Online Jurnal of Natural Scice, Vol. (1): 1-10 ISSN: 338-0950 Maret 013 PELABELAN TOTAL SISI AJAIB SUPER (TSAS) PADA GABUNGAN GRAF BINTANG GANDA DAN LINTASAN I W. Sudarsana 1, Noiana, S. Musdalifah 3 dan A. A. Kasim 4 Combinatorial and Applied Mathematics Research Group, Tadulako Uniersity Jalan Sukarno-Hatta Km. 9 Palu 94118, Indonesia ABSTRACT An edge-magic total (EMT) labeling on a graph G(V,E) with the ertex set V and the edge set E, where V = p and E = q, is a bijectie function λ: V E {1,, 3,, p + q} with the property that for each edge (xy) of G, λ(x) + λ(xy) + λ(y) = k, for a fixed positie integer k. The labeling λ is called a super edge magic total (SEMT) if it has the property that for each ertex obtain the smallest label, λ(v) = {1,,, p}. A graph G(V,E) is called EMT (SEMT) if there exists an EMT (SEMT) labeling on G. Study on SEMT labeling for the union of stars and paths initiated by Figueroa-Cto et al. [] with graph form S n + 1 P n. Furthermore, an inestigation will be conducted on SEMT labeling of double stars and path, that are P n ; P n + 1, n and P n +3, n 3. We + 1, n ; P n +3, n 3 obtain that the graphs prested aboe are SEMT with the magic constants k = 15n 15n+5 + 1,, 15n 15n+7 +, and, respectiely. Keywords and Phrases: Double Stars, EMT, Path, SEMT. ABSTRAK Pelabelan total-sisi ajaib (TSA) pada graf G(V,E) dgan himpunan titik V(G), notasi singkat V, dan himpunan sisi E(G), notasi singkat E, dgan V = p dan E = q adalah pemetaan bijektif λ: V E {1,, 3,, p + q} yang mempunyai sifat bahwa untuk setiap sisi (xy) di G berlaku, λ(x) + λ(xy) + λ(y) = k, untuk suatu bilangan bulat positif k. Pelabelan λ dikatakan total sisi ajaib super (TSAS) jika mempunyai sifat bahwa setiap titik memperoleh label terkecil, λ(v) = {1,,.,p}. Sebuah graf G(V,E) dikatakan TSA (TSAS) jika terdapat pelabelan TSA (TSAS) pada graf tersebut. Studi ttang pelabelan TSAS untuk gabungan graf bintang dan lintasan di awali oleh Figueroa- Cto et al. [] dgan btuk graf S n + 1 P n. Selanjutnya, akan dilakukan inestigasi pelabelan TSAS pada gabungan graf bintang ganda dan lintasan, yaitu P n + 1, n, P n +3, n 3, P n + 1, n, dan coresponding author : 1 sudarsanaiwayan@yahoo.co.id, atiqah_althafunnisa@yahoo.co.id, 3 selymusdalifah@yahoo.com, 4 nita.kasim@gmail.com
Online Jurnal of Natural Scice, Vol. (1): 1-10 ISSN: 338-0950 Maret 013 P n +3, n 3. Hasil yang diperoleh adalah semua graf tersebut di atas merupakan TSAS dgan masing-masing memiliki konstanta ajaib k = 15n 15n+5 + 1,, 15n 15n+7 +, dan. Kata Kunci : Bintang Ganda, Lintasan, TSA, TSAS. I. PENDAHULUAN Pelabelan graf pertama kali diperkalkan oleh Sedláček [5] dan Stewart [6]. Pelabelan graf merupakan suatu topik dalam teori graf yang saat ini mdapat banyak perhatian kara memiliki aplikasi dalam kriptografi. Pelabelan merupakan fungsi atau pemetaan dari unsur-unsur pada suatu graf yang berupa titik, sisi, atau titik dan sisi ke bilangan bulat positif. Pada prinsipnya, pelabelan graf merupakan pemberian nilai (label) pada titik, sisi, atau titik dan sisi. Pelabelan yang sering digunakan yaitu pelabelan titik, pelabelan sisi, dan palabelan total (titik dan sisi). Selanjutnya suatu pelabelan dikatakan sebagai pelabelan ajaib jika ada fungsi bijektif dari unsur-unsur pada graf yang berupa titik, sisi, atau titik dan sisi sehingga dapat mghasilkan suatu konstanta k yang disebut dgan nilai ajaib (magic alue). Pelabelan ajaib yang ada diantaranya pelabelan total sisi-ajaib, pelabelan total sisi-ajaib super, pelabelan total titik-ajaib, dan pelabelan total titik ajaib super. Sedangkan untuk pelabelan yang berhubungan dgan magic alue pertama kali diperkalkan oleh Kotzig dan Rosa [4]. Sejak saat itu hingga kini pelitian mgai pelabelan sisi ajaib (edge magic labeling) masih hangat untuk diteliti. Pelitian mgai pelabelan ajaib pada graf terus berkembang, yang kemudian Enomoto et al. [1] mgkaji dan memperkalkan istilah pelabelan total sisi ajaib super (TSAS). Pada paper Enomoto et al. [1] tersebut dipaparkan dugaan bahwa semua graf pohon adalah TSAS. Dugaan ini belum terjawab kebarannya hingga sekarang dan merupakan motiasi terbesar bagi ilmuwan di bidang teori graf untuk mjawab dugaan tersebut. Dugaan ini berusaha dijawab oleh Sudarsana et al. [8], namun masih berupa hasil yang parsial. Pada pelitian ini, akan dikaji pelabelan TSAS pada gabungan graf bintang ganda dan lintasan. Walaupun pelitian ini tidak berkaitan langsung dgan dugaan tersebut tetapi memiliki nilai originalitas kara belum ada yang
Online Jurnal of Natural Scice, Vol. (1): 1-10 ISSN: 338-0950 Maret 013 mgerjakannya. Ini di dasari atas hasil surey dalam Gallian [3], bahwa gabungan graf bintang ganda dan lintasan masih mjadi masalah terbuka. II. HASIL TERDAHULU Sebelum disajikan hasil pelitian ini, terlebih dahulu diberikan teoremateorema pting yang telah ditemukan sebelumnya yang akan digunakan untuk membuktikan hasil baru dalam pelitian ini. Teorema-teorema tersebut adalah: Teorema.1. Misalkan λ adalah pelabelan TSA pada graf G(V,E) dgan banyak titik adalah p dan banyak sisi adalah q. Pelabelan dual λ dari λ didefinisikan sebagai berikut: λ ( i ) = M λ( i ), i V, dan λ (x) = M λ(x), x E dimana M = p + q + 1. Jika λ adalah pelabelan TSA dgan konstanta ajaib k, maka pelabelan λ adalah juga TSA dgan konstanta ajaib k = 3M k. Pelabelan λ pada teorema diatas dikatakan pelabelan dual dari λ pada G dgan k = 3M k (Wallis et al. [9]). G(V,E) dgan konstanta ajaib k dan pelabelan λ di definisikan seperti berikut: λ( i ), i V, dan 1 - λ(x), x E, λ ( i ) = p + 1 - λ (x) = p + q + maka λ adalah pelabelan TSAS dgan konstanta ajaib k = 4p + q + 3 k. Pelabelan λ pada Teorema.. diatas dikatakan pelabelan dual super dari λ pada G dgan k = 4p + q + 3 k (Sudarsana et al. [7]). III. HASIL DAN PEMBAHASAN Berikut adalah hasil-hasil baru yang diperoleh dalam pelitian ini. Hasilhasil baru tersebut tersaji dalam sub-sub bahasan berikut. 3.1. Graf P n + 1, n Pada bagian ini, akan dibahas pelabelan TSAS pada graf P n + 1, n untuk n 4 gap. Notasi titik dan sisi pada graf P n + 1, n berikut. disajikan pada Gambar 1 Teorema.. Misalkan G(V,E) adalah graf yang memuat p titik dan q sisi adalah TSAS. Jika λ adalah pelabelan TSAS dari 3
Online Jurnal of Natural Scice, Vol. (1): 1-10 ISSN: 338-0950 Maret 013 1,1 1, e1,1 e1,,1 3,1 4,1 5,1 6,1 7,1 8,1 9,1 10,1 11,1 e,1 e, e3,1 e4,1 e5,1 e6,1 e7,1 e8,1 e9,1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 1,3,3 e3, e4, e5, e6, e7, e8, e9, e1,3 e,3 3,3 e3,3 e4,3,3 4,3 e5,3 3,3 e6,3 5,3 4,3 4, 3 3,3... n 1,3 Gambar 1: Potasian titik dan sisi pada graf P n + 1, n,3 e n 1,3 6,3 Berdasarkan Gambar 1 di atas, dapat dinotasikan himpunan titik dan sisi graf P n + 1, n sebagai berikut :... -1,3 5,3,3 e10,1 e10, -1,1-1,,1, Teorema 3.1.1. Graf P n Bukti: + 1, n adalah TSAS dgan k = 15n 4 gap. + 1, untuk n Pandang notasi titik dan sisi pada graf P n + 1, n dalam persamaan (1). Berikan label pada titik dan sisinya dgan cara berikut: V(P n + 1, n ) = { i,j 1 j 3, 1 i n} E(P n + 1, n ) = {e i,j 1 j 3, 1 i n - 1}, dimana e i,1 = i,1 i+1,1, 1 i n - 1 e i, = i, i+1,, 1 i n 1 e i,3 = i,3 +,3, 1 i n + 1 + 1,3 i+1,3, n + i n 1.. (1) Pelabelan TSAS untuk graf P n + 1, n dgan n 4 gap disajikan dalam teorema berikut. 4
Online Jurnal of Natural Scice, Vol. (1): 1-10 ISSN: 338-0950 Maret 013 + 1, n Dgan demikian, graf P n adalah TSAS dgan k = 15n 1, untuk n 4 gap. + Mggunakan Teorema.1. dan Teorema.., diperoleh akibat berikut : Akibat 3.1.1. Graf P n + 1, n adalah TSA dgan k = 1n gap. 7, untuk n 4 Akibat 3.1.. Graf P n + 1, n adalah TSAS dgan k = 15n 4 gap. 3.. Graf P n +3, n 3, untuk n Pada bagian ini, akan dibahas pelabelan TSAS pada graf P n +3, n 3 untuk n 5 ganjil. Potasian titik dan sisi pada graf P n +3 Gambar berikut :, n 3 disajikan dalam 1,1 e,1 e 3,1 e 4,1 e 5,1 e 7,1 e 8,1 e 9,1 e10,1 e 1,1,1 3,1 4,1 5,1 6,1 7,1 8,1 9,1 10,1 11,1 1,1 1,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 1, e 1, e 3, e 4, e 5, e 6, e 7, e 8, e 9, e10, e, 1,3,3 e 1,3 e,3 e 3,3 e 4,3 3,3 4,3 n 3 1,3 3,3 e 5,3 e n 3,3 e n 3 1,3 e n 3, 3 e 6,3 e 7,3 5,3 6,3 3 3 3,3 4,3 e n 3 3,3 7,3 e n-1,3 n 3,3 Gambar : Potasian titik dan sisi pada graf P n +3, n 3 Berdasarkan gambar di atas, dapat dinotasikan himpunan titik dan sisi graf P n +3, n 3 n,3 sebagai berikut : V(P n +3, n 3 ) = { i,j 1 j 3, 1 i n} E(P n +3, n 3 ) = {e i,j 1 j 3, 1 i n - 1}, dimana e 11,1 e 11, e n-1,1 e n-1, n,1 n, 5
Online Jurnal of Natural Scice, Vol. (1): 1-10 ISSN: 338-0950 Maret 013.() +3, n 3 Pelabelan TSAS untuk graf P n dgan n 5 ganjil disajikan dalam teorema berikut. Teorema 3..1. Graf P n +3, n 3 Bukti: adalah TSAS dgan k = 15n+5, untuk n 5 ganjil. Pandang notasi titik dan sisi pada graf P n +3, n 3 dalam persamaan (). Berikan label pada titik dan sisinya dgan cara : Dgan label tersebut diperoleh : +3, n 3 Dgan demikian, graf P n untuk n 5 ganjil. adalah TSAS dgan k = 15n+5, Mggunakan Teorema.1. dan Teorema.., diperoleh akibat berikut : Akibat 3..1. Graf P n +3, n 3 adalah TSA dgan k = 1n 17, untuk n 5 ganjil. Akibat 3 Graf P n +3, n 3 adalah TSAS dgan k = 15n 5, untuk n 5 ganjil. 3.3. Graf P n + 1, n Pada bagian ini, akan dibahas pelabelan TSAS pada graf P n + 1, n untuk n 4 gap. Gambar memperlihatkan potasian titik dan sisi pada graf P n + 1, n. 6
Online Jurnal of Natural Scice, Vol. (1): 1-10 ISSN: 338-0950 Maret 013 1,1 e1,1 e,1 n 3,1 4,1 5,1 e n e n 3,1 4, 1 n -1,1,1,1 1,1 n 1,1 e6,1,1,1 e3,1 e4,1 e5,1 6,1 3,1 4,1 5,1 1,, e1, e, 3, e3,, e4, 4, e5, 3, 3,, 1, e6, 5, 4, 4, 1, 6, n -1, 5, 1,3 e,3 e 3,3 e 4,3 e 5,3 e 6,3 e 7,3 e 8,3 e 9,3 e10,3 e 1,3,3 3,3 4,3 5,3 6,3 7,3 8,3 9,3 10,3 11,3 Gambar 3: Potasian titik dan sisi pada graf P n + 1, n, n,3 e n-1,3 Berdasarkan gambar di atas, dapat dinotasikan himpunan titik dan sisi dari graf P n + 1, n sebagai berikut : V (P n + 1, n ) = { i,j 1 j 3, 1 i n} E (P n + 1, n ) = {e i,j 1 j 3, 1 i n - 1}, dimana e i,3 = i,3 i+1,3, 1 i n - 1 (3) Pelabelan TSAS untuk graf P n + 1, n dgan n 4 gap disajikan dalam teorema berikut. Teorema 3.3.1. Graf P n + 1, n Bukti: adalah TSAS dgan k = 15n +, untuk n 4 gap. Pandang notasi titik dan sisi pada graf P n + 1, n dalam persamaan (3). Berikan label pada titik dan sisinya dgan cara: 3i, j = 1, 1 i n 3i, j =, 1 i n λ ( i,j ) = 3i +, j = 3, 1 i n 1; i ganjil 3n+ 3i, j = 3, 1 i n; i gap 7
Online Jurnal of Natural Scice, Vol. (1): 1-10 ISSN: 338-0950 Maret 013 6n 3i, j = 1, 1 i n 1 λ (e i,j ) = 6n 3i, j =, 1 i n 1 6n 3i, j = 3, 1 i n 1 Dgan label tersebut di atas diperoleh : λ ( i,1 ) + λ (e i,1 ) + λ ( +,1), 1 i n + 1; Akibat 3.3.. Graf P n + 1, n adalah TSAS dgan k = 15n 4 gap. 3.4. Graf P n +3, n 3, untuk n Pada bagian ini, akan dibahas k = λ ( + 1,1) + λ (e i,1) + λ ( i+1,1 ), n + i n λ ( i, ) + λ (e i, ) + λ ( +,), 1 i n + 1; λ ( + 1,) + λ (e i,) + λ ( i+1, ), n + i n λ ( i,j ) + λ (e i,j ) + λ ( i+1,j ), j = 3, 1 i n 1 pelabelan TSAS pada graf P n +3, n 3 untuk n 5 ganjil. Gambar 4 mampilkan potasian titik dan sisi dari graf P n +3, n 3. k = 15n + 1, n 3i + 6n 3i + 3( n + ) = 15n + 3( n 15n + 1) + 6n 3i + 3(i + 1 ) = + 3i + 6n 3i - + 3( n + ) 1 = 15n + 3( n 15n + 1 ) + 6n 3i - + 3(i + 1) 1 = + 3i 3n+ 3(i+1) + + 6n 3i 1 + = 15n + Dgan demikian, graf P n adalah TSAS dgan k = +, untuk n 4 gap. Selanjutnya, dgan mggunakan Teorema.1. dan Teorema.. diperoleh akibat berikut: Akibat 3.3.1. Graf P n + 1, n adalah TSA dgan k = 1n 4 gap. 8, untuk n 1,1,1 e1,1 e,1 3,1 e3,1 3, 3 1,1 e4,1 4,1 e5,1 4, 5,1 3 e6,1 e7,1 5,,1 e n 3 1,1 e n 3 3 4, 1 3,1 e n 3 6,1 7,1 6, -1,1 3 3, n 3 4, 3, e n 3, e 3, n 3, 3-1, 1, 3 1, e1, e n 3, 1, n 3, e, e7, 7, e3, e6,, e4, e5, 3,1,1 e n 3 31, 1,3,3 3,3 4,3 5,3 6,3 7,3 8,3 9,3 10,3 11,3e 1,3 n,3 e 1,3 e,3 e 3,3 e 4,3 e 5,3 e 6,3 e 7,3 e 8,3 e 9,3 e10,3 11,3 e n-1,3 Gambar 4: Potasian titik dan sisi pada graf P n +3, n 3 3,1,1 8
Online Jurnal of Natural Scice, Vol. (1): 1-10 ISSN: 338-0950 Maret 013 Berdasarkan gambar di atas, dapat dinotasikan himpunan titik dan sisi graf P n +3, n 3 V(P n +3 E(P n +3 dimana : e i,1 = e i, =, n 3, n 3 sebagai berikut : ) = { i,j 1 j 3, 1 i n} ) = {e i,j 1 j 3, 1 i n - 1}, n+3 i,1 +3 +1,1, 1 i +3,1 i+1,1, n+3 + 1 i n 1 n+3 i, +3 +1,, 1 i +3, i+1,, n+3 + 1 i n 1 e i,3 = i,3 i+1,3, 1 i n - 1 (4) +3, n 3 Pelabelan TSAS untuk graf P n dgan n 5 ganjil disajikan dalam teorema berikut. Berikan label pada titik dan sisinya dgan cara : λ ( i,j ) = 3i, j = 1, 1 i n 3i, j =, 1 i n 3i 3n+ 3i+ 1 +, j = 3, 1 i n; i ganjil + 1, j = 3, 1 i n-1; i gap 6n 3i, j = 1, 1 i n 1 λ (e i,j ) = 6n 3i, j =, 1 i n 1 6n 3i, j = 3, 1 i n 1 Dgan label tersebut diperoleh : n+3 λ ( i,1 ) + λ (e i,1 ) + λ ( +3 + 1,1), 1 i ; λ ( +3,1) + λ (e i,1) + λ ( i+1,1 ), n+3 + 1 i n n +3 k = λ ( i, ) + λ (e i, ) + λ ( +3 + 1,), 1 i ; λ ( +3,) + λ (e i,) + λ ( i+1, ), n+3 + 1 i n λ ( i,j ) + λ (e i,j ) + λ ( i+1,j ), j = 3, 1 i n 1 Teorema 3.4.1. Graf P n +3, n 3 Bukti: adalah TSAS dgan k = 15n+7, untuk n 5 ganjil. Pandang notasi titik dan sisi pada graf P n +3, n 3 dalam persamaan (4). k = n +3 3i + 6n 3i + 3( + 1 ) = 15n+7 3( n+3 ) + 6n 3i + 3(i + 1) = 15n+7 3i + 6n 3i - + 3( n+3 + 1 ) 1 = 15n+7 3( n+3 15n +7 ) + 6n 3i - + 3(i + 1) 1 = 3i 3n+ 3 i+1 +1 + + 6n 3i 1 + + 1 = 15n+7 9
Online Jurnal of Natural Scice, Vol. (1): 1-10 ISSN: 338-0950 Maret 013 +3, n 3 Dgan demikian, graf P n untuk n 5 ganjil. adalah TSAS dgan k = 15n+7, Mggunakan Teorema 1 dan, diperoleh akibat berikut : Akibat 3.4.1. Graf P n +3, n 3 adalah TSA dgan k = 1n 19, untuk n 5 ganjil. Akibat 3.4.. Graf P n +3, n 3 adalah TSAS dgan k = 15n 7, untuk n 5 ganjil. DAFTAR PUSTAKA Enomoto, H., Lladó, A. S., Nakamigawa, T., and Ringel, G., 1998, Super Edge-Magic Graphs, SUT J. Math., Vol. 34, No. : 105-109, (http://web.thu.edu.tw/wang/www/s EM_98.pdf), diakses 14 Desember 011. Kotzig, A., and Rosa, A., 1970, Magic Valuations of Finite Graphs, Canad. Math. Bull, Vol. 13 : 451-461. [Sedláček, J., 1963, In : Theory of Graphs and Its Applications, Proc. Symp. Smolice, Problem 7 : 163-169. Stewart, B. M., 1966, Magic Graph, Canad. J. Math, Vol. 18 : 1031-1059. Sudarsana, I W., Assiyatun, H., Baskoro, E. T., and Ismaimuza, D., 005, Creating New Super Edge-Magic Total Labelings from Old Ones, J. Combin. Math. Combin. Comput, Vol. 55 : 83-90. Sudarsana, I W., Baskoro, E. T., Ismaimuza, D., and Uttunggadewa, S., 009, An Expansion Technique on Super Edge-Magic Total Graphs, ARS Combinatoria, Vol. 91 : 31-41. Wallis, W. D., Baskoro, E. T., Miller, M., and Slamin, 000, Edge-Magic Total Labelings, Australasian J. Combin., Vol. : 177-190. Figueroa-Cto, R. M., Ichishima, R., and Muntaner-Batle, F. A., 005, On Edge-Magic Labelings of Certain Disjoint Unions of Graphs, Australasian J. Combin., Vol. 3 : 5 4. Gallian, J. A., 01, A Dynamic Surey of Graph Labelling, Electronic Journal of Combinatorics, Vol. 18, (http://www.emis.ams.org/journals/e JC/Surey/ds6. pdf), diakses 14 Noember 01. 10