Sudaatno Sudiham Studi Mandii Fungsi dan Gafik Difeensial dan Integal ii Dapublic
BAB 7 Koodinat Pola Sampai dengan bahasan sebelumna kita membicaakan fungsi dengan kuva-kuva ang digambakan dalam koodinat sudut-siku, -. Di bab ini kita akan melihat sistem koodinat pola. 7.. Relasi Koodinat Pola dan Koodinat Sudut-siku Pada penataan posisi satu titik P[ P, P ] pada sistem koodinat sudutsiku tedapat hubungan P = sin ; P = cos (7.) dengan adalah jaak antaa titik P dengan titik-asal [0,0] dan adalah sudut ang dibentuk oleh aah dengan sumbu-, sepeti telihat pada Gb. 7.. P P[,] [0,0] P Gb.7.. Posisi titik P pada sistem koodinat pola. Dalam koodinat pola, dan inilah ang digunakan untuk menatakan posisi titik P. Posisi titik P sepeti pada Gb. 7.. dituliskan sebagai P[,]. 7.. Pesamaan Kuva Dalam Koodinat Pola Di Bab-5 kita telah melihat pesamaan lingkaan bejai-jai c bepusat di O[a,b] dalam koodinat sudut-siku, aitu ( a) + ( b) = c 7-
Kita dapat menatakan lingkaan ini dalam koodinat pola dengan mengganti dan menuut elasi (7.), aitu ang dapat dituliskan sebagai ( cos a) + ( sin b) = c (7..a) ( cos a cos+ a ) + ( sin bsin+ b ) c = 0 ( ( a cos+ bsin) ) + a + b c = 0 ( ( a cos+ bsin) ) + a + b c = 0 dengan bentuk kuva sepeti Gb.7..a (7..b) Jika lingkaan ini bejai-jai c = a dan bepusat di O[a,0] maka pesamaan (7..b) menjadi ( a cos) = 0 (7..c) Pada fakto petama, jika kita mengambil = 0, kita menemui titik pusat. Fakto ke-dua adalah a cos= 0 (7..d) meupakan pesamaan lingkaan dengan bentuk kuva sepeti pada Gb.7..b. b [0,0] a (a) P[,] [0,0] Gb.7.. Lingkaan Beikut ini tiga contoh bentuk kuva dalam koodinat bola. a (b) P[,] 7- Sudaatno Sudiham, Fungsi dan Gafik Difeensial dan Integal
Contoh: = ( cos). Bentuk kuva fungsi ini telihat pada Gb.7.3 ang disebut kadioid (cadioid) kaena bentuk ang sepeti hati. Gb.7.3 Kuva kadioid, = ( cos) Pehatikan bahwa pada = 0, = 0; pada = π/, = ; pada = π, = ; pada =,5π, =. Contoh: P[,] 0-5 -3 - - = 6cos. Bentuk kuva fungsi ini telihat pada Gb.7. 3 0-5 -3-3 5 - - -3 Gb.7. Kuva = 6cos Pehatikan bahwa pada = 0, = ; pada = π/, = 0; pada = π, = ; pada =,5π, = 0. Contoh: =. Untuk > 0 bentuk kuva fungsi ini telihat pada Gb.7.5 3 - -3 P[,] 7-3
,5 0,5 P[,] 0-0 3-0,5 = π = 3π = π = π - Gb.7.5 Kuva = = Pada pesamaan kuva ini jika = 0 maka 0 = ; suatu hal ang tidak bena. Ini beati bahwa tidak ada titik pada kuva ang besesuaian dengan = 0. Akan tetapi jika mendekati nol maka mendekati ; gais = meupakan asimptot dai kuva ini. Pehatikanlah bahwa pepotongan kuva dengan sumbu- tidak beati = 0 dan tejadi pada = π, π, 3π, π, dst. 7.3. Pesamaan Gais Luus Salah satu caa untuk menatakan pesamaan kuva dalam koodinat pola adalah menggunakan elasi (7.) jika pesamaan dalam koodinat sudut-siku diketahui. Hal ini telah kita lakukan misalna pada pesamaan lingkaan (7..a) menjadi (7..b) atau (7..c). Beikut ini kita akan menuunkan pesamaan kuva dalam koodinat pola langsung dai bentuk / pesaatan kuva. Gb.7.6 mempelihatkan kuva dua gais luus l sejaja sumbu- dan l sejaja sumbu-. l O a P[,] b O l P[,] Gb.7.6 Gais luus melalui titik-asal [0,0]. Gais l bejaak a dai titik-asal; setiap titik P ang beada pada gais ini haus memenuhi 7- Sudaatno Sudiham, Fungsi dan Gafik Difeensial dan Integal
Inilah pesamaan gais l. cos = a (7.3) Gais l bejaak b dai titik-asal; setiap titik P ang beada pada gais ini haus memenuhi Inilah pesamaan gais l. sin = b (7.) Kita lihat sekaang gais l 3 ang bejaak a dai titik asal dengan kemiingan positif sepeti telihat pada Gb.7.7. Kaena gais memiliki kemiingan tetentu maka sudut antaa gais tegak-luus ke l 3, aitu β juga tetentu. Kita manfaatkan β untuk mencai pesamaan gais l 3. Jika titik P haus teletak pada l 3 maka Inilah pesamaan gais l 3. cos( β ) = a (7.5) P[,] A α l 3 a β O Gb.7.7. Gais luus l 3 bejaak a dai [0,0], memiliki kemiingan positif. Jika kita bandingkan pesamaan ini dengan pesamaan (7.3) telihat bahwa pesamaan (7.5) ini adalah bentuk umum dai (7.3), ang akan kita peoleh jika kita melakukan peputaan sumbu. Jika peputaan kita lakukan sedemikian upa sehingga mempeoleh kemiingan gais positif, maka akan kita peoleh pesamaan gais sepeti (7.5). Apabila peputaan sumbu kita lakukan sehingga gais ang kita hadapi, l, memiliki kemiingan negatif, sepeti pada Gb.7.8., maka pesamaan gais adalah cos( β) = a (7.6) 7-5
P[,] a β O l Gb.7.8. Gais luus l bejaak a dai [0,0], kemiingan negatif. 7.. Paabola, Elips, Hipebola Ketiga bangun geometis ini telah kita lihat pada Bab-5 dalam koodinat sudut-siku. Kita akan melihatna sekaang dalam koodinat pola. Eksentisitas. Pengetian sehai-hai dai istilah eksentik adalah menimpang dai ang umum. Dalam matematika, eksentisitas adalah asio antaa jaak suatu titik P tehadap titik tetentu dengan jaak antaa titik P tehadap gais tetentu. Titik tetentu itu disebut titik fokus dan gais tetentu itu disebut diektiks; kedua istilah ini telah kita kenal pada waktu pembahasan mengenai paabola di Bab-5. Sesungguhna, dengan pengetian eksentisitas ini kita dapat membahas sekaligus paabola, elips, dan hipebola. Pehatikan Gb.7.8. Jika e s adalah eksentisitas, maka PF e s = (7.7) PD D A diektiks F Gb.7.8. Titik fokus dan gais diektiks. Jika kita mengambil titik fokus F sebagai titik asal, maka k PF = 7-6 Sudaatno Sudiham, Fungsi dan Gafik Difeensial dan Integal B P[,]
dan dengan (7.7) menjadi = e s PD ; sedangkan PD= AB= AF+ FB= k + cos sehingga = es ( k+ cos) = esk + es cos Dai sini kita dapatkan esk = (7.8) es cos Nilai e s menentukan pesamaan bangun geometis ang kita akan peoleh. Paabola. Jika e s =, ang beati PF = PD, maka k = (7.9) cos Inilah pesamaan paabola. Pehatikan bahwa jika mendekati nol, maka mendekati tak hingga. Jika = π/ maka = k. Jika = π titik P akan mencapai puncak kuva dan = k/, ang beati bahwa puncak paabola beada di tegah-tengah antaa gais diektiks dan titik fokus. Hal ini telah kita lihat di Bab-5. Elips. Jika e s <, misalna e s = 0, 5, PF = PD/, maka k = (7.0) cos Inilah pesamaan elips. Pehatikan bahwa kaena cos + maka penebut pada pesamaan (7.0) tidak akan penah nol. Oleh kaena itu selalu mempunai nilai untuk semua nilai. Jika = 0 maka = k, titik P mencapai jaak tejauh dai F. dan jika = π/ maka = k/. Jika = π maka = k/3, titik P mencapai jaak tedekat dengan F. Hipebola. Jika e s >, misal e s =, beati PF = PD, maka k = (7.) cos Inilah pesamaan hipebola. 7-7
Jika mendekati π/3 maka menuju tak hingga. Jika =π / maka = k. Jika = π, titik P ada di puncak kuva, dan = k/3 = PF. 7.. Lemniskat dan Oval Cassini Di laut Aegea di hadapan selat Dadanella, tedapat sebuah pulau ang penting dalam mitologi Yunani aitu pulau Lemnos atau Limnos. Pulau vulkanik ini bebentuk tak beatuan dengan dua teluk ang menjook dalam ke daatan di pantai utaa dan pantai selatan. Giovanni Domenico Cassini dikenal juga dengan nama Jean Dominique Cassini (65 7) adalah astonom Italia. Cassini menemukan empat di antaa sembilan atau sepuluh satelit planet Satunus. Ia pula ang menemukan celah cincin Satunus, antaa cincin telua dengan cincin ke-dua ang paling teang; celah itu kemudian disebut Cassini s division. Bangun-geometis ang disebut lemniskat dan oval Cassini meupakan situasi khusus dai kuva ang meupakan tempat kedudukan titik-titik ang hasil kali jaakna tehadap dua titik tetentu benilai konstan. Misalkan dua titik tetentu tesebut adalah F [a,π] dan F [a,0]. Lihat Gb.7.9. = π Gb.7.9. Menuunkan pesamaan kuva dengan pesaatan PF PF = konstan Dai Gb.7.9. kita dapatkan ( PF) = ( sin) + ( a+ cos) = + a + a cos ( PF ) = ( sin) + ( a cos) F [a,π] = = π/ + a P[,] = 0 F [a,0] a cos Misalkan hasil kali PF PF = b, maka kita peoleh elasi 7-8 Sudaatno Sudiham, Fungsi dan Gafik Difeensial dan Integal
b = ( + a + a cos) ( + a a cos) = = + a + a + a + a (a cos) ( cos ) (7.) Kita manfaatkan identitas tigonometi cos = cos sin = cos untuk menuliskan (7.) sebagai b = + a a cos (7.3) Jika b kita buat be-elasi dengan a aitu b = ka maka pesamaan (7.3) ini dapat kita tuliskan 0= a Untuk > 0, pesamaan ini menjadi cos + a ( k = a cos ± a cos ( k ) (7.) Lemniskat. Bentuk kuva ang disebut lemniskat ini dipeoleh pada kondisi khusus (7.) aitu k =, ang beati b = a atau PF PF = a. Pada kondisi ini pesamaan (7.) menjadi 0= ( a cos ) Fakto petama = 0 akan membeikan sebuah titik. Fakto ang ke-dua membeikan pesamaan = a cos Dengan mengambil a =, kuva dai pesamaan ini telihat pada Gb.7.0. ) 7-9
= π/ 0,6 = π 0, = 0 -,5 - -0,5 0 0 0,5,5-0, Gb.7.0. Kuva pesamaan (7.), k = = a. Bentuk lemniskat masih akan dipeoleh pada k >, misalna k =,. Pada keadaan ini, dengan tetap mengambil a =, bentuk kuva ang akan dipeoleh telihat sepeti pada Gb.7.. = π -0,6 = π/,5 0,5 0 - -,5 = 0 - - 0-0,5 Gb.7.. Kuva pesamaan (7.), k =, & a =. Oval Cassini. Kondisi khusus ang ke-tiga adalah k <, misalkan k = 0,8. Dengan tetap mengambil a =, bentuk kuva ang dipeoleh adalah sepeti pada Gb.7., ang disebut oval Cassini. Kuva ini tebelah menjadi dua bagian, mengingatkan kita pada Cassini s division di planet Satunus. 7-0 Sudaatno Sudiham, Fungsi dan Gafik Difeensial dan Integal
= π/,5 0,5 = π = 0 0 - - 0-0,5 - -,5 Gb.7.. Kuva pesamaan (7.), k = 0,8 & a =. 7.5. Luas Bidang Dalam Koodinat Pola Kita akan menghitung luas bidang ang dibatasi oleh suatu kuva dan dua gais masing-masing mempunai sudut kemiingan α dan β. Lihat Gb.7. = β Gb.7.. Mencai luas bidang antaa kuva dan dua gais. Antaa α dan β kita bagi dalam n segmen. β α = n Luas setiap segmen bisa didekati dengan luas sekto lingkaan. Antaa dan ( + ) ada suatu nilai k sedemikian upa sehingga luas sekto lingkaan adalah A k = ( k ) / Luas antaa = α dan = β menjadi = α 7-
( k ) / = ( f ( k )) A αβ = / Jika n menuju, menuju nol, kita dapat menuliskan luas bidang menjadi atau A αβ = 0 β = lim α ( [ f ( ) ] k A ) / = d αβ lim 0 β = d α [ f ( ) ] / (7.5) 7- Sudaatno Sudiham, Fungsi dan Gafik Difeensial dan Integal