BAB II TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Penelitian Terdahulu Sebagai bahan pertimbangan dalam penelitian ini dicantumkan mengenai penelitian terdahulu yang digunakan sebagai rujukan. Penelitian terdahulu yang digunakan sebagai rujukan ada dua penelitian. Rujukan penelitian pertama yaitu penelitian Lavoranti et al. (2007) menggunakan model AMMI tetap (Fixed AMMI) dengan melibatkan 20 genotipe padi, tujuh lokasi penelitian, dan tiga ulangan. Dalam penelitian tersebut model AMMI mampu menerangkan keragaman pengaruh interaksi sebesar 55,53% yang berdasarkan pada nilai komponen utama yang berpengaruh nyata yaitu KUI1 dan KUI2. Sehingga, Biplot AMMI yang dapat dibentuk adalah Biplot AMMI2. Penentuan adaptabilitas dan stabilitas genotipe padi mempergunakan pendekatan bootstrap berdasarkan jarak kuadrat Mahalanobis dengan kontur ellips. Rujukan penelitian kedua yaitu skripsi Prihartini (2011) menggunakan model AMMI campuran (Mixed AMMI) yang melibatkan tujuh genotipe padi, empat lokasi penelitian, dan tiga ulangan. Diperoleh empat skor komponen utama yaitu KUI1, KUI2, KUI3, KUI4. Komponen utama interaksi yang nyata diperoleh dengan membandingkan nilai Fhitung dari masing-masing KUI dengan Ftabel. Sehingga, diperoleh tiga skor KUI yang berpengaruh nyata yaitu KUI1, KUI2, KUI3. Kontribusi skor tiap KUI adalah 51,91%; 26,70%; 18,74%. Pada penelitian tersebut, gambaran biplot berdasarkan pada skor KUI3 sebagai sumbu y dan rataan respon sebagai sumbu x. 6
7 2.2 Stabilitas Genotipe Pengertian stabilitas bersifat relatif, tergantung pada tujuan akhir dari penelitian yang dilakukan oleh seorang peneliti. Menurut Becker dan Leon (1988), konsep stabilitas terbagi menjadi dua, yaitu konsep statis dan dinamis. Stabilitas dikatakan statis apabila penampilan suatu genotipe terhadap daya hasil yang dimilikinya cenderung konstan pada semua lingkungan, dan stabilitas dapat dikatakan dinamis, apabila suatu genotipe memiliki penampilan daya hasil cenderung konstan namun hanya berlaku pada lingkungan tertentu. 2.3 Interaksi Genotipe Lingkungan (IGL) Interaksi Genotipe Lingkungan (IGL) dinyatakan sebagi suatu perubahan keragaman dari dua atau beberapa genotipe pada dua atau beberapa lokasi yang berbeda. Terdapat beberapa cara yang dapat digunakan dalam mengkaji interaksi genotipe dengan lingkungan yaitu salah satunya dengan percobaan multilokasi. Kajian IGL penting dalam percobaan multilokasi karena hasilnya dapat digunakan untuk menduga serta menyeleksi genotipe-genotipe yang berpenampilan stabil (stability of genotypes) pada berbagai lingkungan atau hanya mampu beradaptasi pada suatu lingkungan tertentu (adaptation of genotypes to specific environment) (Zanetta, 2014). Analisis ragam (ANOVA) dan analisis komponen utama (AKU) menjadi alternatif yang sering digunakan untuk menguji percobaan multilokasi. Namun, untuk menganalisis keefektifan struktur data yang kompleks, kedua kajian ini dianggap kurang memadai, hal ini dikarenakan analisis ragam (ANOVA) hanya mampu menguji interaksi tetapi tidak dalam menentukan pola genotipe atau
8 lingkungan untuk meningkatkan interaksi. Sedangkan, analisis komponen utama (AKU) hanya mampu menjelaskan pengaruh interaksi tanpa menerangkan pengaruh utamanya (Mattjik, et al., 2011). Dengan mempertimbangkan kedua kajian tersebut, tanpa harus mengabaikan keduanya, maka diperlukan suatu pendekatan yang sesuai untuk memperoleh gambaran secara luas dari struktur data faktorial, maka dari itu pendekatan lain yang sesuai digunakan yaitu analisis Additive Main Effects Multiplicative Interaction (AMMI) yang merupakan gabungan dari pengaruh aditif pada analisis ragam dan pengaruh multiplikatif pada analisis komponen utama (Crossa, 1990). 2.4 Analisis AMMI Analisis AMMI merupakan suatu analisis statistika yang dapat menguraikan pengaruh interaksi genotipe dan lingkungan secara efektif pada percobaan multilokasi (Crossa, 1990). Pada dasarnya Analisis AMMI menggabungkan pengaruh utama additif pada analisis ragam dan pengaruh multiplikatif untuk pengaruh interaksi pada analisis komponen utama. Selain itu, analisis AMMI juga digunakan untuk mengkaji IGL. Rancangan yang digunakan pada analisis AMMI adalah rancangan dua faktor dalam Rancangan Acak Kelompok Lengkap (RAKL). Faktor-faktor yang dilibatkan pada percobaan ini adalah genotipe dan lokasi. 2.5 Perkembangan AMMI Menurut Sumertajaya (2007), perkembangan metode AMMI dapat diterapkan sebagai berikut:
9 1. Model Tetap (Fixed AMMI) yaitu jika genotipe dan lingkungan ditentukan secara subyektif oleh peneliti dan kesimpulan yang diharapkan hanya terbatas pada genotipe dan lingkungan yang dicobakan saja. 2. Model Campuran (Mixed AMMI) yaitu jika salah satu dari genotipe atau lingkungan bersifat acak dan kesimpulan faktor acak berlaku untuk populasi taraf dari fakor acak. 3. Model Kategorik (Generalized Linear Model AMMI) yaitu jika respons yang diamati bersifat kategorik seperti tingkat serangan hama (ringan sedang dan berat). 4. EM AMMI (Expectation Maximitation AMMI) yaitu untuk menangani data hilang. 2.6 Model Campuran (Mixed AMMI) Model Mixed AMMI mengasumsikan genotipe sebagai faktor tetap dan lingkungan sebagai faktor acak, hal ini dimaksud agar cakupan kesimpulan yang diperoleh lebih luas, kestabilan genotipe yang diperoleh tidak terbatas hanya pada lingkungan-lingkungan yang dicobakan saja tetapi berlaku secara luas untuk seluruh lingkungan yang menjadi cakupan penelitian. Mixed AMMI pada percobaan multilokasi dalam perhitungannya menggunakan analisis ragam percobaan dua faktor dalam RAKL model campuran untuk menguji pengaruh interaksi dan analisis komponen utama untuk menguraikan pengaruh interaksi. Pembahasan terkait analisis AMMI dengan model percobaan multilokasi menurut Mattjik dan Sumertajaya (1999) adalah sebagai berikut:
10 Model percobaan multilokasi dengan analisis AMMI adalah: Y ger = μ + α g + β e + ρ r(e) + (αβ) ge + ε ger (2.1) dengan: Y ger = nilai pengamatan pada genotipe ke-g, lokasi ke-e, dan kelompok ke-r, μ = nilai rata-rata umum, α g = pengaruh utama faktor tetap genotipe ke-g, β e = pengaruh utama faktor acak lingkungan ke-e, ρ r(e) = pengaruh utama kelompok ke-r dalam lingkungan ke-e, (αβ) ge = pengaruh interaksi faktor tetap genotipe ke-g dengan faktor acak lingkungan ke-e, ε ger = pengaruh acak galat genotipe ke-g, lokasi ke-e, dan kelompok ke-r. Adapun asumsi yang membedakan analisis AMMI terkait model tetap dan model campuran menurut Sumertajaya (2007) adalah sebagai berikut: Asumsi yang mendasari model tetap adalah: 1. a g=1 α g = 0; 3. a g=1 (αβ) ge = b e=1 (αβ) ge = 0; 2. b e=1 β e = 0; 4. ε ger ~N(0, σ 2 ε ); Asumsi yang mendasari model acak adalah: 1. a g=1 α g = 0; 3. (αβ) ge ~ N (0, σ 2 αβ ); 2. β e ~ N(0, σ β 2 ); 4. ε ger ~N(0, σ ε 2 ). Bentuk multiplikatif dari pengaruh IGL dihitung dengan analisis komponen utama yaitu dengan menguraikan menjadi komponen-komponen utama interaksi yang memungkinkan secara sekuensial dimulai dari tidak adanya
11 Komponen Utama Interaksi (KUI) sampai seluruh KUI masuk ke dalam model, sehingga pengaruh interaksi genotipe dengan lingkungan dapat diuraikan menjadi: n (αβ) ge = λ r φ gr ρ er + δ ge r=1 = λ 1 φ g1 ρ e1 + λ 2 φ g2 ρ e2 + + λ n φ gn ρ en + (αβ) ge (2.2) Selanjutnya dilakukan substitusi dari pers. (2.2) ke dalam pers. (2.1) sehingga model linier percobaan multilokasi dengan model Mixed AMMI secara lengkap dapat dituliskan sebagai: n Y ger = μ + α g + β e + λ r φ gr ρ er + δ ge + ε ger r=1 = μ + α g + β e + λ 1 φ g1 ρ e1 + λ 2 φ g2 ρ e2 + + λ n φ gn ρ en + δ ge + ε ger (2.3) dengan: g = 1,2,, a ; e = 1,2,, b ; r = 1,2,, n Keterangan: Y ger = nilai pengamatan dari ulangan ke-r, taraf ke-g dari genotipe, dan taraf ke-e dari lingkungan, μ = komponen aditif dari pengaruh utama genotipe dan lingkungan, α g = pengaruh utama genotipe ke-g terhadap respons yang diamati, β e = pengaruh utama genotipe ke-e terhadap respons yang diamati, λ n = nilai singular untuk komponen bilinier ke-n (λ n adalah nilai eigen). λ 1 λ 2 λ n,
12 φ gn = pengaruh ganda genotipe ke-g melalui komponen bilinier ken, ρ en = pengaruh ganda lingkungan ke-e melalui komponen bilinier ke-n, δ ge = residu dari pemodelan bilinier, ε ger = pengaruh acak galat faktor tetap genotipe ke-g, faktor tetap lokasi ke-e ulangan ke-r. 2.6.1 Penguraian Bilinier Pengaruh Interaksi Pengaruh interaksi genotipe dengan lingkungan dimodelkan dengan penguraian bilinier. Penguraian bilinier bertujuan untuk menguraikan jumlah kuadrat interaksi genotipe dengan lingkungan menjadi jumlah kuadrat KUI. Langkah-langkah pemodelan bilinier bagi pengaruh interaksi genotipe dengan lingkungan (Y ge ) pada model Mixed AMMI adalah sebagai berikut (Mattjik dan Sumertajaya, 1999): 1. Menyusun pengaruh interaksi antara genotipe (faktor A) dan lingkungan (faktor B) dalam bentuk matriks genotipe (baris) lingkungan (kolom), sehingga matriks tersebut berorde a b. Dengan a = banyak faktor A dan b = banyak faktor B γ 11 γ 1b γ = [ ] (2.4) γ a1 γ ab 2. Melakukan penguraian bilinier terhadap matriks data rata-rata dengan menggunakan analisis komponen utama.
13 2.6.2 Penguraian Derajat Bebas Besaran derajat bebas KUI ke n diturunkan berdasarkan jumlah parameter yang diduga dikurangi dengan jumlah kendala. Banyaknya parameter yang diduga adalah a + b 1 sedangkan banyaknya kendala untuk KUI ke n adalah 2n. Derajat bebas untuk setiap KUI adalah: db(kui n ) = a + b 1 2n (2.5) dengan: a = banyaknya taraf dari faktor genotipe b = banyaknya taraf dari faktor lingkungan n adalah minimum (a, b) 1. Dengan hanya melihat derajat bebas interaksi, dan mengacu pada jumlah kuadrat KUIn, maka secara tidak langsung dapat memperkirakan banyak KUI yang dapat masuk ke dalam model. 2.6.3 Perhitungan Jumlah Kuadrat Jumlah kuadrat dan kuadrat tengah dari pengaruh utama, pengaruh interaksi serta pengaruh kelompok dihitung dengan analisis ragam percobaan dua faktor dalam RAKL. Dalam hal ini faktor A adalah genotipe dan faktor B adalah lingkungan. Perhitungan Jumlah Kuadrat secara operasional dalam RAKL dirumuskan pada persamaan sebagai berikut (Mattjik dan Sumertajaya, 1999): Jumlah Kuadrat Faktor A (Genotipe): a b n JK(Genotipe): (Y g.. Y ) 2 = Y g.. 2 FK (2.6) bn g=1 e=1 r=1 a g=1
14 Jumlah Kuadrat Faktor B (Lingkungan): a b n JK(Lingkungan) = (Y.e. Y ) 2 = Y.e. 2 FK (2.7) an g=1 e=1 r=1 Jumlah Kuadrat Kelompok: a b n JK(Kelompok) = (Y..r Y ) 2 = Y..r 2 FK (2.8) ab g=1 e=1 r=1 Jumlah Kuadrat Interaksi Faktor A (Genotipe) dan Faktor B (Lingkungan): a b n n r=1 b e=1 JK(Interaksi) = (Y ge. Y g.. Y.e. Y ) 2 g=1 e=1 r=1 a b n = (Y ge. Y ) 2 JKA JKB g=1 e=1 r=1 (2.9) Penghitungan Kuadrat Tengah dan Derajat Bebas secara operasional dalam RAKL dua faktor adalah sebagai berikut: Kuadrat Tengah Faktor A (Genotipe): KT(Genotipe) = JK(Genotipe) db(genotipe) (2.10) Kuadrat Tengah Faktor B (Lingkungan): KT(Lingkungan) = JK(Lingkungan) db(lingkungan) (2.11) Kuadrat Tengah Kelompok: KT(Kelompok) = JK(Kelompok) db(kelompok) (2.12) Kuadrat Tengah Interaksi Faktor A (Genotipe) dan Faktor B (Lingkungan): KT(Interaksi) = JK(Interaksi) db(interaksi) (2.13)
15 Derajat Bebas Faktor A (Genotipe): db(genotipe) = (a 1) Derajat Bebas Faktor B (Lingkungan): db(lingkungan) = (b 1) Derajat Bebas Faktor Kelompok: db(kelompok) = (r 1) Derajat Bebas Interaksi Faktor A (Genotipe) dan Faktor B (Lingkungan): db(interaksi) = (a 1)(b 1) Rumus Faktor Koreksi secara operasional dalam RAKL dapat dinyatakan sebagai: Faktor Koreksi (FK) = Y... 2 abn (2.14) Pada pemodelan ini, pengaruh aditif genotipe dan lingkungan serta jumlah kuadrat dan kuadrat tengahnya dihitung sebagaimana umumnya analisis ragam, tetapi berdasarkan pada data rataan per genotipe dan lingkungan. Namun, pengaruh ganda genotipe dan lingkungan pada interaksi diduga dengan penguraian nilai singular terhadap matriks dugaan pengaruh interaksi. Sehingga Jumlah Kuadrat Interaksi pada pers. 2.9 dapat dinyatakan sebagai: JK(Interaksi) = r (Y ge. Y g.. Y.e. Y ) 2 g,e = r trace (zz T ) (2.15) Berdasarkan teorema pada aljabar matriks trace dari suatu matriks sama dengan jumlah kuadrat akar ciri matriks tersebut, maka jumlah kuadrat untuk pengaruh interaksi komponen ke-n adalah akar ciri ke-n pada pemodelan bilinear tersebut. Jika analisis ragam dilakukan pada data sebenarnya maka jumlah
16 kuadratnya adalah banyaknya ulangan dikali akar ciri ke-n. Sehingga, Jumlah Kuadrat KUIn adalah: rλ n (2.16) dengan r = banyaknya kelompok dan λ n = adalah nilai eigen ke n Tabel 2.1 Struktur Analisis Ragam dengan AMMI Sumber Derajat Bebas Jumlah Kuadrat Kuadrat Tengah Fhitung Keragaman Genotipe a 1 JK(Genotipe) KT (Genotipe) Lingkungan b 1 JK (Lingkungan) KT (Lingkungan) KT(Genotipe) KT(Interaksi) KT(Ling) KTG Interaksi (IGL) (a 1)(b 1) JK(Interaksi) KT (Interaksi) KT(Interaksi) KTG KUI1 a + b 1 2(1) JK(KUI 1 ) KTKUI1 KUI2 a + b 1 2(2) JK(KUI 2 ) KTKUI2 KT(KUI 1 ) KTG KT(KUI 2 ) KTG KUIn a + b 1 2(n) JK(KUI n ) KTKUIn Kelompok r 1 JK (Kelompok) KT (Kelompok) KT(KUI n ) KTG KT(Kelompok) KTG Galat (ab 1)(r 1) JKG Total abr 1 JKT
17 2.6.4 Penguraian Nilai Singular dan Nilai Komponen AMMI Singular Value Decomposition (SVD) bertujuan untuk menguraikan suatu gugus matriks Z yang berisi data rata-rata yang telah terkoreksi terhadap data ratarata dari keseluruhan data (Jolliffe, 2002). Matriks Z berukuran n p dimana n merupakan banyaknya objek pengamatan dan p merupakan banyaknya peubah bebas. Penguraian nilai untuk matriks pengaruh interaksi Z adalah dengan memodelkan matriks tersebut sebagai berikut: Z = U L A T. (2.17) Pada persamaan (2.17) matriks U dan A merupakan matriks dengan kolom orthonormal dengan A = [a 1, a 2,, a r ] adalah vektor eigen dari matriks Z T Z berukuran p p dan U = [u 1, u 2,, u r ] dengan u i = Z ai λ i, merupakan vektor eigen dari Z T Z. Syarat yang harus terpenuhi oleh kedua matriks tersebut adalah A T A = U T U = I. Matriks L merupakan matriks diagonal dengan unsur diagonalnya adalah akar kuadrat nilai eigen positif bukan nol dari Z T Z yang berukuran r r, selanjutnya unsur-unsur diagonal dari matriks L disebut nilai singular matriks Z. Secara umum nilai komponen ke-n untuk genotipe ke-g adalah l k n ψ gn sedangkan nilai komponen untuk lokasi ke-e adalah l 1 k n ρ en. Dengan mendefinisikan L k (0 k 1) sebagai matriks diagonal yang elemen-elemen diagonalnya adalah elemen-elemen matriks L k demikian juga matriks L 1 k, dan G = UL k serta H T = AL 1 k maka penguraian nilai singular dapat ditulis dalam bentuk:
18 Z = GH T. (2.18) Sehingga skor komponen untuk faktor genotipe adalah kolom-kolom matriks G sedangkan skor komponen untuk faktor lingkungan adalah kolom-kolom matriks H. Nilai k yang digunakan pada analisis AMMI adalah 1 2 (Mattjik dan Sumertajaya, 1999). 2.6.5 Penentuan Banyaknya KUI Mattjik dan Sumertajaya (1999) mengemukakan dua metode penentuan banyaknya sumbu komponen utama untuk penduga, yaitu Postdictive Success dan Predictive Success. Postdictive Success (keberhasilan total) berhubungan dengan kemampuan suatu model yang tereduksi untuk menduga data yang digunakan dalam membangun model tersebut. Kriteria dalam menentukan banyaknya KUI yang masuk ke dalam model berdasarkan metode Postdictive Success adalah membandingkan nilai Fhitung dari masing-masing KUI dengan Ftabel. Jika nilai Fhitung > Ftabel maka dapat disimpulkan KUI signifikan (KUI masuk ke dalam model). Fhitung dan Ftabel dari masing-masing KUI dapat dihitung dengan: F hitung = KT(KUI n) ; F KTG tabel = F α(db(kuin ),dbg) (2.19) Predictive Success (keberhasilan ramalan) berhubungan dengan kemampuan suatu model dugaan untuk memprediksi data lain yang sejenis tetapi tidak digunakan dalam membangun model tersebut. Predictive Success dilakukan dengan validasi silang, yaitu membagi data menjadi dua kelompok, satu kelompok untuk membangun model dan kelompok lain digunakan untuk validasi (menentukan jumlah kuadrat sisaan).
19 2.7 Analisis Biplot AMMI Analisis biplot merupakan teknik statistika deskriptif dimensi ganda yang dapat disajikan secara visual dengan menyajikannya secara simultan n objek pengamatan dan p variabel dalam suatu grafik pada suatu bidang datar sehingga ciri-ciri variabel dan objek pengamatan serta posisi relatif antara objek pengamatan dengan variabel dapat dianalisis (Gower dan Hand, 1996) Pada analisis AMMI, biplot yang biasanya digunakan berupa biplot antara nilai komponen utama pertama (KUI1) dengan rata-rata respon yang divisualisasikan ke Biplot AMMI1 karena hanya skor komponen utama dengan keragaman terbesar pertama yang berpengaruh nyata. Biplot antara nilai komponen utama pertama (KUI1) dan nilai komponen utama kedua (KUI2) bisa ditambahkan jika skor KUI2 berpengaruh nyata yang dikenal dengan model AMMI2 yang divisualisasikan ke dalam Biplot AMMI2. Pada tampilan biplot AMMI informasi yang diperoleh berkaitan dengan kedekatan antar objek, keragaman variabel, dan korelasi /hubungan antar objek. Selain itu, biplot AMMI juga dapat memberikan gambaran mengenai besarnya perbedaan pengaruh utama yang digambarkan dengan jarak titik amatan pada sumbu mendatar, sedangkan perbedaan pengaruh interaksi digambarkan oleh jarak titik amatan pada sumbu tegak (Laili, 2013). Pada penelitian ini penyebaran titik amatan berdasarkan pada kontur yang terbentuk berdasarkan skor utama interaksinya. Suatu genotipe dapat dikatakan stabil apabila memiliki titik koordinat yang hampir mendekati titik pusat dari kontur. Jika suatu genotipe terletak di luar area kontur pada gambaran biplot, maka
20 genotipe tersebut dapat dikategorikan sebagai genotipe yang tidak stabil (Sa'diyah, et al., 2011). Pada Biplot AMMI penentuan kontur sebagai daerah kepercayaan diperoleh dari perhitungan jari-jari ellips yang dapat digunakan untuk menentukan titik pusat koordinasi ellips. Menurut Sa diyah (2011), persamaan yang digunakan untuk mendapatkan jari-jari ellips adalah: dengan: r i = ± λ i ( 2(n 1) n(n p) F p,n p(α)) (2.20) r i = panjang jari-jari; i=1 untuk jari-jari panjang; i=2 untuk jari-jari pendek, n = banyaknya pengamatan (genotipe + lingkungan), p = banyaknya peubah, λ i = nilai singular, F p,n p(α) = nilai sebaran F dengan derajat bebas (db1 dan db2 berturut-turut adalah p dan n p, dengan nilai alfa yang digunakan adalah α = 5%. 2.8 Indeks Stabilitas AMMI Indeks stabilitas diperlukan untuk mempermudah melihat tingkat stabilitas suatu genotipe terhadap lingkungan. Indeks dibangun berdasarkan konsep jarak, sehingga semakin besar indeks suatu genotipe, maka semakin jauh jarak genotipe dari pusat sumbu koordinat, artinya tidak stabil genotipe tersebut (Sa'diyah, et al., 2011).
21 Indeks stabilitas genotipe ditentukan oleh skor KUI yang dihasilkan oleh model AMMI2, yaitu dengan hanya menggunakan skor KUI1 dan skor KUI2 dari masing-masing genotipe. Indeks stabilitas tersebut didefinisikan sebagai berikut: ISA = ([ λ 1 2 2 1 (skor KUI 1 )] + [skor KUI 2 ] 2 ) (2.21) λ 2 1 2 Indeks yang didasarkan pada dua nilai KUI terbesar tersebut baik digunakan apabila persentase keragaman genotipe dan lingkungan yang dapat dijelaskan oleh model AMMI2 besar. Tetapi, kurang efektif digunakan untuk menerangkan persentase keragaman biplot AMMI2 yang kecil (Sa'diyah, et al., 2011). 2.9 Metode Resampling Bootstrap Bootstrap merupakan metode simulasi berbasiskan data yang bisa digunakan untuk inferensi statistika. Metode bootstrap dapat digunakan untuk mengatasi permasalahan dalam statistika seperti masalah data yang sedikit, data yang menyimpang dari asumsinya maupun data yang tidak memiliki asumsi dalam distribusinya dan bootstrap tidak menggunakan distribusi probabilitas, tapi menghitung distribusi empiris dari estimasi parameter. Prosedur metode bootstrap menurut Efron dan Tibshirani (1993) secara jelas adalah sebagai berikut misalkan terdapat sampel acak berukuran n yaitu x 1, x 2,, x n yang diambil dari suatu populasi dengan fungsi distribusi kontinu F yang tidak diketahui atau berdistribusi identik dan saling bebas (IID) dan nilai stastistik θ merupakan estimasi parameter dari θ berdasarkan data asli. Untuk menduga ketepatan parameter θ dapat diperoleh dari fungsi sebaran empiris dari F. Secara empiris sebaran ini menyatakan peluang untuk masing-
22 masing pengamatan dari vektor acak X i yaitu sebesar 1 n, untuk i = 1,2,3,, n. Sampel bootstrap merupakan pengambilan sample acak sebanyak n kali dari F, yaitu X = (x 1, x 2,, x n ), F (x 1, x 2,, x n ) X bukan suatu data asli, tetapi data hasil resampling dari X. Suatu set himpunan data bootstrap memiliki satu nilai dugaan θ, yaitu θ. Misalkan θ merupakan rataan sampel x = sample data bootstrap x = n i=1 x i n. n i=1 x i n, maka θ juga merupakan rataan Penduga bootstrap se F (θ ) merupakan galat baku dari θ, yaitu penduga yang menggunakan fungsi sebaran empiris F dari distribusi F yang tidak diketahui. Penduga bootstrap se F (θ ) dinotasikan dengan se F (θ ), yaitu penduga galat baku dari θ untuk himpunan data berukuran n yang diambil secara acak dari sebaran F (Efron, et al., 1993). Langkah pendugaan bootstrap: 1. Menarik beberapa sample bootstrap yang saling bebas; 2. Menghitung penduga dari ulangan bootstrap; 3. Menduga galat baku dari θ menggunakan galat baku empiris dari ulangan bootstrap. Ilustrasi dari pendugaan galat baku bootstrap disajikan pada Gambar 2.1
23 X = (x 1, x 2,, x n ) Himpunan Data Asli X 1 X 2 X B Himpunan Data Bootstrap θ 1 θ 2 θ B Penduga Data Bootstrap se F (θ ) Penduga Galat Baku Bootstrap Gambar 2.1 Langkah Penduga Galat Baku Bootstrap (Efron, et al., 1993) Penduga galat baku se F (θ ) menggunakan simpangan baku sampel sebanyak B ulangan dan dihitung sebagai berikut: se B = { B [θ b θ ( )] 2 b=1 B 1 1 2 } (2.22) B dengan θ ( ) = b=1 θ b /B ; dan b = 1,2,, B. Galat baku bootstrap digunakan untuk memyatakan pendekatan selang kepercayaan terhadap parameter θ. Misalkan suatu penduga θ dan penduga galat baku se, maka selang kepercayaan (1 α)100% untuk θ adalah: θ ± z (α/2) se = θ ± z (α/2) { B [θ b θ ( )] 2 b=1 B 1 1 2 } (2.23)
24 dengan z (α/2) merupakan sebaran normal baku dengan peluang (1 α)100%. Persamaan (2.24) disebut penduga selang atau selang keprcayaan untuk θ. Bootstrap digunakan bukan untuk menghasilkan satu penduga titik terbaik, namun untuk menduga keakuratan dari penduga parameter. Bootstrap diselesaikan dengan menentukan sampel bootstrap yang digunakan untuk menduga galat baku. Bootstrap tidak membutuhkan rumus analitik yang rumit untuk pendugaan dan dapat digunakan selama masih ada metode komputasi untuk mendapatkan penduga (Novianti, et al., 2010) Pada penggunannya, metode bootstrap hanya membutuhkan penggabungan perhitungan iterasi menggunakan komputer (software) untuk mendapatkan penduga parameter karena melibatkan perhitungan yang sa.ngat banyak.
25