Bab 3 Fungsi Elementer

Bab 3 Fungsi Elementer Bab 3 ini direncanakan akan disampaikan dalam 3 kali pertemuan, dengan perincian sebagai berikut: (1) Pertemuan I: Fungsi Eksponensial dan sifat-sifatnya, Fungsi Trigonometri. () Pertemuan II: Fungsi Hiperbolik, Fungsi logaritma, cabang-cabang fungsi logaritma dan sifat-sifatnya. (3) Pertemuan III: Pangkat Kompleks, Invers fungsi trigonometri dan fungsi hiperbolik. Di dalam bab ini akan dipelajari beberapa jenis fungsi elementer. Berangkat dari fungsi-fungsi elementer dengan variabel dan nilai real sebagaimana telah dipelajari di dalam mata kuliah kalkulus, akan didefinisikan fungsi-fungsi sejenis dengan variabel dan nilai kompleks, sehingga fungsi-fungsi real tersebut menjadi kejadian khususnya. Sebagai permulaan, terlebih dahulu akan didefinisikan fungsi eksponensial kompleks. Setelah itu, akan dikembangkan fungsi-fungsi lain dengan menggunakan fungsi eksponensial tersebut. 3.1 Fungsi Eksponensial Di dalam kalkulus, fungsi eksponensial mempunyai rumus f(x) = e x, x R (3.1) Oleh karena itu, sebagaimana telah diterangkan pada awal bab ini, fungsi eksponensial kompleks harus dapat direduksi menjadi rumus (3.1), yaitu apabila z = x + i.0, maka f(z) = e x, (3.) untuk setiap x R. Karena f(x) = e x analitik pada R dan d(ex ) = e x untuk dx setiap x R, maka fungsi eksponensial kompleks juga harus mempunyai sifat f merupakan fungsi utuh, dan f (z) = f(z), (3.3) 61

untuk setiap z C. Selanjutnya, akan ditentukan fungsi f(z) sehingga (3.) dan (3.3) dipenuhi. Misalkan fungsi yang dimaksud adalah f(z) = u(x, y)+iv(x, y). Karena (3.3), maka u x (x, y) = u(x, y) dan v x (x, y) = v(x, y) untuk setiap (x, y) R. Hal ini mengakibatkan adanya fungsi real g(y) dan h(y) sehingga u(x, y) = e x g(y) dan v(x, y) = e x h(y) (3.4) Sekali lagi, menurut (3.3) f fungsi utuh, artinya f analitik di setiap (x, y) R. Oleh karena itu, u dan v harmonik pada R. Jadi, untuk setiap (x, y) R berlaku persamaan differensial Laplace u xx + u yy = 0 dan v xx + v yy = 0 (3.5) Selanjutnya, dari (3.4) dan (3.5), diperoleh g (y) + g(y) = 0 dan h (y) + h(y) = 0 (3.6) Masing-masing persamaan diferensial di dalam (3.6) mempunyai penyelesaian g(y) = A 1 cos y + B 1 sin y dan h(y) = A cos y + B sin y Dengan demikian u(x, y) = e x (A 1 cos y + B 1 sin y) dan v(x, y) = e x (A cos y + B sin y) Karena di setiap (x, y) R, berlaku persamaan Cauchy-Riemann, maka B = A 1 dan A = B 1, sehingga f(z) = e x (A 1 cos y + B 1 sin y) + ie x (A cos y + B sin y) = e x (A 1 cos y + B 1 sin y) + ie x ( B 1 cos y + A 1 sin y) Untuk z = x, maka dari persamaan terakhir diperoleh e x = e x (A 1 ) + ie x ( B 1 ) A 1 = 1 dan B 1 = 0 6

Jadi, f(z) = e x (cos y + i sin y). Berdasarkan uraian di atas, selanjutnya dapat diturunkan definisi untuk fungsi eksponensial kompleks. Definisi 3.1.1 Untuk sebarang z C, didefinisikan e z = e x (cos y + i sin y) (3.7) Untuk diperhatikan, apabila z = iθ, maka persamaan (3.7) menjadi e iθ = cos θ + i sin θ, (3.8) Persamaan (3.8) disebut rumus Euler. Dengan demikian, setiap bilangan kompleks z 0 dapat pula dinyatakan ke dalam bentuk eksponensial z = re iθ, dengan r = z dan θ = arg z. Selanjutnya, berdasarkan keterangan pada Bagian 1.4, maka untuk sebarang θ 1, θ berlaku e iθ 1 e iθ = (cos θ 1 + i sin θ 1 )(cos θ + i sin θ ) Dengan cara yang sama, diperoleh pula = (cos(θ 1 + θ ) + i sin(θ 1 + θ ) = e i(θ 1+θ ) e iθ 1 e iθ = ei(θ 1 θ ) Dengan mengingat rumus Euler, maka (3.7) dapat pula ditulis sebagai sehingga e z = e x. Jadi, dari (3.9), diperoleh e z = e x e iy, (3.9) e z = e x dan arg(e z ) = y + kπ, k Z Karena e z = e x selalu positif, maka e z 0, 63

untuk setiap z C. Perhatikan bahwa berdasarkan (3.8), e iπ = 1. Jadi, berbeda dengan fungsi eksponential real yang selalu bernilai positif, maka fungsi eksponential kompleks bisa bernilai negatif ataupun kompleks. Berdasarkan (3.8) pula, e πi = 1, sehingga e z+πi = e z, untuk setiap z C. Jadi, fungsi eksponential merupakan fungsi periodik dengan periode πi. Sebagai contoh, dapat dibuktikan bahwa e +3πi = e Berdasarkan ekspresi (3.9) di atas, sifat-sifat eksponensial menjadi mudah untuk dipahami. Sifat 3.1. Untuk sebarang z, z 1, z C dan n Z, berlaku e z 1 e z = e z 1+z (3.10) e z 1 e z = e z 1 z (3.11) (e z ) n = e nz (3.1) Bukti: Misalkan z 1 = x 1 + iy 1 dan z = x + iy. Karena x 1, x, y 1, y R, maka e z 1 e z = e x 1 e iy 1 e x e iy = e x 1 e x e iy 1 e iy = e x 1+x e i(y 1+y ) = e z 1+z, dan e z 1 e = ex1 e iy1 z e x e iy = ex1 e iy 1 e x e = iy ex 1 x e i(y 1 y ) = e z 1 z Untuk persamaan (3.1), dimisalkan z = x + iy. Berdasarkan rumus Euler dan rumus de Moivre, maka untuk n Z, diperoleh (e z ) n = (e x ) n (e iy ) n = e nx e iny = e nz. Diberikan g(w) = ln r + iθ dengan w = re iθ. Berdasarkan persamaan (3.9), maka diperoleh e g(w) = w 64

Hal ini berarti bahwa g(w) = ln r + iθ merupakan invers dari f(z) = e z, dan sebaliknya. Contoh 3.1.3 Jika e z =, maka z = ln +i(n+1)π, karena = e i(n+1)π. Latihan 1. Tunjukkan f(z) = z ze z merupakan fungsi utuh.. Tentukan semua nilai z sehingga a. e z = 1 b. e z = 1 i 3 c. e 1 z = d. e z+ = 1 e z 3. Tunjukkan bahwa e z+i + e iz e x + e xy. 4. Tunjukkan e z = e z untuk setiap z C. 5. Tunjukkan bahwa f(z) = e z tidak analitik di mana-mana. 6. Selidiki kapan f(z) = e z analitik. 7. Tunjukkan (e z ) n = e nz untuk setiap n Z. 3. Fungsi Trigonometri Pada bagian sebelumnya telah diterangkan rumus Euler, yaitu e ix = cos x + i sin x untuk setiap x R. Selanjutnya, berdasarkan rumus Euler ini, berturut-turut diperoleh e ix e ix = i sin x dan e ix + e ix = cos x (3.13) 65

Berawal dari persamaan (3.13) di atas, maka fungsi sinus dan cosinus dengan perubah kompleks didefinisikan sebagai berikut sin z = eiz e iz, cos z = eiz + e iz i (3.14) Mudah ditunjukkan bahwa sin( z) = sin z dan cos( z) = cos z Dari (3.14) terlihat bahwa sin z dan cos z masing-masing merupakan kombinasi linear fungsi utuh e iz dan e iz. Oleh karena itu, mudah dipahami bahwa sin z dan cos z keduanya merupakan fungsi utuh. Dari (3.14) dapat pula ditunjukkan bahwa d(sin z) = cos z dan d(cos z) = sin z Dalam kalkulus telah dikenal fungsi sinus hiperbolikus dan cosinus hiperbolikus, yaitu sinh y = ey e y dan cosh y = ey + e y (3.15) untuk setiap y R. Berdasarkan hal ini dan persamaan (3.14), maka mudah ditunjukkan bahwa sin(iy) = i sinh y dan cos(iy) = cosh y (3.16) Dapat diperlihatkan bahwa identitas-identitas trigonometri juga berlaku untuk perubah kompleks. Untuk itu, terlebih dahulu akan ditunjukkan bahwa sin z 1 cos z = sin(z 1 + z ) + sin(z 1 z ) (3.17) Berdasarkan (3.14) dan sifat-sifat fungsi eksponensial, maka sin z 1 cos z = ( eiz 1 e iz 1 i )( eiz + e iz ) = ei(z 1+z ) e i(z 1+z ) + ei(z 1 z ) e i(z 1 z ) i i = sin(z 1 + z ) + sin(z 1 z ) 66

Selanjutnya, berdasarkan (3.17) dapat ditunjukkan rumus-rumus identitas berikut ini: sin(z 1 + z ) = sin z 1 cos z + cos z 1 sin z, (3.18) cos(z 1 + z ) = cos z 1 cos z sin z 1 sin z, (3.19) sin z + cos z = 1, (3.0) sin z = sin z cos z, cos z = cos z sin z, (3.1) sin(z + π ) = cos z, dan cos(z + π ) = sin z. (3.) Diberikan sebarang z = x + iy. z 1 = x dan z = iy, maka berdasarkan (3.16) diperoleh Apabila dalam (3.18) dan (3.19) diambil sin z = sin x cosh y + i cos x sinh y, dan (3.3) cos z = cos x cosh y i sin x sinh y. (3.4) Selanjutnya, mengingat sin x + cos x = 1 dan cosh x sinh x = 1 untuk setiap x R, maka dari (3.3) dan (3.4) dapat diturunkan identitas sin z = sin x + sinh y, dan cos z = cos x + sinh y. (3.5) Karena sinh y tidak terbatas, maka berdasarkan (3.5) sin z dan cos z juga tak terbatas. Jadi, berbeda dengan sinus dan cosinus perubah real, yang nilai mutlaknya tidak lebih dari 1, maka sinus dan cosinus perubah kompleks nilai mutlaknya bisa lebih dari 1. Contoh 3..1 Selesaikan sin z = i. Penyelesaian: Berdasarkan (3.3), sin z = i sin x cosh y + i cos x sinh y = i Selanjutnya, dengan menyamakan bagian real dan bagian imaginer kedua ruas persamaan di atas diperoleh sin x cosh y = 0 dan cos x sinh y = 67

Karena cosh y 0, maka dari sin x cosh y = 0, diperoleh sin x = 0. Akibatnya, x = kπ atau x = (k + 1)π (3.6) Jika x = kπ, maka cos x = 1. Sehingga, dari cos x sinh y =, diperoleh sinh y = ey e y = e y e y 1 = 0 (e y 1) = Selanjutnya, karena e y 1 0, maka e y 1 =, atau y = ln(1 + (3.7) Kemungkinan lain, yaitu apabila x = (k +1)π, maka cos x = 1. Akibatnya, dari cos x sinh y =, diperoleh sinh y = ey e y = e y + e y 1 = 0 (e y + 1) = Selanjutnya, karena e y + 1 > 0, maka e y + 1 =, atau y = ln( 1 + ) = ln(1 + ) (3.8) Dari 3.6, 3.7, dan 3.8, diperoleh z = kπ ± i ln(1 + ), k Z. Kiranya pembaca dengan mudah akan dapat menunjukkan bahwa sin z = 0 z = kπ, k Z dan cos z = 0 z = (k + 1 )π, k Z 68

Fungsi-fungsi trigonometri yang lain didefinisikan berdasarkan fungsi sinus dan cosinus, yaitu sebagai berikut: tan z = sin z cos z, sec z = cos z cot z = sin z 1 cos z, csc z = 1 sin z Mudah dipahami bahwa tan z dan sec z analitik kecuali di titik-titik di mana cos z = 0, yaitu z = (k + 1 π, k Z. Demikian pula, cot z dan csc z analitik kecuali di titik-titik z = kπ, k Z. Selanjutnya, dengan memperhatikan turunan sin z dan cos z, diperoleh d tan z = sec z, d cot z = csc z dan d sec z = sec z tan z, d csc z = csc z cot z Latihan 1. Selesaikan persamaan-persamaan di bawah ini. a. cos z = b. sin z = 1 c. cos z = cosh d. tan z =. Tunjukkan rumus-rumus identitas (3.18), (3.19), (3.0), (3.1), dan (3.). 3. Tunjukkan bahwa a. 1 + tan z = sec z b. 1 + cot z = csc z 4. Selidiki di mana f(z) = sin z analitik. 5. Tunjukkan u(x, y) harmonik, a. u(x, y) = sin x cosh y b. u(x, y) = cos x cosh y 69

Selanjutnya, tentukan v(x, y) agar f(z) = u(x, y) + iv(x, y) merupakan fungsi utuh. 6. Tunjukkan a. sinh y sin z cosh y b. sinh y cos z cosh y 3.3 Fungsi Hiperbolik Fungsi hiperbolik dengan variabel kompleks didefinisikan sejalan dengan fungsi hiperbolik dengan variabel real, yaitu sebagai berikut sinh z = ez e z dan cosh z = ez + e z Kedua fungsi tersebut di atas merupakan fungsi utuh (mengapa?) dan d sinh z = cosh z dan d cosh z = sinh z Selanjutnya, dengan memperhatikan definisi sin z dan cos z sebagaimana diberikan pada Bagian 3., maka diperoleh sinh(iz) = i sin z, cosh(iz) = cos z (3.9) sin(iz) = i sinh z, cos(iz) = cosh(iz) (3.30) Dengan menggunakan identitas-identitas pada 3.9 dan 3.30, mudah ditunjukkan rumus-rumus identitas sinh( z) = sinh z, cosh( z) = cosh z (3.31) cosh z sinh z = 1 (3.3) sinh(z 1 + z ) = sinh z 1 cosh z + cosh z 1 sinh z (3.33) cosh(z 1 + z ) = cosh z 1 cosh z + sinh z 1 sinh z (3.34) 70

dan apabila z = x + iy, maka berdasar 3.33 dan 3.34, diperoleh sinh z = sinh x cos y + i cosh x sin y (3.35) cosh z = cosh x cos y + i sinh x sin y (3.36) Akibatnya, sinh z = sinh x + sin y (3.37) cosh z = sinh x + cos y (3.38) Contoh 3.3.1 Tentukan semua akar-akar cosh z = i Penyelesaian: Dengan memperhatikan 3.36, cosh z = i cosh x cos y + i sinh x sin y = i sehingga diperoleh cosh x cos y = 0 dan sinh x sin y = 1 Dari cosh x cos y = 0, diperoleh cos y = 0. Hal ini dikarenakan cosh x 0. Akibatnya, y = π + kπ atau y = 3π + kπ (3.39) untuk k Z. Apabila y = π +kπ, maka sin y = 1. Sehingga dari sinh x sin y = 1, diperoleh sinh x = 1 ex e x = 1 e x e x 1 = 0 (e x 1) = Selanjutnya, karena e x 1 0, maka e x 1 = atau x = ln(1 + ) (3.40) 71

Apabila y = 3π + kπ, maka sin y = 1. Sehingga dari sinh x sin y = 1, diperoleh sinh x = 1 ex e x = 1 e x + e x 1 = 0 (e x + 1) = Selanjutnya, karena e x + 1 > 0, maka e x + 1 = atau x = ln(1 + ) (3.41) Selanjutnya, dari 3.39, 3.40, dan 3.41, diperoleh atau z = ln(1 + ) + i( π + kπ), z = ln(1 + ) + i( 3π + kπ), k Z k Z Cara lain untuk menyelesaikan persamaan cosh z = i adalah langsung menggunakan definisi. Lengkapnya adalah sebagai berikut. cosh z = i ez + e z = i e z ie z + 1 = 0 (e z i) = = cis(π) Selanjutnya, dengan memperhatikan akar kompleks, diperoleh atau e z i = cis( π + kπ ), k = 0, 1 e z = i + cis( π + kπ ), k = 0, 1 Selanjutnya, dengan memperhatikan uraian pada Bagian 3.1, diperoleh atau z = ln(1 + ) + i( π + kπ), z = ln(1 + ) + i( 3π + kπ), k Z k Z. 7

Fungsi-fungsi hiperbolik yang lain didefinisikan sebagai berikut. tanh z = sinh z cosh z, coth z = 1 tanh z sech z = 1 cosh z,, csch z = 1 sinh z Latihan 1. Tentukan d tanh z dan d coth z.. Tunjukkan rumus-rumus identitas 3.31, 3.3, 3.33, dan 3.34. 3. Bilangan c C disebut zeros dari f(z) jika f(c) = 0. Tentukan semua zeros dari sinh z dan cosh z. 4. Tentukan titik-titik singular dari tanh z. 5. Tentukan akar-akar dari a. cosh = 4 b. sinh z = i 6. Selidiki di himpunan mana f(z) = sinh(e z ). 3.4 Fungsi Logaritma Sebagaimana telah dijelaskan pada Bagian 3.1, untuk sebarang bilangan kompleks tak nol z = ρe iφ, π < φ π, persamaan e w = z mempunyai solusi w = ln ρ + i(φ + nπ), n Z Apabila logarirma kompleks log w didefinisikan sebagai log z = ln ρ + i(φ + nπ), n Z (3.4) 73

maka diperoleh e log z = z. Kenyataan ini memberikan inspirasi untuk pendefinisan fungsi logaritma kompleks. Untuk sebarang variabel tak nol z = ρe iφ, π < φ π, fungsi log z didefinisikan sebagai log z = ln ρ + i(φ + nπ), n Z (3.43) Nilai utama dari log z dicapai pada saat n = 0 dan ditulis dengan Log z. Jadi, Log z = ln ρ + iφ, π < φ π Contoh 3.4.1 Karena 1 = e i0, maka log 1 = ln 1 + i(0 + nπ), n Z sedangkan Log 1 = 0. Secara sama, dan Log( ) = ln + iπ. log( ) = ln + i(n + 1)π Untuk sebarang variabel kompleks tak nol z = re iθ, maka argumen z, yaitu θ, dapat dituliskan sebagai θ = Arg(z) + nπ, n Z. Selanjutnya, 3.43 dapat disajikan sebagai log z = ln r + iθ (3.44) atau log z = ln r + iargz (3.45) Karena arg(z) merupakan fungsi bernilai banyak, maka log z juga bernilai banyak. Selanjutnya, untuk sebarang α R diperhatikan salah satu nilai log z, yaitu log z = ln r + iθ, r > 0, α < θ α + π (3.46) 74

Bagian real dan imaginer dari log z adalah u(r, θ) = r dan v(r, θ) = θ (3.47) yang masing-masing kontinu pada α < θ < α + π. Selanjutnya, u r, u θ, v r, dan v θ ada dan kontinu pada α < θ < α + π dan pada domain tersebut berlaku persamaan Cauchy-Riemann u r = 1 r v θ dan u θ = rv r Jadi, f(z) analitik pada α < θ < α + π dan Khususnya dlogz f (z) = 1 re iθ = 1 z = 1 z, π < θ < π Gambar 3.1 Selanjutnya, diperhatikan fungsi log z sebagaimana diberikan pada persamaan (3.46) untuk z {re iα : r > 0}. Bagian imaginer dari log z tersebut, yaitu v(r, θ) = θ tidak kontinu di θ = α, sebab lim θ α v(r, θ) lim θ α + v(r, θ). Oleh karena itu, f tidak ada untuk setiap z {re iα : r > 0}. Jadi, fungsi log z sebagaimana diberikan pada persamaan (3.46) analitik kecuali untuk z {re iα : r > 0}. 75

Cabang suatu fungsi bernilai banyak f(z) adalah fungsi bernilai tunggal F (w) yang analitik pada suatu domain D dimana untuk setiap w D, F (w) merupakan salah satu nilai dari f(z). Fungsi F (w) disebut cabang utama dari f(z) jika F (w) cabang dari f(z) dan π < argw < π. Jadi, untuk sebarang bilangan real α, fungsi log z, log z = ln r + iθ, r > 0, α < θ < α + π, masing-masing merupakan cabang dari fungsi log z, z 0. Sedangkan Logz = ln r + iθ, π < θ < π adalah cabang utama dari log z. Selanjutnya, akan diteliti sifat-sifat dasar dari fungsi logaritma. sebarang z = x + iy, maka e z = e x.e iy Diberikan Selanjutnya, dengan memperhatikan (3.43), diperoleh log(e z ) = ln e x + i(y + nπ) = x + i(y + nπ) = z + (nπ)i, n Z Khususnya, Loge z = z dan Untuk sebarang z 1, z C, dengan mudah dapat ditunjukkan bahwa log(z 1 z ) = log z 1 + log z (3.48) log( z 1 z ) = log z 1 log z (3.49) Pembaca perlu berhati-hati dalam memahami makna persamaan (3.48) dan (3.49). Sebagaimana maksud arg(z 1 z ) = argz 1 + argz maka persamaan (3.48) harus dibaca atau diartikan bahwa sebarang nilai log(z 1 z ) sama dengan suatu nilai log z 1 ditambah suatu nilai log z. Persamaan (3.49) dibaca secara sama. 76

Contoh 3.4. Diberikan z 1 = z = 1, maka z 1 z = 1. Berturut-turut diperoleh log z 1 = log z = (n + 1)πi dan log z 1 z = nπi Selanjutnya, untuk sebarang n Z, nπi dapat dituliskan sebagai nπi = (k 1 + 1)πi + (k + 1)πi, (3.50) untuk suatu k 1, k Z. Ruas kiri pada (3.50) berarti sebarang nilai log z 1 z, sedangkan ruas kanan berarti suatu nilai log z 1 ditambah suatu nilai log z. Latihan 1. Hitunglah a. log(1 i) b. log( 1 + i 3) c. Log(1 + i) d. log(3 + i 3). Tentukan semua z sehingga log z = 1 πi. 3. Selidiki apakah log z = log z. Jelaskan jawaban Saudara. 4. Jika D sebarang domain yang tak memuat 0, tunjukkan u(x, y) = ln(x +y ) harmonik pada D. Selanjutnya, tentukan fungsi f(z) = u(x, y) + iv(x, y) yang analitik pada D. 5. Tentukan Re{log(z + 1)}. 3.5 Pangkat Kompleks Di dalam kalkulus telah dikenal bentuk pangkat x c, untuk sebarang c > 0 dan c 1. Selanjutnya, karena ln x c = c ln x, maka dapat dituliskan x c = e c ln x (3.51) Sejalan dengan persamaan (3.51), didefinisikan bentuk pangkat kompleks. Untuk sebarang z 0 dan untuk sebarang c C, didefinisikan z c = e c log z (3.5) 77

Contoh 3.5.1 Berdasarkan (3.5), berturut-turut diperoleh i = e log i = e (n+1)πi = 1 (1 i) i = e i log(1 i) = e i(ln +i(8n 1) π 4 ) = e (8n 1) π 4 +i ln Diberikan sebarang z = re iθ. Untuk sebarang α R, log z = ln r + iθ, r > 0, α < θ < α + π merupakan fungsi bernilai tunggal dan analitik pada domain yang diberikan, yaitu {z : r > 0, α < θ < α + π}. Selanjutnya, karena z c = e c log z maka menggunakan aturan rantai diperoleh c = ec log z. c z = czc 1 Diberikan sebarang bilangan kompleks tak nol c C. Sebagaimana (3.5), Contoh 3.5. Berdasarkan (3.53), Karena f(z) = e z c z = e z log c (3.53) z = e z log z(ln +nπi) = e g(z) = c z juga merupakan fungsi utuh dan merupakan fungsi utuh, maka mudah dipahami bahwa dc z = cz log c Latihan 1. Tunjukkan a. i (+i) = e (4n+1) π, n Z b. (1 i) i = e (8n 1) π 4 i ln, n Z 78

. Hitunglah a. (1 + i) i b. (1 i) (1 i) 3. Tentukan cabang utama dari z i. 4. Tunjukkan ( 1 + i 3) 1 = ± dengan cara. 5. Jika z 0 dan a R, tunjukkan bahwa untuk nilai utamanya berlaku z a = a a. 3.6 Invers Fungsi Trigonometri dan Invers Fungsi Hiperbolik Invers dari sin z ditulis dengan sin 1 z. Secara sama, cos 1 z, tan 1 z, cot 1 z, sec 1 z, dan csc 1 z berturut-turut menyatakan invers dari cos z, tan z, cot z, sec z, dan csc z. Misalkan sin 1 z = w, maka z = sin w = eiw e iw i (3.54) atau ekuivalen dengan Apabila (3.55) diselesaian untuk e iw, maka diperoleh (e iw ) ize iw 1 = 0 (3.55) e iw = iz + (1 z ) 1 atau w = i log{iz + (1 z ) 1 } (3.56) Jadi berdasarkan (3.56), sin 1 z = i log{iz + (1 z ) 1 } (3.57) 79

Contoh 3.6.1 Tentukan akar-akar dari sin z = i. Penyelesaian: Berdasarkan persamaan (3.57, z = i log{ii + (1 + 4) 1 } = i log{ ± 5} Karena log{ 5} = ln{ + 5} + i(n + 1)π dan log{ + 5} = ln{ + 5} + inπ = ln{ + 5} + inπ maka z = i{( 1) n+1 ln{ + 5} + inπ}, n Z. Selanjutnya, dengan cara yang sama mudah ditunjukkan bahwa cos 1 z = i log{z + i(1 z ) 1 } dan tan 1 z = i log i + z i z Turunan fungsi-fungsi sin 1 z, cos 1 z, dan tan 1 z diperoleh dengan mengingat turunan fungsi logaritma dan aturan rantai. d sin 1 z = 1 (1 z ) 1 d cos 1 z d tan 1 z = 1 (1 z ) 1 = 1 1 + z 80

Invers fungsi-fungsi hiperbolik dapat diperoleh sebagaimana invers fungsifungsi trigonometri. sinh 1 z = log{z + (z + 1) 1 } cosh 1 z = log{z + (z 1) 1 } tanh 1 z = 1 log 1 + z 1 z 81

Latihan 1. Selesaikan persamaan-persamaan berikut. a. cos z = i b. sinh z = c. tan z = 1 d. sin z = cos z. Turunkan rumus-rumus untuk cos 1 z, tan 1 z, sinh 1 z, cosh 1 z, dan tanh 1 z 3. Selesaikan cos(z + 1) = dengan cara. 8