IDENTIFIKASI GENOTIPE YANG MEMBERIKAN KONTRIBUSI TERHADAP INTERAKSI GENOTIPE LINGKUNGAN PADA MODEL AMMI RUSIDA YULIYANTI

Transkripsi

1 IDENTIFIKASI GENOTIPE YANG MEMBERIKAN KONTRIBUSI TERHADAP INTERAKSI GENOTIPE LINGKUNGAN PADA MODEL AMMI RUSIDA YULIYANTI SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2009

2 PERNYATAAN MENGENAI TESIS DAN SUMBER INFORMASI Dengan ini saya menyatakan bahwa tesis Identifikasi Genotipe yang Memberikan Kontribusi terhadap Interaksi Genotipe Lingkungan pada Model AMMI adalah karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apapun kepada perguruan tinggi manapun. Sumber informasi yang berasal atau yang dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam daftar pustaka di bagian akhir tesis ini. Bogor, Februari 2009 Rusida Yuliyanti NRP.G

3 ABSTRACT RUSIDA YULIYANTI. Identification of The Contributing Genotypes for Genotipe Environment Interaction on AMMI Model. Under direction of AHMAD ANSORI MATTJIK and TOTONG MARTONO. Additive Main Effect and Multiplicative Interactions (AMMI) Models have been utilized in analysis of the effects of the Genotype Environment Interaction (GEI) on multienvironmental trials. However, the models could not be used for post-hoc tests of genotype contribution in the interaction effects. The tests are called tests of subhypothesis. By conducting this test, one could identify the contributing genotypes in GEI. Critical point in this test is unknown, so that it s value must be approximated by bootstrap method. This research used maize data from PT.Kreasidharma and Bioseed Inc. In this data, there are 12 genotypes which are tested in 16 different locations. As the result, the identified contributing genotypes in GEI are BIO 9900, BIO 1169 dan BIO9899. Keywords : AMMI Model, Tests of Subhypothesis, Critical Point.

4 RINGKASAN RUSIDA YULIYANTI. Identifikasi Genotipe yang Memberikan Kontribusi terhadap Interaksi Genotipe Lingkungan pada Model AMMI. Di bawah bimbingan AHMAD ANSORI MATTJIK sebagai ketua dan TOTONG MARTONO sebagai anggota. Model AMMI telah mampu menerangkan pengaruh interaksi genotipe lingkungan, dan sebenarnya bisa dilakukan pengujian mengenai kontribusi yang diberikan oleh genotipe dan lingkungan terhadap pengaruh interaksi tersebut dengan pengujian subhipotesis yang disampaikan oleh Marasinghe (1980). Pengujian subhipotesis memerlukan nilai statistik Λ dan nilai kriteria uji ( q φ ) untuk menarik kesimpulan hasil pengujian. Karena distribusi Λ belum diketahui sehingga didekati dengan distribusi empirik guna mengaproksimasi nilai kriteria uji. Nilai kriteria uji bagi sebaran Λ ditentukan dengan metode Bootstrap. Penelitian ini bertujuan mendeskripsikan metode pengujian subhipotesis pada model AMMI dan mengimplementasikan metode pada tujuan pertama terhadap data percobaan jagung dalam upaya mengidentifikasi genotipe yang berkontribusi terhadap interaksi genotipe lingkungan. Data penelitian ini merupakan data sekunder hasil percobaan tanaman jagung hibrida yang dilakukan oleh Bioseed Genetic International, INC bekerjasama dengan PT. Mitra Kreasidharma. Percobaan dilakukan di 16 lokasi dengan 12 genotipe. Metode subhipotesis Marasinghe dapat digunakan untuk menguji pengaruh genotipe terhadap interaksi genotipe lingkungan pada model AMMI. Matriks kontras H pada hipotesis nol H 0 merepresentasikan tujuan pengujian tersebut. Pengujian subhipotesis terhadap data percobaan jagung menunjukkan bahwa genotipe yang memberikan kontribusi terhadap interaksi genotipe lingkungan adalah genotipe A (BIO 9900), C (BIO 1169) dan I (BIO9899). Kata kunci : Model AMMI, Pengujian subhipotesis, Nilai kriteria uji.

5 Hak cipta milik IPB, Tahun 2009 Hak cipta dilindungi Undang-undang Dilarang mengutip sebagian atau seluruh karya tulis ini tanpa mencantumkan atau menyebutkan sumbernya. Pengutipan hanya untuk kepentingan pendidikan, penelitian, penulisan karya ilmiah, penyusunan laporan, penyusunan kritik atau tinjauan suatu masalah; dan pengutipan tidak merugikan kepentingan yang wajar IPB. Dilarang mengumumkan atau memperbanyak sebagian atau seluruh karya tulis dalam bentuk apapun tanpa izin IPB.

6 IDENTIFIKASI GENOTIPE YANG MEMBERIKAN KONTRIBUSI TERHADAP INTERAKSI GENOTIPE LINGKUNGAN PADA MODEL AMMI RUSIDA YULIYANTI Tesis Sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Magister Sains pada Sekolah Pascasarjana Institut Pertanian Bogor SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2009

7 Judul Tesis : Identifikasi Genotipe yang Memberikan Kontribusi terhadap Interaksi Genotipe Lingkungan pada Model AMMI Nama : Rusida Yuliyanti NRP : G Program Studi : Statistika Disetujui Komisi Pembimbing Prof. Dr. Ir. A. A. Mattjik, M.Sc Ketua Dr. Totong Martono Anggota Diketahui Ketua Program Studi Statistika Dekan Sekolah Pascasarjana IPB Dr. Ir. Aji Hamim Wigena, M.Sc Prof.Dr. Ir. Khairil A. Notodiputro, M.S Tanggal Ujian : 12 Februari 2009 Tanggal Lulus :

8 PRAKATA Puji syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT atas berkat Rahmat dan Karunia-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan tesis yang berjudul Identifikasi Genotipe yang Memberikan Kontribusi terhadap Interaksi Genotipe Lingkungan pada Model AMMI. Pada kesempatan ini, dengan penuh rasa hormat penulis mengucapkan terima kasih kepada: 1. Prof. Dr. Ir. A. A. Mattjik, M.Sc, sebagai ketua komisi pembimbing dan Dr. Totong Martono sebagai anggota komisi pembimbing yang telah memberikan bimbingan, masukan dan saran yang sangat berarti dalam penyusunan tesis ini. 2. Dr. Ir. Asep Saefuddin, M.Sc sebagai penguji Luar Komisi pada Ujian Tesis. 3. Direktorat Jendral Pendidikan Tinggi yang telah mendanai penelitian ini yang merupakan bagian Hibah Penelitian Tim Pascasarjana dengan Nomor : 266/13.11/PL/2008 tanggal 2 April Keluarga dan teman-teman mahasiswa pascasarjana Statistika yang telah membantu penulis dan memberi dukungan selama penyusunan tesis ini. 5. Semua pihak yang telah membantu penulis baik secara fisik, ilmu maupun dukungan moral dalam penyusunan usulan penelitian ini. Akhirnya penulis mohon maaf jika tesis ini masih jauh dari kesempurnaan. Semoga tulisan ini bermanfaat bagi pihak yang membutuhkannya. Bogor, Februari 2009 Penulis

9 RIWAYAT HIDUP Penulis dilahirkan di Klaten pada tanggal 23 Juli 1980 dari pasangan bapak Rusdiyanto (alm) dan ibu Sri Warsinem. Penulis adalah anak kelima dari enam bersaudara. Pada tahun 2002, penulis lulus sebagai Sarjana Sain dari Program Studi Statistika, Fakultas Matematika dan Ilmu pengetahuan Alam Institut Pertanian Bogor. Pada tahun yang sama penulis menikah dengan Agus Mohamad Soleh dan sampai sekarang telah dikaruniai dua orang putri yang bernama Fathin Tsabitah Fauziyah dan Hanifah Aqila Muthmainnah. Kemudian pada tahun 2005, penulis diterima sebagai mahasiswa di Program Studi Statistika Sekolah Pascasarjana Institut Pertanian Bogor. Tahun 2006 penulis diangkat sebagai kandidat peneliti di Pusat Penelitian Kependudukan, Lembaga Ilmu Pengetahuan Indonesia sehingga penulis mengambil cuti akademik selama dua semester pada tahun ajaran 2006/2007.

10 DAFTAR ISI Halaman DAFTAR TABEL... xi DAFTAR GAMBAR... xi DAFTAR LAMPIRAN... xii PENDAHULUAN... 1 Latar Belakang... 1 Tujuan Penelitian... 2 TINJAUAN PUSTAKA... 3 Model Interaksi Multiplikatif pada Rancangan Faktorial Dua Faktor... 3 Model AMMI (Additive Main Effect and Multiplicative Interactions)... 5 Perhitungan Jumlah Kuadrat AMMI... 6 Penentuan Banyaknya Komponen AMMI... 6 BAHAN DAN METODE... 8 Bahan... 8 Metode Analisis... 8 HASIL DAN PEMBAHASAN. 11 Pengelompokan Genotipe Pengujian Pengaruh Interaksi Kelompok Genotipe Lingkungan Model AMMI Pengujian Subhipotesis pada Model AMMI SIMPULAN DAN SARAN Simpulan Saran. 20 DAFTAR PUSTAKA x

11 DAFTAR TABEL Halaman 1 Tabel Analisis Ragam AMMI 7 2 Korelasi Komponen Hasil Penen dengan Hasil Panen Analisis Ragam dari Hasil Panen Persentase Keragaman Interaksi Kelompok Genotipe Lingkungan Matriks Kontras Pengujian Subhipotesis Hasil Aproksimasi Nilai Kriteria Uji Hasil Pengujian Subhipotesis pada AMMI DAFTAR GAMBAR Halaman 1 Proses Resampling untuk Aproksimasi Nilai Kriteria Uji Biplot melalui AMMI 2 untuk Hasil Panen Dendrogram Genotipe Berdasarkan Karakteristik Kadar Air Panen, Umur Berbunga Betina, Berat Tongkol dan Hasil Panen Kekonsistenan Nilai Kriteria Uji 17 xi

12 DAFTAR LAMPIRAN Halaman 1 Deskripsi Lokasi Penelitian Kode genotipe Persentase Keragaman Interaksi Genotipe Lokasi Analisis Box Cox Transformation Uji Asumsi dalam Normalitas Galat dan Kehomogenan Ragam pada Analisis Ragam untuk Data Hasil Panen Program R untuk pengujian subhipotesis pada model AMMI 2 27 xii

13 PENDAHULUAN Latar Belakang Rancangan percobaan faktorial dengan klasifikasi dua faktor telah banyak diterapkan dalam berbagai bidang, salah satunya pada percobaan agronomi yang melibatkan faktor genotipe dan faktor lingkungan. Model linier percobaan ini biasanya terdiri dari pengaruh faktor utama aditif dan pengaruh interaksi dari kedua faktor tersebut. Hal menarik yang ingin dikaji dalam percobaan ini adalah pengaruh interaksi kedua faktor tersebut, yang digunakan untuk mendeteksi genotipe-genotipe yang mempunyai daya adaptasi yang tinggi di berbagai kondisi lingkungan dan bisa dimodelkan dengan satu atau lebih pola interaksi multiplikatif. Salah satu model interaksi multiplikatif yang telah banyak digunakan untuk menjelaskan pengaruh interaksi (dalam hal ini interaksi antara genotipe dan lingkungan) dan juga biasa digunakan untuk analisis kestabilan terhadap hasil percobaan multilokasi adalah model AMMI (Additive Main Effect and Multiplicative Interactions). AMMI, yang sebenarnya telah dikembangkan oleh Mandel pada tahun 1961 (Husein, 2000), juga mampu menjelaskan rata-rata pengaruh genotipe dan interaksi genotipe lingkungan dengan menggunakan pendekatan analisis komponen utama (AKU). Gauch (1990) mengemukakan bahwa model AMMI merupakan suatu model gabungan dari pengaruh aditif pada analisis ragam dan pengaruh multiplikatif pada analisis komponen utama. Model AMMI telah mampu menerangkan pengaruh interaksi genotipe lingkungan, dan sebenarnya bisa dilakukan pengujian mengenai kontribusi yang diberikan oleh genotipe dan lingkungan terhadap pengaruh interaksi. Menurut Marasinghe (1980), dalam percobaan faktorial dengan klasifikasi dua faktor (baris dan kolom) jika pengaruh interaksi antara kedua faktor tersebut nyata dan bersifat multipikatif maka perlu dilakukan pengujian lebih lanjut yang disebut dengan pengujian subhipotesis guna mengetahui faktor baris mana yang memberikan kontribusi terhadap pengaruh interaksi antar kedua faktor tersebut. Faktor baris yang nyata tidak berkontribusi terhadap pengaruh interaksi multiplikatif tersebut berarti faktor baris tersebut tidak berinteraksi dengan faktor kolom. Berdasarkan 1

14 keterangan di atas, apabila genotipe dan lingkungan disetarakan dengan faktor baris dan faktor kolom, dan interaksi genotipe lingkungan dimodelkan dengan AMMI, yang merupakan model interaksi multiplikatif, maka kita bisa mengaplikasikan metode Marasinghe untuk menguji sumbangan faktor genotipe pada pengaruh interaksi genotipe lingkungan. Bila suatu genotipe tertentu nyata berkontribusi terhadap interaksi genotipe lingkungan maka genotipe tersebut berinteraksi dengan lingkungan atau bisa dikatakan daya adaptasinya di berbagai lingkungan kurang atau cenderung tidak stabil. Sebaliknya, jika genotipe tersebut tidak nyata berkontribusi terhadap interaksi genotipe lingkungan maka genotipe tersebut tidak berinteraksi dengan lingkungan atau bisa dikatakan daya adaptasinya di berbagai lingkungan cukup tinggi atau cenderung stabil. Pengujian subhipotesis ini membutuhkan informasi nilai kriteria uji untuk mengetahui nilai batasan tolak H 0 dan menarik kesimpulan. Karena nilai kriteria uji tersebut belum diketahui maka salah satu cara guna mengetahui nilai tersebut adalah dengan mengaproksimasi. Proses aproksimasi yang dilakukan menggunakan metode Bootstrap yaitu me-resampling data dengan pengembalian. Tujuan Penelitian Penelitian ini bertujuan : 1. mendeskripsikan metode pengujian subhipotesis pada model AMMI, 2. mengimplementasikan metode pada tujuan pertama terhadap data percobaan jagung dalam upaya mengidentifikasi genotipe yang berkontribusi terhadap interaksi genotipe lingkungan. 2

15 TINJAUAN PUSTAKA Model Interaksi Multiplikatif pada Rancangan Faktorial Dua Faktor Perhatikan rancangan percobaan faktorial dua faktor dengan interaksi yang terdiri atas a faktor baris dan b faktor kolom. Misalkan yij merupakan respon dari faktor baris ke-i pada faktor kolom ke-j, µ adalah nilai rata-rata umum, τ i adalah pengaruh faktor baris ke-i, β j adalah pengaruh faktor kolom ke-j, γ ij pengaruh interaksi antara faktor baris ke-i dan faktor kolom ke-j, dan merupakan ε ij adalah pengaruh acak dari faktor baris ke-i pada faktor kolom ke-j yang menyebar Normal (0,σ 2 ). Model rancangan tersebut ialah (Marasinghe, 1980) yij = µ + τ + β + γ + ε i j ij ' ij ' ' ' dengan asumsi τ 1a = 0, β 1b = 0, 1 a Γ = 0 dan Γ1 = 0 b jika Γ=[γ ij ] a b. Marasinghe (1980) mendeskripsikan parameter interaksi (1) γ ij pada model (1) dalam bentuk bilinier berikut γ ij = l r α irθ jr, dan k min( b 1, a 1) ' dengan unsur-unsur dari vektor α [ α α... α ] r k r = 1 =, r = 1, 2,, k, merupakan parameter interaksi faktor baris; sedangkan unsur-unsur vektor ' r [ θ θ θ ] θ =..., r = 1, 2,, k, merupakan parameter interaksi faktor 1r 2r br kolom. Dalam ungkapan bilinier tersebut diasumsikan : l1 l2... dan A ' A = B ' B = I k l k dengan A = [ α α... α... α ] dan B [ θ θ... θ... θ ] 1 2 r k 1r 2r 1 2 ar =. Dengan demikian model interaksi multiplikatif dapat ditulis dalam bentuk r k y ij k = + τ i + β j + r µ lrα irθ jr + ε ij =1 (2) atau dapat pula ditulis dalam notasi matriks seperti berikut ' ' ' ( ) B E Y = µ 1a 1b + τ1b + 1a β + AD l + ' k dengan matriks data Y berordo a b dan D(l k ) adalah matriks diagonal berordo k yang unsur-unsur diagonal utamanya ialah l 1, l 2,..., l k, sedangkan E matriks pengaruh acak berordo a b. (3) 3

16 Dalam hal ini yang menjadi perhatian pada model (3) ialah pengujian subhipotesis terhadap parameter interaksi pengaruh faktor baris yang dapat diuji dengan menyususn hipotesis berbentuk H : HΑ 0 dan 0 = H 1 : HΑ 0, yang artinya ada sekurang-kurangnya satu ungkapan berbentuk H : Hα 0, 1 r k 1 r dengan H merupakan matriks kontras dan berordo s a. Hal ini disebabkan karena hipotesis H : H ( ) H 0 : HΑ = 0. s a ' 0 ΑD l k B = 0 identik dengan Sebagai ilustrasi, misalnya untuk menguji α α = α = α 0 untuk r = 1, 2,, k, maka matriks H dapat berbentuk 3 H k = ( a 4) s b 1 r = 2r 3r 4r = Dengan anggapan k sudah ditentukan dan memisalkan Z=[z ij ] sebagai matriks interaksi berordo a b dengan zij = yij yi.. y. j + y.., maka menurut Marasinghe (1980) hipotesis di atas dapat diuji dengan menggunakan statistik Λ = a b i= 1 j= 1 z 2 ij r= 1 a b k 2 zij i= 1 j= 1 r= 1 k λ λ r * r dengan λ r merupakan akar ciri terbesar ke-r dari matriks Z Z dan λ r * ' akar ciri terbesar ke-r dari matriks ( ) I H H ZZ, sedangkan kebalikan Moore-Penrose dari matriks H. Hipotesis nol H 0 ditolak jika dengan P H (Λ < ) 0 q φ = φ H (4) merupakan adalah matriks Λ < qφ. Simulasi Monte Carlo atau Bootstrap dapat digunakan untuk melakukan aproksimasi bagi sebaran uji statistik Λ. 4

17 Model AMMI (Additive Main Effect and Multiplicative Interactions) AMMI merupakan suatu teknik analisis data percobaan dua faktor yaitu faktor genotipe dan lingkungan dengan pengaruh utama perlakuan bersifat aditif sedangkan pengaruh interaksi yang bersifat multiplikatif dimodelkan dengan model bilinier. Model AMMI merepresentasikan observasi ke dalam komponen sistematik yang terdiri atas pengaruh utama (main effect) dan pengaruh interaksi melalui suku-suku multiplikatif (multiplicative interactions), di samping komponen acak sisaan atau galat. Komponen acak pada model ini diasumsikan menyebar Normal dengan ragam konstan. Berarti model percobaan faktorial dua faktor yang akan dimodelkan dengan AMMI sama seperti pada model (1), dengan genotipe merupakan faktor baris, sedangkan lingkungan sebagai faktor kolom. Pada dasarnya analisis AMMI menggabungkan analisis ragam aditif bagi pengaruh utama perlakuan dengan analisis komponen utama dengan pemodelan bilinier bagi pengaruh interaksi yang memanfaatkan penguraian nilai singular (SVD) pada matriks interaksi, sehingga model percobaan faktorial dua faktor menjadi ' ' ' ( t ) B E Y = µ 1a 1b + τ1b + 1a β + AD λ + ' dengan D( λ t ) adalah matriks diagonal berordo t yang unsur-unsur diagonal (5) utamanya ialah λ,..., λ 1, λ 2 λ t, t merupakan nilai singular untuk komponen bilinier ke-t ( λt merupakan akar ciri terbesar ke-t dari matriks ZZ dan λ1 λ2... λ t ), dan δ ij dalam Mattjik dan Sumertajaya, 2002). adalah simpangan dari pemodelan bilinier (Crossa Asumsi-asumsi pada model AMMI identik dengan asumsi pada model interaksi multiplikatif yang diungkapkan oleh Marasinghe (1980) dalam menyusun metode pengujian subhipotesis untuk melakukan identifikasi faktor baris (genotipe dalam model AMMI) yang memberikan kontribusi terhadap interaksi baris kolom (genotipe lingkungan dalam model AMMI). Oleh karena itu pengujian subhipotesis pada model AMMI dapat dilakukan dengan metode yang diusulkan oleh Marasinghe (1980). Hipotesis nol H : HΑ 0 lawan H : HΑ 0, 0 = 1 5

18 A α t dengan H merupakan matriks kontras dan berordo s a; = [ α α... ] pada model AMMI-t dapat diuji dengan statistik Λ pada persamaan (4) untuk k = t dengan kriteria yang sama dalam menolak hipotesis H 0. Nilai kriteria uji q φ dapat diperoleh dengan proses Bootstrap. 1 2 Perhitungan Jumlah Kuadrat AMMI Perhitungan pengaruh aditif genotipe dan lingkungan serta jumlah kuadrat dan kuadrat tengah pada model AMMI dilakukan seperti analisis ragam pada umumnya, tetapi berdasarkan pada data rataan per genotipe lingkungan. Pengaruh ganda genotipe dan lingkungan pada interaksi diduga dengan z ij yij. yi... y. j. + y... = sehingga jumlah kuadrat interaksi dapat diturunkan sebagai berikut : 2 JK ( GL) = r zij = r i. j = r teras( ZZ ) ( y y y + y ) ij. i... j.... Berdasarkan teorema pada aljabar matriks bahwa teras dari suatu matriks sama dengan jumlah seluruh akar ciri matriks tersebut, ( ZZ a ' a ) = 2 tr r = 1 k r (6) λ, maka jumlah kuadrat untuk pengaruh interaksi komponen ke-r adalah akar ciri ke-r pada pemodelan bilinier tersebut ( λ r ), jika analisis ragam dilakukan terhadap rataan per genotipe lingkungan. Jika analisis ragam dilakukan terhadap data sebenarnya maka jumlah kuadratnya adalah banyak ulangan kali akar ciri ke-r. Pengujian masing-masing komponen ini dilakukan dengan membandingkannya terhadap kuadrat tengah galat gabungan (Gauch dalam Mattjik, 2000). Penentuan Banyaknya Komponen AMMI Salah satu metode yang digunakan untuk menentukan banyaknya Komponen Utama Interaksi (KUI) yang dipertahankan dalam model AMMI (Gauch dalam Mattjik, 2000) yaitu Metode Keberhasilan Total (postdictive success). Metode ini berhubungan dengan kemampuan suatu model tereduksi untuk menduga data yang digunakan dalam membangun model tersebut. 6

19 Sedangkan banyaknya komponen AMMI sesuai dengan banyaknya KUI yang nyata pada uji-f analisis ragam. Untuk KUI yang tidak nyata digabungkan dengan sisaan. Metode ini diusulkan oleh Gollob yang selanjutnya direkomendasikan oleh Gauch (dalam Mattjik, 2000). Tabel analisis AMMI (Tabel 1) merupakan perluasan dari tabel penguraian jumlah kuadrat interaksi menjadi beberapa jumlah kuadrat KUI. Tabel 1 Tabel Analisis Ragam AMMI Sumber Keragaman Derajat Bebas Jumlah Kuadrat Genotipe a-1 JK(G) Lingkungan b-1 JK(L) Genotipe Lingkungan (a-1)(b-1) JK(G*L) KUI 1 a+b-1-2(1) JK(KUI 1 ) KUI 2 a+b-1-2(2) JK(KUI 2 ) KUIt a+b-1-2(t) JK(KUI t ) Sisaan Pengurangan JK(Sisaan) Galat gabungan b(a-1)(n-1) JK(Galat gabungan) Total abn-1 n adalah banyaknya ulangan 7

20 BAHAN DAN METODE Bahan Bahan yang akan digunakan dalam penelitian ini merupakan data sekunder hasil percobaan multilokasi tanaman jagung hibrida yang dilakukan oleh Bioseed Genetic International, INC bekerjasama dengan PT. Mitra Kreasidharma pada bulan Juli 2006 sampai dengan April Percobaan dilakukan di 16 lokasi (sebagai faktor lingkungan, b = 16) dengan a sebanyak 12 genotipe seperti tercantum pada Lampiran 1 dan Lampiran 2, serta di setiap kombinasi genotipe dan lokasi diulang sebanyak tiga kali (n = 3). Sedangkan data mentah penelitian ini telah terlampir di Jaya (2009). Peubah respon yang diamati adalah hasil panen (ton/ha) yang diukur dari hasil kering jagung dengan kadar air maksimum 15%, sedangkan karakteristik genotipe (peubah amatan lain) selain hasil yang juga digunakan dalam pengelompokan genotipe adalah a. Kadar air saat panen yaitu kadar air dari hasil panen jagung dalam persentase yang diukur saat panen. b. Umur berbunga betina yaitu jumlah hari dari tanam sampai 50% tanaman telah keluar rambut tongkol. c. Berat tongkol panen yaitu rataan berat tongkol pada saat panen dalam satuan ton/ha. Metode Analisis Pengujian subhipotesis memerlukan nilai statistik uji (Λ) dan nilai kriteria uji ( q φ ) untuk menarik kesimpulan hasil pengujian. Karena distribusi Λ belum diketahui sehingga didekati dengan distribusi empirik guna mengaproksimasi nilai kriteria uji. Nilai kriteria uji bagi sebaran Λ ditentukan dengan metode Bootstrap. Hasil metode ini akan baik jika n > 4 agar proses Bootstrap, resampling data dengan pengembalian menghasilkan variasi data yang memadai. Oleh karena itu harus terlebih dahulu dilakukan pengelompokan genotipe menggunakan salah satu cara di bawah ini 8

21 1. Acuan kemiripan karakteristik interaksi genotipe lingkungan : gunakan biplot melalui AMMI-2 terhadap data. 2. Acuan korelasi peubah respon dengan peubah amatan lainnya : gunakan analisis gerombol hierarki dengan jarak Mahalanobis. Tahapan yang dilakukan dalam pengujian subhipotesis adalah 1. Persiapan data untuk proses Bootstrap. Selama n < 4 lakukan pengelompokan genotipe dengan salah satu metode yang telah dijelaskan di atas. 2. Pemodelan peubah respon dengan model AMMI. Jika langkah (1) tidak dikerjakan, maka peubah respon pada model AMMI berupa data semula. Dalam hal lainnya peubah respon tersebut berupa hasil dari pengelompokan pada langkah (1). Misalkan hasilnya berupa model AMMI-t. 3. Menentukan statistik Λ untuk pengujian subhipotesis H : HΑ 0, dengan langkah berikut : Rumuskan matriks kontras H. Hitung matriks Z. 0 = Hitung t akar ciri terbesar dari matriks Z Z, katakan λ 1, λ 2,..., λ t. ' Hitung t akar ciri terbesar dari matriks ( ) λ 1 *, λ 2 *,, λ t *. Hitung statistik Λ. I H 4. Penentuan nilai kriteria uji q φ dengan metode Bootstrap. H ZZ, katakan Proses resampling dilakukan dengan pengembalian diulang sebanyak 1000, 2000, 3000, 4000, 5000, 6000, 7000, 8000, 9000 dan kali untuk melihat kekonsistenan Gambar 1. q φ. Proses resampling terlihat pada Menentukan nilai q φ yang konsisten untuk setiap pengujian, berdasarkan hasil dari proses resampling tersebut di atas dengan nilai φ = 5%. 9

22 Gambar 1 Proses Resampling untuk Aproksimasi Nilai Kriteria Uji 5. Pengujian subhipotesis pada langkah (3). Mengambil keputusan dengan kriteria berikut Tolak H : HΑ 0 0 = jika Λ < qφ dan P H ( Λ < qφ ) 5% 0 = Menarik kesimpulan berdasarkan hasil pengujian tersebut. Penelitian ini menggunakan perangkat lunak GenStat versi 8 untuk pemodelan AMMI, MINITAB versi 14 dan SAS versi 9.1 untuk pengelompokan genotipe dan R versi dipakai dalam proses perhitungan nilai statiatik Λ dari data percobaan serta proses aproksimasi nilai kriteria uji. 10

23 HASIL DAN PEMBAHASAN Pengelompokan Genotipe Data percobaan yang digunakan dalam penelitian ini mempunyai ulangan hanya tiga, oleh karena itu dilakukan pengelompokan genotipe guna memperbanyak ulangan agar variasi data yang tersedia dalam proses resampling memadai. Pengelompokan genotipe dilakukan dengan dua cara yaitu 1. Pengelompokan genotipe menggunakan biplot melalui AMMI-2. Berdasarkan hasil biplot pada Gambar 2, kedua belas genotipe dikelompokan menjadi lima kelompok yaitu a. Kelompok I (KI) : genotipe A (BIO 9900), F (BC 41399) dan K (P-12). b. Kelompok II (KII) yaitu genotipe B (BIO 1263). c. Kelompok III (KIII) yaitu genotipe C (BIO 1169) dan D (BC 42521). d. Kelompok IV (KIV) yaitu genotipe E (BC 42683), G ( BC 2630) dan H (C A). e. Kelompok V (KV) yaitu genotipe I (BIO 9899), J (BISI-2) dan L (C-7 ) G L13 L1 KUI-2 (18.9%) H L9 L8 L7 K L2 L15 L14 E L6 F L12 L4 L10 A I L16 L L5 J L D L11 C B KUI-1 (32.9%) Gambar 2 Biplot melalui AMMI 2 untuk Hasil Panen 11

24 2. Pengelompokan genotipe menggunakan analisis gerombol hierarki dengan jarak Mahalanobis, dengan acuan korelasi peubah respon hasil panen dengan peubah amatan lainnya, dalam hal ini adalah komponen hasil panen. Menurut Nur et al, (2007), komponen hasil panen yang dapat dijadikan indikator hasil panen adalah jumlah tanaman panen, umur berbunga betina, berat tongkol, dan kadar air panen. Berdasarkan nilai korelasi pada Tabel 2, komponen hasil panen yang nyata berkorelasi dengan hasil panen adalah peubah kadar air saat panen, umur berbunga betina dan berat tongkol. Oleh karena itu pengelompokan genotipe dilakukan menggunakan kriteria kemiripan kadar air saat panen, umur berbunga betina, berat tongkol dan hasil panen. Nilai Korelasi Tabel 2 Korelasi Komponen Hasil Penen dengan Hasil Panen Kadar Jumlah Jumlah Umur Berat Air Tanaman Tongkol Berbunga Tongkol Panen Panen Panen Betina P-value Berdasarkan dendrogram pada Gambar 3, keduabelas genotipe diklasifikasikan ke dalam empat kelompok yaitu : a. Kelompok 1 (K1) terdiri atas genotipe A (BIO 9900), C (BIO 1169) dan I (BIO9899). b. Kelompok 2 (K2) terdiri atas genotipe B (BIO 1263), J (BISI-2), K (P-12) dan L (C-7). c. Kelompok 3 (K3) terdiri atas genotipe G (BC 2630) dan H (C A). d. Kelompok 4 (K4) terdiri atas genotipe D (BC 42521), E (BC 42683) dan F (BC 41399). 12

25 Dendrogram Genotipe Similarity A C I B K L J Genotipe G H D E F Gambar 3 Dendrogram Genotipe Berdasarkan Karakteristik Kadar Air Panen, Umur Berbunga Betina, Berat Tongkol dan Hasil Panen Pengelompokan genotipe dengan biplot melalui AMMI-2 menghasilkan kelompok yang beranggotakan satu genotipe, berarti masih ada kelompok yang mempunyai ulangan tiga (n < 4). Oleh karena itu hasil pengelompokan yang digunakan dalam analisis selanjutnya adalah pengelompokan berdasarkan kriteria kemiripan kadar air saat panen, umur berbunga betina, berat tongkol dan hasil panen. Pengujian Pengaruh Interaksi Kelompok Genotipe Lingkungan Sebelum mengkaji pengaruh interaksi kelompok genotipe lingkungan. kita harus menguji pengaruh interaksi tersebut nyata atau tidak dengan melakukan analisis ragam dari respon hasil penen. Analisis ragam yang dilakukan harus memenuhi asumsi normalitas galat dan kehomogenan ragam. Oleh karena itu dilakukan transformasi akar kuadrat sesuai dengan hasil analisis Box Cox Transformation pada Lampiran 4 dengan nilai lamda optimal sebesar Setelah dilakukan transformasi akar kuadrat, asumsi normalitas galat dan kehomogenan ragam telah terpenuhi seperti tercantum pada Lampiran 5. Hasil analisis ragam dari respon hasil panen pada Tabel 3 menunjukkan bahwa pengaruh interaksi kelompok genotipe lingkungan nyata pada taraf 5% berarti 13

26 kelompok genotipe memberikan respon hasil panen yang tidak sama di lingkungan yang berbeda. Selain itu juga terlihat bahwa faktor kelompok genotipe dan lingkungan nyata pada taraf 5% (nilai-p yang kurang dari 5%) berarti ada perbedaan rata-rata hasil panen antara kelompok genotipe dan rata-rata hasil panen untuk setiap lingkungan. Hal tersebut menunjukkan bahwa jenis genotipe dan kondisi lingkungan tempat tumbuh sangat berpengaruh terhadap hasil panen jagung. Tabel 3 Analisis Ragam dari Hasil Panen Sumber Keragaman db Jumlah Kuadrat Kuadrat Tengah F Nilai-p Kelompok Genotipe Lingkungan Kelompok Genotipe*Lingkungan Sisaan Total Model AMMI (Additive Main Effect and Multiplicative Interactions) Pengaruh interaksi yang nyata pada percobaan ini biasanya dimodelkan dengan pola interaksi multiplikatif yaitu dengan model AMMI untuk mengetahui struktur interaksi kelompok genotipe lingkungan. Berdasarkan Tabel 4 di bawah ini, penguraian pengaruh interaksi kelompok genotipe lingkungan untuk respon hasil panen nyata sampai KUI-2 dengan 90.77% keragaman yang mampu dijelaskan sehingga model AMMI yang digunakan cukup sampai AMMI-2 dengan model berikut : yˆ ij 2 = ˆ + τˆ i + βˆ j + r= 1 µ λ α θ + δ + ε r ir jr ij ij (7) 14

27 Tabel 4 Persentase Keragaman Interaksi Kelompok Genotipe Lingkungan Keragaman Interaksi Komponen Nilai Daya Hasil AMMI Singular Persentase Persentase Signifikansi (%) Kumulatif (%) KUI * KUI * KUI ** *) nyata pada α = 5%, **) tidak nyata pada α = 5%, KUI adalah Komponen Utama Interaksi Pengujian Subhipotesis pada Model AMMI 2 Hasil analisis ragam di atas menyatakan bahwa pengaruh interaksi kelompok genotipe lingkungan nyata dan pola interaksinya signifikan pada model AMMI-2. Karena pengaruh interaksi kelompok genotipe lingkungan nyata maka untuk mengetahui kelompok genotipe yang berkontribusi terhadap pengaruh interaksi tersebut dilakukan pengujian subhipotesis antar kelompok genotipe, dengan matriks kontras H yang diuji tertera pada Tabel 5. Tabel 5 Matriks Kontras Pengujian Subhipotesis Kelompok Genotipe yang Dibandingkan Matriks Kontras (H) K1K2 [ ] K1K3 [ ] K1K4 [ ] K2K3 [ ] K2K4 [ ] K3K4 [ ] K1K2K3 [ ] K1K2K4 [ ] K1K3K4 [ ] K2K3K4 [ ] 15

28 Pengujian tersebut memerlukan nilai kriteria uji untuk mengetahui nilai batasan tolak H 0 dan menarik kesimpulan. Karena nilai kriteria uji tersebut belum diketahui maka salah satu cara guna mengetahui nilai tersebut adalah dengan mengaproksimasi. Proses aproksimasi yang dilakukan menggunakan metode Bootstrap yaitu me-resampling data dengan pengembalian. Nilai kriteria uji yang dihasilkan pada proses resampling yang diulangan sebanyak c kali merupakan nilai statistik Λ yang ke- (5% c) dari hasil resampling yang telah diurutkan. Berarti untuk proses resampling yang diulang sebanyak 1000 kali diperoleh 1000 nilai Λ dan nilai kriteria ujinya adalah nilai Λ ke-50 dari 1000 nilai Λ yang telah diurutkan. Sedangkan untuk proses resampling yang diulang sebanyak 2000, 3000, 4000, 5000, 6000, 7000, 8000, 9000 dan kali, nilai kriteria ujinya secara berurutan adalah nilai Λ yang ke-100, ke-150, ke-200, ke-250, ke-300, ke- 350, ke-400, ke-450, dan ke-500. Tabel 6 Hasil Aproksimasi Nilai Kriteria Uji Pengujian Nilai Kriteria Uji pada Proses Resampling yang Diulang Sebanyak K1K K1K K1K K2K K2K K3K K1K2K K1K2K K1K3K K2K3K Penentuan nilai kriteria uji yang digunakan dalam pengambilan keputusan adalah dengan memilih nilai kriteria uji hasil aproksimasi yang nilainya telah konsisten (sama) pada proses resampling yang diulang berapapun. Kekonsistenan nilai kriteria uji terlihat pada Tabel 6 dan Gambar 4, dimana nilai kriteria uji 16

29 untuk pengujian K1K3, K2K3, K1K2K3, K1K2K4, K1K3K4 dan K2K3K4 telah konsisten pada proses resampling yang diulang 1000 kali. Sedangkan nilai kriteria uji pada pengujian K1K2 konsisten pada proses resampling yang diulang 5000 kali, kemudian untuk pengujian K1K4, K2K4, dan K3K4 nilai kriteria ujinya konsisten pada proses resampling yang diulang 4000 kali K1K2 K1K3 K1K4 K2K3 K2K4 K3K4 K1K2K3 K1K2K4 K1K3K4 K2K3K4 Gambar 4 Kekonsistenan Nilai Kriteria Uji Setelah mendapatkan nilai kriteria uji di setiap pengujian tersebut. pengujian subhipotesis yang dilakukan antar kelompok genotipe telah bisa diambil keputusan apakah terima atau tolak H o dengan cara membandingkan nilai statistik uji (Λ) terhadap nilai kriteria uji yang diperoleh dari proses aproksimasi untuk setiap pengujian, seperti tercantum pada Tabel 7. Pengujian K1K2, K1K3, K1K4, K1K2K3, K1K2K4 dan K1K3K4 mempunyai nilai Λ yang lebih kecil daripada nilai kriteria ujinya sehingga tolak H o, sedangkan nilai Λ pengujian K2K3, K2K4, K3K4 dan K2K3K4 lebih besar daripada nilai kriteria ujinya sehingga terima H o pada taraf nyata 5%. Berdasarkan hasil pengujian ini berarti : a. Hanya K1 saja yang nyata berkontribusi terhadap interaksi kelompok genotipe lingkungan berarti genotipe-genotipe yang termasuk dalam kelompok 17

30 genotipe 1 yaitu genotipe A (BIO 9900), C (BIO 1169) dan I (BIO9899) berinteraksi dengan lingkungan sehingga relatif kurang mampu beradaptasi di semua lingkungan yang dicobakan. b. K2, K3 dan K4 tidak nyata memberikan kontribusi terhadap interaksi kelompok genotipe lingkungan atau hanya menyumbangkan pengaruh aditif (utama) saja sehingga genotipe-genotipe yang termasuk dalam ketiga kelompok tersebut yaitu genotipe B (BIO 1263), J (BISI-2), K (P-12), L (C-7), G (BC 2630), H (C A), D (BC 42521), E (BC 42683) dan F (BC 41399) tidak berinteraksi dengan lingkungan dan relatif bisa ditanam dan beradaptasi dengan baik di semua lingkungan yang dicobakan. Tabel 7 Hasil Pengujian Subhipotesis pada AMMI 2 Pengujian Nilai Λ AMMI 2 Nilai kriteria uji Keputusan K1K < 0.73 Tolak H0 K1K < 0.49 Tolak H0 K1K < 0.48 Tolak H0 K2K > 0.44 Terima H0 K2K > 0.37 Terima H0 K3K > 0.43 Terima H0 K1K2K < 0.65 Tolak H0 K1K2K < 0.53 Tolak H0 K1K3K < 0.53 Tolak H0 K2K3K > 0.39 Terima H0 Pengujian subhipotesis pada model AMMI tersebut menghasilkan bahwa hanya kelompok genotipe pertama saja yang berbeda, atau terbentuk dua kelompok baru yaitu a. Kelompok baru pertama (KB1) yang terdiri atas genotipe pada K1, yaitu genotipe A (BIO 9900), C (BIO 1169) dan I (BIO9899). b. Kelompok baru kedua (KB2) yang terdiri atas genotipe pada K2, K3 dan K4, yaitu genotipe B (BIO 1263), J (BISI-2), K (P-12), L (C-7), G (BC 2630), H (C A), D (BC 42521), E (BC 42683) dan F (BC 41399). 18

31 Sedangkan hasil pengelompokan genotipe dengan menggunakan analisis gerombol (terlihat pada Gambar 3), jika dipotong menjadi dua kelompok berarti kelompok genotipe ke-4 (K4) saja yang berbeda, dimana kedua kelompok tersebut beranggotakan sebagai berikut a. Kelompok satu (KS), terdiri atas genotipe pada K1, K2 dan K3, yaitu genotipe A (BIO 9900), C (BIO 1169), I (BIO9899), B (BIO 1263), J (BISI-2), K (P- 12), L (C-7), G (BC 2630) dan H (C A). b. Kelompok dua (KD), terdiri atas genotipe pada K4, yaitu genotipe D (BC 42521), E (BC 42683) dan F (BC Berdasarkan hasil pengujian subhipotesis dan pengelompokan dengan analisis gerombol, terjadi perbedaan hasil pengelompokan genotipe. Salah satu penyebab perbedaan tersebut adalah pengelompokan genotipe dengan analisis gerombol mengacu pada peubah respon hasil panen dan peubah komponen hasil panen yang berkorelasi dengannya, sedangkan pada pengujian subhipotesis yang diuji hanya peubah respon hasil panen saja. Berarti hasil pengujian subhipotesis sensitif terhadap hasil pengelompokan. Oleh karena itu, jika pengelompokan genotipe dengan biplot melalui AMMI-2 menghasilkan kelompok yang beranggotakan minimal dua genotipe maka sebaiknya pengelompokan genotipe sebelum melakukan pengujian subhipotesis, dilakukan dengan biplot melalui AMMI-2. 19

32 SIMPULAN DAN SARAN Simpulan 1. Metode subhipotesis Marasinghe dapat digunakan untuk menguji pengaruh genotipe terhadap interaksi genotipe lingkungan pada model AMMI. Matriks kontras H pada hipotesis nol H 0 merepresentasikan tujuan pengujian tersebut. 2. Pengujian subhipotesis terhadap data percobaan jagung menunjukkan bahwa genotipe yang memberikan kontribusi terhadap interaksi genotipe lingkungan adalah genotipe A (BIO 9900), C (BIO 1169) dan I (BIO9899). Saran Perlu dicari metode lain dalam aproksimasi sebaran Λ, yang tidak mengharuskan melakukan pengelompokan genotipe karena hasil pengujian subhipotesis sensitif terhadap hasil pengelompokan. 20

33 DAFTAR PUSTAKA Gauch, J.R Full and Reduced Models for Yield Trials. Theoritical and Applied Genetics. 80: Hussein, M.A., Bjornstad, and Aastveit SASG ESTAB: A SAS program for computing genotype environment stability statistics. Agron. J. 92: Jaya, I.G.D.N.M Analisis Interaksi Genotipe Lingkungan Menggunakan Model Persamaan Struktural [tesis]. Bogor : Sekolah Pascasarjana, Institut Pertanian Bogor. Marasinghe, M.G Testing Subhypothesis In The Multiplicative Interaction Model [dissertation]. Kansas : Department of Statistics. Kansas State University. Mattjik, A.A Pendugaan Data Hilang dengan Algoritma EM-AMMI pada Percobaan Lokasi Ganda. Forum Statistika dan Komputasi. Vol. 5 No. 1. Mattjik, A.A., dan Sumertajaya, I.M Perancangan Percobaan dengan Aplikasi SAS dan Minitab. Bogor : IPB Press. Nur, A., Isnaeni, M., Iriany, R.N., dan Takdir, A Stabilitas Komponen Hasil sebagai Indikator Stabilitas Hasil Genotipe Jagung Hibrida. Penelitian Pertanian Tanaman Pangan Vol. 26 No. 2 :

34 LAMPIRAN

35 Lampiran 1 Deskripsi Lokasi Penelitian Propinsi Kabupaten Kecamatan Desa Musim 2006/2007 Kemarau Hujan Jawa Tengah Boyolali Banyodono Ketaon L1 Sulawesi Selatan Barru Barru Kemiri L2 Sulawesi Moncongloe Maros Moncongloe Selatan Bulu L3 Lampung Metro Metro Timur Yoso Mulyo L14 L4 Lampung Central Lampung Ratu Nuban Sido waras L5 Jawa Timur Jombang Kedung Mulyo Brodot L6 Jawa Timur Malang Tumpang Wringinsongo L7 Sumatera Deli Utara Serdang Namo Rambe Kuta Tengah L12 L8 Sumatera Serdang Cempedak Sei Rampah Utara Bedagai Lobang L9 Jawa Barat Kota Bogor Bogor Barat Pabuaran L10 Jawa Tengah Klaten Gemblengan Kalikotes L11 Sumatera Utara Langkat Binjai Sambirejo L13 Jawa Timur Jember Ambulu Pontang L15 Jawa Timur Malang Tajinan Jambu Timur L16 22

36 Lampiran 2 Kode genotipe Kode Genotipe Asal A BIO 9900 Bioseed B BIO 1263 Bioseed C BIO 1169 Bioseed D BC Bioseed E BC Bioseed F BC Bioseed G BC 2630 Bioseed H C A Bioseed I BIO 9899 Bioseed J BISI 2 PT. BISI K P 12 PT. Dupont L C 7 PT. Dupont 23

37 Lampiran 3 Persentase Keragaman Interaksi Genotipe Lokasi Keragaman Interaksi Komponen Nilai Daya Hasil AMMI Singular Persentase Persentase Signifikansi (%) Kumulatif (%) KUI * KUI * KUI * KUI * KUI * KUI ** KUI ** KUI ** KUI ** KUI ** KUI ** KUI ** *) nyata pada α = 5%, **) tidak nyata pada α = 5%, KUI adalah Komponen Utama Interaksi. 24

38 Lampiran 4 Analisis Box Cox Transformation Box-Cox Plot of HASIL 12 Lower CL Upper CL Lambda (using 95.0% confidence) 10 Estimate Lower CL 0.34 Upper CL 0.74 Rounded Value 0.50 StDev Limit Lambda Analisis Box Cox Transformation untuk hasil panen diperoleh nilai lamda optimum adalah 0.50 sehingga data hasil panen ditransformasi akar kuadrat untuk memenuhi asumsi normalitas galat dan kehomogenan ragam pada analisis ragam. 25

39 Lampiran 5 Uji Asumsi dalam Normalitas Galat dan Kehomogenan Ragam pada Analisis Ragam untuk Data Hasil Panen Test for Equal Variances for akar hasil 1 S I _ A K O L % Bonferroni Confidence Intervals for StDevs Bartlett's Test Test Statistic P-Value Levene's Test Test Statistic 1.15 P-Value 0.237

40 Lampiran 6 Program R untuk pengujian subhipotesis pada model AMMI 2 { awal<-data_interaksi baru<-matrix(awal,4,16) data<-t(baru) rataancol <- NULL for (i in 1:4) { rataancol <- c(rataancol.mean(data[,i])) } colom <- matrix(rataancol,16,4,t) rataanrow <- NULL for (i in 1:16) { rataanrow <- c(rataanrow.mean(data[i,])) } row <- matrix(rataanrow,16,4) rataanrowcol <- mean(data) zt<-data-colom-row+rataanrowcol z<-t(zt) ztz<-zt%*%z aciri1<-eigen(ztz) ac1<-aciri1[[1]] tr1<-sum(ac1) ac11<-sum(ac1[1]) ac12<-sum(ac1[1:2]) iden4<-diag(rep(1,4)) kontrask1k2 <- c( 1, -1, 0, 0 ) hk1k2<- matrix(kontrask1k2,1,4) hmink1k2<-c(0.5,-0.5,0,0) hinvk1k2<- matrix(hmink1k2,4,1) 27

41 hinvhk1k2<-hinvk1k2%*%hk1k2 selisihk1k2<-iden4-hinvhk1k2 ztselisihk1k2<-zt%*%selisihk1k2 ztselisihzk1k2<-ztselisihk1k2%*%z acirik1k2<-eigen(ztselisihzk1k2) ack1k2<-acirik1k2[[1]] trk1k2<-sum(ack1k2) ac1k1k2<-sum(ack1k2[1]) ac2k1k2<-sum(ack1k2[1:2]) lamda1k1k2<-(tr1-ac11)/(tr1-ac1k1k2) lamdak1k2<-(tr1-ac12)/(tr1-ac2k1k2) kontrask1k3 <- c( 1, 0, -1, 0 ) hk1k3<- matrix(kontrask1k3,1,4) hmink1k3<-c(0.5,0,-0.5, 0) hinvk1k3<- matrix(hmink1k3,4,1) hinvhk1k3<-hinvk1k3%*%hk1k3 selisihk1k3<-iden4-hinvhk1k3 ztselisihk1k3<-zt%*%selisihk1k3 ztselisihzk1k3<-ztselisihk1k3%*%z acirik1k3<-eigen(ztselisihzk1k3) ack1k3<-acirik1k3[[1]] trk1k3<-sum(ack1k3) ac1k1k3<-sum(ack1k3[1]) ac2k1k3<-sum(ack1k3[1:2]) lamda1k1k3<-(tr1-ac11)/(tr1-ac1k1k3) lamdak1k3<-(tr1-ac12)/(tr1-ac2k1k3) kontrask1k4 <- c( 1, 0,0, -1 ) hk1k4<- matrix(kontrask1k4,1,4) hmink1k4<-c(0.5,0,0,-0.5) hinvk1k4<- matrix(hmink1k4,4,1) 28

42 hinvhk1k4<-hinvk1k4%*%hk1k4 selisihk1k4<-iden4-hinvhk1k4 ztselisihk1k4<-zt%*%selisihk1k4 ztselisihzk1k4<-ztselisihk1k4%*%z acirik1k4<-eigen(ztselisihzk1k4) ack1k4<-acirik1k4[[1]] trk1k4<-sum(ack1k4) ac1k1k4<-sum(ack1k4[1]) ac2k1k4<-sum(ack1k4[1:2]) lamda1k1k4<-(tr1-ac11)/(tr1-ac1k1k4) lamdak1k4<-(tr1-ac12)/(tr1-ac2k1k4) kontrask2k3 <- c( 0, 1, -1, 0 ) hk2k3<- matrix(kontrask2k3,1,4) hmink2k3<-c(0, 0.5,-0.5, 0) hinvk2k3<- matrix(hmink2k3,4,1) hinvhk2k3<-hinvk2k3%*%hk2k3 selisihk2k3<-iden4-hinvhk2k3 ztselisihk2k3<-zt%*%selisihk2k3 ztselisihzk2k3<-ztselisihk2k3%*%z acirik2k3<-eigen(ztselisihzk2k3) ack2k3<-acirik2k3[[1]] trk2k3<-sum(ack2k3) ac1k2k3<-sum(ack2k3[1]) lamda1k2k3<-(tr1-ac11)/(tr1-ac1k2k3) ac2k2k3<-sum(ack2k3[1:2]) lamdak2k3<-(tr1-ac12)/(tr1-ac2k2k3) kontrask2k4 <- c( 0, 1, 0, -1 ) hk2k4<- matrix(kontrask2k4.1.4) hmink2k4<-c(0, 0.5, 0, -0.5) hinvk2k4<- matrix(hmink2k4,4,1) 29

43 hinvhk2k4<-hinvk2k4%*%hk2k4 selisihk2k4<-iden4-hinvhk2k4 ztselisihk2k4<-zt%*%selisihk2k4 ztselisihzk2k4<-ztselisihk2k4%*%z acirik2k4<-eigen(ztselisihzk2k4) ack2k4<-acirik2k4[[1]] trk2k4<-sum(ack2k4) ac1k2k4<-sum(ack2k4[1]) lamda1k2k4<-(tr1-ac11)/(tr1-ac1k2k4) ac2k2k4<-sum(ack2k4[1:2]) lamdak2k4<-(tr1-ac12)/(tr1-ac2k2k4) kontrask3k4 <- c( 0, 0, 1, -1 ) hk3k4<- matrix(kontrask3k4,1,4) hmink3k4<-c(0, 0, 0.5, -0.5) hinvk3k4<- matrix(hmink3k4,4,1) hinvhk3k4<-hinvk3k4%*%hk3k4 selisihk3k4<-iden4-hinvhk3k4 ztselisihk3k4<-zt%*%selisihk3k4 ztselisihzk3k4<-ztselisihk3k4%*%z acirik3k4<-eigen(ztselisihzk3k4) ack3k4<-acirik3k4[[1]] trk3k4<-sum(ack3k4) ac1k3k4<-sum(ack3k4[1]) lamda1k3k4<-(tr1-ac11)/(tr1-ac1k3k4) ac2k3k4<-sum(ack3k4[1:2]) lamdak3k4<-(tr1-ac12)/(tr1-ac2k3k4) k1k2k3<-matriksh - H1 hinvhk1k2k3<- matrix(k1k2k3,4,4) selisihk1k2k3<-iden4-hinvhk1k2k3 ztselisihk1k2k3<-zt%*%selisihk1k2k3 30

44 ztselisihzk1k2k3<-ztselisihk1k2k3%*%z acirik1k2k3<-eigen(ztselisihzk1k2k3) ack1k2k3<-acirik1k2k3[[1]] trk1k2k3<-sum(ack1k2k3) ac1k1k2k3<-sum(ack1k2k3[1]) lamda1k1k2k3<-(tr1-ac11)/(tr1-ac1k1k2k3) ac2k1k2k3<-sum(ack1k2k3[1:2]) lamdak1k2k3<-(tr1-ac12)/(tr1-ac2k1k2k3) k1k2k4<- matriksh - H2 hinvhk1k2k4<- matrix(k1k2k4,4,4) selisihk1k2k4<-iden4-hinvhk1k2k4 ztselisihk1k2k4<-zt%*%selisihk1k2k4 ztselisihzk1k2k4<-ztselisihk1k2k4%*%z acirik1k2k4<-eigen(ztselisihzk1k2k4) ack1k2k4<-acirik1k2k4[[1]] trk1k2k4<-sum(ack1k2k4) ac1k1k2k4<-sum(ack1k2k4[1]) lamda1k1k2k4<-(tr1-ac11)/(tr1-ac1k1k2k4) ac2k1k2k4<-sum(ack1k2k4[1:2]) lamdak1k2k4<-(tr1-ac12)/(tr1-ac2k1k2k4) k1k3k4<- matriksh - H3 hinvhk1k3k4<- matrix(k1k3k4,4,4) selisihk1k3k4<-iden4-hinvhk1k3k4 ztselisihk1k3k4<-zt%*%selisihk1k3k4 ztselisihzk1k3k4<-ztselisihk1k3k4%*%z acirik1k3k4<-eigen(ztselisihzk1k3k4) ack1k3k4<-acirik1k3k4[[1]] trk1k3k4<-sum(ack1k3k4) ac1k1k3k4<-sum(ack1k3k4[1]) lamda1k1k3k4<-(tr1-ac11)/(tr1-ac1k1k3k4) 31

45 ac2k1k3k4<-sum(ack1k3k4[1:2]) lamdak1k3k4<-(tr1-ac12)/(tr1-ac2k1k3k4) k2k3k4<- matriksh - H4 hinvhk2k3k4<- matrix(k2k3k4,4,4) selisihk2k3k4<-iden4-hinvhk2k3k4 ztselisihk2k3k4<-zt%*%selisihk2k3k4 ztselisihzk2k3k4<-ztselisihk2k3k4%*%z acirik2k3k4<-eigen(ztselisihzk2k3k4) ack2k3k4<-acirik2k3k4[[1]] trk2k3k4<-sum(ack2k3k4) ac1k2k3k4<-sum(ack2k3k4[1]) lamda1k2k3k4<-(tr1-ac11)/(tr1-ac1k2k3k4) ac2k2k3k4<-sum(ack2k3k4[1:2]) lamdak2k3k4<-(tr1-ac12)/(tr1-ac2k2k3k4) } 32