BAB 2 LANDASAN TEORI

BAB 2 LANDASAN TEORI 2.1 Pengantar Pada bab ini akan diuraikan beberapa landasan teori untuk menunjang penulisan skripsi ini. Uraian ini terdiri dari beberapa bagian yang akan dipaparkan secara terperinci dan terstruktur yaitu matriks, peluang, peluang kondisional. rumusan rantai markov, distribusi seimbang, peluang steady state, teorema limit pada proses markov waktu diskrit, persamaan antara distribusi seimbang dan batasan peluang dan proses birth and death. 2.2 Matriks Definisi 2.2.1 Matriks adalah suatu kumpulan angka-angka (sering disebut elemen-elemen) yang diusun menurut baris dan kolom sehingga berbentuk empat persegi panjang dimana panjang dan lebarnya ditentukan oleh banyaknya kolomkolom dan baris-baris. P = disebut elemen, matriks dengan n buah baris dan m kolom dinyatakan dengan A m x n = [, sedangkan matriks square atau matriks bujur sangkar adalah matriks dimana banyaknya baris sama dengan banyaknya kolom (m = n). Definisi 2.2.2 1. Jika A = [ dan B = [ keduanya adalah matriks berukuran m x n, maka A + B = [ + ] 2. Jika A = [ matriks berukuran m x n dan k adalah skalar, maka ka = 3. Jika A = matriks berukuran m x p dan B = [ matriks berukuran p x n, maka perkalian matriks A x B berlaku apabila jumlah kolom matriks A sama dengan jumlah baris matriks B

4. Jika A = [ dan B = [ keduanya adalah matriks berukuran m x n, maka A = B jika = untuk semua i,j A B jika untuk semua i,j A > B jika > untuk semua i,j Demikian halnya untuk A B dan A < B 5. Matriks identitas atau ditulis dengan In, adalah sebuah matriks bujur sangkar yang mempunyai angka satu sepanjang diagonal utama (diagonal dari kiri atas menuju kanan bawah) selainnya nol. In = 2. 3 Peluang Definisi 2.3.1 Himpunan semua hasil yang mungkin dari suatu percobaan disebut ruang sampel dan diberi lambing Ω. Definisi 2.3.2 Himpunan semua bilangan asli yang merupakan range dari semua peubah acak dalam proses stokastik disebut state space. Definisi 2.3.3 Misalkan C adalah sebuah percobaan random yang memiliki ruang sampel Ω, suatu fungsi t memetakan setiap c ε Ω satu dan hanya satu ke bilangan riil disebut peubah acak. Ruang dari T adalah himpunan dari bilangan asli {A = t : t = T(c), c ε Ω}. Atau peubah acak adalah suatu fungsi yang mengubah setiap nilai anggota ruang sampel menjadi suatu bilangan riil. Secara umum peubah acak terbagi atas 2 : 1. Peubah acak diskrit adalah apabila nilai dari peubah acak adalah bilangan bulat atau jika banyaknya titik sampel dapat dihitung.

2. Peubah acak kontinu adalah apabila nilai dari peubah acak adalah pecahan, bilangan decimal, bilangan riil. Atau jika banyaknya titik sampel dari suatu ruang sampel tidak berhingga banyaknya. Peluang yaitu suatu nilai untuk mengukur tingkat kemungkinan terjadinya suatu kejadian yang tidak pasti. Misalkan S adalah suatu ruang sampel dari suatu eksperimen acak dan A adalah ruang kejadiannya. Peluang suatu kejadian A atau ditulis P(A) dapat didefinisikan secara matematis sebagai berikut : Dimana n(a) menyatakan banyaknya anggota dari himpunan A dan n(s) menyatakan banyaknya anggota ruang sampel. Sifat penting dari suatu kejadian A atau P(A) yaitu : 1. Nilai peluang kejadian A selalu berada pada selang [0,1] atau 0 P(A) 1 2. Nilai peluang dari peristiwa yang tidak mungkin terjadi adalah 0 atau P( ) = 0 3. Nilai peluang suatu peristiwa yang pasti terjadi adalah satu atau P(S) = 1 2.3.1 Peluang Bersyarat Dua kejadian dikatakan mempunyai peluang bersyarat bilamana terjadinya suatu kejadian merupakan persyaratan terjadinya kejadian yang lain. Secara umum peluang kondisional A jika diketahui B didefinisikan sebagai berikut : Apabila A dan B adalah kejadian kejadian yang terdapat dalam ruang sampel dan peluang peluang kejadian B tidak sama dengan nol, maka peluang kondisional A jika diketahui kejadian B telah terjadi sebelumnya adalah: P Ini hanya berlaku apabila P(B) 0. Karena jika P(B) = 0 maka tidak terdefinisi untuk keadaan dimana kejadian A dan B adalah independen, maka dapat dinyatakan :

Karena = 2.4 Rumusan Rantai Markov Konsep dasar proses markov adalah state dari sistem atau state transisi, sifat dari proses ini adalah apabila diketahui proses berada dalam suatu keadaan tertentu, maka peluang berkembangnya proses di masa mendatang hanya tergantung pada keadaan saat ini dan tidak tergantung pada keadaan sebelumnya, atau dengan kata lain rantai Markov adalah rangkaian proses kejadian dimana peluang bersyarat kejadian yang akan datang tergantung pada kejadian sekarang. Proses Stokastik ialah suatu himpunan variabel acak {X(t)} yang tertentu dalam suatu ruang sampel yang sudah diketahui, dimana t merupakan parameter waktu (indeks) dari suatu himpunan T. Kita menyatakan ruang keadaan I dari suatu proses sebagai himpunan harga variable acak X(t) yang mungkin. Misalnya, kalau X(t) berupa variabel acak diskrit yang terdiri dari sejumlah harga tak berhingga yang dapat dihitung dalam suatu himpunan bilangan cacah tidak negatif, maka I = {0,1,2, }. Dan kalau X(t) merupakan variabel acak kontinu yang non negative, maka, I = { x ; 0 x }. Dalam proses stokastik, istilah variabel acak X(t) dapat diartikan sebagai variabel keadaan. Misalnya, kalau t = 1, 2,.. dalam himpunan T = {1,2, }dan X(t) = 0,1,..,N dalam himpunan I = {0,1,2,.N} maka dalam system persediaan, X(1) menggambarkan keadaan tingkat persediaan pada akhir minggu pertama, X(2) menggambarkan keadaan tingkat persediaan pada akhir minggu kedua dan seterusnya. Karena proses Markov adalah kelas tersendiri dari proses stokastik, maka proses markov dapat dijabarkan dengan definisi berikut : Definisi 2.4.1 Suatu proses stokastik {X(t)} dengan himpunan indeks T dan ruang keadaan I disebut proses Markov bila untuk semua n, n = 0, 1, 2,.dan untuk tiap t 0 < t 1 <

t 2 <.< t n, t 0 = 0, dan harga X n sebagai harga khusus variabel acak X(t n ), terdapat Ini dapat kita artikan sebagai berikut : 1) Distribusi peluang bersyarat dari X(t n ) untuk harga harga X(t 0 ), X(t 1 ),,X(t n-1 ) yang sudah diketahui tergantung hanya pada harga X(t n- 1), yaitu harga terdekat dan tidak tergantung pada harga harga X(t 0 ), X(t 1 ),,X(t n-2 ). 2) Harga disebut peluang peralihan satu langkah dari keadaan X n-1 pada langkah (n-1) kepada keadaan x n pada langkah n. 3) Atau, diketahui keadaan sistem pada saat sekarang, keadaan masa datang tidak tergantung pada keadaan masa lalu. 4) Atau cukup mengetahui sejarah proses stokastik pada waktu t n-1 untuk dapat menurunkan sifat sifat proses pada waktu t n. Dengan demikian, hukum peluang dari proses Markov seluruhnya teruraikan dengan mengetahui (1) syarat awal yang diberikan oleh, dan (2) himpunan distribusi peluang bersyarat yang diberikan untuk semua 0 t m < t n, m, n = 0, 1, 2, oleh P yang menentukan distribusi peluang peralihan dari proses Markov. Matriks P disebut Matriks Stokastik apabila memenuhi syarat: 1. 2. 3. dimana:

= Banyaknya perpindahan dari state i ke state j = Peluang perpindahan dari state i ke state j = jumlah yang berada pada state awal yaitu state i Identifikasi himpunan distribusi peluang peralihan untuk semua 0 t m < t n untuk suatu proses Markov sebarang adalah sesuatu yang sangat sukar. Meskipun demikian, banyaknya persoalan praktis dapat dirumuskan sebagai proses Markov dalam hal mana distribusi peluang peralihan adalah fungsi dari selisih (t n t m ) dan bebas dari t n. Dalam hal ini proses Markov kita sebut mempunyai distribusi peluang peralihan yang homogen atau stasioner. Dengan demikian, formula untuk peluang peralihan stasioner satu langkah adalah: = P (2.3) untuk semua n, n = 1, 2,. Sifat sifat homogenitas memperlihatkan kesederhanaan yang luar biasa kalau kita mengembangkan hukum peluang dari proses, sekalipun dengan keuntungan tambahan ini, penjabaran ciri ciri statistikal sebarang proses dari hukum peluangnya, umumnya masih sangat sukar. Akan tetapi, dalam praktek, kita lebih tertarik mempelajari beberapa keadaan khusus. Dua persoalan penting adalah: 1) Penentuan P {X(t n ) x n }, fungsi distribusi peluang (tidak bersyarat) dari X(t n ) untuk t n di dalam T dan 2) Karakterisasi proses untuk t n yang besar Dengan menggunakan sifat sifat homogenitas proses, persoalan dapat diselesaikan tanpa kaitan khusus terhadap hukum peluang proses. Akhirnya proses Markov dapat dibedakan sesuai dengan :

1) Sifat himpunan indeks T (parameter diskrit atau parameter kontinu) 2) Sifat himpunan keadaan I (berharga diskrit atau berharga kontinu) Kalau himpunan keadaan I adalah diskrit, maka proses Markov disebut sebagai rantai Markov. Tabel 2.1 : Klasifikasi Proses Markov T Diskrit I Rantai markov Diskrit Parameter Diskrit Rantai markov Kontinu Parameter Diskrit Kontinu Rantai Markov Parameter Kontinu Rantai Markov Parameter Kontinu 2.5 Distribusi Seimbang Dalam rantai markov, misalkan state d adalah 1,2, d, dan fungsi massa peluangnya berada pada waktu 0 sebagai vektor baris. dimana I = P{ X(0) = i}, dan distribusi peluang dari vektor baris adalah n Definisi 2.5.1 Vektor adalah distribusi peluang untuk rantai, dengan matrix peralihan P, jika P = Misalkan adalah distribusi seimbang. Maka 2 = ( P)P = P =, dan secara umum: n = untuk semua bilangan bulat n > 0 (2.5) Teorema 2.1 Ergodisitas Rantai Markov Reguler Misalkan P adalah matriks peralihan dari rantai regular, dan α adalah vektor limit dari P, maka

(i) α adalah distribusi seimbang rantai (ii) Untuk distribusi peluang, distribusi n langkah n ada pada α dimana n Bukti 2.1 Ambil e i sebagai vektor baris dengan 1 dalam posisi i dan 0 yang lainnya. Jika A adalah matrix limit untuk rantai, maka e i A = α untuk setiap nilai dai i, karena semua baria A adalah α, maka Untuk tiap nilai dari i, khususnya Rumus diatas menunjukkan α adalah distribusi seimbang. Jika merupakan distribusi awal yang berubah-ubah, maka Dimana c i 0 dan c 1 + c 2 +..+ c d = 1. Maka distribusi peluang untuk X(n), berawal dari distribusi untuk X(0) adalah Misalkan pada rumus (2.7) dan rumus (2.6), maka: Jika merupakan distribusi seimbang untuk P, maka sisi sebelah kiri dari persamaan (2.8) adalah (tidak dibutuhkan batasan). Maka, yang menyatakan α adalah vektor seimbang Untuk. menentukan distribusi seimbang dari rantai reguler, harus dicari vektor baris α dengan entri yang semuanya positif berjumlah 1 yang memenuhi persamaan homogen

Teorema 2.8 menjamin bahwa sifat dari vektor tersebut ada. Dimana ada beberapa cara untuk menghitung. Suatu algoritma yang berulang-ulang untuk menentukan adalah: pilih distribusi awal, set (0) =, dan hitung urutan dari vektor baris (n +1) = (n)p untuk nilai yang berturut-turut dari n,hingga urutan bertemu sesuai angkanya (di dalam beberapa ketelitian yang ditentukan. Ini memberikan perkiraan pada vektor seimbang α. 2.6 Peluang Steady State Definisi 2.6.1 Sebuah matriks peralihan adalah reguler jika suatu pangkat bulat dari matriks itu mempunyai entri yang semuanya positif. Jika P adalah matriks reguler maka: 1. Untuk n. P n akan menuju suatu matriks Setiap kolom merupakan bilangan-bilangan positif dan

3. Jika adalah sebarang vektor peluang. Karena P n untuk n, maka sehingga dimana p i adalah peluang sistem saat berada pada state i, i = 1,,n. 4. Jika maka, jadi, karena Peluang peralihan pada tingkat keadaan seimbang (peluang steady state) adalah peluang peralihan yang sudah mencapai keseimbangan, sehingga tidak akan berubah terhadap perubahan waktu yang terjadi atau perubahan tahap yang terjadi. Secara formal peluang peralihan tingkat keadaan seimbang didefinisikan sebagai berikut: dimana: = batas distribusi peluang tingkat keadaan seimbang dalam keadaan j

= Peluang perpindahan dari state i ke state j setelah n langkah Dengan makin besar nilai n,maka peluang peralihan akan mendekati suatu nilai tertentu, tanpa dipengaruhi oleh state yang ditempati pada n = 0. Dalam beberapa kasus, hubungan atau relevansi antara keadaan awal dengan peluang peralihan tahap ke n akan mengecil dengan bertambahnya n. sehingga Dengan demikian akan diperoleh suatu distribusi untuk n menuju tak hingga berada dalam keadaan seimbang, oleh karena itu informasi mengenai kedudukan awal dari proses tidak diperlukan lagi atau dengan kata lain nilai dari peluang peralihan tingkat keadaan seimbang independen terhadap kondisi awal proses, dan konvegen ke sebuah matriks untuk menuju tak berhingga. Untuk setiap baris vektor distribusi steady state sebagai berikut: karena, maka sehingga = PP n Persamaan tersebut merupakan persamaan persamaan linier dengan beberapa harga yang tidak diketahui dan merupakan kumpulan dependen, sehingga menghasilkan banyak solusi dan hanya ada sebuah persamaan yang menjadi distribusi peluang supaya diperoleh suatu solusi tunggal, dan nilai total seluruh adalah

Persaman tersebut disebut sebagai persamaan normalizing. Dengan memasukkan persamaan tersebut dalam kumpulan persamaan persamaan linier yang ada akan diperoleh suatu solusi tunggal, yang memenuhi suatu distribusi peluang. 2.7 Teorema Limit pada Proses Markov waktu Diskrit Jika state j adalah transient, maka: artinya bahwa mulai dari i, bilangan yang diharapkan dari perpindahan ke state j adalah terbatas. Maka dari itu j adalah transient dimana Misalkan merupakan bilangan yang diharapkan dari perpindahan yang diperlukan untuk kembali ke state j. Maka Dengan memasukkan transisi ke state j berubah, kita memperoleh Teorema 2.3 Teorema 2.3 Jika i dan j communicate, maka : (i) (ii)

(iii) Jika j adalah aperiodic, maka (iv) Jika j adalah period d, maka Jika state j adalah recurrent, maka state tersebut akan positive recurrent jika > dan null recurrent jika =. Jika misalkan: Kesimpulannya ialah bahwa recurrent state j adalah positive recurrent jika dan null recurrent jika Definisi 2.7.1 Distribusi Peluang {P j, j 0} mencapai seimbang untuk rantai markov jika Jika distribusi peluang dari X 0 dimana P j = P{X 0 = j}, j 0 adalah distribusi seimbang, maka: melalui induksi teorema 2.3 maka:

Oleh karena itu jika awal distribusi peluang adalah distribusi seimbang maka X n akan memiliki distribusi yang sama untuk semua n. Kenyataannya seperti {X n, n 0} adalah rantai markov, maka dengan mudah untuk setiap 0, m akan memiliki distribusi yang saling berhubungan untuk setiap n, dengan perkataan lain {X n, n 0} akan mencapai proses seimbang. 2.8 Persamaan antara Distribusi Seimbang dan batasan peluang Teorema di bawah ini berhubungan dengan batas distribusi menuju distribusi yang seimbang. Teorema 2.4 Untuk irreducible, apperiodic finite-state waktu diskrit dengan m states, maka Merupakan peluang batasan dari state j dan = ( ) menjadi batas distribusi. Maka juga merupakan distribusi yang seimbang dan tidak ada lagi distribusi yang muncul. Bukti: Akan dibuktikan 2 hal yang berhubungan dengan batas distribusi. 1. Akan dibuktikan bahwa } sebagai batas distribusi. Oleh karena itu paling sedikit ada satu distribusi seimbang yang muncul. Oleh sebab itu memenuhi persamaan seimbang. 2. Akan dibuktikan bahwa setiap distribusi yang seimbang harus sama dengan batas distribusi: } Misalkan P j adalah distribusi peluang yang seimbang. Seperti biasa. mewakili batas distribusi peluang.

, karena seimbang maka: maka: Definisi 2.7.2 Sebuah Rantai Markov yang memiliki batas peluang akan mencapai seimbang atau steady state jika initial state dipilih berdasarkan peluang-peluangnya. 2.9 Proses Birth and Death (B & D) Suatu Populasi adalah suatu himpunan obyek-obyek yang memiliki sifat yang sama. Suatu proses pertumbuhan adalah suatu proses markov jika probabilitas-probabilitas transisi untuk bergerak dari suatu kedaan ke keadaan lainnya hanya bergantung pada keadaan sekarang dan tidak pada bagaimana keadaan sekarang dicapai. Pada model-model proses penghitungan di atas suatu variabel acak N(t) menyatalan jumlah event. Jika event itu berupa obyek-obyek tertentu sehingga B(t) menunjukkan jumlah populasi dari obyek. Dalam model tersebut selain terkait masalah kemunculan (birth) terkait juga masalah kehilangan (death) sehingga populasi bisa bertambah atau berkurang hingga 0. Populasi dengan jumlah populasi B(t)

Birth rate (t) death rate Gambar 2.1 Proses Birth and Death Misalkan suatu proses stokastik berparameter kontinu {X(t), t 0}, dengan ruang status diskrit 0, 1, 2,,t Pada waktu t, jika dan hanya jika X(t) = n (dalam hal ini sistem memiliki populasi berjumlah n). Proses tersebut adalah Proses birth and death jika terdapat sejumlah birth rate non negatif { n, n = 0, 1, 2, } serta death rate non negatif { n, n = 0, 1, 2, } yang memenuhi asumsi-asumsi berikut: - Tidak ada lebih dari satu transisi terjadi bersamaan dan pada saat populasi kosong hanya berisi birth yang bisa terjadi. Untuk n 1, transisi berbentuk atau, kecuali itu hanya transisi - Pada waktu t sistem berada pada status E P [pada selang waktu (t, t+h) terjadi transisi P [pada selang waktu (t, t+h) terjadi transisi n ] = h+0(h) ] untuk n 1] = h + 0 (h) - P [pada selang waktu (t, t+h) terjadi lebih dari satu transisi status] = o(h) (peluang pada waktu yang singkat probabilitas ini relatif kecil sekali) E n-1 E n E n+1 Gambar 2.2 Proses birth rate non negatif dan death rate non negatif

Dari asumsi-asumsi tersebut proses B&D memberikan formulasi untuk peluang populasi berjumlah n pada saat t dengan persamaan differensial : Bila status awalnya adalah E i maka kondisi/probabilitas awalnya (pada t = 0) adalah P i (0) = 1 dan P j (0) = 1 untuk j 1 Bila proses B&D pada, mengaproksimasi konstanta p n maka proses tersebut dikatakan berada dalam statistical equilibrium (keseimbangan statistical). Dengan demikian sistem tidak lagi berubah menurut waktu. Jadi diperoleh: P n = λλ λ µµ µ 0 1 n 1 1 2 n P 0, untuk n 1 Seterusnya bila deret berikut adalah S = λλ λ µµ µ n= 1 1 2 0 1 n 1 n (dimana S konvergen) < Dengan setiap n dan n non-negatif, maka p o = 1/S > 0, yaitu bahwa peluang sistem dalam keadaan kosong adalah positif. Dalam suatu sistem antrian hal ini menunjukkan sistem pelayanan kadang-kadang mampu melayani setiap customer yang datang. Sebaliknya jika kuantitas S divergen, maka sistem antrian tidak stabil akibat rata-rata kedatangan lebih tinggi dari pelayanan, jadi dalam sistem antrian yang mengikuti model proses B&D, dapat disimpulkan bahwa peluang steady state {P n } ada jika dan hanya jika S konvergen dan selanjunya memiliki hubungan p o = 1/S