BAB II TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Dasar Teori 2.1.1 Integral Integral merupakan invers atau kebalikan dari differensial. Integral terdiri dari dua macam yakni integral tentu dan integral tak tentu. Integral tentu merupakan suatu integral yang dibatasi oleh suatu nilai tertentu yang sering disebut batas atas dan batas bawah. Sedangkan integral tak tentu digunakan untuk mencari fungsi asal dari turunan suatu fungsi (Purcell & Verberg, 2010). Integral tentu dinyatakan seperti pada Persamaan (1). b a I = f(x)dx. (1) Integrasi tentu sama dengan menghitung luas daerah yang dibatasi kurva y =f(x), dengan batas x=a dan x=b (Munir, 2015). Integral ganda merupakan perhitungan volume ruang di bawah permukaan kurva f(x,y) yang alasnya berupa bidang yang dibatasi oleh garis x=a, x=b, y=c, y=d. Volume benda berdimensi tiga dihitung seperti pada Persamaan (2). b a d c d c b a I = f(x, y)dydx = [ f(x, y)dx]dy Volume = Luas Alas x tinggi Solusi integral ganda adalah dengan melakukan integrasi dua kali dalam arah x menghitung luas alas, dan arah y menghitung tinggi (Munir R, 2015) 2.1.2 Integrasi Numerik Integrasi Numerik merupakan cara perhitungan yang digunakan apabila kondisi dalam perhitungan analitik dirasa sulit atau bahkan tidak mungkin untuk memperoleh hasil integral. Dengan kata lain, integrasi numerik dilakukan ketika perhitungan integral secara eksak sulit dilakukan (Munir, 2015). Hasil penyelesaian metode numerik berupa nilai hampiran (approximation), sehingga timbul kesalahan (error). Pada penyelesaian secara numerik diusahakan menghasilkan error sekecil mungkin untuk memperoleh hasil yang lebih baik 5 (2)
(Munir, 2015) Ada beberapa metode dalam perhitungan integral secara numerik. Diantaranya metode Trapesium, Simpson, Romberg, hingga Monte Carlo. 2.1.2.1 Metode Trapesium Metode Trapesium atau trapezoidal rule merupakan metode integrasi numerik yang didasarkan pada penjumlahan segmen-segmen berbentuk Trapesium (Munir, 2015). Sebuah pias berbentuk Trapesium dari x = x 0 sampai x = x 1. Perhatikan Gambar 2.1 dibawah ini. Gambar 2.1 Metode Trapesium (Munir, 2015) Secara umum aturan Trapesium diperoleh dari Persamaan (3). n 1` I = h (f(x 2 0) + 2 i=1 f i + f(x n )) (3) dengan : n h a,b f(x) = jumlah upselang = jarak antar titik ( h = (b a) n = batas kurva = fungsi 2.1.2.2 Metode 1/3 Simpson ) Kaidah Simpson merupakan turunan dari metode Newton-Cotes. Metode atau kaidah ini dikenalkan oleh seorang ahli matematika bernama Thomas Simpson (1710-1761) dari Leicestershire, England.
Metode 1/3 Simpson dapat didefinisikan sebagai luas daerah yang dibatasi oleh hampiran fungsi parabola. Gambar 2.2 menunjukkan metode 1/3 Simpson. Gambar 2.2 Metode 1/3 Simpson (Munir, 2015) Integral 1/3 Simpson secara numerik didefinisikan seperti pada Persamaan (4) di bawah ini. b : I = f(x) dx a I = h (f(x n 1 n 2 3 0) + 4 i=1,3,5 f i + 2 i=2,4,6 f i + f(x n )) (4) Dengan n h a,b f(x)` = jumlah upselang = jarak antar titik ( h = (b a) n = batas kurva = fungsi integral ) Penggunaan metode 1/3 Simpson ini mensyaratkan bahwa jumlah upselang (n) harus genap (Munir, 2015). 2.1.2.3 Metode 3/8 Simpson Metode 3/8 Simpson dapat didefinisikan sebagai luas daerah yang dibatasi oleh fungsi kubik. Dimana metode 3/8 Simpson ini mensyaratkan jumlah upselang (n) harus kelipatan 3 (Munir, 2015). Gambar 2.3 menunjukkan metode 3/8 Simpson.
Gambar 2.3 Metode 3/8 Simpson (Munir, 2015) Secara umum aturan 3/8 Simpson dapat dilihat pada Persamaan (5). b I = f(x) dx a 3h 3h I = f(x) dx I = p 3 (x) dx 0 0 I = 3h (f(x n 1 n 3 8 0) + 3 i 3,6,9 f i + 2 i=3,6,9 f i + f(x n ))...(5) n h a,b f(x) = jumlah upselang = jarak antar titik ( h = (b a) n = batas kurva = fungsi integral 2.1.2.4 Metode Romberg ) Metode Romberg didasarkan pada ekstrapolasi Richardson. Setiap penerapan ekstrapolasi Richarson akan menaikkan orde galat pada hasil solusinya sebesar dua. Hal ini akan mengakibatkan nilai galat semakin kecil dan solusi numeriknya mendekati nilai sejati (nilai eksak). Pada integrasi Romberg, mulamula menghitung kuadratur dengan lebar interval h dan 2h untuk menurunkan galat hampiran integral dari O(h 2n ) menjadi O(h 2n+2 ) dengan menggunakan ekstrapolasi Richardson. Dimana untuk n=1 berhubungan dengan nilai dasar dari hasil perhitungan rumus metode Trapesium, n=2 berhubungan dengan nilai dasar dari hasil perhitungan rumus Simpson atau O(h 4 ), n=3 berhubungan dengan nilai dasar dari perhitungan rumus Boole atau O(h 6 dengan O(h 2n ) (Munif & Hidayatullah, 2003). ), jadi untuk n berhubungan
Persamaan (6) berikut ini merupakan ekstrapolasi Richardson: J = I(h) + I(h) I(2h) 2 q 1 (6) Misalkan I adalah nilai integrasi sejati yang dinyatakan sebagai I = A k + Ch 2 + Dh 4 +Eh 6 +... Dimana h = (b-a)/n dan Ak = perkiraan nilai integrasi dengan kaidah Trapesium dan jumlah pias n = 2 k. Orde Galat A k adalah O(h 2 ). A 0 adalah b taksiran integrasi I = f(x) dx a dengan kaidah Trapesium dengan pembagian daerah integrasi n= 2 0 b = 1 pias. A 1 adalah taksiran integrasi I = f(x) dx a kaidah Trapesium dengan pembagian daerah integrasi n= 2 1 = 2 pias. dengan Gunakan runtutan A 0, A 1, A 2,.. untuk mendapatkan B 1, B 2, B 3. Nilai B 1, B 2, B 3 dapat dilihat pada Persamaan (7). B k = A k + A k A k 1 2 2 1 (7) Jadi, nilai I sekarang adalah I = B k + D h 4 + E h 6 +... dengan orde galat B k adalah O(h 4 ) (Munir, 2015). Begitu seterusnya hingga didapatkan seperti Tabel 2.1 di bawah ini. Tabel 2.1 Tabel Romberg O(h 2 ) O(h 4 ) O(h 6 ) O(h 8 ) O(h 10 ) O(h 12 ) A 0 A 1 B 1 A 2 B 2 C 2 A 3 B 3 C 3 D 3 A 4 B 4 C 4 D 4 E 4 2.1.2.5 Metode Monte Carlo Algoritma Monte Carlo adalah metode Monte Carlo numerik yang digunakan untuk menemukan solusi matematis (yang dapat terdiri dari banyak
variabel) yang sulit dipecahkan, misalnya dengan kalkulus integral, atau metode numerik lainnya. Salah satu penggunaan penting metode Monte Carlo adalah untuk menghitung integral suatu fungsi. Ide dasarnya adalah dengan mengambil sejumlah titik acak pada sumbu absis yang berada pada batas integrasi, kemudian dihitung nilai fungsinya dan dijumlahkan. Pengambilan jumlah titik sampel dapat dipilih sembarang sesuai dengan kebutuhan. Formulasi integrasi Monte Carlo untuk satu dimensi dinyatakan seperti pada Persamaan (8) (Gunarto, 1992). I = (b a) n i=n i=1 f(x i ) (8) 2.1.3 Kesalahan (Error) Error atau yang sering disebut galat merupakan salah satu bentuk kesalahan yang terjadi karena adanya ketidaksamaan anatara solusi analitik dan solusi numerik. Pada perhitungan integral, error merupakan standar mutlak antara selisih nilai analitik (nilai eksak) dan nilai hampiran (Munir, 2015). Error dinyatakan dalam persamaan (9) : E = x x (9) dimana E x x = error atau galat = nilai analitik (eksak) = nilai hampiran Sebagai contoh, jika x = 8.5 merupakan nilai hampiran x = 8.35, maka galatnya adalah E = -0.15. Tanda galat (positif atau negatif) tidak dipertimbangkan, sehingga galat mutlak atau galat absolut dapat didefinisikan sebagai E = x x...(10) Panjang sebuah kayu berdasarkan hasil pengukuran yang dilakukan oleh orang A adalah 88 cm, padahal panjang kayu sebenarnya adalah 90 cm. Galatnya 90-88 = 1 cm. Sementara hasil pengukuran orang B terhadap panjang buku adalah
9 cm, padahal panjang buku sebenarnya adalah 10 cm. Galatnya adalah 10 9 = 1 cm. Galat dari kedua pengukuran tersebut sama sama bernilai 1 cm, namaun galat 1 cm pada pengukuran buku lebih berarti daripada galat 1 cm pada pengukuran panjang kayu. Apabila tidak terdapat informasi mengenai panjang sesungguhnya, mungkin kedua galat tersebut dianggap sama saja. Untuk mengatasi interpretasi nilai galat tersebut, maka muncul sebuah galat relatif. Galat relatif didefinisikan seperti pada persamaan (10) : E R = E x 100 %...(11) x dimana E R E x = error relatif = nilai error = nilai eksak persamaan diatas merupakan persamaan galat yang telah dinormalkan terhadap nilai eksak yang dinamakan galat relatif (Munir, 2015). 2.1.4 Unified Modelling Language (UML) Unified Modelling Language (UML) merupakan sebuah bahasa yang telah menjadi standar untuk visualisasi, perancangan dan pendokumentasian sistem piranti lunak. UML merupakan sebuah standar dalam perancangan model sebuah sistem (Dharwiyanti, 2003). 2.1.4.1 Use Case Use Case merupakan sebuah pemodelan yang menggambarkan perilaku sistem informasi tersebut. Use Case Diagram merupakan pemodelan perilaku (behavior) sistem informasi yang akan dibuat (Rosa & Shalahuddin, 2011). Use Case digunakan untuk mengetahui fungsi apa saja yang ada di dalam sebuah sistem informasi dan siapa saja yang berhak untuk menggunakan fungsi- fungsi tersebut. Berikut adalah simbol-simbol yang ada pada use case diagram yang dapat dilihat pada Tabel 2.2.
Tabel 2.2 Simbol Use Case Diagram (Dennis, Haley W, & M. Roth, 2012) 2.1.4.2 Sequence Diagram Sequence Diagram menunjukkan interaksi antar objek, diagram ini merupakan pandangan dinamis terhadap sistem. Diagram ini menekankan pada basis keberurutan waktu dari pesan-pesan yang terjadi. Sequence diagram mendeskripsikan bagaimana entitas berinteraksi, termasuk message yang digunakan ketika berinteraksi. Semua message digambarkan dalam urutan eksekusi. (Dennis, Haley W, & M. Roth, 2012) Berikut ini adalah simbol-simbol yang ada pada sequence diagram yang dapat dilihat pada Tabel 2.3.
Tabel 2.3 Simbol Sequence Diagram (Dennis, Haley W, & M. Roth, 2012) 2.2 Penelitian Terkait Penelitian yang dilakukan Ubay pada tahun 2013 tentang Penyelesaian Numerik Integral Lipat Tiga dengan Menggunakan Integrasi Romberg menjelaskan tentang hasil implementasi metode Romberg dalam penyelesaian kasus integral lipat tiga dapat dilakukan lebih cepat daripada perhitungan secara analitik. Objek yang digunakan adalah contoh soal integral lipat tiga yang wajar dan memiliki batas konstan. Penelitian ini dijelaskan dalam Tabel 2.1 pada nomor 1. Penelitian yang dilakukan Royani pada tahun 2015 yang berjudul perbandingan metode pecahan dan aturan Simpson dalam menghitung luas daerah kurva menunjukkan bahwa penerapan aturan Simpson pada perhitungan luas daerah kurva memberikan hasil yang lebih baik dengan galat lebih kecil daripada metode pecahan. Penelitian ini ditunjukkan dalam Tabel 2.1 pada nomor 2.
Penelitian Mulia yang berjudul Studi dan implementasi Monte Carlo menunjukkan bahwa hasil keakuratan implementasi metode Monte Carlo dalam kasus integral lebih rendah dibandingkan dengan metode lain dikarenakan dimensi yang digunakan pada percobaan terlalu kecil. Penelitian ini dijelaskan dalam Tabel 2.1 pada nomor 3. Penelitian dengan judul Penyelesaian Integral Lipat Menggunakan Metode Monte Carlo dilakukan oleh Haryono pada tahun 2009 menjelaskan tentang penerapan metode Monte Carlo untuk penyelesaian kasus integral lipat dengan pendekatan perhitungan volume prisma dibawah kurva. Contoh yang digunakan adalah integral lipat dua dengan daerah atas berbentuk persegi. Hasilnya nilai hampiran mendekati nilai sebenarnya dengan jumlah titik random diatas 1000. Penelitian ini dijelaskan pada Tabel 2.1 nomor 4. Penelitian yang dilakukan oleh Haryadi pada tahun 2013 yang berjudul Pengukuran Luas Daun dengan Metode Simpson menjelaskan tentang implementasi metode Simpson pada pengukuran luas daun mangga, daun sawi, daun jambu biji dan daun pisang. Hasil penelitian menunjukkan bahwa perhitungan luas daun dengan metode Simpson memiliki kesalahan baku lebih kecil dibanding hasil pengukuran dengan metode Gravimetric yang dilakukan peneliti sebelumnya. Penelitian ini dijelaskan pada Tabel 2.1 nomor 5.
Tabel 2.1 Penelitian Terkait No Penulis Judul Tujuan Metode Hasil Kelebihan Kelemahan 1 Dillah,U Penyelesaian Penyelesaikan Integrasi Perhitungan Perhitungan Batas integralnya bay.2013. Numerik Integral Lipat Tiga dengan Menggunakan Integrasi Romberg 2 Royani, Perbandingan Evi. metode pecahan 2015 dan aturan Simpson pada perhitungan luas daerah kurva kasus integral lipat tiga dengan metode Romberg Romberg integral lipat tiga dapat dilakukan lebih cepat menggunakan integral fungsi aljabar dan transenden dapat konstan antara 1 sampai 10. Masih ada selisih antara perhitungan metode integrasi diselesaikan numerik secara Romberg dengan metode manual dengan Romberg. hasil simulasi matlab. Menghitung luas daerah kurva dengan metode pecahan dan aturan Simpson Metode pecahan dan aturan Simpson Aturan Simpson memeiliki galat yang lebih kecil daripada metode pecahan Perhitungan luas daerah kurva dapat diselesaikan lebih tepat dengan aturan Simpson Hanya menggunakan 1 sampel yang mudah dan memiliki batas konstan. Belum ada perbandingan dengan metode yang lainnya.
Tabel 2.1 Penelitian Terkait Lanjutan No Penulis Judul Tujuan Metode Hasil Kelebihan Kelemahan 3 Mulia, Studi dan Implementasi Metode Keakuratannya Metode ini Dimensi dan Firdi. Implementasi metode Monte Monte lebih rendah cocok untuk jumlah data yang 2011 Monte Carlo Carlo pada Carlo dibanding metode menangani kecil kasus integral yang lain karena dimensi yang digunakan kecil. kasus dengan jumlah data yang cukup banyak. mengakibatkan keakuratannya lebih rendah dibandingkan dengan metode lain. 4 Haryono, Perhitungan Penerapan Metode Metode Monte Hasil yang Hanya Agus Integral Lipat metode Monte Monte Carlo didapatkan menggunakan Nugroho. menggunakan Carlo dalam Carlo memberikan hasil mendekati contoh integral 2009 Metode Monte perhitungan yang mendekati nilai lipat dua dengan Carlo kasus integral nilai sebenarnya sebenarnya daerah atas lipat untuk jumlah titik random diatas 1000 (nilai analitis) berbentuk persegi serta batas yang digunakan masih wajar.
Tabel 2.1 Penelitian Terkait Lanjutan No Penulis Judul Tujuan Metode Hasil Kelebihan Kelemahan 5 Haryadi. 2013. Pengukuran Luas Daun dengan Metode Simpson Mengimplement asikan metode Simpson untuk menghitung luas daun mangga, sawi, jambu biji, dan pisang. Simpson (1/3 dan 3/8 Simpson) Penerapan metode Simpson menghasilkan kesalahan baku lebih kecil dibandingkan hasil pengukuran dengan metode Gravimetric Kesalahan baku yang dihasilkan lebih kecil dari penelitian yang telah dilakukan sebelumnya (menggunakan metode Gravimetric) Tidak ada penjelasan perhitungan dan tidak adanya perbandingan dengan metode integrasi numerik lainnya seperti metode Trapesium ataupun Romberg.
2.3 Rencana Penelitian Penelitian ini akan membuat sebuah program kalkulator integrasi numerik dengan penerapan metode Trapezium, metode 1/3 Simpson, metode 3/8 Simpson, metode Romberg, dan metode Monte Carlo untuk menyelesaikan kasus integral tunggal dan integral ganda. Hasil keluaran program kemudian dianalisis sehingga diketahui metode mana yang paling baik dengan memiliki galat kecil.