OPTIMASI (Pemrograman Non Linear)

OPTIMASI (Pemrograman Non Linear) 3 SKS PILIHAN Arrival Rince Putri, 013 1

Silabus I. Pendahuluan 1. Perkuliahan: Silabus, Referensi, Penilaian. Pengantar Optimasi 3. Riview Differential Calculus II. Dasar-Dasar Pemrograman Non Linier III. Model-Model Pemrograman Non Linier Arrival Rince Putri, 013

Silabus IV. Pemrograman Non Linier Tanpa Kendala V. Pemrograman Non Linier Berkendala VI. Optimasi Kuadrat Terkecil Arrival Rince Putri, 013 3

Referensi 1. A.L. Peressini, F.E. Sullivan, and J.J. Uhl, Jr, The Mathematics of Non Linear Programming, Springer- Verlag (1998). Griva, I., Nash, S. G., Sofer, A., Linear and Non Linear Optimization, SIAM, Philadelphia, 009 3. Winston, W.L., Operation Research : Applications and Algorithms, Brooks/Cole, USA, 004. Arrival Rince Putri, 013 4

Evaluasi Dan Penilaian Penilaian: UAS : 50% TUGAS KELOMPOK : 40% KEHADIRAN : 0% Arrival Rince Putri, 013 5

Pengantar Optimisasi Optimisasi Definisi Umum Optimisasi mencakup penentuan cara terbaik untuk melakukan sesuatu. Optimisasi merupakan proses untuk menentukan himpunan kondisi yang diperlukan untuk mencapai hasil terbaik dengan situasi yang diberikan. Arrival Rince Putri, 013 6

Penerapan Metode Optimisasi Sains, Engineering, Matematika, Ekonomi, Komersial. Contoh persoalan optimisasi : - Perancangan reaktor kimia. - Perancangan enjin pesawat dan struktur pesawat. - Perancangan struktur bangunan, jembatan. - Alokasi sumber, penjadwalan, komposisi produksi, persediaan. - Analisis numerik. Arrival Rince Putri, 013 7

Elemen Model Optimisasi Fungsi tujuan (objective function) - Merupakan pernyataan tujuan secara matematik yang akan dioptimisasi, dapat berupa : * Kuantitas yang dihasilkan. * Keuntungan dari suatu sistem operasi. Fungsi pembatas (constraint function) - Variabel yang memiliki daerah kerja. - Hubungan berbagai hal yang dibatasi. Variabel keputusan (decision variables) - Merupakan besaran yang dapat berubah pada sistem operasinya, - Varibel dapat memiliki daerah kerja (batasan). Arrival Rince Putri, 013 8

Klasifikasi Model Optimisasi Karakteristik Properti Klasifikasi Banyak variable keputusan Satu Univariat Lebih dari satu Multivariat Tipe variable keputusan Kontinu Kontinu Beberapa integer Integer atau diskret Tipe fungsi Linier Linier Beberapa nonlinier Nonlinier Banyak fungsi objektif Satu Single Lebih dari satu Multiple Formulasi masalah Dengan kendala Berkendala Tidak dengan kendala Tak berkendala Kondisi data input Diketahui Deterministik Tidak diketahui Stokastik Arrival Rince Putri, 013 9

Riview Differential Calculus Arrival Rince Putri, 013 10 Arrival Rince Putri, 013

Arrival Rince Putri, 013 11

Dasar-Dasar Pemrograman NonLinier Non-Linear Programming (NLP) Berkendala / Constrained NLP Tak berkendala / Unconstrained NLP Dalam banyak kasus real baik ekonomi maupun teknologi, fungsi tujuan / kendala adalah nonlinier, yang dapat berbentuk variabel berpangkat, logaritma, eksponensial dan bentuk lain yang bukan linier. Arrival Rince Putri, 01 14

Contoh Misalkan h() adalah harga pada tingkat penjualan. K adalah profit/ keuntungan, dihitung dari pendapatan dikali penjualan dikurangi dengan ongkos produksi dan distribusi, ditulis K() =. h() c() ; K nonlinier. Permasalahan: memaksimumkan profit dengan batasan sumber-sumber yang diperlukan untuk menghasilkan suatu produk, dimana terdapat elastisitas harga, jumlah yang dapat dijual berbanding terbalik dengan harga yang diberikan (lihat gambar). Arrival Rince Putri, 01 15

Jika industri tersebut menghasilkan n jenis produk dan apabila j unit produk dijual (j = 1,,, n), maka fungsi tujuan akan menjadi : F( ) n j1 K j j dimana K j adalah keuntungan (profit) produk ke-j dalam tingkat j. Penjumlahan ini adalah suatu jumlah fungsi-fungsi nonlinier. Bentuk nonlinier juga muncul pada kendala-kendala. Arrival Rince Putri, 01 16

Ilustrasi Grafik Contoh 1 : Jika KL unit produk dapat dihasilkan dengan K sumber pertama (modal) dan L orang pekerja dengan harga sumber pertama Rp 4/unit dan pekerja di bayar Rp 1/orang. Modal yang tersedia Rp 8, maka formulasi problem dengan memaksimumkan jumlah produk yang di buat adalah : Maks : Z = K. L Kendala : 4K + L 8 K, L 0 Arrival Rince Putri, 01 17

L 8 4 Optimal : K = 1, L = 4, Z = 4 1 K Z = 4 Z = Z = 1 Arrival Rince Putri, 01 18

Contoh : Min : Z = ( 3) + (y 4) Kendala : 3 y y Z=1 4 Z=4 3 Optimal, =3, y=; Z=4 3 Arrival Rince Putri, 01 19

Bentuk Umum NLP Maks/Min : Z = f ( 1,,, n ) Kendala : g j ( 1,,, n ) (atau atau = ) b j ; j = 1,,, m Dimana f, g j diantaranya adalah fungi nonlinier. Jika NLP diatas dimana g j ø ; j = 1,,, m, maka nilai NLP tersebut dinamakan NLP berkendala (constrained), dan jika g j = ø ; j = 1,,, m, maka disebut NLP tak berkendala (unconstrained). Daerah layak (feasible region) dari NLP sama saja dengan LP biasa. Suatu titik di dalam suatu daerah layak, dimana pada daerah layak adalah optimal untuk kasus maksimasi (dan untuk kasus minimasi). f f, Arrival Rince Putri, 01 0

Pemrograman Non Linier Berkendala NLP n Variabel dengan Kendala = (Pengali Lagrange) Problem : Ma/Min : f ( 1,,, n )...(3) Kendala : g i ( 1,,, n ) = bi ; i = 1,,,m Jika terdapat,..., 1, m sedemikian sehingga 1,,..., m i bi g1,,..., n 0 L ( 1,,, n, ) = f ( 1,,, n ) + n i1 maka : L 1 L... L n1 L 1 L... L m 0 Arrival Rince Putri, 01 1

Teorema : 1. Problem (3) ma, f concav, semua kendala linear, ( 1,,, n ) solusi optimal. Problem (3) min, f cove, semua kendala linear, ( 1,,, n ) solusi optimal Variabel i sebagai harga bayangan dari konstrain ke-i. Bila sisi kanan dari konstrain ke-i dinaikkan dengan sejumlah kecil (pada masalah ma atau masalah min), maka nilai fungsi objektif optimal untuk (3) akan naik dengan pendekatan i Arrival Rince Putri, 01

Contoh : Sebuah perusahaan berencana untuk mengeluarkan biaya $10.000 untuk iklan, yaitu $3.000 / menit untuk iklan di televisi dan $1.000 / menit untuk iklan di radio, pendapatannya dalam $1.000 diberikan oleh, y y y 8 y f 3 Bagaimana perusahaan dapat memaksimalkan pendapatannya? Arrival Rince Putri, 01 3

Arrival Rince Putri, 01 4 Ma : Kendala : 3 + y = 10 Kita set : Menghasilkan : y y y Z 3 8 y y y y z y L 3 10 3 8,, 0 L y L L 0 3 8 4 y L 0 3 y y L 0 3 10 y L Subsitusi persamaan-persamaan di atas, sehingga didapatkan : = 69/8, y = 73/8

Hessian untuk f(,y) adalah : H(, y) 4 1 Karena semua principal minor pertama (yaitu: -4 dan -) adalah negatif dan principal minor kedua (yaitu: 7) > 0, maka f(,y) adalah concav. Konstrain adalah linear, sehingga dari teorema memperlihatkan bahwa pengali Lagrange menghasilkan solusi optimal terhadap NLP. 1 Jadi perusahaan harus membeli 69/8 menit waktu televisi dan 73/8 menit waktu radio. λ = ¼ artinya bahwa perusahaan Mengeluarkan ekstra (ribuan) untuk yang kecil, yang akan menaikkan pendapatan perusahaan sebesar $ 0,5 (dalam ribuan). Arrival Rince Putri, 01 5

Tugas : Tentukan titik ekstrim dan jenisnya: 1. Min : f(,y) = + y Kendala : + y = 10 3 3. Min : f 1,, 3 1 4 16 Kendala : 1 + + 3 = 5 Arrival Rince Putri, 008 6

Pemrograman NonLinier Tanpa Kendala NLP Satu Variabel Bentuk Umum : Ma/Min : Z = f() (1) Kendala : є [a, b] Jika b +, daerah yang layak untuk NLP pada persamaan (1) adalah a. Jika a -, daerah yang layak untuk NLP pada persamaan (1) adalah b. Arrival Rince Putri, 01 7

a b Arrival Rince Putri, 01 8

a. Ma f() Kendala є (-, b] b. Min f() Kendala є [a, + ) Arrival Rince Putri, 01 9

Terdapat tiga tipe titik-titik dimana bentuk umum NLP pada persamaan (1) dapat memiliki nilai maksimum / minimum lokal (titik ini disebut kandidat ekstrim), yaitu : Kasus 1 : titik dimana a < < b, dan f () = 0 (disebut titik stationer dari f()) Kasus : titik dimana f () tidak ada Kasus 3 : ujung selang dari interval [a, b] Titik-titik ekstrim (ma/min) sebagaimana dalam kalkulus : 1. f () = 0. Titik-titik ujung = a dan = b 3. f () tidak ada Arrival Rince Putri, 01 30

Contoh : 1. Problem NLP : Ma : f() = 5 Kendala : є [0, 10] Uji : 1. f () = 5 = 0, =,5 є [0, 10] f(=,5) = 6,5. f () = 5, f () ada є [0, 10] Maka kasus f () tidak ada, tidak ada 3. = 0 f(0) = 0 = 10 f(10) = -50 Jadi karena problem ma, maka solusi =,5 dengan nilai ma = 6,5 Arrival Rince Putri, 01 31

. Problem NLP : Ma : f() = + Kendala : -3 5 Uji : 1. f () = + = 0, = 1 є [-3, 5] f(= -1) = -1. f () tidak ada, tidak ada 3. = -3 f(-3) = 3 = 5 f(5) = 35 Jadi karena problem ma, maka solusi = 5 dengan nilai ma = 35 Arrival Rince Putri, 01 3

3. Problem NLP : Ma : Z = - e Kendala : -1 3 Uji : 1. f () = 1 e = 0, e = 1 = 0 є [-3, 5] f(= 0) = -1 є [-1, 3]. f () tidak ada, tidak ada 3. = -1 f(-1) = -1 1/e -1,333 = 3 f(3) = 1 e 3-17 Arrival Rince Putri, 01 33

NLP n Variabel Bentuk Umum : Ma/Min : Z = f ( 1,,, n ) b Kendala : ( 1,,, n ) () Asumsi : turunan parsial pertama dan kedua ada dan kontinu pada semua titik. Arrival Rince Putri, 01 34

Teorema : Jika adalah ekstrim local untuk problem (), maka Kondisi keekstriman titik diuji dengan melibatkan matrik Hessian untuk menentukan apakah ekstrim ma local (cekung / concav) atau min local (cembung / conve). f 0 i i Teorema : 1. Jika H ( ) 0 cembung min local. Jika H( ), bertanda (-1) k cekung ma local 3. Jika H( ) tidak memenui (1) dan (), maka ekstrim tidak ma / min. Arrival Rince Putri, 01 35

Dasar-Dasar Pemrograman NonLinier Conve Set (Himpunan Conve/Daerah Cembung) Definisi : Suatu himpunan conve adalah suatu koleksi titik-titik sedemikian sehingga untuk setiap pasangan titik-titik dalam koleksi itu, keseluruhan segmen garis yang menghubungkan setiap dua titik ini juga di dalam koleksi. Cara menguji suatu kurva dikatakan conve set, yaitu : Ambil titik (di dalam/di batas) kurva Semua titik pada garis yang menghubungkan titik tersebut semuanya berada di kurva. Arrival Rince Putri, 01 36

Contoh : c a e b d A B C D A : conve set B : conve set C : conve set D : bukan conve set NLP daerah solusinya harus conve set ( supaya hasilnya optimal) Arrival Rince Putri, 01 37

Fungsi Conve (Cembung) dan Fungsi Concave (Cekung) Dalam kalkulus dikenal fungsi dimana nilai kritisnya diuji dengan turunan kedua, jika o adalah titik kritis pada D f dan f ( o ) 0, maka o adalah titik kritis maksimum pada D f dan bila f ( o ) 0, maka o adalah titik kritis minimum pada D f, dan apabila : d f () = 0, D f maka f dikatakan fungsi cekung (concave) d f pada Df f () = d f 0, D f d maka f dikatakan fungsi cembung (conve) pada Df Arrival Rince Putri, 01 38

Akibatnya, fungsi linier (f () = 0 ) dikatakan cembung sekaligus cekung. Fungsi cembung biasa dinamakan juga cekung ke atas dan fungsi cekung sebagai cekung ke bawah. Arrival Rince Putri, 01 39

Andaikan sebarang fungsi satu variabel f() yang memiliki turunan kedua pada setiap nilai pada daerah definisinya, maka f() pada D f adalah : 1. Cembung (conve). Cembung sejati 3. Cekung (concave) 4. Cekung sejati d f d 0 d f d 0 d f d 0 d f d 0 D f D f D f D f Arrival Rince Putri, 01 40

Contoh: Fungsi cekung Fungsi cembung Fungsi cekung sejati sejati Arrival Rince Putri, 01 41

Fungsi cekung sekaligus cembung Fungsi bukan cekung dan bukan cembung Arrival Rince Putri, 01 4

Uji kecembungan fungsi dua variabel Kuantitas Cembung Cembung Sejati Cekung Cekun g Sejati f, f, f, 1 1. 1 f f, 1 1 1, 1 1 0 0 > 0 > 0 0 0 > 0 < 0 0 > 0 0 < 0 Nilai-nilai ( 1, ) Semua nilai f yang mungkin Arrival Rince Putri, 01

Arrival Rince Putri, 01 44 Untuk ilustrasi uji kecembungan fungsi dua variabel, misalkan : Dengan demikian : (1) () (3) maka ketiga kondisi memenuhi tanda, jadi f( 1, ) adalah cembung, dan bukan cembung sejati. 1 1 1 1 ) ( ), ( f 0 ) ( (),,., 1 1 1 1 1 f f f 0, 1 1 f 0, 1 f

Untuk memperumum ini, dan untuk fungsi yang memiliki lebih dari dua variabel, sebagai contoh dalam ungkapan matematika, f ( 1,,..., n) adalah cembung jika dan hanya jika matriks Hessian nn adalah semi definit positif untuk semua nilai ( 1,,, n ) yang mungkin, atau bisa dinyatakan bahwa : jika terdapat variabel atau lebih gunakan Hessian Matriks dan ditulis : H ( 1,,, n ) i f j nn i, j ; i, j 1,,..., n Arrival Rince Putri, 01 45

Arrival Rince Putri, 01 46 Definisi : Matriks Hessian dari f ( 1,,, n ) adalah matriks nn, dimana elemen ke-ij adalah Contoh : f ( 1,, 3 ) = 1 + + 3 i j f 3 3 3 1 0 0 0 0 0 0 0 4,, H

Teorema 1 : Determinan minor utama (Leading Principle Minor) yang ke-k adalah determinan matrik n n dengan menghapus (n k) baris dan kolom terakhir. Contoh : H,, 1 3 4 0 0 0 0 0 0 0 Arrival Rince Putri, 01 47

4 0 0 0 0 0 0 0, determinan minor utama ke-1 = 4 Ket : bilangan yang digaris bawahi yaitu (n k = 3 1) baris dan kolom terakhir dihapus sehingga yang tersisa adalah 4 Arrival Rince Putri, 01 48

Teorema : Principal Minor (minor utama) ke-k dari matrik n n adalah determinan dari matrik k k yang diperoleh dengan menghapus n k baris dan n k kolom yang sesuai dengan matrik. Contoh : H( 1, ) 1 1 4 Principal minor ke-1 adalah : -4 dan - (n=, k=1, n k = 1) Principal minor ke- adalah : 7 (n=, k=, n k = 0) Arrival Rince Putri, 01 49

Teorema 3 : Andaikan f ( 1,,, n ) mempunyai turunan parsial kedua kontinu untuk setiap = ( 1,,, n ) di S, maka f ( 1,,, n ) adalah suatu fungsi cembung / cekung pada S jika dan hanya jika untuk setiap є S semua principal minor dari matrik H adalah non negatif (conve) / matrik H yang 0 mempunyai tanda (-1) k untuk principal minor ke-k (concave). Arrival Rince Putri, 01 50

Contoh : 1. H( 1, ) 0 0 Principal minor ke-1 adalah : dan - (tanda (-1) 1 : negatif) Principal minor ke- adalah : -4 (tanda (-1) : positif) Jadi : karena tidak ada yang sesuai dengan teorema 3, maka f tidak cembung dan tidak cekung. Arrival Rince Putri, 01 51

. H( 1, ) 6 1 Principal minor ke-1 adalah : dan 6 1 Principal minor ke- adalah : 1 1 4 Karena sudah ada yang positif ( dan 6 1 ), maka yang dapat kita tentukan hanya selang untuk f cembung / conve, yaitu : 6 1 0 dan 1 1 4 0 1 0 dan 1 1/ 3 1 1/ 3 sehingga ( 1, 1 1/3) f cembung / conve. Arrival Rince Putri, 01 5

Soal-soal 1. f,, di S 1 1 1 1, H( 1, ) Karena semua principal minor (ke-1 adalah dan, yang ke- adalah 0) merupakan non negatif, maka f adalah fungsi cembung pada R. Arrival Rince Putri, 01 53

. f,, di 1 1 1 1, H( 1, ) 1 1 4 Karena principal minor pertama, (- dan -4) keduanya negatif, dan principal minor kedua adalah -(-4) (-1)(-1) = 7 > 0, jadi f adalah suatu fungsi cekung pada R. Arrival Rince Putri, 01 54