STATISTICS WEEK 4 Hanung N. Prasetyo
Pendahuluan: Penyajian distribusi probabilitas dalam bentuk grafis, tabel atau melalui rumusan tidak masalah, yang ingin dilukiskan adalah perilaku (kelakuan) perubah acak tersebut. Sering kita menjumpai, pengamatan yang dihasilkan melalui percobaan statistik yang berbeda mempunyai bentuk kelakuan umum yang sama. Oleh karena itu perubah acak diskret yang berkenaan dengan percobaan tersebut dapat dilukiskan dengan distribusi probabilitas yang sama, dan dapat dinyatakan dengan rumus yang sama. Dalam banyak praktek yang sering kita jumpai, hanya memerlukan beberapa distribusi probabilitas yang penting untuk menyatakan banyak perubah acak diskret.
Kompetensi: Setelah mempelajari materi pokok bahasan disini, mahasiswa diharapkan: 1. Mampu menggunakan konsep-konsep dasar teori distribusi probabilitas disket secara benar. 2. Mampu dan terampil dalam melakukan hitungan-hitungan yang berkaitan dengan distribusi Binomial dan distribusi Poisson 3. Terampil dalam mengerjakan soal-soal tugas dan latihan.
Daftar Isi Materi: Pendahuluan Distribusi Binomial Distribusi Poisson
Distribusi kemungkinan binomial atau singkatnya distribusi binomial adalah salah satu distribusi peluang teoritis dengan variabel random diskret. Distribusi binomial kadang-kadang juga disebut distribusi bernoulli(penemunya bernama james bernoulli) Apabila probabilitas timbulnya gejala yang kita harapkan disebut probabilitas sukses dan diberi simbol p(baca;pkecil), sedang probabilitas tidak timbul gejala yang kita harapkan disebut probabilitas Gagal dan diberi simbol q atau 1 p, maka probabilitas timbulnya gejala yang kita harapkan sebanyak X kali dalam n kejadian (artinya X kali akan sukses dan n X kali akan gagal) dinyatakan dalam rumus sebagai berikut: P ( X; n) = n X p X q n X
Pengantar Distribusi Binomial Suatu percobaan yang terdiri atas beberapa usaha, tiap-tiap usaha, memberikan hasil yang dapat dikelompokan menjadi 2- kategori yaitu sukses atau gagal, dan tiap-tiap ulangan percobaan bebas satu sama lainnya. Probabilitas kesuksesan tidak berubah dari percobaan satu ke percobaan lainnya. Proses ini disebut proses Bernoulli. berikut: Jadi proses Bernoulli harus memenuhi persyaratan 1. Percobaan terdiri atas n-usaha yang berulang 2. Tiap-tiap usaha memberikan hasil yang dapat dikelompokan menjadi 2-kategori, sukses atau gagal 3. Peluang kesuksesan dinyatakan dengan p, tidak berubah dari satu usaha ke usaha berikutnya. 4. Tiap usaha bebas dengan usaha lainnya.
Contoh 1 Tiga barang diambil secara acak dari hasil produksi pabrik, diperiksa, dan yang cacat dipisahkan dari yang tidak cacat. Misalkan yang cacat disebut cacat. Maka banyaknya kesuksesan mer upakan perubah acak X dengan nilai nol sampai 3. Tabel 1 Hasil X TTT TCT 1 TTC 1 CTT 1 TCC 2 CTC 2 CCT 2 CCC 3 C=cacat ; T=tidak cacat (baik) Karena barang diambil secara acak, dan misalkan dianggap menghasilkan 25% barang cacat, maka 3 1 3 9 4 4 4 64 P(TCT) = P(T)P(C)P(T) = ( )( )( ) = Probabilitas untuk hasil kemunkinan yang lain dilakukan dengan jalan ang sama.
tabel 2 Distribusi probabilitas X x 1 2 3 f(x) 27 64 27 64 9 64 1 64 Percobaan Binomial Banyaknya X yang sukses dalam n-usaha Bernoulli disebut perubah acak binomial, dan distribusi dari perubah acak ini disebut distribusi Binomial. Jika p menyatakan probabilitas kesuksesan dalam suatu usaha, maka distribusi perubah acak X ini dinyatakan dengan b(x;n,p). Karena nilainya bergantung pada banyaknya usaha (n) Misalnya: X= banyaknya barang yang cacat. P(X = 2) = f( 2) = b( 23 ;, 1) = 9 4 64 Selanjutnya menentukan rumus yang memberikan proailitas x sukses dalam n-usaha suatu pecobaan binomial b(x;n,p)
Probabilitas x kesuksesan dan n-x kegagalan dalam urutan tertentu. Tiap kesuksesan dengan probabilitas p dan tiap kegagalan dengan probabilitas q=1-p. Banyaknya cara untuk memisahkan n-hasil menjadi dua kelompok, sehingga x hasil ada pada kelompok pertama dan sisanya n-x pada kelompok kedua, jumlah ini n dinyatakan sebagai Karena pembagian tersebut saling terpisah x n (bebas) maka probabilitasnya adalah p x q n x x Suatu usaha bernoulli dapat menghasilkan kesuksesan dengan probabilitas p dan kegagalan dengan probabilitas q=1-p, maka distribusi probabilitas perubah acak binomial X yaitu banyaknya kesuksesan dalam n-usaha bebas adalah n b(x;n,p) = p x q n x ;x = 12,,,...,n x
Suatu cara penyajian yang lain dari tabel 1 : n=3 dan p= 1 4 1 3 b(x;, ) = p x q 3 x ;x,,, 4 = x Contoh 2 3 123 Suatu suku cadang dapat menahan uji guncangan tertentu dengan probabilitas.75. Hitung probabilitas bahwa tepat 2 dari 4 suku cadang yang diuji tidak akan rusak. Jawab: Misal tiap pengujian saling bebas 4 2 2 3 b( 24 ;, ) = 3 1 4! 3 27 ( ) ( ) 2 = =!! 4 4 4 4 2 2 2 128 Catatan: n b(x;n,p) x= = 1
Contoh Jawab: a). Probabilitas seseorang sembuh dari penyakit jantung setelah operasi adalah.4. Bila diketahui 15 orang menderita penyakit ini, berapa peluang: a). sekurang-kurangnya 1 orang dpt sembuh b). ada 3 sampai 8 orang yg sembuh c). tepat 5 orang yg sembuh Mis: X = menyatakan banyaknya orang yg sembuh Diket : p =.4 n = 15 [ ] P(X 1) = 1 P(X < 1) = 1 P(X = ) + P(X = 1) + P(X = 9) 9 = 1 b(x; 154 ;. ) lihat tabel x= = 1 9662. = 338. Jadi probabilitas sekurang-kurangnya 1 orang sembuh =.338
b) P( 3 X 8) = P(X 8) P(X 2) 8 2 = b(x; 154,. ) b(x; 154,. ) lihat tabel x= x= = 95. 271. = 8779. Jadi probabilitas terdapat 3 sampai 8 orang yg sembuh =.8779 c) P(X = 5) = b( 5154 ; ;. ) = P(X 5) P(X 4) 5 4 = b(x; 154,. ) b(x; 154,. ) lihat tabel x= x= =.432 -.2173 =.1859 Jadi probabititas tepat 5 orang yang sembuh =.1859
Tabel 3 Cara menggunakan tabel binomial n r p 15 1. 1........4......... 2.27 1 : : : 8.95 9.966 2 : 9 Untuk n=15, : p=.4 b(x; 154 ;. ) = 9662. ; x= 15 2 b(x; 154 ;. ) = 271. x= 8 b(x; 154 ;. ) = 95. x=
Cara lain mencari nilai distribusi Binomial: dengan cara menggunakan minitab, langkahnya : buka Calc, probability Distribution,pilih binom atau gunakan software R, langkahnya sbb(r commander): > pbinom(9,15,.4) [1].9661667 > pbinom(8,15,.4) [1].949526 > pbinom(2,15,.4) [1].27114 > pbinom(5,15,.4) [1].432156 > pbinom(4,15,.4) [1].2172777 Teorema Distribusi Binomial b(x;n,p) mempunyai rata-rata dan variansi sbb: µ = np dan 2 σ = npq
Contoh 3 Tentukan mean dan variansi dari contoh 2 Jawab: Dari contoh 5.6 diketahui n=15 dan p=.4 Diperoleh: Dan 2 µ = ( 15)( 4. ) = 6 σ = ( 15)( 4. )( 6. ) = 36. σ = 1897.
Karakteristik distribusi Binomial: 1. Grafiknya diskontinu(terputus-putus) 2. Bentuknya ditentukan oleh nilai p dan n 3. Bentuknya simetris bila p = q atau p q asal n besar Ciri-ciri percobaan bernoulli : 1. Tiap percobaan memiliki dua hasil saja yakni : sukses atau gagal 2. Probabilitas sukses pada tiap-tiap percobaan haruslah sama dan dinyatakan dengan p 3. Setiap percobaan harus bersifat independent (bebas) 4. Jumlah percobaan yang merupakan komponen eksperimen binomial harus tertentu
Distribusi Poissson Distribusi Poisson disebut juga sebagai distribusi peristiwa yang jarang terjadi (distribusi of rare event) adalah distribusi kemungkinan teoritis dengan variabel random diskrit. Distribusi ini dianggap sebagai pendekatan pada distribusi binomial apabila n(banyaknya percobaan) adalah besar, sedangkan probabilitas suksesnya kecil. Poisson distribusi bisa digunakan untuk menyebutkan benda acak berikut : banyaknya bintang dalam suatu area acak di ruang angkasa; jumlah salah cetak dalam suatu halaman ketik; jumlah salah sambung ke nomor teleponmu; distribusi bakteri di permukaan beberapa rumput liar di ladang. Semua contoh ini merupakan beberapa hal yang menggambarkan tentang suatu distribusi Poisson.
Model data yang sering mengikuti pola Distribusi Poisson adalah kematian bayi, banyaknya salah cetak di suatu buku, dan probabilitas banyaknya pelanggan tiba Distribusi ini ditemukan oleh Ahli matematik Perancis Siméon Poisson di tahun 1837, dan penggunaannya pertama adalah menguraikan banyaknya kematian kuda bagi Angkatan perang Prusia pada waktu itu.
Pengantar Distribusi Poisson Percobaan yang menghasilkan peubah acak X yang menyatakan banyaknya hasil selama dalam selang waktu/daerah tertentu disebut distribusi poisson. Proses poisson memiliki sifat-sifat berikut: 1. Banyaknya kesuksesan yang terjadi dalam suatu daerah (selang) waktu tertentu independen dengan daerah lainya. 2. Probabilitas sukses dalam daerah/selang yang kecil tidak tergantung banyaknya sukses yang terjadi diluar selang. 3. Peluang terjadinya lebih dari satu sukses dalam daerah yang sempit diabaikan. Jika X perubah acak poisson maka distribusi poisson ini dinyatakan dengan p(x, λt), dimana λt adalah rata-rata hasil
Distribusi perubah acak Poisson X yang menyatakan banyaknya kesuksesan yang terjadi dalam suatu selang waktu/daerah tertentu t, dinyatakan: dimana: e=2,71828 dan e λt ( λ t) x p(x, λt) = ;x = 12,,,... x! λt menyatakan rata-rata banyaknya sukses yang terjadi per satuan waktu. Misalkan µ = λt, untuk beberapa nilai tertentu dari,1 sampai 18 diberikan pada tabel Poisson. Contoh 1 Rata-rata banyaknya Tanker minyak yang tiba tiap hari di suatu pelabuhan adalah 1. Pelabuhan tersebut hanya mampu menampung paling banyak 15 Tanker perhari. Berapa probabilitas pada suatu hari tertentu Tanker terpaksa pergi karena pelabuhan penuh dan tidak mampu melayani.
Jawab: Misalkan: X = banyaknya Tanker minyak yg tiba tiap hari Maka X = {1, 2, 3,....., 15} P(X > 15) = 1 P(X 15) = 1 p(x; 1) tabel 15 x= = 1 9513. = 487. Jadi peluang pd suatu hari tertentu Tanker terpaksa pergi =.487
Contoh 2 : Misalkan sebuah mobil diiklankan di surat kabar untuk dijual. Surat kabar yang memuat iklan tersebut kita misalkan mempunyai 1 ribu pembaca. Jika kemungkinan seorang akan membalas ikaln tersebut,2 Ditanyakan : a. Berapa orangkah diharapkan akan membalas iklan tersebut. b. Berapa kemungkinannya bahwa yang akan membalas iklan tersebut hanya seorang c. Berapa kemungkinannya tidak ada yang membalas Jawab : Diketahui n = 1. p =,2 a. Berapa orang diharapkan akan membalas : misal u (rata-rata yang diharapkan) = n. p = 1. (,2) = 2
b. Kemungkinan bahwa yang membalas iklan tersebut hanya seorang berarti X = 1 Maka P(1) P(1) = = 1 2 2. e 2(,13534) = 1! 1!,2768 27,7% c. Kemungkinan tidak ada yang membalas artinya X = P() = 2. e! 2 = 1(,13534) 1 =,13534 13,53%
Contoh 3: Apabila probabilitas bahwa seorang akan mati terkena penyakit TBC adalah,1. Dari 2 orang penderita penyakit tersebut berapa probabilitas a. Tiga orang akan mati b. Yang mati tidak lebih dari satu orang c. Lebih dari 2 orang yang mati Jawab : Diketahui n = 2 p =,1 µ = n.p = 2 X,1 = 2
a. Tiga orang akan mati P(3) = = 3 2 2. e = 3! 1,8272 6 8(,13534) 3.2.1 =,1845 18,4% b. Yang mati tidak lebih dari satu orang c. Coba hitung sendiri! P() + P(1) 2 2. e P() = =,13534 1! 1 2 2. e,2768 P(1) = = =,2768 1! 1 jadip() + P(1) =,13534+,2768= 4,6%,462
Teorema Distribusi poisson p(x, λt) mempunyai rata-rata dan variansi sbb µ = λt dan Contoh 4 2 σ = λt Rata-rata banyaknya partikel radio atif yang meleati suatu penghitung selama 1 milidetik dalam suatu percobaan di laboratorium adalah 4. berapa probabilitas 6 partikel melewati penhtung it dalam 1 milidetik tertentu. Jawab: x = 6; µ = λt= 4 dari tabel poisson dengan diperoleh 4 6 6 5 e ( 4) 6! x= x= p( 64 ; ) = = p(x; 4 ) p(x; 4 ) = 8893, 7851, = 142, dari 2 diperoleh µ = λt= 4 danσ = 4 µ + 2σ = 8 dan µ 2σ = Jadi, selang yang ditanyakan adalah dari sampai 8
r 1 : : : Tabel 4 Cara menggunakan tabel Poisson. 1....... 4.......... µ 5,785 1 6,889 3 : : Untuk 16 n=15, p=.4, menggunakan tabel diperoleh: 6 p(x; 4) = 8893. x= 5 x= p(x; 4) = 7851. Meggunakan R: > ppois(6,4) [1].889326 > ppois(5,4) [1].785134
Teorema Misalkan X perubah acak binomial dengan distribusi probabilitas b(x,n,p). Jika n, p dan µ = np tetap sama maka b(x,n,p) p(x, µ ) Contoh 3 Dalam suatu proses produksi yang menghasilkan barang dari gelas, terjadi gelembung(cacat) yang kadang menyebabkan sulit dipasarkan. Jika diketahui rata-rata 1 dari 1 barang yang dihasilkan mempunyai satu atau lebih gelembung. Berapa probailiasnya bahwa dalam sampel acak sebesar 8 barang akan erisi kurang dari 7 yang bergelembung? Jawab: n=8, p=.1 dihampiri dengan distribusi poisson dengan µ = ( 8)( 1, ) = 8 diperoleh menggunakan tabel: 28
Jika tidak menggunakan tabel, cara lain, gunakan R, langkahnya > pbinom(6,8,.1) [1].3132521 > ppois(6,8) [1].3133743 Diperoleh: Dan 6 6 P(X < 7) = b(x; 81,. ) = p(x; 8) = 3134, 6 x= 6 x= x= x= b(x; 81,. ) =.3132521 p(x; 8) =.3133743
Suatu proses dikatakan mengikuti proses Poisson jika memenuhi kriteria sebagai berikut: 1. Jumlah kejadian yang muncul dalam satu interval waktu atau daerah tertentu adalah independen terhadap kejadian yang muncul pada interval waktu atau daerah tertentu lainnya yang disjoin. 2. Probabilitas munculnya lebih dari satu kejadian dalam selang waktu yang sangat pendek atau daerah yang sangat sempit tersebut adalah sangat kecil dan dapat diabaikan. TELKOM POLYTECHNIC/HANUNG