LEMBAR KEGIATAN SISWA 4 Materi : Menghitung nilai optimum (maksimum / minimum) dari sistem pertidaksamaan linier. Kelas Kelompok : :.. Nama Anggota : Kalian telah mempelajari cara membuat grafik dari sisem pertidaksamaan linier dua variabel, daerah penelesaian sistem pertidaksamaan linier dua variabel, dan model matematika. Pada pertemuan ini kalian akan mempelajari materi program linier aitu cara menghitung nilai maksimum/minimum (optimum) fungsi obektif. Tujuan Pembelajaran : Siswa dapat menghitung nilai maksimum/minimum (optimum) fungsi sasaran dari daerah sistem pertidaksamaan linier.
Pengantar Dalam LKS ini kalian akan diberi suatu masalah, untuk menelesaikan masalah tersebut perlu kalian ikuti langkah-langkah berikut ini : 1. Ubahlah persoalan verbal ke dalam model matematika (dalam bentuk sistem pertidaksamaan linier) 2. Buatlah grafik dari sistem petidaksamaan linier 3. Tentukan himpunan penelesaian ( daerah penelesaian) 4. Tentukan semua titik-titik pojok pada daerah penelesaian tersebut untuk mencari nilai maksimum/minimum (optimum) 5. Langkah ke 4 tidak selalu bisa digunakan, hal ini disebabkan antara lain jika koordinat titik pojok bukan merupakan bilangan bulat. Pada waktu SMP, kalian telah belajar cara menghitung nilai sebuah fungsi. Masih ingatkah kalian cara menghitung nilai fungsi tersebut? At junior higt school, ou have learned about arithmetic a value of function. Do ou remember about arithmetic a value of function? 1. Perhatikan fungsi f(, ) = 3 + 2, dapatkah kalian mencari nilai fungsi tersebut, jika diketahui : a. = 4, = 4 b. = 5, = 1 c. = 2, = 8 2. Diketaui fungsi f(, ) = 4 + 5, dapatkah kalian mencari nilai fungsi tersebut untuk: a. = 5, = 2 b. = 3, = 1 c. = 1, = 7
Masalah 1 Unit Produksi SMK N 6 Surabaa mempunai modal Rp 1.200.000 Pengurus unit produksi merencanakan membuat cake nanas dan angel cake. Modal untuk membuat cake nanas Rp 30.000,00 per Loang dan angel cake Rp 20.000,00 per Loang. Keuntungan dari penjualan cake nanas Rp 6.000,00 per loang dan keuntungan dari penjualan angel cake Rp 4.000,00 per Loang. Mengingat kapasitas oven sangat terbatas, maka pengurus hana bisa membuat sebanak-banakna 50 loang cake. 1. Ubahlah kedalam model matematika (dalam bentuk sistem pertidaksamaan linier) dari masalah diatas! Jawab : 2. Tentukan himpunan penelesaian (daerah penelesaian ) dari sistem pertidaksaan linier di atas!
3. Perhatikan titik-titik pojok ang ada pada daerah penelesaian. Pilih beberapa titik dan kemudian tentukan keuntungan ang diperoleh jika banak roti ang dibuat sesuai dengan koordinat titik-titik tersebut. Tulislah titik-titik pojok tersebut dengan mengecualikan titik (0,0). Tulislah titiktitik pojok tersebut! Jawab : 4. Subtitusikan nilai dan dari masing-masing titik pada fungsi obektif dan carilah nilai ang terbesar. Fungsi Obektif : Nilai fungsi : Bisakah Nilai fungsi kamu terbesar memberi : alas an mengapa untuk menentukan keuntungan maksimum masalah diatas bisa dilihat dari titik pojokna? 5. Hitunglah keuntungan maksimum Unit Produksi SMK N 6 surabaa. Diskusikan dengan teman kelompokmu. 6. Berikutna jika diketahui keuntungan ang diperoleh dari penjualan cake gulung pelangi adalah Rp 5000,00 dan brownis kukus Rp 6000,00, maka tentukan berapa banak cake gulung pelangi dan brownis kukus harus diproduksi agar diperoleh keuntungan maksimum! Bagaimana caramu menentukan? Penting :
Untuk menelesaikan masalah 1, cara ang digunakan adalah memanfatkan titik-titik pojok dalam mencari nilai maksimum, tetapi ingat cara tersebut tidak selalu menghasilkan jawaban ang benar, perhatikan masalah 2 berikut ini. Masalah 2 Unit produksi SMK N 6 Surabaa bekerjasama dengan jurusan dalam melakukan kegiatan produksina. Kegiatan produksi tersebut banak melibatkan siswa, dan hasil produksi di jual dilingkungan sekolah. Misalna, dalam memproduksi dua jenis roti (roti pia kacang ijo dan roti muffin). Untuk membuat roti pia kacang ijo membutuhkan 250 gram tepung terigu dan 50 gram gula putih, sedangkan untuk membuat roti muffin membutuhkan 250 gram tepung terigu dan 25 gram gula putih. Unit produksi mempunai persediaan tepung terigu 20 kg dan gula putih 15 kg. Keuntungan dari penjualan roti pia kacang ijo Rp 750,00 dan keuntungan roti sosis keju Rp 1000,00. Tentukan tiap-tiap jenis roti ang harus dibuat supaa didapat hasil keuntungan ang maksimum dan tentukan pula keuntungan maksimum tersebut. 1. Ubahlah kedalam model matematika (dalam bentuk sistem pertidaksamaan linier) dari masalah diatas! Jawab:
2. Tentukan daerah penelesaian dari sistem pertidaksamaan linier di atas! 3. Tunjukan fungsi obektif dari masalah 2. Jawab: 4. Tentukan keuntungan maksimum dengan menggunakan titik-titik pojok. Apa ang kalian peroleh? Catatan : Kalian tidak akan bisa menggunakan cara ang sama seperti pada masalah 1. Kali ini kalian bisa menggunakan titik-titik disekitar titik pojok dari fungsi obektif, sehingga kalian menemukan koordinat ang sesuai untuk mendapatkan keuntungan maksimum. 5. Hitunglah keuntungan maksimum unit produksi SMK N 6 Suraba. Diskusikan dengan teman kelompokmu.
6. Berikutna jika diketahui keuntungan ang diperoleh dari penjualan pia kacang ijo adalah Rp 750,00 dan roti sosis keju Rp 1000,00, maka tentukan berapa banak roti pia kacang ijo dan roti sosis keju harus diproduksi agar diperoleh keuntungan maksimum! Bagaimana caramu menentukan? Latihan 1. Diketahui model matematika: 2 5 10 ; + 5; + 12; -5 + 2 10. Tentukan nilai maksimum fungsi obektif P = 3 + 4. 2. Tentukan nilai maksimum dan minimum P = 3 + 2, dari daerah penelesaian berikut. (3,8) (8,6) (1,4) (6,2) 0 3. Tentukan nilai maksimum dari fungsi obektif P = 3 + 5, ang memenuhi sistem petidaksamaan linier: + 4 + 2 6 0 0 4. Tentukan nilai minimum dari fungsi obektif P = 5 + 7, ang memenuhi sistem pertidaksamaan linier: + 2 8 3 + 2 12 0 0
5. Unit Produksi SMK N 6 Surabaa mempunai persediaan tepung terigu 9 kg dan mentega 5 kg. Dengan persediaan bahan ang ada unit produksi tersebut akan membuat cake gulung pelagi dan brownis kukus. Untuk membuat cake gulung pelangi membutuhkan 150 gr tepung terigu dan 50 gram mentega, sedangkan untuk brownis kukus membutuhkan 75 gram tepung terigu dan 75 gram mentega. Keuntungan ang diperoleh dari hasil penjualan cake gulung pelagi dan brownis kukus masing-masing Rp 5000,00 dan Rp 5000,00. Tentukan tiap-tiap jenis roti ang harus dibuat supaa didapat hasil keuntungan ang maksimum.
Alternatif jawaban 1. a. 20 b. 17 c. 22 2. a. 30 b. 17 c. 39 Masalah 1 1. Model matematika : 3 + 2 120 + 50 0 0 2. Grafik model matematika Daerah penelesaian menggambarkan semua kemungkinan banakna cake ang bisa dibuat oleh pengurus unit produksi dengan memperhatikan semua kondisi ang dimiliki aitu modal dan oven untuk memanggang.
3. Titik-titik pojok : (0, 50) ; ( 20, 30) ; (40, 0) 4. Fungsi obeltif Z = 6000 + 4000 Z1 = 200.000 Z2 = 240.000 Z3 = 16.000 nilai terbesar Masalah 2 1. Model matematika Roti muffin Roti pia kacang ijo Persediaan bahan Tepung terigu 250 250 20.000 Gula putih 50 25 3400 Keuntungan 500 500 + 80 2 + 136 0 0 2. Grafik penelesaian
3. Fungsi obektif : Z = 500 + 500 4. Titik-titik pojok tidak terletak pada koordinat dengan bilangan bulat. 5. Nilai fungsi ang memenuhi Z = 500 (50) + 500 ( 30) = 40.000 6. Dengan membuat grafik garis-garis ang sejajar fungsi objektif dan menentukan nilai maksimum pada daerah penelesaian dari sistem pertidaksamaan. Latihan 1. Grafik dari sistem pertidaksamaan + = 5 Nilai maksimal : P = 3 + 4 = 46
2. Nilai maksimum : P = 3 + 2 = 36 Nilai minimum : P = 3 + 2 = 11 3. Grafik sistem pertidaksamaan Nilai maksimum P = 3 + 5 = 16 4. Grafik sistem pertidaksamaa
Nilai minimum: P = 5 + 7 = 31 5. Model matematika Cake gulung pelangi brownis Persediaan bahan Tepung terigu 150 75 9000 Mentega 50 75 5000 Keuntungan 5000 5000 6 + 3 360 2 + 3 200 0 0 Grafik sistem pertidaksamaan Nilai maksimum : P = 5000 + 5000 = 400.000