BAB I PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang Masalah Keputusan yang nyata biasanya dibuat dalam keadaan ketidakpastian. Untuk memodelkan ketidakpastian, selama ini digunakan teori probabilitas yang ditemukan oleh Kolmogorov pada tahun 1933. Teori probabilitas merupakan cabang matematika yang mempelajari fenomena acak. Teori probabilitas hanya dapat digunakan untuk memodelkan frekuensi, atau dengan kata lain teori probabilitas dapat digunakan jika tersedia sampel untuk mengestimasi distribusinya. Namun, terkadang tidak ada sampel yang tersedia untuk mengestimasi distribusi probabilitas. Misalnya saja pada saat mengestimasi distribusi probabilitas masalah pengambilan bola sebagai berikut. Misalkan sebuah kotak berisi 100 bola. Bola-bola tersebut terdiri dari bola merah dan bola hitam, tetapi jumlah dari masing-masing bola tersebut tidak diketahui. Dalam hal ini tidak mungkin bisa diketahui probabilitas dari pengambilan masing-masing bola, sehingga tidak dapat diestimasi distribusinya. Tetapi, dalam masalah ini dapat diperoleh derajat kepercayaan untuk mengestimasi distribusinya. Sebagai contoh, derajat kepercayaan untuk pengambilan bola merah adalah 0.5 karena pengambilan bola merah dan pengambilan bola hitam memiliki kemungkinan yang sama. Jadi, derajat kepercayaan pengambilan bola hitam adalah sebesar 0.5 pula. Derajat kepercayaan sangat bergantung pada pengetahuan pribadi (bahkan termasuk sesuatu yang disukai) mengenai kejadian tersebut. Ketika pengetahuan pribadi berubah, derajat kepercayaan juga berubah. Hal ini menarik perhatian para peneliti, khususnya di bidang teori ketidakpastian, untuk menyelidiki teori ketidakpastian yang dapat memodelkan masalah tersebut. Pada tahun 2007, Liu menemukan teori uncertain untuk memodelkan ketidakpastian ketika sampel tidak tersedia. Pada teori uncertain digunakan derajat kepercayaan seper- 1
2 ti halnya sampel pada teori probabilitas. Derajat kepercayaan merepresentasikan kekuatan kepercayaan mengenai suatu kejadian akan terjadi. Jika pada teori probabilitas dibahas mengenai ukuran probabilitas, variabel random, distribusi probabilitas, sifat independen, nilai ekspektasi, variansi, proses stokastik, kalkulus stokastik dan persamaan diferensial stokastik, maka hal yang serupa juga dibahas pada teori uncertain. Mungkin beberapa orang berpikiran bahwa derajat kepercayaan adalah probabilitas subyektif atau konsep fuzzy. Namun, Liu(2012) menyatakan bahwa hal itu tidak benar karena keduanya teori probabilitas dan teori himpunan fuzzy dapat mengakibatkan hasil yang berlawanan. Yang menjadi fokus pembahasan pada skripsi ini adalah ukuran uncertain yang menjadi dasar pada teori uncertain. Untuk mendeskripsikan variabel uncertain dibahas pula distribusi uncertain dan invers distribusi uncertain yang digunakan untuk menentukan nilai ekspektasi dan variansi. Selain itu dibahas proses uncertain untuk memodelkan fenomena uncertain. Untuk mendeskripsikan proses uncertain dibahas pula distribusi uncertain dan invers distribusi uncertain dari proses uncertain. Selain itu dibahas konsep integral Liu untuk mengintegralkan proses uncertain terhadap proses Liu kanonik yang selanjutnya digunakan untuk menyelesaikan persamaan diferensial uncertain yang ditemukan Liu(2008). Persamaan diferensial uncertain merupakan persamaan diferensial yang melibatkan proses uncertain. Sekilas persamaan diferensial uncertain terlihat sama dengan persamaan diferensial biasa. Namun, pada kenyataannya kedua jenis persamaan tersebut berbeda. Karena konsep kalkulus yang digunakan pada kalkulus uncertain berbeda dengan yang digunakan pada kalkulus biasa. Selain itu, bentuk umum, variabel dan cara mencari solusi dari persamaan diferensial uncertain berbeda dengan yang digunakan pada persamaan diferensial biasa. Hal ini menarik perhatian penulis untuk mengetahui lebih lanjut mengenai persamaan diferensial uncertain. 1.2. Perumusan Masalah Rumusan masalah yang dibahas dalam skripsi ini adalah:
3 1. Ukuran uncertain, 2. Pengertian variabel uncertain dan proses uncertain, 3. Konsep kalkulus uncertain dan persamaan diferensial uncertain. 1.3. Batasan Masalah Pada penulisan skripsi ini, penulis membatasi masalah pada pengertian dan beberapa jenis persamaan diferensial uncertain. Skripsi ini tidak membahas penerapan dari persamaan diferensial uncertain. 1.4. Maksud dan Tujuan Selain untuk memenuhi syarat kelulusan Program Strata-1 (S1) Program Studi Matematika Universitas Gadjah Mada, penyusunan skripsi ini juga bertujuan untuk mengetahui ukuran uncertain, variabel uncertain dan proses uncertain, konsep kalkulus uncertain, dan persamaan diferensial uncertain. 1.5. Tinjauan Pustaka Keputusan yang nyata biasanya dibuat dalam ketidakpastian. Sebagai contoh, tidak dapat diprediksi dengan pasti sisi angka yang akan muncul pada saat sebelum melemparkan dadu. Contoh lainnya, tidak dapat diprediksi dengan pasti warna bola yang terambil, dengan jumlah dari masing-masing bola tidak diketahui. Dalam hal melempar dadu, dapat dilakukan beberapa percobaan untuk mendapatkan sampel. Tetapi untuk masalah pengambilan bola, karena jumlah masing-masing bola tidak diketahui maka sampelnya tidak tersedia. Dalam hal ini, tidak ada metode statistik apapun untuk memperkirakan distribusi probabilitas. Oleh karena itu terdapat dua sistem matematika untuk memodelkan ketidakpastian, yaitu teori probabilitas(kolmogorov, 1933) dan teori uncertain(liu, 2007). Probabilitas diinterpretasikan sebagai frekuensi, sedangkan uncertain diinterpretasikan sebagai derajat kepercayaan personal. Ketika tidak ada sampel yang tersedia untuk mengestimasi distribusi probabilitas, perlu diundang beberapa ahli domain untuk menilai tingkat
4 derajat kepercayaan mengenai setiap kejadian yang akan terjadi. Mungkin beberapa orang berpikiran bahwa derajat kepercayaan harus dimodelkan menggunakan probabilitas subyektif atau teori himpunan fuzzy. Namun, Liu(2012) menyatakan bahwa hal itu tidak benar, karena keduanya teori probabilitas dan teori himpunan fuzzy dapat mengakibatkan hasil yang berlawanan. Untuk menyelesaikan masalah derajat kepercayaan, teori uncertain ditemukan oleh Liu(2007) dan selanjutnya dipelajari oleh banyak peneliti. Teori uncertain disempurnakan oleh Liu(2009) dengan aksioma normalitas, aksioma dualitas, aksioma subadditivitas. Selain itu, ukuran uncertain juga diteliti oleh Gao(2009), Liu(2010), Zhang(2011), Peng dan Iwamura(2012), dan Liu(2013). Kemudian setelah itu ukuran uncertain menjadi dasar pada teori uncertain. Sebagai konsep fundamental dalam teori uncertain, variabel uncertain diperkenalkan oleh Liu(2007). Untuk mendeskripsikan variabel uncertain, Liu(2007) juga memperkenalkan konsep distribusi uncertain dan invers distribusi uncertain. Lebih lanjut, teorema inversi ukuran diberikan oleh Liu(2010) yang menghasilkan ukuran uncertain dari distribusi uncertain dari variabel uncertain yang bersesuaian. Selain itu, Liu(2009) juga memperkenalkan konsep sifat independen variabel uncertain. Penelitian mengenai proses uncertain diawali oleh Liu(2008) untuk memodelkan fenomena uncertain. Untuk mendeskripsikan proses uncertain, Liu menjelaskan konsep distribusi uncertain dan invers distribusi uncertain serta konsep sifat independen proses uncertain. Proses inkremen independen dan proses inkremen independen stasioner diperkenalkan oleh Liu(2008). Pada tahun 2008, Liu memperkenalkan konsep integral Liu untuk mengintegralkan proses uncertain terhadap proses Liu kanonik. Pada tahun yang sama, Liu juga memperkenalkan persamaan diferensial uncertain. Kemudian Liu(2009) menyusun kembali karyanya melalui teorema fundamental kalkulus uncertain, aturan rantai, perubahan variabel, dan integral parsial. Beberapa konsep dasar yang diperlukan diantaranya konsep limit dan fungsi kontinu, turunan(derivatif), fungsi naik dan fungsi turun, integral tak tentu, integral
5 tertentu, persamaan diferensial, teorema Taylor, kontinu Lipschitz, dan teori probabilitas. Konsep limit dan fungsi kontinu, turunan(derivatif), fungsi naik dan fungsi turun yang digunakan mengacu kepada pembahasan dari buku Calculus yang ditulis oleh Stewart J.(1999) dan Diktat Kuliah Kalkulus I yang ditulis oleh Tim Pengajar Kalkulus. Konsep integral tak tentu, integral tertentu yang digunakan berdasarkan pembahasan pada buku Calculus yang ditulis oleh Stewart J.(1999) dan Diktat Kuliah Kalkulus II yang ditulis oleh Tim Pengajar Kalkulus. Konsep persamaan diferensial dan kontinu Lipschitz yang digunakan berdasarkan pembahasan pada buku Differential Equations yang ditulis oleh Ross S.L.(1984) dan Diktat Kuliah Persamaan Diferensial Elementer yang ditulis oleh Tim Pengajar Diferensial Elementer. Konsep teorema Taylor yang digunakan berdasarkan pembahasan pada buku Schaum s Outlines Advanced Calculus yang ditulis oleh Wrede R dan Spiegel M.R.(2002). Beberapa konsep mengenai teori probabilitas yang digunakan berdasarkan pembahasan pada buku Uncertainty Theory yang ditulis oleh Liu(2007). 1.6. Metodologi Penelitian Metode yang digunakan dalam pembuatan skripsi ini adalah dengan terlebih dahulu melakukan studi literatur mengenai persamaan diferensial uncertain yang diperoleh dari beberapa karya ilmiah para pakar yang dimuat di dalam buku ataupun jurnal-jurnal ilmiah. Penelitian dilakukan dengan mempelajari karya-karya ilmiah yang telah dihimpun yang kemudian hasilnya dikonsultasikan dengan dosen pembimbing. Hasil penelitian tersebut dituangkan dalam bentuk definisi-definisi dan teorema-teorema yang dilengkapi dengan bukti dan contoh. 1.7. Sistematika Penulisan Pada penulisan skripsi ini, penulis menggunakan sistematika sebagai berikut. BAB I PENDAHULUAN Pada bab ini dibahas mengenai latar belakang masalah, perumusan masalah, batasan
6 masalah, maksud dan tujuan, tinjauan pustaka, metodologi penelitian dan sistematika penulisan. BAB II DASAR TEORI Dasar teori berisi konsep mengenai limit dan fungsi kontinu, turunan(derivatif), fungsi naik dan fungsi turun, integral tak tentu, integral tertentu, persamaan diferensial, teorema Taylor, kontinu Lipschitz, teori probabilitas. BAB III TEORI UNCERTAIN Pada bab ini dibahas tentang ukuran uncertain, variabel uncertain dan proses uncertain. BAB IV PERSAMAAN DIFERENSIAL UNCERTAIN Bab ini terdiri dari dua subbab. Subbab pertama menjelaskan tentang kalkulus uncertain yang terdiri dari proses Liu kanonik, integral Liu, teorema fundamental, aturan rantai, mengubah variabel, dan integral parsial. Sementara subbab kedua menjelaskan tentang bentuk umum persamaan diferensial uncertain dan beberapa jenisnya disertai dengan metode penyelesaiannya. BAB V PENUTUP Bab ini berisi kesimpulan dari hasil penelitian dan saran guna penelitian lebih lanjut.