.2) merupakan pasangan persamaan transformasi Fourier waktu diskrit. Persamaan (5.) adalah persamaan sintesis, sedangkan persamaan (5.2) adalah persamaan analisis nya. Persamaan-persamaan ini menunjukkan sinyal aperiodik dapat dipandang sebagai sebuah kombinasi linear dari sinyal kompleks eksponensial yang frekuensinya sangat dekat. Transformasi Fourier X ( e jω) sering dirujuk sebagai spektrum x[n], karena memberikan informasi mengenai bagaimana x[n] disusun dari sinyal eksponensial pada frekuensi yang berbeda. 99

100 5 DT Fourier Transform Tabel 5.: Ringkasan pasangan transformasi Fourier untuk sinyal aperiodik. x[n] X(e jω ) δ[n] δ[n n 0 ] e jωn 0 a n u[n]; a < ae jω (n + )a n u[n]; a < ( ae jω ) 2 (n+r )! n!(r )! an u[n]; a < ( ae jω ) r u[n] e jω + + k= πδ (ω 2πk) Konvergensi Pada kondisi apa transformasi Fourier X ( e jω) dijamin konvergen? Persamaan (5.2) akan konvergen jika sinyal x[n] dapat dijumlahkan secara absolut, yaitu + n= x[n] < maupun jika x[n] memiliki energi yang terbatas, yaitu + n= x[n] 2 < Berbeda dengan persamaan (5.2), secara umum tidak ada masalah konvergensi dengan persamaan (5.), karena integral dalam persamaan ini berada pada interval integrasi yang terbatas Beberapa Contoh Kasus Aperiodik Tabel 5. meringkas transformasi Fourier untuk beberapa kasus sinyal dasar aperiodik, yang sebagian dapat dijelaskan pada bagian berikut ini. Kasus: Cari transformasi Fourier dari δ[n]. Jawab: X(e jω ) = + n= δ[n]e jωn = Kasus: Sebuah sinyal x[n] = a n u[n] dengan a <. X ( e jω). untuk a > 0 Cari transformasi Fouriernya: x [n] n 00

101 5 DT Fourier Transform sedangkan untuk a < 0 x [n] n Jawab: X(e jω ) = n= a n u[n]e jωn = X(e jω ) = ae jω ( ae jω ) n n=0 Dalam representasi polar, transformasi ini berbentuk X(e jω ) = X (ω) = a cos ω + ja sin ω ( a cos ω) 2 + (a sin ω) 2 X (ω) = 2a cos ω + a 2 cos 2 ω + a 2 sin 2 ω Untuk a > 0, Magnituda: X (ω) = + a 2 2a cos ω ( ) a sin ω X (ω) = arctan a cos ω X(e jω ) a 2π π +a 0 π 2π ω Fasa: 0

102 5 DT Fourier Transform X(e jω ) ( tan a a 2 ) 2π π 0 π 2π ω tan ( a a 2 ) Untuk a < 0, Magnituda: X(e jω ) +a 2π π a 0 π 2π ω Fasa: X(e jω ) ( tan a a 2 ) 2π π 0 π ω 2π tan ( a a 2 ) Kasus: Sebuah sinyal x[n] = a n dengan a <. Cari transformasi Fouriernya: X ( e jω). Gambar untuk a > 0 x [n] 0 n Jawab: X(e jω ) = n= a n e jωn = a n e jωn + n=0 n= a n e jωn 02

103 5 DT Fourier Transform Dengan subtitusi m = n untuk term kedua maka diperoleh X(e jω ) = ( ae jω ) n ( + ae jω ) m n=0 X(e jω ) = X(e jω ) = m= ejω + ae jω ae jω a 2 2a cos ω + a 2 X(e jω ) +a a 2π a +a 0 2π ω Kasus: Cari transformasi dari pulsa sinyal kotak x[n] = { ; n N 0; n > N x [n] N 0 N n Jawab: Untuk N = 2 diperoleh gambar N X(e jω ) = e jωn = sinω(n + sin(ω/2) n= N 2 ) (5.3) X(e jω ) 5 2π π 0 π 2π ω 03

104 5 DT Fourier Transform 5..3 Eksistensi Deret Fourier untuk Sinyal Aperiodik Tinjau sebuah sinyal DT aperiodik x[n] dengan selang waktu terbatas, yaitu pada interval N n N 2, dan x[n] bernilai 0 di luar interval ini. Dari sinyal periodik ini kita dapat membuat sinyal periodik x[n] dengan x[n] adalah selang satu periode, dengan periode N. Dengan memilih interval yang memuat N n N 2 maka dapat diperoleh deret Fourier a k = N N 2 n= N x[n]e jk(2π/n)n Pada selang ini berlaku x[n] = x[n] sehingga diperoleh N 2 a k = x[n]e jk(2π/n)n = N N n= N + n= x[n]e jk(2π/n)n (5.4) Persamaan (5.4) diperoleh dengan menggunakan fakta bahwa x[n] bernilai 0 di luar interval N n N 2. Kita akan mendefinisikan fungsi X ( e jω) = + n= x[n]e jωn (5.5) Kita melihat bahwa koefisien-koefisien a k adalah proporsional terhadap cuplikan-cuplikan X ( e jω), yaitu a k = ) (e N X jkω 0 Jadi dapat disimpulkan bahwa transformasi Fourier adalah adalah sebagai distribusi energi dari sinyal aperiodik dalam pengertian yang serupa dengan deret Fourier (walaupun tidak persis sama). Persisnya X ( e jω) adalah densitas (spektrum) dari energi x[n] berdasarkan frekuensi Transformasi Fourier Sinyal Periodik Tabel 5.2 meringkas pasangan transformasi untuk kasus sinyal periodik. Sinyal periodik waktu diskrit dapat digabungkan dalam kerangka kerja transformasi Fourier waktu diskrit melalui penafsiran transformasi sinyal periodik sebagai sederetan impuls dalam domain frekuensi. Mari kita tinjau sinyal x[n] = e jω 0n (5.6) Dalam waktu kontinu kita memperoleh transformasi Fourier dari e jω 0t dapat ditafsirkan sebagai impuls pada ω = ω 0. Kita dapat menggunakan tipe transformasi yang sama untuk sinyal pada persamaan (5.6). Namun transformasi Fourier waktu diskrit harus periodik dalam ω dengan periode 2π. Jadi transformasi Fourier dari x[n] pada persamaan (5.6) haruslah merupakan impuls-impuls pada ω 0, ω 0 ± 2π, ω 0 ± 4π, dan seterusnya. Dalam kenyataannya transformasi Fourier ini adalah deretan impuls X(e jω ) = + l= 2πδ (ω ω 0 2πl) (5.7) Untuk memeriksa validitas dari pernyataan ini, kita harus mengevaluasi inversi transformasi Fouriernya dengan persamaan sintesis (5.), sehingga dapat ditulis 04

105 5 DT Fourier Transform Tabel 5.2: Pasangan Transformasi Fourier Untuk Sinyal Periodik x[n] a k X ( e jω) { a k = ; k = 0, ±N, ±2N,... 0; lainnya e jω 0n { ω 0 = ; k = m, m ± N,... 2πm N,a k + l= 2πδ (ω 2πl) 2π + l= δ (ω ω 0 2πl) 0; lainnya k= N a ke jk(2π/n)n a k 2π + k= a kδ ( ω 2πk ) N cos ω 0 n ω 0 = 2πr N,a k = π + k= δ (ω + ω 0 2πl) { 2 ; k = ±r, ±r ± N,... 0; lainnya sin ω 0 n ω 0 = 2πr N,a k = 2j ; k = r, r ± N,... 2j ; k = r, r ± N,... 0; lainnya + k= δ [n kn] N +δ (ω ω 0 2πl) π + j k= δ (ω ω 0 2πl) δ (ω + ω 0 2πl) 2π N + k= δ ( ω 2π N k) = ˆ 2π 2π ˆ X ( e jω) e jωn dω 2π 2π + l= 2πδ (ω ω 0 2πl) e jωn dω Bila diperhatikan setiap interval integral hanya menyertakan sebuahimpuls saja. Jadi kita pilih saja pada interval ω 0 + 2πr, maka ˆ X ( e jω) e jωn dω = e j(ω0+2πr)n = e jω 0n 2π 2π Sekarang kita akan melihat sebuah sinyal periodik x[n] dengan periode N dan representasi deret Fourier x[n] = k= N a k e jk(2π/n)n. (5.8) Dalam kasus ini kita memperoleh transformasi Fouriernya adalah X ( e jω) = + k= ( 2πa k δ ω 2πk ) N (5.9) sehingga transformasi Fourier dari sebuah sinyal periodik dapat secara langsung dibuat dari koefisien-koefisien deret Fouriernya. Untuk menunjukkan kebenaran persamaan (5.9), maka perhatikan bahwa x[n] pada persamaan (5.8) merupakan sebuah kombinasi linear dari persamaan (5.6), sehingga transformasi Fourier dari x[n] haruslah sebuah kombinasi linear dari transformasi yang mempunyai bentuk persamaan (5.7). 05

106 5 DT Fourier Transform 5.2 Sifat Transformasi Fourier dan Pasangan Transformasi 5.2. Daftar Sifat-Sifat Asumsi pasangan transformasi Fourier: x[n] X ( e jω) Sifat transformasi dapat diringkas pada Tabel 5.3 yang dijelaskan pada bagian berikut ini Kasus Dasar Kasus: Kita akan melihat kegunaan sifat linearitas, time shifting, dan time expansion untuk menentukan transformasi Fourier, misalkan sebuah sinyal x[n] yang ditunjukkan pada gambar berikut. Sinyal ini dapat dihubungkan dengan sinyal y[n] yang lebih sederhana seperti dilihat pada gambar, dengan hubungan x[n] = y (2) [n] + 2y (2) [n ] dengan y (2) [n] = { y[n/2],untuk n ganjil 0,untuk n genap x [n] n y [n] n dan y (2) [n ] adalah merepresentasikan y (2) [n] yang mengalami time shifting sampel ke kanan. y (2) [n] n 06

107 5 DT Fourier Transform Tabel 5.3: Sifat-Sifat Transformasi Fourier Sifat Sinyal Domain waktu Transformasi Fourier Linieritas ax[n] + by[n] ax(e jω ) + by (e jω ) Time x[n n 0 ] e jωn 0 X(e jω ) shifting Frequency e jω0n x[n] X ( e j(ω ω 0) ) Shifting Konjugasi x [n] X ( e jω) Time x (k) [n] = X ( e { Expansion x[n/k],jika n kelipatan dari k 0,lainnya Time x[ n] X ( e jω) Reversal Konvolusi x[n] y[n] X ( e jω) Y ( e jω) Multiplikasi x[n]y[n] 2π ( 2π X(ejθ )Y (e j(ω θ) )dθ Differencing x[n] x[n ] e jω ) X ( e jω) waktu Akumulasi n k= x[k] X ( e jω) + e jω πx ( e j0) + k= δ (ω 2πk) Diferensiasi nx[n] j d dω X ( e jω) frekuensi Konjugasi simetri Sinyal real Simetri Real-Genap Simetri Real-Ganjil Dekomposisi Genap Dekomposisi Ganjil Relasi Parseval nx[n] real x[n] real genap x[n] real ganjil X(e jω ) = X (e jω ) Re { X(e jω ) } = Re { X(e jω ) } Im { X(e jω ) } = Im { X(e jω ) } X(e jω ) = X(e jω ) X(e jω ) = X(e jω ) X ( e jω) real genap X ( e jω) imajinari ganjil Even {x[n]} = Re { X(e jω ) } 2 {x[n] + x[ n]};x[n] real Odd {x[n]} = j Im { X(e jω ) } 2 {x[n] x[ n])}; x[n] real E = + n= x[n] 2 E = 2π X(e jω ) 2 dω 2π 07

108 5 DT Fourier Transform 2y (2) [n ] n Transformasi Fourier dari sinyal y[n] dapat diperoleh dengan menggunakan hasil dari transformasi sinyal pulsa kotak pada persamaan (5.3). Pada kasus ini merupakan sinyal kotak dengan N = 2 dan mengalami time shifting 2 unit ke kanan. Dengan sifat time shifting maka dapat diperoleh: Y (e jω j2ω sin(5ω/2) ) = e sin(ω/2) Dengan menggunakan sifat time expansion maka kita memperoleh Y (2) (e jω ) = Y (e j2ω ) Y (2) (e jω j4ω sin(5ω) ) = e sin(ω) Dengan menggunakan sifat linearitas dan time shifting maka kita mendapatkan j5ω sin(5ω) 2y (2) [n ] 2e sin(ω) Dengan menggabungkan dua hasil ini maka, kita mendapatkan ( ) sin(5ω) X(e jω ) = e j4ω ( + 2e jω ) sin(ω) Sifat Konvolusi Kasus: Kita akan melihat sebuah sistem LTI dengan respon impuls h[n] = a n u[n] dengan a <, dan misalkan input untuk sistem LTI ini adalah x[n] = b n u[n] dengan b <. Dengan menggunakan transformasi Fourier kita, dapat menentukan y[n], maka kita akan memperoleh dan H(e jω ) = ae jω X(e jω ) = be jω dengan memanfaatkan sifat konvolusi maka kita dapat memperoleh Y (e jω ) = H(e jω )X(e jω ) 08

109 5 DT Fourier Transform Y (e jω ) = ( ae jω ) ( be jω ) Inversi transformasi Fourier dari Y (e jω ) akan mudah dicari dengan menggunakan ekspansi partial fraction. Untuk kasus a b maka ekspansi dari Y (e jω ) akan memiliki bentuk Y (e jω A ) = ae jω + B be jω dengan menyelesaikan persamaan 2 variabel akan diperoleh A = a B = b a b a b dengan menggunakan sifat linearitas maka kita akan mendapatkan y[n] = a a b an u[n] b a b bn u[n] y[n] = [ a n+ b n+] u[n] a b Untuk kasus a = b, hasil di atas tidak valid. Jadi pada kasus ini, yang dapat diekspresikan sebagai ( Y (e jω ) = ae jω Y (e jω ) = j a ejω d dω ( ) 2 ) ae jω (5.0) Kita dapat menggunakan sifat diferensiasi frekuensi dengan pasangan transformasi Fourier untuk memperoleh a n u[n] ae jω na n u[n] j d ( ) dω ae jω Untuk memperhitungkan faktor e jω pada persamaan (5.0), kita gunakan sifat time shifting untuk memperoleh (n + )a n+ u[n + ] je jω d ( ) dω ae jω dan perhitungkan faktor /a pada persamaan (5.0), kita memperoleh y[n] = (n + )a n u[n + ] Lihat bahwa meskipun sisi kanan dikalikan sinyal step yang diawali pada n =, tetapi y[n] masih sama dengan 0 sebelum n = 0, karena faktor (n + ) sama dengan 0 pada n =. Sehingga kita dapat menuliskan y[n] dengan alternatif y[n] = (n + )a n u[n] 09

110 5 DT Fourier Transform Sifat Multiplikasi Kasus: Kita akan mencari transformasi Fourier X(e jω ) dari sinyal x[n] yang merupakan hasil kali dari dua sinyal lain, yaitu dengan dan x[n] = x [n]x 2 [n] x [n] = sin(3πn/4) πn x 2 [n] = sin(πn/2) πn Dari sifat perkalian, kita mengetahui kalau transformasi Fourier X(e jω ) adalah konvolusi periodik dari X (e jω ) dan X 2 (e jω ), dengan interval integral dapat diambil pada sembarang interval dengan panjang 2π. Dengan memilih interval π < θ π, kita memperoleh X(e jω ) = ˆ π X (e jθ )X 2 (e j(ω θ) )dθ (5.) 2π π Persamaan (5.) menyerupai konvolusi aperiodik, kecuali fakta batas integral adalah dengan interval π < θ π. Namun kita dapat melakukan perubahan persamaan ini menjadi konvolusi biasa dengan mendefinisikan ˆX (e jω ) = { X (e jω ) 0 lainnya,untuk π < θ π Lalu kita gunakan pada persamaan (5.) dan dengan fakta ˆX (e jω ) adalah 0 untuk θ > π sehingga kita peroleh X(e jω ) = ˆ π 2π π X(e jω ) = ˆ 2π ˆX (e jθ )X 2 (e j(ω θ) )dθ ˆX (e jθ )X 2 (e j(ω θ) )dθ Maka X(e jω ) adalah /2π kali konvolusi aperiodik dari pulsa kotak ˆX (e jω ) dan gelombang kotak periodik X 2 (e jω ), yang ditunjukkan pada gambar ˆX (e jω ) 2π π π 2 0 π 2 π 2π ω 0

111 5 DT Fourier Transform X 2 (e jω ) 2π π 3π 4 0 3π 4 π 2π ω X(e jω ) 2 π 3π 4 π 2 π π 4 π 2 3π 4 π ω 5.3 Sistem LCCDE di Domain Transformasi Fourier 5.3. Respons Frekuensi Secara umum sistem LTI memenuhi persamaan I/O y[n] = sehingga di domain Fourier kita peroleh k= x[k]h[n k] Y (ω) = H ( e jω) X ( e jω) di mana skalar Y ( e jω) = F {y[n]}, H ( e jω) = F {h[n]}, X ( e jω) = F {x[n]}, sehingga respons frekuensi H ( e jω) = Y ( e jω) X (e jω ) Hasil ini memperlihatkan bahwa sistem LTI mengubah spektrum dari sinyal secara perkalian aljabar dengan respons frekuensi. Untuk menghitung output, cukup kita menghitung spektrum sinyal input dan spektrum respons impuls, mengalikannya untuk menghasilkan spektrum output, kemudian memperoleh sinyal output dari informasi spektrum output. Sistem LTI LCCDE waktu diskrit memenuhi persamaan I/O N M a k y[n k] = b k x[n k] (5.2) k=0 Karena sifat linier, maka kita beroleh k=0 k=0 k=0 N M a k F {y[n k]} = b k F {x[n k]} k=0 N ( a k e jω ) k ( Y e jω ) M ( = b k e jω ) k ( X e jω ) k=0 Y ( e jω) N ( a k e jω ) k ( = X e jω ) M ( b k e jω ) k k=0 k=0 (5.3)

112 5 DT Fourier Transform Maka sebagai sistem LTI, disimpukan bahwa transformasi Fourier dari sistem LCCDE adalah pecahan (rasional) dari dua polinomial dalam e jω Contoh Orde Satu H ( e jω) = Y ( e jω) M X (e jω ) = k=0 b ( k e jω ) k N k=0 a k (e jω ) k (5.4) Kasus: Cari respons impuls dari sistem berikut ini (a > 0) y[n] + ay[n ] = x[n] Jawab: Disimpulkan bahwa ini LCCDE dengan N =, M = 0. Maka dari persamaan (5.4) diperoleh hasil Kemudian dari Tabel diperoleh H ( e jω) = ae jω Contoh Orde Dua h(n) = a n u[n] Kasus: Cari respons impuls dari sistem LTI kausal berikut ini Dapat diperoleh tanggapan frekuensi: y[n] 3 4 y[n ] + y[n 2] = 2x[n] 8 H ( e jω) = e jω + 8 e j2ω Kita dapat melakukan pemfaktoran pada bagian penyebut, sehingga dapat diperoleh H ( e jω) = 2 ( 2 e jω) ( 4 e jω) H ( e jω) dapat diperluas dengan metoda partial fraction, sehingga menghasilkan ekspansi H ( e jω) = 4 ( 2 e jω) 2 ( 4 e jω) Dengan menggunakan tabel dan sifat linear maka diperoleh h[n] = 4 ( ) n ( ) n u[n] 2 u[n] 2 4 2

113 5 DT Fourier Transform Contoh Menghitung Output Dengan TF Kasus: Tinjaulah sistem LTI kausal orde dua dari contoh sebelumnya yaitu y[n] 3 4 y[n ] + y[n 2] = 2x[n] 8 Carilah output dari sistem ini bila kita memberikan input x[n] = ( ) n u[n] 4 Jawab: Dengan menggunakan sifat konvolusi maka kita memperoleh Y ( e jω) = H ( e jω) X ( e jω) Y ( [ ] [ ] e jω) 2 = ( 2 e jω) ( 4 e jω) ( 4 e jω) Y ( e jω) 2 = ( 2 e jω) ( 4 e jω) 2 Dengan menggunakan metode partial fraction dan fakta adanya akar ganda maka seharusnya diperoleh ekspansi dalam bentuk Y ( e jω) = A + B ( 4 e jω 4 e jω) 2 + C 2 e jω Dengan menggunakan penyelesaian untuk sistem persamaan linear 3 variabel, maka kita dapat memperoleh maka dapat ditulis A = 4 B = 2 C = 8 Y ( e jω) 4 = 2 ( 4 e jω 4 e jω) e jω Dari tabel pasangan transformasi Fourier kita dapat memperoleh 5.4 Penutup y[n] = { 4 ( ) n 2(n + ) 4 ( ) n ( ) n } u[n] 2 Konsep-konsep yang telah dibahas pada dua bab sebelumnya diterapkan untuk kasus sinyal aperiodik waktu diskrit. Sama seperti pada kasus waktu sinyal waktu diskrit baik yang periodik maupun aperiodik dapat direpresentasikan dengan transformasi Fourier. Sistem juga dapat dimodelkan dengan transformasi Fourier dari respons impuls, yang disebut respons frekuensi. Secara khusus, untuk sistem LCCDE, repons frekuensi berbentuk pecahan dari polinomial yang memiliki zeros dan poles. Jadi respons frekuensi dapat diestimasi secara geometri dari posisi pole dan zero. 3

114 6 Filter dan Karakterisasi Waktu-Frekuensi Sistem atau medium menyerap energi dari sinyal berdasarkan frekuensinya. Dalam praktek, baik karakterisasi frekuensi maupun karakterisasi domain waktu diperlukan secara bersamaan. Dalam memahami perilaku sistem, ada dua domain yang dipelajari: waktu dan Fourier. Pada domain waktu sistem memproses sinyal secara konvolusi. Pada domain frekuensi, proses dilakukan secara aljabar. Karakteristik waktu-frekuensi dari sebuah sistem menyangkut respons frekuensi (dalam bentuk Bode plot), respons impuls, serta step respons. Tujuan dari bab ini adalah membekali peserta dengan pengetahuan dan kemampuan untuk menerapkan konsep domain frekuensi dan domain waktu secara simultan pada filter praktis (terutama LCCDE orde rendah atau kaskadenya), serta menyadari ketidakidealan filter. 6. Representasi Respons Magnituda dan Phasa, dan Pengaruhnya Pada Integritas Sinyal di Domain Waktu 6.. Makna Respons Magnituda dan Fasa Baik sinyal CT maupun sistem DT memiliki transformasi Fourier yang berbentuk besaran magnituda X (ω) dan sudut fasa X(ω), menurut X (ω) = X (ω) e j X(ω) (6.) Dalam kasus CT, besaran magnituda terkait langsung dengan energi, karena E = 2π ˆ X (ω) 2 dω sehingga besaran X (ω) 2 adalah energy density spectrum pada frekuensi ω, yang berdampak baik pada energi maupun amplituda sinyal. Maksudnya besar energi pada selang frekuensi yang sangat sempit [ω, ω + ω] adalah E(ω) = 2π X (ω) 2 dω Hal yang serupa terjadi pada kasus DT. Berbeda dengan respons magnituda, besaran respons fasa tidak berpengaruh pada energi atau amplituda, tapi memberikan informasi relatif terhadap komponen frekuensi yang lain. Fasa mengubah bentuk gelombang di domain waktu, dapat mengganggu integritas sinyal, dan dalam kasus ekstrim dapat membuat perubahan pada informasi yang dibawa. Untuk sistem CT dan DT LTI, dengan input x(t), repons impuls h(t), dan output y(t), berlaku pengaruh respons frekuensi H (ω) 4

115 6 Filter dan Karakterisasi Waktu-Frekuensi Y (ω) = H (ω) X (ω) (6.2) Y (ω) = H (ω) X (ω) (6.3) Y (ω) = H (ω) + X (ω) (6.4) Jadi magnituda dari respons frekuensi menjadi faktor pengali (amplifikasi) dari magnituda, sedangkan respons fasa dijumlahkan pada sudut fasa sinyal. Untuk melihat pengaruh respons fasa pada domain waktu, perhatikan bahwa pergeseran fasa oleh respons frekuensi mengakibatkan sinyal sinusoidal ter-delay. Sebagai contoh, sinyal x(t) = cos(ωt) saat memasuki medium dengan H (ω) = e jθ akan keluar menjadi sinyal berenergi tetap namun bergeser fasa y(t) = cos(ωt θ) Berapa besar pergeseran waktunya di domain waktu? Ternyata sinyal terdelay sejauh t 0 = θ ω karena y(t) = cos(ωt θ) = cos(ω(t θ ω )) = x(t θ ω ) Waktu tunda ini selain bergantung sistem, ternyata bergantung juga dari frekuensi. Semakin rendah frekuensi, semakin lama waktu tundanya. Hal ini menjadi permasalahan besar, karena sinyal yang memiliki lebih dari satu komponen frekuensi akan mengalami penundaan yang tidak seragam di domain waktu. Akibatnya sinyal di domain waktu menjadi terurai (disintegritas). Kasus: Sebuah sinyal memiliki dua komponen frekuensi x(t) = 0.65 cos(0.75πt) cos(.5πt) memasuki medium H (ω) = e j0.9π. Gambarlah sinyal outputnya. t 0 x (t) 0 t x 2 (t) 0 t x(t) 5

116 6 Filter dan Karakterisasi Waktu-Frekuensi Jawab: y(t) = 0.65 cos(0.75πt 0.9π) cos(.5πt 0.9π) = 0.65 cos(0.75π(t 6 5 )) cos(.5π(t 3 5 )) yang sudah tidak lagi menyerupai x(t), meskipun komponen penyusun masih berbentuk sama. 0 y (t) t 0 y 2 (t) t 0 y(t) t Jadi meskipun respons fasa tidak mengubah magnituda dan energi, tapi respons fasa merusak integritas sinyal Fasa Linier Agar respons fasa bisa menjaga integritas sinyal, maka respons fasa mesti mengakibatkan waktu tunda yang sama untuk setiap komponen. Ini bisa dicapai bila respons fasa bersifat linier, yakni θ = ±ωt 0. Sebagai contoh, sinyal akan keluar menjadi sinyal x(t) = cos(ωt) y(t) = cos(ωt θ) = cos(ω(t ± ωt 0 ω )) = x(t ± t 0) Kasus: Sinyal x(t) yang sama memiliki dua komponen frekuensi x(t) = 0.65 cos(0.75πt) cos(.5πt) memasuki medium berfasa linier H (ω) = e j0.9ω. Gambarlah sinyal outputnya. Jawab: 6

117 6 Filter dan Karakterisasi Waktu-Frekuensi y(t) = 0.65 cos(0.75πt π) +0.5 cos(.5πt 0.9.5π) = 0.65 cos(0.75π(t 0.9)) cos(.5π(t 0.9)) = x(t 0.9) yang tetap menyerupai x(t) namun tertunda sejauh y (t) t 0 y 2 (t) t y(t) 0 t Hal yang sama terjadi pada sinyal DT. Bila sistem memiliki fase linier H (ω) = e jωn 0 (6.5) maka input x[n] akan keluar menjadi y[n] = x[n n 0 ]. Fasa seperti ini disebut fasa linier karena apabila respons fasa di gambar, ia akan berbentuk garis lurus, dengan kemiringan (slope) sebesar waktu gesernya. Dalam konteks θ = ωt 0 ini, semua komponen sinyal akan terdelay dengan waktu delay yang sama, yaitu t 0. H (ω) H (ω) = ωt 0 0 t 0 ω 7

118 6 Filter dan Karakterisasi Waktu-Frekuensi 6..3 Group Delay Dalam praktek, kondisi fasa linier itu jarang terjadi. Tapi kita bisa mengestimasi delay pada frekuensi tertentu ω dengan mengestimasi gars linier yang bersinggungan dengan kurva respons fasa di frekuensi ω tersebut, yakni H (ω) ω=ω φ αω dalam daerah sempit sekitar frekuensi ω kelompok sinyal di situ akan mengalami delay bersama sebesar α = d H (ω) dω (6.6) ω=ω Besaran α ini disebut group delay, yaitu delay dalam detik yang terjadi pada sekelompok sinyal berfrekuensi sekitar ω Filter Ideal dan Filter Praktis Kasus Ideal Lowpass filter ideal CT memiliki spektrum: {, ω ω c H (ω) = (6.7) 0, ω > ω c H(ω) ω c stopband passband ω c stopband ω Sedangkan untuk sistem DT, lowpass ideal memiliki spektrum periodik (dengan periode 2π) {, ω ω c H (ω) = (6.8) 0, ω c < ω < π H(ω) π ω c 0 ω c π 2π ωc stopband passband stopband ω 2π Untuk Fase Linier, lowpass ideal memiliki spektrum {, ω ω c H (ω) = 0, ω c < ω < π (6.9) 8

119 6 Filter dan Karakterisasi Waktu-Frekuensi { αω, ω ω c H (ω) = 0, ω c < ω < π (6.0) H (ω) π ω c 0 ω c H (ω) π ω π ω c ω c π ω Kasus: cari response impuls untuk Lowpass CT Ideal Jawab: h(t) = ˆ ωc e jωt dω = sin ω ct 2π ω c πt ω c π h(t) 0 π ω c 2 π ω c t Kasus: cari response impuls untuk Lowpass DT Ideal Jawab: h[n] = ˆ ωc e jωn dω = sin ω cn 2π ω c πn ω c π h[n] 0 π ω c 2 π ω c t 9

120 6 Filter dan Karakterisasi Waktu-Frekuensi Kasus: cari response impuls untuk Lowpass CT Ideal fase linier Jawab: h(t) = ˆ ωc e jαω e jωt dω = sin ω c(t α) 2π ω c π (t α) h(t) ω c π 0 α t Kasus: Cari step respons dari filter ideal CT. Jawab: Step respons s(t) = ˆ t h (τ) dτ Kasus: Cari step respons dari filter ideal CT. Jawab: Step respons n s[n] = h [k] k= Kasus Tidak Ideal Ada tradeoff antara domain waktu dan domain frekuensi. + δ δ H (ω) δ 2 ω p ω s passband transisi stopband ω Contoh filter tidak ideal: Butterworth, Eliptics. 20

121 6 Filter dan Karakterisasi Waktu-Frekuensi Log Magnitude dan Bode Plots Skala logaritma membantu kita untuk melihat lebih detail bagian-bagian yang sering tersembunyi dalam skala biasa. Selanjutnya, dalam skala logaritma perkalian magnituda dapat diekspresikan sebagai penjumlahan. log Y (ω) = log H (ω) + log X (ω) (6.) Dalam kasus CT, kita mengenal Bode plot, yakni plot dari Energi dan plot fasa dari respons frekuensi. Sumbu x dari kedua plot ini adalah log 0 ω. Sumbu y dari plot energi adalah dalam satuan desibel, yakni 0 log 0 H (ω) 2 = 20 log 0 H (ω) Untuk h(t) real, Bode plot hanya digambarkan pada sumbu positif. Selain karena H (ω) genap, dan H (ω) ganjil, tetapi juga supaya log 0 ω tidak perlu dihitung pada frekuensi negatif. 0 db 0 db 0 db 20 db 20 log 0 H (ω) ω π 2 H (ω) 0 π 2 π ω Untuk kasus DT, sumbu x tidak perlu di-skala log 0 ω, karena rentang frekuensi dibatasi [ π, π]. 2

122 6 Filter dan Karakterisasi Waktu-Frekuensi 20 log 0 H (ω) 0 db 0 db 0 db 20 db 0 0.2π 0.4π 0.6π 0.8π π ω π 2 H (ω) 0 π 2 π 0 0.2π 0.4π 0.6π 0.8π π ω Bode plot ini digunakan untuk mempelajari dan mendasain berbagai filter. Filter yang termasuk paling mudah untuk diwujudkan adalah filter LCCDE. Sebagaimana diketahui filter LCCDE dibedakan menurut orde nya. Namun karena sifat linearitasnya, maka filter berorde tinggi dapat dibangun melalui kasakade orde yang lebih rendah. Untuk itu berikut ini kita mempelajari filter LCCDE orde satu dan orde dua. Filter orde lebih tinggi dapat dibangun dengan kasakade orde satu dan orde dua. 6.2 Sifat Waktu-Frekuensi Filter LCCDE CT 6.2. Magnituda CT Orde Satu Kasus: Perhatikan sebuah sistem LCCDE CT orde satu τ d y (t) + y (t) = x (t) (6.2) dt Bagaimana sifat T-F filter nya? Bagaimana gambar Bode plotnya? Jawab: Dari persamaan ini diperoleh respons frekuensi H (ω) = jωτ + = τ τ + jω (6.3) H (ω) = (ωτ) 2 + (6.4) 22

123 6 Filter dan Karakterisasi Waktu-Frekuensi H (ω) = arctan (ωτ) (6.5) Maka kita bisa melihat kemampuan filter ini menembuskan impuls dan unit step dengan mendapatkan respons impuls dan respons step, masing-masing sebagai h (t) = τ e t τ u (t) (6.6) h(t) τ eτ τ s(t) = h(t) u (t) = t [ ] e t τ u (t) (6.7) s(t) e τ t Bode plot dari magnituda dapat diestimasi dengan melihat bahwa ) 20 log 0 H (ω) = 0 log 0 ((ωτ) 2 + (6.8) Untuk kasus ω τ maka (ωτ)2 0, dan (dalam db) 20 log 0 H (ω) 0 Dalam Bode-plot persamaan ini adalah garis lurus mendatar yang memotong sumbu y pada 0dB. Untuk kasus ω τ, maka term (ωτ)2 menjadi lebih dominan dari, dan (dalam db) 20 log 0 H (ω) 20 log 0 (ωτ) = 20 log 0 (ω) 20 log 0 (τ) Dalam Bode plot persamaan ini adalah sebuah garis lurus yang menurun dengan kemiringan -20dB tiap dekade (garis log 0 (ω)). Kedua garis Bode Plot ini bertemu pada titik ω = τ. Di titik cutoff ini sehingga H (ω) = 2 23

124 6 Filter dan Karakterisasi Waktu-Frekuensi 20 log 0 H (ω) 3dB Titik cut-off ini disebut juga titik 3dB. Berbekal ketiga informasi ini, maka kita dapat mengsketsa Bode plot ini dengan akurasi cukup memadai. Maka kurva magnituda Bode plot memiliki garis asimtotik 0, ω < τ 20 log 0 H (ω) 3 ω = τ 20 log 0 (ω) 20 log 0 (τ), ω > τ 20 log 0 H (ω) 20 db 0 db 20 db 40 db 0 τ 0 0 τ 0 τ 0 2 τ 0 3 τ 0 4 τ ω Fasa CT Orde Satu Fasa filter ini juga dapat diestimasi menurut H (ω) = arctan (ωτ) Untuk kasus ω τ, kita peroleh H (ω) arctan (0) = 0 Untuk kasus ω τ, kita peroleh H (ω) arctan ( ) = π 2 Khusus untuk titik cutof ω = τ, kita peroleh H (ω) = arctan () = π 4 Perhatikan bahwa untuk rentang sekitar titik cutoff ini [0. τ, 0 τ ], kita bisa mengestimasi respons fasa dengan sebuah garis lurus yang melalui titik cutof ini, serta bernilai 0 dan π 2 pada masing-masing tepi dengan persamaan garis 24

125 6 Filter dan Karakterisasi Waktu-Frekuensi H (ω) = π [ωτ + ] 4 Maka kurva fasa Bode plot adalah 0, ω 0. τ H (ω) π 4 [ωτ + ] 0. τ < ω < 0 τ π 2, ω 0 τ π 4 H (ω) 0 π 4 π 2 0 τ 0 0 τ 0 τ 0 2 τ 0 3 τ 0 4 τ ω Di sini kita melihat hubungan waktu dengan frekuensi. Semakin kecil τ, semakin cepat h(t) mencapai nilai nol, semakin cepat s(t) mencapai titik steady state, tapi titik cutoff di domain frekuensi menjadi semakin jauh Magnituda Orde Dua CT Kasus: Carilah sifat domain frekuensi dan waktu dari sebuah sistem orde dua dt 2 y (t) + 2ςω d n dt y (t) + ω2 ny (t) = ωnx 2 (t) (6.9) d 2 Jawab: Dari transformasi Fourier, diketahui sistem ini memiliki respons frekuensi H (ω) = ω 2 n (jω) 2 + 2ζω n (jω) + ω 2 n Sekarang kita cari respons impulsnya melalui inverse transform H (ω) = ω 2 n (jω c ) (jω c 2 ) dimana dengan memecahkan persamaan kuadrat diperoleh c = ζω n + ω n ζ 2 c 2 = ζω n ω n ζ 2 25

126 6 Filter dan Karakterisasi Waktu-Frekuensi Bila ζ, maka kita peroleh H (ω) = M (jω c ) M (jω c 2 ) M = ω n 2 ζ 2 Sehingga respons impuls adalah h(t) = M [ e c t e c 2t ] u(t) Bila ζ, maka impuls respons menjadi lebih sederhana Bode plot dari magnituda diperoleh dari h(t) = ω 2 nte ωnt u(t) H (ω) = ( ) 2 ( ) ω ωn + j2ζ ω ωn dengan kuadrat magnituda H (ω) 2 = [ ( ) ] 2 2 ( ) 2 ω + 4ζ 2 ω ωn ωn Sehingga kita dapatkan [ ( ) ] 20 log H (ω) = 0 log ω 2 2 ( ) ω 2 + 4ζ 2 Dalam kasus ω ω n, semua term ( ω ωn ω n ) 2 0, sehingga ω n Sebaliknya dalam kasus ω ω n, term 20 log H (ω) = 0 log () = 0 ( ω ωn ( ( ω 20 log H (ω) = 0 log 2 ( ω 0 log ω n ) 4 ) 4 menjadi paling dominan sehingga ω n = 40 log ω + 40 log ω n ) 2 ( ) ω 4 ( ) ) ω ζ 2 ω n ω n Jadi dalam kasus ini, magnituda sistem turun 40 db per dekade. 26

127 6 Filter dan Karakterisasi Waktu-Frekuensi Pada titik cutoff, ω = ω n, 20 log H (ω) = 20 log (2ζ) Sehingga magnituda dari Bode plot adalah 0, ω ω n 20 log H (ω) 20 log (2ζ), ω = ω n 40 log ω + 40 log ω n, ω ω n 20 log 0 H (ω) 40 db 0 db 40 db 80 db 0 ω n 0 0 ω n 0 ω n 0 2 ω n 0 3 ω n 0 4 ω n ω Pengaruh ζ muncul secara maksimal saat pada saat itu magnituda memiliki nilai ω max = ω n 2ς 2 H (ω max ) = 2ς 2ς 2 Puncak ini terkait dengan kualitas filter, yang sebut quality Q, yang untuk sistem orde dua didefinisikan sebagai Q = 2ς Fasa CT Orde Dua Sedangkan fasanya diperoleh ( ) 2ζ ω ωn H (ω) = arctan ( ) 2 (6.20) ω ωn Dalam kasus ω ω n, kita peroleh H (ω) arctan 0 = 0 27

128 6 Filter dan Karakterisasi Waktu-Frekuensi Sebaliknya bila ω ω n, kita lihat bahwa penyebut cenderung dominan menuju, sehingga seluruh pecahan cenderung 0, dan Untuk daerah cutoff, ω = ω n H (ω) arctan 0 = π H (ω) = arctan = π 2 Dengan cara estimasi garis mirip dengan kasus orde satu, kita dapatkan kurva fasa Bode plot 0, [ ] ω 0.ω n H (ω) π ω 2 log 0 ω n +, 0.ω n < ω < 0ω n π, ω 0ω n H (ω) π 2 0 π 2 π 0 ω n 0 0 ω n 0 ω n 0 2 ω n 0 3 ω n 0 4 ω n ω 6.3 LCCDE CT Orde Tinggi dan DT orde rendah 6.3. CT Orde Tinggi LCCDE orde tinggi memiliki bentuk respons frekuensi yang rasional. Oleh sebab itu Respons frekeunsi tersebut dapat direpresentasikan pecahan, di mana pembilang maupun penyebut adalah sebagai kaskade dari bentuk standar orde satu dan orde dua, masingmasing H (ω) = + jωτ dan ( ) ( jω jω H 2 (ω) = + 2ς + ω n ω n ) 2 Kasus: Gambarkan Bode-plot dari sistem dengan respons frekuensi H (ω) = (jω) jω

129 6 Filter dan Karakterisasi Waktu-Frekuensi Jawab: Dari observasi langsung di amati bahwa H (ω) = 2 H 2 (ω), dimana ω n = 00 dan ς = 0.5. Maka disimpulkan bahwa 20 log H (ω) = 20 log log H 2 (ω) 20 log H (ω) { 6, ω log ω + 86, ω log 0 H (ω) 40 db 0 db 40 db 80 db ω Kemudian fasa nya adalah sama dengan H 2 (ω), yakni 0, [ ] ω 0 H (ω) π ω 2 log 0 ω n +, 0 < ω < 000 π, ω 000 H (ω) π 2 0 π 2 π ω Contoh Kasus Kasus: Estimasikan bode plot bila respons frekuensi H (ω) = 00( + jω) (0 + jω)(00 + jω) Jawab: Kita dapat melihat kasus ini sebagai kaskade dari empat system orde satu 29

130 6 Filter dan Karakterisasi Waktu-Frekuensi H (ω) = 0 ( + 0 jω) ( + + jω) 00jω)( = H (ω) H2 (ω) H3 (ω) H4 (ω) di mana H (ω) = 0, H2 (ω) = (+ jω), H3 (ω) = (+ 0 ( + jω). Maka untuk H (ω) = 0 dan kita peroleh 20 log 0 H (ω) = 20 log 0 0 = jω), dan H4 (ω) = H (ω) = 0 20 log 0 H (ω) 0 db 0 db 0 db 20 db ω Fasa: π 4 H (ω) 0 π 4 π ω Untuk H2 (ω) = (+ 0 jω) kita peroleh τ = 0 0, ω < 0 20 log 0 H (ω) 3 ω = 0 20 log 0 (ω) + 20, ω > 0 30

131 6 Filter dan Karakterisasi Waktu-Frekuensi dan 0, ω H (ω) π [ 4 ω 0 + ], < ω < 00 π 2, ω log 0 H2 (ω) 0 db 0 db 0 db 20 db ω Fasa: π 4 H2 (ω) 0 π 4 π ω Untuk H3 (ω) = kita peroleh (+ 00 jω) τ = 00 0, ω < log 0 H (ω) 3 ω = log 0 (ω) + 40, ω > 00 dan 0, ω H (ω) π [ 4 ω 00 + ], < ω < 00 π 2, ω 00 3

132 6 Filter dan Karakterisasi Waktu-Frekuensi 20 log 0 H3 (ω) 0 db 0 db 0 db 20 db ω Fasa: π 4 H3 (ω) 0 π 4 π ω Untuk H4 (ω) = ( + jω) kita peroleh τ = 0, ω < 20 log 0 H (ω) +3 ω = +20 log 0 (ω) 20, ω > dan 0, ω H (ω) π 4 [ω + ], < ω < 00 π 2, ω 00 32

133 6 Filter dan Karakterisasi Waktu-Frekuensi 20 log 0 H4 (ω) 30 db 20 db 0 db 0 db ω Fasa: H4 (ω) 3π 4 π 2 π ω Maka Bode plot magnituda adalah: 20 log 0 H (ω) 0 db 0 db 0 db 20 db 30 db ω Sedangkan sudutnya: 33

134 6 Filter dan Karakterisasi Waktu-Frekuensi π 4 H (ω) 0 π 4 π ω DT Orde Satu Mirip dengan kasus CT, sistem DT juga datang dari LCCDE, sehingga bentuk respons frekuensi adalah pecahan dari polinomial. Kemudian karakteristik waktu-frekuensi dapat diperoleh dari kaskade orde satu dan orde dua. Kasus Cari karakteristik waktu-frekuensi dari sistem orde satu untuk a < : y [n] ay [n ] = x [n] Jawab: Dari persamaan LCCDE kita langsung peroleh respons frekuensi H (ω) = ae jω Maka respons impuls dan step respons nya masing- masing adalah h [n] = a n u [n] s[n] = h[n] u[n] = an+ a u[n] Dalam kasus ini a menentukan laju respons impuls untuk menjadi 0. Bila a maka respons impuls akan bertahan lama sebelum mencapai 0. Bila a < 0, maka respons impuls akan berosilasi antara nilai positif dan negatif. Untuk memplot respons magnituda nya, maka kita dapatkan maka sedangkan sudut fasanya H (ω) = H (ω) 2 = a cos ω + ja sin ω + a 2 2a cos 2 ω 20 log H (ω) = log 0 ( + a 2 2a cos 2 ω ) 34

135 6 Filter dan Karakterisasi Waktu-Frekuensi DT Orde Dua H (ω) = arctan Kasus: Sebuah sistem DT orde dua berbentuk a sin ω a cos ω y [n] 2r cos θy [n ] + r 2 y [n 2] = x [n] di mana 0 < r < dan 0 θ π. Cari respons frekuensi serta respons impuls. Jawab: respons frekuensi bisa diperoleh langsung dari transfromasi Fourier: H (ω) = Untuk mencari respons impuls, kita analisa 2r cos θe jω + r 2 e j2ω H (ω) = = [ (re jθ )e jω ][ (re jθ )e jω ] A (re jθ )e jω + B (re jθ )e jω di mana A = ejθ 2j sin θ ; B = e jθ 2j sin θ n sin [(n + ) θ] h[n] = r u [n] sin θ Jadi respons impuls adalah sebuah osilator dengan peredaman r n. bila θ = 0, maka diperoleh kasus khusus Selanjutnya H (ω) = ( re jω ) 2 maka respons impulsnya h [n] = (n + ) r n u[n] Bila θ = π, h [n] = (n + ) ( r) n u[n] Pada kedua kasus ini terdapat bilangan real d dan d 2 di mana d, d 2 <, sehingga 35

136 6 Filter dan Karakterisasi Waktu-Frekuensi H (ω) = = [ d e jω ][ d 2 e jω ] A d e jω + B d 2 e jω maka h[n] = [Ad n + Bd n 2 ] u[n] dimana A = d d d 2 ; B = d 2 d 2 d 6.4 Soal Tambahan. Cari frekuensi respons (H (jω)) dari sebuah sistem CT LTI yang memiliki Bode plot sebagai berikut 20 log 0 H (ω) ω H (ω) π 2 π 4 0 π 4 π ω 36

137 6 Filter dan Karakterisasi Waktu-Frekuensi 6.5 Penutup Sistem atau medium menyerap energi dari sinyal berdasarkan frekuensinya. Untuk memahami perilaku ini dalam praktek, baik karakterisasi frekuensi maupun karakterisasi domain waktu diperlukan secara bersamaan. Jadi ada dua domain yang dipelajari: waktu dan Fourier, di mana pada domain waktu sistem memproses sinyal secara konvolusi, sedangkan pada domain frekuensi, proses dilakukan secara aljabar. Karakteristik waktufrekuensi dari sebuah sistem menyangkut respons frekuensi (dalam bentuk Bode plot), respons impuls, serta step respons. 37

138 7 Sampling Pada kondisi tertentu, sebuah sinyal waktu kontinu dapat direpresentasikan dan dibentuk dari nilai-nilainya yang diketahui, atau sampelnya, pada titik-titik yang berjarak sama dalam waktu. Sifat ini diperoleh dari hasil dasar yang disebut teorema sampling. Teorema ini sangatlah penting dan berguna. Contoh penggunaannya adalah pada gambar bergerak, yang terdiri dari urutan frame individual, yang mewakili cuplikan berupa gambar tetap dari sebuah adegan yang berubah secara kontinu. Ketika sampel-sampel ini dilihat dalam urutan dengan kecepatan yang cukup cepat, maka kita dapat melihat sebuah representasi yang akurat dari adegan kontinu yang sebenarnya. Teorema sampling memiliki peranan penting sebagai jembatan yang menghubungkan sinyal waktu kontinu dengan sinyal waktu diskrit. Sinyal waktu kontinu dapat dibentuk kembali dari sampel-sampelnya, sehingga memungkinkan untuk merepresentasikan sinyal waktu kontinu tersebut oleh sinyal waktu diskrit. Pengolahan sinyal waktu diskrit lebih fleksibel dan lebih baik dibandingkan pengolahan sinyal waktu kontinu. Dengan perkembangan teknologi digital, sistem waktu diskrit dapat dibuat dengan lebih murah, akurat, dan dapat diprogram, sehingga memberikan banyak keuntungan. Konsep sampling merupakan konsep yang menarik dan menjadi metoda untuk menggunakan sistem waktu diskrit untuk mengolah sinyal waktu kontinu. Tujuan dari bab ini adalah membekali peserta dengan pengetahuan tentang sampling, serta menerapkannya untuk untuk memproses sinyal CT menggunakan sistem DT. 7. Representasi Sinyal CT dengan DT Secara umum. dengan tidak adanya kondisi atau informasi tambahan, tidak kita dapatkan suatu sinyal dapat ditentukan secara unik oleh suatu deretan sampel dengan jarak yang sama. Dapat diperoleh sejumlah sinyal berbeda yang kesemuanya memiliki nilai identik sampel-sampelnya yaitu pada waktu kelipatan bulat T. Akan tetapi jika sebuah sinyal band limited, atau dengan perkataan lain transformasi Fouriernya sama dengan nol di luar pita frekuensi tertentu, dan jika sampel-sampelnya dibuat sedekat mungkin berkaitan dengan frekuensi yang tertinggi dari sinyal tersebut, maka sampel-sampel tersebut akan menampilkan bentuk yang menjadi ciri khusus dari sinyal tersebut, sehingga kita dapat membentuk kembali sinyal tersebut dengan sempurna. 7.. Sampling Impulse Train Untuk mengembangkan teorema sampling, kita memerlukan cara yang mudah untuk merepresentasikan sampling dari sinyal waktu kontinu pada interval tertentu. Cara yang dapat digunakan untuk melakukan hal ini adalah dengan menggunakan rentetan impuls (impulse train) yang dikalikan dengan sinyal waktu kontinu x(t) yang akan dicari sampelnya. Mekanisme ini dikenal dengan nama sampling impulse train, seperti ditunjukkan pada gambar. Sinyal periodik impuls train p(t) disebut sebagai fungsi sampling, periode T sebagai periode sampling, dan frekuensi fundamental p(t), ω s = 2π/T, sebagai frekuensi sampling. 38

139 7 Sampling p(t) x(t) x p (t) x(t) 0 t T p(t) 0 t x(0) x p (t) T 0 T t Dalam domain waktu, x p (t) = x(t)p(t), dengan p(t) = + n= δ(t nt ). Perkalian x(t) dengan suatu unit impuls akan mendapatkan sampel sinyal pada titik di mana impuls tersebut berada, yaitu pada x(t)δ(t t 0 ) = x(t 0 )δ(t t 0 ). Akan dihasilkan x p (t) dalam bentuk impuls train dengan amplituda impuls yang sama dengan sampel x(t) pada interval T, yaitu Dari sifat multiplikasi diketahui Dan kita mengetahui bahwa x p (t) = X p (jω) = 2π + n= ˆ + P (jω) = 2π T x(nt )δ(t nt ), X(jθ)P (j(ω θ))dθ. + k= δ(ω kω s ). Karena konvolusi dengan suatu impuls sama dengan menggeser sinyal, yaitu X(jω) δ(ω ω 0 ) = X(j(ω ω 0 )), 39

140 7 Sampling X p (jω) = T + k= X(j(ω kω s )). (7.) X(jω) ω M ω M ω P (jω) 2π T 3ω s 2ω s ω s 0 ω s 2ωs 3ω s ω X p (jω) T ω M 2ω s ω s ω M 0 ω s 2ωs (ω s ω M ) ω X p (jω) T 2ω s ω s 0 ω s 2ωs (ω s ω M ) ω X p (jω) adalah fungsi periodik dari ω yang terdiri dari superposisi dari X(jω) yang tergeser, dengan skala /T, seperti dapat dilihat pada gambar. Pada gambar dapat dilihat untuk kasus pertama ω M < (ω s ω M ) atau ω s > 2ω M, sehingga tidak terjadi overlap antara X(jω) yang tergeser. Pada kasus kedua ω s < 2ω M akan terjadi overlap. Pada kasus pertama maka x(t) akan dapat dibentuk kembali persis dari x p (t). Namun untuk kasus kedua, kita tidak dapat memperoleh x(t) dari x p (t). Kita dapat memperoleh x(t) dari x p (t) dengan melewatkan x p (t) pada filter low pass ideal sehingga kita bisa memperoleh sinyal output x r (t) yang memiliki spektrum X r (jω) = X(jω). Pada prakteknya digunakan filter low pass non ideal yang akan mengakibatkan ketidakcocokan antara x(t) dengan x r (t). 40

141 7 Sampling 7..2 Sampling dengan Zero-Order Hold Sampling dengan rentetan impuls pada kenyataannya relatif tidak dapat direalisasikan. Pulsa-pulsa sempit dan amplituda yang besar yang mendekati bentuk impuls, sulit dibangkitkan dan ditransmisikan, sehingga lebih mudah membangkitkan sinyal yang telah disampling dengan zero-order hold. Sistem ini membuat sampel dari x(t) dalam satu level sinyal tertentu dan menahannya hingga level sinyal berubah pada sampel berikutnya, seperti dapat dilihat pada gambar. Rekonstruksi x(t) dari output zero-order hold dengan pemfilteran low pass. Namun pada kasus ini, filter yang dibutuhkan tidak lagi harus memiliki penguatan konstan pada passband. Sinyal x(t) diproses oleh sistem sampling impulse train menghasilkan sinyal x p (t). Sinyal x p (t) diproses dengan sistem zero order hold dengan respon impuls h o (t) menghasilkan keluaran x 0 (t). x(t) 0 t x(0) x p (t) T 0 T t h 0 (t) T t x 0 (t) 0 t Untuk membentuk kembali x(t) dari x 0 (t), sinyal x 0 (t) diproses menggunakan sistem LTI dengan respon impuls h r (t) dan respon frekuensi H r (jω) sehingga dapat diperoleh luaran r(t) = x(t). Bila diinginkan r(t) = x(t), maka harus berlaku kombinasi kaskade dari h 0 (t) dan h r (t) adalah filter low pass ideal yang sama dengan bagian sebelumnya pada sampling impuls train. Sekali lagi pda prakteknya hal ini tidak dapat direalisasikan Rekonstruksi sinyal dari sampel-sampelnya menggunakan interpolasi Interpolasi adalah proses pencocokan sinyal kontinu kepada kumpulan nilai sampelsampelnya. Salah satu interpolasi paling sederhana adalah zero-order hold yang telah dibahas sebelumnya. Bentuk interpolasi lain yang berguna adalah interpolasi linear, yang dilakukan dengan menghubungkan sampel-sampel yang ada dengan garis lurus seperti dapat dilihat pada gambar. Pada formula interpolasi yang lebih rumit, titik sampel dihubungkan oleh fungsi matematik dengan polinom dengan orde yang lebih tinggi. 4

142 7 Sampling x 0 (t) 0 t Untuk sinyal bandlimited, jika titik-titik sampling cukup berdekatan, maka sinyal dapat dibentuk dengan tepat, dengan menggunakan filter low pass. Interpretasi dari rekonstruksi x(t) sebagai proses interpolasi akan nampak apabila kita memandang efek dari filter low pass ideal pada domain waktu. Untuk filter low pass ideal yang harus digunakan pada sampling impuls train, memiliki respon impuls, Sehingga h(t) = ω ct sin(ω c t), πω c t x r (t) = + n= x(nt ) ω ct π sin(ω c (t nt )). (7.2) ω c (t nt ) Interpolasi menggunakan respon impuls dari filter ideal seperti ditunjukkan pada persamaan (7.2) sering disebut sebagai interpolasi band-limited. Rekonstruksi dapat dilihat pada gambar. x(t) 0 t x(0) x p (t) T 0 T t x r (t) 0 t 7..4 Contoh Soal Kasus: Kita memiliki sebuah sinyal kontinu x(t) = cos 200πt + 3 cos 400πt Bila kita melakukan sampling pada sinyal ini dengan frekuensi sampling 800 Hz. Tentukanlah hasil sampling x p (t). Tentukan juga hasil sinyal hasil rekonstruksinya x r (t). T =

143 7 Sampling x p (t) = x(nt ) = cos 200πn 800 x(nt ) = cos πn 4 + n= [ cos πn cos 400πn cos πn 2 πn ] ( + 3 cos δ t 2 x r (t) = x(nt ) n= t T x r (t) = cos 800πt cos 800πt 2 x r (t) = cos 200πt + 3 cos 400πt n ) Aliasing 7.2. Teorema Sampling Dari hasil pada bagian 2.. kita mendapatkan Teorema Sampling sebagai berikut. Jika x(t) merupakan sinyal bandlimited (pita terbatas) di mana X(jω) = 0 untuk ω > ω M. Maka x(t) ditentukan oleh sampling yang dinyatakan dengan x(nt ), n = 0, ±, ±2,..., jika dengan ω s > 2ω M ω s = 2π T. Maka dengan sampling-sampling x(nt ) yang berupa impuls train dengan amplituda yang merupakan urutan samplingnya, akan dapat dilakukan rekonstruksi x(t). Impuls train ini kemudian diproses oleh filter low pass ideal dengan penguatan T dan frekuensi cut off lebih besar dari ω M dan lebih kecil dari ω s ω M. Keluaran sinyal ini akan persis sama dengan x(t). Frekuensi 2ω M sesuai dengan teorema sampling, yaitu frekuensi sampling harus melebihi dari 2ω M, sering dirujuk sebagai Nyquist Rate Undersampling Pada bagian-bagian sebelumnya, diasumsikan bahwa frekuensi sampling adalah cukup tinggi sehingga kondisi dari teorema sampling terpenuhi. Ketika ω s < 2ω M, maka spektrum dari x(t) yaitu X(jω) tidak sama persis dengan X p (jω) sehingga tidak dapat diperoleh kembali dari x p (t) dengan menggunakan pemfilteran low pass. Efek ini, yaitu term-term pada persamaan (7.) mengalami overlap, hal ini disebut dengan terjadinya aliasing. Jelas pada kasus ini hasil sinyal rekonstruksi x r (t) tidak akan sama lagi dengan x(t). Ketika aliasing terjadi, frekuensi asli ω 0 akan mengambil identitas frekuensi yang lebih rendah (ω s ω 0 ). Untuk ω s /2 < ω 0 < ω s, ketika ω 0 bertambah secara relatif terhadap ω s, frekuensi output (ω s ω 0 ) berkurang. Ketika ω s = ω 0, sebagai contoh hasil 43

144 7 Sampling sinyal rekonstruksi adalah konstanta. Hal ini konsisten dengan fakta bahwa ketika sampling dilakukan setiap siklus, setiap sampel adalah semua sama dan akan identik sinyal konstanta yang diperoleh dengan sampling (ω 0 = 0) Contoh Soal Kasus: Kita memiliki sebuah sinyal kontinu x(t) = cos 200πt + 3 cos 400πt Bila kita melakukan sampling pada sinyal ini dengan frekuensi sampling 300 Hz. Tentukanlah hasil sampling x p (t). Tentukan juga hasil sinyal hasil rekonstruksinya x r (t). T = 300 x(nt ) = cos 200πn 300 x(nt ) = cos 2πn cos 400πn cos 4πn 3 x(nt ) = cos 2πn cos 3 πn x(nt ) = cos 2πn cos x(nt ) = cos 2πn cos ((2 23 )πn ) (2πn 23 πn ) Perhatikan bahwa n adalah bilangan bulat sehingga kita dapat memperoleh x(nt ) = cos 2πn ( cos 23 ) πn = cos 2πn 2πn + 3 cos 3 3 x p (t) = x(nt ) = 4 cos 2πn 3 + n= ( 2πn 4 cos 3 x r (t) = x(nt ) n= t T ) ( δ t x r (t) = 4 cos 2πn x r (t) = 4 cos 200πt n ) 300 Dari kasus ini kita melihat sinyal cosinus 00 Hz direkonstruksi dengan sempurna, namun terjadi aliasing untuk sinyal cosinus 200 Hz, sehingga sinyal ini mengambil identitas pada frekuensi yang lebih rendah yaitu 00 Hz. Aliasing terjadi karena digunakan frekuensi sampling 300 Hz yang tidak memenuhi teorema sampling. Untuk menghindari aliasing pada kasus ini kita harus menggunakan frekuensi sampling lebih besar dari 400 Hz. 44

145 7 Sampling Contoh Soal 2 Kasus: Kita memiliki sebuah sinyal kontinu x(t) = sin 200πt Bila kita melakukan sampling pada sinyal ini dengan frekuensi sampling 200 Hz. Tentukanlah hasil sampling x p (t). Tentukan juga hasil sinyal hasil rekonstruksinya x r (t). T = 200 x(nt ) = sin 200πn 200 x(nt ) = sin πn Karena n adalah bilangan bulat maka hasil sampling selalu pada titik bernilai 0, sehingga kita peroleh sehingga x(nt ) = 0 x p (t) = 0 x r (t) = 0 Pada kasus ini kita memiliki sinyal dengan frekuensi 00 Hz, dan menggunakan frekuensi sampling tepat pada 200 Hz. Pada kasus ini frekuensi sampling yang digunakan tidak memenuhi teorema sampling karena seharusnya digunakan frekuensi sampling lebih besar dari 200 Hz. Pada kasus ini diperoleh hasil sinyal rekonstruksi bernilai nol. 7.3 Pemrosesan Sinyal CT dengan Sistem DT Pada kebanyakan aplikasi, terdapat keuntungan yang signifikan yang ditawarkan dengan pengolahan sinyal waktu kontinu dengan melakukan konversi ke sinyal waktu diskrit, lalu dilakukan pengolahan sinyal waktu diskrit, lalu sinyal hasilnya dikonversi kembali menjadi sinyal waktu kontinu. x c (t) C/D H d ( e jω ) D/C y c (t) 7.3. Konversi C/D, Konversi D/C Melalui proses sampling periodik dengan frekuensi sampling konsisten dengan kondisi dari teorema sampling, sinyal kontinu x c (t) dapat direpresentasikan dengan tepat oleh barisan x c (nt ). Sinyal waktu diskrit x d [n] berhubungan dengan x c (nt ) dengan persamaan x d [n] = x c (nt ) 45

146 7 Sampling Transformasi dari x c (t) menjadi x d [n] didefinisikan sebagai konversi waktu kontinu ke waktu diskrit atau disingkat konversi C/D. Kebalikan operasi ini didefinisikan sebagai konversi waktu diskrit ke waktu kontinu atau disingkat konversi D/C. Operasi konversi D/C melakukan interpolasi antara nilai-nilai sampel sebagai input. Operasi konversi D/C menghasilkan sinyal kontinu y c (t) yang berhubungan dengan sinyal waktu diskrit y d [n] dengan persamaan y d [n] = y c (nt ) Pada sistem komputer digital sinyal waktu diskrit direpresentasikan dalam bentuk digital, perangkat yang digunakan untuk mengimplementasikan konversi C/D disebut konverter analog ke digital (ADC), dan perangkat yang digunakan untuk mengimplementasikan konversi D/C disebut konverter digital ke analog (DAC). Pada konversi dengan ADC nilai-nilai sampel hanya dipetakan oleh sejumlah terbatas nilai yang mungkin. Terdapat resolusi ADC misalnya 8 bit, 2 bit, 6 bit, atau 32 bit. Untuk resolusi 8 bit terdapat 256 nilai yang mungkin untuk nilai sampel pada sinyal digital. Proses konversi C/D terdiri dari proses pencuplikan periodik menjadi rentetan impuls (impulse train) yang kemudian diubah menjadi sebuah deret (sequence) waktu diskrit. Proses konversi D/C merupakan proses kebalikannya yaitu deret waktu diskrit diubah menjadi rentetan impuls yang kemudian dilewatkan filter low pass sehingga menghasilkan sinyal waktu kontinu Hubungan Sistem Waktu Diskrit Dengan Sistem Waktu Kontinu Pada pemrosesan sinyal waktu kontinu dengan sistem waktu diskrit dalam domain frekuensi berlaku, Y c (jω) = X c (jω)h d (e jωt ). Untuk input bandlimited, sehingga teorema sampling terpenuhi maka keseluruhan konverter C/D, sistem LTI waktu diskrit, konverter D/C seperti dapat dilihat pada gambar sebelumnya adalah ekivalen dengan sistem LTI waktu kontinu dengan respon frekuensi H c (jω) yang mempunyai relasi dengan respon frekuensi H d (e jω ) yaitu { H d (e jωt ), ω < ω s /2 H c (jω) = (7.3) 0, ω > ω s /2 Respon frekuensi untuk sistem waktu kontinu ini adalah satu perioda dari respon frekuensi sistem waktu diskrit dengan perubahan skala linear pada sumbu frekuensi. Sinyal digital didefinisikan sebagai fungsi dari variabel independen bilangan bulat dan nilai-nilainya diambil dari kumpulan terbatas nilai yang mungkin. Kegunaan dari sinyal ini adalah dapat diproses dengan mudah oleh komputer digital Diferensiator Digital Respon frekuensi dari filter diferensial waktu kontinu adalah H c (jω) = jω. Untuk bandlimited diferensiator dengan frekuensi cut off ω c memiliki respon frekuensi { jω, ω < ω c H c (jω) =. 0, ω > ω c 46

147 7 Sampling Dengan menggunakan persamaan (7.3) dengan frekuensi sampling ω s = 2ω c, kita mendapatkan fungsi transfer dari sistem waktu diskrit yang berhubungan dengan diferensiator ini adalah ( ) Ω H d (e jω ) = j, Ω < π T Magnitude dari respon frekuensi diferensiator bandlimited waktu kontinu: H c (jω) ω c ω c ω c ω Fasa dari respon frekuensi diferensiator bandlimited waktu kontinu: H c (jω) ω c π 2 π 2 ω c ω Magnitude dari respon frekuensi diferensiator bandlimited waktu diskrit: H d (e jω ) ω c 2π π π 2π ω Fasa dari respon frekuensi diferensiator bandlimited waktu diskrit: H d (e jω ) 2π π π 2 π 2 π 2π ω Delay Setengah Sampel Kita akan melihat implementasi dari pergeseran waktu (delay) dari sinyal waktu kontinu dengan menggunakan sistem waktu diskrit. Maka hubungan input dan output dari keseluruhan sistem adalah y c = x c (t ) 47

148 7 Sampling dengan input x c (t) adalah bandlimited dan frekuensi sampling adalah cukup tinggi untuk menghindari terjadinya aliasing dan menyatakan waktu delay. Dari sifat time shifting kita mendapatkan Y c (jω) = e jω X c (jω). Dengan menggunakan persamaan (7.3) sistem waktu kontinu yang ekivalen haruslah bandlimited. Sehingga kita memperoleh { e jω, ω < ω c H c (jω) = 0, lainnya. Dengan ω c adalah frekuensi cut off dari sistem waktu kontinu. H c (jω) akan melakukan time shift untuk sinyal bandlimited dan meredam semua sinyal dengan frekuensi lebih besar dari ω c. Dengan frekuensi sampling ω s diambil dengan ω s = 2ω c, maka respon frekuensi sistem waktu diskrit yang berhubungan adalah Untuk T H d (e jω ) = e jω /T, Ω < π, (7.4) bilangan bulat, maka y d[n] adalah replika dari x d [n] yang terdelay, yaitu [ y d [n] = x d n ]. T Untuk T bukan bilangan bulat, tidak memiliki arti karena sequence hanya didefinisikan pada index bernilai bilangan bulat. Sinyal x c (t) dan x d [n] terhubung melalui sampling dan interpolasi bandlimited, demikian juga dengan y c (t) dan y d [n]. Dengan H d (e jω ) seperti pada persamaan (7.4), y d [n] adalah sama dengan sampel dari versi tergeser dari interpolasi bandlimited dari sequence x d [n]. Untuk kasus T = /2, sering didefinisikan sebagai half-sample delay. Magnitude dari respon frekuensi delay waktu kontinu: ω c H c (jω) ω c ω Fasa dari respon frekuensi delay waktu kontinu: H c (jω) ω c ω c slope ω Magnitude dari respon frekuensi delay waktu diskrit: π H d (e jω ) π ω 48

149 7 Sampling Fasa dari respon frekuensi delay waktu diskrit: H d (e jω ) π π T π T π ω 7.4 Penutup Pada kondisi tertentu, sebuah sinyal waktu kontinu dapat direpresentasikan dan dibentuk dari sampelnya, menurut teorema sampling. Teorema sampling berperan sebagai jembatan yang menghubungkan sinyal waktu kontinu dengan sinyal waktu diskrit. Teorema ini memastikan bahwa sinyal waktu kontinu dapat dibentuk kembali dari sampel-sampelnya. Dengan konsep sampling kita dapat menggunakan sistem waktu diskrit untuk mengolah sinyal waktu kontinu. Pengolahan sinyal waktu diskrit banyak memberikan keuntungan karena lebih fleksibel dan lebih baik dibandingkan pengolahan sinyal waktu kontinu. Dengan perkembangan teknologi digital, sistem waktu diskrit dapat dibuat dengan lebih murah, akurat, dan dapat diprogram. 49

150 8 Transformasi Laplace Secara matematika, transformasi Laplace mengubah persoalan sinyal dan sistem menjadi persoalan aljabar dan geometri. Ini dicapai dengan membuat representasi fungsi atau polinomial s dari sinyal dan sistem. Polinomial ini memiliki akar. Secara khusus untuk sistem LCCDE, fungsi sistem berbentuk rasional dari polinomial, sehingga diperoleh akar pole dan zero. Sifat geometri dari pole-zero ini dapat menentukan sifat sistem. Secara khusus konsep ini digunakan untuk membuat filter Butterworth. Untuk sistem kausal, kita dapat mendefinsikan unilateral Laplace transform (ULT), yang memudahkan menghitung solusi persamaan diferensial. Tujuan dari bab ini adalah membekali peserta dengan pengetahuan dan kemampuan untuk menerapkan konsep transformasi Laplace pada problem sinyal dan sistem, dengan penekanan pada sistem LCCDE serta kasus filter Butterworth. 8. Definisi Transformasi Laplace dan Konvergensinya 8.. Definisi dan Hubungan Dengan FT Definisi. Transformasi Laplace dari sebuah sinyal x(t) adalah X(s) = untuk daerah konvergensi s RoC. ˆ x(t)e st dt (8.) Kasus: Cari transformasi Laplace dari sinyal kausal eksponensial kompleks Jawab: X(s) = ˆ Di mana RoC: Re(s) > a. = x(t) = e at u(t) e at u(t)e st dt = ˆ 0 ˆ e (s+a)t dt = s + a e at u(t)e st dt Inversi transformasi Laplace adalah sebuah integral garis di daerah konergensinya menurut teori variabel kompleks: x(t) = 2πj ˆ c+j c j X(s)e st ds (8.2) Konstanta real c berada pada daerah RoC. Transformasi Lapalace adalah sebuah cara distribusi sinyal pada sebuah garis imajiner dalam RoC di s-plane. 50

151 8 Transformasi Laplace Hubungan dengan transformasi Fourier. Bila sinyal x(t) memiliki spektrum X(ω), maka dari definisi transformasi Laplace dan Fourier diperoleh hubungan X(ω) = X(s) s=jω (8.3) Maka transformasi Fourier adalah distribusi sinyal x(t) di sumbu imajiner s-plane. Kasus: Periksa hubungan ini untuk kasus sinyal eksponensial Jawab: Transformasi Fouriernya adalah x(t) = e at u(t) X (ω) = jω + a sedangkan dari transformasi Laplace diperoleh hasil yang sama 8..2 Region of Covergence X (s) s=jω = s + a = s=jω Apa pengaruh dari RoC? Perhatikan sebuah kasus berikut. jω + a Kasus: Cari transformasi Laplace dari sinyal anti kausal eksponensial kompleks Jawab: x(t) = e at u( t) ˆ ˆ 0 X(s) = e at u( t)e st dt = e (s+a)t dt X(s) = s + a sama dengan hasil sebelumnya, tapi dengan RoC berbeda: Re(s) < a. Dari contoh kasus ini terlihat bahwa bila RoC berbeda, bentuk transformasi Laplace yang sama tidak berarti datang dari sinyal x(t) yang sama Kasus Rasional Kasus: Cari transformasi Laplace dari perjumlahan sinyal ekponensial kompleks x(t) = N c i e ait u(t) i= Jawab: 5

152 8 Transformasi Laplace X(s) = = ˆ [ N ] c i e ait u(t) e st dt i= N [ˆ c i i= ] e ait u(t)e st dt Perhatikan bahwa dari contoh kasus sebelumnya [ˆ ] e ait u(t)e st dt dengan RoC: Re(s) > a i. Maka kita simpulkan = s + a i X(s) = N i= c i s + a i Dengan RoC: Re(s) > a k, di mana k antara sampai dengan N yang memenuhi a k a i untuk setiap i. Perhatikan bahwa bentuk ini dapat diubah menjadi X(s) = α Ms M + α M s M + + α s + α 0 β N s N + β N s N + + β s + β 0 di mana M < N dan β N =. Jadi pada kasus sinyal sebagai perjumlahan eksponensial kompleks di atas, kita peroleh bentuk X(s) sebagai rasio dari polinomial. Bentuk yang umum terjadi adalah X(s) = N(s) P (s) (8.4) di mana N(s) dan P (s) adalah polinomial s masing-masing ber-orde M dan N. Maka kedua polinomial ini masing-masing memiliki M dan N akar. Salah satu bentuk yang paling sederhana adalah sistem berorde satu tang kita temukan pada kasus ekponensial kompleks sederhana: X(s) = s + a Perhatikan bahwa setiap polinomial akan memiliki akar sebanyak ordenya. Akar adalah bilangan kompleks yang membuat polinomial polinomial bernilai nol. Jadi ada akarakar z i, i =,, M dan akar p i, i =,, N sehingga N (z i ) = 0; P (p i ) = 0 Dengan demikian z i akan membuat X(z i ) = 0, dan p i akan membuat X(p i ) =. Oleh sebab itu z i disebut zeros, sedangkan p i disebut poles. Perhatikan sekarang bahwa poles dan zeros bisa menentukan X(s) dari sinyal sebagai perjumlahan eksponensial kompleks, setidaknya sampai pada batas faktor konstanta. Hal ini disebabkan karena kita bisa menyatakan polinomial berdasarkan akar-akarnya, menurut 52

153 8 Transformasi Laplace P (s) = (s p )(s p 2 ) (s p M ) Untuk polinomial N(s) kita peroleh N(s) = α M (s z )(s z 2 ) (s z M ) sehingga untuk diperoleh x(t) = N c i e ait u(t) i= X {s} = α M (s z )(s z 2 ) (s z M ) (s p )(s p 2 ) (s p M ) Dari hasil ini dimungkinkan adanya pole-zero cancellation, dimana apabila ada p i = z j, maka term terkait pada pembilang dan penyebuit saling meniadakan. Bila terjadi polezero cancellation, maka sinyal bisa direpresentasikan oleh polinomial dengan orde yang lebih rendah Sifat RoC Transformasi Laplace. RoC dari X(s) terdiri dari strip yang paralel dengan sumbu jω di bidang s. 2. Untuk transformasi Laplace yang bersifat rasional, RoC tidak mengandung poles. 3. Bila x(t) berdurasi terbatas dan terintegral secara absolut, maka RoC adalah keseluruhan bidang s. 4. Bila x(t) right-sided, dan bila garis Res = σ 0 ada di dalam RoC, maka semua s di mana Res > σ 0 juga berada dalam RoC. 5. Bila x(t) left-sided, dan bila garis Res = σ 0 ada di dalam RoC, maka semua s di mana Res < σ 0 juga berada dalam RoC. 6. Bila x(t) two-sided, dan bila garis Res = σ 0 ada di dalam RoC, maka RoC adalah strip yang mengandung garis Res = σ Bila transformasi Laplace bersifat rasional, maka RoC nya (i) dibatasi oleh poles atau (ii) menuju infinity. Tidak ada pole di dalam RoC. 8. Bila transformasi Lapace rasional, maka bila x(t) right-sided maka ROC adalah daerah di bidang s di sebelah kanan pole yang paling kanan. Bila x(t) left-sided maka ROC adalah daerah di bidang s di sebelah kiri pole yang paling kiri. 8.2 Sifat-Sifat dan Pasangan Transformasi 8.2. Sifat-sifat Dasar Kita dapat membuktikan beberapa sifat dasar transformasi Laplace (Tabel 8.). 53

154 8 Transformasi Laplace Tabel 8.: Sifat Transformasi Laplace Sifat Sinyal Laplace RoC x(t) X(s) R x (t) X (s) R x 2 (t) X 2 (s) R 2 Linieritas a x (t) + a 2 x 2 (t) a X (s) + a 2 X 2 (s) R R R 2 Time Shifting x(t t 0 ) e st 0 X(s) R = R Shifting in s e s0t x(t) X(s s 0 ) R = R + Re(s 0 ) Time Scaling x(at) a X(s) R = ar Time Reversal x( t) X( s) R = R d Diferensiasi dalam t dt x (t) sx(s) R R d Diferensiasi dalam s tx(t) ds X (s) R = R t Integrasi x (τ) dτ s X(s) R R {Re(s) > 0} Konvolusi x (t) x 2 (t) X (s)x 2 (s) R R R 2 Sifat lain: Bila x(t) = 0 untuk t < 0 dan x(t) tidak mengandung implus atau singularitas orde tinggi pada t = 0, maka Teorema Nilai Awal: Teorema Nilai Akhir x ( 0 +) = lim s sx (s) lim x (t) = lim sx (s) t s 0 54

155 8 Transformasi Laplace Aplikasi Dasar Kasus: cari transformasi Laplace dari sinyal x(t) = x (t) x 2 (t) Bila diketahui transformasi Laplace dari x (t) dan x 2 (t) masing-masing adalah dan X 2 (s) = Jawab: Dari sifat linieritas diperoleh X (s) = ; RoC : Re {s} > s + ; RoC : Re {s} > (s + ) (s + 2) X (s) = X (s) X 2 (s) = s + (s + ) (s + 2) Kasus: cari transformasi Laplace dari sinyal X(s) = ; RoC : Re {s} > 2 s + 2 Jawab: Bila x(t) = te at u(t) Kita peroleh Tapi karena x (t) = e at u(t) X (s) = s + a maka Pasangan Transformasi x(t) = tx (t) X(s) = d ds X (s) = d ds s + a = (s + a) 2 Untuk mempercepat penggunaan transformasi Laplace, kita menghitung tabel pasangan transformasi (Tabel 8.2) sebagai alat bantu kita. 55

156 8 Transformasi Laplace Tabel 8.2: Pasangan transformasi Laplace x(t) X(s) RoC δ(t) All s u(t) s Re{s} > 0 u( t) s Re{s} < 0 tu(t) Re{s} > 0 s 2 t k k! u(t) Re{s} > 0 s k+ e at u(t) s+a Re{s} > Re{a} e at u( t) s+a Re{s} < Re{a} te at u(t) Re{s} > Re{a} (s+a) 2 te at u( t) Re{s} < Re{a} (cos ω 0 t) u(t) (sin ω 0 t) u(t) e at (cos ω 0 t) u(t) e at (sin ω 0 t) u(t) (s+a) 2 s s 2 +ω0 2 ω 0 s 2 +ω0 2 s+a (s+a) 2 +ω0 2 ω 0 (s+a) 2 +ω0 2 Re{s} > 0 Re{s} > 0 Re{s} > Re{a} Re{s} > Re{a} Aplikasi Dasar 2 Kasus: cari transformasi Laplace dari sinyal: Jawab: Karena x(t) = [ e 2t + e t cos 3t ] u(t) cos 3t = 2 ej3t + 2 e j3t kita peroleh x(t) = [e 2t + 2 e( t+j3t) + 2 e( t j3t) ] u(t) Sekarang definisikan x (t) = e 2t u(t) x 2 (t) = 2 e ( j3)t u(t) x 3 (t) = 2 e (+j3)t u(t) Dan dari tabel diperoleh X (s) = ; RoC : Re{s} > 2 s

157 8 Transformasi Laplace X 2 (s) = ; RoC : Re{s} > 2 s + ( j3) X 2 (s) = ; RoC : Re{s} > 2 s + ( + j3) Maka dari sifat linieritas kita peroleh pada RoC : Re{s} > Sehingga X(s) = s s + ( j3) + 2 s + ( + j3) X(s) = 2s 2 + 5s + 2 (s + 2) (s 2 ; RoC : Re{s} > + 2s + 0) Kasus: Gunakan Teorema nilai awal untuk memverifikasi hasil tersebut di atas. Jawab: Teorema nilai awal: Kita hitung ruas kiri: x ( 0 +) = lim s sx (s) x ( 0 +) = e e 0 cos 3 0 = 2 Dan kemudian diverifikasi oleh ruas kanan: 8.3 Inversi dan Partial Fraction 2s 3 + 5s 2 + 2s lim sx (s) = lim s s (s + 2) (s 2 + 2s + 0) = 2 Pada dasarnya inversi dari transformasi Laplace memerlukan pengetahuan dari variable kompleks, namun dari diperoleh antara lain melalui transformasi Fourier dari sinyal x(t)e σt, di mana s = σ + jω. Namun demikian, cara melalui rumus inversi jarang digunakan. Orang lebih memilih menggunakan tabel pasangan transformasi serta tabel sifat Inversi untuk Kasus Rasional Untuk kasus khusus di mana X(s) rasional polinomial, atau X {s} = α M (s z )(s z 2 ) (s z M ) (s p )(s p 2 ) (s p N ) dengan M < N, maka kita usahakan bentuk ini dikonversi menjadi X(s) = N i= c i s + a i 57

158 8 Transformasi Laplace Ini bisa terjadi apabila semua pole dan zero berifat distink. Asumsi RoC nya mengimplikasikan x(t) right-sided, sehingga inversinya adalah x(t) = N c i e ait u(t) i= Partial Fraction Sebuah rasional polinomial X(s) = α Ms M + α M s M + + α s + α 0 β N s N + β N s N + + β s + β 0 disebut proper bila M < N dan β N =. Maka secara umum, kita dapat mengubah X(s) yang proper ini menjadi X(s) = r σ i i= k= c ik (s p i ) k (8.5) di mana p i adalah poles, r adalah jumlah pole yang distink, dan σ i adalah multiplisitas setiap pole. Kasus: Misalnya kita memiliki X(s) = s + 2 (s + ) 2 (s + 3) Ubah ke dalam bentuk persamaan (8.5). Jawab: Karena bentuk ini proper, kita peroleh dua pole disktink p = dan p 2 = 3, di mana multiplisiti dari masing masing pole adalah σ = 2 dan σ 2 =. Maka kita peroleh X(s) = c (s p i ) + c 2 (s p i ) 2 + c 2 (s p i ) X(s) = c (s + ) + c 2 (s + ) 2 + c 2 (s + 3) Partial fraction mengatakan bahwa koefisien c ik dapat diperoleh dari c ik = Kasus: cari koefisien dari contoh kasus di atas. Jawab: c = [ d σ i ] k (σ i k)! ds σ i k [(s p i) σ i X(s)] s=p i [ d 2 [ ] ] (2 )! ds 2 (s p ) 2 X(s) s=p = d ds (s + s + 2 )2 (s + ) 2 (s + 3) s= 58

159 8 Transformasi Laplace = d s + 2 ds (s + 3) = s= (s + 3) (s + 2) (s + 3) 2 s= c 2 = c 2 = c = 4 [ d 2 2 [ ] ] (2 2)! ds 2 2 (s p ) 2 X(s) s=p [ ] = (s p ) 2 X(s) s=p = (s + ) 2 s + 2 (s + ) 2 (s + 3) = s + 2 (s + 3) = s= 2 s= [ d [ ] ] ( )! ds (s p 2 ) X(s) s=p 2 = (s p 2 ) X(s) s=p2 s + 2 = (s + 3) (s + ) 2 (s + 3) = s + 2 (s + ) 2 Kasus: cari inverse transform kausal dari s= 3 = 4 s= 3 X(s) = s + 2 (s + ) 2 (s + 3) Jawab: Dari Partial fraction kita peroleh X(s) = 4 (s + ) + 2 (s + ) (s + 3) Maka bila sinyal ini kausal, kita peroleh x(t) = [ 4 e t + 2 te t ] 4 e 3t u(t) Bila X(s) tidak proper (M N), maka kita bisa menggunakan long-division untuk membuat X(s) memiliki bentuk X(s) = N(s) D(s) = Q(s) + R(s) D(s) 59

160 8 Transformasi Laplace di mana Q(s) merupakan polinimiar berorde M N,dan R(s) D(s) Q(s) diperoleh dari sifat d k δ (t) = sk dtk Pole-Zero dan Evaluasi Geometri Transformasi Fourier Bila X(s) memiliki pole-zero dengan bentuk persamaan X {s} = α M (s z )(s z 2 ) (s z M ) (s p )(s p 2 ) (s p N ) proper. Inversi dari dengan M < N, sementara kita tahu bentuk magnituda dan sudut memenuhi X(s) = X(s) e j X(s) maka kita dapat mengukur X(s) pada s tertentu secara geometri dengan mendrfinisikan u i = (s z i ) dan mengubah persamaan di atas menjadi Maka v i = (s p i ) M i= X {s} = α (s z M i) M N i= (s p i) = α i= u i M N i= v i X(s) = α M M i= u i N i= v i X(s) = M u i i= N v i Maka menghitung X(s) pada titik s tertentu dapat dilakukan dengan mencari/mengukur u i, v i, u i dan v i. Cara ini umumnya digunakan untuk mencari transformasi Fourier. Kita tahu bahwa transformasi Fourier dan Laplace memiliki hubungan erat: i= X(ω) = X(s) s=jω Misakan kita ingin tahu besar X(ω 0 ). Maka di s-plane, ini sama dengan kita perlu tahu X(s 0 ) pada s 0 = jω 0. Untuk itu kita menggunakan gambar s-plane, dengna meletakkan titik-titik s 0, p i, dan z i. Dari gambar geometri, kita dapat mengukur vektor u i dan vi, baik magnituda maupun sudutnya untuk digunakan pada persamaan magnituda dan sudut di atas. 60

161 8 Transformasi Laplace Im ω 0 vi s0 ui p i pi zi z i Re Kasus Orde Satu, Dua, dan Allpass Kasus: Estimasi respons frekuensi dari sistem orde satu dengan plot geometrinya, dengan impul respons. h(t) = τ e t T u(t) Jawab: Transformasi Laplace sistem ini adalah H(s) = τs + ; RoC : Re{s} > τ dengan sebuah pole pada z = τ. Dari plot geometri v = (s p ) diperoleh magnituda dan sudut. H(s) = τ v H(s) = v Im ω v s τ p Re 6

162 8 Transformasi Laplace Kasus: Estimasi respons frekuensi dari sistem orde dua dengan plot geometrinya, bila respons impulnya berbentuk: di mana diketahui h(t) = M [ e c t e c 2t ] u(t) c = ςω n + ω n ς 2 c = ςω n ω n ς 2 M = ω n 2 ς 2 Jawab: Transformasi Laplace sistem ini adalah H(s) = ω 2 n (s c ) (s c 2 ) dengan dua pole pada p = c dan p 2 = c 2. Dari plot geometri v = (s p ) dan v 2 = (s p 2 ) diperoleh magnituda dan sudut. H(s) = ωn 2 v v H(s) = ( v + v 2 ) Yang besarnya bergantung dari ς. Pada ς > ada dua pole real, sehingga H(ω) mengecil saat ω membesar. Im ω v 2 v s c 2 ςω n c p 2ω n ς 2 Re Sedangkan pada 0 < ς < ada dua pole kompleks. Sehingga pada terjadi dua puncak pada frekuensi ω = ±ω n. 62

163 8 Transformasi Laplace Im v c ω n ς 2 ςω n v 2 Re c 2 Soal: Gambarkan plot respons frekuensi untuk sistem all-pass dengan plot pole-zero sebagai berikut Im ω v u p z Re 8.4 Analisa Sistem LTI dan LCCDE 8.4. Fungsi Sistem dan Kausalitas Untuk sistem LTI dengan input x(t), respons impuls h(t), dan output y(t), dari sifat transformasi Laplace diperoleh Y (s) = H(s)X(s) di mana transformasi dari input, respons impuls, dan output masing-masing adalah X(s), H(s), dan Y (s), dengan RoC masing-masing. Secara khusus H(s) dikenal dengan nama fungsi sistem. 63

164 8 Transformasi Laplace Kita dapat menentukan sistem kausal atau anti kausal dari daerah RoC fungsi sistem. Untuk sistem LTI kausal, h(t) = 0 untuk t < 0, RoC ada di daerah sebelah kanan sumbu imajiner. Untuk sistem LTI anti kausal, h(t) = 0 untuk t > 0, RoC ada di daerah sebelah kiri sumbu imajiner Khusus untuk sistem LCCDE, kita peroleh fungsi sistem berbentuk rasional dari polinomial. Fungsi sistem semacam ini memiliki pole. Maka RoC dari LCCDE kausal adalah daerah sebelah kanan dari pole yang paling kanan. Untuk LCCDE antikausal, RoC adalah daerah sebelah kiri dari pole yang paling kiri Stabilitas RoC fungsi sistem juga menentukan stabilitas sistem. Sebuah sistem LTI akan stabil jika dan hanya jika RoC dari fungsi sistem melingkupi sumbu imajiner. (Mengapa?) Untuk sistem LCCDE kausal dengan fungsi sistem rasional polinomial, stabilitas diperoleh jika dan hanya jika semua pole dari fungsi sistem ada di sebelah kiri bidang s. Untuk LCCDE antikausal, stabilitas didapatkan jika dan hanya jika semua pole dari fungsi sistem ada di sebelah kanan bidang s. (Mengapa?) Kasus: Cari respons impuls dari sistem yang stabil bila fungsi sistem nya H(s) = s (s + )(s 2) Jawab: sistem ini memiliki dua pole: p = dan p 2 = 2, dengan bentuk terurai H(s) = 2/3 s + + /3 s 2 Maka kita bisa menganggap sistem ini terdiri dari penjumlahan dua subsistem H(s)=H (s)+h 2 (s) dengan H (s) = 2/3 s + H 2 (s) = /3 s 2 Fungsi sistem H (s) memiliki pole p = di sebelah kiri s-plane, sedangkan sumbu imajiner harus dicakup oleh RoC stabil, sehingga RoC stabil dari subsistem ini adalah Res >. Karena RoC ini adalah bidang sebelah kanan pole, maka ini dicapai oleh respons impuls kausal, yakni h (t) = 2 3 e t u(t) Fungsi sistem H 2 (s) memiliki pole p 2 = 2 yang berlokasi di sebelah kanan s-plane, sedangkan sumbu imajiner harus dicakup oleh RoC stabil, sehingga RoC stabil dari subsistem ini adalah Res < 2. Karena RoC ini adalah bidang sebelah kiri pole, maka ini dicapai oleh respons impuls antikausal, yakni h 2 (t) = 3 e2t u( t) 64

165 8 Transformasi Laplace Maka respons impuls yang stabil adalah h(t) = h (t) + h 2 (t) = 2 3 e t u(t) 3 e2t u( t) Kasus: Cari respons impuls dari sistem yang kausal bila fungsi sistem nya H(s) = s (s + )(s 2) Jawab: Sama dengan sebelumnya, kita bisa menganggap sistem ini terdiri dari penjumlahan dua subsistem H(s)=H (s)+h 2 (s) Fungsi sistem H (s) memiliki pole p = di sebelah kiri s-plane, sedangkan RoC kausal harus berada dibidang sebelah kanan pole, maka RoC subsistem ini adalah Res >, dan ini dicapai oleh respons impuls kausal, yakni h (t) = 2 3 e t u(t) Fungsi sistem H 2 (s) memiliki pole p 2 = 2 yang berlokasi di sebelah kanan s-plane, sistem kausal memiliki RoC di sebelah kanan pole ini, sehingga RoC kausal dari subsistem ini adalah Res > 2. Maka respons impuls kausal adalah Maka respons impuls kausal adalah h 2 (t) = 3 e2t u(t) h(t) = h (t) + h 2 (t) = 2 3 e t u(t) + 3 e2t u(t) Kasus: Cari respons impuls dari sistem yang antikausal bila fungsi sistem nya H(s) = s (s + )(s 2) Jawab: Sama dengan sebelumnya, kita bisa menganggap sistem ini terdiri dari penjumlahan dua subsistem H(s)=H (s)+h 2 (s) Fungsi sistem H (s) memiliki pole p = di sebelah kiri s-plane, sedangkan RoC antikausal harus berada dibidang sebelah kiri pole, maka RoC subsistem ini adalah Res <, dan ini dicapai oleh respons impuls kausal, yakni h (t) = 2 3 e t u( t) Fungsi sistem H 2 (s) memiliki pole p 2 = 2 yang berlokasi di sebelah kanan s-plane, sistem antikausal memiliki RoC di sebelah kiri pole ini, sehingga RoC antikausal dari subsistem ini adalah Res < 2. Maka respons impuls antikausal adalah Maka respons impuls kausal adalah h 2 (t) = 3 e2t u( t) [ 2 h(t) = h (t) + h 2 (t) = 3 e t + ] 3 e2t u( t) 65

166 8 Transformasi Laplace Fungsi Sistem LCCDE Salah satu keuntungan terbesar menguasai transformasi Laplace adalah dalam memecahkan persamaan sistem LCCDE. Ingat bahwa d x(t) sx(s) dt Maka kalau kita melakukan persamaan ini berulang-ulang secara iteratif, kita peroleh versi lain dari pasangan tadi d k dt k x(t) sk X(s) Maka transformasi Laplace dari sebuah persamaan LCCDE akan menghasilkan atau N d k M a k dt k y(t) = d k b k dt k x(t) k=0 k=0 [ N ] [ M ] a k s k Y (s) = b k s k X (s) k=0 k=0 H(s) = Y (s) X(s) = M k=0 b ks k N k=0 a ks k (8.6) Jadi, fungsi sistem dari sebuah sistem LCCDE berbentuk rasional (pecahan) dari dua polinomial s. Akar dari polinomial pembilang ( M k=0 b ks k ) disebut zero, sedangkan akar dari polinomial penyebut ( N k=0 a ks k ) disebut pole Relasi Sifat Sistem dan Fungsi Sistem Berbekal konsep fungsi sistem ini, maka kita dapat memecahkan berbagai masalah di domain Laplace, termasuk mencari sistem yang memenuhi kriteria tertentu. Kasus: Cari sistem LCCDE yang bila dimasuki input ternyata menghasilkan output x(t) = e 3t u(t) y(t) = [ e t e 2t] u(t) Jawab: Tanpa transformasi Laplace, soal invers semacam ini cukup sulit untuk pemula, dan hanya bisa diselesaikan dengan memuaskan oleh orang sudah berpengalaman banyak. Tapi dengan trasnformasi Laplace, persoalan menjadi sederhana, karena dan X(s) = ; RoC : Re{s} > 3 s

167 8 Transformasi Laplace Y (s) = ; RoC : Re{s} > (s + ) (s + 2) maka H(s) = (s + 3) ; RoC : Re{s} > (s + ) (s + 2) Atau H(s) = s + 3 s 2 ; RoC : Re{s} > + 3s + 2 Maka kita langsung mendapatkan sistem LCCDE: d 2 dt 2 y(t) + 3 d dt y(t) + 2y(t) = d x(t) + 3x(t) dt Kasus: Cari sistem LCCDE yang memiliki sifat berikut ini:. Sistem kausal 2. Sistem memiliki dua poles: p = 2 dan p 2 = 4 3. Bila input x(t) = maka output y(t) = Nilai respons impuls pada t = 0 + adalah 4. Jawab: berdasarkan informasi () kita buat template dari fungsi sistem dengan sebuah polinomial n(s) yang belum diketahui, berbentuk H(s) = n(s) (s + 2)(s 4) = n(s) s 2 2s 8 dengan RoC: Re {s} > 4. Tugas kita sekarang mencari n(s). Pertama dari sifat (3) kita simpulkan bahwa H(0) = 0, karena bila x(t) = = e 0t, maka y(t) = H(0)e 0t, dan output akan nol bila H(0) = 0. Ini otomatis berarti n(0)=0. Ini berarti n(s) punya akar di s = 0, maka kita simpulkan n(s) = s m(s). Kedua, dari teorema nilai awal, kita tahu bahwa maka h ( 0 +) = lim s sh(s) s 2 m(s) lim sh(s) = lim s s s 2 2s 8 = 4 Perhatikan bahwa saat s, term di pembilang dan penyebut akan di dominasi oleh suku dengan s dengan pangkat terbesar. Kemudian bila pembilang memiliki pangkat terbesar lebih dari 2, maka limit ini akan menuju tak hingga. Sebaliknya bila pangkat terbesanya lebih kecil dari dua, maka limit ini akan menuju nol. Maka kesimpulan kita orde pangkat terbesar pada pembilang adalah 2, sehingga m(s) haruslah sebuah konstanta, yang besarnya 4, karena: 67

168 8 Transformasi Laplace Jadi n(s) = 4s, dan dan LCCDE nya adalah s 2 K 4 = lim s s 2 2s 8 = K H(s) = 4s s 2 2s Filter Butterworth 8.5. Sifat Respons Frekuensi d 2 dt 2 y(t) 2 d dt y(t) 8y(t) = 4 d dt x(t) Sebuah filter Butterworth orde N memiliki respons frekuensi H N (ω) yang memenuhi sifat H N (ω) 2 = ( ) 2N (8.7) + ω ωc Filter ini memiliki Bode plot ( ( ) ) ω 2N 20 log 0 H N (ω) = 0 log + ω c (8.8) 0, ω < ω c 20 log 0 H N (ω) 3, ω = ω c (8.9) 20N (log 0 ω log 0 ω c ), ω > ω c seperti yang diperlihatkan pada Gambar 8., sehingga disimpulkan bahwa filter ini berjenis Lowpass dengan frekuensi cut-off 3 db pada frekuensi ω c, dan turun sebesar 20N db per dekade. Dari gambar respons frekuensi Poles Kita sekarang ingin tahu fungsi sistem B N (s) yang menghasilkan spektrum tersebut. Asumsi filter ini memiliki respons impuls real, maka berlaku dan H N (ω) = H N ( ω) H N (ω) 2 = H N (ω) H N (ω) = H N (ω) H N ( ω) Kita tahu dari sifat fungsi sistem untuk s = jω berlaku B N (jω) = H N (ω), sehingga B N (jω) B N ( jω) = H N (ω) 2 = ( ) 2N + ω ωc Ini bisa dipenuhi bila fungsi sistem memenuhi 68

169 8 Transformasi Laplace Gambar 8.: Bode plot filter Butterworth 20 log 0 H N (ω) 20 db 0 db 20 db 40 db 60 db 80 db N = 2 = 3 = 4 N = 0.ω c ω c 0ω c 0 2 ω c 0 3 ω c 0 4 ω c ω B N (s) B N ( s) = B N (s) B N ( s) = + ( s jω c ) 2N + ( s jω c ) 2N (8.0) Sekarang, bila B N (s) B N ( s) memiliki pole p k, maka harus berlaku p k = ( ) 2N pk + = 0 jω c (e j(2k+)π) /2N e j π (2k+)π j( 2 ωc = ω c e 2N + π 2 ) maka disimpulkan bahwa ada 2N buah pole p k, dimana p k = ω c p k = (2k + ) π 2N + π 2 69

170 8 Transformasi Laplace p k k N = N = 2 N = 3 N = π( ) 4 π( ) 2 3 π( ) 5 8 π( ) π = 3 4 π( ) 3 3 π = π( ) 7 8 π( ) π= 4 π 4 3 π( ) 9 8 π = 7 8 π( ) π = 4 π 5 3 π = 3 π 8 π = 5 8 π( ) π = π = 3 8 π π = 3 π 5 8 π = 8 π π = 8 π π = 3 8 π π π/2 π/3 π/4 Dari observasi posisi pole pada bidang s, dapat disimpulkan bahwa:. Setiap pole berada pada lingkaran berjari-jari ω c dengan berjarak sama, satu sama lain. Ini berarti pole tersebar secara merata di lingkaran tersebut. 2. Jarak sudut dari satu pole ke pole tetangganya adalah 2π/2N = π/n. 3. Pole selalu berpasangan dengan cerminannya di sumby imajiner. 4. Pole yang kompleks memiliki juga pasangan pole konjugasinya. Maka kita dapat memilih untuk mengkonstruksi B N (s) dari semua pole yang berada di sebelah kiri sumbu imajiner, agar stabil untuk filter kausal, dan tetap memenuhi Persamaan (8.0). Ada N pole yang memenuhi syarat ini, yakni semua pole yang berada di sebelah kiri bidang s, atau 2 π < p k < 3 2 π yakni N pole yang bertanda ( ) pada tabel di atas, atau p k pada k = 0,, N Fungsi Sistem Dengan demikian, secara umum fungsi sistem dari filter Butterworth adalah B N (s) = N k=0 N a k = s p k k=0 Lihat bahwa B N (jω) = H N (ω) mengakibatkan H N (0) = B N (j0) a k s ω c e j p k B N (j0) = N k=0 N a k a k ω c e j p = k ω c k=0 Tapi sebagai LPF kita tahu H N (0) =, maka a k = ω c, sehingga kita peroleh Maka untuk N = : B N (s) = ω N c (s p 0 ) (s p ) (s p N ) (8.) 70

171 8 Transformasi Laplace Untuk N = 2: B 2 (s) = B (s) = ω c (s p 0 ) = ω c (s + ω c ) ω 2 c (s p 0 ) (s p ) = ω 2 c (s + ω c e j 4 π) ( s + ω c e j 4 π) (8.2) B 2 (s) = s 2 + 2ω c s + ωc 2 Untuk N = 3, kita bisa melakukan kaskade orde dua dan orde satu: ω 2 c (8.3) = B 3 (s) = ω 3 c (s p 0 ) (s p ) (s p ) ω c (s + ω c ) ω 2 c (s + ω c e j 3 π) ( s + ω c e j 3 π) = ω c (s + ω c ) ω 2 c s 2 + ω c s + ω 2 c Persamaan LCCDE B 2 (s) = ω 2 c s 3 + 2ω c s 2 + 2ω 2 c s + ω 3 c (8.4) Karena bentuk fungsi sistem Butterworth rasional dari polinomial, maka langsung kita peroleh dengan mudah persamaan diferensial LCCDE untuk N = : Untuk N = 2: Untuk N = 3: d dt y (t) + ω cy (t) = ω c x(t) d 2 dt 2 y (t) + 2ω c d dt y (t) + ω2 c y (t) = ω 2 c x(t) d 3 dt 3 y (t) + 2ω c dt 2 y (t) + d 2ω2 c dt y (t) + ω3 c y (t) = ωc 3 x(t) Atau alternatifnya adalah kaskade (coupling) d 2 d 2 d dt z (t) + ω cz (t) = ω c x(t) dt 2 y (t) + ω d c dt y (t) + ω2 c y (t) = ωc 2 z(t) 8.6 Diagram Blok dan Transformasi Satu Sisi Kita bisa menggambarkan diagram blok dari sistem LCCDE berdasarkan fungsi sistem nya. Diagram block terdiri dari blok segi empat untuk sistem, garis ber-panah untuk sinyal, dan lingkaran untuk operator sinyal. Diagram blok ini berguna untuk memudahkan implementasi. 7

172 8 Transformasi Laplace 8.6. Sistem Paralel, Seri, dan Umpan Balik Sistem yang diparalel memiliki persamaan fungsi sistem H(s) = H (s) + H 2 (s) dengan gambar diagram se bagai berikut: H (s) x(t) + y(t) H 2 (s) Dari sifat linieritas sistem LTI disimpulkan juga hubungan respons impuls h(t) = h (t) + h 2 (t) Dengan cara serupa, sistem yang di seri (kaskade) memiliki persamaan sistem H(s) = H (s)h 2 (s) dengan gambar diagram sebagai berikut: x(t) H (s) H 2 (s) y(t) Sebaliknya dari gambar, kita bisa memperoleh fungsi sistem. Misalnya, salah satu sistem yang penting adalah sistem umpan balik, yang digambar seperti berikut ini. e(t) x(t) + H (s) y(t) z(t) H 2 (s) Dari gambar ini diperoleh hubungan fungsi sistem: Y (s) = H (s)e (s) E (s) = X(s) Z (s) sehingga kita dapatkan Z (s) = H 2 (s)y (s) H (s) = Y (s) X (s) = H (s) + H (s)h 2 (s) (8.5) 72

173 8 Transformasi Laplace Diagram Blok dari LCCDE Kasus: gambarkan diagram blok dari sistem H(s) = s + a Jawab: dengan mencoba mencocokkan fungsi ini dengan Persamaan (8.5) maka kita dapatkan H(s) = s + a = s + s a sehingga H (s) = s dan H 2(s) = a. Sehingga kita dapat menggambarkan blok diagram seperti pada sistem umpan balik: e(t) x(t) + s y(t) a Perhatikan bahwa sistem seperti pada gambar ini memiliki persamaan LCCDE d y (t) + ay (t) = x(t) dt di mana koefisien a bisa langsung diperoleh dari gambar. Diagram block juga dapat digunakan untuk melakukan komputasi graph guna mendapatkan skema alternatif. Perhatikan kasus di bawah ini. Kasus: carilah diagram block dari sistem ini H(s) = s + b s + a Jawab: Sistem ini dengan mudah digambarkan sebagai kaskade dua sistem feedback dan diferensiator: /(s + a) s dz(t) dt dz(t) dt z(t) x(t) + s b + y(t) a (s + b) 73

174 8 Transformasi Laplace Namun dalam implementasi nanti, diferensiator tidak disukai akibat sensitivitasnya terhadap kondisi fisik. Bentuk integrator lebih diinginkan. Perhatikan bahwa gambar tersebut secara graph I/O ekuivalen dengan + y(t) x(t) + dz(t) dt s z(t) b a Sistem yang kedua ekuivalen dengan sistem yang pertama dalam pengertian fungsi sistem, tetapi sistem yang kedua lebih diinginakn akrena tidak membutuhkan diferensiator. Selanjutnya sistem kedua disebut direct form karena block diagram langsung diperoleh dari persamaan fungsi sistem (dan persamaan LCCDE). Kasus: Dengan cara direct form serupa (tanpa diferensiator), gambarkan diagram blok dari sistem H(s) = b 2s 2 + b s + b 0 s 2 + a s + a 0 Jawab: Salah satu alternatif persamaan adalah kaskade H(s) = (s 2 + a s + a 0 ) ( b 2 s 2 ) + b s + b y(t) b 2 b b 0 x(t) + s s a a 0 + Soal: Gambarkan diagram blok direct-form tanpa diferensiator dari filter Butterworth orde satu, dua, dan tiga. Soal: Gambarkan diagram blok direct-form tanpa diferensiator dari filter Butterworth tiga sebagai kaskade dari filter orde satu dan dua. 74

175 8 Transformasi Laplace Transformasi Laplace Satu Sisi Untuk sistem dan sinyal kausal, transformasi Laplace bisa dimodifikasi menjadi satu sisi, atau unilateral Laplace transform (ULT). Untuk sinyal x(t) kita mendefinisikan ULT X (s) = ˆ 0 x(t)e st dt (8.6) dengan RoC selalu bidang kanan sumbu imajiner (σ 0). Dengan cara seperti ini, maka untuk sinyal x(t) kausal yang bernilai 0 untuk t < 0, X (s) = X(s). Kasus: Bandingkan X(s) dan X (s) dari sinyal Jawab: dari Tabel, x(t) = e at u(t) X(s) = s + a Dengan RoC Res > 0. Tapi karena x(t) = 0 untuk t < 0, maka kedua transformasi ini identikal X(s) = s + a Kasus: Sekarang bandingkan X(s) dan X (s) dari sinyal Jawab: dari Tabel, x(t) = e a(t+t 0) u(t + t 0 ) X(s) = e st 0 s + a Dengan RoC Res > a. Tapi karena x(t) 0 untuk t < 0, maka kedua transformasi ini tidak identikal: X (s) = = ˆ 0 e a(t+t 0) u(t + t 0 )e st dt ˆ = e at 0 0 e a(t+t 0) e st dt ˆ 0 e (s+a)t dt X(s) = e at 0 s + a 75

176 8 Transformasi Laplace Tabel 8.3: Sifat ULT 9dengan RoC selalu sisi kanan s plane) Sifat Sinyal ULT Linieritas a x (t) + a 2 x 2 (t) a X (s) + a 2 X2 (s) Pergeseran di domain e s0t x(t) X(s s0 ) s Scala waktu x(at);a > 0 a a ) Konjugasi x (t) X (s) Konvolusi x (t) x (t) X (s) X 2 (s) d Diferensiasi waktu dt x(t) s X(s) x(0 ) d Diferensiasi domain s tx(t) X(s) ds t Integrasi waktu 0 x(τ)dτ s Kasus: Bila diketahui x(t) 0 untuk t < 0, dan x τ (t) = x(t + τ) dimana τ > 0, maka nyatakan X τ (s) dalam X(s). Jawab: Secara umum = ˆ X τ (s) = Jadi bila kita definisikan kondisi awal: ˆ 0 x(t + τ)e st dt ˆ τ x(t + τ)e st dt x(t + τ)e st dt ˆ 0 x(t + τ)e st dt τ ˆ 0 = e sτ X(s) 0 x(t + τ)e st dt τ maka X0 τ ˆ 0 τ x(t + τ)e st dt X τ (s) = e sτ X(s) X0 τ Soal: Hitung X0 t0 untuk kasus x(t) = e at u(t) dan x t0 (t) = x(t + t 0 ) Sifat-sifat ULT diperlihatkan pada Tabel 8.3. Teorema nilai awal mengatakan bahwa apabila x(t) tidak mengandung impuls atau singularitas orde tinggi di t = 0, maka berlaku x ( 0 +) = lim s s X(s) Sedangkan teorema nilai akhir mengatakan bahwa lim x (t) = lim s X(s) t s 0 76

177 8 Transformasi Laplace Kasus: Gunakan ULT untuk menghitung output dari sistem dengan kondisi awal rileks dt 2 y (t) + a d dt y (t) + a 0y (t) = x(t) d 2 yang dimasuki input berbentuk step x(t) = αu(t). Gunakan asumsi seperlunya mengenai a 0 dan a. Jawab: Karena kondisi awal rileks, maka kita dapat menggunakan ULT dari fungsi sistem dengan hasil H(s) = s 2 + a s + a 0 Sedangkan sinyal input memiliki fungsi sistem ULT maka output memiliki X(s) = α s Y (s) = α s s 2 + a s + a 0 Asumsi penyebut s 2 + a s + a 0 memiliki akar p dan p 2 yang tidak sama dengan nol, maka kita peroleh Sehingga diperoleh Y (s) = α s(s p )(s p 2 ) Y (s) = b 0 s + b s p + b 2 s p 2 y(t) = [ b 0 + b e jp t + b 2 e jp 2t ] u(t) Penerapan ULT Pada sistem LCCDE Manfaat utama ULT adalah dalam mencari output dari sistem LCCDE bila kondisi awal tidak rileks. Dari tabel kita dapatkan sehingga kita dapatkan juga d dt x(t) s X(s) x(0 ) di mana d 2 dt 2 x(t) s2 X(s) sx(0 ) x (0 ) x (0 ) = d dt x(t) t=0 77

178 8 Transformasi Laplace Kasus: Ulangi kasus di atas tapi dengan kondisi awal y(0 ) dan y (0 ) tidak rileks. Jawab: dengan menerapkan ULT pada tiap term dari persamaan sistem, dt 2 y (t) + a d dt y (t) + a 0y (t) = x(t) d 2 dan memanfaatkan sifat linier maka kita peroleh Setelah ditata ulang kita dapatkan [ ] s 2 Y (s) sy(0 ) y (0 ) + a [s Y ] [ ] (s) y(0 ) + a 0 Y (s) = X(s) [ s 2 + a s + a 0 ] Y (s) = X(s) + (s + a )y(0 ) + y (0 ) Maka kita dapatkan dimana Y (s) = Y 0 (s) + Y (s) + Y 2 (s) Y 0 (s) = s 2 + a s + a 0 X(s) Y (s) = (s + a )y(0 ) s 2 + a s + a 0 Y 2 (s) = y (0 ) s 2 + a s + a 0 Karena untuk kasus ini X(s) = α s, maka kita sudah peroleh sebelumnya y 0 (t) = [ b 0 + c 0 e jp t + d 0 e jp 2t ] u(t) Dengan cara dan asumsi serupa, kita peroleh bentuk y (t) = [ c e jp t + d e jp 2t ] u(t) Maka kita dapatkan y 2 (t) = [ c 2 e jp t + d 2 e jp 2t ] u(t) y 0 (t) = [ b 0 + (c 0 + c + c 2 ) e jp t + (d 0 + d + d 2 ) e jp 2t ] u(t) Kasus: cari output pada kasus di atas bila α = 2, β = 3, γ = 5, dan a = 3, a 0 = 2 Jawab: y (t) = [ e t + 3e 2t] u(t) 78

179 8 Transformasi Laplace 8.7 Penutup Transformasi Laplace mengubah persoalan sinyal dan sistem menjadi persoalan aljabar dan geometri, dengan membuat representasi fungsi atau polinomial s dari sinyal dan sistem. Polinomial ini memiliki akar, dan pada sistem LCCDE, fungsi sistem berbentuk rasional dari polinomial, sehingga diperoleh akar yang disebut poles dan zeros. Sifat geometri dari pole-zero ini dapat digunakan untuk menentukan sifat sistem. Secara khusus konsep geometri pole-zero ini digunakan untuk membuat filter Butterworth. Untuk sistem kausal, kita dapat mendefinsikan transformasi Laplace menjadi ULT, yang memudahkan menghitung solusi persamaan diferensial. 79

180 9 Transformasi z Transformasi z mengubah persoalan sinyal dan sistem menjadi persoalan aljabar dan geometri. Dengan Transformasi z, kita menyatakan representasi sinyal dan sistem dalam polinom z. Untuk sistem LCCDE, fungsi sistem berbentuk rasio dari polinom yang mempunyai akar pole dan zero. Sifat geometri dari pole dan zero ini dapat menentukan sifat dari sistem yang bersangkutan. Untuk sistem kausal dengan kondisi mula, kita dapat mendefinisikan transformasi z satu sisi (unilateral z Transform), untuk memberi kemudahan perhitungan solusi persamaan difference. Tujuan dari bab ini adalah membekali peserta dengan pengetahuan dan kemampuan untuk menerapkan konsep transformasi z pada problem sinyal dan sistem, dengan penekanan pada sistem LCCDE. 9. Definisi dan Konvergensi Transformasi z 9.. Definisi dan Hubungan dengan Fourier Transform Transformasi z dari sinyal waktu diskrit x[n] didefinisikan sebagai deret pangkat (power series) sebagai berikut: X(z) = n= x[n]z n (9.) dengan z adalah variabel kompleks. Kita akan menyatakan variabel kompleks z dalam bentuk koordinat polar z = re jω dimana r sebagai magnitude dari z dan ω sebagai sudut dari z. Dalam term r dan ω maka persamaan (9.) menjadi X(re jω ) = X(re jω ) = n= n= x[n] ( re jω) n { x[n]r n } e jωn Dari persamaan ini kita mendapatkan bahwa X(re jω ) adalah transformasi Fourier waktu diskrit dari x[n] dengan pengali bilangan real eksponensial r n. Faktor r n dapat mengecil atau membesar dengan pertambahan n, bergantung dari nilai r. Untuk r =, atau z =, Persamaan (9.) menjadi Transformasi Fourier yaitu: X(e jω ) = n= x[n]e jωn Dapat disimpulkan Transformasi Fourier waktu diskrit adalah kasus khusus dari Transformasi z. 80

181 9 Transformasi z Im(z) 0 α Re(z) Gambar 9.: ROC Transformasi z dari x[n] = α n u[n] Transformasi z berkurang menjadi Transformasi Fourier ketika magnitude dari variabel transformasi z memiliki magnitude yaitu z = e jω. Jadi Transformasi Fourier adalah kasus khusus dari Transformasi z pada unit circle pada z-plane kompleks. Karena Transformasi z adalah deret pangkat tak berhingga, maka terdefinisi hanya pada pada nilai z yang menyebabkan deret ini konvergen. Region of Convergence dari X(z) adalah kumpulan semua nilai z sehingga X(z) bernilai terbatas Region of Convergence Kasus: Tentukanlah transformasi z dari sinyal Dari persamaan (9.) kita memperoleh X(z) = x[n] = α n u[n] α n z n = n=0 ( αz ) n Jika αz < atau z > α, maka deret pangkat ini akan konvergen ke X(z) = n=0 αz ROC: z > a ROC nya adalah bagian luar dari lingkaran dengan radius α pada Fig 9.2. Kasus: Tentukanlah transformasi z dari sinyal Dari persamaan (9.) kita memperoleh X(z) = x[n] = α n u n n= Dengan l = n. Menggunakan formula ( α n )z n = ( α z ) l l= A + A 2 + A = A( + A + A ) = A A 8

182 9 Transformasi z Im(z) 0 α Re(z) Gambar 9.2: ROC Transformasi z dari x[n] = α n u[ n ] Tabel 9.: Karakteristik Tipe Sinyal dan ROC nya Sinyal ROC Sinyal Durasi Terbatas Kausal Semua z-plane kecuali z = 0 Sinyal Durasi Terbatas Anti Kausal Sinyal Durasi Terbatas Two-sided Semua z-plane kecuali z = Semua z-plane kecuali z = 0 dan z = Sinyal Durasi Infinite Kausal Bagian luar lingkaran z > r 2 Sinyal Durasi Infinite Anti Kausal Bagian dalam lingkaran z < r Sinyal Durasi Infinite Two-sided Annular region r 2 < z < r Jika A < menghasilkan Dengan α z < atau z < α, maka X(z) = α z α z = αz X(z) = αz ROC: z < a ROC nya adalah bagian dalam dari lingkaran dengan radius α dapat dilihat pada Fig 9.2. Dari kedua kasus di atas, kita melihat keunikan dalam Transformasi z. Kita melihat sinyal kausal α n u[n] dan sinyal anti kausal α n u[ n ] memiliki ekpresi Transformasi z yang identik tetapi berbeda ROC-nya. Jadi sinyal waktu diskrit x[n] dapat ditentukan secara untuk dari Transformasi z nya X(z) dan ROC dari X(z). ROC dari sinyal kausal adalah bagian luar dari lingkaran dengan radius tertentu. ROC dari sinyal anti kausal adalah bagian dalam dari lingkaran dengan radius tertentu Sifat-Sifat ROC Terdapat beberapa kemungkinan ROC untuk transformasi z seperti dirangkum pada Tabel 9.. Sifat-sifat dari ROC pada transformasi z adalah sebagai berikut:. ROC dari X(z) terdiri dari sebuah ring pada z-plane yang terpusat pada origin. 2. ROC tidak mengandung pole manapun. 82

183 9 Transformasi z 3. Jika x[n] mempunyai durasi terbatas, maka ROC adalah keseluruhan z-plane, kecuali pada titik titik tertentu yaitu z = 0 dan/atau z =. 4. Jika x[n] barisan right sided, dan jika lingkaran z = r 0 terdapat dalam ROC, maka semua nilai terbatas dari z sehingga z > r 0 juga akan terdapat dalam ROC. 5. Jika x[n] barisan left sided, dan jika lingkaran z = r 0 terdapat dalam ROC, maka semua nilai dari z sehingga 0 < z < r 0 juga akan terdapat dalam ROC. 6. Jika x[n] adalah barisan two-sided, dan jika lingkaran z = r 0 terdapat dalam ROC, maka ROC mengandung sebuah ring dalam z-plane yang menyertakan lingkaran z = r Jika transformasi z X(z) dari x[n] adalah rasional, maka ROC terbatas oleh pole atau akan menuju tak hingga. 8. Jika transformasi z X(z) dari x[n] adalah rasional, dan x[n] right sided, maka ROC adalah region pada z-plane yang terdapat pada bagian luar dari pole terluar. Lingkaran dengan radius sama dengan magnitude terbesar dari pole X(z). 9. Jika transformasi z X(z) dari x[n] adalah rasional, dan x[n] left sided, maka ROC adalah region pada z-plane yang terdapat pada bagian dalam dari pole terdalam tidak nol. Lingkaran dengan radius sama dengan magnitude terkecil dari pole X(z) selain z = Transformasi z Rasional Bentuk Transformasi z Rasional adalah hal yang penting untuk dibahas, yaitu X(z) merupakan fungsi rasional, yaitu rasio (perbandingan) dari dua polinom dalam z (atau z). Bentuk ini dapat dinyatakan dengan X(z) = N(z) D(z) = b 0 + b z b M z M a 0 + a z a N z N = M k=0 b kz k N k=0 a kz k (9.2) Bentuk rasional adalah kebanyakan dari transformasi z yang ditemui dalam banyak aplikasi praktis. Bentuk rasional dari transformasi z juga tidak hanya ditemui sebagai transformasi z dari berbagai sinyal yang penting, tapi juga ditemukan dalam karakterisasi dari sistem LTI waktu diskrit yang dideskripsikan oleh Linear Constant Coefficient Difference Equation. 9.2 Inversi dan Partial Fraction 9.2. Inversi Transformasi z Untuk memperoleh x[n] dari tranformasi z nya X(z) dapat digunakan x[n] = X(z)z n dz. (9.3) 2πj Persamaan (9.3) adalah inversi Transformasi z menggunakan kontur integral dengan arah berlawanan jarum jam dengan radius r yang dapat dipilih sembarang selama X(z) konvergen pada area tersebut. Namun cara ini umumnya tidak praktis digunakan sehingga digunakan pendekatan lain untuk menghitung inversi Transformasi z. 83

184 9 Transformasi z Pole-Zero Zero dari sebuah transformasi z X(z) adalah nilai-nilai z yang menyebabkan X(z) = 0. Pole dari transformasi z adalah nilai-nilai z yang menyebabkan X(z) =. Jika X(z) adalah fungsi rasional maka: X(z) = N(z) D(z) = b 0 + b z b M z M a 0 + a z a N z N = M k=0 b kz k N k=0 a kz k Jika a 0 0dan b 0 0, kita dapat menghindari pangkat negatif dari z dengan memfaktorkan term b 0 z M dan a 0 z N sehingga diperoleh X(z) = N(z) D(z) = b 0z M a 0 z N z M + (b /b 0 )z M (b M /b 0 ) z N + (a /a 0 )z N (a N /a 0 ) Karena N(z) dan D(z) adalah polinomial dalam z, maka X(z) dapat dinyatakan dengan pemfaktoran sebagai X(z) = b 0 z M+N (z z )(z z 2 )...(z z M ) a 0 (z p )(z p 2 )...(z p N ) X(z) = Gz N M M k= (z z k) N k= (z p k) dengan G = b 0 /a 0. Maka X(z) memiliki zero sebanyak M pada z = z, z 2,..., z M (akar dari polinomial pembilang), dan pole sebanyak N pada z = p, p 2,..., p N, dan N M buah zero (jika N > M) atau zero (jika N < M) pada titik origin z = 0. Pole dan zero juga dapat terdapat pada z =. Jelas dengan definisi, ROC dari sebuah transformasi z tidak dapat memuat pole nya Ekspansi Partial Fraction Inversi Transformasi z dapat dicari dengan ekspansi partial fraction, yaitu kita mengekspresikan fungsi X(z) sebagai kombinasi linear dari X(z) = α X (z) + α 2 X 2 (z) α k X k (z), dengan X (z),..., X k (z) merupakan ekspresi dengan inversi transformasi berupa x [n],..., x k [n] terdapat dalam tabel pasangan transformasi z. Jika kita dapat memperoleh dekomposisi seperti ini, maka x[n] yang merupakan inversi transformasi z dari X(z) akan dapat dicari dengan mudah dengan menggunakan formula x[n] = α x [n] + α 2 x 2 [n] α k x k [n]. (9.4) Pendekatan ini menjadi sangat berguna bila X(z) adalah fungsi rasional, seperti pada persamaan (9.2). Tanpa menghilangkan sifat umum, kita asumsikan a 0 =, kita dapat menulis sebagai X(z) = N(z) D(z) = b 0 + b z b M z M + a z a N z N (9.5) Catat jika a 0, maka kita dapat memperoleh persamaan (9.5) dari persamaan (9.2)dengan membagi baik numerator dan numerator dengan a 0. Fungsi rasional pada persamaan (9.5) disebut proper jika a N 0 dan M < N. Hal ini terjadi jika jumlah zero lebih sedikit dari jumlah pole. 84

185 9 Transformasi z Fungsi rasional tidak improper (M N) dapat selalu dituliskan sebagai jumlah dari sebuah polinom dan fungsi rasional proper. Kasus: Ekpresikan transformasi z rasional improper berikut X(z) = + 3z + 6 z z z + 6 z 2 dalam term sebuah polinomial dan fungsi rasional proper Jawab: Kita harus mengurangi pembilang sehingga term z 2 dan z 3 dapat dieliminasi. Kita melakukannya dengan menggunakan pembagian panjang (long division) dengan polinom ini dengan urutan terbalik (reverse order). Kita berhenti melakukan pembagian jika orde dari sisa menjadi z. Maka kita memperoleh X(z) = + 2z + 6 z z + 6 z 2 Inversi transformasi z dari sebuah polinom dapat dicari dengan mudah. Oleh karena itu kita akan membahas inversi transformasi z dari transformasi z rasional proper, karena setiap bentuk improper dapat diubah menjadi bentuk proper. Misalkan X(z) adalah fungsi rasional proper yaitu: X(z) = N(z) D(z) = b 0 + b z b M z M + a z a N z N dengan a N 0 dan M < N. Untuk memudahkan hilangkan semua pangkat negatif dari z dengan mengalikan baik pembilang dan penyebut dengan z N sehingga menghasilkan X(z) = b 0z N + b z N b M z N M z N + a z N a N yang mengandung hanya pangkat positif dari z. Karena N > M maka fungsi X(z) z = b 0z N + b z N b M z N M z N + a z N a N juga selalu proper. Yang harus dilakukan adalah melakukan ekspansi partial fraction. Pertama-tama faktorkan polinom penyebut menjadi faktor yang mengandung pole p, p 2,..., p N dari X(z). Kita akan membahas dua kasus: Kasus Pole Berbeda Misalkan semua pole berbeda. Maka kita harus mencari ekspansi dalam bentuk X(z) z = A z p + A 2 z p Cara mencari ekspansi ini akan ditunjukkan pada contoh A N z p N Kasus: Tentukan inversi transformasi z dari fungsi rasional proper dari bila sinyal kausal X(z) =.5z + 0.5z 2 85

186 9 Transformasi z Jawab: Pertama-tama hilangkan pangkat negatif X(z) = z 2 z 2.5z X(z) z = z (z )(z 0.5) = A z + A 2 z 0.5 Cara mudah untuk menentukan A dan A 2 adalah dengan menyamakan penyebut sehingga kita memperoleh persamaan z = (z 0.5)A + (z )A 2 (9.6) Persamaan (9.6) merupakan persamaan dua variabel dalam A dan A 2 sehingga kita dapat memperoleh X(z) z = 2 z z 0.5 X(z) = 2 z 0.5z maka dengan menggunakan tabel pasangan transformasi z diperoleh. x[n] = 2u[n] (0.5) n u[n] Kasus Pole Multiple Order x[n] = [2 (0.5) n ] u[n] Jika X(z) mempunyai sebuah pole dengan multiplicity sebanyak l, yaitu penyebut dengan faktor (z p k ) l, maka ekspansi pada kasus pole berbeda tidak lagi dapat digunakan. Pada kasus ini diperlukan ekspansi yang berbeda. Kita akan melihat kasus pole ganda (l = 2) yang dapat dikembangkan pada kasus pole multiple order. Kasus: Tentukan ekspansi partial fraction dari X(z) = Pertama-tama hilangkan pangkat negatif ( + z )( z ) 2 X(z) z = z 2 (z + )(z ) 2 X(z) memiliki pole tunggal pada p = dan pole ganda p 2 = p 3 =. Pada kasus ini ekspansi partial fraction yang tepat adalah X(z) z = A z + + A 2 z + A 3 (z ) 2 86

187 9 Transformasi z Koefisien A, A 2 dan A 3 dapat dicari dengan menyamakan penyebut dan menyelesaikan persamaan 3 variabel dengan variabel A, A 2 dan A 3. Sehingga kita memperoleh X(z) z = 3 4 z z + 2 (z ) 2 Generalisasi dari prosedur ini untuk kasus orde multiple l dari pole (z p k ) l adalah sangat mudah. Ekspansi partial fraction haruslah mengandung term A k + A 2k z p k (z p k ) A lk (z p k ) l Evaluasi Geometri Kasus Orde Satu, Orde Dua Kasus Orde Satu Respon impuls dari sistem orde satu sistem waktu diskrit kausal memiliki bentuk umum yang memiliki transformasi z h[n] = a n u[n] (9.7) H(z) = az = z, z > a. (9.8) z a Untuk a <, maka ROC menyertakan unit circle, sehingga transformasi Fourier dari h[n] adalah konvergen dan sama dengan H(z) untuk z = e jω. Maka frekuensi respon dari sistem orde satu adalah H(e jω ) = ae jω (9.9) Gambar 9.3 menggambarkan plot pole-zero untuk H(z) pada persamaan (9.8) termasuk vektor pole (pada z = a) dan zero (pada z = 0) terhadap lingkaran satuan. Dengan plot ini, evaluasi geometri dari H(z) dapat dilakukan. Jika kita ingin melakukan evaluasi respon frekuensi pada persamaan (9.9), kita melakukan evaluasi untuk nilai z dalam bentuk z = e jω. Magnitude dari respon frekuensi pada frekuensi ω adalah rasio dari panjang vektor v terhadap vektor v 2 seperti ditunjukkan Fig 9.3. Fasa dari respon frekuensi adalah sudut dari vektor v terhadap sumbu real dikurangi sudut dari vektor v 2. Vektor v memiliki panjang yang konstan yaitu sehingga tidak memiliki efek terhadap magnitude dari H(e jω ). Kontribusi fasa terhadap H(e jω ) oleh zero adalah sudut zero terhadap sumbu real, yang sama dengan ω. Untuk 0 < a <, vektor pole memiliki panjang minimum pada frekuensi ω = 0 dan panjangnya bertambah secara monoton ketika ω bertambah dari 0 sampai π. Sehingga respon magnitude akan maksimum pada ω = 0 dan akan turun secara monoton ketika ω bertambah dari 0 sampai π. Sudut vektor pole dimulai dari 0 dan bertambah secara monoton dari 0 sampai π. Hasil respon magnitude dan respon fasa dapat dilihat pada Fig 9.4 dan Fig

188 9 Transformasi z Im(z) v v 2 ω Re(z) Gambar 9.3: Pole dan Zero Orde Satu H(e jω ) 20 0 a = 0.95 a = 0.5 π 0 π ω Gambar 9.4: Magnitude Response Orde Satu a = 0.95 H(e jω ) π/2 π a = π ω π/2 Gambar 9.5: Phase Response Orde Satu 88

189 9 Transformasi z Magnitude dari parameter a pada sistem orde satu waktu diskrit memiliki peran yang mirip dengan konstanta waktu τ untuk sistem orde satu waktu kontinu Kasus Orde Dua Kita akan meninjau sistem LTI orde dua kausal waktu diskrit yang memiliki persamaan Sistem ini memiliki respon impuls y[n] 2r cos θy[n ] + r 2 y[n 2] = x[n]. (9.0) dan respon frekuensi n sin(n + )θ h[n] = r u[n] (9.) sin θ H(e jω ) = 2r cos θe jω + r 2 e j2ω (9.2) dengan 0 < r < dan 0 θ π. Kita dapat menyimpulkan transformasi z dari respon impuls h[n] dengan mengamati persamaan (9.2) adalah sebagai berikut Pole dari H(z) terletak pada H(z) = (2r cos θ)z + r 2 z 2 (9.3) z = re jθ, z 2 = re jθ, dan terdapat zero ganda pada z = 0. Plot pole-zero dan vektor pole dan zero dengan 0 < θ < π/2 dapat dilihat pada Fig 9.6. Pada kasus ini, magnitude dari respon frekuensi adalah sama dengan kuadrat dari magnitude vektor v (karena terdapat zero ganda pada origin) dibagi dengan perkalian magnitude vektor v 2 dan v 3. Karena panjang dari vektor v adalah untuk semua ω, maka magnitude dari respon frekuensi adalah sama dengan kebalikan dari perkalian panjang dari vektor v 2 dan v 3. Fasa dari respon frekuensi adalah sama dengan dua kali sudut vektor v terhadap sumbu real dikurangi penjumlahan sudut dari vektor v 2 dan v 3. Ketika kita bergerak pada unit circle dari ω = 0 menuju ω = π, panjang vektor v 2 pertama akan berkurang lalu akan bertambah, dengan panjang minimum terjadi pada ω = θ. Ini konsisten dengan fakta puncak magnitude dari respon frekuensi pada ω dekat dengan θ pada saat vektor v 2 kecil. Berdasarkan kelakuan vektor pole, ketika r bertambah menuju unity, panjang minimum dari vektor pole akan berkurang, sehingga menyebabkan respon frekuensi memiliki peak lebih tajam dengan bertambahnya nilai r. Magnitude dan fasa dari respon frekuensi dapat dilihat pada Fig 9.7 dan Fig Sifat-Sifat dan Pasangan Transformasi z 9.3. Sifat-Sifat Dasar Sifat Tranformasi z dapat dilihat pada tabel

190 9 Transformasi z Im(z) r v 2 v θ θ v 3 ω Re(z) Gambar 9.6: Pole dan Zero Orde Dua H(e jω ) 5 r = 0.9 π 0 r = 0.7 π ω Gambar 9.7: Magnitude Response Orde Dua r = 0.9 H(e jω ) π/2 π r = π ω π/2 Gambar 9.8: Phase Response Orde Dua 90

191 9 Transformasi z Tabel 9.2: Sifat Transformasi z Sifat Sinyal Transformasi z Linearitas ax [n] + bx 2 [n] ax (z) + bx 2 (z) Pergeseran Waktu x[n n 0 ] z n 0 X(z) e jω0n x[n] X(e jω 0 ( ) z) Skala z0 nx[n] X z z 0 dalam domain z a n x[n] X(a z) Time x[ n] X(z ) Reversal { x[r], n = rk Ekspansi x (k) [n] = Waktu 0, n rk X(z k ) Konjugasi x [n] X (z ) Konvolusi x [n] x 2 [n] X (z)x 2 (z) Difference x[n] x[n ] ( z )X(z) Pertama Akumulasi n k= x[k] Diferensiasi nx[n] dalam domain z Teorima nilai awal Jika x[n] = 0 untuk n < 0, maka x[0] = lim z X(z) z X(z) z dx(z) dz 9

192 9 Transformasi z Aplikasi Sifat Dasar Tentukanlah transformasi z dari sinyal x[n] = na n u[n] Sinyal x[n] dapat diekspresikan sebagai nx [n] dengan x [n] = a n u[n]. Kita mengetahui bahwa x [n] = a n u[n] X (z) = Dari sifat diferensiasi dalam domain z kita dapatkan az ROC: z > a na n u[n] X(z) = z dx(z) dz ROC: z > a x[n] az ( az ) 2 ROC: z > a Untuk kasus unit ramp kita set a = sehingga kita mendapatkan nu[n] Aplikasi Sifat Dasar 2 z ( z ) 2 ROC: z > Hitunglah x[n] yang merupakan hasil konvolusi dari dua sinyal x [n] = {, 2, } x 2 [n] = {,,,,, } Dengan menggunakan transformasi z kita memperoleh X (z) = 2z + z 2 X 2 (z) = + z + z 2 + z 3 + z 4 + z 5 Menggunakan sifat konvolusi kita mendapatkan X(z) = X (z)x 2 (z) = z z 6 + z 7 Sehingga kita mendapatkan x[n] = {,, 0, 0, 0, 0,, } Pasangan Transformasi z Pasangan Tranformasi z dapat dilihat pada tabel

193 9 Transformasi z Tabel 9.3: Pasangan Transformasi z Sinyal x[n] Transformasi z X(z) ROC δ[n] Semua z u[n] z > z a n u[n] z > a na n u[n] az az ( az ) 2 a n u[ n ] na n u[ n ] (cos ω 0 n) u[n] (sin ω 0 n) u[n] (a n cos ω 0 n) u[n] (a n sin ω 0 n) u[n] az az ( az ) 2 z cos ω 0 z > a z < a z < a 2z cos ω 0 +z 2 z > z sin ω 0 2z cos ω 0 +z 2 z > az cos ω 0 z > a 2az cos ω 0 +a 2 z 2 az sin ω 0 2az cos ω 0 +a 2 z Analisa Sistem LTI dan Sistem LCCDE 9.4. Fungsi sistem dan Kausalitas z > a Untuk sistem LTI waktu diskrit dengan input x[n], respon impuls h[n] dan output y[n], dari sifat konvolusi transformasi z diperoleh Y (z) = H(z)X(z) di mana tranformasi z dari input, respon impuls, dan output adalah X(z), H(z), dan Y (z). H(z) didefinisikan sebagai fungsi sistem atau fungsi transfer dari sistem. Untuk z dievaluasi pada lingkaran satuan, H(z) berkurang menjadi respon frekuensi dari sistem. Jika input dari sistem LTI adalah sinyal kompleks eksponensial x[n] = z n, maka outputnya adalah H(z)z n. Sehingga z n adalah eigen function dari sistem dengan transformasi z H(z) adalah eigen value nya. Sistem LTI kausal memiliki respon impuls h[n] yang bernilai 0 untuk n < 0, atau right sided. Dari sifat transformasi z, kita mengetahui bahwa ROC dari H(z) adalah bagian luar dari lingkaran pada z-plane. Sebuah sistem LTI waktu diskrit bersifat kausal jika dan hanya jika ROC dari fungsi sistem adalah bagian luar dari lingkaran termasuk infinity ( ). Jika H(z) rasional, maka ROC harus bagian luar dari pole terluar dan tak hingga harus masuk dalam ROC. Artinya limit dari H(z) ketika z menuju tak hingga haruslah terbatas. Dengan kata lain, pembilang dari H(z) harus memiliki pangkat lebih rendah dibandingkan dengan penyebut ketika keduanya dinotasikan sebagai polinomial dalam z. Kasus: Perhatikan sebuah sistem dengan fungsi sistem H(z) = +, ROC: z > 2 (9.4) 2 z 2z Karena ROC dari sistem ini adalah bagian luar dari lingkaran dari pole terluar, maka respon impuls right sided. Respon impulsnya adalah h[n] = [( ) n ] + 2 n u[n] 2 93

194 9 Transformasi z Stabilitas Stabilitas dari sistem LTI waktu diskrit adalah ekivalen dengan respon impuls yang absolutely summable. Pada kasus ini transformasi Fourier dari h[n] konvergen, artinya ROC dari H(z) haruslah menyertakan lingkaran satuan. Kasus: Kita akan melihat sistem pada contoh kasus pada bagian sebelumnya yaitu H(z) = +, ROC: z > 2 2 z 2z Karena ROC nya tidak menyertakan lingkaran satuan, maka sistem tidak stabil. Jika kita memiliki sistem dengan fungsi sistem yang persis sama, namun memiliki ROC pada area 2 < z < 2, yaitu: H(z) = + 2 z 2z, ROC: 2 < z < 2 maka ROC menyertakan lingkaran satuan, sehingga sistem ini tidak kausal tapi stabil. Pada kasus ini kita mendapatkan respon impulsnya adalah yang absolutely summable. h[n] = ( ) u[n] 2 n u[ n ] 2 Pada contoh ini dapat dilihat sangatlah mungkin sistem untuk stabil tetapi tidak kausal. Namun jika kita berfokus hanya pada sistem LTI kausal, stabilitas dapat diperiksa dari lokasi pole. Khususnya, untuk sistem kausal dengan fungsi sistem rasional, ROC adalah bagian terluar dari pole terluar. Agar ROC memuat lingkaran satuan, maka semua pole dari sistem haruslah berada di dalam lingkaran satuan. Dapat disimpulkan bahwa sebuah sistem LTI kausal dengan fungsi sistem rasional H(z) stabil jika dan hanya jika semula pole dari H(z) terletak di dalam lingkaran satuan, semua pole harus memiliki magnitude lebih kecil dari Fungsi Sistem LCCDE Untuk sistem dikarakterisasi oleh Linear Constant Coefficient Difference Equation (LCCDE), sifat dari transformasi z menyediakan prosedur yang memberikan kemudahan untuk mendapatkan fungsi sistem, respon frekuensi, atau respon domain waktu dari sistem. Persamaan LCCDE mengambil bentuk umum N M a k y[n k] = b k x[n k] (9.5) k=0 Dengan menggunakan transformasi z pada kedua sisi persamaan (9.5) dan menggunakan sifat linearitas dan time-shifting, maka kita mendapatkan k=0 yang dapat dituliskan sebagai k=0 N M a k z k Y (z) = b k z k X(z), k=0 94

195 9 Transformasi z sehingga kita dapatkan N M Y (z) a k z k = X(z) b k z k, k=0 k=0 H(z) = Y (z) X(z) = M k=0 b kz k N k=0 a kz k Jadi fungsi sistem dari sebuah sistem LCCDE berbentuk rasional dari dua polinom z. Batasan tambahan seperti kausalitas, stabilitas dari sistem akan menentukan ROC. Jika sistem kausal, maka ROC merupakan bagian luar dari pole terluar. Jika sistem stabil, maka ROC harus menyertakan lingkaran satuan Relasi Sifat Sistem dan Fungsi Sistem Banyak sifat dari sistem LTI waktu diskrit dapat dihubungkan secara langsung dari fungsi sistem dan karakteristiknya. Dengan menggunakan transformasi z kita dapat mencari fungsi sistem yang memenuhi sifat-sifat tertentu. Kasus: Misalkan kita mengetahui beberapa informasi mengenai sistem LTI sebagai berikut:. Jika input terhadap sistem adalah x [n] = (/6) n u[n] maka akan menghasilkan output [ ( ) n ( ) n ] y [n] = a + 0 u[n], 2 3 dengan a adalah bilangan real. 2. Jika x 2 [n] = ( ) n, maka output y 2 = 7 4 ( )n. Dari kedua informasi ini kita dapat menentukan fungsi sistem H(z) untuk sistem ini, termasuk nilai a, dan juga sifat-sifat sistem lainnya. Transformasi z dari sinyal yang terdapat dari informasi pertama adalah X (z) = Y (z) = 6 z, z > 6, a z 3 z Y (z) = (a + 0) (5 + a ( 3 )z 2 z ) ( 3 z ), z > 2. Maka dapat diperoleh fungsi sistem H(z) = Y (z) X (z) = [ (a + 0) (5 + a 3 )z ] [ ( 6 z ] 2 z ) (. (9.6) 3z ) Dari informasi kedua kita mengetahui bahwa respon terhadap x 2 [n] = ( ) n adalah sama dengan ( ) n dikalikan dengan fungsi sistem H(z) dievaluasi pada z =. Maka dengan substitusi z = ke persamaan (9.6) kita mendapatkan. 7 4 = H( ) = [ (a + 0) + (5 + a 3 )] [ + ] ( ) ( )

196 9 Transformasi z [ 7 (a + 0) + (5 + a 4 = H( ) = 3 )] [ ] 7 ) ( 6 4 (9.7) 3) Dengan menyelesaikan persamaan (9.7), kita menemukan bahwa a = 9, sehingga diperoleh ( 3 2 atau H(z) = [ 2z ] [ ( 6 z ] 2 z ) ( (9.8) 3z ). H(z) = z2 3 6 z + 3 z z +. (9.9) 6 Dari sifat konvolusi maka kita mengetahui bahwa ROC dari Y (z) harus menyertakan perpotongan ROC dari X (z) dan H(z). Dengan memeriksa tiga kemungkinan dari ROC untuk H(z) (yaitu z < 3, 3 < z < 2, dan z > 2 ). Dari ketiganya kita mendapatkan satu-satunya pilihan yang konsisten dengan ROC X (z) dan Y (z) adalah z > 2. Karena ROC dari sistem mencakup lingkaran satuan, maka sistem bersifat stabil. Fungsi sistem H(z) sebagai rasio polinomial z, orde dari pembilang tidak melebihi orde dari penyebut, sehingga kita dapat memastikan bahwa sistem bersifat kausal. Dari persamaan (9.9), kita dapat memperoleh persamaan LCCDE untuk sistem ini, yaitu y[n] 5 6 y[n ] + 3 y[n 2] = x[n] 6 6 x[n ] + x[n 2] Fungsi Sistem Aljabar dan Block Diagram Sama seperti transformasi Laplace pada sistem waktu kontinu, transformasi z untuk sistem waktu diskrit memberikan kita kemudahan untuk mengganti operasi domain waktu seperti konvolusi dan time-shifting dengan operasi aljabar. Penggunaan transformasi z untuk mengubah deskripsi sistem menjadi persamaan aljabar juga berguna dalam menganalisa interkoneksi dari sistem LTI dan dalam merepresentasikan dan mensintesis sistem sebagai interkoneksi dari blok pembangun sistem dasar Fungsi Sistem untuk Interkoneksi dari Sistem LTI Fungsi sistem untuk cascade dua sistem LTI waktu diskrit adalah perkalian dari fungsi sistem untuk masing-masing sistem yang di-cascade. Interkoneksi feedback dapat dilihat pada Fig 9.9. Dengan ini kita dapat memanfaatkannya untuk menentukan persamaan difference atau respon impuls untuk keseluruhan sistem yang bekerja pada domain waktu. Dengan mengekspresikan sistem dan sinyal waktu diskrit dengan transformasi z-nya analisis hanya mempergunakan persamaan aljabar. Fungsi sistem keseluruhan yang ditunjukkan pada Fig 9.9 adalah Y (z) X(z) = H(z) = H (z) + H (z)h 2 (z) 96

197 9 Transformasi z e[n] x[n] + H (z) y[n] z[n] H 2 (z) Gambar 9.9: Interkoneksi Feedback Dua Sistem H (z) x[n] + y[n] H 2 (z) Gambar 9.0: Sistem Paralel Sistem Paralel dan Sistem Cascade Sistem Paralel memiliki persamaan fungsi sistem H(z) = H (z) + H 2 (z) Dalam domain waktu memiliki respon impuls h[n] = h [n] + h 2 [n] Representasi umum dari sistem ini dapat dilihat pada Fig 9.0. Sistem Cascade memiliki persamaan fungsi sistem H(z) = H (z)h 2 (z) Dalam domain waktu memiliki respon impuls h[n] = h [n] h 2 [n] Representasi umum dari sistem ini dapat dilihat pada Fig 9.. x[n] H (z) H 2 (z) y[n] Gambar 9.: Sistem Cascade 97

198 9 Transformasi z x[n] b y[n] z z b + + a z z b a 2 b M + + a N z z b M a N Gambar 9.2: Realisasi Direct Form I Diagram Blok LCCDE Direct Form Sistem yang dikarakterisasi dengan persamaan LCCDE y[n] = M b k x[n k] k=0 N a k y[n k] dapat direalisasikan dalam bentuk diagram block seperti dapat dilihat pada Fig 9.2, yang sering disebut sebagai realisasi dalam bentuk Direct Form I. Kita dapat merepresentasikan sistem LTI kausal dengan menggunakan diagram blok dengan tiga operasi dasar yaitu penjumlahan, pengali koefisien, dan unit delay. Setiap unit delay merepresentasikan elemen memori yang dibutuhkan untuk merealisasikan sistem tersebut. Kita melihat bahwa realisasi dalam bentuk Direct Form I memiliki inefisiensi dalam penggunaan unit delay, hal ini dapat dilakukan dengan menukar urutan proses dan kita memperoleh bentuk alternatif yang sering disebut bentuk Direct Form II. Bentuk Direct Form II dalam kasus (N = M) dapat dilihat pada Fig 9.3. k= Pada realisasi bentuk Direct Form koefisien yang terdapat pada diagram blok secara langsung menunjukkan koefisien yang terdapat pada persamaan difference maupun fungsi sistem Realisasi Direct Form, Sistem Paralel, dan Sistem Cascade Kita dapat merealisasikan sistem baik dengan bentuk Direct Form, Sistem paralel, maupun sistem cascade. Umumnya untuk membangun sistem yang besar digunakan elemenelemen dasar yang dihubungkan secara paralel atau kaskade. Kita akan melihat contoh 98

199 9 Transformasi z x[n] + b 0 + y[n] z + a b + z + a 2 b a N b N + z a N b N Gambar 9.3: Realisasi Direct Form II (N = M) kasus bagaimana merealisasikan sebuah sistem dengan direct form, sistem paralel, dan sistem cascade. Kasus: Misalkan sebuah sistem orde dua dengan fungsi sistem sebagai berikut H(z) = + 4 z 8 z 2 Untuk merealisasikan dengan bentuk Direct Form kita harus mencari deskripsi dengan persamaan difference, yaitu y[n] + 4 y[n ] y[n 2] = x[n] (9.20) 8 Dengan menggunakan persamaan (9.20), kita dapat merealisasikan sistem ini baik dengan Direct Form I maupun Direct Form II. Kita dapat memfaktorkan fungsi sistem menjadi ( ) ( ) H(z) = + 2 z 4 z (9.2) Kita dapat menggunakan persamaan (9.2) untuk mendapatkan realisasi sistem cascade dari sistem ini dengan kombinasi H (z) dan H 2 (z) dengan. H(z) = H (z)h 2 (z) H (z) = + 2 z 99

200 9 Transformasi z H 2 (z) = 4 z Dengan menggunakan ekspansi partial fraction kita dapat menuliskan H(z) dalam bentuk H(z) = z 4 z (9.22) Kita dapat menggunakan persamaan (9.22) untuk mendapatkan realisasi sistem paralel dari sistem ini dengan kombinasi H 3 (z) dan H 4 (z) dengan. H(z) = H 3 (z) + H 4 (z) H 3 (z) = H 4 (z) = z 3 4 z Umumnya elemen dasar dari pembangun sistem adalah merupakan sistem orde dua, sehingga bisa memuat pasangan pole dan zero kompleks konjugat. 9.6 Transformasi z Satu Sisi 9.6. Definisi transformasi z satu sisi Transformasi z yang telah dibahas sebelumnya merupakan transformasi z bilateral. Mirip dengan kasus transformasi Laplace, terdapat bentuk alternatif, yang didefinsikan sebagai transformasi z satu sisi (unilateral z-transform), yang berguna untuk menganalisa sistem kausal yang direpresentasikan oleh LCCDE dengan kondisi awal tidak nol (sistem tidak relaks). Tranformasi z satu sisi dari barisan x[n] didefinisikan sebagai X + (z) = x[n]z n (9.23) n=0 Transformasi z satu sisi berbeda dengan transformasi z bilateral dalam penjumlahan suku suku yang hanya mengambil nilai n tidak negatif. Jadi transformasi z satu sisi dari x[n] dapat dilihat sebagai transformasi z bilateral dari x[n]u[n]. Karena x[n]u[n] merupakan sinyal right-sided, maka ROC dari transformasi z satu sisi selalu bagian luar dari sebuah lingkaran Contoh transformasi z satu sisi dan inversinya Kasus: Carilah transformasi z satu sisi dari sinyal x[n] = a n u[n] Karena x[n] = 0 untuk n < 0, maka transformasi z satu sisi akan sama dengan transformasi z bilateral yaitu: 200

201 9 Transformasi z X + (z) = Kasus: Carilah transformasi z satu sisi dari sinyal az ROC: z > a. x[n] = a n+ u[n + ] Pada kasus ini transformasi z satu sisi akan berbeda dengan transformasi z bilateral, karena x[ ] = 0. X + (z) = X + (z) = x[n]z n = n=0 Kasus: Diketahui transformasi z satu sisi a n+ z n n=0 a az ROC: z > a. X + (z) = z ( 4 z )( 3 z ) Pada kasus transformasi z satu sisi, ROC haruslah merupakan bagian luar dari lingkaran dengan radius sama dengan magnitude terbesar dari pole X + (z), yaitu semua titik z dengan z > 3. Dengan partial fraction expansion kita mendapatkan X + (z) = x[n] = z ROC: z > 3 z 3 ( ) n ( ) n u[n] + 2 u[n] untuk n Inversi transformasi z satu sisi hanya memberikan informasi tentang x[n] hanya untuk n 0. Syarat dari transformasi z satu sisi adalah memiliki ekspansi deret pangkat tanpa term pangkat positif dari z, sehingga tidak semua fungsi dari z dapat merupakan transformasi z satu sisi. Jika kita memperhatikan fungsi rasional dari polinomial z (tidak dalam z ) p(z) q(z), maka agar ini merupakan tranformasi z satu sisi (dengan ROC adalah bagian luar dari lingkaran), pangkat dari pembilang tidak boleh lebih tinggi dari pangkat dari penyebut. 20

202 9 Transformasi z Tabel 9.4: Sifat Transformasi z satu sisi Sifat Sinyal Transformasi z Unilateral Linearitas ax [n] + bx 2 [n] ax + (z) + bx 2 + (z) Time x[n ] z X + (z) + Delay x[ ] Time Advance x[n + ] zx + (z) zx[0] e jω0n x[n] X + (e jω 0 ( ) z) Skala z0 nx[n] z X+ z 0 dalam domain z a n x[n] X + (a z) Ekspansi x (k) [n] = X { (z k ) Waktu x[r], n = rk 0, n rk Konjugasi x [n] X + (z ) Konvolusi x [n] x 2 [n] X + (z)x+ 2 (z) Difference x[n] x[n ] ( z )X(z) Pertama x[ ] Akumulasi n k= x[k] X + (z) z Diferensiasi nx[n] z dx+ (z) dz dalam domain z Teorima nilai awal maka x[0] = lim z X + (z) 202

203 9 Transformasi z Sifat Transformasi z Satu Sisi Transformasi z satu sisi memiliki banyak sifat penting, beberapa di antaranya identik dengan transformasi z satu sisi, dan beberapa yang lainnya sangat berbeda. Sifat-sifat transformasi z satu sisi dapat dilihat pada Tabel 9.4. Untuk beberapa sifat di antaranya linearitas, skala dalam domain z, ekspansi waktu, konjugasi dan diferensiasi dalam domain z identik dengan sifat transformasi z bilateral. Sifat time reversal yang ada pada transformasi z bilateral tidak memiliki padanan pada transformasi z satu sisi. Satu hal yang penting dicatat untuk sifat konvolusi untuk transformasi z satu sisi hanya berlaku jika sinyal x [n] dan x 2 [n] keduanya bernilai nol untuk n < 0. Transformasi z satu sisi berguna untuk melakukan analisa sistem kausal yang dikarakterisasi oleh LCCDE dengan kondisi awal tidak nol. Sifat time shifting untuk transformasi z satu sisi, sangatlah berbeda dengan transformasi z bilateral, memberikan peranan untuk sistem dengan kondisi awal tidak nol (initialized system). Untuk sifat time delay jika x[n] X + (z) maka ] k x[n k] z [X k + (z) + x[ n]z n Untuk sifat time advance jika n=, k > 0 maka x[n] X + (z) ] k x[n + k] z [X k + (z) x[n]z n n=0, k > Aplikasi transformasi z satu sisi Kita akan melihat aplikasi transformasi z satu sisi pada contoh kasus analisa sistem kausal dengan kondisi awal tidak nol. Kasus: Diberikan sebuah sistem LTI kausal yang memiliki persamaan difference y[n] + 3y[n ] = x[n]. Bila kepada sistem ini diberikan input x[n] = ( 2) n u[n]. Bila diketahui sistem memiliki kondisi mula y[ ] =. Tentukanlah output sistem ini! Jawab: Tranformasi z satu sisi dari x[n] adalah X(z) = 2 z Kita akan menggunakan transformasi z satu sisi pada persamaan difference sistem ini. 203

204 9 Transformasi z Y + (z) + 3z [ Y + (z) + y[ ]z ] = 2 z Y + (z) + 3z Y + (z) + 3y[ ] = 2 z dengan memasukkan kondisi mula y[ ] = [ + 3z ] Y + (z) 3 = 2 z Y (z) = ( 2 z ) ( + 3z ) z Dengan melakukan ekspansi partial fraction kita mendapatkan. Y (z) = z + 3z z Y (z) = 7 2 z z Dengan menggunakan inversi tranformasi z satu sisi (ingat transformasi z satu sisi hanya untuk sinyal kausal) kita memperoleh 9.7 Penutup y[n] = 7 ( ) n ( 3)n u[n] Seperti halnya transformasi Laplace, Transformasi z mengubah persoalan sinyal dan sistem menjadi persoalan aljabar dan geometri. Dengan Transformasi z, kita menyatakan representasi sinyal dan sistem dalam polinomial z. Untuk sistem LCCDE, fungsi sistem berbentuk rasio dari polinom yang mempunyai akar pole dan zero. Sifat geometri dari pole dan zero ini dapat menentukan sifat dari sistem yang bersangkutan. Untuk sistem kausal dengan kondisi mula, kita dapat mendefinisikan transformasi z satu sisi (unilateral z Transform), untuk memberi kemudahan perhitungan solusi persamaan diferens. 204

205 Lampiran Petunjuk Bagi Peserta Kuliah Kuliah II 2094 adalah kuliah dasar program studi Sistem dan Teknologi Informasi. Peserta diharapkan dapat menguasai materi dasar sinyal sistem untuk continuous time dan discrete time. Termasuk di dalamnya deskripsi sinyal dan sistem dalam domain waktu nyata, domain frekuensi, dan domain kompleks. Materi kuliah mencakup dasar-dasar analisa sinyal dan sistem, dengan perhatian utama pada pemodelan representasi sinyal waktu diskrit dan waktu kontinu (fungsi-fungis singularitas, sinusoidal/geometri dan eksponensial kompleks, transformasi Fourier, Laplace dan Z, serta sampling), dan representasi sistem linier time-invariant (persaman diferens dan diferensial, diagram blok, fungsi sistem, pole-zero, konvolusi, respons impuls dan step, serta respons frekuensi. Aplikasi secara umum termasuk suistem kontrol, komunikasi, dan pemrossan sinyal. Peserta perlu aktif mempelajari bahan kuliah untuk didiskusikan dalam kelas, serta aktif mengerjakan tugas-tugas latihan baik dari buku teks maupun dari Internet. Peserta diharapkan membentuk kelompok belajar bersama untuk mempelajari bahan dan mengerjakan tugas-tugas. Peserta juga perlu memiliki portfolio kuliah, yang berisikan berbagai dokumen hasil belajar serta tugas-tugas, yang akan digunakan sebagai bahan penilaian akhir. tugas dimasukkan untuk diperiksa sesuai tenggat waktu. Waktu Kuliah tiga jam perminggu, dengan dua UTS. Tujuan Pembelajaran Buku ini ditulis untuk tujuan pembelajaran sebagai berikut. Bab Sinyal dan Sistem. Peserta mengenali sinyal dan sistem di alam dan memahami konsep pemodelannya 2. Peserta dapat memodelkan sinyal sebagai fungsi a) Peserta dapat melakukan transformasi Waktu dari Sinyal, mendefinisikan sinyal periodik, sinyal ganjil, genal, serta dapat memeriksa periodisitas. b) Peserta mengetahui model sinyal periodik: sinusoidal dan eksponensial, serta penyusunan sinyal periodik dari kedua sinyal ini. c) Peserta mengetahui sinyal unit implus dan dan unit step, serta penyusunan sinyal dari kombinasi kedua sinyal ini. 3. Peserta dapat memodelkan sistem secara waktu diskrit dan waktu kontinu sebagai persamaan input/output a) Peserta mengenali sistem dalam alam serta modelnya (persamaan I/O) b) Peserta dapat menghitung respons sistem terhadap sebuah input 205

206 9 Transformasi z c) Peserta mengenali jenis-jenis sistem berdasarkan perilaku/sifat dasarnya, serta memeriksa sifat dasar nya d) Peserta dapat menentukan luaran sistem berdasarkan sifat dasarnya. Bab 2 Sistem LTI. Peserta dapat merepresentasikan sistem LTI dengan sinyal impuls respons a) Peserta dapat menghitung ouput sistem LTI dengan cara konvolusi. b) Peserta dapat menentukan sifat sitem LTI dan menggunakannya untuk menentukan output sistem. 2. Peserta dapat menerapkan model persamaan diferensial dan diferens untuk menentukan respons sistem LTI a) Peserta mengenali model sistem LCCDE (linear constant coefficient fifferetial/difference equation)serta menggambarkan diagram blok sistem b) Peserta dapat mengimplementasikan sistem LCCDE (DT) menggunakan komputer c) Peserta dapat menghitung solusi dari persamaan LCCDE d) Peserta dapat menerapkan solusi LCCDE untuk menentukan respons sistem terhadap input, termasuk respons impuls. Bab 3 Fourier Series Untuk Sinyal Periodik. Peserta dapat memahami model deret Fourier dari sinyal periodik a) Peserta memahami konsep fungsi eigen dalam bentuk sinyal eksponensial kompleks. b) Peserta dapat mendefinisikan deret Fourier dan menerapkannya untuk merepresentasikan sinyal periodik CT dan DT c) Peserta memahami sinyal periodik sebagai kombinasi linear dari ekponensial kompleks yang terhubung secara harmonik. d) Peserta mengetahui berbagai sifat deret Fourier dan menerapkannya untuk menentukan deret Fourier suatu sinyal berdasarkan sifat-sifatnya. e) Peserta memahami konsep kandungan frekuensi dari sinyal periodik 2. Peserta dapat menerapkan deret Fourier untuk menentukan respons sinyal periodik pada sistem LTI (DT maupun CT) a) Peserta dapat menggunakan sistem LTI sebagai filter b) Peserta mengenali contoh-contoh filter yang diwujudkan dengan LCCDE Bab 4 Transformasi Fourier Waktu Kontinu Peserta dapat memodelkan sinyal dan sistem CT (continuous time) menggunakan transformasi Fourier.. Peserta dapat memodelkan sinyal CT menggunakan Transformasi Fourier. 206

207 9 Transformasi z a) Peserta dapat mendefinisikan transformasi Fourier, menghitungnya terhadap sebuah sinyal aperiodik, serta memastikan konvergensinya. b) Peserta dapat menghitung transformasi Fourier untuk sinyal periodik. c) Peserta memahami dan membuktikan berbagai sifat transformasi Fourier serta menggunakan nya untuk menentukan transformasi dari sinyal d) Peserta dapat membuktikan tabel pasangan transformasi, serta menggunakannya untuk menentukan transformasi dari sinyal 2. Peserta dapat memodelkan sistem LCCDE menggunakan Transformasi Fourier, serta menerapkannya untuk menghitung respons dari sistem LCCDE dalam kasus waktu kontinu Bab 5 Transformasi Fourier Waktu Diskrit Peserta dapat memodelkan sinyal dan sistem DT (discrete time) menggunakan transformasi Fourier.. Peserta dapat memodelkan sinyal DT menggunakan Transformasi Fourier. a) Peserta dapat mendefinisikan transformasi Fourier, menghitungnya terhadap sebuah sinyal aperiodik, serta memastikan konvergensinya. b) Peserta dapat menghitung transformasi Fourier untuk sinyal periodik. c) Peserta memahami dan membuktikan berbagai sifat transformasi Fourier serta menggunakan nya untuk menentukan transformasi dari sinyal d) Peserta dapat membuktikan tabel pasangan transformasi, serta menggunakannya untuk menentukan transformasi dari sinyal 2. Peserta dapat memodelkan sistem LCCDE menggunakan Transformasi Fourier, serta menerapkannya untuk menghitung respons dari sistem LCCDE dalam kasus waktu diskrit Bab 6 Filter dan Karakterisasi Waktu-Frekuensi Peserta dapat mengkarakterisasi filter berdasarkan sifat simultan waktu-frekuensi. Peserta dapat menentukan representasi magnituda-fasa dari sistem/filter 2. Peserta dapat memahami sifat filter sebagai pengubah frekuensi secara selektif, serta membedakan filter ideal dan tidak ideal 3. Peserta mengenali filter (CT dan DT) berorde rendah, serta sifat waktu-frekuensi nya. Bab 7 Sampling Peserta mengenal fenomena sampling, serta menerapkan model sinyal dan sistem untuk memahami fenomena sampling. Peserta dapat merepresentasikan sinyal CT menggunakan sinyal DT melalui sampling. 2. Peserta memahami konsep aliasing serta cara menghindarinya. 3. Peserta dapat memanfaatkan sampling untuk memproses sinyal CT menggunakan sistem DT. 207

208 9 Transformasi z Bab 8 Transformasi Laplace. Peserta dapat merepresentasikan sinyal CT dengan transformasi Laplace. 2. Peserta dapat mendefinisikan transformasi Laplace, dan menghitungnya untuk sebuah sinyal, serta memastikan konvergensinya, dengan penekanan pada kasus rasional. a) Peserta memahami proses inversi dari transformasi Laplace b) Peserta memahami konsep pole-zero, menghitungnya, serta melakukan evaluasi sinyal secara geometri. c) Peserta memahami dan membuktikan sifat transformasi serta tabel pasangan transformasi, kemudian menggunakannya untuk menghitung transformasi Laplace dari sebuah sinyal, serta inversinya. d) Peserta memahami konsep partial fraction, serta menerapkan untuk melakukan inversi transformasi, termasuk untuk bentuk transfromasi yang tidak proper. 3. Peserta dapat memodelkan sistem LTI daqn LCCDE CT dengan transformasi Laplace a) Peserta memahami eigenfunction dari sistem LTI b) Peserta dapat menentukan Fungsi Sistem dari sebuah sistem LTI dan LCCDE, beserta sifat-sifatnya c) Peserta memahami konsep pole-zero dari sistem, menghitungnya, serta melakukan evaluasi sistem secara geometri. d) Peserta mengenali contoh sistem LCCDE Butterworth Filter, serta Fungsi Sistem, dan pole-zero. e) Peserta dapat membuat diagram blok sistem LCCDE dari persamaan sistemnya f) Peserta memahami uniteral Laplace Transform serta aplikasinya pada solusi LCCDE Bab 9 Transformasi Z. Peserta dapat merepresentasikan sinyal DT dengan transformasi z. 2. Peserta dapat mendefinisikan transformasi z, dan menghitungnya untuk sebuah sinyal, serta memastikan konvergensinya a) Peserta memahami proses inversi dari transformasi z b) Peserta memahami konsep pole-zero, menghitungnya, serta melakukan evaluasi sinyal secara geometri. c) Peserta memahami dan membuktikan sifat transformasi serta tabel pasangan transformasi, kemudian menggunakannya untuk menghitung transformasi z dari sebuah sinyal, serta inversinya. d) Peserta memahami konsep partial fraction, serta menerapkan untuk melakukan inversi transformasi z, termasuk untuk bentuk transfromasi yang tidak proper. 208

209 9 Transformasi z 3. Peserta dapat memodelkan sistem LTI LCCDE DT dengan transformasi z. a) Peserta memahami eigenfunction dari sistem LCCDE DT b) Peserta dapat menentukan Fungsi Sistem dari sebuah sistem LCCDE, beserta sifat-sifatnya c) Peserta memahami konsep pole-zero dari sistem, menghitungnya, serta melakukan evaluasi sistem secara geometri d) Peserta dapat membuat diagram blok sistem LCCDE dari persamaan sistemnya e) Peserta memahami uniteral z Transform serta aplikasinya pada solusi LCCDE Rencana Pembelajaran Isi buku ini disesuaikan dengan rencana perkuliahan. Unit materi terkecil adalah subseksi yang dapat diajarkan dalam waktu lima belas menit. Jadi untuk setiap jam kuliah terdapat empat materi sub seksi. Untuk perkuliahan 5 minggu dalam satu semester, penyajian materi dari buku ini disusun menurut struktur 3 minggu dengan dua minggu untuk UTS dan UTS 2. Setiap sesi disajikan dalam waktu 5 menit, sehingga seluruh bahan dapat diselesaikan dalam waktu kuliah 39 Jam. Rincian struktur bahan dapat dilihat pada tabel-tabel sebagai berikut. Bab Sesi Materi Tujuan. Tinjauan Sinyal dan Sistem Konteks dan latar belakang 2 Ringkasan sinyal dan sistem 3 Jenis sinyal 2 4 Sinyal waktu kontinu dan waktu diskrit 2.2 Transformasi Waktu Sinyal Periodik 2 2 Sinyal genap dan ganjil 2 3 Sinyal sinusoidal dan eksponensial 2 4 Sinyal primitif dan superposisinya 2.3 Sistem Waktu Kontinu dan Waktu Diskrit 3 Berbagai Jenis Sistem 3 2 Sistem Dengan dan Tanpa memori 3 3 Kausalitas dan Stabilitas 3 4 Linieritas dan Time Invariance 3 209

210 9 Transformasi z Bab Sesi Materi Tujuan 2. Sistem LTI, Impulse response & Konvolusi Sifat Dasar & Simulasi Komputer.b 2 Konvolusi.a 3 Representasi Sinyal Dengan Konvolusi.a 4 Representasi Sistem Dengan Konvolusi.a 2.2 Konvolusi Impulse Response.a Respons Sistem LTI CT.a 2 Respons Sistem LTI DT.a 3 Respons Step.a 4 Kasus: Mencari input dari output.a 2.3 Sifat-Sifat Sistem LTI.b Kasus Kausalitas dan Stabilitas.b 2 Kausalitas.b 3 Stabilitas.b 4 Memori.b 2.4 LCCDE Persamaan LCCDE DT & CT dan Block 2.a Diagram Sistem 2 Simulasi LCCDE DT 2.b 3 Solusi Partikular dan Homogen LCCDE DT 2.c 4 Simulasi Solusi LCCDE DT 2.c 2.5 Aplikasi Pada Sistem LCCDE Formulasi Sistem LCCDE DT & CT 2.d 2 Aplikasi pada sistem LCCDE CT 2.d 3 Aplikasi pada sistem LCCDE DT 2.d 4 Simulasi komputer untuk LCCDE DT 2.b 2.6 Tutorial Solusi LCCDE Kasus Orde LCCDE CT 2.b,d 2 Kasus Orde LCCDE DT 2.b,d 3 Kasus Menghitung Respons Impuls 2.b,d 4 Kasus Solusi Partikular Dependen dari solusi homogen 2.b,d 20

211 9 Transformasi z Bab Sesi Materi Tujuan 3. Eigenfunctions: Respon sistem LTI pada sinyal kompleks eksponensial Konsep eigenfunction dan eigenvalue.a 2 Sinyal kompleks eksponensial adalah.a eigenfunction dari sistem LTI CT 3 Sinyal kompleks eksponensial adalah.a eigenfunction dari sistem LTI DT 4 Kombinasi linear sinyal kompleks eksponensial.a 3.2 Representasi Deret Fourier pada sinyal CT Kombinasi linear dari sinyal kompleks.b, c eksponensial terhubung harmonik 2 Menentukan representasi deret Fourier pada.b, c, e sinyal periodik CT 3 Kasus: Menghitung deret Fourier dari sinyal.b kotak 4 Konnvergensi deret Fourier.b 3.3 Sifat-Sifat Deret Fourier CT Linearitas, Time Shifting, Time Reversal.d 2 Time Scaling, Multiplication, Konjugasi dan.d Simetri Konjugat 3 Relasi Parseval untuk Sinyal Periodik Waktu.d kontinu 4 Contoh Soal.d 3.4 Deret Fourier untuk sinyal DT dan sifat-sifatnya Kombinasi linear dari sinyal kompleks.b, c eksponensial terhubung harmonik 2 Menentukan representasi deret Fourier pada.b, c, e sinyal periodik DT 3 Sifat Deret Fourier DT.d 4 Contoh Soal.d 3.5 Sistem LTI dan Filter Sistem LTI dan Respon Frekuensi.e, 2a 2 Contoh Soal Sistem LTI 2.a 3 Filter Frekuensi Shaping 2.a 4 Filter Selektif Frekuensi 2.a 3.6 Contoh Filter CT dan DT LCCDE untuk sinyal periodik Filter RC Lowpass CT 2.b 2 Filter RC Highpass CT 2.b 3 Filter DT rekursif orde 2.b 4 Filter DT non-rekursif 2.b 2

212 9 Transformasi z Bab Sesi Materi Tujuan 4. Transformasi Fourier untuk Sinyal CT Aperiodik Tinjauan dan Definisi.(a) 2 Kasus A Periodik.(a) 3 Ekstensi Deret Fourier Untuk Sinyal Aperiodik.(a) 4 Kasus Sinyal Periodik.(b) 4.2 Sifat Transformasi Fourier dan Pasangan Transformasi Sifat Dasar.(c) 2 Kasus Dasar.(c) 3 Sifat Konvolusi.(d) 4 Sifat Multiplikasi 4.3 Sistem LCCDE di Domain Transformasi Fourier Sistem LTI dan LCCDE di Domain TF 2 2 Contoh Orde Satu 2 3 Contoh Orde Dua 2 4 Contoh Menghitung Output 2 Bab Sesi Materi Tujuan 5. Transformasi Fourier untuk Sinyal DT Aperiodik Tinjauan dan Definisi.(a) 2 Beberapa Contoh Kasus Kasus Aperiodik.(a) 3 Eksistensi Deret Fourier untuk sinyal Aperiodik.(a) 4 Kasus Sinyal Periodik.(b) 5.2 Sifat Transformasi Fourier dan Pasangan Transformasi Daftar Sifat-Sifat.(c) 2 Kasus Dasar.(c) 3 Sifat Konvolusi.(d) 4 Sifat Multiplikasi 5.3 Sistem LCCDE di Domain Transformasi Fourier Respons Frekuensi 2 2 Contoh Orde Satu 2 3 Contoh orde Dua 2 4 Contoh Menghitung Output Dengan TF 2 22

213 9 Transformasi z Bab Sesi Materi Tujuan 6. Frekuensi Respons dan Akibat di Domain Waktu Makna Magnituda dan Fasa 2 Fasa Linier 3 Group Delay 4 Filter Ideal dan Filter Praktis Sifat Waktu-Frekuensi Filter LCCDE CT Orde Rendah Magnituda CT Orde Satu 2,3 2 Fasa CT Orde sat 2,3 3 Magnituda CT Orde Dua 2,3 4 Fasa CT Orde Dua 2,3 6.3 Filter LCCDE CT Orde Tinggi dan DT Orde Rendah CT Orde Tinggi 2,3 2 Contoh Kasus Orde Tinggi 2,3 3 DT Orde Satu 2,3 4 DT Orde Dua 2,3 Bab Sesi Materi Tujuan 7. Representasi Sinyal CT dengan DT Sampling Impulse-Train 2 Sampling dengan Zero-Order Hold 3 Rekonstruksi sinyal dari sampel-sampelnya menggunakan interpolasi 4 Contoh Soal 7.2 Aliasing Teorema Sampling 2 2 Undersampling 2 3 Contoh Soal, 2 4 Contoh Soal 2, Pemrosesan Sinyal CT dengan Sistem DT Konversi C/D, Konversi D/C 3 2 Hubungan Sistem Waktu Diskrit Dengan 3 Sistem Waktu Kontinu 3 Diferensiator Digital 3 4 Delay Setengah Sampel 3 23

214 9 Transformasi z Bab Sesi Materi Tujuan 8. Definisi dan Konvergensi Definisi dan Hubungan dengan FT (a), 2(a) 2 Kasus Rasional (a) 3 Region of Convergence (a) 4 Sifat-Sifat RoC (a) 8.2 Sifat-Sifat dan Pasangan Transformasi Sifat-Sifat dasar (d) 2 Pasangan transformasi (d) 3 Aplikasi Sifat Dasar (d) 4 Aplikasi Sifat Dasar 2 (d) 8.3 Inversi dan Partial Fraction (b) Inversi Untuk Kasus Rasional (b) 2 Partial Fraction (e) 3 Pole-Zero dan Evaluasi Geometri (c) 4 Kasus Orde Satu, Dua, dan Allpass (b) 8.4 Analisa Sistem LTI dan Sistem LCCDE Fungsi sistem dan Kausalitas 2(b) 2 Stabilitas 2(b) 3 Fungsi Sistem LCCDE 2(b) 4 Relasi Sifat Sistem dan Fungsi Sistem 2(a) 8.5 Filter Butterworth 2(d) Sifat Respons Frekuensi 2(d) 2 Poles 2(c)(d) 3 Fungsi Sistem 29d) 4 Persamaan LCCDE 2(d) 8.6 Blok Diagram dan Transformasi Satu Sisi Sistem Paralel, Series, Feedback 2(e) 2 LCCDE 2(e) 3 Unilateral Laplace Transform 2(f) 4 Aplikasi UTL 2(f) 24

215 9 Transformasi z Bab Sesi Materi Tujuan 9. Definisi dan Konvergensi Transformasi z Definisi dan Hubungan dengan FT (a) 2 Region of Convergence (a) 3 Sifat-Sifat ROC (a) 4 Transformasi z Rasional (c) 9.2 Inversi dan Partial Fraction Inversi Transformasi z (b) 2 Pole-Zero (c) 3 Ekspansi Partial Fraction (b,d,e) 4 Evaluasi Geometri Kasus Orde Satu, Orde Dua (c), 2(c) 9.3 Sifat-Sifat dan Pasangan Transformasi z Sifat-Sifat Dasar (d) 2 Aplikasi Sifat Dasar (d) 3 Aplikasi Sifat Dasar 2 (d) 4 Pasangan transformasi z (d) 9.4 Analisa Sistem LTI dan Sistem LCCDE Fungsi sistem dan Kausalitas 2(a) 2 Stabilitas 2(b) 3 Fungsi Sistem LCCDE 2(b) 4 Relasi Sifat Sistem dan Fungsi Sistem 2(c) 9.5 Fungsi Sistem Aljabar dan Block Diagram Fungsi Sistem untuk Interkoneksi dari Sistem 2(d) LTI 2 Sistem Paralel dan sistem Cascade 2(d) 3 Diagram Block LCCDE Direct Form 2(d) 4 Realisasi Direct Form, Sistem Paralel, dan Sistem Cascade 2(d) 9.6 Transformasi z Satu Sisi Definisi transformasi z satu sisi 2(e) 2 Contoh transformasi z satu sisi dan inversinya 2(e) 3 Sifat Transformasi z satu sisi 2(e) 4 Aplikasi transformasi z satu sisi 2(e) Dengan menggunakan tabel ini perkuliahan dapat diselenggarakan degan teratur. 25

216 Indeks ADC, 9 alamiah, 6 amplituda, 2 analisis Fourier, 47 aperiodik, 76 Arus listrik, 9 bounded, 3 daya, 3, 4 deret Fourier, 47, 5, 53 digital, 9 Dirichlet, 56, 73 discrete time, 9 diskontinu, 56 eigenfunction, 47, 48 eigenvalue, 48 eksponensial kompleks, 3, 5 energi, 0 entitas, 6 Euler, 4, 5 fas, 73 fase, 2 filter, 9, 66 Filter band pass, 67 filter digital, 9 Filter high pass, 67 Filter low pass, 67 Filter RC Highpass, 69 Filter RC Lowpass, 67 Filter selektif frekuensi, 66 Finite Impulse Response, 70 Fourier, 47 frekuensi, 6, 4 frekuensi shaping, 66 frequency response, 6 fundamental, fungsi eigen, 48 harmonis, 6 integral, 26 integral konvolusi, 48 kausal, 7 kernel, 26, 72 kombinasi linier, 26 kompleks eksponensial, 47 komputasi, 6 komputer, 6 Kondisi Dirichlet, 56 konjugasi, 59 konvergen, 73 Konvolusi, 25 LCCDE, 2, 32, 33 LCCDE orde dua, 2, 34 linier, 7 linier dan time invariant, 23 logika, 6 magnituda, 73 matematika, 6 memori, 6, 32 Multiplication, 59 nilai eigen, 48 panjang gelombang, 2 Parseval, 60, 63 pass band, 67 pemodelan, 6 periode dasar, Periode fundamental, 50 periode fundamental, 53 Periodik, periodik,, 2, 50 periodisitas,, 4 persamaan I/O, 2 polar, 52 polinomial karakteristik, 38 realitas, 6 Relasi Parseval, 60 26

217 Indeks resistif, 6 resistor, 9 reskursif, 70 Respon Frekuensi, 64 respons impuls, 2, 26 root mean square, 0 sinuosidal, 2 sinusoidal, 2, 3 sinusoidal digital, 3 Sinyal, 6 sinyal dasar, 47 sinyal ganjil, sinyal genap, sinyal kotak, 54 Sinyal Primitif, 4 Sistem, 6 sistem, 6 Sistem LTI, 2 Solusi homogen, 37 solusi partikular, 38 Solusi persamaan LCCDE, 37 spektrum, 72, 73 spreadsheet, 40 stabil, 7 stabil BIBO, 7, 3 state, 8 stimulus, 6 stop band, 67 superposisi, 5 time invariant, 7 time reversal, 58, 59 Time scaling, 58 time shift, 57 transformasi Fourier, 72, 73 transformasi Fourier sinyal aperiodik, 77 unit impulse, 4 unit step, 4 27

218 Bibliografi [OCW] MIT Opencourseware, courses/ electrical-engineeringand-computer-science/ signals-and-systems-spring-200/ [Hsu95] Hewi P. Hsu, Signals and systems, Schaum s oulines, Mc Graw Hill, 995. ISBN [OpWi97] [ProMa96] A. V. Oppenheim and A. S. Willsky (with S Hamid Nawab), Signals & Systems (Second Edition), Prentice-Hall International, 997. ISBN J. G. Proakis and D. G. Manolakis, Digital signal processing principles, algorithms, and applications, 3rd ed, Eaglewood Cliffs, NJ: Prentice Hall,