BAB III PELABELAN TOTAL SISI-AJAIB SUPER. 3.1 Pelabelan Total Sisi-Ajaib Super Pada Graf Lintasan
|
|
- Farida Sudjarwadi
- 7 tahun lalu
- Tontonan:
Transkripsi
1 BAB III PELABELAN TOTAL SISI-AJAIB SUPER. Pelabelan Total Sisi-Ajaib Super Pada Graf Lintasan Sebuah graf lintasan P n dapat diperoleh dari sebuah graf lingkaran C n dengan cara menghilangkan satu buah sisinya. Sebagai contoh, gambar berikut ini merupakan graf lingkaran yang kemudian dihilangkan salah satu sisinya sehingga menjadi graf lintasan v v v v v v v v (i) (ii) Gambar. Graf Lingkaran C dan Graf Lintasan P Pada gambar., dengan menghilangkan salah satu sisi dari graf lingkaran C, misalnya sisi v v, maka akan diperoleh graf lintasan P. Berikut ini contoh pelabelan total sisi-ajaib pada graf lintasan P dan P. (i) (ii) Gambar. Dua Pelabelan Total Sisi-Ajaib pada Graf Lintasan
2 Pelabelan total sisi-ajaib pada graf lintasan P dari gambar. mempunyai konstanta ajaib k =, sedangkan pada graf lintasan P mempunyai k =. Teorema. (Kotzig dan Rosa, 0) Setiap graf lintasan P n adalah ajaib dengan k = n+ untuk n ganjil. Bukti : untuk n genap dan k = n+ Definisikan sebuah graf lintasan P n dengan V = {v, v, v,, v n } dan E = {v v, v v, v v,, v n- v n }. Kemudian labeli simpul dan sisi P n dengan aturan sebagai berikut : Untuk n genap Labeli simpul : i+ i+n, jika i=,,,,n λ(v i ) =, jika i=,,,,n Labeli sisi : λ(v i v i+ ) = n i perhatikan suatu sisi v j v j+, dengan menggunakan aturan di atas, maka λ(v j ) + λ(v j v j+ ) + λ(v j+ ) = j + n + (n j) + j + = k k = n+ Dengan demikian graf lintasan P n ajaib dengan k = n+.
3 Untuk n ganjil Labeli simpul : λ(v i ) = i+ i++n, jika i=,,,,n, jika i=,,,,n Labeli sisi : λ(v i v i+ ) = n i perhatikan suatu sisi v j v j+, sehingga λ(v j ) + λ(v j v j+ ) + λ(v j+ ) = j+ n k = n+ + (n j) + j++n Dengan demikian graf lintasan P n ajaib dengan k = n+ = k. Definisi. (Enomoto, dkk. ) Pelabelan total sisi-ajaib pada graf G disebut super jika λ(v(g)) = {,,,..., V } dan λ(e(g)) = { V +, V +, V +,..., V + E }. Graf yang dapat dilabeli dengan pelabelan total sisi-ajaib super dinamakan graf total sisi-ajaib super. Teorema. (Kotzig dan Rosa, 0), (Baskoro, dkk. 00) Setiap graf lintasan P n adalah ajaib super dengan bilangan ajaib k = n+ untuk n genap dan k = n+ dan k = k = n+ untuk n ganjil.
4 Bukti : Definisikan sebuah graf lintasan P n dengan V = {v, v, v,, v n } dan E = {v v, v v, v v,, v n- v n }. Kemudian labeli simpul dan sisi P n dengan aturan sebagai berikut : Untuk n genap Labeli simpul: i+ i+n,jika i=,,,,n λ(v i ) =,jika i=,,,,n labeli sisi: λ(v i v i+ ) = n i kemudian perhatikan sebuah sisi v j v j+, sehingga λ(v j ) + λ(v j v j+ ) + λ(v j+ ) = j+n + (n j) + = k k = n+ Graf lintasan P n ajaib super dengan konstanta k = n+. Untuk n ganjil dengan k Labeli simpul: λ (v i ) = i+ i++n,jika i=,,,,n,jika i=,,,,n labeli sisi: λ (v i v i+ ) = n i kemudian perhatikan sebuah sisi v j v j+ λ(v j ) + λ(v j v j+ ) + λ(v j+ ) = j+ + (n j) + = k
5 k = n+ Graf lintasan P n ajaib super dengan konstanta k = n+. Untuk n ganjil dengan k Labeli simpul: i+n i,jika i=,,,,n λ (v i ) =,jika i=,,,,n labeli sisi: λ (v i v i+ ) = n i perhatikan sebuah sisi v j v j+ λ(v j ) + λ(v j v j+ ) + λ(v j+ ) = j+n k = n+ + (n j) + = k Graf lintasan P n adalah ajaib dengan k = n+. Lemma. (Figueroa-Centeno, 00) Graf G = (V(G), E(G)) dengan V(G) = p dan E(G) = q adalah total sisi-ajaib super jika dan hanya jika terdapat pemetaan bijektif λ : V(G) {,,,..., p}, sedemikian sehingga himpunan S = { λ(x) + λ(y) xy E(G)} terdiri dari bilangan bulat positif berurutan. Dalam hal ini λ dapat diperluas menjadi suatu pelabelan total sisi-ajaib super dari G dengan konstanta ajaib k = p + q + s, dengan s = min(s) dan S = {k (p +), k (p + ),..., k (p + q)}.
6 Bukti : ( ) jika G merupakan graf total sisi-ajaib super dan λ adalah suatu pelabelan total sisi-ajaib super pada G dengan konstanta ajaib k, maka S = {k λ(xy) xy E(G)} = {k (p + ), k (p + ),..., k (p + q)}. ( ) asumsikan bahwa fungsi λ ada dan misalkan s = min(s) = min{ λ(x) + λ(y) xy E(G)}. Perluas λ sehingga domainnya menjadi V(G) E(G) dengan cara mendefinisikan λ(xy) = p + q + s λ(x) λ(y) untuk setiap sisi xy di G. Diperoleh λ(e(g)) = {p +, p +,..., p + q} dan λ(x) + λ(xy) + λ(y) = p + q + s. Berikut ini dua lemma yang bisa digunakan untuk menemukan pola pelabelan total sisi-ajaib super dari sebuah graf dan menentukan pelabelan dual dari suatu pelabelan total sisi-ajaib super. Lemma. (Baskoro, dkk. 00) Jika G = (V(G), E(G)) adalah sebuah graf total sisi-ajaib super dengan banyak simpul p dan banyak sisi q, maka konstanta ajaib k dari graf G akan memenuhi p + q + k p. Bukti : Jika G adalah graf total sisi-ajaib super, maka simpul-simpul dari G akan menerima label,,,..., p dan sisi-sisinya akan menerima label p +, p +,..., p + q. Sehingga berdasarkan lemma., S = { λ(x) + λ(y) xy E(G)} terdiri dari bilangan bulat terurut a, a +, a +,..., a + (q ) untuk suatu bilangan bulat positif a. Konstanta ajaib terkecil dari G akan tercapai jika a =. Jika a =, maka
7 simpul-simpul dari G akan dilabeli dan, dimana simpul-simpul ini ajasen, sedangkan konstanta ajaibnya adalah k = (a + q ) + (p + ) = p + q +. Jika label p dan p saling ajasen di G, maka akan didapat kemungkinan konstanta ajaib yang terbesar dari G yaitu k = (p ) + (p + ) + p = p, sehingga didapat p + q + k p. Lemma. (Baskoro, dkk. 00) Jika λ adalah suatu pelabelan total sisi-ajaib super pada graf G dengan konstanta ajaib k, maka fungsi λ : V(G) E(G) {,,,..., p + q} yang didefinisikan : λ (x) = p+ λ x,jika x V G p+q+ λ x, jika x E G juga merupakan suatu pelabelan total sisi-ajaib super pada graf G dengan konstanta ajaib k = p + q + k. Pelabelan λ ini kemudian dinamakan pelabelan dual super dari pelabelan total sisi-ajaib super pada graf G. Bukti : Misalkan xy E(G), maka λ (x) + λ (xy) + λ (y) = (p + λ(x)) + (p + q + λ(xy)) + (p + λ(y)) = p + q + (λ(x) + λ(xy) + λ(y)) = p + q + k. Berdasarkan definisi, teorema, dan lemma yang mendukung pelabelan total sisi-ajaib super yang telah diungkapkan pada paragraf-paragraf sebelumnya, disertai dengan bukti-bukti, maka pengonstruksian pelabelan total sisi-ajaib super pada graf lintasan bisa dilakukan.
8 Pada bagian ini akan dilakukan pengonstruksian pelabelan total sisi-ajaib super pada graf lintasan tertentu. Pelabelan Total Sisi-Ajaib Super Pada P dengan Dualitas Pelabelannya Untuk pembahasan selanjutnya graf lintasan didefinisikan memiliki jumlah simpul p dan jumlah sisi q, sehingga untuk graf lintasan P memiliki p = dan q =. Berdasarkan teorema. nilai k untuk pelabelan total sisi-ajaib super (PTSAS) pada P adalah, k =. Jika mengacu pada lemma., maka didapat k =, sehingga PTSAS untuk P hanya satu, yaitu dengan memberi label pada kedua simpulnya dengan label dan, sedangkan sisinya diberi label. PTSAS pada P memiliki pelabelan dual super yaitu PTSAS dengan k =. Ini berarti pelabelan dual super untuk PTSAS pada P adalah dirinya sendiri, yang selanjutnya dinamakan pelabelan self-dual. Pelabelan self-dual tidak berbeda dengan pelabelan asalnya, sehingga tidak memunculkan pelabelan yang baru. Pelabelan Total Sisi-Ajaib Super Pada P dengan Dualitas Pelabelannya Untuk P, p = dan q =. Adapun gambar P sebelum dilabeli secara total sisi-ajaib super adalah sebagai berikut : v v v
9 0 Berdasarkan lemma. diperoleh nilai konstanta ajaib k. Jika mengacu pada teorema., maka didapat k = dan k =. Berarti terdapat dua nilai konstanta ajaib yang masing-masing membentuk PTSAS pada P. Untuk k = Tidak seperti PTSAS pada P, yang susunan label pada simpulnya tidak perlu dikonstruksi, PTSAS pada P, dan P n selanjutnya, harus ditentukan susunan label pada simpul-simpulnya berdasarkan ajasensi antar simpul-simpul pada graf tersebut. Untuk menentukan ajasensi antar simpul sekaligus ajasensi antar label simpulnya bisa dibantu dengan menggunakan lemma.. Berdasarkan lemma. diketahui bahwa S adalah himpunan jumlah label simpul yang saling ajasen. Karena label untuk sisinya adalah dan, maka diperoleh S untuk P adalah S(P ) = {, }, S(P ) = {, }. Untuk selanjutnya didefinisikan S = {s, s, s,..., s q }, maka S(P ) = {, } = {s, s }. s = = (, ), artinya pasangan label simpul yang ajasen yang mungkin untuk s adalah label dan label. Disini urutan penulisan tidak berpengaruh, artinya pasangan label (, ) akan tepat sama dengan pasangan label (, ). Pengertian seperti ini akan berlaku dan digunakan untuk seterusnya pada bahasan ini. Karena kemungkinan untuk s = hanya satu pada P ini, maka label haruslah ajasen dengan label. s = = (, ), karena kemungkinan pasangan label simpul yang ajasen pada s hanya satu, maka label harus ajasen dengan label. Ini artinya label harus berderajat dua, sedangkan simpul yang berderajat dua pada P adalah v, oleh karena itu v akan dilabeli dengan, sedangkan label untuk v dan v
10 adalah atau. Misalkan label untuk v adalah dan label untuk v adalah maka gambar pelabelan akan menjadi seperti berikut : jika label untuk v adalah dan label untuk v adalah maka gambar pelabelan akan menjadi seperti berikut : Terakhir, tinggal melengkapi dengan label-label sisinya supaya terbentuk gambar utuh PTSAS pada P. Cara melabeli sisi-sisinya mudah, berdasarkan definisi PTSAS, maka k λ(v i ) λ(v i+ ) dengan i =,,,, p, adalah label untuk sisi-sisinya. Dengan menggunakan cara tersebut, maka didapat gambaran utuh dua PTSAS pada P sebagai berikut dan Kedua pelabelan tersebut adalah pelabelan yang sama, sehingga bisa diambil salah satunya saja. Pada pembahasan selanjutnya pun, jika ada dua pelabelan yang sama, maka akan diambil salah satunya saja.
11 Pelabelan dual super untuk PTSAS pada P dengan k = adalah PTSAS dengan k =. Dengan demikian PTSAS pada P dengan k = adalah pelabelan dual super dari PTSAS pada P dengan k =. Untuk k = Himpunan label simpul λ(v(p)) = {a, a, a,, a p }, λ(v i ) = a i, dengan i =,,,...p. Maka himpunan label simpul untuk PTSAS pada P dengan k = adalah λ(v(p )) = {,, }. Berdasarkan lemma., maka himpunan label simpul untuk pelabelan dual supernya adalah λ (V(P )) = {,, }. Yang ditulis merupakan pelabelan simpulnya saja, karena pelabelan sisi mengikuti pelabelan simpulnya. Secara lengkap gambar pelabelannya sebagai berikut Pelabelan Total Sisi-Ajaib Super Pada P dengan Dualitas Pelabelannya berikut : Pada P, p = dan q =. Gambar P sebelum dilabeli adalah sebagai v v v v Berdasarkan teorema. graf lintasan P adalah graf total sisi-ajaib super dengan konstanta ajaib k =. Label-label untuk sisi-sisinya adalah,, dan, sehingga S(P ) = { -, -, - } = {,, } = {s, s, s } s = = (, ) s = = (, ); (, )
12 s = = (, ) Dari keterangan tersebut, dapat dikonstruksi sebuah PTSAS pada P dengan langkah-langkah sebagai berikut : Pada s jelas, label harus ajasen dengan label. Pada s ada dua kemungkinan. Kemungkinan pertama, jika diambil pasangan label (, ), maka label juga ajasen dengan label, akibatnya label harus ditempatkan pada simpul yang berderajat dua. Pada s, label harus ajasen dengan label, ini artinya label juga harus ditempatkan pada simpul berderajat dua. Ada dua simpul yang berderajat dua, sehingga tepat akan ditempati oleh label dan label, sedangkan dua simpul lainnya akan labeli oleh dan dengan ketentuan label ajasen dengan label sedangkan label ajasen dengan label, sehingga didapat pelabelan pada P. Secara lengkap, gambaran utuh PTSAS pada P adalah sebagai berikut :
13 Kemungkinan kedua pada s, jika diambil pasangan label (, ), maka label, selain ajasen dengan label juga ajasen dengan label, akibatnya label yang harus ditempatkan pada simpul yang berderajat dua. Pada s, label ajasen dengan label. Sekarang label yang harus ditempatkan pada simpul berderajat dua adalah label dan, sedangkan label dan menempati dua simpul lainnya, dengan ketentuan label ajasen dengan label, sedangkan label ajasen dengan label, sehingga didapat pelabelan yang kedua pada P. Secara lengkap, gambaran utuh PTSAS pada P adalah sebagai berikut : Pelabelan dual super untuk PTSAS pada P dengan k = adalah PTSAS dengan k =. Berarti (sama seperti pada P ) pelabelan dual super untuk PTSAS pada P adalah pelabelan self-dual. Pelabelan Total Sisi-Ajaib Super Pada P dengan Dualitas Pelabelannya berikut : Pada P, p = dan q =. Gambaran P sebelum dilabeli adalah sebagai v v v v v
14 Berdasarkan teorema., P adalah graf total sisi-ajaib super dengan konstanta ajaib k = dan k =. Berarti terdapat dua konstanta ajaib yang masing-masing akan membentuk PTSAS pada P. Untuk k = Label-label sisinya adalah,,, dan. Sehingga diperoleh S(P ) = {,,, }. s = = (, ) s = = (, ); (, ) s = = (, ); (, ) s = = (, ); (, ) Dari keterangan di atas, terdapat beberapa kemungkinan pasangan label untuk label-label simpulnya, sehingga setelah dikonstruksi akan membentuk PTSAS pada P. Berikut uraiannya : Pada s jelas, label harus ajasen dengan label. Pada s ada dua kemungkinan, misal diambil pasangan label (, ), ini berarti label ditempatkan pada simpul yang berderajat dua, akibatnya label tidak akan ajasen dengan label. Pada s juga terdapat dua kemungkinan, misal diambil pasangan label (, ), berarti label juga ditempatkan pada simpul berderajat dua.
15 Tetapi jika ini terjadi, tidak akan terbentuk PTSAS, karena pada s dua kemungkinan pasangan label, (, ) dan (, ), keduanya tidak mungkin terjadi karena label dan label sudah terpisah (seperti terlihat pada gambar), sedangkan label sudah ditempatkan pada simpul berderajat dua, sehingga tidak mungkin ajasen dengan label. Jadi pada s ambil pasangan label (, ). Berarti sekarang label yang ditempatkan pada simpul berderajat dua. Tetapi, pelabelan ini juga tidak akan membentuk PTSAS, karena pada s tidak mungkin mengambil pasangan label (, ) karena label sudah ditempatkan pada simpul berderajat dua, sedangkan jika mengambil pasangan label (, ) pun tidak mungkin, karena label dan sudah dipisahkan oleh label. Dengan demikian letak kesalahannya adalah pada pengambilan pasangan label pada s. Pada s diambil pasangan label (, ). Berarti label ditempatkan pada simpul berderajat dua. Kemudian pada s, karena tidak mungkin mengambil pasangan label (, ), maka diambil pasangan label (, ), artinya label pun ditempatkan pada simpul berderajat dua.
16 Selanjutnya pada s tidak mungkin mengambil pasangan label (, ), karena label dengan label sudah dipisahkan oleh label, sehingga diambil pasangan label (, ). Sekarang tinggal dilengkapi dengan label-label sisinya supaya terbentuk gambar utuh PTSAS pada P. Akhirnya terbentuklah PTSAS pada P, dengan gambaran utuh sebagai berikut : Pelabelan dual super untuk PTSAS pada P dengan k = adalah PTSAS dengan k =. Dengan demikian PTSAS pada P dengan k = adalah pelabelan dual super dari PTSAS pada P dengan k =. Untuk k = Himpunan label simpul untuk PTSAS pada P dengan k = adalah λ(v(p )) = {,,,, }. Berdasarkan lemma., himpunan label simpul untuk pelabelan dual supernya adalah λ (V(P )) = {,,,, }. Secara lengkap gambar pelabelannya adalah sebagai berikut :
17 Pelabelan Total Sisi-Ajaib Super Pada P dengan Dualitas Pelabelannya Pada P, p = dan q =. Adapun gambaran P sebelum dilabeli adalah sebagai berikut : v v v v v v Berdasarkan teorema., P adalah graf total sisi-ajaib super dengan konstanta ajaib k =. Label-label sisi untuk P adalah,,, 0, dan. Sehingga untuk S(P ) = {,,,, }. s = = (, ); (, ) s = = (, ); (, ) s = = (, ); (, ); (, ) s = = (, ); (, ) s = = (, ); (, ) Dari keterangan tersebut di atas, terdapat beberapa kemungkinan pasangan label simpul untuk membentuk PTSAS pada P. Berikut uraiannya: (untuk uraian berikut ini tidak menuliskan langkah yang mengalami kesalahan, karena pembahasannya akan bertele-tele) Pada s diambil pasangan label (, ), sehingga Pada s terdapat dua kemungkinan, untuk kali ini diambil pasangan label (, ), sehingga label ditempatkan pada simpul berderajat dua
18 Kemudian pada s, karena tidak memungkinkan mengambil pasangan label (, ), maka kemungkinannya adalah pasangan label (, ) dan (, ), untuk kali ini diambil pasangan label (, ) Selanjutnya pada s tidak mungkin mengambil pasangan label (, ), karena label sudah ditempatkan pada simpul berderajat dua, maka diambil pasangan label (, ) Terakhir pada s, karena tidak mungkin mengambil pasangan label (, ), maka diambil pasangan label (, ) Sekarang tinggal melengkapi dengan label-label sisinya, sehingga terbentuk PTSAS pada P 0 Pada P terdapat beberapa PTSAS yang berbeda. Untuk pelabelan lainnya didapat dengan menggunakan metode dan cara yang sama seperti telah dijelaskan pada pembahasan-pembahasan sebelumnya. Untuk pengontruksian dari himpunan S tidak harus berurutan. Artinya pengambilan label tidak harus dari s, kemudian
19 0 s, s dan seterusnya, tetapi bisa acak, misal dari s baru kemudian ke s, s dan seterusnya. Setelah dilakukan pengonstruksian maka didapat beberapa PTSAS pada P lainnya sebagai berikut : Dengan demikian pada P terdapat enam buah PTSAS yang berbeda, pelabelan dual super untuk PTSAS pada P dengan k = adalah PTSAS dengan k =. Berarti pelabelan dual untuk PTSAS pada P adalah pelabelan self-dual. Pelabelan Total Sisi-Ajaib Super Pada P dengan Dualitas Pelabelannya berikut : Pada P, p = dan q =. Gambaran P sebelum dilabeli adalah sebagai v v v v v v v
20 P adalah graf total sisi-ajaib super dengan konstanta ajaib k = dan k =. Berarti terdapat dua konstanta ajaib yang masing-masing akan membentuk PTSAS pada P. Setelah dilakukan pengonstruksian pada P seperti yang telah lakukan pada pengontruksian-pengonstruksian PTSAS pada P n sebelumnya, maka didapat beberapa PTSAS untuk P sebagai berikut : Untuk k =
21 0 Jadi pada P terdapat sembilan PTSAS yang berbeda. Pelabelan dual super untuk PTSAS pada P dengan k = adalah PTSAS dengan k =. Berarti PTSAS pada P dengan k = adalah pelabelan dual super dari PTSAS pada P dengan k =. Untuk k = Dengan menggunakan metode yang sama, seperti telah dilakukan pada pembahasan sebelumnya untuk mencari pelabelan dual super, didapat PTSAS pada P dengan k = k = sebagai berikut :
22 0 0 Hasil Lengkap PTSAS pada P n dengan n Pada bagian ini tidak disertai dengan gambaran utuh PTSAS-nya, tapi hanya menampilkan himpunan label simpulnya saja. Tabel. Hasil Lengkap PTSAS pada P n, dengan n P n k λ(v(p n )) P {, } P {,, } {,, } P {,,, } {,,, } P {,,,, } {,,,, } P {,,,,, } {,,,,, } {,,,,, } {,,,,, } {,,,,, } {,,,,, } P {,,,,,, } {,,,,,, } {,,,,,, } {,,,,,, } {,,,,,, } {,,,,,, } {,,,,,, } {,,,,,, } {,,,,,, } {,,,,,, } {,,,,,, } {,,,,,, } {,,,,,, } {,,,,,, } {,,,,,, } {,,,,,, } {,,,,,, } {,,,,,, }
23 Setelah dilakukan proses pengonstruksian PTSAS pada P n dengan n, serta dari tabel. yang merupakan hasil lengkap dari proses pengonstruksian tersebut, terdapat beberapa hal menarik yang terlihat beraturan (pola). Sehingga selain menggunakan definisi, teorema, dan lemma seperti yang telah dilakukan pada pengonstruksian-pengonstruksian PTSAS sebelumnya, pola ini bisa tambahkan untuk dijadikan panduan mencari/mengonstruksi PTSAS pada P n secara umum. Jika dilihat dari segi konstanta ajaibnya, terlihat bahwa untuk PTSAS pada P n dengan n ganjil, maka konstanta ajaib k = k = k. Artinya PTSAS pada P n dengan konstanta ajaib k merupakan pelabelan dual super dari PTSAS pada P n dengan konstanta ajaib k. Begitu juga berlaku untuk sebaliknya. Sehingga bisa dikatakan PTSAS pada P n dengan n ganjil, dimana terdapat dua konstanta ajaib, maka keduanya saling dual. Dengan demikian, untuk mengonstruksi PTSAS pada P n dengan n ganjil cukup mencari salah satunya saja dari kedua konstanta ajaib tersebut. Sedangkan untuk PTSAS pada P n dengan n genap, konstanta ajaib k = k. Artinya pelabelan dual super untuk PTSAS pada P n dengan n genap adalah dirinya sendiri (self-dual), sehingga tidak perlu lagi mencari pelabelan dual supernya. Adapun pola lainnya yang berhasil ditemukan adalah sebagai berikut : Konjektur. : Misalkan λ adalah PTSAS pada P n dengan himpunan simpul V(P) = {v, v, v, v,, v n }, maka λ(v(p)) = {a, a, a, a,, a n } dengan λ(v i ) = a i, i =,,,, n dan n jumlah simpul. Dan misalkan U = a + a n, maka
24 Untuk n genap U = a + a n = n + Untuk n ganjil jika k = n+ jika k = n+, maka U = k+,, maka U = k+.. Algoritma Pengonstruksian Pelabelan Total Sisi-Ajaib Super pada Graf Lintasan Berdasarkan proses pengonstruksian PTSAS pada graf lintasan P n dengan n di sub bab sebelumnya membuat penulis berpikir bagaimana merancang suatu algoritma yang cukup baik untuk mengonstruksi suatu PTSAS pada graf lintasan P n secara umum. Berikut adalah algoritma untuk mencari/mengonstruksi suatu pelabelan total sisi-ajaib super pada graf lintasan : Masukan : sejumlah simpul n, n N Keluaran : himpunan label λ(v(p n )) yang membentuk graf total sisi-ajaib super dengan nilai konstanta ajaib tertentu, jumlah total PTSAS yang berbeda dan gambar utuh graf lintasan yang sudah dilabeli secara total sisi ajaib super. Proses :. Cek, apakah n genap atau ganjil. Jika n genap, maka konstanta ajaib k = n+
25 . Jika n ganjil, maka konstanta ajaib k = n+. Tentukan label-label simpul dan sisinya dan k = n+ = k. Dari konstanta ajaib dan label-label sisinya, tentukan himpunan S. Tentukan ajasensi label-label simpulnya berdasarkan himpunan S yang telah diketahui. Gunakan konjektur. untuk mempermudah penempatan label-label (melakukan pelabelan) pada simpul-simpul graf lintasan yang akan dikonstruksi. Tentukan label-label sisinya dengan menggunakan rumus k λ(v i ) λ(v i+ ) dengan i =,,,, n. Selesai
26 .. Implementasi dan Simulasi Berikut adalah implementasi dari algoritma pengonstruksian pelabelan total sisi-ajaib super pada graf lintasan yang diimplementasikan dalam bentuk program aplikasi komputer menggunakan bahasa pemrograman Delphi, disertai dengan simulasi penggunaan program tersebut. Tampilan awal dari program aplikasi komputer yang dibuat, tampak pada gambar berikut : Gambar. Interface (antarmuka) awal program aplikasi komputer Pengoperasian program aplikasi tersebut sangat sederhana, dengan mengklik tanda panah atas atau tanda panah bawah pada kolom Jumlah Simpul : maka akan tampak angka-angka yang menunjukkan jumlah simpul sebagai masukan, pada program aplikasi ini jumlah simpul dibatasi dari sampai. Setelah memilih angka yang akan menjadi masukan, pengguna meng-klik tombol CARI, maka program aplikasi akan menampilkan beberapa himpunan label
27 simpul yang membentuk pelabelan total sisi-ajaib super (PTSAS) pada kolom di bawahnya, jumlah himpunan label simpul yang berbeda pada kolom Total :, dan nilai konstanta ajaib K pada kolom di bawah kolom himpunan label simpul. Pada simulasi ini, angka masukannya adalah dan. Hal ini dikarenakan pada proses pengonstruksian secara manual tidak dilakukan untuk graf lintasan dengan jumlah simpul delapan dan sembilan. Selain itu untuk menguji kehandalan algoritma yang diperoleh dari proses pengonstruksian PTSAS pada P n dengan n. Pada simulasi pertama pengguna memilih angka sebagai masukan pada kolom Jumlah Simpul :, setelah mengklik tombol CARI, maka tampilan program aplikasi akan tampak seperti pada gambar berikut : Gambar. Interface (antarmuka) setelah pengguna memasukkan angka
28 Terlihat bahwa dengan memilih angka sebagai masukan, diperoleh beberapa himpunan label simpul yang membentuk suatu pelabelan total sisi-ajaib super pada graf lintasan P, jumlah himpunan label simpul ada seperti terlihat pada kolom Total:. Artinya pada P terdapat PTSAS yang berbeda dan konstanta ajaibnya adalah seperti terlihat pada kolom K = di bawah kolom himpunan label simpul. Apabila pengguna meng-klik salah satu himpunan label simpul, pada simulasi di atas pengguna meng-klik himpunan label simpul {.,,,,,, }, maka akan ditampilkan graf lintasan yang sudah dilabeli dengan himpunan label simpul yang dipilih tadi disertai dengan label sisinya sehingga membentuk graf total sisi-ajaib super, letaknya di kolom paling bawah pada interface program aplikasi. Pada simulasi kedua pengguna memilih angka, yang merupakan angka ganjil sebagai masukannya. Maka tampilan program aplikasi akan tampak seperti pada gambar berikut : Gambar. Interface (antarmuka) setelah pengguna memasukkan angka
29 0 Dengan memilih angka ganjil, maka kedua kolom di bawah kolom Jumlah Simpul : terisi oleh himpunan label simpul yang membentuk PTSAS, ini disebabkan karena PTSAS pada P n dengan n ganjil memiliki dua konstanta ajaib yang saling dual. Kedua konstanta ajaib itu, K dan K, terlihat di bawah masing-masing kolom himpunan label simpul, sekaligus menunjukkan bahwa himpunan label simpul tersebut membentuk PTSAS dengan konstanta ajaib sesuai dengan nilai K yang berada di bawahnya. Ternyata P memiliki buah PTSAS yang berbeda dan terbagi dua, yaitu PTSAS dengan konstanta ajaib K = dan PTSAS dengan konstanta ajaib K =. Dari beberapa simulasi yang dilakukan penulis, waktu proses (running) simulasi oleh komputer terbilang cepat untuk angka-angka masukan (jumlah simpul) yang kecil. Tetapi untuk jumlah simpul yang banyak, membutuhkan waktu beberapa detik. Contohnya bila pengguna memilih angka sebagai masukkan, maka proses simulasi membutuhkan waktu sekitar detik. Apalagi jika angka masukannya lebih besar, maka proses simulasi yang dibutuhkan pun akan lebih lama. Hal ini dikarenakan semakin besar angka masukan, semakin besar pula ruang random permutasinya.
BAB I PENDAHULUAN. Makalah pertama mengenai teori graf ditulis oleh ahli matematika dari
1 BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Makalah pertama mengenai teori graf ditulis oleh ahli matematika dari Swiss, Leonhard Euler, pada tahun 1736. Euler mencoba memecahkan persoalan jembatan Konigsberg.
Lebih terperinciBAB II Graf dan Pelabelan Total Sisi-Ajaib Super
BAB II Graf dan Pelabelan Total Sisi-Ajaib Super 2.1 Graf dan Beberapa Definisi Dasar Graf G=(V,E) didefinisikan sebagai pasangan terurut himpunan berhingga dan tak hampa V dan himpunan E. Himpunan V dinamakan
Lebih terperinciDEFISIENSI SISI-AJAIB SUPER DARI GRAF KIPAS
Jurnal Matematika UNAND Vol. No. 3 Hal. 5 ISSN : 303 90 c Jurusan Matematika FMIPA UNAND DEFISIENSI SISI-AJAIB SUPER DARI GRAF KIPAS LIONI MASHITAH Program Studi Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu
Lebih terperinciPelabelan Selimut-H Ajaib pada Graf Bipartit Lengkap untuk Pendisainan Skema Pembagi Rahasia
Pelabelan Selimut-H Ajaib pada Graf Bipartit Lengkap untuk Pendisainan Skema Pembagi Rahasia Oleh: Dra. Mania Roswitha, M.Si Drs. Bambang Harjito, M. App. Sc. Ringkasan Suatu graf G(V,E) adalah suatu sistem
Lebih terperinciGraf Ajaib (Super) dengan Sisi Pendan
54 Bab IV Graf Ajaib (Super) dengan Sisi Pen Pada bab ini disajikan metode untuk membentuk graf ajaib (super) baru dari graf ajaib (super) yang sudah diketahui. Berdasarkan metode tersebut diperoleh graf
Lebih terperinciI.1 Latar belakang masalah
1 Bab I Pendahuluan I.1 Latar belakang masalah Pelabelan graf pada suatu graf G adalah suatu fungsi satu-satu yang memetakan elemen-elemen graf G ke himpunan bilangan (biasanya himpunan bilangan bulat
Lebih terperinciPELABELAN TOTAL SISI AJAIB PADA GRAF BINTANG
Jurnal Matematika UNAND Vol. 2 No. 1 Hal. 85 89 ISSN : 2303 2910 c Jurusan Matematika FMIPA UNAND PELABELAN TOTAL SISI AJAIB PADA GRAF BINTANG DINA IRAWATI Program Studi Matematika, Fakultas Matematika
Lebih terperinciPELABELAN TOTAL SISI AJAIB SUPER (TSAS) PADA GABUNGAN GRAF BINTANG GANDA DAN LINTASAN ABSTRACT
Online Jurnal of Natural Scice, Vol. (1): 1-10 ISSN: 338-0950 Maret 013 PELABELAN TOTAL SISI AJAIB SUPER (TSAS) PADA GABUNGAN GRAF BINTANG GANDA DAN LINTASAN I W. Sudarsana 1, Noiana, S. Musdalifah 3 dan
Lebih terperinciPELABELAN TOTAL SISI-AJAIB SUPER PADA GRAF
Jurnal LOG!K@, Jilid 6, No. 1, 2016, Hal. 23-31 ISSN 1978 8568 PELABELAN TOTAL SISI-AJAIB SUPER PADA GRAF Yanne Irene Program Studi Matematika, Fakultas Sains dan Teknologi, Universitas Islam Negeri Syarif
Lebih terperinciPELABELAN SISI AJAIB DAN SISI AJAIB SUPER PADA GRAF KIPAS, GRAF TANGGA, GRAF PRISMA, GRAF LINTASAN, GRAF SIKEL, DAN GRAF BUKU
PELABELAN SISI AJAIB DAN SISI AJAIB SUPER PADA GRAF KIPAS, GRAF TANGGA, GRAF PRISMA, GRAF LINTASAN, GRAF SIKEL, DAN GRAF BUKU Anina Tikasari, Budi Rahadjeng, S.Si, M.Si., Jurusan Matematika, Fakultas Matematika
Lebih terperinciBAB III PELABELAN KOMBINASI
1 BAB III PELABELAN KOMBINASI 3.1 Konsep Pelabelan Kombinasi Pelabelan kombinasi dari suatu graf dengan titik dan sisi,, graf G, disebut graf kombinasi jika terdapat fungsi bijektif dari ( himpunan titik
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI
BAB II LANDASAN TEORI Pada bab ini akan diberikan beberapa definisi dan konsep dasar dalam teori graf dan pelabelan graf yang akan digunakan pada bab selanjutnya. 2.1 Definisi dan Istilah Dalam Teori Graf
Lebih terperinciBAB 2 LANDASAN TEORI. yang tak kosong yang anggotanya disebut vertex, dan E adalah himpunan yang
BAB 2 LANDASAN TEORI 2.1 Konsep Dasar Graf Definisi 2.1.1 Sebuah graf G adalah pasangan (V,E) dengan V adalah himpunan yang tak kosong yang anggotanya disebut vertex, dan E adalah himpunan yang anggotanya
Lebih terperinciPelabelan Total Sisi-Ajaib (Super)
14 Bab III Pelabelan Total Sisi-Ajaib (Super) Pada bab ini diberikan sejarah singkat pelabelan graf serta konsep dasar dan hasilhasil yang sudah diketahui berkaitan dengan pelabelan total sisi-ajaib (super).
Lebih terperinciINJEKSI TOTAL AJAIB PADA GABUNGAN GRAF K 1,s DAN GRAF mk 3 UNTUK m GENAP
Jurnal Matematika UNAND Vol. 3 No. 1 Hal. 53 57 ISSN : 303 910 c Jurusan Matematika FMIPA UNAND INJEKSI TOTAL AJAIB PADA GABUNGAN GRAF K 1,s DAN GRAF mk 3 UNTUK m GENAP ANGRELIA NOVA Program Studi Matematika,
Lebih terperinci3.1 Penentuan nilai tak teratur sisi dari korona graf lintasan terhadap )).
BAB 3 Hasil Utama Pada bab ini akan disajikan hasil utama dari tugas akhir ini, yakni nilai tak teratur sisi dari korona graf lintasan terhadap komplemen dari graf lengkap, dinotasikan dengan P m K n Selain
Lebih terperinciBAB II TEORI GRAF DAN PELABELAN GRAF. Dalam bab ini akan diberikan beberapa definisi dan konsep dasar dari
BAB II TEORI GRAF DAN PELABELAN GRAF Dalam bab ini akan diberikan beberapa definisi dan konsep dasar dari teori graf, serta akan dijelaskan beberapa jenis pelabelan graf yang akan digunakan pada bab-bab
Lebih terperinciHimpunan Kritis Pada Graph Cycle
J. Math. and Its Appl. ISSN: -0X Vol., No., Nov 00, Himpunan Kritis Pada Graph Cycle Chairul Imron Jurusan Matematika FMIPA ITS Surabaya imron-its@matematika.its.ac.id Abstract Berawal dari bujursangkar
Lebih terperinciPELABELAN TOTAL (a, d)-sisi ANTIAJAIB SUPER PADA SUBDIVISI GRAF BINTANG
Jurnal Matematika UNAND Vol. 5 No. Hal. 38 44 ISSN : 303 910 c Jurusan Matematika FMIPA UNAND PELABELAN TOTAL (a, d)-sisi ANTIAJAIB SUPER PADA SUBDIVISI GRAF BINTANG RUSMANSYAH, SYAFRUDDIN Program Studi
Lebih terperinciKONSTRUKSI PELABELAN SISI AJAIB SUPER PADA GRAF ULAT
Buletin Ilmiah Mat. Stat. dan Terapannya (Bimaster) Volume 03, No. 3 (2014), hal 227 234. KONSTRUKSI PELABELAN SISI AJAIB SUPER PADA GRAF ULAT Okki Darmawan, Nilamsari Kusumastuti, Yundari INTISARI Graf
Lebih terperinciDEFISIENSI SISI-AJAIB SUPER DARI GRAF RANTAI
Jurnal Matematika UNAND Vol. No. 3 Hal. 6 0 ISSN : 303 90 c Jurusan Matematika FMIPA UNAND DEFISIENSI SISI-AJAIB SUPER DARI GRAF RANTAI RARA RIZHKI GRACELIA Program Studi Matematika, Fakultas Matematika
Lebih terperinciSYARAT AGAR SUATU GRAF DIKATAKAN BUKAN GRAF AJAIB TOTAL
Jurnal Matematika UNAND Vol. 3 No. 1 Hal. 107 114 ISSN : 2303 2910 c Jurusan Matematika FMIPA UNAND SYARAT AGAR SUATU GRAF DIKATAKAN BUKAN GRAF AJAIB TOTAL MAHADMA PUTRA Program Studi Matematika, Fakultas
Lebih terperinciIII. BILANGAN KROMATIK LOKASI GRAF. ini merupakan pengembangan dari konsep dimensi partisi dan pewarnaan graf.
III BILANGAN KROMATIK LOKASI GRAF Bilangan kromatik lokasi graf pertama kali dikaji oleh Chartrand dkk 00) Konsep ini merupakan pengembangan dari konsep dimensi partisi pewarnaan graf Pewarnaan titik pada
Lebih terperinciPELABELAN TOTAL SISI ANTIAJAIB SUPER PADA GRAF
Jurnal LOG!K@ Jilid 6 No. 2 2016 Hal. 152-160 ISSN 1978 8568 PELABELAN TOTAL SISI ANTIAJAIB SUPER PADA GRAF Yanne Irene Program Studi Matematika Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Syarif Hidayatullah
Lebih terperinciEDGE-MAGIC TOTAL LABELING PADA BEBERAPA JENIS GRAPH
LAPORAN PENELITIAN MANDIRI EDGE-MAGIC TOTAL LABELING PADA BEBERAPA JENIS GRAPH Oleh Abdussakir, M.Pd UNIVERSITAS ISLAM NEGERI MALANG FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI JURUSAN MATEMATIKA MEI 005 EDGE-MAGIC TOTAL
Lebih terperinciPELABELAN TOTAL AJAIB SISI PADA GRAF RODA
PELABELAN TOTAL AJAIB SISI PADA GRAF RODA SKRIPSI Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Pendidikan Program Studi Pendidikan Matematika Oleh: Petrus Tri Hariyadi NIM :11414080
Lebih terperinciPELABELAN TOTAL TITIK AJAIB PADA COMPLETE GRAPH
PELABELAN TOTAL TITIK AJAIB PADA COMPLETE GRAPH SKRIPSI Oleh : Novi Irawati J2A 005 038 PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS DIPONEGORO
Lebih terperinciPELABELAN TOTAL SISI-AJAIB PADA GRAF PETERSEN IKHWAN AL AMIN
PELABELAN TOTAL SISI-AJAIB PADA GRAF PETERSEN IKHWAN AL AMIN DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 04 PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI DAN SUMBER
Lebih terperinciOleh : Hilda Rizky Ningtyas Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Institut Teknologi Sepuluh Nopember 2012
Oleh : Hilda Rizky Ningtyas 1208 100 019 Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Institut Teknologi Sepuluh Nopember 2012 Latar Belakang Teori Graf Pelabelan Pelabelan Ajaib Latar
Lebih terperinci3.1 Beberapa Nilai Dimensi Partisi pada Suatu Graf. Dalam dimensi partisi suatu graf, terdapat kelas graf yang nilai dimensi partisinya
BAB III DIMENSI PARTISI n 1 3.1 Beberapa Nilai Dimensi Partisi pada Suatu Graf Dalam dimensi partisi suatu graf, terdapat kelas graf yang nilai dimensi partisinya cukup mudah atau sederhana. Kelas graf
Lebih terperinci(x)+ (fx; yg)+ (y) =k; untuk suatu konstanta tetap k. Selanjutnya konstanta tetap k disebut angka ajaib (konstanta ajaib) untuk graf G. Suatu graf G d
Pelabelan Total Sisi-Ajaib Pada Hasilkali Dua Graf Kristiana Wijaya 1,EdyTri Baskoro Jurusan Matematika FMIPA, Institut Teknologi Bandung, Jalan Ganesa 10 Bandung, Indonesia, E-mails 1 krist 0@yahoo.com,
Lebih terperinciPELABELAN TOTAL (a, d)-titik ANTIAJAIB SUPER PADA GRAF PETERSEN YANG DIPERUMUM P (n, 3) DENGAN n GANJIL, n 7
Jurnal Matematika UNAND Vol. No. Hal. 78 84 ISSN : 0 90 c Jurusan Matematika FMIPA UNAND PELABELAN TOTAL (a, d)-titik ANTIAJAIB SUPER PADA GRAF PETERSEN YANG DIPERUMUM P (n, ) DENGAN n GANJIL, n 7 IRANISA
Lebih terperinciVERTEX ANTIMAGIC TOTAL LABELING PADA MULTICYCLE DAN MULTICOMPLETE BIPARTITE. Dominikus Arif Budi Prasetyo, Chairul Imron. ABSTRAK
VERTEX ANTIMAGIC TOTAL LABELING PADA MULTICYCLE DAN MULTICOMPLETE BIPARTITE Dominikus Arif Budi Prasetyo, Chairul Imron. ABSTRAK Labeling graph merupakan salah satu bidang dalam graph yang berkembang pesat
Lebih terperinciPELABELAN TOTAL TITIK AJAIB PADA GRAF SIKLUS DENGAN BANYAK TITIK GENAP
Jurnal Matematika UNAND Vol. No. 3 Hal. 66 7 ISSN : 303 910 c Jurusan Matematika FMIPA UNAND PELABELAN TOTAL TITIK AJAIB PADA GRAF SIKLUS DENGAN BANYAK TITIK GENAP RIRIN INDARWATI Program Studi Matematika,
Lebih terperinciBAB III Algoritma Pelabelan Total Sisi-Ajaib Super
BAB III Algoritma Pelabelan Total Sisi-Ajaib Super 3.1 Algoritma dan penjelasannya Proses pengkonstruksian suatu pelabelan total sisi-ajaib super pada S m n untuk n 3 dan m 0 pada tugas akhir ini, dilakukan
Lebih terperinciGRAF AJAIB TOTAL. Kata Kunci: total magic labeling, vertex magic, edge magic
Jurnal Matematika UNAND Vol. 2 No. 2 Hal. 86 91 ISSN : 2303 2910 c Jurusan Matematika FMIPA UNAND GRAF AJAIB TOTAL RIZA YANI Program Studi Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN. Teori graf merupakan salah satu cabang ilmu yang mempelajari sifat-sifat
BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Masalah Teori graf merupakan salah satu cabang ilmu yang mempelajari sifat-sifat graf, pertama kali diperkenalkan oleh Leonhard Euler, matematikawan asal Swiss, dalam
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN. 1.1 Latar Belakang Masalah
BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Masalah Teori graf merupakan salah satu kajian dari bidang matematika yang mempelajari tentang titik dan sisi. Teori graf pertama kali ditemukan oleh Euler pada tahun
Lebih terperinciPELABELAN TOTAL SISI-AJAIB SUPER PADA SALAH SATU SUB-KELAS GRAF UNICYCLIC
PELABELAN TOTAL SISI-AJAIB SUPER PADA SALAH SATU SUB-KELAS GRAF UNICYCLIC Leo Fadriq Kostarozi, Rolan Pane, Aziskhan Leo_matem0@yahoo.com Mahasiswa Program S Matematika Dosen Jurusan Matematika Fakultas
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI
BAB II LANDASAN TEORI Untuk menjelaskan pelabelan analytic mean pada graf bayangan dari graf bintang K 1,n dan graf bayangan dari graf bistar B n,n perlu adanya beberapa teori dasar yang akan menunjang
Lebih terperinciEdge-Magic Total Labeling pada Graph mp 2 (m bilangan asli ganjil) Oleh Abdussakir
Jurnal Saintika (ISSN 1693-640X) Edisis Khusus Dies Natalis UIN Malang, Juni 005. Halaman -7 Edge-Magic Total Labeling pada Graph mp (m bilangan asli ganjil) Oleh Abdussakir Abstrak Pelabelan total sisi
Lebih terperinciFakultas Sains dan Matematika, Universitas Diponegoro Jl. Prof. H. Soedarto,SH. Tembalang Semarang 50275, Indonesia
PELABELAN Q a P b SUPER GRACEFUL SISI PADA GRAF KUBUS HIPER Q k UNTUK k 3 Destian Dwi Asyani 1, Bayu Surarso, Robertus Heri Soelistyo Utomo 3 1,,3 Jurusan Matematika Fakultas Sains dan Matematika, Universitas
Lebih terperinciBAB II TINJAUAN PUSTAKA. kromatik lokasi sebagai landasan teori dari penelitian ini.
BAB II TINJAUAN PUSTAKA Pada bab ini akan diberikan beberapa konsep dasar teori graf dan bilangan kromatik lokasi sebagai landasan teori dari penelitian ini. 2.1 Konsep Dasar Graf Beberapa konsep dasar
Lebih terperinciPELABELAN TOTAL TITIK AJAIB PADA GRAF LENGKAP DENGAN METODE MODIFIKASI MATRIK BUJURSANGKAR AJAIB DENGAN n GANJIL, n 3
Jurnal Matematika UNAND Vol. 5 No. 1 Hal. 34 40 ISSN : 2303 2910 c Jurusan Matematika FMIPA UNAND PELABELAN TOTAL TITIK AJAIB PADA GRAF LENGKAP DENGAN METODE MODIFIKASI MATRIK BUJURSANGKAR AJAIB DENGAN
Lebih terperinciPELABELAN TOTAL (a, d)-sisi ANTIAJAIB SUPER PADA GRAF RODA W n
Jurnal Matematika UNAND Vol. No. 1 Hal. 37 1 ISSN : 303 910 c Jurusan Matematika FMIPA UNAND PELABELAN TOTAL (a, d)-sisi ANTIAJAIB SUPER PADA GRAF RODA W n HERU PERMANA Program Studi Matematika, Fakultas
Lebih terperinciTINJAUAN PUSTAKA. Pada bagian ini akan diberikan konsep dasar graf dan bilangan kromatik lokasi pada
II. TINJAUAN PUSTAKA Pada bagian ini akan diberikan konsep dasar graf dan bilangan kromatik lokasi pada suatu graf sebagai landasan teori penelitian ini. 2. Konsep Dasar Graf Teori dasar mengenai graf
Lebih terperinciAbstract
Pelabelan Total Super (a, d)-sisi Antimagic pada Graf Semi Parasut SP 2n 1 Karinda Rizqy Aprilia 1,2, Ika Hesti A 1,2, Dafik 1,3 1 CGANT - Universitas Jember 2 Jurusan Matematika FMIPA Universitas Jember
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN. dirasakan peranannya, terutama pada sektor sistem komunikasi dan
BAB I PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang. Pelabelan graf merupakan suatu topik dalam teori graf. Objek kajiannya berupa graf yang secara umum direpresentasikan oleh titik dan sisi serta himpunan bagian bilangan
Lebih terperinciSUPER EDGE-MAGIC PADA GRAF YANG MEMUAT BEBERAPA CYCLE GANJIL
J. Math. and Its Appl. ISSN: 189-605X Vol. 6, No. 1, May 009, 5 33 SUPER EDGE-MAGIC PADA GRAF YANG MEMUAT BEBERAPA CYCLE GANJIL Suhud Wahyudi, Chairul Imron Jurusan Matematika, FMIPA ITS Surabaya suhud@matematika.its.ac.id,
Lebih terperinciSUPER EDGE-MAGIC LABELING PADA GRAPH ULAT DENGAN HIMPUNAN DERAJAT {1, 4} DAN n TITIK BERDERAJAT 4
SUPER EDGE-MAGIC LABELING PADA GRAPH ULAT DENGAN HIMPUNAN DERAJAT {1, 4} DAN n TITIK BERDERAJAT 4 Abdussakir Jurusan Matematika, Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Islam Negeri Maulana Malik Ibrahim
Lebih terperinciKarakteristik Himpunan Kritis dalam Pelabelan TSA pada Graf Pohon
Jurnal Matematika Integratif ISSN 1412-6184 Volume 12 No 1, April 2016, pp 51 58 Karakteristik Himpunan Kritis dalam Pelabelan TSA pada Graf Pohon Triyani 1, Siti Rahmah Nurshiami1 2, Ari Wardayani 3,
Lebih terperinciBAB III MATCHING. Sebelum membahas lebih jauh mengenai optimal assignment problem dan
BAB III MATCHING Sebelum membahas lebih jauh mengenai optimal assignment problem dan cara penyelesaiannya, pada bab ini akan dibahas mengenai definisi matching dan matching pada graf bipartit, karena penyelesaian
Lebih terperinciPELABELAN SISI AJAIB SUPER PADA GRAF LINTASAN GABUNG GRAF BIPARTIT LENGKAP SKRIPSI SARJANA MATEMATIKA. Oleh : MARISA LEZTARI
PELABELAN SISI AJAIB SUPER PADA GRAF LINTASAN GABUNG GRAF BIPARTIT LENGKAP SKRIPSI SARJANA MATEMATIKA Oleh : MARISA LEZTARI 06 934 018 JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS
Lebih terperinciAbstract
Super (a,d)-h-antimagic Total Selimut pada Graf Centipede Agrita Kanty Purnapraja, Fia Cholidah, Dafik 1,3 1 CGANT- Universitas Jember Program Studi Matematika FMIPA Universitas Jember 3 Program Studi
Lebih terperinciPelabelan Product Cordial Graf Gabungan pada Beberapa Graf Sikel dan Shadow Graph Sikel
Pelabelan Product Cordial Graf Gabungan pada Beberapa Graf Sikel dan Ana Mawati*), Robertus Heri Sulistyo Utomo S.Si, M.Si*), Siti Khabibah S.Si, M.Sc*) Matematika, Fakultas Sains dan Matematika, UNDIP,
Lebih terperinciNovri Anggraeni, Dafik CGANT-Universitas Jember Program Studi Pendidikan Matematika FKIP Universitas Jember novrianggraeni93,
Super (a, d)-h-antimagic Total Covering of Amalgamation Graph K 4 and W 4 Novri Anggraeni, Dafik CGANT-Universitas Jember Program Studi Pendidikan Matematika FKIP Universitas Jember novrianggraeni93, d.dafik@gmail.com
Lebih terperinciPELABELAN TOTAL -SISI ANTI AJAIB SUPER UNTUK GRAF ULAT SKRIPSI SARJANA MATEMATIKA OLEH: RIRI EMARINE SUSUR BP
PELABELAN TOTAL -SISI ANTI AJAIB SUPER UNTUK GRAF ULAT SKRIPSI SARJANA MATEMATIKA OLEH: RIRI EMARINE SUSUR BP. 06 934 035 JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS ANDALAS
Lebih terperinciBAB 2. Konsep Dasar. 2.1 Definisi graf
BAB 2 Konsep Dasar 21 Definisi graf Suatu graf G = (V(G), E(G)) didefinisikan sebagai pasangan himpunan 2 titik V(G) dan himpunan sisi E(G) dengan V(G) dan E(G) [ VG ( )] Sebagai contoh, graf G 1 = (V(G
Lebih terperinciPELABELAN TOTAL AJAIB PADA GABUNGAN GRAF BINTANG DAN BEBERAPA GRAF SEGITIGA
Jurnal Matematika UNAND Vol. No. 3 Hal. 8 90 ISSN : 303 910 c Jurusan Matematika FMIPA UNAND PELABELAN TOTAL AJAIB PADA GABUNGAN GRAF BINTANG DAN BEBERAPA GRAF SEGITIGA RAFIKA DESSY Program Studi Matematika,
Lebih terperinciPELABELAN SUPER EDGE MAGIC PADA KITE CYCLE GRAPH SKRIPSI EDWARD MP SIMAMORA
PELABELAN SUPER EDGE MAGIC PADA KITE CYCLE GRAPH SKRIPSI EDWARD MP SIMAMORA 050803032 DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2010 PELABELAN
Lebih terperinciMisalkan dipunyai graf G, H, dan K berikut.
. Pewarnaan Graf a. Pewarnaan Titik (Vertex Colouring) Misalkan G graf tanpa loop. Suatu pewarnaan-k (k-colouring) untuk graf G adalah suatu penggunaan sebagian atau semua k warna untuk mewarnai semua
Lebih terperinci3 Program Studi Matematika FKIP Universitas Jember. Abstract
Super (a,d)-h-antimagic Total Selimut pada Shackle Graf Triangular Book Putri Rizky H.P. 1,, Ika Hesti A. 1,, Dafik 1,3 1 CGANT - Universitas Jember Jurusan Matematika FMIPA Universitas Jember Putrirhp@gmail.com,
Lebih terperinciIII. BILANGAN KROMATIK LOKASI GRAF. Bilangan kromatik lokasi graf pertama kali dikaji oleh Chartrand dkk.(2002). = ( ) {1,2,3,, } dengan syarat
III. BILANGAN KROMATIK LOKASI GRAF Bilangan kromatik lokasi graf pertama kali dikaji oleh Chartrand dkk.00). Konsep ini merupakan pengembangan dari konsep dimensi partisi dan pewarnaan graf. Pewarnaan
Lebih terperinciUnnes Journal of Mathematics
UJM 2 (2) (2013) Unnes Journal of Mathematics http://journal.unnes.ac.id/sju/index.php/ujm PELABELAN TOTAL SISI AJAIB PADA GRAF DOUBLE STAR DAN GRAF SUN Muhammad Akbar Muttaqien, Mulyono, Amin Suyitno
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang Masalah
BAB I PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang Masalah Teori graf pertama kali diperkenalkan oleh Leonhard Euler pada tahun 1736. Saat itu dia memikirkan untuk menyeberangi semua jembatan di kota Kaliningrad, Rusia,
Lebih terperinciAPLIKASI GRAF FUZZY PADA PENGATURAN LAMPU LALU LINTAS DI PERSIMPANGAN JALAN TERBAN KABUPATEN SLEMAN PROVINSI DAERAH ISTIMEWA YOGYAKARTA
APLIKASI GRAF FUZZY PADA PENGATURAN LAMPU LALU LINTAS DI PERSIMPANGAN JALAN TERBAN KABUPATEN SLEMAN PROVINSI DAERAH ISTIMEWA YOGYAKARTA SKRIPSI Diajukan kepada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan
Lebih terperinciPELABELAN TOTAL TITIK AJAIB GRAF HASIL KALI KARTESIUS DARI GRAF SIKEL
PELABELAN TOTAL TITIK AJAIB GRAF HASIL KALI KARTESIUS DARI GRAF SIKEL Maria Nita Kurniasari 1 Robertus Heri 2 12 Program Studi Matematika F.MIPA UNDIP Semarang Jl. Prof.Sudarto S.H Tembalang-Semarang Abstract.
Lebih terperinciBAB III KONSEP DASAR TEORI GRAF. Teori graf adalah salah satu cabang matematika yang terus berkembang
BAB III KONSEP DASAR TEORI GRAF Teori graf adalah salah satu cabang matematika yang terus berkembang dengan pesat. Teori ini sangat berguna untuk mengembangkan model-model terstruktur dalam berbagai keadaan.
Lebih terperinciPELABELAN TOTAL SISI-AJAIB SUPER PADA GRAF DAN GRAF
PELABELAN TOTAL SISI-AJAIB SUPER PADA GRAF DAN GRAF SKRIPSI SARJANA MATEMATIKA Oleh: NURUL MUSTIKA SIREGAR 06134005 JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS ANDALAS
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN. Teori graf pertama kali diperkenalkan oleh seorang matematikawan. Swiss, Leonhard Euler ( ). Saat itu graf digunakan untuk
BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Teori graf pertama kali diperkenalkan oleh seorang matematikawan Swiss, Leonhard Euler (1707-1783). Saat itu graf digunakan untuk menyelesaikan masalah jembatan Konigsberg.
Lebih terperinciSebuah graf sederhana G adalah pasangan terurut G = (V, E) dengan V adalah
BAB II KAJIAN TEORI II.1 Teori-teori Dasar Graf II.1.1 Definisi Graf Sebuah graf sederhana G adalah pasangan terurut G = (V, E) dengan V adalah himpunan tak kosong dari titik graf G, dan E, himpunan sisi
Lebih terperinciPelabelan Total (a, d)-simpul Antimagic pada Digraf Matahari
Pelabelan Total (a, d)-simpul Antimagic pada Digraf Matahari Yuni Listiana, Darmaji Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Institut Teknologi Sepuluh Nopember Jl. Arief Rahman
Lebih terperinciALGORITMA PELABELAN TOTAL DAN NILAI TAK TERATUR SISI DARI KORONA GRAF LINTASAN TERHADAP BEBERAPA GRAF
ALGORITMA PELABELAN TOTAL DAN NILAI TAK TERATUR SISI DARI KORONA GRAF LINTASAN TERHADAP BEBERAPA GRAF TUGAS AKHIR Diajukan untuk memenuhi persyaratan Sidang Sarjana Matematika Disusun Oleh: Samuel M NIM:
Lebih terperinciPELABELAN SUPER GRACEFUL PADA GRAPH. Griselda Afrian Y, Purwanto, dan Lucky Tri Oktoviana Universitas Negeri Malang
PELABELAN SUPER GRACEFUL PADA GRAPH Griselda Afrian Y, Purwanto, dan Lucky Tri Oktoviana Universitas Negeri Malang ABSTRAK: Pelabelan pada suatu graph adalah pemetaan yang memetakan unsur-unsur graph yaitu
Lebih terperinciNilai Ketakteraturan Jarak dari Famili Graf Roda dan Graf Matahari
Nilai Ketakteraturan Jarak dari Famili Graf Roda dan Graf Matahari Tanti Windartini 1, Slamin 1,3, Dafik 1,4 1 CGANT-Universitas Jember 2 Jurusan Matematika FMIPA Universitas Jember windartini.tanti@gmail.com
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang
BAB I PENDAHULUAN Bab 1 merupakan pendahuluan dari kajian yang akan dilakukan. Pada bab ini akan dibahas latar belakang penulis dalam pemilihan judul kajian. Selain latar belakang, dijelaskan pula tentang
Lebih terperinciBAB 2 LANDASAN TEORI
BAB 2 LANDASAN TEORI Pada bab ini akan dijelaskan himpunan dan beberapa definisi yang berkaitan dengan himpunan, serta konsep dasar dan teori graf yang akan digunakan pada bab selanjutnya. 2.1 Himpunan
Lebih terperinciBILANGAN AJAIB MAKSIMUM DAN MINIMUM PADA GRAF SIKLUS GANJIL
Jurnal Matematika UNAND Vol. No. 3 Hal. 150 156 ISSN : 303 910 c Jurusan Matematika FMIPA UNAND BILANGAN AJAIB MAKSIMUM DAN MINIMUM PADA GRAF SIKLUS GANJIL ANNISAH ISKANDAR Program Studi Matematika, Fakultas
Lebih terperinciPELABELAN GRAF SIKLUS SEDERHANA UNTUK MENGKONSTRUKSI VERTEX-MAGIC GRAPH
PELABELAN GRAF SIKLUS SEDERHANA UNTUK MENGKONSTRUKSI VERTEX-MAGIC GRAPH MAKALAH Disusun untuk Melengkapi salah satu Tugas Mata Kuliah Seminar Pendidikan Matematika Semester Genap Tahun Akademik 006/007
Lebih terperinciSuper (a, d)-h-antimagic Total Selimut pada Graf Shackle Kipas F 4
Super (a, d)-h-antimagic Total Selimut pada Graf Shackle Kipas F 4 Irma Azizah, Dafik CGANT-Universitas Jember Program Studi Pendidikan Matematika FKIP Universitas Jember e-mail: irma.azizah@ymail.com,
Lebih terperinciBab 2. Landasan Teori. 2.1 Konsep Dasar
Bab 2 Landasan Teori Pada bab ini akan diuraikan konsep dasar dan teori graf yang berhubungan dengan topik penelitian ini, termasuk didalamnya mengenai pelabelan total tak teratur titik dan total vertex
Lebih terperinciBAB 2 GRAF PRIMITIF. 2.1 Definisi Graf
BAB 2 GRAF PRIMITIF Pada bab ini akan dijelaskan beberapa konsep dasar seperti definisi dan teorema yang dijadikan landasan teori dalam penelitian ini. Konsep dasar tersebut berkaitan dengan definisi graf,
Lebih terperincioleh ACHMAD BAIHAQIH M SKRIPSI ditulis dan diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratan memperoleh gelar Sarjana Sains Matematika
TOTAL VERTEX IRREGULARITY STRENGTH DARI GRAF FRIENDSHIP DAN GRAF (n, t) KITE oleh ACHMAD BAIHAQIH M0108025 SKRIPSI ditulis dan diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratan memperoleh gelar Sarjana Sains
Lebih terperinciPELABELAN GRACEFUL SISI BERARAH PADA GRAF GABUNGAN GRAF SIKEL DAN GRAF STAR. Putri Octafiani 1, R. Heri Soelistyo U 2
PELABELAN GRACEFUL SISI BERARAH PADA GRAF GABUNGAN GRAF SIKEL DAN GRAF STAR Putri Octafiani 1, R. Heri Soelistyo U 2 1,2 Jurusan Matematika FMIPA UNDIP Jl. Prof. H. Soedarto, S. H, Tembalang, Semarang
Lebih terperinciPELABELAN TOTAL SISI AJAIB GRAF HASIL KALI KARTESIUS TUGAS AKHIR
PELABELAN TOTAL SISI AJAIB GRAF HASIL KALI KARTESIUS TUGAS AKHIR Diajukan Sebagai Salah Satu Syarat Untuk Memperoleh Gelar Sarjana Sains Pada Jurusan Matematika Oleh : YULIANA 10754000263 FAKULTAS SAINS
Lebih terperinciALGORITMA PELABELAN TOTAL SISI-AJAIB SUPER PADA GRAF BINTANG YANG DIPERUMUM
ALGORITMA PELABELAN TOTAL SISI-AJAIB SUPER PADA GRAF BINTANG YANG DIPERUMUM TUGAS AKHIR Diajukan untuk memenuhi persyaratan Sidang Sarjana Matematika Disusun Oleh : Allan Muhammad Taufik NIM : 10102039
Lebih terperinciPelabelan Total Super (a,d)-sisi Antimagic Pada Graf Buah Naga
Pelabelan Total Super (a,d)-sisi Antimagic Pada Graf Buah Naga Agnes Ika Nurvitaningrum 1,, Dafik 1,, Susi Setiawani 1 CGANT- University of Jember Department of Mathematics Education FKIP University of
Lebih terperinciBab 2 TEORI DASAR. 2.1 Graf
Bab 2 TEORI DASAR Pada bab ini akan dipaparkan beberapa definisi dasar dalam Teori Graf yang kemudian dilanjutkan dengan definisi bilangan kromatik lokasi, serta menyertakan beberapa hasil penelitian sebelumnya.
Lebih terperinciUNIVERSITAS INDONESIA PELABELAN HARMONIS PADA KOMBINASI GABUNGAN GRAF CATERPILLAR DAN GRAF FIRECRACKER TERATUR
UNIVERSITAS INDONESIA PELABELAN HARMONIS PADA KOMBINASI GABUNGAN GRAF CATERPILLAR DAN GRAF FIRECRACKER TERATUR Tesis diajukan sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Magister Sains PAHRIN WIRNADIAN
Lebih terperinciSuper (a, d)-h-antimagic Total Selimut pada Graf Triangular Cycle Ladder untuk Pengembangan Ciphertext
Super (a, d)-h-antimagic Total Selimut pada Graf Triangular Cycle Ladder untuk Pengembangan Ciphertext Irma Azizah, Dafik Program Studi Pendidikan Matematika FKIP Universitas Jember e-mail: irma.azizah@ymail.com,
Lebih terperinciMENENTUKAN NILAI KETIDAKTERATURAN GRAF KEMBANG API YANG DIPERUMUM. Edy Saputra, Nurdin, dan Hasmawati
MENENTUKAN NILAI KETIDAKTERATURAN GRAF KEMBANG API YANG DIPERUMUM Edy Saputra, Nurdin, dan Hasmawati Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Hasanuddin (UNHAS), Jln
Lebih terperinciPELABELAN TOTAL -SISI-ANTI AJAIB SUPER PADA -COPY GRAF RODA TERHUBUNG DAN APLIKASINYA
Jurnal LOG!K@, Jilid 7, No 1, 2017, Hal 61-72 ISSN 1978 8568 PELABELAN TOTAL -SISI-ANTI AJAIB SUPER PADA -COPY GRAF RODA TERHUBUNG DAN APLIKASINYA Alvina R Meliala dan Nur Inayah Program Studi Matematika,
Lebih terperinciSuper (a,d)-h- antimagic total covering of connected amalgamation of fan graph
Super (a,d)-h- antimagic total covering of connected amalgamation of fan graph S. Latifah 1,, I. H. Agustin 1,, Dafik 1,3 1 CGANT - University of Jember Mathematics Department - University of Jember 3
Lebih terperinciMEMBENTUK PELABELAN SISI AJAIB SUPER PADA GRAF KEMBANG API
Buletin Ilmiah Mat. Stat. dan Terapannya (Bimaster) Volume 04, No. 1 (2015), hal 1 8. MEMBENTUK PELABELAN SISI AJAIB SUPER PADA GRAF KEMBANG API Martina Ikopitria, Nilamsari Kusumastuti, Bayu Prihandono
Lebih terperinciBAB 2 GRAF PRIMITIF. 2.1 Definisi Graf
BAB 2 GRAF PRIMITIF Pada Bagian ini akan dijelaskan beberapa definisi dan teorema terkait graf, matriks adjency, terhubung, primitifitas, dan scrambling index sebagai landasan teori yang menjadi acuan
Lebih terperinciSuper (a,d)-h-antimagic Total Covering of Connected Semi Jahangir Graph
Super (a,d)-h-antimagic Total Covering of Connected Semi Jahangir Graph Diana Hardiyantik 1,, Ika Hesti A. 1,, Dafik 1,3 1 CGANT - University of Jember Mathematics Departement - University of Jember 3
Lebih terperinciPELABELAN SUPER MEAN PADA GENERALISASI GRAF TUNAS KELAPA
JIMT Vol. 3 No. Juni 06 (Hal. 70 80) Jurnal Ilmiah Matematika dan Terapan ISSN : 450 766X PELABELAN SUPER MEAN PADA GENERALISASI GRAF TUNAS KELAPA D.A. Merdekawati, I.W. Sudarsana, dan S. Musdalifah 3,,3
Lebih terperinciAUTOMORFISME GRAF BINTANG DAN GRAF LINTASAN
AUTOMORFISME GRAF BINTANG DAN GRAF LINTASAN Reni Tri Damayanti Mahasiswa Pascasarjana Jurusan Matematika Universitas Brawijaya Email: si_cerdazzz@rocketmail.com ABSTRAK Salah satu topik yang menarik untuk
Lebih terperinciPELABELAN TOTAL BUSUR AJAIB b-busur BERURUTAN SKRIPSI SRI WAHYUNI WULANDARI
UNIVERSITAS INDONESIA PELABELAN TOTAL BUSUR AJAIB b-busur BERURUTAN PADA GRAF LOBSTER SEMI TERATUR L n (r, 0; 1, r) DAN L n (r, 0; 1, s) SKRIPSI SRI WAHYUNI WULANDARI 080635756 FAKULTAS MATEMATIKA DAN
Lebih terperinciMETODE PELABELAN TOTAL SUPER SIMPUL AJAIB PADA GRAPH- GRAPH SIKEL BERORDO SAMA
METODE PELABELAN TOTAL SUPER SIMPUL AJAIB PADA GRAPH- GRAPH SIKEL BERORDO SAMA Ika Tri Munawaroh *), Dr Julan Hernadi, MSi *) Prodi Pendidikan Matematika, FKIP, Universitas Muhammadiyah Ponorogo Abstrak
Lebih terperinci