ALJABAR LINIER JILID II (Aproksimasi terbaik;kuadrat terkecil) Setelah lama blog ini kosong sama tulisan,akhirnya ada tulisan baru juga. Pada tulisan kali ini sya di tuntut untuk menjelaskan materi pada buku Aljabar Linier Jilid 2,materi yang cukup rumit di baca meskipun simple maksudnya. masalah yang sering di jumpai dalam bidang matematika adalah mencari suatu persamaan yang dapat mewakili sekum[pulan data percobaan.aljabar dapat di gunakan untuk menyelesaikan suatu sistem yang tidak konsisten dari persamaan linier penerapan metode kuadrat terkecil di fisika terdapat apda hukum hooke dan hukum newton,kemudian dalam ilmu statistika yaitu analisis regresi linier berganda dan juga penerapoan kuadrat terkecil pada bidang ekonomi,ilmu kedokteran dan lainnya. APROKSIMASI TERBAIK;KUADRAT TERKECIL Sebelum kita melangkah lebih jauh.kita perlu mengetahui terlebih dahulu apa itu aproksimasi. Aproksimasi (Approxtimation) artinya pendekatan.pada materi ini aproksimasi yang kita pandang adalah proyeksi orthogonal Proyeksi orthogonal merupakan aproksimasi terbaik dalam menyelesaikan soal-soal tertentu. TEORI Jika P adalah sebuah titik di dalam ruang berdimensi 3 biasa dan W adalah sebuah bidang yang melewati titik asal ruang tersebut,maka titik Q pada W yang jaraknya terdekat dengan P dapat di peroleh dengan memproyeksikan P secara tegak lurus terhadap W (gambar 1.1)
gambar (1,1) gambar (1,2) Sehingga jika u=op,jarak antara P dan W di berikan oleh u proj w u Dengan kata lain,di antara semua vector w pada W,vector w=proj w u meminimalkan jarak u w (gambar 1.2)
Teorema Aproksimasi Terbaik Jika W adalah sebuah subruang berdimensi terhingga dari suatu ruang hasil kali dalam V, dan jika u adalah sebuah vektor pada V, maka proj w u adalah aproksimasi terbaik (best approximation) bagi u pada W, dalam pengertian bahwa u proj w u < u w untuk setiap vektor w pada W yang bukan proj w u. Dri pembahasan di atas cukup kiranya bagi kita untuk memandang bahwa proyeksi orthogonal merupakan aproksimasi terbaik bagi u relative terhadap vector-vektor pada W dengan dapat menjadikan vector kesalahan dalam setiap aproksimasi menjadi sekecil mungkin. SOLUSI KUADRAT TERKECIL DARI SISTEM LINIER Aproksimasi terhadap x pada system linier yang tidak konsisten akan menghasilkan vector kesalahan yang kita umpamakan sebagai e=ax-b, jika e=(e 1, e 2,, e m ).maka sebuah solusi kuadrat terkecil akan meminialkan vector kesalahan ini e =(e 1 2 +e 2 2 + + e m 2 ) 1/2,dan oleh karenanya juga meminimalkan e =e 1 2 +e 2 2 + + e m 2 sehingga itulah yang di maksud dengan kuadrat terkecil,sehingga vektor kesalahan dapat di minialkan. Solusi kuadrat terkecil ini muncul karena adanya sebuah system linier Ax=b yang tidak konsisten karena adanya kesalahan pengukuran pada entri A dan b sehingga kita akan berupaya mencari nilai x yang sedekat mungkin dapat memenuhi system tersebut. Dalam maksud lain bisa di katakan bahwa kita mencari x yang dapat meminimalkan nilai, Ax- b merukuk pada hasil kali dalam Euclidean. Nilai Ax- b merupakan suatu ukuran dari kesalahan karena memandang x sebagai solusi aproksimasi dari system linier Ax=b TEORI Jika di berikan sebuah system linier Ax=b yang terdiri dari m persamaan dengan n vector yang tidak di ketahui,dan vector x meminimalkan nilai Ax- b merujuk pada hasil kali dalam Euclidean pada R m.vektor x di sebut sebagai solusi kuadrat terkecil dari Ax=b TEOREMA Untuk system linier sebarang Ax=b,system normal yang terkait
A T Ax=A T b Bersifat konsisten dan semua solusi dari system lnier adlah solusi kuadrat terkecil dari Ax=b.selanjutnya,jika W adlah ruang kolom dari A,dan x adalah solusi kuadrat terkecil sebarang Ax=b,maka proyeksi orthogonal b pada W adalah Proj w b=ax Dengan teorema di atas maka kita dapat mencari solusi kuadrat terkecil dari system linier sebarang. Untuk lebih jelasnya dan memahaminya,maka kita mengerjakan contoh soal sebagai berikut Carilah solusi kuadrat terkecil dari system linier Ax=b berikut Di sini A = dan b= Sesuai dengan teorema yang tadi dikatakan maka, A T A= = A T b= Sehingga system normal A T Ax=A T b untuk kasus ini adalah Dengan menyelesaikan system ini kita memperoleh solusi kuadrat terkecil X 1 = X 2 = Dan kita bisa mendapatkan proyeksi orthogonal b pada ruang kolom dari A adlah Ax =
Pada system linier sebarang pun kita akan dapat,mengerjakanya Hanya poerlu pemahaman yang lebih. Kesimpulan menyelesaikan suatu sistem persamaan linier yang tidak konsisten secara aljabar linier dengan memproyeksikan matriks b ke ruang kolom matrik A.sistem persamaan linier Ax=b mempunyai solusi kuadrat terkecil yaitu sistem Proj w b = Ax dan solusi dari sistem Ax=b adlah solusi dari sistem Ax=b adalah solusi dari system A T Ax=A T b