UJI LINEARITAS DATA TIME SERIES DENGAN RESET TEST

Vol. 7. No. 3, 36-44, Desember 004, ISSN : 1410-8518 UJI LINEARITAS DATA TIME SERIES DENGAN RESET TEST Budi Warsio, Dwi Ispriyani Jurusan Maemaia FMIPA Universias Diponegoro Absra Tulisan ini membahas prosedur pengujian linearias daa ime series menggunaan uji RESET es versi Ramsey dan Lagrange Muliplier. Uji yang digunaan adalah uji yang elah diperbaii dengan pembenuan omponen uama dari benu polinomial pada persamaan uji. Prosedur uji emudian dierapan pada daa simulasi unu model linear AR(), AR() dengan oulier dan model nonlinear LSTAR() dengan n = 00. Pengujian menunjuan hasil yang mirip dianara edua uji dimana daa simulasi dari model linear ida menjamin elinearan, sedangan daa simulasi model nonlinear secara signifian berbenu nonlinear pada araf 5%. Kaa unci : linearias, RESET es, daa simulasi 1. PENDAHULUAN Spesifiasi dan esimasi model ime series univaria elah diembangan oleh Box- Jenins dengan model ARIMA. Dalam beberapa asus hubungan dianara variabelvariabelnya mempunyai ecenderungan berbenu nonlinear. Dengan pemiiran ersebu, perlu dilauan uji apaah suau dere berala dibangun menuru model linear aau nonlinear (Lee, e. al., 1993). Ada banya uji yang dapa dilauan. Tulisan ini aan membahas uji linearias dengan RESET Tes (Regression Error Specificaion Tes) versi Ramsey dan Lagrange Muliplier emudian diapliasian pada daa simulasi model AR(), AR() dengan oulier dan LSTAR() ' Misalan {Z } merupaan proses sohasi dan parisinya adalah ( ) ' Z = y, X dimana y suau salar dan X adalah veor x 1. Proses {y } diaaan linear dalam mean bersyara pada X jia ' [ E( y X ) = X θ *] = 1 P unu suau θ * R (1) 36

Uji Linearias Daa Time Series dengan.. ( Budi Warsio, Dwi Ispriyani ) Sebagai alernaifnya yaiu y ida linear dalam mean bersyara pada X jia ' [ E( y X ) = X θ ] < 1 P unu suau θ R () Jia benu alernaif pada () benar maa suau model linear diaaan sebagai negleced nonlineariy. Pada ondisi ini perlu dibangun model nonlinear unu esimasi model yang lebih sesuai. Langah awal yang dilauan pada uji linearias adalah membangun model linear. Secara husus pada ulisan ini dienuan daa awal yang digunaan adalah model AR(p) emudian uji dierapan pada residual eresimasi. Dalam praenya, berbagai model linear yang lain juga dapa digunaan sebagai model awal.. MODEL TIME SERIES Benu umum model linear AR(p) dengan mean µ = 0 adalah y = θ X ' + eˆ (3) dimana X ( y, y,..., y )' =, θ ( θ,..., ) 1 p = 1 θ p sedangan e adalah whie noise berdisribusi ideni dan independen dengan mean nol dan varian onsan σ aau e i.i.d(0, σ ) yaiu [ e x, x,...] 0 E 1 = dan var (e ) = σ. Model AR(p) yang erbenu dari suau proses ime series seperi pada (3) merupaan benu model linear. Jia daa menunjuan ecenderungan nonlinear maa diperluan esimasi pembenuan model nonlinear yang sesuai dan diharapan mempunyai eauraan predisi yang lebih inggi. Beberapa ipe model non linear elah diembangan. Benu umum model linear AR(p) dalam asus nonlinear adalah model nonlinear auoregressive (NAR) yaiu ( y, y,, y p ) e y = h 1 + (4) dimana h adalah fungsi smoohing, ( e y, y,, y ) 0 E dan variansinya 1 p = Predior opimal dari y dengan meminimuman MSE adalah ( x x, x,, x ) = h( x,, x ) p 1 σ. xˆ = E 1 p 1 p + (5) 37

Vol. 7. No. 3, 36-44, Desember 004, ISSN : 1410-8518 3. UJI LINEARITAS 3.1 Ramsey RESET Tes RESET es perama ali diperenalan oleh Ramsey pada 1969 yang berawal dari ide bahwa jia ida erdapa nonlinearias maa berbagai ransformasi nonlinear dari f ( ' θˆ = X ) ida memberian manfaa unu menyaaan y (Kim, e.al., 004). Prosedur uji pada RESET es dapa dijelasan sebagai beriu : (i) Regresian y pada X ' sehingga diperoleh model linear y = f + eˆ, dimana f ' = X θˆ (6) (ii) Tambahan model linear dalam benu eˆ f + + a f + ν unu suau = a... sehingga diperoleh model alernaif y = θ X ' + a f +... + a f + ν unu suau (7) (iii) Tes dilauan dengan menguji hipoesis H 0 : a = = a = 0. Jia eˆ ( eˆ,, ˆ ) = 1 e n adalah nilai-nilai residual predisi dari model linear pada (6) dan ˆ = ( vˆ,, ˆ ) ν 1 v n adalah residual dari model alernaif pada (7) maa saisi ujinya adalah RESET = [( eˆ' eˆ vˆ' vˆ [ ) / ( 1 )] ( vˆ' vˆ )/( n )] H 0 diola jia RESET > F(-1,n-). Unu uji ini nilai dienuan lebih dahulu. Model pada (7) dapa menimbulan olinearias pada variabel-variabel independennya sehingga dihindari dengan melauan langah-langah sebagai beriu : (i) Benu omponen-omponen uama dari ( f,, ) (ii) f Pilih p* < (-1) yang erbesar, ecuali omponen uama perama sedemiian hingga sudah ida olinear dengan X ' (8) 38

Uji Linearias Daa Time Series dengan.. ( Budi Warsio, Dwi Ispriyani ) (iii) Regresian y pada residual û. Saisi ujinya adalah RESET1 = [( eˆ' eˆ uˆ' uˆ [ ) / p* ] ( uˆ' uˆ )/( n )] H 0 diola jia RESET1 > F(p*,n-). X ' dan hasil dari (i) dan (ii) sehingga menghasilan (9) 3. Uji Lagrange Muliplier Uji ini merupaan alernaif dari RESET es (Gujarai, 003). Prosedur uji ini dijelasan sebagai beriu (i) Regresian y pada X ' sehingga diperoleh model linear y = f + eˆ, dimana f ' = X θˆ (10) (ii) Regresian ê pada ' X dan f f,..., e ˆ = θ X + a f +... + a f + u unu suau (11) mendapaan saisi R. (iii) Tes dilauan dengan menguji hipoesis H 0 : a = = a = 0. Jia uˆ ( uˆ,, ˆ ) = 1 u n adalah residual dari model alernaif pada (11) maa saisi ujinya adalah RESET = nr (1) H 0 diola jia RESET > χ ( 1). Kajian eorii beraian dengan pendeaan asimois d χ nr dapa diliha pada Kim, e.al. (004). Sebagaimana dalam Ramsey RESET es, unu uji ini nilai dienuan lebih dahulu dan unu menghindari olinearias dilauan langah-langah sebagai beriu : (i) Benu omponen-omponen uama dari ( f,, ) (ii) f Pilih p* < (-1) yang erbesar, ecuali omponen uama perama sedemiian hingga sudah ida olinear dengan X ' 39

Vol. 7. No. 3, 36-44, Desember 004, ISSN : 1410-8518 (iii) Regresian e pada Saisi ujinya adalah X ' dan hasil dari (i) dan (ii) sehingga menghasilan R. RESET = nr (13) p H 0 diola jia RESET > χ ( *). 4. APLIKASI PADA DATA SIMULASI Pada bagian ini aan dibangian 00 daa random masing-masing berbenu model linear dan nonlinear yaiu AR(), AR() dengan oulier dan LSTAR() emudian dilauan uji linearias dengan edua jenis uji dimana dipilih nilai = 5 dan p* =1. (i) Model AR() Pada model ini dibangian daa random AR() dengan persamaan y = 1. y -1 0.5 y - + e dimana e N(1,0.5) (14) Diperoleh plo daa asli sebagai beriu : - 0 4 0 50 100 150 00 Time Gambar 1. Plo daa asli model simulasi AR() 40

Uji Linearias Daa Time Series dengan.. ( Budi Warsio, Dwi Ispriyani ) Plo pada gambar 1 menunjuan daa elah sasioner dan seelah dilauan perhiungan unu uji linearias dengan RESET es diperoleh hasil sebagaimana disajian pada abel 1, dimana anga perama adalah hasil perhiungan daa simulasi dan anga dalam anda urung adalah nilai riisnya. Tabel 1 Hasil uji linearias RESET es erhadap model AR() No Uji Hasil (n=00) 1 RESET 1 1.99 RESET 0.056 Hasil uji menunjuan bahwa daa simulasi model AR() secara meyainan menunjuan elineariasan yang diunjuan dengan nilai perhiungan yang jauh lebih ecil dari nilai riis pada edua uji. Dengan demiian model linear AR() memang sesuai unu daa ersebu. (ii) Model AR() dengan oulier Pada bagian ini dibangian daa random model AR() dengan persamaan (15) y = 1. y -1 0.5 y - + e dimana e N(1,0.5) dan y 101 = 5 merupaan oulier Diperoleh plo daa asli sebagai beriu : 41

Vol. 7. No. 3, 36-44, Desember 004, ISSN : 1410-8518 - 0 4 0 50 100 150 00 Time Gambar Plo daa asli model simulasi AR() dengan oulier Plo pada gambar menunjuan daa bersifa sasioner ecuali daa e 101 yang merupaan oulier. Hasil perhiungan disajian pada abel Tabel Hasil uji linearias RESET es erhadap model AR() dengan oulier No Uji Hasil (n=00) 1 RESET 1 38.90 RESET 3.80 Hasil perhiungan pada edua uji menunjuan bahwa model AR() mempunyai ecenderungan berbenu linear yang sanga lemah jia erdapa oulier pada daanya. Hal ini menunjuan adanya oulier sanga menganggu pembenuan model. Sanga dimunginan jia pada daa ini dipilih salah sau model nonlinear maa aan mendapaan predisi model yang lebih bai. Salah sau model alernaif unu pendeaan model nonlinear adalah Arificial Neural Newor (ANN) (Allende, a.al., 1999). (iii) Model LSTAR() Dibangian 00 daa random model logisic smooh ransiion auoregressive LSTAR() dengan persamaan 4

Uji Linearias Daa Time Series dengan.. ( Budi Warsio, Dwi Ispriyani ) y = 1.4y 1 0.8y + ( θ 0 0.8y 1 + 0.7 y ) F( y 1 ) + u (16) dimana 1 F( y 1 ) = [1 + exp{ γ ( y 1 0.03)}], θ 0 = 0.03, γ = 100, dan u N(0,0.5). Diperoleh plo daa asli sebagai beriu 0 50 100 150 00 Gambar 3 Plo daa asli model simulasi LSTAR() Plo daa asli menunjuan daa masih eap sasioner namun fluuasinya berlangsung lebih cepa dibanding model linear. Hasil perhiungan unu uji RESET disajian pada abel 3 Tabel 3 Hasil uji linearias RESET es erhadap model LSTAR() No Uji Hasil 1 RESET 1 5.07 RESET 3.85 Hasil perhiungan menunjuan bahwa edua uji RESET es pada daa yang dibangian dari model nonlinear LSTAR() menunjuan nonlinearias yang signifian pada araf 5%. 43

Vol. 7. No. 3, 36-44, Desember 004, ISSN : 1410-8518 5. PENUTUP Uji linearias perlu dilauan unu menghasilan model predisi yang bai unu daa ime series. Hasil pengujian dengan edua uji RESET es menunjuan bahwa daa yang dibangian dari model linear ida selalu menunjuan linear, eruama jia erdapa ondisi husus seperi oulier. Sedangan daa yang dibangian dari model nonlinear elah menunjuan nonlinearias yang signifian masing-masing pada araf 5%. DAFTAR PUSTAKA Allende, H., Moraga, C. and Salas, R., 1999, Arificial Neural Newors in Time Series Forecasing: A Comparaive Analysis, Research Gran BMBF RCH99/03 Gujarai, D.N., Basic Economerics, 4 h ediion, McGraw Hill, New Yor, 003 Lee, T.H., Whie., H. and Granger., C.W.J., Tesing for negleced nonlineariy in ime series models, Journal of Economerics, 56, 69-190, Norh-Holland, 1993. Kim, T.H., Lee., Y.S. and Newbold, P., Spurious Nonlinear Regressions in Economerics, woring paper, School of Economics, Universiy of Noingham, Noingham NG7 RD, UK, 004 Willeme, P., Sepember 16, Improving he Comparabiliy of Mone Carlo Power Sudies of Specificaion Tess: a Measure of Nonlineariy of he Daa Generaing Process, Woring Paper, Faculy of Applied Economics, Universiy of Anwerp, Belgium, 00. 44