3 Sistem Pandang 3.1 Pendahuluan Meskipun ada bermaeam-maearn piranti tampilan tiga-dimensi, kebanyakan permukaan pandang grafik kmputer adalah dua-dimensi. Jadi pipeline tiga-dimensi - merupakan istilah khusus yang digunakan untuk menguraikan bermaearn-maearn prses pengubahan dari ruang krdinat dunia tiga-dimensi menjadi penyajian dua-dimensi - harus berisi sebuah transfrmasi pryeksi dan transfrmasi pandang, persyaratan minimum untuk mengubah sebuah gambar tiga-dimensi menjadi sebuah pryeksi dua-dimensi. Studi yang luas mengenai sistem pandang diperlukan karena sejumlah alasan. Meskipun anda berada pada psisi yang menguntungkan yakni tidak harus mengimplementasikan sebuah sistem pandang, penggunaan suatu sistem memerlukan pemahaman yang baik mengenai eara dimana bermaeam-maeam paremeter menentukan sifat dasar dari pryeksi pada layar. Untuk alasan kejelasan, adalah paling mudah untuk mempertimbangkan seluruh transfrmasi himpunan vertex, menyajikan sebuah byek, pada permukaan pandang dua dimensi dalam dua bagian. Kita dapat mempertimbangkan sebuah transfrmasi, Tviewdari sistem krdinat tiga dimensi menjadi sistem krdinat pandang (x,'j',.,zv).di sini vertex dinyatakan dalarn sistem krdinat tangan-kiri dengan titik asal yang kadang-kadang disebut sebagai titik pandang atau titik referensi pan dang. Dalam buku ini kita sangat banyak mempertimbangkan titik ini yang merupakan psisi mata pemirsa atau psisi dimana kamera yang sebenarnya ditempatkan. Transfrmasi yang kedua, Tpersatau Trtmempryeksikan titik tiga-dimensi dalarn ruang pandang pada bidang pandang dua-dimensi. Dengan memisahkan transfrmasi tersebut dengan eara ini berarti kita dapat mengislasi gem~tri pryeksi dari kenyataan bahwa, seeara umum, bidang pryeksi dapat memiliki suatu psisi dan rientasi dalam ruang krdinat tiga dimensi. 71
72 Pengantar Kmputer Grafik Sebuah sistem pandang minimum berupa sebuah himpunan parameter yang memungkinkan deretan transfrmasi yang akan ditentukan memiliki efek pada titik pemetaan dalam ruang krdinat tiga dimensi pada permukaan pandang. Sistem yang sedemikian ini memperblehkan serang pemakai untuk menentukan sebuah transfrmasi pryeksi dan ini memungkinkan bidang pandang ditempatkan dimana saja dalam ruang krdinat tiga dimensi. Sebuah sistem pandang penuh yang juga akan menentukan vlume pandang, merupakan himpunan bagian (subset) dari ruang krdinat tiga dimensi yang terdapat dalam prses transfrmasi. Definisi ini memungkinkan serang pemakai untuk memilih daerah tertentu yang menjadi perhatiannya dalam sistem krdinat tiga dimensi. Persyaratan yang dihubungkan dengan hal ini adalah definisi sebuah jendela dalam bidang pandang - yakni jendela bidang pandang. Untuk menjelaskan bagaimana sistem pandang bekerja kita ambit pendekatan mengenai pengembangan sistem yang semakin rumit, dimulai dengan sebuah sistem yang sederhana dan menambah lebih banyak fasilitas secara bertahap. Lima buah sistem: dijabarkan sebuah sistem yang sangat sederhana akan tetapi terbatas pada sistem empat paremeter; tiga buah versi sistem praktis (berbeda dengan persyaratan interfacenya dan apakah vlume pandangan diikut sertakan atau tidak); dan sebuah sistem mnum yang menyeluruh yang berdasarkan pada mdel GKS dan mdel PHIGS. Dengan bekerja melalui evlusi sistem pandang yang semakin kmpleks juga akan membantu dalam pemahaman faktr ekstra yang terlibat dalam sistem pandang urnurn (general viewing systems). Untuk tiga sistem yang pertama, kita uraikan transfrmasi Tviewyang mentransfrmasikan titik-titik dari ruang krdinat tiga dimensi ke ruang pandang. Sistem sederhana yang pertama merupakan sistem yang sangat dibatasi - arah pandang selalu mengarah ke titik asal krdinat. Sistem yang kedua dan ketiga kurang dibatasi, memungkinkan pemirsa untuk melihat pada sembarang arah. Bagian 3.5 menguraikan transfrmasi pryeksi, Tpers,dari ruang pandang ke bidang pandang. Transfrmasi ini adalah umum untuk tiga sistem yang pertama. Sebuah.transfrmasi yang menyeluruh dibentuk leh pemilihan salah satu dari tiga transfrmasi Tviewdan dirangkaikan dengan Tpersbersama. Sistem pandang IV memperkenalkan gagasan mengenai vlume pandang dan jendela bidang pandang~akan tetapi untuk memudahkan pengimplementasian tidak menggabungkan keadaan yang umum dari sistem standar. Sistem pandang V menguraikan sebuah sistem standar penuh.
Sistem Pandang 73 3.1.1 Sebuh catatan, peringatan,dn kishsedih Sistem krdinat tangan kanan merupakan knvensi matematika standar. Bagian berikut ini mencba untuk menguraikan bagaimana sistem pandang bekerja melalui hirarki lima sistem yang meningkatkan kerumitan. Oalam grafik kmputer tiga-dimensi sistem krdinat tiga dimensi yang lazim adalah sistem yang berdasarkan tangan-kanan. Jika kita mempertimbangkan sistem pandang keuntungan yang berhubungan dengan bidangpendidikanadalahdenganmempertimbangkanruangpandang. (ruang mata) dan ruang layar tiga-dimensi merupakan sistem krdinat tangan-kiri. Hal ini karena dalam ruang pandang nilai z yang lebih besar akan semakin jauh dari pemirsa, dan dalam ruang layar tiga-dimensi memperbesar nilai z 'masuk ke dalam' layar - interpretasi sifat dasar yang lain. Akan tetapi, hal ini merupakan tradisi nyata yang pantas ditinggalkan leh PInGS (sistem pandang V, Bagian 3.9) yang menyetujui pembuatan semua sistem krdinat tangan-kanan. Aya yang berpendapat bahwa keseragaman ini tidak memberikan keuntungan, akan tetapi PInGS merupakan sebuah standar internasinal dan ini kita harns mei:1genalnya.buku ini mengadpsi sistem tangan kiri untuk pandang dan dan ruang layar dalam sistem pandang I-IV, akan tetapi sesuai dengan PInGS untuk sistem pandangan V. Secara gemetris perbedaan sepele ini akan mengurangi kebingungan dan kita tetap mempertahankan keuntungan intuisi sistem tangan-kiri untuk sistem pandang I-IV. 3.2 Sistem pan dang I Ringkasan ciri sistem pandang ini adalah sebagai berikut: (1) Persyaratan Antarmuka (interface) adalah: (a) satu titik tiga-dimensi (ditentukan leh dua sudut danjarak) dan (b) satu jarak bidang pandang. (2) Arah pandang dibatasi. (3) Orientasi bidang pandang dibatasi. (4) Tidak ada vlume pandang yang ditentukan. (5) Tidak adajendela bidang pandang yang ditentukan. (6) Pusat pryeksiadalahtitik pandang dan pryeksiperspektifdigunakan. Oalam sistem ini serang pemakai menentukan sebuah titik pandang atau titik mata (tiga parameter atau sebuahvektr)danjarak bidang pandang(satu parameter).
74 Pengantar Kmputer Grafik Arah pandang atau bidang pandang nrmal ditetapkan leh garis dari titik pandang ke titik asal krdinattiga dimensi(wrldcrdinaterigin).batasan ini adalah sangat baik untuk gambarbyektunggal,dimanabyektersebutcenderungdi sekitar titik asal krdinat tiga dimensi, akan tetapi merupakan batasan yang tidak dapat beketja dalam kasus gambar byek jamak (multi bject). Hal ini sederhana untuk diimplemen~ikan dan dipahami dan merupakan sistem yang berguna di mana untuk memperleh pengalaman dari interaksi parameter dalam sebuah sistem pandang. Sebuah sistem krdinat pandang (XV'YI"ZV) ditetapkan pada titik pandang. z" bertepatan dengan arah pandang dan arah Yv dapat ditentukan, sebagai cnth dengan melekatkannya dalam bidang yang berisi Zv dan Zw.Sebuah pryeksi perspektif digunakan dengan pusat pryeksi pada titik pandang dan parameter yang keempat adalah jarak d dari titik pandang ke bidang pandang (hal ini digunakan pada saat gambar dipryeksikan ke bidang pandang sebagaimana yang diuraikan dalam Bagian 3.5). Sebuah sistem krdinat layar ditetapkan dalam bidang pandang dengan membuat Ys sejajar dengan Y" (lihat Bagian 3.5). Penetapan ini diperlihatkandalamgambar3.1. Sebuah antarmuka yang mudah dan intuitifbagi pemakai adalah memungkinkanjika sebuah sistem krdinat bla digunakan untuk menentukan psisi titik pandang. Perhatikan garis dari titik pandang ke titik asal krdinat tiga dimensi. f.i adalahjarak dari titik asal krdinat tiga dimensi ke titik pandang sepanjang garis ini, e adalah sudut yang bidangnya berisi garis tersebut dan tegak lurus dengan titik sistem pandang yang membuat sumbu Xwdan e merupakan sudut yang membuat sumbu Zw. Untuk mentransfrmasikan titik dari s~lah satu sistem ke yang lain kita perlu mengkmbinasikan translasi dan rtasi. Sebagai cnth; untuk mengubah titik asal sistem krdinat dari (0,0,0,1) ke (tx,ly,lz,1) kita memerlukan transfrmasi: u 1 -ty 1 -t~ dan kita catat bahwa ini merupakan inverse dari transfrmasi yang akan mengambit sebuah titik dari (0,0,0,1) ke (/x,ly,lz,1). Hal yang sarna, matriks transfrmasi untuk rtasi yang searah jarum jam pada sebuah sistem krdinat sarna dengan untuk rtasi yang berlawanan dengan arahjarumjam dari sebuah titik yang relatif terhadap sistem krdinat.
Sistem Pandang 75 z. z. x. e--- Viewpint I,"iew crdi nate S~"Slemrigin).. '".t. Gambar 3.1 Sistem pandang I: sebuah sistem pandang sederhana (empat parameter). Sistem krdinat pandang ditetapkan pada titik pandang. Yv sejajar denganys dan titik Zvmengarah ke titik asal krdinat tiga dimensi. Sistem krdinat tiga dimensi sesuai dengan tangan kanan, sistem krdinat pandang sesuai dengan tangan kiri. Transfrmasi berikut mentransfrmasikan titik krdinat tiga dimensi ke titik krdinat pandang: -cs e cscp -sin ecs cp sin e -cs e sin cp -sin e sin cp -cs cp JL ~] = [xw YONZW 1] T view Matrik ini diturunkan dalam empat langkah: (1) Translasi yang mengambil titik asal krdinat tiga dimensi ke titik pandang. (2) Rtasikan melalui (900_0) searah putaran jarum jam sekitar sumbu z yang baru. (3) Rtasikan melalui (I SO-</»sekitar sumbu z yang baru, membuat titik sumbu z baru mengarah ke titik asal krdinat tiga dimensi. (4) Transfrmasi ke sistem tangan-kiri.
76 Pengantar Kmputer Grafik 3.3 Sistem pan dang II Ringkasan ciri sistem pandang ini adalah: (1) Persyaratan Antarmuka (interface) adalah: (a) dua buah titik tiga-dimensi, (b) satu sudut puntir, dan (c) satu jarak bidang pandang. (2) Tidak ada vlume pandang yang ditentukan. (3) Tidak ada jendela bidang pandang yang ditentukan. (4) Pusat pryeksi adalah titik pandang dan pryeksi perspektif digunakan. Masalah dalam sistem pandang tiga-dimensi adalah bahwa ketika sistem tersebut menjadi semakin umum, misalnya dengan memasukkan vlume pandang,jendela bidang pandang dan pryeksi miring, jumlah parameter yang diperlukan untuk menentukan perkembangan pandang, dan sebagai akibatnya membuat antarmuka pemakai menjadi lebih sulit. Dua buah sistem yang disetujui, yang tidak memperblehkan keadaan umum penuhnya, akan tetapi dapat mengatasi keterbatasan sistem yang pertamadan memperblehkanantarmuka yang cukup mudah sekarang dibahas. Sistem yang kedua diperkenalkan dengan cara yang paling baik adalah dengan bersama mempertimbangkan sebuah kamera sintetik (Gambar 3.2). Dalam sistem pandang ini kita dapat mengarahkan kamera tersebut pada sembarang arah; bidang pandang nrmal atau arah pandang kini tidak lagi terbatas pada titik yang terletak pada titik asal sistem krdinat tiga dimensi. Juga, kamera tersebut dapat dirtasikan di sekitar bidang pandang nrmal dengan menentukan sudut puntir. Ini merupakan derajad kebebasan nrmal bahwa serang tukang ft akan menggunakan untuk menempatkan kamera yang sebenarnya. Kita menetapkan psisi kamera C, yang merupakan titik referensi pandang atau titik asal sistem krdinat pandang dan pusat pryeksi. Sebuah bidang pandang, nrmal terhadap sumbu Zv,ditentukan pada jarak d dari titik asal ini seperti sebelumnya. Arah dimana kamera tersebut diarahkan ditentukan leh titik perhatian atau titik fkus F. Dua titik ini, C dan F, menentukan sumbu Zvdari sistem krdinat pandang, dan sudut puntir menetapkan rt~i kamera di sekitar sumbu ini dan arah sumbu Ys dalam bidang pandang. C adalah masukan sebagai
Sistem Pandang 77 z. Viewplane (nrmal t :.1 x...,. Gambar 3.2 Sistem pandang II: dengan menggunakan sebuah titik kamera C, titik fkus F dan sudut puntir 9 yang mertasikan sebuah kamera yang sebenarnya di sekitar arah pandang F-C. Sistem krdinat tiga dimensi adalah sistem tangan kanan, sistem krdinat pandang mengikuti tangan kiri. sebuah titik (ef,g). F juga merupakan masukan sebagai sebuah titik dan sebuah satuan vektr (dengan kmpnen (a,b,c» diturunkan dengan pengurangan C dari F dan menrmalkan vektr yang dihasilkan. Jadi sistem tersebut memerlukan serang pemakai untuk menentukan dua titik tiga-dimensi C dan F, sudut puntir dan jarak bidang pandang d. Gagasan pada sebuah kamera khususnya berguna dalam animasi tiga-dimensi dimana lintasan salah satu (atau sejumlah) kamera dapat dikregrafikan sebagai bagian dari sebuah urutan. Transfrmasi pandang dapat diturunkan dari langkah-iangkah berikut. Pertama, jika kamera tersebut ditempatkan pada titik asal krdinat tiga dimensi, menunjukkanarah yang ditentukan leh titik perhatian F, kemudian transfrmasi pandang ini dapat diperlihatkan: (l_e2)1/2 -ae b -a (1 - e2)1/2 -be V =I (l - e2) 1/2 (1- e2)1,'2 a 0 b 0 0 (l - e2) 1/2 e 0 0 0 0 1
78 Pengantar Kmputer Graftk Hal ini terjadi dengan menyatakan arab yang diperlukan sebagai dua rtasi dengan menggunakan ntasi vektr untuk sinus dan csinus dari dua sudut. Jika kemudian kita menyamaratakan psisi kamera, meletakkannya pada titik (ef,g)~ dan memasukkan rtasi melalui sudut 8 di sekitar C-F maka tiga ~mpnen matriks transfrmasi pandang tersebut adalah: sine cse 1 ~] Kmpnen ini terjadi dengan mempertimbangkan sebuah sistem pandang dengan kamera pada titik asal yang mengarah sepanjang sumbu x dan bertasi melalui sudut 8. Untuk mentransfrmasikan titik krdinat tiga dimensi ke dalam sistem ini kita memerlukan VI. Kmpnen yang kedua adalah: V2= V(seperti di atas). Kamera tersebut masih tetap berada pada titik asal akan tetapi menunjuk arab F-C. Sekarang untuk mentransfrmasikan kedalam sistem ini kita memerlukan VtV2. Kmpnen yang ketiga adalab: 1 -I 1 -g Akhimya, kamera berada pada titik (ej,g) dan kita memiliki Tview= VI V2 V3 Sebagaicatatan bahwa singularitas (keganjilan) terjadi bila c2 = 1. Ini terjadi pada saat kamera tersebutmenunjuk tegak ke atas atau tegak ke bawah, (a,h,c) = (0,0,1) atau (0,0,-1) dan berhubungan dengan sebuah kasus khusus. Transfrmasi pandang ini dapat mengatasi banyak situasi dalam grafik kmputer dan transfrmasi pandang ini menghindarkan kesulitan antarmuka pemakai yang berhubungan dengan sistem pan dang urnurn yang didukung leh standar GSK dan PHIGS.
Sistem Pandang 79 3.4 Sistem pan dang III Ringkasan ciri sistem pandang ini adalah: (I) Persyaratan Antarmuka (interface) adalah: (a) dua buah vektr dan satu buah titik tiga-dimensi, dan (b) satu jarak bidang pandang. (2) Tidak ada vlume pandang yang ditentukan. (3) Tidak adajendela bidang pandang yang ditentukan. (4) Pusat pryeksi adalah titik pandang dan pryeksi perspektif digunakan. Sebuah alternatif tertentu sistem praktis dan salah satu yang lebih dekat ke standar filsfi GKS dan PHIGS adalah dengan menggunakan vektr dalam antarmuka pemakai bukan titik tiga-dimensi dan sebuah sudut. Jadi tidak ada perbedaan pkk antara sistem pandang II dan III kecuali dalam implikasi spesifikasi dan antarmuka. Juga, kita memperkenalkan sebuah parameter ekstra (sebuah vektr) yang memungkinkan kita menetapkan sistem krdinat tangan-kanan atau tangan-kiri untuk ruang pandang. Sistem tersebut ditentukan leh dua buah vektr dan sebuah psisi (Gambar 3.3): (1) Psisi kamera C. Titik ini juga merupakan pusat pryeksi dan sarna dengan titik C dalam sistem sebelumnya. (2) Sebuah vektr arah pandang N (sumbu Zvpsitif), sebuah vektr nrmal terhadap bidang pandang. (3) Sebuah vektr atas V yang mengrientasikan kamera di sekitar arah pandang dan menetapkan dengan N rientasi dari jendela bidang pandang dalam bidang pandang. (4) Sebuah vektr U (psinal) untuk menunjukkan arah pertambahan x dalam sistem krdinat mata. Ini menetapkan sistem krdinat tangan-kanan atau tangan-kiri (UVN). Saat ini kita mempertimbang Tviewuntuk memisahkan kedalam sebuah translasi T dan suatu perubahan basis B: Tview= TB dimana
80 Pengantar Kmputer Grafik -. l' Gambar 3.3 Sistem pandang III: dengan menggunakan sebuah titik kamera, sebuah vektr arah pandang N, sebuah vektr atas V, dan sebuah vektr psinal U, Sistem krdinat tiga dimensi adalah sistem tangan-kanan, sistem krdinat pandang berupa sistem tangan-kiri. T= [ : -cx 1 -cy 1 -c~ yakni, seperti V3 dalam sistem sebelumnya. Ini dapat diperlihatkan (Fiume, 1989) bahwa B ditentukan leh: [ u x U. B = ~~ Vx Vy v. Sekarang permasalahan hanya berupa penentuan sebuah antarmuka pemakai untuk sistem terse but dan pemetaan apapun parameter digunakan leh antarmuka terse but.kedalam U, V, dan N. Pemakai perlu untuk menentukan C, N, dan V. C cukup mudah seperti yang telah kita bahas. N, arah pandang atau nrmal bidang pan dang, dapat dimasukkan, katakan dengan menggunakan dua sudut dalam sistem krdinat bla seperti dalam sistem sebelumnya: () sudut azimut <psudut kemiringan
Sistem Pandang 81 v J" I I I, I " I,I "-, Gambar 3.4 Sistem pandang III. Vektr atas V dapat dikalkulasikan dari sebuah tanda (indicatin) yang ditentukan leh V'. dirnana N x = sin <pcs (} Ny =sin <psin (} N ~ = cs <p V lebih rnerupakan persalan. Sebagai cnth, serang pernakai rnungkin rnenghendaki "atas" agar sarna dengan istilah "atas" dalarn sistern krdinat tiga dirnensi. Akan tetapi, hal ini tidak akan dapat dicapai dengan penetapan: v = (0,0,I) karena Vharus tegak lurus terhadap N. Strategi yang pantas adalah rnernperblehkan serang pernakai untuk rnenentukan rientasi aprksirnasi bagi V, katakan V' dan rnerniliki kalkulasi sistern V. Garnbar 3.4 rnendernnstrasikan hat ini. V' adalah vektr atas yang ditentukan leh pernakai. Ini dipryeksikan pada bidang pandang: V=V'-(V'.N)N dan dinrrnalisasi. U dapat ditentukan atau tidak bergantung pada persyaratan pernakai. Jika U tidak ditentukan, maka U diperteh dari:
82 Pengantar Kmputer Graftk U=NxV yang menghasilkan sistem krdinat tangan-kiri. 3.5 Pryeksi bidang pan dang untuk sistem pandang I-III Pada tahap iili kita mempertimbangkan transfrmasi yang kedua yang kita perlukan untuk mengambilnya dari ruang krdinat tiga dimensi ke dalam ruang layar. Ini merupakan transfrmasi pryektif dari ruang pandang atau ruang mata yang mempryeksikan infrmasi gambar pada bidang pandang. (Kemudian sebuah transfrmasi yang bergantung pada piranti akan mengambil bidang pandang ke dalam ruang layar yang sebenarnya). Karena permukaan pandang dalam grafik kmputer dianggap datar, kita mempertimbangkan kelmpk pryeksi yang dikenal sebagai pryeksi gemetrik planar. Oua pryeksi dasar, perspektif dan paralel akan dibahas. Pryeksi ini dan perbedaan sifat dasarnya dilukiskan pada Gambar 3.5. Pryeksi perspektif yang lebih terkenal atau pilihan umum dalam grafik kmputer karena pryeksi ini menggabungkan hukum perspektif. Oalam pryeksi perspektif ukuran relatif tidak dipertahankan, dan sebuah garis yang jauh ditampilkan lebih kecil daripada garis yang lebih dekat yang sarna panjangnya (Gambar 3.6). Pengaruh ini memungkinkan rang untuk merasakan kedalaman dalam ft dua dimensi atau menyesuaikan mde kenyataan tiga-dimensi. Sebuah pryeksi perspektif dicirikan leh sebuah titik yang dikenal sebagai pusat pryeksi dan pryeksi titik tiga-dimensi pada pusat bidang pandang adalah merupakan irisan (intersectin), dalam bidang.pandang, garis dari masing-masing titik ke pusat pryeksi. Garis ini disebut pryektr. Oalam sistem pandang I-IV kita meminta batasan yang bukan tidak praktis di mana garis dari pusat pryeksi ke pusat bidang pandang (atau, lebih tepatnya, pusat jendela bidang pandang) adalah sejajar dengan nrmal bidang pandang. Hal ini dianggap menyederhanakan matematika pryeksi bidang pandang. Oalam sistem pandang V kita mempertimbangkan implikasi penghilangan batasan ini. Gambar 3.7 memperlihatkan bagaimana sebuah pryeksi perspektif diperleh. Titik P (x,.,y",z,,)adalah sebuah titik tiga-dimensi dalam sistem krdinat pandang. Titik ini dipryeksikan pada sebuah nrmal bidang pandang ke sumbu z" dan ditempatkan padajarak d dari titik asal sistem ini. Titik P' adalah pryeksi titik ini dalam bidang pandang dan memiliki krdinat dua-dimensi (x.,.,ys)dalam sistem
Sistem Pandang 83 Prjectrs are parallel Parallel prjectin PI r---- L--------- Perspective prjectin Gambar 3.5 Dua titik yang dipryeksikan pada sebuah bidang menggunakan pryeksi perspektif dan pryeksi paralel. krdinat bidang pandang dengan titik asal pada perptngan surnbu z,. dan bidang pandang. Dalarn sistern ini kita rnernpertirnbangkan bidang pandang berupa permukaan pandang atau layar. Titik ini akan dipelajari pada bagian berikutnya. Segitiga sarna sebangun rnernberikan: --- Xs Xv Ys _.!..::.. d Zv Xv Xs = zv/d d Zv Yv Ys = zv/d Untuk rnenyatakan transfrrnasi yang tidak linear ini sebagai sebuah rnatriks 4 x 4 kita dapat rnernpertirnbangkannya dalarn dua bagian yakni bagian linear yang
84 Pengantar Kmputer Graftk,.'" ",,"",.."' ~~- ----- Centre r - prjectin Gambar 3.6 Dalarn pryeksi perpektif sebuah garis yang jauh ditampilkan lebih kecil daripada garis yang lebih dekat yang sarna panjangnya..\\ View plane Lking alng y axis -. x. P(x"y,. :,J P(x")',, z.j Lking alng x axis d- - View plane -. Gambar 3.7 Penurunan sebuah transfrmasi perspektif.
Sistem Pandang 85 diikuti leh bagian yang tidak linear. Dengan menggunakan krdinat hmgen kita dapatkan: X=Xv Y=Yv Z = Zv w = zv/d Sekarang kita dapat menuliskan [X y Z w]= [xv Yv Zv 1] Tpers dimana T " =[ 0 0 1 0 0 1 0 0 Selanjutnya dengan pembagian perspektif, kita dapatkan Xs = X/w Ys = Y/w Zs = Z/w Di dalam pryeksi sejajar (parallel prjectin), jika bidang pandang adalah nrmal terhadap arah pryeksi maka pryeksi tersebut adalah rthgraphic dan kita dapatkan: Y. = Yv Zv = 0 Yang dinyatakan sebagai sebuah matriks 1 0 0 0 1 0 0 Trt = 0 0 0 0 000 1 [ ] Kini kita lihat beberapa cnth sederhana yang melukiskan bagaimana parameter dalam sistem pandang III mengubah pryeksi sebuah byek yang sederhana. Gambar 3.8 memperlihatkan lima pryeksi, yaitu:
86 Pengantar Kmputer Grafik (a).,i (b) (e) (d) fe) Gambar 3.8 Lima cnth sistem pandang III. (a) Pandangan referenslv' ditetapkan pada (0,0,1) - kamera yang sebenarnya dalam psisi ke atas. (b) Seperti (a) kecuali bahwa C dipindahkan menjauh dari titik asal krdinat tiga-dimensl(c) V ditentukan sebuah kmpneny yang bukan nl - ekuivalen dengan mertasikan kamera yang sebenarnya di sekitar arah pandangnya. (d) Seperti pandang (a) akan tetapi N diubah dengan mertasi di sekitar sumbu Zw(memperbesar kmpnen y). (e) Seperti pandang (a) kecuali bahwa keduajarak titik pandang dari titik asal adalah d, jarak bidang pandang, dikurangi menjadi bilangan bulat kecil dengan efek perspektifyang diperbesar.
Sistem Pandang 87 (a) (b) (c) (d) (e) Gambar referensi yang dipusatkan pada titik asal"krdinattiga-dimensi. V', vektr atas, ditetapkan pada (0,0,1). Yaitu, kamera yang sebenamya (virtual camera) berada dalam psisi ke atas. Di mana "atas" dianggap sebagai arab yangditentukanleh sumbuz",. Pandangan ini seperti (a) kecuali bahwa titik C dipindabkan semakin jauh dari titik asal krdinat tiga-dimensi. Arah pandang yang sarna dipertahankan. Pandangan ini seperti (a) kecuali bahwa V ditentukan sebagai sebuah kmpnen y - ekuivalen dengan mertasi kamera tersebut di sekitar arah yang ditunjuk. Pandangan ini seperti (a) tetapi N diubah dengan mertasinya di sekitar sumbu z'"(dengan memperbesar kmpneny). Seperti (a) kecuali bahwa jarak titik pandang dari titik asal dan d, jarak bidang pandang, dikurangi menjadi bilangan bulat kecil dan menjadi dapat dibedakan dengan memperluas byek tersebut. Ini merupakan efek perspektifyang diperbesar. 3.6 Sistem pandang IV Ringkasan ciri sistem pandang ini adalah: (1) Persyaratan Antarmuka (interface) adalah: (a) dua vektr dan satu titik, dan (b) satu jarak bidang pandang (yang juga jarak jarak bidang jauh. bidang dekat) dan satu (2) Vlume pandang ditentukan akan tetapi bidang pandang dibatasi berdekatan dengan bidang dekat. (3) Jendela pandang ditentukan tetapi merupakan persegi dan diatur simetris di sekitar 'pusat' bidang pandang. (4) Pusat pryeksi adalah titik pandang dan pryeksi perspektif digunakan. Sampai saat ini kita tidak menggunakan knsep vlume pandang dalam sistem pandang yang disederhanakan. Ini berarti bahwa dalam sistem pandang I-III semua infrmasi dalam gambar tersebut dipryeksikan pada bidang pandang. Hal ini memiliki dua implikasi. Pertama, karena kita tidak menggunakan vlume
88 Pengantar Kmputer Grajik pandang kita bergantung pada algritma pengklipingan dua-dimensi untuk mengeliminasi infrmasi dalam bidang pandang yangjatuh di luar jendela bidang pandang. Ini baik untuk tampilan bingkai kawat, karena utilitas penggambar garis (line-drawing utilities) yang akan kita gunakan hampir selalu memiliki utilitas pengklipingan yang berhubungan dengannya. Akan tetapi untuk gambar dari hasil "rendering" segala sesuatu tidak begitu sederhana. Kedua, untuk pryeksi agar dapat dimengerti kita harus menjamin bahwa titik pandang se/a/u berada di luar vlume tersebut yang mencakup seluruh gambar. Pryeksi ini tidak dapat dimengerti, misalnya, untuk memasukkan infrmasi pryeksi yang berada dibelakang titik pandang. Sejauh ini yang diperhatikan adalah pipeline rendering tiga-dimensi yang umum, kita perlu mendefinisikan vlume pandang. Ini merup~kan piramida pancung dalam ruang pandang terhadap plign yang kita klip yang menyusun gambar tersebut. Untuk menentukan vlume pandang ini kita perlu menentukan sebuah bidang dekat, sebuah bidang jauh dan sebuah jendela bidang pandang (Gambar 3.9). Dalam sistem ini kita membuat penyederhanaan atau batasan bahwa bidang dekat harus berimpitan dengan bidang pandang. Juga untuk menyederhanakan matematika kita menentukan sebuah jendela bidang pandang yang ditentukan secara simetris di sekitar pusat bidang pandang (perptngan garis dari titik pandang C yang searah dengan arah pandang dan bidang pandang). Ini adalah sebuah sistem yang tampak dalam buku pelajaran klas.ik mengenai grafik kmputer (newman dan Sprull, 1981). Secara sepintas, sebagai catatan dari Gambar 3.9 bahwa sistem seperti ini (grafik kmputer) berbeda secara nyata dengan sistem kamera real dalam hal infrmasi dengan segera di depan kamera yang dapat dikliping. Sebu~h kamera real tidak memiliki (kecuali dalam bentuk pembatasan ptik) bidan.g dekat dan bidang jauh. Kemudian vlume pandang ditentukan leh enam bidang: h- Xv =:t~ d h.,. )'v= +~ - d Zv= d Zv= f dimana
Sistem Pandang 89 hz, x'=-7 y\ x, -. Y'=-7 h:, Gambar 3.9 Sistem pandang IV: pandang bentuk bangun terpancung (frustum) yang dibentuk leh enam bidang dan vlume f'andang. Ini merupakan sebuah sistem krdinat tangan-kiri. 2h adalah dimensi jendela bidang pandang d adalah jarak bidang pandang dan jarak bidang dekat f adalah jarak bidang jauh Pelat (plate) 2 memperlihatkan interaksi sebuah byek dengan sebuah vlume pandang dimana byek tersebut sebagian berada di dalam dan sebagian berada diluar vlume pandang. 3.7 Pryeksi bidang pan dang untuk sistem pandang IV Kini kita memerlukan Tpersdalam bentuk parameter ini. Juga pada tahap ini kita mendefinisikan knsep ruang layar tiga-dimensi dan sebuah titik dalam ruang terse but sebagai: [xsj's,zs, 1] dimana kita perlu menetapkan Zspada nilai tertentu (selain z.). Alasan untuk hal ini adalah bahwa pengklipingan tiga-dimensi yang terbaik dilakukan dalam ruang ini untuk alasan yang akan diuraikan dalam Bagian 3.8. Juga, pilihan yang paling ppuler bagi penghilangan permukaan yang tersembunyi, algritma penyangga-z (Bab 5), harus dilaksanakan dalam ruang ini. (Algritma penyangga-z dapat
90 Pengantar Kmputer Grafik digunakan untuk sistem pandang I-III dengan Zs ditetapkan sarna dengan zv). Pertimbangan kedalaman ruang layar adalah sebagai berikut: (1) Zsperlu dinrmalkan sehingga ketepatannya maksimum. (2) "Garis-garis dalam bidang pandang memerlukan transfrmasi menjadi, garisgaris dalam ruang layar. (3) Bidang-bidang dalam ruangpandang memerlukan transfrmasi menjadi bidang-bidang dalam ruang layar. Ini dapat diperlihatkan (leh Newman dan Sprull, 1981) bahwa syarat ini dipenuhi asalkan transfrmasi z mengambil bentuk: Z.I.= A + B/zv dimana A dan B adalah knstanta. Knstanta ini ditentukan dari batasan berikut 1m: (1) Memilihan B < 0 sedemikian rupa sehingga ketika Zvbertambah maka Zsjuga bertambah. Ini menjaga gagasan intuisi kita mengenai kedalaman. Jika satu titik berada di belakang titik yang lain, maka titik ini akan memiliki nilai Zv yang lebih besar; jika B < 0 titik ini juga akan memiliki nilai Zsyang lebih besar. (2) menrmalkan rentang (range) nilai Zs sedemikian rupa sehingga rentang Zv [dj] memetakan ke dalam rentang Zv E [0,1]. Transfrmasi perspektif penuh kini ditentukan leh: Xv X, = d-,l:y Vv - d-=-- y, - h::.v 10 - d!::.v) Z, = 1- d dimana penambahan knstan, h, tampak dalam transfrmasi tersebut untuk X.Idan YI,memastikan bahwa nilai ini berada dalam rentang [-1,1] pada layar persegi. Dengan mengambil manipulasi yang sarna dengan yang terdapat pada Bagian 3.5, kita mendapatkan d X=-,;xv
Sistem Pandang 91 d Y="hYv Z = fzv/(f - d) - df/u - d) w = Zv menghasilkan [X Y Z w] = [xv Yv Zv 1] Tp<:~ dimana: d/h flu - d) -df/(f - d) I] (3.1) Ini kemudian diikuti leh apa yang disebut dengan sifat dasar pembagian perspektif untuk membangkit citra perspektif (perspective image). Ini mengubah titik hmgen (X;Y,Z,w) menjadi sebuah titik tiga-dimensi dalam ruang layar (x."y,,z..): xs = X/w Ys= Y/w Zs= Z/w Ini merupakan instruksi untuk mengubah matriks (3.1) menjadi sebuah perkalian dari dua buah matriks: d/h 0 _ 0 d/h Tpe~ - 0 0 1!/(f - d) [ 0 ~] [~ - fd/(f - d) f] = Tpe~l Tpe~~ Hal ini memungkinkan visualisasi grafik yang berguna pada suatu prses. Matriks yang pertama adalah penyekalaan (dlh) dalam x dan y. Ini mengubah sebuah vlume pandang dari piramida terptng (truncated pyramid) dengan sisi miring pada sudut yang ditentukan leh hid ke dalam sebuah piramida teratur (regular pyramid) dengan sisi miring pada sudut 45 (Gambar 3.10). Sebagai cnth, titik: (O.h.d,l) ditransfrmasikan ke (0.d.d.1) 1
92 Pengantar Kmputer Grafik,..' View vlume (al I I I I Near plane z, Far plane (U.d.dl -, y. +1 z, -I Near plane (e) Far plane Gambar 3.10 Transfnnasi vlume pandang ke dalam vlume pandang kannikal (sebuah ktak) dengan menggunakan dua buah transfnnasi matriks.