PENERAPAN METODE PEMULUSAN KERNEL PADA PENDUGAAN AREA KECIL (Std Kass Pendgaan Pengelaran Per Kapta d Kota Bogor Tan 005) Indawat 1, Utam Dya Syaftr 1, Renta Skma Mayasar 1 Dosen Departemen Statstka FMIPA IPB Maasswa Departemen Statstka FMIPA IPB Abstrak Pada pendgaan area kecl mmnya dgnakan pemodelan parametrk ntk mengbngkan statstk area kecl dengan peba-peba pendkngnya. Namn pemodelan parametrk krang fleksbel ntk pola bngan yang tdak lner. Dalam peneltan n dterapkan pemodelan nonparametrk yat pemlsan Kernel ntk memodelkan bngan antara statstk area kecl dengan peba pendkngnya. Penerapan metode pemlsan Kernel teradap data rl dalam peneltan n mennjkkan tngkat akras yang leb bak dbandngkan asl pendgaan langsng. Kata Knc: Pendgaan area kecl, pendgaan langsng, pemlsan Kernel, RRMSE PENDAHULUAN Saat n statstk area kecl (small area statstcs) sangat dmnat dalam berbaga bdang. Berbaga metode pendgaan area kecl (small area estmaton) tela dkembangkan kssnya menyangkt metode yang berbass model (model-based area estmaton). Istla small area mennjkkan sat sbpoplas dmana pendgaan langsngnya tdak dapat mengaslkan press yang ckp. Pendgaan secara langsng pada area kecl akan mengaslkan nla ragam yang besar jka conto yang dambl berasal dar data srvey yang drancang ntk skala besar/nasonal. Sala sat sols yang dgnakan adala melakkan pendgaan tdak langsng dengan cara menambakan peba-peba pendkng dalam mendga parameter. Pada pendgaan area kecl mmnya dgnakan pemodelan parametrk ntk mengbngkan statstk area kecl dengan peba-peba pendkngnya. Namn pemodelan parametrk krang fleksbel ntk pola bngan antara statstk area kecl dengan peba pendkng yang tdak lner. Beberapa penelt, dantaranya Mkopadyay & Mat (004, 006), jga Opsomer et al (004) tela mencoba mengkaj pemodelan nonparametrk ntk pendgaan area kecl. Dalam peneltan n Semnas Matematka dan Penddkan Matematka 008 1 173
dterapkan sala sat pemodelan nonparametrk yat pemlsan Kernel ntk mendga pengelaran per kapta kota Bogor tan 005 dan membandngkannya dengan asl pendgaan langsng. TINJAUAN PUSTAKA Pendgaan Area Kecl Istla area kecl (small area) basanya menandakan sat area geografs kecl, sepert sat daera kabpaten/kota, kecamatan, mapn kelraan/desa. Area kecl n jga dapat dartkan sebaga bagan dar wlaya poplas (small doman) bak berdasarkan geograf, ekonom, sosal bdaya, atapn yang lannya (Rao 003). Model Area Kecl Ada da model dasar pendgaan area kecl yat Basc area level model dan basc nt level model (Rao 003). a. Basc area level model yat model yang ddasarkan pada ketersedaan data pendkng yang anya ada ntk level area tertent, dan parameter yang akan ddga θ, dasmskan mempnya bngan dengan x. Data pendkng tersebt dgnakan ntk membangn model: θ = x T β + b v, =1,..., n...(1) Kesmplan mengena θ, dapat dketa dengan mengasmskan bawa model pendga langsng y tela terseda yat : y = θ + e, =1,..., n...() Pada akrnya model (1) dan () dgabngkan dan mengaslkan model gabngan : y = x T β + b v + e, =1,..., n b. Basc nt level model yat sat model dmana data-data pendkng yang terseda bersesaan secara ndvd dengan data respon sengga dapat dbangn sat model regres tersarang : y j = x T j β + v +e j, =1,..., n dan j=1,..., N Metode Pemlsan Kernel Pemlsan Kernel adala sat teknk pemlsan dalam statstka nonparametrk ntk mendga konds yang darapkan dar varabel acak. Mkopadyay dan Mat (004) Semnas Matematka dan Penddkan Matematka 008 1 174
menjelaskan bawa ntk mengrang bas relatf yang besar dar statstk area kecl dengan peba penjelasnya dan ntk mendapatkan pendga MSE yang leb bak dapat drmskan sebaga : y + = θ e...(4) dan = m ( x ) + dmana = 1,,..., n mennjkkan jmla area kecl. θ...(5) Untk mendga m(x ) dapat menggnakan pendga kernel Nadaraya-Watson yat : mˆ = K K lebar jendela ( x x ) y ( x x )....(6) dmana K (.) adala fngs Kernel dengan Berdasarkan persamaan d atas dapat dperlatkan bawa pendga terbak dar nla area kecl θ dengan σ tdak dketa, adala : ˆ ˆ σ θ = ˆ γ y + ( 1 ˆ γ ) mˆ ( x )...(7) dengan ˆ γ =. ˆ σ + D Pendga dar σ drmskan dengan : n 1 ˆ σ ( x) max 0, W ( x) { y mˆ ( x )} D...(8) = n 1 = 1 dengan W ( x) = 1 n K ( x x ) K ( x x ) MSE dar dapat ddga dar : θˆ...(9) mse ( ˆ D σˆ θ ) + ( 1 ˆ γ ) mse mˆ ( x ) 3 [ ] + D ( σˆ + D ) mse ( σˆ = )...(10) D + σˆ Dalam peneltan n dgnakan pendekatan jackknfe ntk mendga MSE. Pendekatan Jackknfe Taapan-taapan ntk mengtng nla MSE J adala sebaga berkt: (a) tng nla M 1 dengan rms: M n 1 m [ g1 ( sv( ) ) g1 ( sv ] 1 = g1 ( sv ) ) n = 1 nla g 1 (s v(-)) dperole dengan mengaps pengamatan ke- pada mpnan data g 1 (s v ) dan = 1,,...,n. (b) tng nla M dengan rms: Semnas Matematka dan Penddkan Matematka 008 1 175
[ ˆ ˆ ] θ ) ( θ 1 m n M = ( ( ) ) n = 1 ˆ θ dmana ( ) dperole dengan mengaps pengamatan ke- pada mpnan data (c) tng nla MSE dengan rms sebaga berkt: θˆ ˆ MSE J ( θ ) = M 1 + M Data DATA DAN METODE Data yang dgnakan dalam peneltan n adala data SUSENAS 005 dengan nformas data berbass rma tangga serta PODES 005 sebaga smber data peba pendkng. Peba respon yang damat dan menjad peratan dalam peneltan n adala pengelaran per kapta rma tangga d kota Bogor. Peba pendkng X yang dasmskan mempengar dan menggambarkan pengelaran per kapta yat persentase jmla srat mskn yang dkelarkan desa. III. Metode Taapan-taapan pada peneltan n adala: 1. Mendga pengelaran per kapta rma tangga ntk masng-masng desa secara langsng (drect estmaton) dan dengan metode pemlsan Kernel.. Mengtng MSE ntk masng-masng pendgaan. 3. Membandngkan nla RRMSE pendgaan langsng dengan nla RRMSE pendgaan pemlsan kernel dengan pertngan RRMSE sebaga berkt : RRMSE ( ˆ ) θ = MSE θˆ ( θˆ ) x100 % Software yang dgnakan pada peneltan n adala Mntab 14, S-Pls 000, SAS 9.1, dan Mcrosoft Excel 003. Eksploras Data HASIL DAN PEMBAHASAN Eksploras ntk peba dlakkan dengan menggnakan scatterplot antara pengelaran per kapta dengan persentase jmla srat mskn yang dkelarkan. Scatterplot yang Semnas Matematka dan Penddkan Matematka 008 1 176
dperole mennjkkan bawa pengelaran per kapta berbandng terbalk dengan persentase jmla srat mskn yang dkelarkan. 1600000 Scatterplot of Y vs x 1400000 100000 1000000 Y 800000 600000 400000 00000 0 0.00 0.01 0.0 0.03 0.04 x Gambar 1. Scatterplot persentase jmla srat mskn Pendgaan Langsng Hasl yang ddapatkan dar pendgaan langsng pengelaran per kapta yat besarnya pengelaran per kapta anggota rma tangga pada beberapa desa d Kota Bogor dan nla smpangan baknya. Nla ragam samplng error (D ) yang menjad peratan ddga ole s /n yang merpakan raso antara ragam d dalam area dengan banyaknya conto. Nla D dapat dtng dar asl pendgaan langsng. Hasl pendgaan langsng dan nla ragam samplng error (D ) dapat dlat d Lampran 1. Pendgaan langsng pengelaran per kapta rma tangga pada beberapa desa d kota Bogor dlakkan berdasarkan data srve dengan objek srve sebanyak 16 rma tangga ntk masng-masng desa, kecal ntk desa Kedng Halang sebanyak 15 rma tangga dan desa Kedng Badak sebanyak 3 rma tangga. Jmla tersebt termask kecl ntk merepresentaskan selr rma tangga pada masng-masng desa sengga ragam asl dgaannya besar. Pendgaan dengan Pemlsan Kernel Peneltan n menggnakan fngs Kernel Normal ata Gassan. Hasl pemlsan yang dperole dar metode pemlsan Kernel sangat bergantng dar lebar jendela () yang dgnakan. Lebar jendela ntk pemlsan Kenel n dperole sebesar 0.0006. Hasl dar pemlsan dapat dlat pada Gambar. Semnas Matematka dan Penddkan Matematka 008 1 177
150 100 Y 50 0 0.00 0.01 0.0 0.03 0.04 X Gambar. Hasl pemlsan dengan metode Kernel Pendgaan parameter area kecl ( ) dengan metode pemlsan Kernel dperole dar θ persamaan (7) dan aslnya dapat dlat pada Lampran. Secara mm asl pendgaan dengan pemlsan Kernel leb besar dar pendgaan langsng, tetap ada beberapa desa yang nla pendga langsngnya leb besar yat desa Bat Tls, Empang, Bantar Jat, Tegal Gndl, Tana Bar, Cbl, Kedng Halang, Pabaton, Kebon Kelapa, Gnng Bat, Clendek Barat, Sndang Barang, Semplak, dan Kedng Badak. Hasl perbandngan pendgaan langsng dan tdak langsng pada pengelaran per kapta beberapa desa beserta nla MSE nya dapat dlat pada Lampran 3. Evalas asl pendgaan langsng dan tdak langsng dapat dketa dengan membandngkan nla RRMSE kedanya. Nla RRMSE ntk metode pemlsan kernel leb kecl darpada nla RRMSE pendgaan langsng. Hal n mennjkkan bawa pendgaan tdak langsng dengan metode pemlsan kernel dapat memperbak asl dar pendgaan langsng. Hasl tersebt jga memperlatkan bawa pendgaan area kecl (small area estmaton) bak dgnakan ntk pendgaan parameter pada level desa/kelraan yang memlk kran conto kecl dengan nla keragaman yang besar. Semnas Matematka dan Penddkan Matematka 008 1 178
KESIMPULAN Dalam peneltan n pendgaan tdak langsng dengan menggnakan metode pemlsan Kernel dapat memperbak asl dar pendgaan langsng sepert dtnjkkan ole nla RRMSE yang leb kecl dbandngkan RRMSE pendgaan langsng, sengga metode pemlsan Kernel mempnya arapan ntk dkembangkan sebaga alternatf pendgaan area kecl ntk mengatas masala pola bngan antara statstk area kecl dan peba pendkng yang tdak lner. DAFTAR PUSTAKA Krna A, Notodptro KA. 006. Penerapan Metode Jackknfe dalam Pendgaan Area Kecl. Form Statstka dan Komptas, Aprl 006, Vol. 11 No.1, p:1-16 Mkopadyay P, Mat T. 004. Two Stage Non-Parametrc Approac for Small Ares Estmaton. Proceedngs of ASA Secton on Srvey Researc Metods: 4058-4065. Rao JNK. 003. Small Area Estmaton. New Jersey: Jon Wlley &Sons, Inc. Syaftr UD. 000. Pemodelan Sebaran Paparan Gamma d Reaktor Serbagna G.A Swabessy dengan Fngs Kepekatan Pelang Kernel [Skrps]. Bogor: Fakltas Matematka dan Ilm Pengetaan Alam, Insttt Pertanan Bogor Ynta A. 008. Penerapan Metode Emprcal Bayes pada Pendgaan Area Kecl (Std Kass Pendgaan Pengelaran Per Kapta d Kota Bogor Tan 003) [Skrps]. Bogor: Fakltas Matematka dan Ilm Pengetaan Alam, Insttt Pertanan Bogor. Semnas Matematka dan Penddkan Matematka 008 1 179
Lampran 1 Pendgaan langsng pengelaran per kapta (xrp. 10.000,00) beserta nla D Kode Desa n pengelaran per kapta Stdev Stderr D 37101000 Pamoyanan 16 18.363 4.454138 1.113535 1.39959 371010004 Genteng 16 0.7841 6.9337 1.733318 3.0043913 371010008 Harjasar 16.6618 3.54113 0.88558 0.7841601 371010011 Cpak 16 3.6735 8.557615.139404 4.5770481 371010013 Bat Tls 16 45.3536 34.8501 8.7155 75.908561 371010015 Empang 16 40.6404 1.164 3.031604 9.190654 371010016 Ckaret 16 35.7589 11.33135.83838 8.049717 3710000 Sndang Rasa 16 4.070 14.53018 3.63546 13.195387 37100004 Katlampa 16 17.8106 3.70897 0.9574 0.8569654 37100005 Baranang Sang 16 30.673 16.93307 4.3368 17.90557 37100006 Skasar 16 30.6155 5.1068 6.8017 39.440539 371030001 Bantar jat 16 30.673 16.93307 4.3368 17.90557 37103000 Tegal Gndl 16 36.980 3.64346 5.910865 34.938319 371030003 Tana Bar 16 44.84 19.00568 4.75141.575997 371030004 Cmapar 16 5.4101 10.61619.654047 7.0439659 371030006 Cbl 16 39.8739 19.5166 4.880415 3.818445 371030007 Kedng Halang 15 54.878 38.10604 9.838937 96.804673 371030008 Cparg 16 4.8663 11.76474.941185 8.6505714 371040003 Babakan Pasar 16 36.5351 8.98 7.45551 5.498005 371040004 Tegal Lega 16 30.6965 14.54145 3.635363 13.15864 371040007 Pabaton 16 160.4853 69.61809 17.4045 30.91739 371040010 Kebon Kelapa 16 7.494 31.0148 7.75537 60.14577 371050001 Pasr Mlya 16 40.11 14.17603 3.66036 3.34508 371050003 Pasr Jaya 16 7.0578 8.877303.1936 4.954071 371050004 Gnng Bat 16 39.413 8.116347.09087 4.117193 371050006 Menteng 16 36.4357 15.13379 3.783448 14.31448 371050008 Clendek Barat 16 39.3071 7.081146 1.77087 3.1339146 371050009 Sndang Barang 16 75.3777 74.63168 18.6579 348.118 37105001 Stgede 16 33.5765 1.79117 3.197793 10.5878 371050014 Semplak 16 43.393 16.01698 4.00444 16.033971 371060001 Kedng Warngn 16 7.6136 10.51945.69861 6.9161704 37106000 Kedng Jaya 16 36.78 19.16673 4.791683.9606 371060003 Kebon Pedes 16 30.1871 8.4348.1081 4.4441699 371060005 Kedng Badak 3 53.7855 38.5595 6.8164 46.463603 371060008 Cbadak 16 37.785 7.598 7.108168 44.11694 371060009 Kay Mans 16 9.9903 13.7546 3.43865 11.84317 371060011 Kencana 16 4.673 11.54668.88667 8.338649 Semnas Matematka dan Penddkan Matematka 008 1 180
Lampran Pendgaan tdak langsng dengan metode pemlsan kernel (xrp. 10.000,00) Kode Desa n Y ( x) ˆ θ mˆ ker nel D 37101000 Pamoyanan 16 18.363189 38.88019 1.39959 19.477771 371010004 Genteng 16 0.78413 3.183967 3.0043913 1.07734 371010008 Harjasar 16.661771 9.198563 0.7841601.89091 371010011 Cpak 16 3.673486 30.05144 4.5770481 4.816199 371010013 Bat Tls 16 45.353603 34.89718 75.908561 37.1184 371010015 Empang 16 40.640446 34.006944 9.190654 38.65946 371010016 Ckaret 16 35.758905 39.859819 8.049717 36.870345 3710000 Sndang Rasa 16 4.070165 4.070159 13.195387 4.070163 37100004 Katlampa 16 17.810639 31.06775 0.8569654 18.315308 37100005 Baranang Sang 16 30.673045 30.673044 17.90557 30.673045 37100006 Skasar 16 30.615457 30.615456 39.440539 30.615457 371030001 Bantar jat 16 30.673045 8.00591 17.90557 9.551488 37103000 Tegal Gndl 16 36.98006 4.9763 34.938319 9.55805 371030003 Tana Bar 16 44.840001 39.391703.575997 4.05471 371030004 Cmapar 16 5.410061 31.641738 7.0439659 6.94334 371030006 Cbl 16 39.873931 9.009613 3.818445 34.174558 371030007 Kedng Halang 15 54.8778 39.789488 96.804673 4.539499 371030008 Cparg 16 4.86633 4.866338 8.6505714 4.86637 371040003 Babakan Pasar 16 36.535149 41.89778 5.498005 39.904458 371040004 Tegal Lega 16 30.696505 36.753494 13.15864 3.996688 371040007 Pabaton 16 160.48533 85.77190 30.91739 90.739857 371040010 Kebon Kelapa 16 7.49353 7.46856 60.14577 7.47515 371050001 Pasr Mlya 16 40.110 40.714366 13.39736 40.34815 371050003 Pasr Jaya 16 7.057751 39.060438 4.954071 9.87748 371050004 Gnng Bat 16 39.4134 36.43387 4.117193 38.791603 371050006 Menteng 16 36.43579 40.17675 14.31448 37.976 371050008 Clendek Barat 16 39.30718 30.615459 3.1339146 38.0518 371050009 Sndang Barang 16 75.37768 7.49556 348.118 7.601681 37105001 Stgede 16 33.576471 33.57647 10.5878 33.576471 371050014 Semplak 16 43.39309 39.5948 16.033971 41.737594 371060001 Kedng Warngn 16 7.613568 39.844147 6.9161704 30.581473 37106000 Kedng Jaya 16 36.7811 4.050759.9606 39.50975 371060003 Kebon Pedes 16 30.187111 36.49 4.4441699 31.6369 371060005 Kedng Badak 3 53.785483 31.94091 46.463603 38.86958 371060008 Cbadak 16 37.78507 37.78506 50.56053 37.78506 371060009 Kay Mans 16 9.990304 30.61441 11.84317 30.13678 371060011 Kencana 16 4.6731 5.450344 8.338649 4.596815 Semnas Matematka dan Penddkan Matematka 008 1 181
Lampran 3 Pendgaan pengelaran per kapta (x Rp. 10.000,00) dengan pendgaan langsng dan pendgaan pemlsan kernel dengan pendekatan jackknfe beserta nla RRMSE(%) Pendgaan Langsng Kernel-Jackknfe Kode Desa Teta_at MSE RRMSE Teta_at MSE RRMSE 37101000 Pamoyanan 18.363 1.39959 6.0639491 19.477771 1.175986 5.559496 371010004 Genteng 0.7841 3.0043913 8.339653 1.07734.6373075 7.7048563 371010008 Harjasar.6618 0.7841601 3.9075859.89091 0.7566711 3.8000587 371010011 Cpak 3.6735 4.5770481 9.03713 4.816199 3.776939 7.8306468 371010013 Bat Tls 45.3536 75.908561 19.1075 37.1184 16.806097 11.016618 371010015 Empang 40.6404 9.190654 7.4595747 38.65946 6.445999 6.567337 371010016 Ckaret 35.7589 8.049717 7.90494 36.870345 5.85009 6.5599658 3710000 Sndang Rasa 4.070 13.195387 8.6344931 4.070163 8.1891679 6.8014 37100004 Katlampa 17.8106 0.8569654 5.1975916 18.315308 0.84415 4.956936 37100005 Baranang Sang 30.6730 17.90557 13.80164 30.673045 9.7914131 10.0154 37100006 Skasar 30.6155 39.440539 0.51307 30.615457 13.95091 1.199749 371030001 Bantar Jat 30.6730 17.90557 13.80164 9.551488 9.7914131 10.588717 37103000 Tegal Gndl 36.980 34.938319 15.983861 9.55805 13.34168 1.357693 371030003 Tana Bar 44.8400.575997 10.596388 4.05471 11.03469 7.8988763 371030004 Cmapar 5.4101 7.0439659 10.444867 6.94334 5.3108451 8.553398 371030006 Cbl 39.8739 3.818445 1.3961 34.174558 11.33395 9.846580 371030007 Kedng Halang 54.878 96.804673 17.93045 4.539499 17.649587 9.8758595 371030008 Cparg 4.8663 8.6505714 11.87987 4.86637 6.175593 9.9937317 371040003 Babakan Pasar 36.5351 5.498005 19.83176 39.904458 15.95943 9.800917 371040004 Tegal Lega 30.6965 13.15864 11.849 3.996688 8.1970501 8.6767773 371040007 Pabaton 160.4853 30.91739 10.84493 90.739857 0.1496 4.9468768 371040010 Kebon Kelapa 7.494 60.14577 10.707497 7.47515 15.88447 5.507805 371050001 Pasr Mlya 40.11 13.39736 9.149935 40.34815 8.664968 7.167996 371050003 Pasr Jaya 7.0578 4.954071 8.01814 9.87748 4.0103085 6.8375878 371050004 Gnng Bat 39.413 4.117193 5.1707909 38.791603 3.4576666 4.79351 371050006 Menteng 36.4357 14.31448 10.383896 37.976 8.6067554 7.7351484 371050008 Clendek Barat 39.3071 3.1339146 4.50379 38.0518.7365905 4.399477 371050009 Sndang Barang 75.3777 348.118 4.7558 7.601681 0.34766 6.096354 37105001 Stgede 33.5765 10.5878 9.539096 33.576471 6.938684 7.8451898 371050014 Semplak 43.393 16.033971 9.41416 41.737594 9.1999661 7.671763 371060001 Kedng Warngn 7.6136 6.9161704 9.53801 30.581473 5.37874 7.4837474 37106000 Kedng Jaya 36.78.9606 13.1013 39.50975 11.1569 8.497984 371060003 Kebon Pedes 30.1871 4.4441699 6.9835104 31.6369 3.685381 6.140477 371060005 Kedng Badak 53.7855 46.463603 1.673348 38.86958 14.73843 9.876759 371060008 Cbadak 37.785 50.56053 18.840311 37.78506 15.1396 10.307733 371060009 Kay Mans 9.9903 11.84317 11.465874 30.13678 7.63943 9.1480107 371060011 Kencana 4.673 8.338649 11.895303 4.596815 6.0119561 9.968481 Ket : yang d cetak tebal adala asl pendgaan langsng yang leb besar dar metode pemlsan Kernel Semnas Matematka dan Penddkan Matematka 008 1 18