Materi Nilai Limit Tak Hingga dan Limit di Tak Hingga Oleh: Anang Wibowo, S.Pd MatikZone s Series Email : matikzone@gmail.com Blog : HP : 085 897 897 Hak Cipta Dilindungi Undang-undang. Dilarang mengkutip sebagian atau seluruh isi materi ini tanpa mendo akan kebaikan untuk kami dan umat islam seluruhnya. Dan jangan lupa mencantumkan sumbernya ya Ponorogo, Februari 015
Nilai Limit Tak Hingga dan Limit di Tak Hingga Anang Wibowo, S.Pd Dari buku-buku pelajaran yang ada, ternyata ada beberapa bahasan yang masih belum menemui titik temu/kepastian alias masih memberikan kesimpulan yang berbeda-beda. Pertama, mengenai menentukan nilai limit yang menghasilkan c/0 apakah kesimpulan akhirnya tak hingga Kedua, untuk limit tak hingga bentuk pecahan dengan pangkat tertinggi pada pembilang apakah juga bernilai tak hingga Berikut ini sedikit apa yang kami ketahui, semoga dapat menambah wawasan dan bahan diskusi untuk kita semua. Telah kita ketahui bersama bahwa: Definisi limit: lim f ( ) L (ada) lim f ( ) a + a lim f ( ) L (limit kiri limit kanan) a A. Menentukan Nilai lim f ( ) a Dari beberapa buku pelajaran yang pernah kami buka, banyak yang menyimpulkan bahwa, dengan cara SUBTITUSI akan diperoleh: k, f( a) k...1 k lim f( ), f( a)... a 0 0 BTT, f( a)... 0 BTT Bentuk Tak Tentu, maka harus diproses lebih lanjut dengan cara: a). Pemfaktoran atau b). Perkalian dengan bentuk sekawan. Yang menjadi pertanyaan adalah persamaan kedua, benarkah bahwa: lim f( ), jika f ( a) a k 0
Perhatikan soal: Soal Pertama: o Lihat grafiknya! y f()(+)/(-) 4-7 -6-5 -4 - - -1 1 4 5 6 7 8 9 11 1 - -4 Dari grafik diketahui bahwa nilai limit kiri dan limit kanan tidak sama untuk mendekati, sehingga sesuai definisi, limit f() untuk mendekati adalah TIDAK ADA. Soal Kedua: Lihat grafiknya! y f()(^--)/(^+5+6) 8 6 4-9 -8-7 -6-5 -4 - - -1 1 4 5 6 7 8 9 - Dari grafik diketahui bahwa nilai limit kiri dan limit kanan adalah sama untuk mendekati, sehingga sesuai definisi, limit f() untuk mendekati adalah Tak Hingga.
Soal Ketiga: lim + 1 +. 1 14 9 9 0 apakah nilai lilmitnya tak hingga Perhatikan grafik!, demikian juga, lim + 1 9 ( ) + ( ) 1 ( ) 9 0. 5 4-7 -6-5 -4 - - -1 1 4 5 1-1 - - Limit kiri Limit kanan -4 Jadi, nilai + 1 lim 9 TIDAK ADA, demikian juga untuk + 1 lim 9 Soal Keempat: o Lihat grafiknya! 14 1 8 6 4-7 -6-5 -4 - - -1 1 4 5 6 7 8 9 11 1 Dari grafik diketahui bahwa nilai limit kiri dan limit kanan adalah sama untuk mendekati 1, sehingga sesuai definisi, limit f() untuk mendekati 1 adalah Tak Hingga.
Soal kelima: + + 8 lim + 4 4 0 Perhatikan grafik! Dari grafik di atas terlihat bahwa nilai limit kiri dan limit kanan adalah sama untuk mendekati, sehingga sesuai definisi, limit f() untuk mendekati adalah Min Tak Hingga. Apabila kita tidak dapat membuat grafiknya, baik dengan komputer maupun manual, minimal kita bisa membuat tabel nilai-nilai fungsi di sekitar a, kemudian menganalisanya apakah jika mendekati a dari kiri dan dari kanan menuju nilai yang sama atau tidak. Misalnya soal pertama di atas: + lim... Perhatikan tabel berikut! 0 0, 0,5 0,8 1 1, 1,5 1,8,,5,8,,5 F() -1,5-1,78 -, -,17-4 -5,5-9 -4 6 11 7,5 6 5,17 4, Turun Naik Terlihat bahwa jika didekati dari kiri maka nilai F () semakin mengecil, dan didekati dari kanan maka nilai F () semakin membesar. Artinya limit kiri TIDAK SAMA dengan limit kanan. Jadi, F () tidak mempunyai limit untuk mendekati.
Kesimpulannya adalah, mungkin Tak Hingga, Min Tak Hingga atau mungkin juga Tak Ada, diperlukan analisa grafik untuk menentukannya. B. Menentukan Nilai lim f ( ) Untuk menyelesaikan lim f ( ), dimana n n 1 + ( ) a b m n 1 p + q f adalah dengan membaginya dengan variable pangkat tertinggi dari penyebut (karena jika disubtitusi diperoleh bentuk tak tentu ). Dari penyelesaian soal-soal yang ada, diperoleh kesimpulan: 0, jk n < m n n 1 + Jika ( ) n a b a a f m n 1 p + q maka lim f ( ) lim m, jk n m p p, jk n > m n adalah pangkat tertinggi dari pembilang dan m adalah pangkat tertinggi dari penyebut. Pertanyaannya adalah, apakah benar bahwa jika n > m, maka nilai limitnya adalah TAK HINGGA Perhatikan Soal Berikut: Soal Pertama: o
Perhatikan grafik! 0 80 60 40 0-80 -60-40 -0 0 40 60 80 0 140 160 180 00-0 -40-60 Dari grafik, benar bahwa nilai limit lim f ( ) adalah Tak Hingga. Soal Kedua: o Perhatikan grafik! y f()(-^+)/(-) 0 80 60 40 0-60 -40-0 0 40 60 80 0 140 160 180 00 0-0 -40-60 -80-0 - Ternyata ketika mendekati Tak Hingga, nilai y mendekati Min Tak Hingga. Jadi lim f ( ) adalah MIN TAK HINGGA. Soal Ketiga: o Perhatikan grafik!
y f()(+-4^)/(^-+6) 8 6 4-6 -5-4 - - -1 1 4 5 6 7 8 9 11 1 1 - -4-6 -8 - Ternyata ketika mendekati Tak Hingga, nilai y mendekati Min Tak Hingga. Jadi lim f ( ) adalah MIN TAK HINGGA. Soal Keempat: Telitilah kebenarannya dengan menggunakan grafik! a. c. b. d. Perhatikan Grafik! y f()(^+)/(-^) - 0 0 40 50 60 70 80 90 - -0-0 -40-50 -60 Grafik Soal 4a. y f()(-^+)/(+^) - 0 0 40 50 60 70 80 90 - -0-0 -40-50 Grafik Soal 4b. -60
60 50 40 0 0 Grafik Soal 4c. f()(^+)/(+^) - 0 0 40 50 60 70 80 90-60 50 40 0 0 Grafik Soal 4d. - 0 0 40 50 60 70 80 90 - f()(-^+)/(-^) Membagi dengan Variabel Pangkat Tertinggi Variabel Pangkat Tertinggi Soal 1 + + lim lim + + + 1 lim 1 + lim+ lim 1 lim 1 + lim + 0 0+ 0 0 Variabel Pangkat Tertinggi Penyebut + lim lim + + + 1 lim 1 + lim + lim 1 lim 1 + lim + 0 0+ +
Soal lim + 1 lim 1 lim+ lim 1 lim 1 lim + 0 0 0 0 + + lim + + lim lim + 1 lim 1 lim + lim 1 lim 1 lim + 0 atau 0 + lim lim lim Sepertinya cara dengan pembagi variabel pangkat tertinggi dari penyebut lebih aman untuk kita gunakan. Hati-hati bentuk c/0 atau k/0 bisa disimpulkan tak hingga atau min tak hingga HANYA untuk limit di tak hingga, tidak untuk kasus A. Apakah yang dapat kita simpulkan Kesimpulannya adalah: Jika n n 1 + ( ) a b f m n 1 p + q maka lim f ( ) lim a p n m dimana n adalah pangkat tertinggi dari pembilang dan m adalah pangkat tertinggi dari penyebut. Ini adalah akhir dari rasa penasaran kami, berdasarkan pendekatan grafiknya, ternyata ada beberapa kesimpulan yang berbeda dari apa yang selama ini kita ketahui dan kita ajarkan kepada siswa di kelas. Ini merupakan sebuah wacana dari kami, silakan Anda mengkoreksi atau menambahnya demi kebenaran yang sesungguhnya mengenai masalah di atas. Kami tunggu di matikzone@gmail.com www.matikzone.tk www.etung.wordpress.com Semoga ada manfaatnya. Ponorogo, Ahad 1 Maret 01 Pukul 09. ditambah dan diedit pada Sabtu 1 Pebruari 015
Beberapa kesimpulannya (cara cepat) dalam menentukan nilai limit tak hingga suatu fungsi adalah: 1). Jika n n 1 + ( ) a b f m n 1 p + q n a maka lim f ( ) lim m p dimana n adalah pangkat tertinggi dari pembilang dan m adalah pangkat tertinggi dari penyebut. ). Jika f ( ) a + b+ c p + q+ r maka lim f ( ), jk a > p b q, jk a p a, jk a < p ). Jika f ( ) a+ b p + q maka lim f ( ), jk a > p 0, jk a p, jk a < p