BAB II Misalkan a,b,c Є R dan a 0 maka persamaan yang berbentuk dinamakan persamaan kuadrat dalam peubah x. Dalam persamaan kuadrat ax bx c 0, a adalah koefisien dari x, b adalah koefisien dari x dan c adalah suku tetapan. Contoh: x 4, nilai a = 1, b= 0, c = -4 x + x = 0 nilai a = 1, b =, c = 0 x 5x + = 0 nilai a =, b = -5, c = x + x = 0 nilai a = 1, b =, c = - Berkaitan dengan nilai dari a, b, dan c dikenal beberapa nama persamaan kuadrat diantaranya adalah: jika a = 1 maka persamaan menjadi ax bx c 0 dan persamaan seperti ini disebut persamaan kuadrat biasa jika b = 0 maka persamaan menjadi dan persamaan seperti ini disebut persamaan kudrat sempurna jika c = 0 maka persamaan menjadi dan persamaan seperti ini disebut persamaan kuadrat tak lengkap jika a,b, dan c bilangan bilangan real, maka disebut persamaan kuadrat real jika a, b, dan c bilangan-bilangan rasional, maka disebut persamaan kuadrat rasional Dalam menyelesaikan (menentukan akar-akar) persamaan kuadrat ada beberapa cara, diantaranya adalah dengan cara : a. Memfaktorkan Melengkapkan kuadrat sempurna c. Menggunakan rumus kuadrat d. Menggambarkan sketsa grafik fungsi Kita akan mempelajari 3 cara yang pertama untuk menentukan akar-akar suatu persamaan kuadrat Matematika SMA/MA kelas X Semester I
Menentukan Akar-akar Persamaan Kuadrat dengan Memfaktorkan Menentukan akar-akar persamaan kuadrat dengan cara memfaktorkan menngunakansebuah sifat yang berlaku pada sistem bilangan real. Sifat iti dapat dinyatakan sebagai berikut. Jika a, b, ϵ R dan berlaku a. b = 0, maka a = 0 atau b = 0 Catatan: Pengertian a=0 atau b = 0 dapat ditafsirkan sebagai: 1. a = 0 dan b 0. a 0 dan b = 0 3. a = 0 dan b = 0 Dengan cara memfaktorkan, tentukan penyelesaian atau akar-akar dari tiap persamaan kudarat Jawab atau Jadi,penyelesaian atau akar-akarnya adalah x1 =7 dan x = -. Dalam bentuk himpunan penyelesaian ditulisakan dengan HP = {7,-} Menentukan Akar-akar Persamaan Kuadrat dengan Melengkapkan Kuadrat Sempurna Dalam menentukan akar-akar persamaan kuadrat dapat dengan proses melengakapkan kuadrat sempurna melalui langkah-langkah sebagai berikut : a) Mengubah persamaan kudrat semula kedalam bentuk (x + p) = q dengan q 0 Melalui proses melengkapkan kuadrat sempurna. b) Menentukan akar akar persamaan kuadrat sesuai dengan persamaan yang terakhir (x + p) = ± atau
Dengan cara melengkapkan kuadrat sempurna, tentukan akar-akar persamaan kuadrat Jawab : Jadi akar-akarnya adalah atau ditulis HP = {1-, 1+ } Menentukan Akar Akar Persamaan Kuadrat dengan Memakai Rumus kuadrat Misalkan a, b, dan c bilangan-bilangan real dan a 0 maka akar-akar persamaan kuadrat ditentukan oleh: Contoh : Dengan menggunakan rumus kuadrat, tentukan akar-akar persamaan kuadrat. Jawab :, koefisien koefisiennya adalah a = 1 b = - 6 c = 8 Jadi, akar-akarnya adalah x1 = atau x = 4
Jenis jenis akar persamaan kuadrat Persamaan kuadrat dengan nilai diskriminan 1. Jika D > 0 maka persamaan kuadrat mempunyai dua akar real yang berlainan a. Jika D berbentuk kuadrat sempurna, maka kedua akarnya rasioanal Jika D tidak berbentuk kuadrat sempurna, maka kedua akarnya irrasional.. Jika D=0 maka akar persamaan kuadrat mempunyai dua akar yang sama (akar kembar) real, dan rasional. 3. Jika D < 0 maka persamaan kuadrat tidak mempunyai akar real atau keduaakarnya tidak real (imajiner) Contoh : Tentukan jenis akar persamaan kuadrat Jawab : ; koefisien koefisiennya adalah a =, b = -7, dan c = 6. Nilai diskriminannya adalah : Karena D = 1 > 0 dan D = 1 = 1 berbentuk kuadrat sempurna maka persamaan kuadrat mempunyai dua akar real yang berlainan dan rasional Pada pembahasan sebelumnya, Anda dapat mencari akar-akar persamaan kuadrat dengan berbagai cara. Jika akar-akar persamaan kuadrat telah Anda peroleh maka Anda dapat mencari hasil kali dan jumlah akar-akar persamaan kuadrat tersebut. Bagaimana halnya jika akar-akar persamaan kuadratnya belum Anda peroleh, dan Anda akan mencari jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat? Jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat dapat diperoleh dengan cara berikut ini. Misalkan persamaan kuadrat memiliki akar-akar, : maka: +
Jadi, rumus persamaan akar-akar kuadrat adalah : + Rumus jumlah akar-akar persamaan kuadrat adalah:. ( ) ( ) Jadi,rumus persamaan akar-akar kuadrat adalah :. Bentuk bentuk simetris akar-akar persamaan kuadrat adalah : Menyusun persamaan kuadrat jika diketahui akar akarnya a. Memakai faktor Apabila suatu persamaan kuadrat dapat difaktorkan menjadi ( x - x1)( x x) = 0 maka x1 dan x merupakan akar akar persamaan kuadrat tersebut. Sebaliknya apabila x1 dan x merupakan akar akar suatu persamaan kuadrat, maka persamaan kuadrat itu dpat ditentikan dengan rumus Memakai rumus jumlah dan hasil kali akar akar Persamaan kuadrat dapat dinyatakan dalam bentuk yaitu dengan membagi kedua ruas persamaan semula dengan a. Dari rumus jumlah dan hasil kali akar akar, kita peroleh hubungan Jadi, persamaan dan dapat dinyatakan dalam bentuk
1) Selesaikan persamaan-persamaan berikut dengan cara memfaktorkan a. ) Selesaikan persamaan berikut dengan melengkapkan kuadrat sempurna a. 3) Susunlah persamaan kuadrat yang akar-akarnya diketahui sebagai berikut a. dan 5 c. -5 dan -6-3 dan 1 a. Bentuk Umum Pertidaksamaan Kuadrat Suatu kalimat terbuka yang memuat variabel dengan pangkat positif dan memiliki pangkat tertinggi dua dihubungkan dengan tanda disebut pertidaksamaan kuadrat. Bentuk umum pertidaksamaan kuadrat : dengan a 0 dan a,b,c ϵ R penyelesaian atau himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan kuadrat dalam variabel x dapat ditentukan dengan dua cara yaitu dengan: 1. Sketsa grafik fungsi kuadrat. Garis bilangan Menyelesaikan Pertidaksamaan Kuadrat dengan menggunakan sketsa grafik fungsi kuadrat Fungsi kuadrat yang ditentukan dengan rumus f ( x) x 3x 4 grafiknya berbentuk parabbola dengan persamaan y x 3x 4. Sketsa grafik parabola y x 3x 4 diperlihatkan pada gambar berikut:
1) Parabola di atas sumbu x (y > 0) dalam selang x < -1 atau x > 4. Jadi x 3x 4 0 dalam selang x < -1 atau x > 4. ) Parabola tepat pada sumbu x (y = 0) untuk nilai x = -1 atau x = 4. Jadi x 3x 4 0 untuk nilai x = -1 atau x = 4. 3) Parabola di bawah sumbu x (y < 0) dalam selang 1 < x < 4. Jadi x 3x 4 0 dalam selang 1 < x < 4. Dengan demikian sketsa grafik fungsi kuadrat f ( x) x 3x 4 atau parabola y x 3x 4 dapat digunakan untuk menentukan penyelesaian atau himpunan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat berikut: a) Pertidaksamaan kuadrat x 3x 4 0. Himpunan penyelesaiannya adalah: HP { x 1 x 4, x R} b) Pertidaksamaan kuadrat x 3x 4 0. Himpunan penyelesaiannya adalah: HP { x 1 x 4, x R} c) Pertidaksamaan kuadrat x 3x 4 0. Himpunan penyelesaiannya adalah: HP { x x 1 atau x 4, x R} d) Pertidaksamaan kuadrat x 3x 4 0. Himpunan penyelesaiannya adalah: HP { x x 1 atau x 4, x R}
Berdasar uraian di atas dapat disimpulkan bahwa grafik fungsi kuadrat f ( x) ax bx c 0 atau parabola dapat digunakan untuk menentukan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat ax bx c 0; ax bx c 0; ax bx c 0 ; ax bx c 0 Secara umum, penyelesaian atau himpunan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat dengan menggunakan sketsa grafik fungsi kuadrat dapat ditentukan melalui langkah langkah sebagai berikut. Langkah 1 Gambar sketsa grafik kuadrat jika ada carilah titik-titik potong dengan sumbu X. atau parabola Langkah Berdasarkan sketsa grafik yang diperoleh dari langkah 1.kita dapat menetapkanselang atau interval yang memenuhi pertidaksamaan kuadrat, c. Menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat dengan Menggunakan Garis Bilangan Dalam pasal ini kita akan menyekesaikan persamaan kuadrat dengan menggunakan garis bilangan. Sebabagai contoh, kita akan menentukan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat. Langkah-langkah yangdiperlukan sebagai berikut: Langkah 1 Carilah nilai-nilai nol (jika ada) dari bagian ruas kiri pertidaksamaan x 3x 4 0 ( x 1)( x 4) 0 x 1 atau x 4 Langkah Gambarlah nilai-nilai nol yang diperoleh pada langkah 1 pada garis bilangan
Langkah 3 Tentukan tanda-tanda dalam interval untuk nilai-nilai x selain -1 dan 4. Misalnya: x maka nilai dari x 3x 4 ( ) 3( ) 4 6 sehingga tanda dalam interval x < -1 (+) atau >0 x 1 maka nilai dari x 3x 4 (1) 3(1) 4 6 sehingga tanda dalam interval -1 < x < 4 (1) atau < 0 x 5 maka nilai dari x 3x 4 (5) 3(5) 4 6 sehingga tanda dalam interval x > 4 (+) atau >. Langkah 4 Berdasar tanda-tanda interval, maka yang memenuhi pertidaksamaan x 3x 4 0 adalah x < -1 atau x > 4. Jadi himpunan penyelesainnya adalah HP { x x 1 atau x > 4} Secara umum penyelesaian pertidaksamaan kuadrat, dapat ditentukan dengan menggunakan diagram garis bilangan melalui langkah-langkah sebagai berikut. Langkah 1 Carilah nilai nilai nol (jika ada) bagian ruas kiri pertidaksamaan Langkah Gambarlah nilai nol itu pada diagram garis bilangan sehingga diperoleh intervalinterval. Langkah 3 Tentukan tanda tanda interval dengan cara mensubstitusikan nilai-nilai uji yang berada dalam masing-masing interval. Langkah 4 Berdasarkan tanda-tanda interval yang diperoleh dari langkah 3. Kita dapat menetapkan interval yang memenuhi. Dalam menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat kita perlu mencermati adanya beberapa bentuk khusus dari suatu bentuk kuadrat. Ada macam bentuk khusus dari suatu bentuk kuadrat yaitu: (1) Definit positif, yaitu bentuk kuadrat berlaku untu semua x ϵ R. Bentuk disebut definit positif, jika
() Definit negatif, yaitu bentuk kuadrat berlaku untuk semua x ϵ R. Bentuk disebut definit negatif jika. 1. Dengan menggunakan sketsa grafik fungsi kuadrat f ( x) x x 1, carilah himpunan penyelesaian tiap pertidaksamaan berikut. a. x x 1 0 x x 1 0 c. x x 1 0 d. x x 1 0. Dengan menggunakan garis bilangan,tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan! 3. Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan berikut: a.
Akar-akar persamaan kuadrat Dalam menyelesaikan (menentukan akar-akar) persamaan kuadrat ada beberapa cara, diantaranya adalah dengan cara : a. Memfaktorkan Melengkapkan kuadrat sempurna Mengubah persamaan kudrat semula kedalam bentuk (x + p) = q dengan q 0 Melalui proses melengkapkan kuadrat sempurna. Menentukan akar akar persamaan kuadrat sesuai dengan persamaan yang terakhir (x + p) = ± atau c. Menggunakan rumus kuadrat akar-akar persamaan kuadrat ditentukan oleh: d. Menggambarkan sketsa grafik fungsi Jenis jenis akar persamaan kuadrat Persamaan kuadrat dengan nilai diskriminan 1. Jika D > 0 maka persamaan kuadrat mempunyai dua akar real yang berlainan Jika D berbentuk kuadrat sempurna, maka kedua akarnya rasioanal Jika D tidak berbentuk kuadrat sempurna, maka kedua akarnya irrasional.. Jika D=0 maka akar persamaan kuadrat mempunyai dua akar yang sama (akar kembar) real, dan rasional. 3. Jika D < 0 maka persamaan kuadrat tidak mempunyai akar real atau keduaakarnya tidak real (imajiner) Rumus persamaan akar-akar kuadrat adalah : 1. +.. Menyusun persamaan kuadrat jika diketahui akar akarnya 1. Memakai faktor
. Memakai rumus jumlah dan hasil kali akar akar Menyelesaikan Pertidaksamaan Kuadrat dengan menggunakan sketsa grafik fungsi kuadrat Langkah 1 Gambar sketsa grafik kuadrat atau parabola jika ada carilah titik-titik potong dengan sumbu X. Langkah Berdasarkan sketsa grafik yang diperoleh dari langkah 1.kita dapat menetapkanselang atau interval yang memenuhi pertidaksamaan kuadrat, Menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat dengan Menggunakan Garis Bilangan Langkah 1 Carilah nilai nilai nol (jika ada) bagian ruas kiri pertidaksamaan Langkah Gambarlah nilai nol itu pada diagram garis bilangan sehingga diperoleh intervalinterval. Langkah 3 Tentukan tanda tanda interval dengan cara mensubstitusikan nilai-nilai uji yang berada dalam masing-masing interval. Langkah 4 Berdasarkan tanda-tanda interval yang diperoleh dari langkah 3. Kita dapat menetapkan interval yang memenuhi.
BAB III EVALUASI A. Pilihlah satu jawaban yang paling tepat! 1. Diketahui akar-akar persamaan kuadrat adalah a dan nilai dari adalah... a. 18 17 c. -18 d. -16 e. 19. Jika α dan β akar-akar persamaan maka mencapai minimum untuk... a. -1 c. e. 3 0 d. 1 3. Akar-akar persamaan kx (k 4) x ( k 8) 0 adalah sama. Hasil kali kedua akar persamaan tersebut adalah. a. 1 4 c. 9 d. 16 4. Persamaan kuadrat yang akar-akarnya saling berlawanan tanda dari akar-akar persamaan adalah. a. c. d. e. 5. Akar-akar persamaan kuadrat x qx ( q 1) 0 adalah m dan n. Jika m n 4 maka nilai q adalah... a. -6 dan -5 dan 3 c. -4 dan 4 d. -3 dan 5 e. - dan 6 6. Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan adalah... a. c. 7. Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan 3x 9x x 4 adalah... a. d. c. x 8. Himpunan penyelesaian dari persamaan 0 adalah... x 5 a. HP { x 5 x } d. e. e. e.
HP { x 5 x } c. HP { x x 1 atau x } d. HP { x x 5 atau x } e. HP { x x 1 atau x 1} 9. Himpunan penyelesaian adalah... a. -11-1 c. -13 d. -14 e. -15 10. Nilai terbesar x agar adalah... a. - -3 c. -4 d. 1 e. -1 11. Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan adalah... a. * + * + c. { } d. { } e. { } 1. Agar persamaan mempunyai akar kembar maka nilai k =... a. d. e. c. 13. Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan adalah... a. c. d. e. 14. Nilai yang memenuhi adalah... a. c. 15. Bentuk pertidaksamaan akan bernilai benar jika... a. c. B. Jawablah pertanyaan pertanyaan berikut dengan singkat dan jelas! 1. Diketahui x1 dan x adalah akar-akar dari persamaan kuadrat Tentukan akar-akar persamaan kuadrat yang akar-akarnya. Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan kuadrat d. e. d. e. Semua bilangan real
3. Tentukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya lebihnya dari akarakar persamaan! 4. Jika salah satu akar persamaan adalah empat kali akar yang lain maka tentukan nilai k dan akar-akar tersebut.
Latihan 1 1. a. Dengan demikian penyelesaian dari persamaan kuadrat x = 1 atau x = 3 adalah Dengan demikian penyelesaian dari persamaan kuadrat adalah. a. Dengan demikian penyelesaian persamaan kuadrat adalah
Dengan demikian penyelesaian dari persamaan kuadrat adalah 3. a. Jadi,persamaan kuadrat yang diminta adalah ( ) Jadi, persamaan kuadrat yang diminta adalah e. ( )( ) Jadi, persamaan kuadrat yang diminta adalah Latihan 1. Sketsa grafik fungsi kuadrat f ( x) x x 1, atau parabola y x x 1, diperlihatkan pada gambar berikut:
. a. Himpunan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat x x 1 0 adalah Himpunan kosong ditulis Himpunan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat x x 1 0 adalah HP { x x 1} c. Himpunan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat x x 1 0 adalah HP { x x R dan x 1} d. Himpunan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat x x 1 0 adalah HP { x x 1 atu x 1, x R } dapat juga ditulis HP { x x R} 3. a. Harga nol pembilang Harga nol penyebut Jadi, himpunan penyelesaianya adalah Ambil (negatif) Jadi, himpunan penyelesaian adalah * + Uji kompetensi A. 1. a.d 3.d 4.c 5.e B. Uraian Ambil (negatif) Jadi, himpunan penyelesaian adalah * + 6.d 7.a 8.e 9.c 10.c 1. Dari persamaan diperoleh 11.d 1.c 13.a 14.e 15.b
Misalkan akar-akar persamaan kuadrat yang akan dicari adalah a dan b, dimana Jadi, persamaan kuadrat yang akr-akarnya adalah:. 3. Nilai-nilai nol dan tanda-tanda intervalnya diperlihatkan pada gambar.4 Jadi, himpunan penyelesaian adalah { } Misalkan persamaan kuadrat baru memiliki akar a Substitusikan kedalam persamaan kuadrat semula sehingga diperoleh: Jadi persamaan kuadrat barunya adalah 4. Dengan nilai a=1, b = -10, c = k- dan salah satu akar = empat kali akar yang lain. + =4.=8 Jadi, nilai k =18