Lingkaran & Garis Singgung A. Unsur-Unsur Lingkaran Lingkaran adalah tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama terhadap satu titik tetap yang disebut titik pusat lingkaran. Lambang lingkaran dengan titik pusat P ditulis [ P Unsur-unsur pada lingkaran : Titik P disebut pusat lingkaran Jari-Jari adalah jarak antara pusat lingkaran dengan titik yang ada dilingkaran. AP = PB = PC adalah jarijari lingkaran dengan panjang r Tali Busur adalah ruas garis yang menghubungkan dua titik pada lingkaran. Contoh pada gambar 1 : BC dan AB Diameter adalah tali busur yang melalu pusat lingkaran. Panjang Diameter adalah 2 kali jarijari lingkaran. Contoh pada gambar 1 : AB Apotema adalah jarak tali busur ke pusat lingkaran. Contoh pada gambar 1 : PQ adalah Apotema [ P Busur adalah garis lengkung yang menghubungkan dua titik pada lingkaran. Contoh pada gambar 1 : Garis lengkung AB, Garis lengkung BC, Garis lengkung AC Juring adalah Daerah yang dibatasi oleh dua jari-jari dan sebuah busur. Juring merupakan bagian dari luas lingkaran. Contoh pada gambar 1 : daerah APC, daerah BCP dan daerah APB Tembereng adalah daerah yang dibatasi oleh sebuah busur dan sebuah tali busur. Contoh pada gambar 1 : daerah yang dibatasi oleh busur CB dan tali busur CB B. Keliling & Luas Lingkaran Keliling Lingkaran : K = 2 r = d Luas Lingkaran : L = r 2 = d Keterangan : = atau = 3,14 Gambar 1 r = jari-jari lingkaran d = diameter Pada gambar berikut ini, panjang diameter lingkaran besar adalah 28 cm. Berapa keliling dan luas lingkaran yang diarsir? Diketahui diameter lingkaran besar d 1 = 28 cm, r 1 = 14 cm dan diameter lingkaran kecil d 2 = 14 cm, r 2 = 7 cm
a. Keliling daerah yang diarsir = (½ K [ besar) + K [ kecil = (½ d 1 ) + d 2 = (½ x x 28) + ( x 14) = 44 + 44 = 88 cm b. Luas daerah yang diarsir = (½ L [ besar) - L [ kecil = ½ r 1 2 + r 2 2 = (½ x x 14 2 ) ( x 7 2 ) = 308 154 = 154 cm 2 C. Panjang Busur Perhatikan gambar 1 di atas : Panjang Busur AC = x Keliling Lingkaran Perhatikan gambar 1, Tentukan panjang busur BC jika sudut CPB = 108 o dan jari-jari lingkaran 7 cm? Panjang Busur BC = x Keliling [ P = x (2 r) = x (2.. 7) = 0,3 x 44 = 13,2 cm D. Luas Juring Masih pada gambar 1 di atas : Luas Juring APC = x Luas [ P Pada gambar 1, Tentukan luas juring APC jika CPB = 108 o dan jari-jari lingkaran 7 cm! Luas Juring APC = x Luas [ P = 180 o - = 180 o 108 o = 72 o Luas Juring APC = x r 2 = 0,2 x (. 7 2 ) = 0,2 x 154 = 30,8 cm 2 E. Luas Tembereng Pada gambar 1 di atas : Luas Tembereng BCT = L. Juring BPC L. œ BPC
Masih pada gambar 1, jika jari-jari lingkaran P adalah 13 cm, panjang tali busur BC = 24 cm, dan = 25 o. berapa luas tembereng BCT? Luas Tembereng BCT = L. Juring BPC L. œ BPC L. Juring BPC = x r 2 = x (. 13 2 ) = x = 0,36 x 531,14 = 191,21 cm 2 L. œ BPC = ½ BC x PQ = ½ x 24 x = 12 x 5 = 60 cm 2 Luas Tembereng BCT = 191,21 60 = 131,21 cm 2 F. Hubungan Sudut Pusat, Panjang Busur dan Luas Juring Serta Luas Lingkaran Perhatikan gambar! 1. Hubungan Sudut Pusat, Panjang Busur dan Luas Juring = = 2. Hubungan Sudut Pusat, Panjang Busur dan Luas Lingkaran = = Jika jari-jari [ P = 10 cm dan = 60 o, berapa? jika luas juring DPC yang diarsir 2 kali luas juring APB yang diarsir. = Luas Juring APB = x Luas [ P = x ( x 10 2 ) = 52,3 cm 2 = = = = 120 o Secara singkat, karena luas juring diarsir DPC besarnya 2 kali lipat luas juring diarsir APB maka besar sudut DPC dua kali lipat besar sudut APB
G. Sudut-Sudut pada Lingkaran dan Hubungannya merupakan sudut pusat, dan merupakan sudut keliling 1. Jika sudut pusat dan sudut keliling menghadap busur yang sama, maka besar sudut pusat sama dengan dua kali sudut keliling. = 2 x, karena (sudut pusat) dengan (sudut keliling) menghadap busur yang sama yaitu busr AB 2. Sudut keliling yang menghadap busur sama besarnya sama = = karena menghadap busur yang sama yaitu busur AB 3. Sudut keliling yang menghadap diameter besarnya 90 o. = 90 o (siku-siku), karena menghadap diameter lingkaran AC adalah diameter lingkaran. Jika besar = 30 o. Berapa besar? merupakan sudut keliling dengan besar 30 o. Dan menghadap busur yang sama dengan sudut pusat. Maka : = 2 x = 2 x 30 o = 60 o. dan saling berpelurus, maka : + = 180 o 60 o + = 180 o = 120 o H. Sifat Segi Empat Tali Busur Segi empat tali busur adalah segiempat yang dibatasi oleh empat tali busur dimana keempat titik sudutnya terletak pada lingkaran. 1. Jumlah sudut yang berhadapan 180 o. + = 180 o + = 180 o 2. HAsil kali panjang diagonal = jumlah perkalian sisi yang berhadapan. AC x BD = (AB x CD) + (AD x BC) 3. Hasil kali bagian diagonal adalah sama AE x EC = BE x ED Perhatikan gambar! Berapa besar dan? Jumlah sudut yang berhadapan 180 o. = 180 o -
= 180 o 135 o = 45 o = 180 o - = 180 o 80 o = 100 o I. Sudut Antar Dua Tali Busur 1. Berpotongan di dalam = + Atau = ½ ( + ) 2. Berpotongan di Luar = - Atau = ½ ( - ) Pada gambar berikut, O ousat lingkaran. Jika = 55 o dan = 30 o, berapa besar? = ½ ( - ) 30 o = ½ ( 55 o ) ½ = 30 o + 27,5 o = 57,5 o = 115 o J. Garis Singgung Lingkaran Garis singgung lingkaran dalah garis yang memotong lingkaran di satu titik dan tegak lurus dengan jari-jari yang melalui titik singgungnya. 1. Garis Singgung Melalui Satu Titik di Luar Lingkaran PB 2 = AP 2 + AB 2 AB = 2. Garis Singgung Persekutuan Luar AB = PQ = Jarak kedua titik pusat lingkaran r 1 = Jari-jari lingkaran P (besar) r 2 = Jari-jari lingkaran Q (kecil) 3. Garis Singgung Persekutuan Dalam AB = PQ = Jarak kedua titik pusat lingkaran
r 1 = Jari-jari lingkaran P (besar) r 2 = Jari-jari lingkaran Q (kecil) Pada gambar berikut, lingkaran P berjari-jari 7 cm dan lingkaran Q berjari-jari 5 cm. Berapa panjang ruas garis singgung persekutuan AB? Diketahui r 1 = 7 cm dan r 2 = 5 cm Lingkaran P dan lingkaran Q bersinggungan sehingga jarak PQ = r 1 + r 2 = 7 + 5 = 12 cm AB = = = = = = 2 cm K. Lingkaran Dalam & Lingkaran Luar Segitiga 1. Lingkaran Dalam Segitiga Misalkan panjang jari-jari dari lingkaran dalam segitiga adalah r, AB = c, BC = a, AC = b r = dengan : Luas œabc = S = ½ (a + b + c) 2. Lingkaran Luar Segitiga Misalkan panjang jari-jari lingkaran luar segitiga ABC adalah r, AB = c, BC = a, AC = b maka : r =
Perhatikan gambar! Berapa luas daerah yang diarsir? ( = 3,14) Panjang sisi miring segitiga dalam lingkaran = = = = 20 cm Luas yang diarsir = Luas lingkaran Luas segitiga Untuk mencari luas lingkaran harus tahu jari-jari lingkaran r. r = Luas setiga ABC = ½ x 16 x 12 = 96 cm 2 r = = 10 cm Luas Lingkaran = r 2 = 3,14 x 10 2 = 314 cm 2 Jadi Luas daerah yang diarsir = 314 96 = 218 cm 2 L. SOAL 1. Sebuah segi tiga ABC dengan panjang sisi AB = 13 cm dan AC 15 cm, luasnya 24 cm. Jika panjang jari-jari lingkaran dalamnya adalah 4 cm, maka panjang garis tinggi menuju sisi BC adalah a. 6 cm c. 12 cm b. 7 cm d. 4 cm (UN 2000/2001) 2. Jika jarak pusat lingkaran luar segi enam beraturan ke sisinya adalah 6 cm, maka panjang jari-jari lingkaran luar segi enam tersebut adalah a. 6 cm b. 4 cm c. 3 cm d. 2 cm (UN 2000/2001) 3. Dua lingkaran masing-masing dengan jari-jari 17 cm dan 25 cm, panjang garis singgung persekutuan luarnya 15 cm. Jarak antara kedua pusat lingkaran tersebut adalah a. 12 cm c. 23 cm b. 17 cm d. 35 cm (UN 2001/2002) 4. Segitiga ABC siku-siku di A. Panjang sisi AB = 21 cm dan sisi BC= 35 cm. Panjang jari-jari lingkaran luar segitiga ABC adalah a. 10 cm c. 15,0 cm b. 12,5 cm d. 17,5 cm (UN 2002/2003)
5. Perhatikan gambar! Jika luas juring OBC = 60 cm 2, luas juring OAC adalah a. 44 cm 2 b. 76 cm 2 c. 104 cm 2 d. 120 cm 2 (UN 2012/2013)