JURNAL MATEMATIKA DAN KOMPUTER Vol. 7. No. 3, 8-7, Desemer 4, ISSN : 4-858 PEMODELAN STATISTIKA DENGAN TRANSFORMASI BO CO Dw Ispryat Staf Pegajar Jurusa Matematka Fakultas MIPA UNDIP Semarag Astrak Aalss regres adalah salah satu tekk statstka yag dguaka utuk meetuka model huuga satu varael respo dega satu atau leh varael pejelas.dalam melakuka aalssya harus dpeuh ahwa ~ NID,, jka asums terseut tdak dpeuh maka dapat dlakuka trasfomas terhadap yag dpagkatka dega parameter,sehgga mejad. Pedugaa parameter dapat dcar dega megguaka Metode Kemugka Maksmum Maxmum Lkehood Method. dplh sedemka, sehgga ddapat jumlah kuadrat ssaa yag palg mmum. Kata Kuc : Trasformas Box Cox, Maxmum Lkelhood Method. PENDAHULUAN Aalss Regres merupaka salah satu caag statstka yag palg ayak dpelajar oleh lmuwa, khususya para peelt, ak lmuwa dag sosal maupu eksakta. Melalu aalss regres model huuga atar varael dapat dketahu. Varael dalam aalss regres dkeal dega ama varael respo da da varael pejelas. Dalam melakuka aalss regres ada eerapa asums yag harus dpeuh atara la galat eas satu sama la, mempuya la tegah ol, ragam kota, da megkut seara ormal, yag leh umum dtuls ~ NID,.Apala keormala data, kehomoga ragam da lertas tak dpeuh, maka dapat dlakuka trasformas terhadap varael respo. Salah satu cara utuk megats kehomoga ragam dega megguaka trasformas Box Cox, yatu trasformas pagkat erparameter tuggal, katakalah terhadap, yag mejad. Pedugaa parameter dapat dcar dega megguaka 8
Pemodela Statstka dega Trasformas Box Cox Dw Ispryat Metode Kemugka Maksmum axmum Lkehood Methods. dplh sedemka, sehgga ddapat jumlah kuadrat ssaa yag palg mmum. Dalam peulsa, daml cotoh data tetag tgkat plasma pada polyame yag daml dar sampel 5 aak sehat yag erumur aru lahr, th, th 3 th da 4 th, peelta dlakuka utuk megetahu model huuga atara umur da tgkat plasma, da aalssya datu dega megguaka sofware SPSS vers.. METODE KEMUNGKINAN MAKSIMUM Metode kemugka maksmum merupaka metode utuk memperoleh estmator.msalka varael radom dega dstrus proaltas fx,, dmaa parameter tdak dketahu, maka fugs kemugka maksmumya : L// / = f, x erkut : Pada model regres, metode kemugka maksmum adalah seaga Padag model regres dalam matrks : = + ; ~ NID, Fxed & kosta, sehgga Var = Dalam ragres ler sederhaa, fugs kemugka maksmum dapat dtulska : L, x,,, exp{ } = exp{ } Utuk meetuka dugaa dar da da maka persamaa eqvalet : L, yatu, da,,,, l l } ˆ, 9
JURNAL MATEMATIKA DAN KOMPUTER Vol. 7. No. 3, 8-7, Desemer 4, ISSN : 4-858 l L => L l, da 3 L 4 ˆ ˆ l 4 Peyelesaa persamaa, 3 da 4 ddapat : = = ˆ = o da adalah tersep da slope, ˆ adalah stadard error dar regres. Secara aalog pada model = + L l l ' L l L 3. TRANSFORMASI BO CO Trasformas Box Cox adalah trasformas pagkat pada respo. Box Cox mempertmagka kelas trasformas erparameter tuggal, yatu yag dpagkatka pada varael respo, sehgga trasformasya mejad, adalah parameter yag perlu dduga. Tael dawah adalah eerapa la dega trasformasya.
Pemodela Statstka dega Trasformas Box Cox Dw Ispryat Tael Nla da Tarasformasya Trasformas.5 log / l -.5 -. / Prosedure Box Cox adalah secara smulta, meduga dalam model : W= ; ~ NID, W= w,w,.., w T Meurut Drapers S, Harry S, 99 W ddefska : W 5 /, l, Pedugaa parameter dapat dcar dega megguaka metode kemugka maksmum. Dar model W=, maka L,, = = exp{ w } x L L= l l W } L L = l l W W L maks l ˆ l J, adalah ayakya amata, da ˆ adalah / x JKS setelah meduga model regres dega yag dtetuka. 6 W J,, utuk semua
JURNAL MATEMATIKA DAN KOMPUTER Vol. 7. No. 3, 8-7, Desemer 4, ISSN : 4-858 l J, l, sehgga L maks l ˆ l Jka kta reduks terhadap kostate, maka L maks l ˆ Sehgga memaksmalka dega la yag dtetapka adalah detk dega memmalka ˆ,yatu memmalka dar Jumlah kuadrat Sesata JKS yag dperoleh dar pegepasa model regres. Dar uraa tetag metode Box Cox datas, maka dapat dsmpulka lagkahlagkah utuk meetuka. Lagkah-lagkah terseut adalah seaga erkut :. Plh dar ksara yag dtetapka asaya -, atau -,. utuk masg-masg, uat model W=, W adalah sepert dtetapka pada persamaa 5. Dar model regres ddapat JKS, lagkah dlakuka terus meerus pada setap yag dtetapka sehgga dperoleh eerapa JKS. 3. Plot atara JKS da 4. Plh seaga peduga adalah yag memumka JKS. Betuk alteratf la, yag leh dsuka pemaka adalah : W V { J, } 7 da L maks = l ˆ, V dega V = V,V,V3,.. da ˆ, V =S,V/ adalah jumlah kuadrat ssa yag dperoleh erdasarka model V=. Sgkatya adalah memumka fugs S,V Dega megguaka persamaa 6, maka persamaa 7 mejad :
Pemodela Statstka dega Trasformas Box Cox Dw Ispryat W V ˆ, dmaa ˆ =,,. Suatu pedekata - % selag kepercayaa utuk dapat dhtug : t, v JKS * = JKS { + } v 8 JKS adalah JKS mmum da v aadalah derajad eas dar galat.dega memuat grafk, dega sumu x adalah harga-harga da sumu y adalah harga-harga JKS, aka dperoleh suatu kurva da dega meark gars horzotal pada la JKS * pada sumu y,maka aka dperoleh atas atas selag utuk yag sesua. CONTOH TERAPAN Data Suatu peelta dlakuka utuk meetuka model huuga atara umur da tgkat plasma pada Polyame, data daml pada aak alta yag sehat, sejumlah 5 aak yag erumur aru lahr, th, th, 3 th da 4 th., masg masg daml 5 aak.data seaga erkut : 3.44.84.9.9 5.6..38.8 8.86 8.59 9.83 9. 8.65 7.85 8.88 7.94 6. 5.4 6.9 6.77 4.86 5. 5.67 5.75 6.3 3 3 3 3 3 4 4 4 4 4 Sumer data : Neter J, 99 Hasl da Pemahasa Dar data terseut datas dapat kta defska ahwa seaga peuah respo adalah tgkat plasma pada Polyame da seaga peuah pejelas adalah Umur, ayakya data adalah 5, Karea haya ada peuah pejelas, maka model yag dguaka : = 3
Regresso Stadardzed Resdual JURNAL MATEMATIKA DAN KOMPUTER Vol. 7. No. 3, 8-7, Desemer 4, ISSN : 4-858 Dega atua SPSS, ddapat model d atas : = 3,475,8, R adj =,743 Dar model terseut, dlakuka pegeceka asums ya. 4 Scatterplot Depedet Varale: 3 - - -.5 -. -.5..5..5 Regresso Stadardzed Predcted Value Gamar : Predct Value terhadap Stadard Resdual 8 6 4 8 6 4-3 4 5 Gamar : Plot atara da Teryata dar gamar d atas asums kehomoga ragam tak dpeuh, artya ada pola tertetu tdak acak, dlhat gamar plot da gamar juga meujukka curve yag tak ler da dega uj kolmogorow _smrov ddapat sg=.6 <.5 artya keormala juga tak dpeuh, Sehgga perlu dlakuka dtrasformas terhadap peuah respo, yatu dega lagkah lagkah seaga erkut :. daml rage,-. Htug ˆ = x x 5 /5 4
Pemodela Statstka dega Trasformas Box Cox Dw Ispryat 3. Utuk tap harga, htug ˆ - W 4. Htug V ˆ 5. Regreska atara V da, sehgga ddapat JKS 6. Lajutka pada la yag la 7. Tetukka yag mempuya JKS terkecl. Dar lagkah-lagkah datas ddapat la la da JKS seaga erkut :.9.7.5.3. -. JKS 78459 77.983 7.348 57.8 48.39 4.44 36.444 34.59 33. -.3 -.4 -.5 -.6 -.7 -.9 - -. -.5 - JKS 3.3 3.73 3.6 3.7 3.4 3.73 33.99 37.8 44.4 673 Dar la la terseut datas, dapat dlhat ahwa = -.5 mempuya JKS palg kecl, sehgga traformas yag dguaka adalah -.5, artya data awal dpagkatka dega -.5 yag der smul dega, kemuda dega dregreska da model yag ddapat adalah seaga erkut : ˆ =.68 +.4 R =.866, R adj =.86 F= 49.,sg=. Dega sg =. erart model terseut sagat sgfcat, kemuda dlakuka pegeceka terhadap asums-asums : Gamar d awah adalah Gamar gamar setelah dtraformas dperoleh s:.5.4.3. - 3 4 5 Gamar 3: Plot da 5
Regresso Stadardzed Resdual JURNAL MATEMATIKA DAN KOMPUTER Vol. 7. No. 3, 8-7, Desemer 4, ISSN : 4-858 3 Scatterplot Depedet Varale: - - -.5 -. -.5..5..5 Regresso Stadardzed Predcted Value Gamar 4 : Predct Value terhadap Stadard Resdual setelah dtraformas Dlhat dar gamar datas, maka asums asums yag semula tdak dpeuh, dega melakuka traformas Boc Cox mejad dpeuh, yatu lertas gamar 3, kehomoga ragam gamar 4, keormala sg=. >.5. Sehgga model yag cocok utuk huuga tgkat plasma pada polyame da umur adalah ˆ ' =.68 +.4. Dar model dapat dguaka utuk meetuka la =5, maka ˆ ' =.468, karea ˆ ' = ˆ, maka ˆ = sehgga utuk =5, ˆ = 4.566, artya jka aak erumur 5 tahu, maka ratarata tgkat plasma pada polyame adalah 4,566. Dar la la datas, dhtug Selag kepercayaa dega tgkat kesalaha 5 % seaga erkut : t.5,3 Dar persamaa 8 : JKS * = JKS + 3.7 = 3.6! + 3 = 36,36 Dega meark gars horzotal pada la 36,36 pada sumu y, maka aka dperoleh la awah da atas utuk. Sehgga SK utuk adalah <.95 ˆ, -,6< 6
Pemodela Statstka dega Trasformas Box Cox Dw Ispryat Gamar 5 : Plot da JKS 4. KESIMPULAN Trasformas Box CO adalah pedugaa parameter yag dpagkatka pada varael sehgga medapat JKS yag mmum. Jka ddapat JKS mmum dega =, maka data tak perlu dlakuka trasformas karea sudah terjad keeasa atara ragam respo dega rata- rata respo. Dega trasformas Box Cox secara smulta dapat dcapa keormala dar seara, kekostaa ragam dar galat da lertas dar struktur model. Bla dalam meduga parameter kurag tepat, maka aka dcrka oleh learya selag kepercayaa. DAFTAR PUSTAKA Drapper, NR ad Harry Smth, S, Aalss Regres Terapa, eds kedua, Grameda Pustaka Utama, Jakarta,99 Motgomery DC ad Elzaeth A.P, Itroducto to ler Regresso Aalyss Secod Edto, Joh Wley & Sos, New ork,98 Neter, J ad W.Wasserma, Aplled Ler Statstcal Models, Rchard D, Irw, Japa,994 Weserg S, Aplled Ler Regresso, Secod edto, Joh Wley & Sos, New ork,985 7
JURNAL MATEMATIKA DAN KOMPUTER Vol. 7. No. 3, 8-7, Desemer 4, ISSN : 4-858 8