Catatan Kuliah Analisis Numerik Pertemuan 1 : 10 Februari 2015 Sri Istiyarti Uswatun Chasanah G551150341 Oleh : Dr.Ir.Sri Nurdiati, M.Sc Pengantar Masalah matematika tidak selalu dapat diselesaikan secara analitik, misalnya yang melibatkan integral dari fungsi-fungsi yang berbentuk kompleks. Dalam kasus demikian, komputasi numerik (penyelesaian masalah menggunakan metode numerik) menjadi salah satu pendekatan alternatif yang dapat digunakan. Strategi yang digunakan dalam komputasi numerik adalah menyederhanakan masalah melalui transformasi berikut: 1. infinite finite 2. differential algebraic 3. nonlinear linear 4. complicated simple Dalam penyelesaian masalah, metode numerik menggunakan operasi-operasi yang dapat dilakukan oleh komputer, yaitu operasi aritmatika dan logika. Penggunaan komputer dapat memperpendek waktu yang digunakan untuk penyelesaian masalah-masalah yang membutuhkan waktu sangat lama bila dikerjakan secara manual. Solusi yang diperoleh melalui komputasi numerik biasanya berupa suatu hampiran, yang mengandung kesalahan numerik. Aspek penting dalam komputasi numerik selain kecepatan proses adalah keakuratan hasil. Metode numerik yang baik adalah yang bisa memberikan solusi yang akurat dalam waktu yang relatif cepat Sumber Galat Sebelum Proses Komputasi. 1. Kesalahan akibat model yang salah 2. Kesalahan karena hasil observasi yang salah/ pengukuran yang salah 1
3. Kesalahan yang dibawa dari proses perhitungan yang sebelumnya Selama Proses Komputasi. 1. Kesalahan karena hasil pendekatan/ hampiran 2. Kesalahan karena proses pemangkasan atau pembulatan. Titik Mengambang (Floating Point) Setiap bilangan x direpresentasikan sebagai: dengan disebut mantisa E adalah eksponen Normalized Floating Point Decimal Floating Point Number delta = 1 serta e bilangan bulat. Galat/ kesalahan dalam proses komputasi numerik Kesalahan dapat terjadi akibat adanya perbedaan antara bilangan x dan representasinya dalam komputer, fl(x). Kesalahan ini dapat dihindari, ex= x fl(x) = 0, bila x dapat direpresentasikan dalam komputer tanpa mengubah apapun. Definisi Galat (Error) Andaikan xt adalah nilai bilangan yang sebenarnya dan xa adalah nilai hasil representasinya, maka suatu kesalahan di xa dituliskan sebagai dan kesalahan relatifnya dituliskan dalam bentuk : dan kesalahan relatifnya dituliskan dalam bentuk : Angka signifikan 2
Jika dk lebih dari 0 dan dj sama dengan 0 untuk j lebih dari k, maka digitdigit dk, dk-1 d-m dikatakan sebagai angka signifikan Machine Epsilon Andaikan y adalah bilangan terkecil yang lebih dari 1 yang dapat direpresentasikan dalam suatu komputer aritmatika, maka etha = y 1 disebut machine epsilon. Ini digunakan sebagai ukuran akurasi untuk merepresentasikan bilangan dalam komputer. Bilangan 1 memiliki representasi floating point yang sederhana sebagai berikut : Bilangan terkecil yang > 1 adalah: Dengan demikian, machine epsilon dalam IEEE floating point presisi tunggal adalah Satuan Pembulatan Andaikan etha > 0 adalah bilangan terkecil yang dapat direpresentasikan dalam mesin komputer, serta 1 + etha > 1 dalam aritmatika mesin. Untuk sembarang 0 < alpha < etha, maka hasil dari 1+alpha = 1 dalam aritmatika mesin. Dengan demikian, dalam representasi floating point pada mesin, dapat diabaikan Pemangkasan dan Pembulatan dalam Sistem Desimal Andaikan z adalah suatu bilangan desimal dengan representasi dalam floating point seperti berikut : dengan a1 0 sehingga terdapat n digit desimal pada significand Secara umum, bila diberikan suatu bilangan Penulisan x perlu dibuat lebih pendek agar muat dalam komputer. Hal ini 3
dapat dilakukan melalui proses pemangkasan atau pembulatan. Bila dilakukan pemangkasan, maka representasi floating point dari x adalah : Bila dilakukan pembulatan, maka perlu diputuskan pembulatan ke atas atau ke bawah. Formula yang sederhana adalah sebagai berikut : Loss of Significant Error Kesalahan ini dapat terjadi sebagai akibat dari keterbatasan kalkulator atau komputer yang kita miliki. Sebagai contoh, didefinisikan fungsi berikut : Fungsi tersebut akan dievaluasi di kalkulator dengan 6 digit desimal yang menggunakan sistem aritmatika pembulatan. Hasilnya diberikan pada tabel berikut : Contoh lain, didefinisikan fungsi berikut : Menggunakan kalkulator 10 digit desimal dengan sistem aritmatika pembulatan, diperoleh hasil seperti pada tabel berikut : 4
Propagasi Kesalahan Evaluasi suatu fungsi f(x) pada mesin seringkali tidak menghasilkan f(x) melainkan suatu nilai hampirannya Kemudian andaikan maka untuk mengevaluasi f(xt) bisa jadi kita menghitung Dengan demikian terjadi kesalahan sebesar Besaran biasanya disebut noise, sedangkan besaran disebut kesalahan karena propagasi. Bila f adalah fungsi yang mempunyai turunan, maka dengan menggunakan teorema nilai tengah diperoleh : Atau karena epsilon terletak di antara xt dan xa, sedangkan xt sedemikian dekat dengan xa, maka : Propagasi pada operasi aritmatika Andaikan omega menandakan operasi aritmatika seperti +, -, x atau /, serta omega* adalah operasi yang sama yang sebenarnya dilakukan di komputer, termasuk proses pemangkasan dan pembulatan. Andaikan xa xt dan ya yt. Selanjutnya ingin dihitung namun diperoleh Dengan demikian, besarnya galat : Biasanya diasumsikan Ini berarti, besaran dihitung secara exact, kemudian dipangkas atau dibulatkan hingga bisa direpresentasikan dalam komputer. Formula terakhir berimplikasi bahwa yang lebih jauh berarti Menggunakan aritmatika biner dgn n digit mantissa diperoleh batasan berikut 5
: Besaran adalah galat propagasi. Pada Operasi perkalian diperoleh Bila maka diperoleh kesalahan relatif berikut: biasanya sehingga Hal yang sama juga berlaku pada operasi pembagian, yaitu: Pada operasi penjumlahan dan pengurangan berlaku : 6