. IMPLEMENTASI MATRIKS PADA MATEMATIKA BISNIS DAN EKONOMI

Techn.COM, Vl. JJ, N.2, Mei 2012: 74-81. IMPLEMENTASI MATRIKS PADA MATEMATIKA BISNIS DAN EKONOMI Yuniarsi Rahayu'), Bw Nurhadiyn') l,l)p,.gram Sludi Teknik Infrmatika, Falrultas Ilmu Kmputer Universitas Dian Nuswantr Semarang JI. Nalrula I N.5-II Semarang 50131 Telp : (024) 3517261, Fax: (024) 3520165 E-mail: vuniarsir@dscti.dinus.ac.id Abstrak Penelitian ini membahas tentang analisis masukan-keluaran yang merupakan salah satu penerapan matriks dan sebagai mdel matematika untuk menganalisis struktur pereknmian yang saling berhubungan antara kegiatan eknmi. Matematika penting sekali untuk dipelajari dan dikuasai, dikarenakan suatu kasus membutuhkan pemahaman yang berbentuk matematis yaitu pemdelan matematika. Metde yang digunakan adalah Metde Invers Matriks dan Metde Eliminasi Gauss-Jrdan. Perhitungan inl menggunakan alat bantu Matlab (matrix labratry) yang memungkinkan untuk menangani kalkulasi matematis dengan cara yang mudah. Kata kunci: Matriks, Metde, Input-Output Abstract This study discusses the input-utput analysis, which is ne applicatin f the matrix and as a mathematical mdel t analyze the ecnmic structure f the mutual relatinship between ecnmic activity. Mathematics is imprtant t be learned and mastered, as the case requires an understanding f the mathematical frm f mathematical mdeling. The methd used is the inverse matrix methd and the Gauss-Jrdan eliminatin methd, This calculatin uses the tls Matlab (matrix labratry) which allws t handle the mathematical calculatins in an easy way. Keywrds: matrix, methd, input-utput. 1. PENDAHULUAN Matematika merupakan ilmu dasar yang mendasari dan melayani berbagai ilmu pengetahuan lain yang sangat diperiukan untuk keperluan perkembangan teknlgi dan ilmu pengetahuan mdem. Oleh karena itu matematika sebagai ilmu dasar. sangatlah penting digunakan untuk mengkaji semua ilmu dialam semesta ini, sehingga perkembangan teknlgi bisa dimanfaatkan leh manusia. Dalam. perkembangannya berbagai masalah timbul misalnya dalam bidang eknmi, industri, pertanian serta kesehatan dapat dipecahkan dengan pendekatan matematis. Dengan pendekatan matematis maka akim terbentuk suatu pemdelan matematika.!, 74

Techn.COM, Vl. 11, N.2, Mei 2012: 74-81 75 Analisis input-utput dikembangkann leh serang eknm bemama.w~ily W. Lentif, pada tahun 1930-an di. Amerika. Tujuan dari analisis inpututput adalah untuk menentukanberapa banyak tingkat utput dari setiap industri yang harus diprduksi dalam suatu pereknmian, agar supaya dapat memenuhi ttal permintaan terhadap prduk secara pasti. Langkah awal dalam analisis input-utput adalah diperlukan 3 macam matriks utama yaitu matriks transaksi, matriks-matriks kefisien teknis, dan matriks kefisien ttal. Seiring deng!!jl pesatnya perkembangan teknlgi dan kemajuan zaman, diperlukan ketelitian yang tinggi dalam teknik kmputasinya. Teknik kmputasi merupakan cabang ilmu yang khusus mempelajari pelaksanaan kmputer menuju tujuan akhir. Banyak persalan matematika perlu dukungan kmputer. Dalam metde kmputasi dilakukan penguasaan teri dan cara empirik, leh karena itu diperlukan mdel matematika. Kalkulasi dengan menggunakan matriks dapat lebih mudah dilakukan dengan menggunakan teknlgi sebagai alat bantu. Oleh karena itu dalam menyelesaikan mdel matematika diperlukan suatu prgram bantu, dalam hal ini sebagai prgram bantu adalah Matlab. MATLAB merupakan sebuah bahasa highpefrmance untuk kmputasi teknis. Sebuah prgram untuk analisis dan kmputasi numerik dan merupakan pemrgraman matematika lanjutan yang dibentuk dengan dasar pemikiran menggunakan sifat dan bentuk matriks. MA TLAB singkatan dari Matrix Labratry. Matlab mengintegrasikan perhitungan, visualisasi, dan pemrgraman dalam suatu lingkungan yang mudah digunakan di mana permasalahan dan slusi dinyatakan dalan ntasi secara matematis yang dikenal umum. Matlab dapat digunakan sebagai :,.kalkulatr ilmiah yang memung1cinkap. akses. terhadap kemampuan aljabar kmputer. Sebuah kalkulatr yang dapat diprgram, dapat membtiat,.. mengeksekusi dan menyimpan urutan perintah sehingga memungkinkan kmputasi dilakukan secara tmatis. 2. PEMBAHASAN 2.1 Matriks dan Relasi Matriks adalah susunan skalar elemenelemen dalam bentuk baris dan klm. Matriks A yang berukuran dari m baris dan n klm (rnxn) adalah a2l 322 run ani &2 au.:. Misal R adalah relasi dari A = {ai,a2,... am} dan B = {bi, b 2, b,,}. R dapat disajikan dengan matriks M = [mij] M= mil ml2 mlm m21 mml m22 mm2 Dengan kata lain: Mij= 1, (ai,bj) E R [ 0, (3i,bj) ~ R al

Techn.COM, Vl. 11, N.2, Mei 20/2: 74-81 76 2.2 Matriks Kefisein Teknis Dalam pembahasan tentang analisa input-utput untuk menyusunnya digunakan tabel. Pada tabel 1, ttal utput dari semua sektr ditunjukkan leh XI, X 2,...,X n Ttal permintaan akhir dari seluruh sektr ditunjukkan leh 01, 02,..., On; sedang ttal input pnmer dari setiap sektr ditunjukkan leh Vb V 2,... V n Tabel tersebut dinamakan matriks transaksi atau matriks input-utput adalah sebagai berikut: Sektr Pembelian (klm) Sektr tp t) Pennintaan Antara Pemakai u U Sektr (indut) i ~ 1,2,...,n... XII X 12.... Sektr Prduksi X21 X 22..... (baris).~ Prduksi X,I X.,... Ttal Input Primer VI V,... V, Ttal Input XI X,... X, Ttal Permintaan Akhir Ttal Output XI, D, XI X" D, X, X,n D, X, Gambar 1. Matriks Transaksi yang Disederhanakan (Jsep Bintang Kalangi, 2005) Pada gambar I, diberikan suatu mdel matematika dalam bentuk persamaan linier sebagai berikut : all al2 (3) x, ~ XII + X 12 +... + XI, + 0, X, ~ X'I + X 22 +... + X" + 0, Xn ~ X" + X., +... + X +On (I) ani &2 linn Dari persamaan (2) dan (3) maka akan diperleh persamaan : Jika nilai setiap unsur dalam matriks transaksi dibagi dengan jumlah baris atau nilai jumlah klm yang bersesuaian maka diperleh perbandingan sebagai berikut : Xii a'j = Ai (2) Sedang matriks kefisien teknisnya ditunjukkan leh matriks A. XI=a'IXI+a"X,+... +alnxn +01 } X, ~ a21 X, + a22x, +... + a'nxn + 0,... (4)... Xn = a,xi + a",x, +... + axn + 0, Dari persamaan (4) maka persamaan tersebut akan diubah sebagai berikut : (I-all) XI - al2 X2 -... - aln X, ~ DI -a,1 XI + (1- a22) X, -... - a2, X, ~ D, -linl XI - a", X2 -... +(1- linn) X,~ D, (5)

Techn.COM, Vl. 11, N.2, Mei 2012: 74-81 77 Sistem persamaan linier (5) dapat ditulis dalam bentuk matriks sebagai berikut (1- all) - an -a21 (I-an) D, (6) Dan dapat ditulis sebagai berikut : (I-A) X = 0, sehingga didapat X = (I-Arl 0 Keterangan : X = vektr utput (variabel XI, X 2,..,X n ) = vektr permintaan akhir (knstanta) I = Matriks identitas A = Matriks kefisien teknis atau matriks kefisien input (I-A) = Matriks teknlgi 2.3 Matriks Kefisien Saling Ketergantungan Merupakan matriks yang diperleh dari matriks teknlgi yang telah diinverskan atau (I-A) -I. Langkah-langkah untuk memperleh tingkat keseimbangan utput X guna memenuhi permintaan antara dan permintaan akhir dari suatu pereknmian adalah : a. Membuat matriks transaksi b. Membuat matriks kefisien teknis atau input (aij) c. Menghitung matriks teknlgi d. Mencari matriks kefisien saling ketergantungan, yaitu invers dari matriks teknlgi jika ada e. Mengalikan invers dari matriks teknlgi dengan vektr permintaan akhir 0, agar dapat memperleh nilai utput X. Cnth kasus dari analisis input-utput dimulai dari matriks transaksi yang terlihat pada tabel I sebagai berikut : Tabel 1. Matriks Transaksi Permintaan Antara ~ Pertania Industri Input Pcrtanian 14.675 Industri 11.875 ~ '" Jasa dan lainnya 15.234 ::> l;i Input Primer g~ 21.74 TtalIIlput 63.524 Jasa da Lainnya Permintaan Akbir Ttal Output 25.832 12.786 10.231 63.524 13.987 25.653 9.165 60.68 11.897 23.752 10.432 61.315 8.964 9.124 60.68 71.315 Pada tabel I, baris pertama pada sektr pertanian bahwa seluruh utput pertanian adalah 63.524, senilai 14.675 dipergunakan untuk sektmya sendiri sebagai input, senilai 25.832 digunakan sektr industri sebagai input sektr tersebut, senilai 12.786 dipergunakan sektr jasa dan lainnya sebagai input sektr tersebut dan senilai 10.231 sebagai permintaan akhirnya. Pembacaan pada klm pertama yaitu pada sektr pertanian, seluruh uptput sektr pertanian senilai 63.524. Senilai 14.675 merupakan inputan dari sektr sendiri. Senilai 11.875 merupakan inputan sektr industri. Senilai 15.234

Techn.COM, Vl. 11, N.2, Mei 2012: 74-81 78 merupakan inputan dari sektr jasa dan lainnya. Sedang senilai 21.74 merupakan inputan primer. Pada masing-masing sektr yaitu sektr pertanian, sektr industri, sektr jasa dan lainnya mempunyai target yang terlihat pada tabel 1. Terlihat bahwa target permintaan akhir dari masingmasing sektr untuk pertanian, industri, jasa dan lainnya adalah sebagai berikut : Tabell. Tabel Matriks KellSien Teknis :~ Pertanian Inpu Perrnintaan Antara Industri Jas. dan Lainnya Pertanian 0.2310 0.4257 0.1793 ~ Industri 0.1869 0.2305 0.3597 ~ Jasa dan 02398 0.1961 0.3331 :; lainny.e" Input Primer 0.3422 0.1477 0.1279 Tt.1 Input 1.000 1.000 1.000 Pada gam bar 2, terlihat prgram dengan menggunakan matlab untuk menghitung nilai-nilai utput X dari masing-masing sektr tersebut. clear all A~[0.2310 0.4217 0.1793:0.1869 0.2305 0.3591 : 0.2)98 0.1961 0.3331[ 1~[1 0 0:0 1 0:0 0 11 C~l-A B~inv[CI 0~[63.S24: 60.68: 61.3151 X~B'D Gambar 2. Prgram Menear; XI> Xb X3 Terlihat gambar 2, langkah awal baris 1 cmmand clc unntuk membersihkan layar, baris 2 untuk menghapus semua variable.baris 3 matriks A yang merupakan matriks kefisien teknis atau input, selanjutnya baris 4 memberikan matriks identitas. Baris 5 yaitu 1. Untuk sektr pertanian ditargetkan peningkatan dari 10.231 menjadi 63.524 2. Untuk sektr industri ditargetkan peningkatan dari 9.165 menjadi 60.68 3. Untuk sektr pertanian ditargetkan peningkatan dari 10.432 menjadi 61.315 Dari tabel 1, dibentuk matriks kefisien teknis atau input pada tabel 2. menghitung matriks C yang merupakan matriks teknlgi diperleh dari mengurangkan matriks identitas dengan matriks kefisien teknis (A). Baris 6 untuk mengetahui hasil determinan dari C selanjutnya pada baris 7 akan menghitung invers dari matriks C. Baris 8 menampilkan nilai dari vektr permintaan akhir D. Untuk memperleh nilai-nilai utput X terlihat baris 9. Hasil dari prgram dari gambar 2 adalah sebagai berikut :» 0.2310 0.4257 0.1793 0.1869 0.2305 0.3597 0.2398 0.1961 0.3331 ]= 1 0 0 1 0 0 1 c= 0.7690-0.4257-0.1793-0.1869 0.7695-0.3597-0.2398-0.1961 0.6669 E= 0.2110 B= 2.0983 1.5125 1.3799 0.9997 2.2273 1.4701 1.0485 1.1988 2.4279 D= 63.5240 60.6800 61.3150 X= 309.6752 288.7950 288.2108 Gambar 3. Hasil prgram gambar 2

Techn.COM, Vl. 11, N.2, Mei 2012: 74-81 79 2.4 Metde Eliminasi Gans-Jrdan Metde yang digunakan dalam pembahasan Ill! adalah Metde Eliminasi Gauss-Jrdan. Metde Eleminasi Gauss-Jrdan merupakan variasi dari metde eliminasi Gauss yang hasilnya lebih sederhana. Caranya dengan meneruskan perasi baris dari eliminasi Gauss sehingga akan menghasilkan matriks yang Eselnbaris tereduksi. Bentuk matriks Eliminasi Gauss-Jrdan ditulis sebagai berikut: all al2 a"... aid b l 1 0... 0 b l ' a" a" a23... az n b, 0 1 0... 0 b,' a'i a32 a"... a3n b, 0 1... 0 b; a.1 a., a",... a". b. 000... 1 b 0 ' Slusinya: Cnth pada kasus pada tabel I, dapat juga diselesaikan dengan menggunakan metde Eleminasi Gauss-Jrdan seperti terlihat pada gambar 4. clear all E'[0.2310 0.4251 0.1193;0.1869 0.2305 0.3591 ; 0.23980.1961 0.3331] ]'[1 0 0;0 1 0;0 0 I] C,] -E A'[Cll,l) Cll,2) Cll,3) 63.524;CI2,1) C12,2) CI2,3) 60.68;CI3,1) C13,2) C(3,3) 61.315] All,:) 'All,: )/!II,I) AI2,:),AI2,: )-AI2,1) 'All,:) AI3,:) 'AI3,:) -AI3,1) 'All,:) AI2,:),AI2,:) /AI2,2) All,:) 'All,: )-All,2) 'A12,: ) A13,: )'AI3,: )-AI3,2) 'AI2,:) A13,: )'AI3,:) /AI3,3) All,:) 'All,: )-AII,3) 'AI3,:) AI2,:),AI2,:) -AI2,3) 'AI3,:) Gambar 4. Metde Elirninasi Gauss-Jrdan Terlihat gambar 4, langkah awal baris I cmmand c1c unntuk membersihkan layar, baris 2 untuk menghapus semua variable.baris 3 matriks E yang merupakan matriks kefisien teknis atau input, selanjutnya baris 4 memberikan matriks identitas. Baris 5 yaitu menghitung matriks C yang merupakan matriks teknlgi diperleh dari mengurangkan matriks identitas dengan matriks kefisien teknis (E). Baris 6 adalah menentukan matriks A yang akan dihitung dengan menggunakan metde Eliminasi Gauss Jrdan. Baris 7 merupakan prses perhitungan matriks A yang merupakan hasil dari matriks X dari masing-masing sektr yang dihitung.

Techn.COM, Vl. 11, N.2, Me; 2012: 74-8/ 80 Hasil prgram pada gambar 4 terlihat sebagai berikut ; E= 0.23ID 0.4257 0.1793 0.1869 0.2305 0.3597 0.2398 0.1961 0.3331 1= 100 1 0 0 1 c= 0.7690-0.4257-0.1793-0.1869 0.7695-0.3597-0.2398-0.1961 0.6669 0.7690-0.4257-0.1793 63.5240-0.1869 0.7695-0.3597 60.6800-0.2398-0.1961 0.6669 61.3150-0.5536-0.2332 82.6060-0.1869 0.7695-0.3597 60.6800-0.2398-0.1961 0.6669 61.3150-0.2398-0.5536-0.2332 82.6060 0.6660-0.4033 76.1191-0.1961 0.6669 61.3150-0.5536-0.2332 82.6060 0.6660-0.4033 76.1191-0.3288 0.61ID 81.1239-0.5536-0.3288-0.3288-0.2332 82.6060-0.6055 114.2866 0.61 ID 81.1239-0.5683 145.8723-0.6055 114.2866 0.6110 81.1239-0.5683 145.8723-0.6055 114.2866 0.4119 118.7068-0.5683-0.6055 145.8723 114.2866 288.2ID8 309.6752-0.6055 114.2866 288.2ID8 309.6752 288.7950 288.2108 Dari prgram perhitungan pada gambar 2 dan gambar 4, maka akan diperleh hasil supaya dapat memenuhi tingkat permintaan sektr terbuka, yaitu sektr pertanian (XI) sebesar 309.6752, sektr industri (Xl) sebesar 288.7950, dan sektr jasa dan lainnya (Xl) sebesar 288.2108. Jadi Tabel Matriks transaksi yaitu tabel I, maka masing-masing sektr terilihat perkembangan dari ttal utputnya. 1. Sektr Pertanian dari 63.524 teijadi peningkatan menjadi 309.6752 2. Sektr Industri dari 60.68 teijadi peningkatan menjadi 288.7950 3. Sektr Jasa dan lainnya dari 61.315 teijadi peningkatan menjadi 288.2108 4. SIMPULAN 1. Analisis input-utput mempakan analisis untuk menentukan berapa ban yak tingkat utput dari setiap industri yang hams diprduksi dalam suatu pereknmian, agar supaya dapat memenuhi ttal permintaan terhadap prduk secara pasti. 2. Relasi yang terbentuk menggunakan matriks transaksi dan matriks tcknlgi dengan perhitungan selanjutnya digunakan metde myers dan metde Eliminasi Gauss Jrdan.

Techn.COM, Vl. 11, N.2, Mei 2012: 74-81 81 3. Dengan menggunakan MatIab sebagai alat bantu perhitungan, maka dengan hasil masing-masing sektr adalah sebagai berikut : untuk sektr pertanian 309.6752, sektr industri 288.7950 serta sektr jasa dan lainnya sebesar 288.2108 4. Dengan demikian masih banyak cnth- cnth yang perlu dibahas lebih lanjut, sehingga masih ban yak implementasi-implementasi lainnya dalam matriks, pemahaman penggunaan MatIab sebagai alat bantu dalam matematika juga akan lebih jelas. DAFTAR PUSTAKA [I] Amrinsyah Nasutin & Hasballah Zakaria, 2001, "Metde Numerik dalam I1mu Rekayasa Sipil", ITB Bandung, [2] Ardi Pujiyanta, 2007, "Kmputasi Numerik dengan Matlab", Graha Ilmu [3] Bambang Triatmdjj,2008, "Metde Numerik", Beta Offset [4] Duance Hanselman & Bruce Littlefield, "Matlab Bahasa Kmputasi Teknis", Penerbit andi Ygyakarta [5] Dumairy, 2004, "Matematika Terapan untuk Bisnis dan Eknmi", Ygyakarta Penerbit BPFE, [6] Jsep Bintang Kalangi, 2005, "'Matematika Eknmi dan Bisnis", Penerbit Salemba Empat [7] Kasiman Peranginangin, 2006, "Pengenalan Matlab", CV. Andi Offset, Y gyakarta [8] Renaldi Munir,2006, "Metde Numerik", Infrmatika Bandung [9] Renaldi Munir,2006 "Matematika Diskrit", Infrmatika Bandung [10] Suryadi D.,H.S. Harini. M,, 1985. "Teri dan Sal Pendahuluan Aljabar Linier", Ghalia Indnesia, Jakarta