BAB III MATRIKS HERMITIAN Pada bab ini, akan dibahas beberapa konsep penting dari matriks Hermitian dan konsep-konsep lainnya yang berkaitan dengan matriks Hermitian. Matriks Hermitian merupakan kelas dari matriks persegi khusus. Sebelum membahas matriks Hermitian, ada konsep yang perlu diketahui, yaitu konjuget transpos. Seperti yang telah dibahas pada bab sebelumnya, jika matriks berukuran dengan entri-entri bilangan kompleks, konjuget transpos yang didefinisikan dengan adalah matriks berukuran dimana entri ke nya adalah. Contoh 3.1 : Perhatikan matriks kompleks Konjuget transpos adalah 3.1 Matriks Uniter Definisi 3.1.1 (Anton & Rorres, 2005: 818). Suatu matriks persegi dengan entri-entri bilangan kompleks disebut uniter jika.
25 Pernyataan dalam Definisi 3.1.1 ekuivalen dengan matriks disebut matriks uniter jika. Berikut ini adalah contoh dari matriks uniter: Contoh 3.1.2: Diberikan matriks Maka Akibatnya kita peroleh bahwa Sehingga matriks adalah matriks uniter. Teorema 3.1.3 (Anton & Rorres, 2005: 819). Jika adalah matriks berukuran dengan entri-entri bilangan kompleks, maka pernyataan berikut ekuivalen (a) adalah uniter (b) vektor-vektor baris membentuk sebuah himpunan ortonormal di dengan hasilkali dalam Euclidean
26 (c) vektor-vektor kolom membentuk suatu himpunan ortonormal di dengan hasilkali dalam Euclidean. Definisi 3.1.4 (Anton & Rorres, 2005: 820). adalah matriks kompleks berukuran. dikatakan secara uniter dapat didiagonalisasi jika terdapat matriks uniter sedemikian sehingga adalah matriks diagonal; matriks dikatakan secara uniter mendiagonalisasi. 3.2 Matriks Hermitian Kajian mengenai matriks Hermitian menjadi sangat penting karena matriks Hermitian memiliki beberapa karakteristik. Salah satu karakteristik yang paling utama dari matriks Hermitian yaitu memiliki nilai eigen berupa bilangan real sehingga kita dapat mendefinisikan sebuah fungsi dari matriks Hermitian. Definisi 3.2.1 (Anton & Rorres, 2005: 821). Suatu matriks persegi dengan entrientri bilangan kompleks disebut matriks Hermitian atau disebut juga self-adjoin jika. Contoh: Matriks adalah matriks Hermitian, sebab
27 Definisi 3.2.2 (Anton & Rorres, 2005: 821). Matriks persegi dengan entri-entri bilangan kompleks disebut normal jika Setiap matriks Hermitian adalah normal karena dan setiap matriks uniter adalah normal karena. Teorema 3.2.3 (Anton & Rorres, 2005: 822). Jika matriks persegi dengan entrientri bilangan kompleks, maka pernyataan berikut ekuivalen (a) secara uniter dapat didiagonalisasi. (b) memiliki sebuah himpunan ortonormal yang terdiri dari vektor eigen. (c) adalah matriks normal. Kita perlu memperhatikan bahwa suatu matriks normal dapat didiagonalisasi secara uniter dimana vektor-vektor kolomnya merupakan vektor eigen dari dan vektor-vektor eigen yang berbeda dalam ruang eigen adalah orthogonal. Adapun prosedur untuk mendiagonalisasi sebuah matriks normal adalah sebagai berikut: Langkah 1. Tentukan basis dari setiap ruang eigen dari matriks. Langkah 2. Gunakan proses Gram-Schmidt pada setiap basis dalam Langkah 1 untuk mendapatkan basis ortonormal untuk setiap ruang eigen.
28 Langkah 3. Bentuk matriks yang kolom-kolomnya adalah vektor-vektor basis yang diperoleh dari langkah 2. Matriks ini secara uniter mendiagonalisasi. Contoh 3.2.4: Matriks adalah matriks Hermitian yang terdiagonalkan secara uniter. Perhatikan bahwa polinomial karakteristik dari matriks adalah kemudian persamaan karakteristik dari matriks adalah dan diperoleh nilai-nilai eigen, dan. Kemudian akan dicari vektor eigen yang bersesuaian dengan nilai eigen dan. Perhatikan bahwa untuk, Dengan proses eleminasi Gauss-Jordan diperoleh Misalkan, maka diperoleh
29 Vektor eigen yang bersesuaian dengan nilai eigen adalah jadi, ruang eigen berdimensi 1 dengan basis Dengan proses Gram-Schmidt, ortonormalisasi vektor basis sehingga diperoleh ( ) Dengan cara yang sama, dilakukan untuk nilai eigen dan diperoleh basis Dengan proses Gram-Schmidt, ortonormalisasi vektor basis sehingga diperoleh ( ) Kemudian bentuk matriks, diperoleh
30 ( ) Sehingga matriks yang diperoleh adalah matriks yang mendiagonalisasi matriks. 3.3 Nilai Eigen pada Matriks Hermitian Definisi 3.3.1 (Horn & Johnson, 1990: 35). Misalkan. Maka sebuah vektor taknol pada disebut vektor eigen dari jika memenuhi persamaan berikut, dimana adalah skalar real atau kompleks. Skalar disebut nilai eigen dari dan disebut vektor eigen dari yang bersesuaian dengan nilai eigen. Perhatikan bahwa ekuivalen dengan. Agar nilai dapat menjadi nilai eigen, maka persamaan diatas harus memiliki solusi yang taknol, yaitu yang disebut sebagai persamaan karakteristik matriks.
31 Teorema 3.3.2 (Horn & Johnson, 1990: 170). Misalkan adalah matriks Hermitian, maka (a) adalah bilangan real untuk setiap, (b) nilai eigen dari adalah bilangan real Bukti: (a) Perhatikan bahwa. kemudian. Karena, maka adalah bilangan real. (b) Misalkan nilai eigen dari adalah dan adalah vektor eigen yang terkait dengan nilai eigen. Maka. Kemudian perhatikan bahwa Karena, maka nilai eigen adalah bilangan real. 3.4 Konsep Urutan pada Matriks Hermitian Konsep urutan pada matriks Hermitian ini merupakan konsep yang paling penting dalam mendefinisikan sebuah fungsi monoton operator. Sifat urutan yang digunakan adalah semidefinit positif atau positif. Sebelum membahas konsep urutan pada matriks Hermitian, akan dibahas terlebih dahulu mengenai hasilkali dalam standar pada. Misalkan. Hasilkali dalam standar dari didefinisikan sebagai
32 dimana adalah adjoin dari yang didefinisikan sebagai. Definisi 3.4.1. Misalkan adalah suatu matriks Hermitian. Matriks dikatakan semidefinit positif atau positif (ditulis ) jika untuk setiap. Selanjutnya, akan ditunjukkan bahwa jika adalah matriks Hermitian, maka untuk setiap berlaku. Perhatikan bahwa Kemudian, akan dibahas mengenai konsep urutan pada matriks Hermitian. Misalkan dan adalah Matriks Hermitian. Jika artinya adalah positif atau ditulis dengan, maka berdasarkan Definisi 3.4.1 diperoleh untuk setiap.