Mata Kuliah : Matematika Rekayasa Lanjut Kode MK : TKS 8105 Pengampu : Achfas Zacoeb Sesi XI FUNGSI dan GRAFIK e-mail : zacoeb@ub.ac.id www.zacoeb.lecture.ub.ac.id Hp. 081233978339 FUNGSI Secara intuitif, y dapat dipandang sebagai fungsi dari x, jika terdapat aturan dimana nilai y (tunggal) menghubungkan nilai x. Contoh : 1. y = 2x 2 + 5 2. y = x 2 9 1
FUNGSI (Lanjutan) Definisi : Suatu fungsi adalah suatu himpunan pasangan terurut (x,y) dimana himpunan semua nilai x disebut daerah asal (domain) dan himpunan semua nilai y = f(x) disebut daerah hasil (ko-domain) dari fungsi. (Notasi : f : A B) FUNGSI (Lanjutan) Untuk contoh 1, mendefinisikan suatu fungsi (namakan fungsi itu f). Fungsi f adalah himpunan pasangan terurut (x,y) sehingga x dan y memenuhi : f = {(x,y) 2x 2 + 5} x 0 1-1 2-2 10 y 5 7 7 13 13 205 Fungsi f ini memuat pasangan terurut (0,5); (1,7); (-1,7); (2,13); (-2,13); ; (10,205), dan f memuat tak berhingga banyak pasangan terurut. 2
FUNGSI (Lanjutan) Catatan : 1. Himpunan : A, B 2. Fungsi : y = f(x) x peubah bebas y peubah tak bebas, bergantung pada x 3. Daerah asal fungsi: D f = A = {x fungsi f terdefinisi} 4. Daerah hasil fungsi: W f = {y є B y = f(x), x D f } 5. Grafik fungsi: {(x,y) x D f, y = f(x)} PENYAJIAN FUNGSI Ada beberapa cara penyajian suatu fungsi yaitu : a. Secara verbal : dengan uraian kata-kata. b. Secara numerik : dengan tabel c. Secara visual : dengan grafik d. Secara aljabar : dengan aturan/rumusan eksplisit 3
PENYAJIAN FUNGSI (Lanjutan) a. Secara verbal Contoh biaya pengiriman surat tercatat seberat w ons adalah B(w). Aturan yang digunakan di Kantor Pos adalah sebagai berikut : Biaya pengiriman adalah Rp 1.000,00 untuk berat sampai satu ons, ditambah Rp 250,00 untuk setiap ons tambahan sampai 5 ons. PENYAJIAN FUNGSI (Lanjutan) b. Secara numerik Contoh biaya pengiriman surat tercatat ditunjukkan pada Tabel berikut : Berat w (dalam Ons) Biaya B(w) (dalam Rupiah) 0 < w 1 1000 1 < w 2 1250 2 < w 3 1500 3 < w 4 1750 4 < w 5 2000 4
PENYAJIAN FUNGSI (Lanjutan) c. Secara visual Contoh biaya pengiriman surat tercatat ditunjukkan dalam grafik berikut : PENYAJIAN FUNGSI (Lanjutan) d. Secara aljabar Contoh biaya pengiriman surat tercatat dinyatakan oleh fungsi berikut : B w = 1. 000, jika 0 < w 1 1. 250, jika 1 < w 2 1. 500, jika 2 < w 3 1. 750, jika 3 < w 4 2. 000, jika 4 < w 5 5
JENIS FUNGSI 1. Fungsi linear Bentuk umum : y = f(x) = ax + b, a dan b konstanta a = kemiringan garis b = perpotongan garis dengan sumbu-y Daerah asal, D f = dan daerah hasil, W f = Grafik : 2. Polinomial Bentuk umum : y = f(x) = a n x n + a n-1 x n-1 + + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 a n, a n-1,, a 1, a 0 = konstanta n = derajad polinom (a n 0) Daerah asal, D f = Grafik : 6
3. Fungsi Pangkat Bentuk umum : y = f(x) = x n, n N Daerah asal, D f = Grafik : 4. Fungsi Akar Bentuk umum : n y = f(x) = x, n = 2, 3, 4, Daerah asal dan daerah hasil : D f = [0, ), W f = [0, ), jika n genap D f =, W f =, jika n ganjil Grafik : 7
5. Fungsi Kebalikan Bentuk umum : y = 1, x 0 x Daerah asal dan daerah hasil : D f = - {0}, W f = - {0} Grafik : 6. Fungsi Rasional Bentuk umum : y = P(x), dengan : P, Q adalah polinom Q(x) Daerah asal : D f = - {x Q(x) = 0} 7. Fungsi Aljabar Fungsi f disebut fungsi aljabar jika fungsi tersebut dapat dibuat dengan menggunakan operasi aljabar, yaitu: penambahan, pengurangan, perkalian, pembagian dan penarikan akar, yang dimulai dengan polinom. 8
Catatan : Fungsi linear, polinom, fungsi pangkat, fungsi akar, fungsi balikan dan fungsi rasional adalah fungsi aljabar. 8. Fungsi Trigonometri a. Fungsi Sinus b. Fungsi Cosinus c. Fungsi Tangen d. Fungsi trigonometri lainnya. 9. Fungsi Eksponensial Bentuk umum : y = f x = a x, a > 0 Daerah asal dan daerah hasil : D f =, W f = (0, ) Grafik : 9
10. Fungsi Logaritma Bentuk umum : y = f x = log a x, a > 0 Daerah asal dan daerah hasil : D f = (0, ), W f = Grafik : 11. Fungsi Transenden Fungsi transenden adalah fungsi yang bukan fungsi aljabar. Himpunan fungsi transenden mencakup fungsi trigonometri, invers trigonometri, eksponensial dan logaritma. 12. Fungsi yang terdefinisi secara sepotong-sepotong (piecewise function) Fungsi yang terdefinisi secara sepotong-sepotong adalah fungsi dengan banyak aturan, dimana setiap aturan berlaku pada bagian tertentu dari daerah asal. 10
13. Fungsi genap dan fungsi ganjil Definisi: jika fungsi f memenuhi f(-x) = f(x) untuk setiap x di dalam daerah asalnya, maka f disebut fungsi genap. Catatan: Grafik fungsi genap simetri terhadap sumbu-y. Definisi: Jika fungsi f memenuhi f(-x) = -f(x) untuk setiap x di dalam daerah asalnya, maka f disebut fungsi ganjil. Catatan : Grafik fungsi ganjil simetri terhadap titik asal. 11
14. Fungsi naik dan fungsi turun Definisi: 1. Fungsi f disebut naik pada selang I, jika f(x 1 ) < f(x 2 ) untuk setiap x 1 < x 2 di I. 2. Fungsi f disebut turun pada selang I, jika f(x 1 ) > f(x 2 ) untuk setiap x 1 < x 2 di I. BIDANG TEKNIK SIPIL Secara umum fungsi mengatur hubungan antara variabel bebas dan variabel terikat. Hubungan antara satu variabel dengan variabel lain atau antara kumpulan variabel dengan satu variabel lain banyak dijumpai dalam bidang teknik sipil, seperti contoh beberapa fungsi berikut : 1. Hubungan antara momen lentur (M x ) suatu penampang dengan absis penam-pang tersebut (x) pada balok sederhana sepanjang bentang (L) dengan beban merata (q) yang diberikan oleh fungsi : M x = 1 2 qlx 1 2 qx2 12
BIDANG TEKNIK SIPIL (Lanjutan) 2. Hubungan antara tegangan ( ) dan regangan ( ) suatu bahan yang bermodulus elastis (E) dalam batas elastis diberikan oleh fungsi : σ = E. ε 3. Hubungan antara kecepatan aliran air (v) pada saluran terbuka yang memiliki keliling basah (R), koefisien kekasaran dinding (c) dan kemiringan dasar saluran (i), diberikan oleh fungsi : v = c R. i GRAFIK FUNGSI Grafik fungsi adalah presentasi fungsi menggunakan gambar dengan mengacu pada sistem koordinat tertentu, misalnya koordinat kartesius, koordinat polar dan sebagainya. Dengan grafik fungsi, perilaku fungsi lebih mudah diamati misalnya, apakah fungsi naik, fungsi turun, mencapai maksimum/minimum atau mencapai nol. Disamping itu dengan memahami bentuk-bentuk grafik fungsi dapat membantu menemukan persamaan fungsi dari peristiwa alam yang diketahui datanya secara diskrit. 13
GRAFIK FUNGSI (Lanjutan) Berikut ini diberikan contoh-contoh grafik fungsi yang digunakan dalam bidang teknik sipil : GRAFIK FUNGSI (Lanjutan) 1. Grafik fungsi gaya lintang pada balok sederhana yang mendapat beban terbagi merata sepanjang batang seperti gambar berikut : 14
GRAFIK FUNGSI (Lanjutan) 2. Grafik fungsi momen lentur pada balok kantilever yang mendapat beban terbagi terbagi merata seperti gambar berikut : GRAFIK FUNGSI (Lanjutan) 3. Grafik hubungan antara defleksi puncak frame dua batang yang dianalisis secara non-linier geometri seperti gambar berikut : 15
GRAFIK FUNGSI (Lanjutan) 4. Grafik hubungan antara kadar air dan volume tanah pada batas-batas konsistensi seperti gambar berikut : RANGKUMAN 1. Fungsi digunakan dalam bidang teknik sipil untuk menyatakan hubungan antara variabel bebas dengan variabel terikat. 2. Fungsi-fungsi tersebut digunakan dalam berbagai kajian bidang teknik sipil seperti rekayasa struktur, rekayasa geoteknik, rekayasa keairan, rekayasa transportasi, manajemen konstruksi, dan lain-lain. 3. Grafik fungsi digunakan untuk mempresentasikan fungsi secara visual dalam bentuk gambar. 16
LATIHAN Gambarkan grafik dari fungsi SPL berikut : 1. x + 2y = 1 3x y = 10 2. 4x + y = 17 3x 4y = 27 3. 4x + 5y = 2 11x + y + 2z = 3 x + 5y + 2z = 1 4. x + y 2z = 1 2x y + z = 2 x 2y 4z = 4 Thanks for your kind attention! 17