PENGGUNAAN PROGRAM BILANGAN BULAT UNTUK MENYELESAIKAN MASALAH PEMOTONGAN KAYU DI PT. INDO VENEER UTAMA SURAKARTA

PENGGUNAAN PROGRAM BILANGAN BULAT UNTUK MENYELESAIKAN MASALAH PEMOTONGAN KAYU DI PT. INDO VENEER UTAMA SURAKARTA oleh SWARGADI RIFKY HABIBI M0101048 SKRIPSI ditulis dan diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratan memperoleh gelar Sarjana Sains Matematika FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SEBELAS MARET SURAKARTA 2009 i

SKRIPSI PENGGUNAAN PROGRAM BILANGAN BULAT UNTUK MENYELESAIKAN MASALAH PEMOTONGAN KAYU DI PT. INDO VENEER UTAMA SURAKARTA yang disiapkan dan disusun oleh SWARGADI RIFKY HABIBI M0101048 Pembimbing I, dibimbing oleh Pembimbing II, Dra. Diari Indriati, M.Si NIP 19610112 198811 2 001 Drs. Tri Atmojo K, M.Sc, Ph.D NIP 19630826 198803 1 002 Telah dipertahankan di depan Dewan Penguji pada hari Rabu, tanggal 22 Juli 2009 dan dinyatakan telah memenuhi syarat. Anggota Tim Penguji Tanda Tangan 1. Drs. Siswanto, M.Si NIP 19670813 199203 1 002 1.... 2. Dra. Sri Sulistijowati H, M.Si NIP 19690116 199402 2 001 2.... 3. Drs. Kartiko, M.Si NIP 19500715 198601 1 001 3.... Surakarta,... Juli 2009 Disahkan oleh Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Dekan, Ketua Jurusan Matematika, Prof. Drs. Sutarno, M.Sc., Ph.D Drs. Kartiko, M.Si NIP 19600809 198612 1 001 NIP 19500715 198601 1 001 ii

ABSTRAK Swargadi R, 2009. PENGGUNAAN PROGRAM BILANGAN BULAT UNTUK MENYELESAIKAN MASALAH PEMOTONGAN KAYU DI PT. INDO VENEER UTAMA SURAKARTA, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Sebelas Maret Pokok pikiran dalam menggunakan program bilangan bulat (integer programming) adalah dengan merumuskan masalah dari informasi yang tersedia, kemudian menterjemahkannya ke dalam bentuk model matematika. Salah satu penggunaan pemrograman bilangan bulat dalam bidang industri yaitu masalah optimalisasi produksi, yang membutuhkan variabel bernilai bulat. Pada permasalahan pemotongan kayu di PT. Indo Veneer Utama terdapat variasi panjang kayu dan jumlah persediaan kayu yang terbatas. Tujuan dari penulisan ini adalah menyelesaikan permasalahan program linear bilangan bulat yaitu meminimumkan sisa potongan kayu dengan menggunakan metode cabang dan batas. Berdasarkan pembahasan, diperoleh solusi optimal untuk diameter 50-79 cm yaitu x 1 = 1; x 2 = 13; x 5 = 1; x 8 = 24; x 9 = 4, sedangkan untuk diameter 80 cm diperoleh hasil x 9 = 9; x 11 = 3; x 14 = 1; x 17 = 1; x 18 = 2; x 22 = 3, dengan x j adalah banyaknya kayu dengan panjang standar yang dipotong menurut pola j. Kata kunci: Pemrograman Bilangan Bulat, Metode Cabang dan Batas. iii

ABSTRACT Swargadi R, 2009. THE USAGE OF INTEGER PROGRAMMING TO SOLVE THE PROBLEM OF CUTTING WOOD IN PT. INDO VENEER UTAMA SURAKARTA, Faculty of Mathematics and Natural Sciences, Sebelas Maret University The main idea used in the integer linear programming is by formulating the problem from available information, then transforming it into mathematical model. One of using the integer programming in the field of industry that is problem optimalization production, which requiring integer variable. Problems of cutting wood in PT. Indo Veneer Utama are long wood variation and limited wood supply. The objective of this paper is to solve the integer linear programming problem that is minimizing the rest of wood cutting by using branch and bound method. Based on the result of research, it is obtained that the optimal solution for diameter 50-79 cm is x 1 = 1; x 2 = 13; x 5 = 1; x 8 = 24; x 9 = 4, while for diameter 80 cm is x 9 = 9; x 11 = 3; x 14 = 1; x 17 = 1; x 18 = 2; x 22 = 3, where x j is the number of wood with crosscut standard length according pattern j. Key words: Integer Programming, Branch and Bound Method. iv

MOTTO Allah SWT tidak membebani seseorang melainkan sesuai dengan kesanggupannya ( QS. Al Baqarah: 286 ) Sesungguhnya Allah SWT beserta orang orang yang yang sabar ( QS. Al Anfaal: 46 ) Apa saja nikmat yang kamu peroleh adalah dari Allah SWT, dan apa saja bencana yang menimpamu, maka dari (kesalahan) dirimu sendiri ( QS. Al Nisaa : 79 ) Jangan pernah berhenti berjuang, karena setiap langkah perjuangan kita ada harapan dari orang-orang tercinta kita demi masa depan kita Suatu keputusan yang Bijaksana adalah fokus dalam mencari solusi dari masalah bukan fokus pada masalah You Can, if You Think You Can ( Dr Norman V Peal ) v

PERSEMBAHAN Karya sederhana ini kupersembahkan untuk : v Bapak, Ibu & Seluruh Keluarga v Seseorang yang benar benar menginginkan saya bisa lulus kuliah vi

KATA PENGANTAR Puja dan puji syukur penulis panjatkan kehadirat ALLAH SWT yang telah melimpahkan rahmat dan hidayah-nya, sehingga penulis dapat menyelesaikan penulisan skripsi ini. Shalawat serta salam semoga tercurah kepada suri teladan kita, Rasulullah Muhammad SAW. Skripsi ini tidak akan dapat tersusun tanpa adanya bimbingan, petunjuk, saran, dan dukungan dari berbagai pihak. Pada kesempatan ini penulis ingin menyampaikan ucapan terima kasih kepada pihak yang telah membantu penulis dalam penyusunan skripsi ini, terutama kepada : 1. Ibu Dra. Diari Indriati, M.Si, dan Bapak Drs. Tri Atmojo K, M.Sc, Ph.D, selaku Dosen Pembimbing I dan Dosen Pembimbing II yang dengan sabar mengarahkan dan membimbing penulis dalam penyusunan skripsi ini, 2. Ibu Dra. Respatiwulan, M.Si, selaku Pembimbing Akademis yang telah memberikan bimbingan, masukan dan dorongan semangat untuk lebih baik, 3. Seluruh staf dosen dan karyawan, khususnya di Jurusan Matematika dan umumnya di Fakultas MIPA, 4. Bapak Yadi, atas bantuan dan kemudahan dalam pengambilan data, 5. Teman teman seperjuangan angkatan 2001, Suparno, Guritna, Intan, Priyanto dan Tezar atas bantuan, semangat, ilmu serta dukungannya, 6. Sri Mulyani, seseorang yang selalu sabar dalam memberi semangat, dukungan serta do anya, 7. Semua pihak yang tidak dapat penulis sebutkan satu persatu. Semua pihak yang telah membantu penulisan skripsi ini, yang tidak dapat penulis sebutkan satu persatu. Terlepas dari kekurangan yang ada dalam skripsi ini, semoga memberikan manfaat bagi para pembaca. Surakarta, Juni 2009 Penulis vii

DAFTAR ISI JUDUL... i PENGESAHAN... ii ABSTRAK... iii ABSTRACT... iv MOTTO.... v PERSEMBAHAN...... vi KATA PENGANTAR..... vii DAFTAR ISI... viii DAFTAR TABEL... x DAFTAR GAMBAR... xi DAFTAR LAMPIRAN... xii I. PENDAHULUAN 1 1.1 Latar Belakang Masalah..... 1 1.2 Perumusan Masalah.... 3 1.3 Batasan Masalah..... 3 1.4 Tujuan Penulisan..... 3 1.5 Manfaat Penulisan... 3 II. LANDASAN TEORI 4 2.1 Tinjauan Pustaka..... 4 2.1.1 Pemrograman Bilangan Bulat...... 4 2.1.2 Bentuk Umum Program Bilangan Bulat... 4 2.1.3 Metode Cabang dan Batas...... 5 2.1.3.1 Pencabangan... 5 2.1.3.2 Pembatasan... 7 viii

2.1.3.3 Penghentian... 8 2.1.3.4 Uji Keoptimuman... 8 2.1.4 Metode Simpleks...... 9 2.2 Kerangka Pemikiran...... 11 III. METODE PENELITIAN 12 IV. PEMBAHASAN 13 4.1 Deskripsi Lokasi...... 13 4.2 Bahan Baku..... 13 4.3 Peralatan... 13 4.4 Sistem Kerja.........13 4.5 Data Hasil Penelitian...... 14 4.6 Pembuatan Model.... 14 4.6.1 Asumsi-asumsi........... 14 4.6.2 Pembuatan Model Matematika.....15 4.6.2.1 Model Matematika Pemotongan Kayu Diameter 50 79 cm...18 4.6.2.2 Model Matematika Pemotongan Kayu Diameter 80 cm...18 4.7 Penyelesaian Model Menggunakan Metode Cabang dan Batas dan Analisis Hasil Penyelesaian.. 19 V. PENUTUP 31 5.1 Kesimpulan..... 31 5.2 Saran... 32 DAFTAR PUSTAKA 33 LAMPIRAN. 34 ix

DAFTAR TABEL 4.1 Pola Pemotongan untuk Diameter 50-79 cm dengan Panjang Standar 10,24 m...... 15 4.2 Pola Pemotongan untuk Diameter > 80 cm dengan Panjang Standar 11,3 m... 16 x

DAFTAR GAMBAR 4.1 Contoh Pencabangan... 6 4.2 Iterasi Pertama Pencabangan Kayu dengan Diameter 50 79 cm... 21 4.3 Iterasi Kedua Pencabangan Kayu dengan Diameter 50 79 cm... 21 4.4 Iterasi Ketiga Pencabangan Kayu dengan Diameter 50 79 cm... 22 4.5 Iterasi Pertama Pencabangan Kayu dengan Diameter 80 cm... 26 4.6 Iterasi Kedua Pencabangan Kayu dengan Diameter 80 cm... 27 4.7 Iterasi Ketiga Pencabangan Kayu dengan Diameter 80 cm... 28 xi

DAFTAR LAMPIRAN Lampiran 1. Tabel Kayu Logs Merbau dengan Diameter 50-79 cm... 34 Lampiran 2. Tabel Kayu Logs Merbau dengan Diameter 80 cm..... 36 Lampiran 3. Penyelesaian Metode 2 Tahap untuk Kayu Logs Merbau dengan Diameter 50-79 cm... 38 Lampiran 4. Pohon Penyelesaian Kayu Logs Merbau dengan Diameter 50-79 cm..... 41 Lampiran 5. Nilai-nilai Hasil Penerapan Metode Pencabangan dan Pembatasan untuk Kayu Logs Merbau dengan Diameter 50-79 cm........ 42 Lampiran 6. Penyelesaian Metode 2 Tahap untuk Kayu Logs Merbau dengan Diameter 80 cm..... 51 Lampiran 7. Pohon Penyelesaian Kayu Logs Merbau dengan Diameter 80 cm... 57 Lampiran 8. Nilai-nilai Hasil Penerapan Metode Pencabangan dan Pembatasan untuk Kayu Logs Merbau dengan Diameter 80 cm........ 61 xii

BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Masalah Dalam kehidupan sehari-hari banyak dijumpai permasalahan dengan tujuan untuk mendapatkan suatu penyelesaian secara optimal, hal ini dapat dilihat dari usaha untuk memaksimalkan atau meminimalkan sumber-sumber yang terbatas. Sumber-sumber tersebut antara lain mesin, tenaga kerja, bahan baku, peralatan, dan lain sebagainya. Dengan alasan itulah, diperkenalkan riset operasi (operation research) yang pada prinsipnya berisi teknik kuantitatif yang banyak dipakai dalam pengambilan keputusan. Riset operasi merupakan metode untuk menformulasikan atau merumuskan permasalahan sehari-hari ke dalam pemodelan matematika untuk mendapatkan penyelesaian yang optimal (Bustani, 2005). Salah satu alat riset operasi yang efektif untuk menyelesaikan masalah optimalisasi adalah pemrograman linear. Pokok pikiran dalam menggunakan program linear adalah dengan merumuskan masalah dari informasi yang tersedia, kemudian menterjemahkannya ke dalam bentuk model matematika. Sifat linear di sini memberi arti bahwa seluruh fungsi matematis dalam model ini merupakan fungsi linear, sedangkan kata pemrograman merupakan sinonim dari perencanaan. Pemrograman linear dapat digunakan pada berbagai permasalahan dalam berbagai bidang kegiatan. Permasalahan-permasalahan ini dapat dimodelkan menjadi bermacam-macam model, seperti model transportasi, model penugasan, dan lainlain sebagainya. Pada penelitian ini, mengkhususkan pembahasan mengenai penggunaan pemrograman linear dalam bidang industri yaitu masalah optimalisasi produksi. Hampir semua perusahaan komersial mempunyai tujuan yaitu pencapaian keuntungan hingga semaksimal mungkin dan penekanan kerugian hingga seminimal mungkin. Salah satu faktor yang mempengaruhi pendapatan adalah penanganan persediaan bahan. Penanganan persediaan bahan yang tepat dapat xiii 1

membantu perusahaan meraih keuntungan. Sebaliknya, penanganan persediaan bahan yang tidak tepat dapat menyebabkan kerugian bagi perusahaan. Masalah produksi ini kadang mengharuskan beberapa atau semua variabelnya bernilai bulat. Seperti pada industri mebel, yang optimalisasi produksinya adalah menentukan jumlah produk-produk yang akan dibuat. Produk seperti kayu untuk bahan membuat meja, kursi dan lemari harus dibuat dalam keadaan utuh atau bernilai bulat, sehingga diperlukan suatu pemrograman lain untuk mengoptimalkan. Permasalahan pemrograman linear yang membutuhkan variabel bernilai bulat dapat menggunakan pemrograman bilangan bulat (integer programming) (Gamal, 2003). Pemrograman bilangan bulat ini dikatakan linear jika fungsi obyektif dan kendalanya berbentuk linear, sehingga pemrograman ini disebut pemrograman linear bilangan bulat (integer linear programming). Pada pemrograman linear bilangan bulat, fungsi-fungsinya hampir sama dengan pemrograman linear, hanya ditambahkan syarat bilangan bulat pada kendala nonnegativitas. PT. Indo Veneer Utama, salah satu industri perkayuan yang ada di Surakarta. PT. Indo Veneer Utama memproduksi batangan-batangan kayu menjadi persediaan kayu dalam potongan-potongan yang lebih kecil. Tetapi selama ini penggunaan bahan baku kurang optimal sehingga menyebabkan banyaknya sisa hasil produksi yang tidak bisa digunakan lagi. Pada penulisan ini dikaji penyelesaian permasalahan pemotongan kayu di PT. Indo Veneer Utama dimana terdapat variasi panjang kayu dan mempunyai jumlah persediaan yang terbatas. Setiap potongan kayu yang diperoleh dari kayu batangan yang dipotong menurut ukuran yang dikehendaki, dimana sebatang kayu dapat dipotong menurut berbagai pola potong sesuai ukuran permintaan (Linawati, 2005). Oleh karena itu, perlu dibangun suatu model yang dapat meminimalkan nilai total sisa pemotongan kayu. Berdasarkan model yang diperoleh, meminimalkan penggunaan kayu berarti juga meminimalkan nilai total sisa pemotongan kayu. xiv

1.2 Perumusan Masalah Berdasarkan latar belakang masalah, permasalahan yang dibahas dalam penulisan skripsi ini adalah 1. bagaimana membuat model matematika untuk meminimalkan nilai total sisa pemotongan kayu? 2. bagaimana menentukan penyelesaian dari model matematika tersebut sehingga tercapai keoptimalan dan menganalisisnya? 1.3 Batasan Masalah Pembahasan masalah dalam skripsi ini dibatasi oleh hal-hal sebagai berikut 1. persediaan bahan homogen berbentuk kayu batangan lurus tanpa cacat, 2. serpihan bahan yang terbuang pada proses pemotongan diabaikan (dianggap tidak ada), 3. pola pemotongan satu dimensi. 1.4 Tujuan Penulisan Tujuan dalam penulisan skripsi ini adalah 1. dapat membuat model matematika untuk meminimalkan nilai total sisa pemotongan kayu, 2. dapat menentukan penyelesaian dari model matematika tersebut sehingga tercapai keoptimalan dan menganalisisnya. 1.5 Manfaat Penulisan Manfaat dari penulisan skripsi ini adalah 1. menambah wawasan dan memperluas penerapan matematika khususnya bidang riset operasi pada industri dan perusahaan, 2. perusahaan PT. Indo Veneer Utama yang mempunyai permasalahan pemotongan kayu bisa menyelesaikan permasalahannya sehingga bisa meningkatkan keuntungan perusahaan. xv

BAB II LANDASAN TEORI 2.1 Tinjauan Pustaka 2.1.1 Pemrograman Bilangan Bulat Menurut Hillier dan Lieberman (1994), model matematika untuk pemrograman bilangan bulat sama dengan model pemrograman linear, dengan penambahan satu batasan yaitu batasan bahwa semua atau sebagian nilai variabelnya berupa bilangan bulat. Jika semua nilai variabelnya bilangan bulat, maka pemrograman ini disebut pemrograman bilangan bulat murni, tetapi jika hanya beberapa variabel berupa bilangan bulat, maka disebut pemrograman bilangan bulat campuran. 2.1.2 Bentuk Umum Program Bilangan Bulat Menurut Mulyono (1991), bentuk umum program bilangan bulat adalah : Maksimalkan / Minimalkan Z = n å j= 1 c j x j Kendala : æ ö n ç å aij x jç= = ç bi j 1 è³ ø x j 0 x j bilangan bulat untuk i = 1, 2,..., m; j = 1, 2,..., n. Z : fungsi tujuan c j : koefisien fungsi tujuan x j : variabel yang tidak diketahui a ij : koefisien kendala b i : nilai ruas kanan kendala (2.1) 4 xvi

Bentuk umum program tersebut harus berada pada bentuk standar. Perubahan ke bentuk standar dengan cara sebagai berikut 1. Menambahkan variabel slack pada setiap persamaan kendala yang mengandung hubungan fungsional ( ). 2. Mengurangkan variabel surplus pada setiap persamaan kendala yang mengandung hubungan fungsional ( ). 3. Menambahkan variabel buatan pada setiap persamaan yang mengandung hubungan fungsional ( atau =). 2.1.3 Metode Cabang dan Batas Salah satu metode untuk menyelesaikan program bilangan bulat adalah metode pencabangan dan pembatasan (Hillier dan Lieberman, 1994). Dalam metode pencabangan dan pembatasan didefinisikan program linear relaksasi yaitu program bilangan bulat yang dihilangkan batas bilangan bulatnya. Pada dasarnya metode pencabangan dan pembatasan mengandung 3 langkah dasar, yaitu pencabangan, pembatasan, dan penghentian. 2.1.3.1 Pencabangan Variabel yang dibatasi bilangan bulat dengan nilai bukan bilangan bulat pada penyelesaian program linear relaksasi dipilih sebagai variabel pencabangan. Misal x k = * x k, dimana x k adalah variabel yang dibatasi bilangan bulat, sedangkan * x k adalah bilangan bukan bilangan bulat, maka x k dapat dipilih sebagai variabel pencabangan. Dengan memilih x k sebagai variabel pencabangan diperoleh 2 submasalah, yaitu : Submasalah 1. Submasalah 1 dibuat dengan cara menambahkan kendala bentuk umum, sehingga bentuknya menjadi seperti berikut x < [ x ] pada k * k Maksimalkan / Minimalkan Z = n å j= 1 c j x j xvii

Kendala : æ ö n ç å aij x jç= = ç bi j 1 è³ ø x < [ x ] k x j 0 Submasalah 2. * k x j bilangan bulat untuk i = 1, 2,..., m; j = 1, 2,..., n. Submasalah 2 dibuat dengan cara menambahkan kendala bentuk umum, sehingga bentuknya menjadi seperti berikut x > [ x ] + 1 pada k * k Maksimalkan / Minimalkan Kendala : æ ö n ç å aij x jç= = ç bi j 1 è³ ø x > [ x ] + 1 k x j 0 * k x j bilangan bulat untuk i = 1, 2,..., m; j = 1, 2,..., n. Z = n å j= 1 c j x j Dengan [ x ] adalah bilangan bulat terbesar yang kurang dari * k * x k, dan [ x ] + 1 adalah bilangan bulat terkecil yang lebih dari * k Awal * x k. Pencabangan tersebut diilustrasikan seperti tampak dalam Gambar 2.1 x < [ x ] k * k x > [ x ] + 1 k * k 1 2 Gambar 2.1 Contoh Pencabangan xviii

Menurut Bronson (1996), biasanya pencabangan dilakukan pada program yang mendekati optimal. Apabila terdapat lebih dari satu program yang menjadi calon untuk pencabangan selanjutnya, dipilih program yang memiliki harga Z terbesar jika fungsi objektifnya hendak dimaksimalkan, atau yang memiliki harga Z terkecil jika fungsi objektifnya hendak diminimalkan. Pada tiap pencabangan ditambahkan sebuah kendala tambahan. Jika suatu aproksimasi pertama mengandung lebih dari satu variabel tak bulat, maka kendala-kendala yang baru ini hanya diperkenalkan pada variabel yang menyimpang paling jauh dari bilangan bulat, yakni variabel yang bagian pecahannya mendekati 0,5. Dalam hal berakhir seri, maka dapat dipilih secara sembarang salah satu variabelnya. Seandainya suatu program bilangan bulat memiliki lebih dari satu pemecahan, maka dapat dipilih secara sembarang salah satu pemecahannya sebagai yang optimal dan mengabaikan yang sisanya. Pencabangan dilakukan setahap demi setahap sampai diperoleh penyelesaian bilangan bulat optimal. Seluruh tahapan pencabangan digambarkan sebagai pohon penyelesaian. 2.1.3.2 Pembatasan Untuk setiap submasalah diperlukan suatu batas untuk penyelesaian fisibel terbaiknya, yaitu dengan menyelesaikan program linear relaksasi dari submasalah tersebut menggunakan metode simpleks. Proses pencabangan akan terus dilakukan hingga diperoleh sebuah pemecahan bilangan bulat yang pertama. Nilai obyektif dari pemecahan bilangan bulat yang pertama harus disimpan sebagai incumbent (penyelesaian terbaik sementara) dan menjadi suatu batas terbawah untuk masalah memaksimalkan atau sebagai batas teratas untuk masalah meminimalkan. Proses pencabangan ini terus berlanjut dari nilai obyektif pemecahan bilangan tak bulat yang memberikan nilai-nilai fungsi obyektif dan lebih kecil daripada batas teratas (untuk masalah meminimalkan). Jika dalam proses pencabangan ditemukan sebuah pemecahan bilangan bulat baru, yang nilai fungsi obyektifnya lebih kecil daripada batas teratas maka nilai dari fungsi obyektif xix

tersebut menjadi batas atas yang baru. Nilai fungsi obyektif yang menghasilkan nilai yang sama dengan batas teratas atau lebih besar dari batas teratas yang terbaru (meminimalkan) selanjutnya akan diabaikan (pencabangan dihentikan). 2.1.3.3 Penghentian Suatu submasalah dengan variabel keputusan yang dibatasi bilangan bulat pada program linear relaksasinya mempunyai nilai yang bilangan bulat, maka penyelesaian tersebut merupakan penyelesaian optimal submasalah itu sendiri dan disimpan sebagai incumbent. Nilai ini dinyatakan sebagai Z* sama dengan nilai untuk incumbent sementara. Selanjutnya suatu submasalah dapat dihentikan atau dihapuskan apabila memenuhi salah satu dari uji penghentian berikut Uji 1. Batas submasalah > Z* Suatu submasalah dengan Z > Z* harus dihentikan karena apabila dilakukan pencabangan untuk submasalah ini maka tidak akan diperoleh penyelesaian yang lebih baik dari Z* atau incumbent. Uji 2. Penghentian langsung Jika dengan metode simpleks program linear relaksasinya tidak mempunyai penyelesaian fisibel, maka submasalah tersebut dihilangkan /dihapus. Uji 3. Penyelesaian optimal program linear relaksasinya berupa penyelesaian bilangan bulat. Jika penyelesaian ini lebih baik (lebih kecil) dari incumbent yang ada maka penyelesaian ini menjadi incumbent yang baru, dan uji 1 digunakan kembali untuk submasalah yang belum dihentikan dengan nilai Z* baru yang lebih kecil. 2.1.3.4 Uji Keoptimalan Penyelesaian program (2.1) optimal jika tidak ada lagi submasalah yang masih harus dicabangkan. Penyelesaian optimal dari masalah (2.1) adalah penyelesaian yang menjadi incumbent terakhir. Jika tidak ada penyelesaian yang menjadi incumbent, maka disimpulkan bahwa masalah (2.1) tidak mempunyai penyelesaian fisibel. xx

2.1.4 Metode Simpleks Metode simpleks adalah suatu prosedur berulang-ulang yang bergerak dari satu penyelesaian dasar fisibel ke arah penyelesaian fisibel berikutnya sedemikian sehingga fungsi tujuan ke arah optimal. Penyelesaian dasar fisibel diperoleh jika semua variabel dasar tidak negatif. Suatu penyelesaian dasar fisibel yang mengoptimalkan fungsi tujuan disebut penyelesaian dasar fisibel optimal. Berikut diberikan definisi-definisi yang dikutip dari buku Taha (1996) Definisi 2.1.1 Variabel dasar adalah variabel yang nilainya tidak nol dalam tabel simpleks. Sebaliknya, variabel tidak dasar adalah variabel yang bernilai nol dalam tabel simpleks. Definisi 2.1.2 Entering variabel (ev) adalah variabel tidak dasar yang akan menjadi variabel dasar pada iterasi berikutnya. Definisi 2.1.3 Leaving variabel (lv) adalah variabel dasar yang akan keluar menjadi variabel tidak dasar pada iterasi berikutnya. Definisi 2.1.4 Elemen Pivot adalah elemen yang merupakan irisan antara kolom masuk dan persamaan pivot. Definisi 2.1.5 Kondisi Optimalitas : variabel masuk dalam maksimisasi (minimisasi) adalah variabel nondasar dengan koefisien yang paling negatif (positif) dalam persamaan tujuan Z. Definisi 2.1.6 Kondisi Kelayakan : untuk masalah maksimisasi maupun minimisasi, variabel keluar adalah variabel dasar saat ini yang memiliki titik potong terkecil (rasio minimal dengan penyebut yang positif secara ketat) dalam arah variabel masuk. Langkah-langkah dalam metode simpleks sebagai berikut Langkah 0 : Dengan menggunakan bentuk standar, ditentukan pemecahan dasar awal yang fisibel. Langkah 1 : Dipilih ev diantara variabel nondasar dengan menggunakan kondisi optimalitas. xxi

Langkah 2 : Dipilih lv dari variabel dasar dengan menggunakan kondisi kelayakan. Langkah 3 : Ditentukan nilai variabel dasar yang baru dengan membuat ev tersebut sebagai variabel dasar dan lv sebagai variabel nondasar. Kembali ke Langkah 1. Setelah ev dan lv ditemukan, iterasi berikutnya dilakukan dengan metode Gauss-Jordan. Metode ini menyebabkan adanya perubahan dalam variabel dasar dengan menggunakan dua jenis perhitungan : Tipe I (persamaan pivot) persamaan pivot baru = persamaan pivot lama dibagi elemen pivot Tipe II (untuk semua persamaan) persamaan baru = persamaan lama dikurangi (koefisien kolom masuk dikalikan persamaan pivot baru) Dalam metode simpleks terkadang muncul suatu kejadian khusus sehingga tidak diperoleh suatu keputusan yang jelas (Taha, 1996). Kejadian-kejadian khusus tersebut adalah sebagai berikut 1. Degenerasi. Degenerasi merupakan suatu kondisi di mana variabel dasar bernilai nol pada iterasi selanjutnya dan nilainya tujuannya tidak berubah. Degenerasi mempunyai 2 implikasi, implikasi pertama berkaitan dengan fenomena perputaran (cycling) yang nantinya akan mengulang urutan iterasi yang sama tanpa pernah memperbaiki nilai tujuan dan tidak pernah mengakhiri perhitungan, implikasi kedua timbul argumen untuk kemungkinan menghentikan perhitungan meski pemecahan tidak optimal. 2. Optimal alternatif. Hal ini terjadi bila suatu masalah mempunyai lebih dari satu penyelesaian fisibel dasar yang optimal. Suatu penyelesaian dengan metode simpleks mempunyai penyelesaian alternatif bila sekurang-kurangnya satu di antara variabel-variabel tidak dasar memiliki koefisien nol pada fungsi tujuan. Apabila variabel ini dipilih sebagai ev maka tidak akan mengubah nilai Z. xxii

3. Penyelesaian tidak dibatasi. Hal ini terjadi apabila ruang penyelesaian tidak dibatasi sehingga tujuan dapat meningkat secara pesat. 4. Penyelesaian tidak fisibel. Pemecahan tidak fisibel terjadi bila kendala tidak dipenuhi secara simultan. 2.2 Kerangka Pemikiran Model Matematika dari permasalahan pemotongan kayu dapat diturunkan dengan terlebih dulu mendefinisikan variabel-variabel dan tujuannya. Selanjutnya, dapat dibangun kendala dan fungsi tujuan model matematika dari permasalahan pemotongan kayu. Model matematika dari permasalahan pemotongan kayu diselesaikan dengan metode simpleks. Apabila salah satu nilai optimal variabel keputusan yang diperoleh dari metode simpleks tidak bilangan bulat maka penyelesaian optimal bilangan bulat dicari dengan pemrograman bilangan bulat. xxiii

BAB III METODE PENELITIAN Metode yang digunakan dalam penulisan skripsi ini adalah gabungan studi literatur dan studi kasus. Langkah-langkah yang dilakukan adalah 1. Mengkaji tentang program linear, metode simpleks, program bilangan bulat. 2. Mengambil data-data yang diperlukan di PT. Indo Veneer Utama. 3. Membuat model matematika untuk meminimalkan nilai total sisa pemotongan kayu. 4. Menyelesaikan model matematika tersebut dengan metode simpleks program bilangan bulat. 5. Aplikasi menggunakan paket software TORA. 6. Menganalisis hasil penyelesaian model matematika tesebut. 7. Menarik kesimpulan. xxiv 12

BAB IV PEMBAHASAN 4.1. Deskripsi Lokasi Penelitian dilakukan di PT. Indo Veneer Utama yang merupakan salah satu perusahaan besar yang bergerak di bidang usaha perkayuan yang ada di Surakarta, Jawa Tengah. Lokasi perusahaannya berada di jalan Adi Sucipto, desa Blulukan, Kecamatan Colomadu, Kabupaten Karanganyar, Jawa Tengah. Luas area perusahaan adalah 3.820 m 3. 4.2. Bahan Baku Bahan baku utama yang digunakan PT. Indo Veneer Utama untuk pembuatan furniture adalah kayu logs merbau. Yang disebut logs adalah kayu hasil penebangan dan dari sini proses pembuatan furniture berawal. Bahan baku ini dipasok dari Surabaya menggunakan trailer. 4.3. Peralatan 1. Sawmilling Alat untuk memotong kayu hasil penebangan (logs). 2. Traktor Pengangkut Kendaraan untuk mengangkut kayu hasil penebangan (logs) ke tempat penggergajian. 3. Meteran Alat untuk mengukur panjang kayu. 4.4. Sistem Kerja Sistem kerja di PT. Indo Veneer Utama sampai dengan proses penggergajian adalah sebagai berikut 1. Kayu hasil penebangan (logs) yang datang langsung masuk PT. Indo Veneer Utama dan didata di bagian logistik. 2. Logs dikelompokkan sesuai dengan kelompok diameter. xxv 13

3. Masuk ke proses penggergajian sesuai dengan kelompok diameter. 4. Proses penggergajian menggunakan sawmilling. 4.5. Data Hasil Penelitian Dari penelitian yang penulis lakukan di PT. Indo Veneer Utama diperoleh data-data mengenai bahan baku produksi, jenis produksi, dan laporan hasil produksi selama bulan Januari 2009. Perincian data bahan baku produksi PT. Indo Veneer Utama sebagai berikut Bahan Baku Utama Produksi di PT. Indo Veneer Utama adalah kayu logs merbau yang diambil dari Surabaya. Data bahan baku untuk kayu diameter 50-79 cm dan untuk kayu dengan diameter > 80 cm diberikan pada Lampiran 1 dan Lampiran 2. Berdasarkan data, diperoleh panjang standar untuk kayu dengan diameter 50-79 cm adalah 10,24 m dan panjang standar untuk kayu dengan diameter > 80 cm adalah 11,3 m, dimana panjang standar adalah panjang rata-rata kayu. 4.6. Pembuatan Model 4.6.1 Asumsi-asumsi Asumsi-asumsi yang digunakan dalam pembuatan model matematika dari formulasi persoalan pemotongan kayu di PT. Indo Veneer Utama adalah : 1. agar kayu dapat selalu diproduksi setiap waktu produksi, diasumsikan bahan berupa kayu logs merbau selalu tersedia untuk proses produksi, artinya persediaan kayu logs merbau selalu ada tidak dipengaruhi oleh keadaan alam. 2. pembuatan model setiap bulan tidak dipengaruhi oleh sisa produksi bulan sebelumnya. 3. persediaan bahan homogen berbentuk kayu batangan panjang lurus tanpa cacat. 4. perusahaan hanya menerima pemotongan kayu dengan panjang minimalnya adalah panjang standar. Panjang standar adalah panjang rata-rata logs. Panjang standar untuk pemotongan kayu dengan diameter 50-79 cm adalah 10,24 xxvi

meter dan panjang standar untuk pemotongan kayu dengan diameter > 80 cm adalah 11,3 meter. 4.6.2 Pembuatan Model Matematika Tabel 4.1. Pola Pemotongan untuk Diameter 50-79 cm dengan panjang standar 10,24 m Pola (j) Jumlah Panjang Jumlah Panjang Jumlah Panjang Sisa (cm) 100cm (Batang) 220 cm (Batang) 440 cm (Batang) 1 10 0 0 24 2 8 1 0 4 3 5 2 0 84 4 5 0 1 84 5 3 3 0 64 6 3 1 1 64 7 1 4 0 44 8 1 2 1 44 9 1 0 2 44 Keterangan : Cara menentukan pola yaitu kayu dengan panjang standar 10,24 m dipotong potong sesuai dengan panjang yang diinginkan, dengan segala kemungkinan cara pemotongan. Untuk membuat GF (Garden Furniture) diperlukan kayu-kayu dengan ukuran panjang 100 cm, 220 cm, dan 440 cm. Pola 1, dari panjang standar 10,24 m dipotong potong untuk panjang 100 cm diperoleh 10 potongan kayu dan masih mempunyai sisa 24 cm. Pola 2, dari panjang standar 10,24 m dipotong potong untuk panjang 100 cm diperoleh 8 potongan kayu, untuk panjang 220 cm diperoleh 1 potongan kayu dan masih mempunyai sisa 4 cm. Pola 3 s/d pola 9 diperoleh dengan cara yang sama. xxvii

Tabel 4.2. Pola Pemotongan untuk Diameter > 80 cm dengan panjang standar 11,3 m Pola (j) Jumlah Jumlah Jumlah Jumlah Sisa (cm) Panjang 100 Panjang 220 cm (Batang) cm (Batang) Panjang 285 cm (Batang) Panjang 440 cm (Batang) 1 11 0 0 0 30 2 9 1 0 0 10 3 8 0 1 0 45 4 6 2 0 0 90 5 6 1 1 0 25 6 6 0 0 1 90 7 5 0 2 0 60 8 4 3 0 0 70 9 4 2 1 0 5 10 4 1 0 1 70 11 4 0 1 1 5 12 3 1 2 0 40 13 2 4 0 0 50 14 2 2 0 1 50 15 2 0 0 2 50 16 2 0 3 0 75 17 1 2 2 0 20 18 1 0 2 1 20 19 0 5 0 0 30 20 0 3 0 1 30 21 0 1 3 0 55 22 0 1 0 2 30 Keterangan : Cara menentukan pola yaitu kayu dengan panjang standar 11,3 m dipotong potong sesuai dengan panjang yang diinginkan, dengan segala xxviii

kemungkinan cara pemotongan. Untuk membuat SD (Solid Door) diperlukan kayu-kayu dengan ukuran panjang 100 cm, 220 cm, 285 cm, dan 440 cm. Pola 1, dari panjang standar 11,3 m dipotong potong untuk panjang 100 cm diperoleh 11 potongan kayu dan masih mempunyai sisa 30 cm. Pola 2, dari panjang standar 11,3 m dipotong potong untuk panjang 100 cm diperoleh 9 potongan kayu, untuk panjang 220 cm diperoleh 1 potongan kayu dan masih mempunyai sisa 10 cm. Pola 3 s/d pola 21 diperoleh dengan cara yang sama. Permintaan : 1. Untuk membuat GF (Garden Furniture) diperlukan kayu-kayu dengan ukuran panjang 100 cm sebanyak 140 buah, 220 cm sebanyak 64 buah, dan 440 cm sebanyak 32 buah. 2. Untuk membuat SD (Solid Door) diperlukan kayu-kayu dengan ukuran panjang 100 cm sebanyak 52 buah, 220 cm sebanyak 24 buah, 285 cm sebanyak 18 buah, dan 440 cm sebanyak 12 buah. Merumuskan persoalan Program Linear sebagai berikut Minimalkan : Z = n å j= 1 c j x j Kendala : æ ö n ç å aij x jç= = ç bi j 1 è³ ø x j 0 x j bilangan bulat untuk i = 1, 2,..., m j = 1, 2,..., n Z : fungsi tujuan c j : koefisien fungsi tujuan x j : banyaknya kayu dengan panjang standar yang dipotong menurut pola j. xxix

a ij : jumlah potongan untuk panjang i dengan pola j b i : banyaknya pesanan untuk panjang i m : banyaknya pesanan n : banyaknya pola pemotongan yang mungkin. 4.6.2.1 Model Matematika Pemotongan Kayu Diameter 50 79 cm Sisa pemotongan + total permintaan = total panjang kayu yang di potong. Total permintaan pelanggan (m) = 140 (1) + 64 (2,2) + 32 (4,4) = 421,6 Total panjang kayu yang dipotong (m) = 10,24 (x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 + x 6 + x 7 + x 8 + x 9 ) Sisa pemotongan (m) = 10,24x 1 + 10,24x 2 + 10,24x 3 + 10,24x 4 + 10,24x 5 + 10,24x 6 + 10,24x 7 + 10,24x 8 + 10,24x 9 421,6 Fungsi tujuannya adalah meminimalkan sisa pemotongan, yaitu z = 10,24 x 1 + 10,24 x 2 + 10,24 x 3 + 10,24 x 4 + 10,24 x 5 + 10,24 x 6 + 10,24 x 7 + 10,24 x 8 + 10,24 x 9 421,6 Tanpa mempengaruhi optimasi, fungsi tujuan dapat ditulis sebagai berikut Minimalkan : Z = x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 + x 6 + x 7 + x 8 + x 9 kendala : 10x 1 + 8x 2 + 5x 3 + 5x 4 + 3x 5 + 3x 6 + x 7 + x 8 + x 9 > 140 x 2 + 2x 3 + 3x 5 + x 6 + 4x 7 + 2x 8 > 64 x 4 + x 6 + x 8 + 2x 9 > 32 x 1, x 2,..., x 9 0 dan bilangan bulat. ( 4.1 ) 4.6.2.2 Model Matematika Pemotongan Kayu Diameter 80 cm Sisa pemotongan + total permintaan = total panjang kayu yang di potong. Total permintaan pelanggan (m) = 52 (1) + 24 (2,2) + 18 (2,85) + 12 (4,4) = 208.9 Total panjang kayu yang dipotong (m) = 11,3(x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 + x 6 + x 7 + x 8 + x 9 + x 10 + x 11 + x 12 + x 13 + x 14 + x 15 + x 16 + x 17 + x 18 + x 19 + x 20 + x 21 + x 22 ) Sisa pemotongan (m) = 11,3x 1 + 11,3x 2 + 11,3x 3 + 11,3x 4 + 11,3x 5 + 11,3x 6 + 11,3x 7 + 11,3x 8 + 11,3x 9 + 11,3x 10 + 11,3x 11 + 11,3x 12 + xxx

11,3x 13 + 11,3x 14 + 11,3x 15 + 11,3x 16 + 11,3x 17 + 11,3x 18 + 11,3x 19 + 11,3x 20 + 11,3x 21 + 11,3x 22 208.9 Fungsi tujuannya adalah meminimalkan sisa pemotongan, yaitu z = 11,3 x 1 + 11,3 x 2 + 11,3 x 3 + 11,3 x 4 + 11,3 x 5 + 11,3 x 6 + 11,3 x 7 + 11,3 x 8 + 11,3 x 9 + 11,3 x 10 + 11,3 x 11 + 11,3 x 12 + 11,3 x 13 + 11,3 x 14 + 11,3 x 15 + 11,3 x 16 + 11,3 x 17 + 11,3 x 18 + 11,3 x 19 + 11,3 x 20 + 11,3 x 21 + 11,3 x 22 208.9 Tanpa mempengaruhi optimasi, fungsi tujuan dapat ditulis sebagai berikut Minimalkan : Z = x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 + x 6 + x 7 + x 8 + x 9 + x 10 + x 11 + x 12 + x 13 + x 14 + x 15 + x 16 + x 17 + x 18 + x 19 + x 20 + x 21 + x 22 kendala : 11x 1 + 9x 2 + 8x 3 + 6x 4 + 6x 5 + 6x 6 + 5x 7 + 4x 8 + 4x 9 + 4x 10 + 4x 11 + 3x 12 + 2x 13 + 2x 14 + 2x 15 + 2x 16 + x 17 + x 18 > 52 x 2 + 2x 4 + x 5 + 3x 8 + 2x 9 + x 10 + x 12 + 4x 13 + 2x 14 + 2x 17 + 5x 19 + 3x 20 + x 21 + x 22 > 24 x 3 + x 5 + 2x 7 + x 9 + x 11 + 2x 12 + 3x 16 + 2x 17 + 2x 18 + 3x 21 > 18 x 6 + x 10 + x 11 + x 14 + 2x 15 + x 18 + x 20 + 2x 22 > 12 x 1, x 2,..., x 22 0 dan bilangan bulat ( 4.2 ) 4.7. Penyelesaian Model Menggunakan Metode Cabang dan Batas dan Analisis Hasil Penyelesaian 4.7.1 Pola Pemotongan untuk Diameter 50-79 cm Penyelesaian optimal menggunakan Teknik 2 Tahap (Two Phase) Minimalkan r = R 1 + R 2 + R 3 = 236-10x 1-9x 2-7x 3-6x 4-6x 5-5x 6-5x 7-4x 8-3x 9 + x 10 + x 11 + x 12 kendala : 10x 1 + 8x 2 + 5x 3 + 5x 4 + 3x 5 + 3x 6 + x 7 + x 8 + x 9 - x 10 + R 1 = 140 x 2 + 2x 3 + 3x 5 + x 6 + 4x 7 + 2x 8 - x 11 + R 2 = 64 x 4 + x 6 + x 8 + 2x 9 - x 12 + R 3 = 32 x 1, x 2,..., x 12, R 1, R 2, R 3 > 0 dan bilangan bulat. xxxi

Langkah-langkah penyelesaian dengan menggunakan teknik 2 tahap diberikan pada Lampiran 3. Penyelesaian optimal untuk persoalan pemotongan kayu dengan diameter 50 79 cm adalah x 2 = 13,94; x 7 = 12,52; x 9 = 16; Z = 42,45. Karena penyelesaian optimal belum bilangan bulat, selanjutnya digunakan metode pencabangan dan pembatasan. Ditetapkan Z* = Iterasi 1 Pada penyelesaian optimal untuk program linear (4.1), variabel yang dibatasi bilangan bulat dengan nilai bukan bilangan bulat pertama adalah x 7 = 12,52; sehingga x 7 menjadi variabel pencabangan. Variabel pencabangan ini membuat dua submasalah baru, yaitu : Submasalah 1 : masalah (4.1) ditambah dengan kendala tambahan x 7 < 12. Minimalkan : Z = x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 + x 6 + x 7 + x 8 + x 9 kendala : 10x 1 + 8x 2 + 5x 3 + 5x 4 + 3x 5 + 3x 6 + x 7 + x 8 + x 9 > 140 x 2 + 2x 3 + 3x 5 + x 6 + 4x 7 + 2x 8 > 64 x 4 + x 6 + x 8 + 2x 9 > 32 x 7 < 12 x 1, x 2,..., x 9 > 0 dan bilangan bulat. Submasalah 2 : masalah (4.1) ditambah dengan kendala tambahan x 7 > 13. Minimalkan : Z = x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 + x 6 + x 7 + x 8 + x 9 kendala : 10x 1 + 8x 2 + 5x 3 + 5x 4 + 3x 5 + 3x 6 + x 7 + x 8 + x 9 140 x 2 + 2x 3 + 3x 5 + x 6 + 4x 7 + 2x 8 64 x 4 + x 6 + x 8 + 2x 9 32 x 7 13 x 1, x 2,..., x 9 0 dan bilangan bulat. xxxii

Proses pencabangan untuk iterasi 1 dapat dilihat pada Gambar 4.1 0 x 12 x ³ 13 7 7 1 2 Gambar 4.1 Iterasi pertama Penyelesaian optimal untuk submasalah 1 adalah ( x 1, x 2, x 3, x 4, x 5, x 6, x 7, x 8, x 9 ) = (0; 13,94; 0; 0; 0; 0; 12; 1,03; 15.48); dengan nilai Z = 42,45. Penyelesaian optimal untuk submasalah 2 adalah ( x 1, x 2, x 3, x 4, x 5, x 6, x 7, x 8, x 9 ) = (1,50; 12; 0; 0; 0; 0; 13; 0; 16); dengan nilai Z = 42,50. Karena nilai Z pada submasalah 1 submasalah 2, submasalah 1 harus dicabangkan lagi. Iterasi 2 Mencabangkan submasalah 1, variabel yang dibatasi bilangan bulat dengan nilai bukan bilangan bulat pada penyelesaian optimal submasalah 1 adalah x 9 = 15,48; sehingga x 9 menjadi variabel pencabangan. Variabel pencabangan submasalah 1 membuat dua submasalah baru, yaitu : Submasalah 3 : submasalah 1 ditambah dengan kendala x 9 < 15 Submasalah 4 : submasalah 1 ditambah dengan kendala x 9 > 16 Proses pencabangan untuk iterasi 2 dapat dilihat pada Gambar 4.2 1 x 15 x ³ 16 9 9 3 4 Gambar 4.2 Iterasi kedua xxxiii

Penyelesaian optimal untuk submasalah 3 adalah ( x 1, x 2, x 3, x 4, x 5, x 6, x 7, x 8, x 9 ) = (0; 13,94; 0; 0; 0; 0; 11,52; 12; 15); dengan nilai Z = 42,45. Penyelesaian optimal untuk submasalah 4 adalah ( x 1, x 2, x 3, x 4, x 5, x 6, x 7, x 8, x 9 ) = (0; 13,71; 0; 0; 0,76; 0; 12; 0; 16); dengan nilai Z = 42,48. Karena nilai Z pada submasalah 3 submasalah 4, submasalah 3 harus dicabangkan lagi. Iterasi 3 Mencabangkan submasalah 3, variabel yang dibatasi bilangan bulat dengan nilai bukan bilangan bulat pada penyelesaian optimal submasalah 3 adalah x 7 = 11,52; sehingga x 7 menjadi variabel pencabangan. Variabel pencabangan submasalah 3 membuat dua submasalah baru, yaitu : Submasalah 5 : submasalah 3 ditambah dengan kendala x 7 < 11 Submasalah 6 : submasalah 3 ditambah dengan kendala x 7 > 12 Proses pencabangan untuk iterasi 3 dapat dilihat pada Gambar 4.3 3 x 11 x ³ 12 7 7 5 6 Gambar 4.3 Iterasi ketiga Penyelesaian optimal untuk submasalah 5 adalah ( x 1, x 2, x 3, x 4, x 5, x 6, x 7, x 8, x 9 ) = (0; 13,94; 0; 0; 0; 0; 11; 3,03; 14,48); dengan nilai Z = 42,45. Penyelesaian optimal untuk submasalah 6 adalah ( x 1, x 2, x 3, x 4, x 5, x 6, x 7, x 8, x 9 ) = (1,50; 12; 0; 0; 0; 0; 12; 2; 15); dengan nilai Z = 42,48. xxxiv

Karena nilai Z pada submasalah 5 submasalah 6, submasalah 5 harus dicabangkan lagi. Iterasi selanjutnya Iterasi 3 memberikan sisa 2 submasalah yaitu submasalah 5 dan 6. Karena nilai Z pada submasalah 5 submasalah 6, submasalah 5 harus dicabangkan lagi. Submasalah 5 harus dicabangkan dalam iterasi 4, menggunakan metode pencabangan dan pembatasan diteruskan hingga diperoleh penyelesaian optimal bilangan bulat untuk masalah (4.1). Hasil penerapan metode pencabangan dan pembatasan pada masalah (4.1) diringkas dalam bentuk pohon penyelesaian. Pada pohon penyelesaian, angka yang berada di dalam lingkaran menunjukkan nomor submasalah. Lingkaran yang berwarna terang menunjukkan bahwa submasalah dengan nomor di dalam lingkaran tersebut masih harus dicabangkan. Sedangkan lingkaran yang berwarna gelap menunjukkan bahwa submasalah dengan nomor di dalam lingkaran telah memenuhi syarat penghentian sehingga sudah tidak dicabangkan. Pohon penyelesaian dan nilai-nilai hasil penerapan metode pencabangan dan pembatasan untuk kayu dengan diameter 50 79 cm (ada sebanyak 41 iterasi) diberikan pada Lampiran 4 dan Lampiran 5. Berdasarkan hasil pada Lampiran 4 dan Lampiran 5, Incumbent 1 (Z* baru) diperoleh dari submasalah 58 dalam iterasi 29 dan tidak ada incumbent yang baru (yang lebih baik lagi). Pada hasil diperoleh 3 penyelesaian optimal, yaitu pada submasalah 58 dalam iterasi 29, submasalah 75 dalam iterasi 38 dan submasalah 81 dalam iterasi 41. Selanjutnya akan diuji pada ketiga penyelesaian optimal tersebut manakah yang menghasilkan sisa pemotongan kayu diameter 50 79 cm yang paling minimal. Pengujian penyelesaian optimal untuk kayu dengan diameter 50-79 cm yang menghasilkan sisa pemotongan kayu yang paling minimal adalah Submasalah NILAI Keterangan Variabel keputusan Nilai Z ( x 1, x 2, x 3, x 4, x 5, x 6, x 7, x 8, x 9 ) 58 ( 1; 13; 0; 0; 1; 0; 0; 24; 4 ) 43 Integer,Incumbent 1 (Z* = 43) xxxv

Nilai total sisa pemotongan kayu diameter 50 79 cm adalah 1(24 cm) + 13(4 cm) + 1(64 cm) + 24(44 cm) + 4(44 cm) = ( 24 + 52 + 64 + 1056 + 176 ) cm = 1372 cm = 13,72 m. Submasalah NILAI Keterangan Variabel keputusan Nilai Z ( x 1, x 2, x 3, x 4, x 5, x 6, x 7, x 8, x 9 ) 75 ( 1; 10; 3; 0; 1; 2; 0; 22; 4 ) 43 Integer Nilai total sisa pemotongan kayu diameter 50 79 cm adalah 1(24 cm) + 10(4 cm) + 3(84 cm) + 1(64 cm) + 2(64 cm) + 22(44 cm) + 4(44 cm) = ( 24 + 40 + 252 + 64 + 128 + 968 + 176 ) cm = 1652 cm = 16,52 cm. Submasalah NILAI Keterangan Variabel keputusan Nilai Z ( x 1, x 2, x 3, x 4, x 5, x 6, x 7, x 8, x 9 ) 81 ( 1; 8; 5; 0; 1; 5; 0; 19; 4 ) 43 Integer Nilai total sisa pemotongan kayu diameter 50 79 cm adalah 1(24 cm) + 8(4 cm) + 5(84 cm) + 1(64 cm) + 5(64 cm) + 19(44 cm) + 4(44 cm) = ( 24 + 32 + 420 + 64 + 320 + 836 + 176 ) cm = 1872 cm = 18,72 cm. Berdasarkan hasil pembahasan nilai yang menghasilkan sisa pemotongan kayu diameter 50 79 cm paling minimal diperoleh dari dari submasalah 59. Jadi untuk meminimalkan nilai total sisa pemotongan kayu diameter 50 79 cm diperoleh dari melakukan pemotongan kayu dengan pola pemotongan 1 sebanyak 1 buah, pola pemotongan 2 sebanyak 13 buah, pola pemotongan 5 sebanyak 1 buah, pola pemotongan 8 sebanyak 24 buah dan pola pemotongan 9 sebanyak 4 buah. 4.7.2 Pola Pemotongan untuk Diameter 80 cm Penyelesaian optimal menggunakan Teknik 2 Tahap (Two Phase) Minimalkan r = R 1 + R 2 + R 3 + R 4 = 106-11x 1-10x 2-9x 3-8x 4-8x 5-7x 6-7x 7-7x 8-7x 9-6x 10-6x 11-6x 12-6x 13-5x 14-4x 15-5x 16-5x 17-4x 18-5x 19-4x 20-4x 21-3x 22 + x 23 + 5x 24 + x 25 + x 26 xxxvi

kendala : 11x 1 + 9x 2 + 8x 3 + 6x 4 + 6x 5 + 6x 6 + 5x 7 + 4x 8 + 4x 9 + 4x 10 + 4x 11 + 3x 12 + 2x 13 + 2x 14 + 2x 15 + 2x 16 + x 17 + x 18 - x 23 + R 1 = 52 x 2 + 2x 4 + x 5 + 3x 8 + 2x 9 + x 10 + x 12 + 4x 13 + 2x 14 + 2x 17 + 5x 19 + 3x 20 + x 21 + x 22 - x 24 + R 2 = 24 x 3 + x 5 + 2x 7 + x 9 + x 11 + 2x 12 + 3x 16 + 2x 17 + 2x 18 + 3x 21 - x 25 + R 3 = 18 x 6 + x 10 + x 11 + x 14 + 2x 15 + x 18 + x 20 + 2x 22 - x 26 + R 4 = 12 x 1, x 2,..., x 26, R 1, R 2, R 3, R 4 0 dan bilangan bulat Langkah-langkah penyelesaian dengan menggunakan teknik 2 tahap diberikan pada Lampiran 6. Penyelesaian optimal untuk persoalan pemotongan kayu dengan diameter 80 cm adalah x 9 = 0,29; x 11 = 12; x 17 = 2,86; x 19 = 3,54; Z = 18,69. Karena penyelesaian optimal belum bilangan bulat, selanjutnya digunakan metode pencabangan dan pembatasan. Ditetapkan Z* = Iterasi 1 Pada penyelesaian optimal untuk program linear (4.2), variabel yang dibatasi bilangan bulat dengan nilai bukan bilangan bulat pertama adalah x 19 = 3,54; sehingga x 19 menjadi variabel pencabangan. Variabel pencabangan ini membuat dua submasalah baru,yaitu : Submasalah 1 : masalah (4.2) ditambah dengan kendala tambahan x 19 < 3. Minimalkan : Z = x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 + x 6 + x 7 + x 8 + x 9 + x 10 + x 11 + x 12 + x 13 + x 14 + x 15 + x 16 + x 17 + x 18 + x 19 + x 20 + x 21 + x 22 kendala : 11x 1 + 9x 2 + 8x 3 + 6x 4 + 6x 5 + 6x 6 + 5x 7 + 4x 8 + 4x 9 + 4x 10 + 4x 11 + 3x 12 + 2x 13 + 2x 14 + 2x 15 + 2x 16 + x 17 + x 18 > 52 x 2 + 2x 4 + x 5 + 3x 8 + 2x 9 + x 10 + x 12 + 4x 13 + 2x 14 + 2x 17 + 5x 19 + 3x 20 + x 21 + x 22 > 24 x 3 + x 5 + 2x 7 + x 9 + x 11 + 2x 12 + 3x 16 + 2x 17 + 2x 18 + 3x 21 > 18 x 6 + x 10 + x 11 + x 14 + 2x 15 + x 18 + x 20 + 2x 22 > 12 xxxvii

x 19 < 3 x 1, x 2,..., x 22 0 dan bilangan bulat Submasalah 2 : masalah (4.2) ditambah dengan kendala tambahan x 19 > 4. Minimalkan : Z = x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 + x 6 + x 7 + x 8 + x 9 + x 10 + x 11 + x 12 + x 13 + x 14 + x 15 + x 16 + x 17 + x 18 + x 19 + x 20 + x 21 + x 22 kendala : 11x 1 + 9x 2 + 8x 3 + 6x 4 + 6x 5 + 6x 6 + 5x 7 + 4x 8 + 4x 9 + 4x 10 + 4x 11 + 3x 12 + 2x 13 + 2x 14 + 2x 15 + 2x 16 + x 17 + x 18 > 52 x 2 + 2x 4 + x 5 + 3x 8 + 2x 9 + x 10 + x 12 + 4x 13 + 2x 14 + 2x 17 + 5x 19 + 3x 20 + x 21 + x 22 > 24 x 3 + x 5 + 2x 7 + x 9 + x 11 + 2x 12 + 3x 16 + 2x 17 + 2x 18 + 3x 21 > 18 x 6 + x 10 + x 11 + x 14 + 2x 15 + x 18 + x 20 + 2x 22 > 12 x 19 > 4 x 1, x 2,..., x 22 > 0 dan bilangan bulat. Proses pencabangan untuk iterasi 1 dapat dilihat pada Gambar 4.4 0 x 3 x ³ 4 9 9 1 2 Gambar 4.4 Iterasi pertama Penyelesaian optimal untuk submasalah 1 adalah ( x 1, x 2, x 3, x 4, x 5, x 6, x 7, x 8, x 9, x 10, x 11, x 12, x 13, x 14, x 15, x 16, x 17, x 18, x 19, x 20, x 21, x 22 ) = ( 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 10,23; 0; 2,06; 0; 0; 0; 0; 0; 2,86; 0; 0; 0; 0; 3,54); dengan nilai Z = 18,69. Penyelesaian optimal untuk submasalah 2 adalah ( x 1, x 2, x 3, x 4, x 5, x 6, x 7, x 8, x 9, x 10, x 11, x 12, x 13, x 14, x 15, x 16, x 17, x 18, x 19, x 20, x 21, x 22 ) = ( 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0,18; 0; 12; 0; 0; 0; 0; 0,73; 1,82; 0; 0; 0; 0; 0 ); dengan nilai Z = 18,73. xxxviii

Karena nilai Z pada submasalah 1 submasalah 2, submasalah 1 harus dicabangkan lagi. Iterasi 2 Mencabangkan submasalah 1, variabel yang dibatasi bilangan bulat dengan nilai bukan bilangan bulat pada penyelesaian optimal submasalah 1 adalah x 22 = 3,54; sehingga x 22 menjadi variabel pencabangan. Variabel pencabangan submasalah 1 membuat dua submasalah baru, yaitu : Submasalah 3 : submasalah 1 ditambah dengan kendala x 22 < 3 Submasalah 4 : submasalah 1 ditambah dengan kendala x 22 > 4 Proses pencabangan untuk iterasi 2 dapat dilihat pada Gambar 4.5 1 x 22 3 x 22 ³ 4 3 4 Gambar 4.5 Iterasi kedua Penyelesaian optimal untuk submasalah 3 adalah ( x 1, x 2, x 3, x 4, x 5, x 6, x 7, x 8, x 9, x 10, x 11, x 12, x 13, x 14, x 15, x 16, x 17, x 18, x 19, x 20, x 21, x 22 ) = ( 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 9,14; 0; 3,14; 0; 0; 0; 0; 0; 2,86; 0; 0,54; 0; 0; 3 ); dengan nilai Z = 18,69. Penyelesaian optimal untuk submasalah 4 adalah ( x 1, x 2, x 3, x 4, x 5, x 6, x 7, x 8, x 9, x 10, x 11, x 12, x 13, x 14, x 15, x 16, x 17, x 18, x 19, x 20, x 21, x 22 ) = ( 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 8,18; 0; 4; 0; 0; 0; 0; 0,73; 1,82; 0; 0; 0; 0; 4 ); dengan nilai Z = 18,73. Karena nilai Z pada submasalah 3 submasalah 4, submasalah 3 harus dicabangkan lagi. Iterasi 3 Mencabangkan submasalah 3, variabel yang dibatasi bilangan bulat dengan nilai bukan bilangan bulat pada penyelesaian optimal submasalah 3 adalah x 19 = 0,54; sehingga x 19 menjadi variabel pencabangan. xxxix

Variabel pencabangan submasalah 3 membuat dua submasalah baru, yaitu : Submasalah 5 : submasalah 3 ditambah dengan kendala x 19 < 0 Submasalah 6 : submasalah 3 ditambah dengan kendala x 19 > 1 Proses pencabangan untuk iterasi 3 dapat dilihat pada Gambar 4.6 3 x 0 x ³ 1 19 19 5 6 Gambar 4.6 Iterasi ketiga Penyelesaian optimal untuk submasalah 5 adalah ( x 1, x 2, x 3, x 4, x 5, x 6, x 7, x 8, x 9, x 10, x 11, x 12, x 13, x 14, x 15, x 16, x 17, x 18, x 19, x 20, x 21, x 22 ) = ( 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 6,69; 0; 5,6; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 2,86; 0; 3,54; 0; 0 ); dengan nilai Z = 18,69. Penyelesaian optimal untuk submasalah 6 adalah ( x 1, x 2, x 3, x 4, x 5, x 6, x 7, x 8, x 9, x 10, x 11, x 12, x 13, x 14, x 15, x 16, x 17, x 18, x 19, x 20, x 21, x 22 ) = ( 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 5,69; 0; 6,6; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 2,86; 1; 2,54; 0; 0 ); dengan nilai Z = 18,73. Karena nilai Z pada submasalah 5 submasalah 6, submasalah 5 harus dicabangkan lagi. Iterasi selanjutnya Iterasi 3 memberikan sisa 2 submasalah yaitu submasalah 5 dan 6. Karena nilai Z pada submasalah 5 submasalah 6, submasalah 5 harus dicabangkan lagi. Submasalah 5 harus dicabangkan dalam iterasi 4, menggunakan metode pencabangan dan pembatasan diteruskan hingga diperoleh penyelesaian optimal bilangan bulat untuk masalah (4.2). Hasil penerapan metode pencabangan dan pembatasan pada masalah (4.2) diringkas dalam bentuk pohon penyelesaian. Pada pohon penyelesaian, angka yang berada di dalam lingkaran menunjukkan nomor submasalah. Lingkaran yang berwarna terang menunjukkan bahwa submasalah dengan nomor di dalam lingkaran tersebut masih harus dicabangkan. Sedangkan xl

lingkaran yang berwarna gelap menunjukkan bahwa submasalah dengan nomor di dalam lingkaran telah memenuhi syarat penghentian sehingga sudah tidak dicabangkan. Pohon penyelesaian dan nilai-nilai hasil penerapan metode pencabangan dan pembatasan untuk kayu dengan diameter 80 cm (ada sebanyak 31 iterasi) diberikan pada Lampiran 7 dan Lampiran 8. Berdasarkan hasil pada Lampiran 7 dan Lampiran 8, Incumbent 1 (Z* baru) diperoleh dari submasalah 48 dalam iterasi 24 dan tidak ada incumbent yang baru (yang lebih baik lagi). Pada hasil diperoleh 4 penyelesaian optimal, yaitu pada submasalah 48 dalam iterasi 24, submasalah 50 dalam iterasi 25, submasalah 56 dalam iterasi 28 dan submasalah 59 dalam iterasi 30. Selanjutnya akan diuji pada ketiga penyelesaian optimal tersebut manakah yang menghasilkan sisa pemotongan kayu diameter 80 cm yang paling minimal. Pengujian penyelesaian optimal untuk kayu dengan diameter 80 cm yang menghasilkan sisa pemotongan kayu yang paling minimal adalah Submasalah NILAI Keterangan Variabel keputusan Nilai Z ( x 1, x 2, x 3, x 4, x 5, x 6, x 7, x 8, x 9, x 10, x 11, x 12, x 13, x 14, x 15, x 16, x 17, x 18, x 19, x 20, x 21, x 22 ) 48 ( 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 9; 0; 3; 0; 0; 1; 0; 0; 1; 2; 0; 0; 0; 3 ) 19 Integer,Incumbent 1 (Z* = 19) Nilai total sisa pemotongan kayu diameter 80 cm adalah 9(5 cm) + 3(5 cm) + 1(50 cm) + 1(20 cm) + 2(20 cm) + 3(30 cm) = ( 45 + 15 + 50 + 20 + 40 + 90 ) cm = 260 cm = 2,6 m. Submasalah NILAI Keterangan Variabel keputusan Nilai Z ( x 1, x 2, x 3, x 4, x 5, x 6, x 7, x 8, x 9, x 10, x 11, x 12, x 13, x 14, x 15, x 16, x 17, x 18, x 19, x 20, x 21, x 22 ) 50 ( 0; 0; 0; 0; 0; 1; 0; 0; 8; 0; 2; 0; 0; 1; 0; 0; 2; 2; 0; 0; 0; 3 ) 19 Integer Nilai total sisa pemotongan kayu diameter 80 cm adalah 1(90 cm) + 8(5 cm) + 2(5 cm) + 1(50 cm) + 2(20 cm) + 2(20 cm) + 3(30 cm) = ( 90 + 40 + 10 + 50 + 40 + 40 + 90 ) cm = 360 cm = 3,6 m. xli

Submasalah NILAI Keterangan Variabel keputusan Nilai Z ( x 1, x 2, x 3, x 4, x 5, x 6, x 7, x 8, x 9, x 10, x 11, x 12, x 13, x 14, x 15, x 16, x 17, x 18, x 19, x 20, x 21, x 22 ) 56 ( 0; 0; 0; 0; 1; 0; 0; 0; 8; 0; 3; 0; 0; 1; 0; 0; 1; 2; 0; 0; 0; 3 ) 19 Integer Nilai total sisa pemotongan kayu diameter 80 cm adalah 1(25 cm) + 8(5 cm) + 3(5 cm) + 1(50 cm) + 1(20 cm) + 2(20 cm) + 3(30 cm) = ( 25 + 40 + 15 + 50 + 20 + 40 + 90 ) cm = 280 cm = 2,8 m. Submasalah NILAI Keterangan Variabel keputusan Nilai Z ( x 1, x 2, x 3, x 4, x 5, x 6, x 7, x 8, x 9, x 10, x 11, x 12, x 13, x 14, x 15, x 16, x 17, x 18, x 19, x 20, x 21, x 22 ) 59 ( 0; 0; 0; 0; 0; 0; 1; 0; 8; 0; 2; 0; 0; 2; 0; 0; 1; 2; 0; 0; 0; 3 ) 19 Integer Nilai total sisa pemotongan kayu diameter 80 cm adalah 1(60 cm) + 8(5 cm) + 2(5 cm) + 2(50 cm) + 1(20 cm) + 2(20 cm) + 3(30 cm) = ( 60 + 40 + 10 + 100 + 20 + 40 + 90 ) cm = 360 cm = 3,6 m. Berdasarkan hasil pembahasan nilai yang menghasilkan sisa pemotongan kayu diameter 80 cm paling minimal diperoleh dari submasalah 48. Jadi untuk meminimalkan nilai total sisa pemotongan kayu diameter 80 cm diperoleh dari melakukan pemotongan kayu dengan pola pemotongan 9 sebanyak 9 buah, pola pemotongan 11 sebanyak 3 buah, pola pemotongan 14 sebanyak 1 buah, pola pemotongan 17 sebanyak 1 buah, pola pemotongan 18 sebanyak 2 buah dan pola pemotongan 22 sebanyak 3 buah. xlii