KETOTALSISIAJAIBAN GRAF DAN DEFISIENSINYA DISERTASI

Transkripsi

1 i KETOTALSISIAJAIBAN GRAF DAN DEFISIENSINYA DISERTASI Karya tulis sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Doktor dari Institut Teknologi Bandung Oleh Anak Agung Gede Ngurah NIM: Institut Teknologi Bandung 2007

2 ii KETOTALSISIAJAIBAN GRAF DAN DEFISIENSINYA Oleh Anak Agung Gede Ngurah NIM: (Program Studi Matematika) Institut Teknologi Bandung Menyetujui Tim Pembimbing Tanggal: 26 November 2007 Ketua (Prof. Dr. Edy Tri Baskoro) Anggota Anggota (Dr. Rinovia Simanjuntak) (Dr. Saladin Uttunggadewa)

3 iii ABSTRAK KETOTALSISIAJAIBAN GRAF DAN DEFISIENSINYA Oleh Anak Agung Gede Ngurah NIM : Pelabelan total sisi-ajaib pada suatu graf dengan p titik dan q sisi adalah suatu pemetaan satu-satu yang memetakan semua titik dan sisi ke {1, 2, 3,, p + q} dengan sifat bahwa untuk setiap sisi pada graf tersebut jumlah label sisi dan label kedua titik ujungnya sama. Sejak diperkenalkan oleh Kotzig dan Rosa pada tahun 1970, pelabelan ini telah dikaji oleh banyak peneliti. Misalnya, Enomoto, Llado, Nakamigawa dan Ringel mengkaji pelabelan ini dengan memperkenalkan istilah pelabelan total sisi-ajaib super, yaitu pelabelan total sisi-ajaib yang mempunyai sifat bahwa semua titik mendapat p label terkecil. Di samping itu perluasan dan variasi dari pelabelan ini telah diperkenalkan. Aplikasinya pun mulai dikaji, seperti aplikasi dalam kriptografi yang menggunakan pelabelan total sisi-ajaib dalam konstruksi skema pembagian rahasia. Studi mengenai pelabelan total sisi-ajaib (super) yang banyak mendapat perhatian adalah klasifikasi graf yang memiliki pelabelan tersebut. Beberapa kelas graf telah diketahui mempunyai pelabelan tersebut. Namun banyak permasalahan yang sampai kini belum terpecahkan. Di antaranya adalah konjektur yang menyatakan bahwa semua graf pohon memiliki pelabelan total sisi-ajaib (super). Termotivasi oleh konjektur tersebut beberapa peneliti mengkaji pelabelan ini secara khusus pada graf pohon. Selain itu, beberapa kelas graf juga sudah dibuktikan tidak mempunyai kedua pelabelan tersebut. Berkaitan dengan hal tersebut diperkenalkan konsep defisiensi sisi-ajaib (super) dari suatu graf. Konsep ini menyatakan seberapa dekat suatu graf dengan suatu graf yang mempunyai pelabelan total sisi-ajaib (super). Disertasi ini mengkaji dua permasalahan yaitu studi klasifikasi graf yang mempunyai pelabelan total sisi-ajaib (super) dan studi penentuan defisiensi total sisiajaib (super) dari beberapa kelas graf. Untuk masalah pertama, kami mengkaji ketotalsisiajaiban beberapa graf, yakni pohon-seperti-lintasan (path-like-tree), graf kembang api (fire cracker), graf lobster, dan graf rantai (chain graph). Di samping itu kami juga menyajikan metode konstruksi graf total sisi-ajaib (super) baru dari graf yang sudah diketahui total sisi-ajaib (super). Berdasarkan metode ini dihasilkan beberapa kelas graf total sisi-ajaib (super) baru. Beberapa di antaranya memberi dukungan atas kebenaran konjektur bahwa setiap graf pohon mempunyai pelabelan total sisi-ajaib (super). Sedangkan untuk masalah kedua, kami melakukan studi nilai defisiensi graf khususnya pada graf rantai, kipas, kipas ganda, roda, bipartit tak terhubung dan multipartit. Kata kunci: pelabelan graf, pelabelan total sisi-ajaib, pelabelan total sisi-ajaib super, defisiensi sisi-ajaib super.

4 iv ABSTRACT The Edge-Magicness of Graphs and Its Deficiencies By Anak Agung Gede Ngurah NIM : An edge-magic total labeling on a graph with p vertices and q edges is a one-toone map taking the vertices and edges onto the integers 1, 2, 3,, p + q with the property that for each edge the sum of the label on the edge and the labels of its endpoints is constant. Since its introduction by Kotzig and Rosa in 1970, this labeling becomes one of the most famous graph labelings that have been studied by many researchers. Enomoto, Llado, Nakamigawa and Ringel studied this labeling by introducing the terminology of the super edge-magic total labeling, namely an edge-magic total labeling with an additional property that all vertices receive the p smallest labels. On the other hand, the extension and variation of these labelings have been introduced. Their applications have also been studied, such as in cryptography where edge-magic total labelings are used in a construction of a secret sharing scheme. The classification of graphs that admit a (super) edge-magic total labeling is an interesting topic for researchers. Some classes of graphs had been proved admitting these labeling. However, there still remain many open problems such as the conjectures which state that every tree admits an edge-magic total labeling and every tree admits a super edge-magic total labeling. Motivated by these conjectures, some researchers studied these labelings for particular types of trees. Additionally, some classes of graphs had been proved not admitting these labelings. Concerning to this fact, the concepts (super) edge-magic deficiencies of a graph were introduced. These concepts measure how close a graph with a (super) edge-magic graph is. In this dissertation, we study and give partial solutions to these two problems, namely classification of graphs that admit a (super) edge-magic total labeling and determination of (super) edge-magic deficiency of some classes of graphs. For the first problem, we consider (super) edge-magic total labeling for some classes of graphs such as path-like-trees, fire crackers, lobsters, and chain graphs. Also, we propose methods to construct new (super) edge-magic graphs from old ones. From these methods we can obtain new classes of (super) edge-magic graphs; some of the resulting graphs support the correctness of the conjectures that every tree has a (super) edge-magic total labeling. For the second problem, we study the deficiencies of particular type of graphs such as chain graphs, fans, double fans, wheels, disconnected bipartite graphs, and multipartite graphs. Keywords: graph labeling, edge-magic total labeling, super edge-magic total labeling, super edge-magic deficiency.

5 v PEDOMAN PENGGUNAAN DISERTASI Disertasi Doktor yang tidak dipublikasikan terdaftar dan tersedia di Perpustakaan Institut Teknologi Bandung, dan terbuka untuk umum dengan ketentuan bahwa hak cipta ada pada pengarang dengan mengikuti aturan HaKI yang berlaku di Institut Teknologi Bandung. Referensi kepustakaan diperkenankan dicatat, tetapi pengutipan atau peringkasan hanya dapat dilakukan seizin pengarang dan harus disertai dengan kebiasaan ilmiah untuk menyebutkan sumbernya. Memperbanyak atau menerbitkan sebagian atau seluruh disertasi haruslah seizin Direktur Program Pascasarjana, Institut Teknologi Bandung.

6 vi UCAPAN TERIMA KASIH Puji syukur kehadirat Tuhan penulis panjatkan atas semua karunia-nya. Penulis ingin mengucapkan terima kasih kepada mereka yang sudah membantu selama menempuh pendidikan S3 di Program Studi Matematika ITB. Kepada Tim Pembimbing; Prof. Dr. Edy Tri Baskoro, Dr. Rinovia Simanjuntak, dan Dr. Saladin Uttunggadewa atas kepercayaan, motivasi dan kesabarannya. Kepada Tim Pembaca; Prof. Ketut Budayasa, Dr. Hilda Assiyatun, dan Dr. Achmad Muchlis atas koreksi dan masukan yang sangat bermanfaat. Kepada Departemen Pendidikan Nasional Republik Indonesia atas bantuan Beasiswa Program Pascasarjana (BPPS). Kepada Universitas Merdeka Malang atas ijin dan bantuannya. Kepada semua keluarga, khususnya Bapak dan Ibu, atas doanya. Kepada teman-teman di SSG Bandung dan Malang atas doanya, dan teman-teman S3 atas kerjasamanya. Kepada F. A. Muntaner-Batle (Tony) atas paper, disertasi dan diskusinya. Bandung, November 2007 Penulis Anak Agung Gede Ngurah

7 vii DAFTAR ISI ABSTRAK ABSTRACT PEDOMAN PENGGUNAAN DISERTASI UCAPAN TERIMA KASIH DAFTAR GAMBAR DAFTAR LAMBANG iii iv v vi ix xi I Pendahuluan 1 I.1 Latar belakang masalah I.2 Tujuan penelitian dan rumusan masalah I.3 Hasil-hasil penelitian I.4 Sistematika penulisan disertasi II Graf dan Operasi graf 6 II.1 Graf dan subgraf II.2 Klasifikasi graf II.3 Operasi pada graf III Pelabelan Total Sisi-Ajaib (Super) 14 III.1 Sejarah pelabelan graf III.2 Pelabelan total sisi-ajaib III.3 Pelabelan total sisi-ajaib super III.4 Pelabelan ajaib (super) dari beberapa kelas graf III.4.1 Pelabelan ajaib super pada graf pohon-seperti-lintasan III.4.2 Pelabelan ajaib super pada graf subdivisi dari graf bintang K 1,3 30 III.4.3 Pelabelan ajaib super pada graf lobster III.4.4 Pelabelan ajaib pada graf rantai

8 viii IV Graf Ajaib (Super) dengan Sisi Pendan 54 IV.1 Graf ajaib dengan sisi pendan IV.2 Graf ajaib super dengan sisi pendan V Defisiensi Sisi-Ajaib Super 73 V.1 Defisiensi ajaib super dari graf rantai V.2 Defisiensi ajaib super dari graf kipas, kipas ganda dan roda V.3 Defisiensi ajaib super dari graf bipartit dan multipartit lengkap VI Kesimpulan dan Masalah Terbuka 95 DAFTAR PUSTAKA 97 DAFTAR RIWAYAT HIDUP 102

9 ix DAFTAR GAMBAR II.1 Ketetanggaan pada graf dan graf 3-reguler II.2 Graf yang isomorfik dan tidak isomorfik II.3 Graf dan subgrafnya II.4 Graf G dan G + uv II.5 Graf dengan 4 komponen II.6 Graf dengan 5 blok II.7 Graf lengkap K 6 dan graf bipartit lengkap K 3, II.8 Graf Petersen diperumum II.9 Graf pohon, graf hutan, dan graf siklus-tunggal II.10 Beberapa graf tanpa siklus II.11 Graf yang dihasilkan dari operasi join II.12 Graf yang dihasilkan dari operasi perkalian II.13 Graf yang dihasilkan dari operasi corona III.1 Pelabelan ajaib pada graf C 4 dan pelabelan dualnya III.2 Pelabelan ajaib super pada suatu graf dan pelabelan dualnya.. 22 III.3 Graf P 22 dipandang sebagai subgraf dari graf grid III.4 Pohon-seperti-lintasan III.5 Pelabelan titik pada P 22 dan pohon-seperti-lintasan yang menunjukkan bahwa f(u ) + f(v ) = f(u) + f(v) III.6 Graf pohon T (4, 5, 7) III.7 Pelabelan titik dari T (4, 6, 9) III.8 Pelabelan titik dari T (3, 6, 10) III.9 Pelabelan titik dari graf kembang api III.10 Graf lobster dengan struktur tertentu III.11 Pelabelan titik dari graf lobster yang mempunyai struktur seperti graf lobster pada Gambar III III.12 Pembentukkan 3C 4 -lintasan dari 2C 4 -lintasan III.13 Pelabelan ajaib pada kc 4 -lintasan

10 x IV.1 (a) pelabelan titik dari P5,2 1 dan graf yang dihasilkan dengan menerapkan Teorema IV.1, (b) pelabelan titik dari P6,1 4 dan graf yang dihasilkan dengan menerapkan Teorema IV IV.2 Graf H dan pelabelan titiknya IV.3 Pelabelan titik dari H IV.4 Pelabelan titik dari P5,1, 6 dan graf yang dihasilkan dengan menerapkan Teorema IV IV.5 Graf G dan pelabelan titiknya IV.6 Pelabelan titik dari graf L 5,1 dan P 6 K 1,2 yang memenuhi Teorema IV.4 dan graf yang dihasilkan dengan menerapkan Teorema IV IV.7 Graf ajaib super P 8 K 1,3 dan graf yang dihasilkan dengan menerapkan Teorema IV IV.8 Graf ajaib super K 1,8 K 1,3 dan graf yang dihasilkan dengan menerapkan Teorema IV IV.9 Pelabelan titik pada graf P (9, 3) IV.10 Graf ajaib super K 1,8 dan graf yang dihasilkan dengan menerapkan Teorema IV V.1 Pelabelan titik dari 5K 4 lintasan K V.2 Pelabelan titik dari F 10,2 4K V.3 Pelabelan titik dari 3K 2,2 dan 4K 2, V.4 Pelabelan titik dari K 4,4 K 5,5 K 6,

11 xi DAFTAR LAMBANG LAMBANG Nama Pemakaian pertama kali pada hal. V (G) Himpunan titik dari graf G 6 E(G) Himpunan sisi dari graf G 6 N(u) Himpunan semua tetangga titik u 6 d G (v) Derajat dari titik v pada graf G 6 δ(g) Derajat minimum dari graf G 6 (G) Derajat maksimum dari graf G 6 G = H Graf G isomorfik dengan graf H 6 H G H adalah subgraf dari graf G 7 G u Subgraf dari graf G dengan V (G u) = V (G) \ {u} dan E(G u) = E(G) \ {uv uv E(G)} 7 G e Subgraf dari graf G dengan V (G e) = V (G) dan E(G e) = E(G) \ {e} 7 G + uv Suatu graf dengan himpunan titik V (G) dan V (G + uv) = E(G) + {uv} dan 7 W Jalan 8 P n Graf lintasan dengan n titik 8 d(u, v) Jarak antara titik u dan v 8 k(g) Banyaknya komponen pada graf G 8 K n Graf lengkap dengan n titik 9 K n,m Graf bipartit lengkap yang setiap himpunan partitnya berturut-turut terdiri dari n dan m titik 9 P (n, m) Graf Petersen diperumum dengan 2n titik 9 D n Graf prisma dengan 2n titik 10 C n Graf siklus dengan n titik 10

12 xii LAMBANG Nama Pemakaian pertama kali pada hal. G 1 G 2 Graf gabungan dari G 1 dan G 2 11 nh Gabungan saling asing n buah graf H 11 G 1 + G 2 Graf join dari G 1 dan G 2 11 W n Graf roda dengan n + 1 titik 11 C t 3 Graf pertemanan 11 F n Graf kipas dengan n + 1 titik 12 F n,2 Graf kipas ganda dengan n + 2 titik 12 G 1 G 2 Graf hasil kali dari G 1 dan G 2 12 B n Graf buku dengan n halaman 12 C n P m Graf prisma diperumum 12 L n Graf tangga dengan 2n titik 12 G H Graf corona dari G dan H 12 G k Pangkat k dari graf lintasan G 22 T (m, n, k) Subdivisi dari graf K 1,3 30 F C(m 1, m 2,, m n ) Graf kembang api yang dibentuk dari L(l m 1,m 2 1, l m 2,m 3 2,, l mn,m n+1 1 ) Lobster yang mempunyai kf lintasan P 1 2k+1,m graf bintang K 1,m1 +1, K 1,m2 +1,, K 1,mn+1 37 struktur seperti pada Gambar III Graf rantai dengan k blok dimana setiap bloknya adalah graf F 45 Caterpillar yang dibentuk dengan menambahkan m sisi pendan, dengan m genap, ke setiap titik dari graf lintasan P 2k+1, k 1 57

13 xiii LAMBANG Nama Pemakaian pertama kali pada hal. P2k,m 2 P2k+1,m 3 Pn,1 4 P2k+1 T P2k,m 5 P2k+1,1 6 P2k+1,m 7 P2k T L 2k Caterpillar yang dibentuk dengan menambahkan m 1 sisi pendan ke satu titik dari graf lintasan P 2 dan m sisi pendan ke titik yang lain dari P 2k, k 1 57 Caterpillar yang dibentuk dengan menambahkan m sisi pendan ke setiap titik dari P 2k+1, k 1, kecuali satu titik yang berderajat satu 57 Caterpillar yang dibentuk dengan menambahkan satu sisi pendan ke n 1 titik dari P n, n 2 57 Pohon-seperti-lintasan dengan jumlah titik ganjil 57 Caterpillar yang dibentuk dengan menambahkan m 1 sisi pendan ke setiap titik dari P 2k, k 1 62 Caterpillar yang dibentuk dengan menambahkan satu sisi pendan ke setiap titik P 2k+1, k 1 62 Caterpillar yang dibentuk dengan menambahkan satu sisi pendan ke satu titik berderajat satu dan m 1 sisi pendan ke titik yang lain dari P 2k+1, k 1 62 Pohon-seperti-lintasan dengan jumlah titik genap 62 menerapkan Teorema IV.3 pada graf P 2k 62

14 xiv LAMBANG Nama Pemakaian pertama kali pada hal. L 5 2k,m L 6 2k+1,1 L 7 2k+1,m P T 2k L 2n+1,1 L 2n,1 S n,n+1 L 1 2k+1,m L 2 2k,m L 3 2k+1,m L 4 n,m menerapkan Teorema IV.3 pada graf P2k,m 5 62 menerapkan Teorema IV.3 pada graf P2k+1, menerapkan Teorema IV.3 pada graf P2k+1,m 7 62 menerapkan Teorema IV.3 pada graf P2k T 62 Lobster yang diperoleh dengan menambahkan sebuah titik pendan ke setiap titik berderajat 1 dari P 2n+1 K 1 65 Lobster yang diperoleh dengan menambahkan sebuah titik pendan ke setiap titik berderajat 1 dari P 2n K 1 kecuali titik pendan paling kiri atau kanan 65 Graf bintang ganda yang diperoleh dengan menghubungkan center dari dua buah graf bintang K 1,n dan K 1,n+1 65 menerapkan Teorema IV.4 pada graf P2k+1,m 1 65 menerapkan Teorema IV.4 pada graf P2k,m 2 65 menerapkan Teorema IV.4 pada graf P2k+1,m 3 65 menerapkan Teorema IV.4 pada graf Pn,m 4 65

15 xv LAMBANG Nama Pemakaian pertama kali pada hal. T2k+1 T T 2n+1,1 T 2n,1 L n,n+1 menerapkan Teorema IV.4 pada graf P2k+1 T 65 menerapkan Teorema IV.4 pada graf L 2n+1,1 65 menerapkan Teorema IV.4 pada graf L 2n,1 65 menerapkan Teorema IV.4 pada graf S n,n+1 65 µ(g) Defisiensi sisi-ajaib dari graf G 73 F p Bilangan Fibonacci ke-p 73 µ s (G) Defisiensi sisi-ajaib super dari graf G 73