KEDUDUKAN TITIK, GARIS, DAN BIDANG DALAM RUANG

KEDUDUKAN TITIK, GARIS, DAN BIDANG DALAM RUANG 1. Penertian Titik, Garis Dan Bidan Tia unsur dasar dalam eometri, yaitu titik, aris, dan bidan. Ketia unsur tersebut, dapat jua disebut sebaai tia unsur yan tak didefinisikan. a. Titik Menurut Stanley R. Clemens et al., (1984: 10-11), Point : location, no lenht, width or heiht. A point as a part of a a physical object. A point as the smallest dot you can draw. A point is an idea, or abstraction. Since a point cannot be defined usin simpler terms, it is an undefined term. Sebuah titik hanya dapat ditentukan oleh lokasi/letaknya, tidak mempunyai ukuran (panjan, lebar, dan tini). Sebuah titik merupakan titik terkecil yan bisa diambar. Titik merupakan sebuah ide atau abstraksi. Karena titik tidak dapat didefinisikan denan istilah sederhana, maka sebuah titik diambarkan menunakan noktah dan ditulis menunakan huruf kapital seperti P, Q, M, N, atau O. Titik merupakan komponen banun ruan yan tidak berbentuk dan tidak mempunyai ukuran. Suatu titik diambarkan atau dimodelkan sebaai noktah dan penamaannya menunakan huruf besar. Contoh : Titik A A Titik M M b. Garis Menurut Stanley R. Clemens et al., (1984: 10-11), Line : unlimited lenth, straiht, no thickness, no endpoints. A line as part of a physical situation. A line as the thinnest streak you can draw. A line is an idea or abstraction. Since a line cannot be defined usin simpler term it is an undefined term. Sebuah aris mempunyai panjan tak terbatas, lurus, tidak tebal, tidak ada titik akhir. Namun meninat terbatasnya bidan tempat ambar, sebuah aris hanya dilukiskan sebaian saja/sanat tipis. Baian ini disebut wakil aris. Garis hanya mempunyai ukuran panjan tetapi tidak mempunyai ukuran lebar. Garis merupakan sebuah aasan atau abstraksi. Karena titik tidak dapat didefinisikan denan istilah sederhana, maka nama sebuah aris dapat dinyatakan denan menyebutkan wakil dari aris tersebut menunakan huruf kecil: l,, k atau menyebutkan nama semen aris dari titik pankal ke titik ujun. Garis merupakan komponen banun ruan yan hanya mempunyai ukuran panjan. Garis dapat dipandan sebaai himpunan titik-titik. 1

Selain itu untuk memberi nama sebuah aris, dapat memanfaatkan dua buah titik pada aris tersebut, atau denan sebuah huruf kecil. Cara menuliskannya:,,,, atau. Misalnya seperti ambar berikut: A B Gambar 1 C Pada ambar di atas aris dapat dinyatakan sebaai aris,,,,, karena aris melalui titik A, titik B, dan titik C. Lamban, artinya aris yan melalui titik A dan titik B, atau aris yan memuat titik A dan titik B. Lamban artinya aris yan melalui titik A dan titik C, atau aris yan memuat titik A dan titik C. Lamban artinya aris yan melalui titik B dan titik C, atau aris yan memuat titik B dan titik C. Lamban dan lamban maknanya sama, yaitu aris yan melalui titik A dan titik B, atau aris yan memuat titik A dan titik B. c. Bidan Menurut Stanley R. Clemens et al., (1984: 10-11), Plane : no boundary, continues in all directions, flat, not thickness. A plane as a part of a physical object. A plane as the thinnest slice you can cut. Sebuah bidan dapat diperluas seluas-luasnya/tidak ada batas, terus keseala arah, datar, tidak tebal. Pada umumnya sebuah bidan hanya dilukiskan sebaian saja yan disebut sebaai wakil bidan. Wakil suatu bidan mempunyai ukuran panjan dan lebar. Gambar dari wakil bidan dapat berbentuk persei atau bujur sankar, persei panjan, atau jajarenjan. Nama dari wakil bidan dituliskan di sudut bidan denan memakai huruf α, β, γ atau H, U, V, W atau denan menyebutkan titik-titik sudut dari wakil bidan itu. U Sebuah bidan difikirkan sebaai suatu himpunan titik berderet dan berjajar secara rapat dan tak terbatas, tetapi tidak memiliki ketebalan. Sebuah bidan direpresentasikan denan ambar sebuah jajarenjan, dan nama sebuah bidan dapat menunakan sebuah huruf kapital atau huruf Yunani. Bidan merupakan komponen banun ruan yan mempunyai luas. Bidan dapat dipandan sebaai himpunan titik-titik. Yan disebut bidan di sini adalah bidan datar, yaitu banun yan dapat diambarkan sebaai suatu yan datar dan mempunyai luas tidak terbatas. Bidan

diambarkan denan model terbatas yan mewakilinya. Bidan tersebut dinamakan bidan α atau bidan ABC. Harus diinat, penamaan bidan denan titik-titik yan dilaluinya minimal menunakan tia titik. Gambar Pada ambar di atas bidan α memuat titik-titik A, B, C, D, E, F, G, (dikatakan ketujuh titik tersebut terletak pada bidan-α); dan keduanya pada bidan- α dan berpotonan di F. memoton (menembus) bidan- α di titik D. Dari Gambar tersebut, dapat dituliskan antara lain: artinya titik A pada bidan- α ; F, artinya titik F pada ; artinya pada bidan- ; F =, artinya titik F adalah titik poton ; D =, artinya titik D adalah titik poton (titik tembus) pada bidan ; = bidan(, ), artinya bidan adalah bidan yan memuat dan, dan sebaainya.. Aksioma dan Teorema Garis dan Bidan Aksioma 1 Melalui dua buah titik sebaran hanya dapat dibuat sebuah aris lurus Aksioma Jika sebuah aris dan sebuah bidan mempunyai dua buah titik persekutuan, maka aris itu seluruhnya terletak pada bidan. K L 3

Aksioma 3 R Melalui tia buah titik sebaran hanya dapat dibuat sebuah bidan P Q Teorema 1 Sebuah bidan ditentukan oleh tia titik sebaran. R P Q Teorema Sebuah bidan ditentukan oleh sebuah aris dan sebuah titik (titik tidak terletak di aris). Teorema 3 Sebuah bidan ditentukan oleh dua buah aris berpotonan. Teorema 4 Sebuah bidan ditentukan oleh dua buah aris sejajar. h h 3. Kedudukan Titik, Garis, dan Bidan a. Kedudukan Titik Terhadap Garis dan Titik Terhadap Bidan 1. Kedudukan Titik Terhadap Garis i). Titik terletak pada aris Jika titik S dilalui oleh aris, S maka titik S dikatakan terletak pada aris. ii). Titik tidak terletak pada aris Titik T tidak dilalui oleh aris h, maka titik T dikatakan tidak terletak pada aris h. T. Kedudukan Titik Terhadap Bidan i) Titik terletak pada bidan Jika titik A dilalui oleh bidan U, maka dikatakan titik A terletak A pada bidan U. B ii) Titik tidak terletak pada bidan Jika Titik B tidak dapat dilalui oleh bidan V, maka dikatakan titik B tidak terletak pada bidan V. V 4

b. Kedudukan Garis Terhadap Garis dan Garis Terhadap Bidan 1. Kedudukan Garis Terhadap Garis Lain i) Berpotonan Dua buah aris dikatakan berpotonan jika kedua aris itu terletak pada sebuah bidan dan mempunyai tepat satu titik persekutuan. ii) Berimpit Garis berimpit denan aris h jika tiap titik di aris jua terletak di aris h, dan sebaliknya. A h Syarat cukup untuk dua aris berimpit adalah memiliki dua titik persekutuan. iii) Sejajar Dua buah aris dikatakan sejajar jika kedua aris itu terletak pada satu bidan dan tidak mempunyai satupun titik persekutuan. h h iv) Bersilanan Dua aris dikatakan bersilanan (tidak berpotonan dan tidak sejajar) jika kedua aris tersebut tidak terletak pada suatu bidan. h Aksioma dua aris sejajar Aksioma 4 Melalui sebuah titik yan tidak terletak pada sebuah aris hanya dapat dibuat sebuah aris yan sejajar denan aris itu. Teorema-teorema tentan dua aris sejajar Teorema 5 Jika aris k sejajar denan aris l, aris l sejajar denan aris m, maka aris k sejajar denan aris m. Teorema 6 Jika aris k sejajar denan aris l dan memoton aris, aris l sejajar aris k dan jua memoton aris, maka aris-aris k, l dan terletak pada sebuah bidan. h 5

Teorema 7 Jika aris k sejajar denan aris l dan aris l menembus bidan α, maka aris k jua menembus bidan α. a) Kedudukan Garis Terhadap Bidan 1. Garis terletak pada bidan Sebuah aris dikatakan terletak pada bidan α, jika aris dan bidan α sekuran-kurannya mempunyai dua titik persekutuan.. Garis sejajar bidan Sebuah aris m dikatakan sejajar pada bidan β, jika aris m dan bidan β tidak mempunyai satupun titik persekutuan. 3. Garis memoton atau menembus Sebuah aris l dikatakan memoton atau menembus bidan γ, jika aris l dan bidan γ tersebut hanya mempunyai sebuah titik persekutuan. b) Kedudukan Dua Bidan 1. Dua bidan berimpit Bidan α dan bidan β dikatakan berimpit, α, β jika setiap titik yan terletak pada bidan α jua terletak pada bidan β, atau sebaliknya.. Dua bidan sejajar Bidan α dan bidan β dikatakan sejajar jika kedua bidan itu tidak mempunyai satu pun titik persekutuan. 3. Dua bidan berpotonan Bidan α dan bidan β dikatakan berpotonan jika kedua bidan itu tepat memiliki sebuah aris persekutuan. (, ) 6

Teorema-teorema bidan terhadap bidan lain 1. Jika dua aris berpotonan, yan terletak pada suatu bidan, sejajar denan dua buah aris berpotonan pada bidan lain, maka kedua bidan itu adalah sejajar.. Suatu bidan yan memoton salah satu dari dua bidan yan sejajar, maka bidan tersebut memoton bidan yan satu lai. 3. Suatu bidan yan memoton dua bidan yan sejajar, maka aris aris poton bidan tersebut adalah sejajar. a Teorema-teorema dalam kesejajaran Teorema 1 Jika aris a sejajar denan aris b V dan aris b terletak pada bidan V, b maka aris a sejajar denan bidan α. Teorema Jika bidan α melalui aris a dan aris a sejajar bidan V, maka aris a sejajar denan aris perpotonan bidan α denan bidan V. α a (α,v V Teorema 3 Jika bidan U dan bidan V sejajar denan aris a, maka aris perpotonan kedua bidan tersebut sejajar denan aris a. U a (U,V) V Teorema 4 Jika aris a berpotonan denan aris b, aris c berpotonan denan aris d, dan aris a sejajar aris c, aris b sejajar aris d, maka bidan (a,b) sejajar bidan (c,d). a c b α d β 7

Teorema 5 Jika bidan U sejajar bidan V dan keduanya dipoton oleh bidan α, maka aris (α,u) sejajar aris (α,v). U V α (α,u) (α,v) a Teorema 6 Jika aris a menembus bidan U yan sejajar denan bidan V, maka aris a jua menembus bidan V. U V 4. Garis Teak Lurus pada bidan Definisi: Jika aris h teak lurus pada bidan α maka aris h teak lurus denan semua aris yan terletak pada bidan α. m Teorema: sebuah aris teak lurus pada sebuah bidan jika aris itu teak lurus pada dua buah aris berpotonan dan U l k Syarat aris k bidan k a. Ada dua buah aris yan terletak pada bidan α (misal aris m dan l) b. Dua aris tersebut salin berpotonan c. Masin-masin aris teak lurus m denan aris k ( m k dan l k ) l Akibat: α 1. Untuk membuktikan aris teak lurus aris diusahakan salah satu aris itu teak lurus pada bidan yan menandun aris lain.. Untuk melukiskan aris teak lurus aris kita pertama-tama melukis bidan teak lurus yan diketahui. 8

Contoh : H G E F D C A B Diketahui kubus ABCD.EFGH. Tentukan : a. Titik yan berada pada aris DF b. Titik yan berada diluar bidan BCHE c. Garis yan sejajar denan CF d. Garis yan berpotonan denan BE e. Garis yan bersilanan denan FG f. Bidan yan sejajar denan bidan BDG Jawab : a. Titik D dan F b. Titik A, D, F, G c. DE d. EA, EF, ED, EH e. AB, DC, AE, DH f. AFH 5. Proyeksi pada Banun Ruan 1) Proyeksi titik pada aris P Titik adalah proyeksi titik P pada aris. P ) Proyeksi aris pada aris Q P adalah proyeksi pada aris. Q 9

3) Proyeksi titik pada bidan P Proyeksi titik P pada bidan adalah titik tembus aris yan teak lurus dari P pada bidan (Titik P adalah hasil proyeksi titik P). P U 4) Proyeksi aris pada bidan a) Jika aris sejajar bidan B A merupakan proyeksi pada bidan. α A B b) Jika aris teak lurus bidan P teak lurus terhadap bidan. Proyeksi pada bidan merupakan sebuah titik yaitu titik Q. Jadi, titik Q adalah proyeksi pada bidan. Q c) Jika aris memoton bidan N memoton bidan di M. Proyeksi pada bidan adalah. M N 6. Jarak Pada Banun Ruan (1) Jarak Titik ke Titik Menentukan jarak titik A ke titik B dalam suatu ruan denan cara menhubunkan titik A dan titik B denan ruas aris AB. Panjan ruas aris AB adalah jarak titik A ke titik B. () Jarak Titik ke Garis Jarak titik ke suatu aris ada jika titik tersebut terletak di luar aris. Lankah-lankah menentukan jarak titik A ke aris (titik A tidak terletak pada aris ) adalah sebaai berikut: a. Buatlah bidan α yan melalui titik A dan aris 10

b. Buatlah aris AP yan teak lurus denan aris pada bidan α c. Panjan ruas aris AP = jarak titik A ke aris. (3) Jarak Titik ke Bidan Jarak titik ke suatu bidan ada jika titik tersebut terletak di luar bidan. Lankah-lankah menentukan jarak titik A ke bidan α (titik A tidak terletak pada bidan α) adalah sebaai berikut. a. Buatlah aris melalui titik A dan teak lurus bidan α b. Garis menembus bidan α di titik D c. Panjan ruas aris AD = jarak titik A ke bidan α. (4) Jarak dua aris sejajar Jarak antara dua aris sejajar (misal aris dan aris h) dapat diambarkan sebaai berikut. 1. Buatlah bidan α yan melalui aris dan aris h (Teorema 4). Buatlah aris l yan memoton teak lurus terhadap aris dan aris h, misal titik potonnya berturut-turut di titik A dan B 3. Panjan ruas aris AB = jarak antara aris dan aris h yan sejajar. α l h (5) Jarak aris dan bidan yan sejajar Jarak antara aris dan bidan yan salin sejajar adalah panjan ruas aris yan masinmasin teak lurus terhadap aris dan bidan tersebut. Jarak antara aris dan bidan V yan sejajar dapat diambarkan sebaai berikut: 1. Buatlah titik O pada aris. O. Buatlah aris l yan melalui titik O dan teak lurus bidan V. 3. Garis l memoton atau menembus bidan V di titik P. 4. Panjan ruas aris OP = Jarak antara P aris dan bidan V yan sejajar. V l 11

(6) Jarak dua bidan sejajar Jarak antara bidan U dan bidan V yan sejajar dapat diambarkan sebaai berikut. A B k 1. Buatlah titik A pada bidan V.. Buatlah aris k yan melalui titik A dan teak lurus bidan V. 3. Garis k menembus bidan V di titik B. 4. Panjan ruas aris AB= Jarak antara bidan U dan bidan V yan sejajar. (7) Jarak dua aris bersilanan Jarak antara dua aris yan bersilanan (misal aris a dan aris b) dapat diambarkan sebaai berikut. Cara I 1. Buatlah aris a, aris yan sejajar a dan memoton aris b.. Melalui aris a dan aris b dapat dibuat sebuah bidan, yaitu bidan α. 3. Menentukan titik A yan terletak pada aris a. 4. Buatlah ruas aris AB yan teaklurus denan aris a dan bidan α, titik B terletak pada bidan α. 5. Panjan ruas aris AB merupakan jarak aris a ke bidan α. 6. Buatlah ruas aris A B yan sejajar ruas aris AB, titik A terletak pada aris a dan titik B terletak pada bidan α. 7. Panjan ruas aris A B merupakan jarak aris a ke aris b. Cara II 1. Buatlah aris b, aris yan sejajar b dan memoton aris a, sehina melalui aris b dan aris a dapat ditentukan satu bidan, yaitu bidan α.. Buatlah aris a, aris yan sejajar a dan memoton aris b, sehina melalui aris a dan aris b dapat ditentukan satu bidan, yaitu bidan β. 3. Garis a sejajar aris a, aris b sejajar aris b, sehina bidan α sejajar denan bidan β. 4. Buatlah ruas aris PQ yan teaklurus terhadap bidan α dan bidan β, titik P terletak pada bidan α, sedankan titik Q terletak pada bidan β. 5. Panjan ruas aris PQ merupakan jarak bidan α ke bidan β. 6. Buatlah ruas aris P Q yan sejajar ruas aris PQ, titik P terletak pada aris a dan titik Q terletak pada aris b. 7. Panjan ruas aris P Q merupakan jarak aris a ke aris b. a α b b a P Q Q P A b P B α Q β a a 1

CONTOH Diketahui kubus ABCD.EFGH denan panjan rusuk 10 cm. Hitunlah jarak antara : a. Titik A ke H b. Titik A ke P (P adalah perpotonan diaonal ruan) c. Titik A ke aris CE d. Titik A ke bidan BCGF e. Titik A ke bidan BDHF f. Titik A ke bidan BDE. Garis AE ke aris CG h. Garis AE ke aris CG i. Bidan ABCD ke EFGH Jawab : H G E A D 10 P R B F C a. Jarak titik A ke H = AH AH = AD DH = 100 100 = 00 = 10 cm b. Jarak titik A ke P = AP = ½ AG 10 = 3 cm c. Jarak A ke CE = AK E A K G C Pada seitia siku-siku CAE L CAE = ½.AC.AE = ½.CE.AK 1.10.10.10 3. AK 1.10.10 AK 1.10 3 10 AK 3 10 AK 6 3 d. Jarak titik A ke bidan BCGF = AB = 10 cm e. Jarak titik A ke bidan BDHF = AR (R titik tenah aris BD) 13

AR = ½ AC = ½ 10 = 5 cm. Jarak titik A ke bidan BDE H G E F D T C R A B Perhatikan persei panjan ACGE sbb : E A T R G C Garis AG berpotonan teak lurus denan Garis ER dititik T, sehina jarak A ke Bidan BDE adalah AT. ER = AR AE = 50 100 = 150 = 5 6 cm. L. ARE = ½. AR. AE = ½. RE. AT ½. 5. 10 = ½. 5 6. AT 50 = 5 6. AT AT = 50 5 6 10 = 3 3 cm h. Jarak AE ke CG = AC = 10 3 i. Jarak ABCD dan EFGH = AC = 10 cm Tuas I 1. Diketahui kubus ABCD.EFGH denan panjan rusuk 6 cm. Hitunlah jarak antara : a. Titik H ke aris AC b. Titik B ke aris AG c. Titik C ke BDG 14

d. aris AE dan CG e. aris AB dan CDHG f. bidan HFC dan DBE. Diketahui balok PQRS.TUVW denan PQ = 4 cm, QR = 3 cm, PT = 6 cm Hitun jarak antara : a. V ke RSTU b. Q ke PRVT 3. Diketahui limas beraturan T.ABCD denan AB = 10 cm, TA = 1 cm. Hitun jarak antara : a. titik B ke AT b. titik T ke ABCD c. titik A ke TBC 4. Diketahui bidan empat beraturan T.ABC denan panjan rusuk 8 cm. Tentukan jarak T ke bidan ABC. C. PROYEKSI 1. Proyeksi titik pada bidan Jika titik A diluar bidan H, maka proyeksi A pada bidan H ditentukan sebaai berikut : a. Dari titik A dibuat aris yan teak lurus bidan H b. Tentukan titik tembus aris terhadap bidan H, misalnya titik B. Proyeksi titik A pada bidan H adalah B. A B. Proyeksi aris pada bidan Menentukan proyeksi aris pada bidan sama denan menentukan proyeksi dua buah titik yan terletak pada aris ke bidan itu, dan proyeksi aris tadi pada bidan merupakan aris yan ditarik dari titik-titik hasil proyeksi. a. Jika sebuah aris teak lurus pada bidan maka proyeksi aris ke bidan itu berupa titik. b. Jika aris sejajar bidan maka proyeksi aris ke bidan merupakan aris yan sejajar denan aris yan diproyeksikan. 15

Contoh : Diketahui limas beraturan T. ABCD denan AB = 5 cm dan TA = 8 cm. Hitunlah panjan proyeksi : a. TB pada bidan ABCD b. TB pada bidan TAC T D C O A B a. Proyeksi T pada bidan ABCD adalah titik O. Jadi proyeksi TB pada bidan ABCD = BO BO = ½.AC = ½ AB BC = ½ 5 5 = ½ 5 5 = cm b. Proyeksi TB pada bidan TAC = TO TO = = TB 5 64 BO = 103 1 = 06 cm Tuas II 1. Diketahui kubus ABCD.EFGH denan rusuk 10 cm. Tentukan dan hitun panjan proyeksi : 16

a. BG pada EFGH b. HF pada ACH c. GO pada BDE (O titik poton AC dan BD). Diketahui limas beraturan T.ABCD denan AB = 10 cm dan tini limas 8 cm. Tentukan dan hitun panjan proyeksi : a. TC pada ABCD b. TA pada TBD 3. Diketahui bidan empat beraturan T.ABC denan panjan rusuk 6 cm. Titik P ditenah-tenah AB. Hitun panjan proyeksi : a. TB pada ABC b. TP pada ABC c. TB pada TPC D. SUDUT ANTARA GARIS DAN BIDANG 1. Sudut antara dua aris berpotonan Sudut antara dua aris berpotonan diambil sudut yan lancip. Garis berpotonan denan aris h di titik A, sudut yan dibentuk adalah. A h. Sudut antara dua aris bersilanan Sudut antara dua aris bersilanan ditentukan denan membuat aris sejajar salah satu aris bersilanan tadi dan memoton aris yan lain dan sudut yan dimaksud adalah sudut antara dua aris berpotonan itu. h h 1 Garis bersilanan d h Garis h 1 sejajar denan h Memoton Sudut antara dan h sama d Sudut antara dan h 1 3. Sudut antara aris dan bidan Sudut antara aris dan bidan hanya ada jika aris menembus bidan. 17

Sudut antara aris dan bidan adalah sudut antara aris dan proyeksinya pada bidan itu. 1 A Garis menembus bidan H dititik A. Proyeksi aris pada bidan H adalah 1 Sudut antara aris denan bidan H Adalah sudut yan dibentuk aris d 1 H 4. Sudut antara bidan denan bidan Sudut antara dua bidan terjadi jika kedua bidan salin berpotonan. Untuk menentukannya sbb : a. Tentukan aris poton kedua bidan b. Tentukan sebaran aris pada bidan pertama yan teak lurus aris poton kdua bidan c. Pada bidan kedua buat pula aris yan teak lurus aris poton kedua bidan dan berpotonan denan aris pada bidan pertama tadi. d. Sudut antara kedua bidan sama denan sudut antara kedua aris tadi G (G,H) H h Bidan G dan H berpoton pada aris (G,H). Garis pada G teak lurus ais (G,H). Garis h pada H teak lurus aris (G,H) Sudut antara bidan G dan H sama denan sudut antara aris dan h Contoh : Diketahui kubus ABCD.EFGH denan panjan rusuk 5 cm. Tentukan : a. Besar sudut antara BG dan bidan ABCD H G b. Cosinus sudut antara BH dan ABCD Jawab : E F a. Sudut antara BG denan ABCD adalah sudut CBG = 45 0 b. Cosinus sudut antara BH denan ABCD D C BD 5 adalah Cos DBH = = BH 5 3 = 6 3 A 5 cm B 18

Tuas III 1. ABCD.EFGH adalah sebuah balok. Nyatakan dan ambarkan kemudian beri nama sudut antara: a. CH dan ABCD b. AG dan EFGH c. BH dan CDHG. T. ABCD adalah limas teak beraturan. Panjan rusuk alas 4 cm dan panjan rusuk teak 8 cm. Hitunlah : a. Tan sudut antar TC dan ABCD b. Cos sudut antara TQ dan ABCD dimana Q titik tenah AD 3. Diketahui limas beraturan T. ABCD denan AB = 6 cm dan TC = 3 5 cm. Hitun : a. Cosinus sudut antara bidan ABCD dan TDC b. Sinus sudut antara TAB dan TCD 4. Diketahui limas seitia T.ABC. TA teak lurus bidan alas. Seitia ABC siku-siku di B. Panjan AB = 6 cm, BC = 8 cm. Panjan TA = 4 cm. O titik tenah BC. Hitunlah : a. Panjan AC, TC, AO b. tan sudut antara TO dan bidan ABC 19

LEMBAR KERJA SISWA Kelompok: 1.. 3. 4. JARAK TITIK KE TITIK DALAM BANGUN RUANG Masalah diatas merupakan salah satu contoh soal problem solvin dalam menentukan jarak titik ke titik. Baaimanakah menentukan jarak titik ke titik? Untuk menetahui baaimana menentukan jarak titik ke titik lenkapi dan jawablah pertanyaan-pertanyaan di bawah ini! Jarak Titik ke Titik 1. Tentukan dua titik sebaran pada bidan, misalkan titik-titik tersebut adalah titik. dan.. Gambarlah beberapa aris/jalur yan menhubunkan kedua titik tersebut. 3. Garis/jalur manakah yan menurutmu mewakili jarak antara titik.. dan titik...? Menapa? Jadi, apa yan dimaksud denan jarak titik ke titik? 0

Untuk lebih memahami dan terampil dalam menhitun jarak titik ke titik. Perhatikan contoh berikut! 6 cm Suatu kubus ABCD.EFGH mempunyai rusuk denan panjan 6 cm. Tentukan: a. Jarak C ke D b. Jarak F ke H c. Jarak E ke C 6 cm 6 cm Penyelesaian: a. Jarak C ke D sama denan panjan.. kubus =. cm b. Jarak F ke H sama denan panjan... kubus, yaitu: FH = + =.. +.. =.. +.. =.. =... cm Jadi, jarak F ke H adalah. cm c. Jarak E ke C sama denan panjan... kubus, yaitu: Perhatikan! EC = + =.. +.. =.. +.. =.. =... cm Jadi, jarak E ke C adalah. cm LATIHAN 1. Diketahui sebuah kubus denan alas ABCD.EFGH Panjan rusuknya 6 cm. K dan L berturut-turut titik poton diaonal sisi ABCD dan EFGH. M adalah titik tenah rusuk BC. Tunjukkan dan hitunlah jarak antara: a. K dan L b. L dan C 1

LEMBAR KERJA SISWA Kelompok: 1.. 3. 4. JARAK TITIK KE GARIS DAN TITIK KE BIDANG DALAM BANGUN RUANG

Masalah diatas merupakan salah satu contoh soal problem solvin dalam menentukan jarak titik ke aris dan jarak titik ke bidan. Baaimanakah menentukan jarak titik ke aris dan jarak titik ke bidan? Untuk menetahui baaimana menentukan jarak titik ke aris dan jarak titik ke bidan lenkapi dan jawablah pertanyaan-pertanyaan di bawah ini! Jarak Titik ke Garis 1. Gambarlah aris dan titik P pada bidan. Titik P terletak di luar aris.. Tentukanlah kedudukan titik R, S, dan T pada aris. Titik S dan T masin-masin terletak di ujun dan pankal aris, sedankan titik R merupakan proyeksi titik P pada aris. 3. Gambarlah aris yan melalui titik P dan titik R, titik P dan titik S, titik P dan titik T. 4. Garis manakah yan menurutmu mewakili jarak antara titik P denan aris? menapa? Jadi, apa yan dimaksud denan jarak titik ke aris? Untuk lebih memahami dan terampil dalam menhitun jarak titik ke aris. Perhatikan contoh berikut! Suatu kubus ABCD.EFGH mempunyai rusuk denan panjan 6 cm. Titik P terletak ditenah-tenah rusuk CG. Tentukan: a. Jarak titik P ke aris FB b. Jarak titik B ke aris EG 6 cm 6 cm Penyelesaian: a. Jarak titik P ke aris FB sama denan panjan ruas aris.. =. cm b. Jarak titik B ke aris EG 3

Lankah-lankah: 1) Tentukan kedudukan titik B dan aris EG. ) Tentukan titik O yan merupakan titik tenah aris EG. 3) Tariklah aris dari titik B yan melalui titik O. Maka jarak titik B ke aris EG adalah panjan ruas aris Perhatikan siku-siku di O, maka untuk mencari panjan ruas aris diunakan rumus pythaoras, yaitu:.. =.. +.. =.. +.. =.. +.. =.. = cm Jadi, jarak titik B ke aris EG adalah. cm Jarak Titik ke Bidan 1. Gambarlah titik P yan terletak di luar bidan.. Tentukanlah kedudukan titik A, B, dan C pada bidan α. Titik A dan C merupakan titik sebaran pada bidan α, sedankan titik B merupakan proyeksi titik P pada bidan α. 3. Hubunkanlah aris yan melalui titik P dan A, titik P dan B, titik P dan C. 4. Garis manakah yan menurutmu mewakili jarak antara titik P denan bidan α? Menapa?..... Jadi, apa yan dimaksud denan jarak titik ke bidan? 4

Untuk lebih memahami dan terampil dalam menhitun jarak titik ke bidan. Perhatikan contoh berikut! Diketahui limas seiempat beraturan T.ABCD denan panjan rusuk bidan alas AB = 8 cm dan panjan rusuk sisi TA = 9 cm. Tentukan jarak titik puncak T ke bidan alas ABCD! Penyelesaian: Lankah-lankah: 1) Gambarlah aris yan melalui titik T dan menembus bidan ABCD. ) Tentukan titik poton dari diaonal sisi AC dan BD. Maka jarak titik T ke bidan ABCD adalah panjan ruas aris. 3) Tentukanlah seitia siku-siku mana yan akan diunakan untuk mencari panjan ruas aris Kemudian cari nilai panjan ruas aris itu denan menunakan rumus Pythaoras seperti pada contohcontoh sebelumnya. LATIHAN 1. Berapa meter tini tuu yan direncanakan denan ambar khusus seperti pada Gambar 4. jika setiap bola berdiameter 50 cm?. Berapa jarak terjauh dari permukaan air ke dasar air dalam bejana pada Gambar 4.3 jika ukuran bejana dan kemirinan serta air penisi yan di dalamnya diketahui banyaknya? 5

LEMBAR KERJA SISWA Kelompok: 1.. 3. 4. JARAK GARIS KE GARIS, DAN GARIS KE BIDANG DALAM BANGUN RUANG Petunjuk: Lenkapi dan jawablah pertanyaan-pertanyaan di bawah ini! Jarak Garis ke Garis a) Jarak antara dua aris sejajar 1. Gambarlah dua aris dan h yan sejajar.. Gambar aris k yan teak lurus aris dan h dan memoton dan h masin-masin di titik... dan titik.. 3. Maka jarak antara aris dan aris h adalah panjan ruas aris Jadi, apa yan dimaksud denan jarak antara dua aris sejajar? b) Jarak antara dua aris bersilanan Dua aris dikatakan bersilanan apabila aris tersebut tidak sejajar dan terletak pada dua bidan yan berbeda. Perhatikan kubus ABCD.EFGH! 1. Tentukan aris AE dan HB yan salin bersilanan, sehina ada jarak antara aris AE dan HB.. Buatlah bidan yan melalui HB dan sejajar AE sehina diperoleh bidan. 3. Proyeksikan AE pada bidan.. sehina diperoleh aris 4. Maka jarak antara AE dan HB adalah jarak antara AE dan aris.. yaitu panjan ruas aris. 6

Jadi, apa yan dimaksud denan jarak antara dua aris bersilanan? Untuk lebih memahami dan terampil dalam menhitun jarak aris ke aris. Perhatikan contoh berikut! ABCD.EFGH adalah kubus denan panjan rusuk 4 cm. Tentukan jarak antara: a. CD dan EF b. AE dan CH Penyelesaian: a. Jarak antara CD dan EF Garis CD dan EF terletak pada bidan. Sehina CD dan EF merupakan aris yan. Maka jarak CD dan EF diwakilkan denan ruas aris atau Ruas aris merupakan. kubus Sehina jarak antara CD dan EF adalah. cm b. Jarak antara AE dan CH Garis AE dan CH adalah aris yan.. AE sejajar denan aris dan memoton CH di titik H dan membentuk bidan.. Garis teak lurus denan aris CH, sehina aris mewakili jarak AE dan CH. Jadi, jarak antara AE dan CH adalah cm Jarak antara Garis dan Bidan yan Sejajar 1. Gambarlah aris yan sejajar bidan. Tentukan sebaran titik P pada aris. Kemudian tariklah aris teak lurus yan melalui titik P di dan teak lurus denan bidan. 3. Misalkan titik tersebut menembus bidan di titik.. 4. Maka jarak antara aris dan bidan adalah ruas aris. Jadi, apa yan dimaksud denan jarak antara aris dan bidan yan sejajar? 7

LEMBAR KERJA SISWA Kelompok: 1.. 3. 4. JARAK BIDANG KE BIDANG DALAM BANGUN RUANG Petunjuk: Lenkapi dan jawablah pertanyaan-pertanyaan di bawah ini! Jarak antara Dua Bidan yan Sejajar 1. Gambarlah bidan yan sejajar denan bidan.. Pilih sebaran titik di, misalkan titik. 3. Gambarlah aris yan melalui titik.. dan teak lurus bidan di titik.. 4. Maka panjan ruas aris adalah jarak antara bidan dan bidan Jadi, apa yan dimaksud denan jarak antara dua bidan yan sejajar? Untuk lebih memahami dan terampil dalam menhitun jarak antara aris ke bidan dan bidan ke bidan. Perhatikan contoh berikut! Balok ABCD.EFGH memiliki panjan 1 cm, lebar 4 cm, da tini 8 cm. Tentukan: a. Jarak FC denan bidan ADHE b. Jarak bidan ABCD denan bidan EFGH Penyelesaian: a. Jarak FC denan bidan ADHE Garis FC sejajar denan aris. pada bidan ADHE Maka jarak antara FC denan bidan ADHE diwakilkan oleh panjan aris.. atau. =. cm b. Jarak bidan ABCD denan bidan EFGH ABCD dan EFGH merupaka bidan yan Maka jarak antara bidan ABCD dan bidan EFGH diwakilkan oleh panjan aris. =.. cm 8

Kelompok: 1.. 3. 4. LEMBAR KERJA SISWA BESAR SUDUT ANTARA DUA GARIS DAN GARIS DENGAN BIDANG DALAM BANGUN RUANG Petunjuk: Lenkapi dan jawablah pertanyaan-pertanyaan di bawah ini! Sudut antara Dua Garis 1. Gambarlah aris dan aris h yan berpotonan di titik O. Titik P terletak pada aris dan titik Q terletak pada aris h.. Sudut apa saja yan terbentuk oleh aris dan aris h?.... 3. Sudut manakah yan menurutmu merupakan besar sudut antara dua aris yan bersilanan? Menapa?.... Jadi, apa yan dimaksud denan besar sudut antara dua aris? Untuk lebih memahami dan terampil dalam menhitun besar sudut antara dua aris. Perhatikan contoh berikut! Diketahui kubus ABCD.EFGH. Tentukan besar sudut antara aris-aris: a. AB denan BG b. AH denan AF c. AB denan DG Penyelesaian: a. Besar sudut antara aris AB dan aris BG 1) Tentukan kedudukan aris AB dan BG pada kubus ABCD.EFGH ) Garis AB dan BG merupakan aris yan teak lurus dan berpotonan di titik.. Denan demikian, besar sudut antara aris AB dan BG =.. b. Besar sudut antara aris AH dan AF 1) Tentukan kedudukan aris AH dan AF pada kubus ABCD.EFGH ) Gambarlah aris FH, sehina aris AH, AF dan FH 9

membentuk bidan seitia AFH Denan demikian, besar sudut antara aris AH dan AF =. c. Besar sudut antara aris AB dan DG 1) Tentukan kedudukan aris AB dan DG pada kubus ABCD.EFGH ) Garis AB dan DG adalah dua aris yan 3) DG sejajar denan aris pada bidan ABFE Denan demikian, sudut antara aris AB dan DG =.. Sudut antara Garis dan Bidan 1. Pada ambar di sampin, aris menembus bidan di titik Q. Titik P terletak pada aris dan berada di luar bidan.. Tentukan kedudukan titik P` pada bidan yan merupakan proyeksi dari titik P. 3. Maka sudut antara aris dan bidan adalah sudut.. Menapa?... Jadi, apa yan dimaksud denan sudut antara aris dan bidan? Untuk lebih memahami dan terampil dalam menhitun besar sudut antara aris dan bidan. Perhatikan contoh berikut! Diketahui kubus ABCD.EFGH denan panjan rusuk 4 cm. Hitunlah sudut antara ACGE denan aris BG. Penyelesaian: 1) Tentukan kedudukan bidan ACGE dan aris BG ) Proyeksikan titik B pada bidan ACGE denan cara mencari titik poton antara aris AC dan BC. Misalkan titik poton itu adalah titik O. 3) Maka besar sudut antara aris BG dan bidan ACGE adalah besar sudut... = Perhatikan siku-siku di O, = =.. = cm BG = diaonal sisi kubus =.cm maka sin = =.. 30

= Jadi, (, ) = =. 1. Ali, seoran atlet panahan yan sedan mempersiapkan dirinya untuk menikuti satu pertandinan besar pada akhir tahun 013. Pada satu sesi latihan di sport center pencatat dan penhitun ketepatan menunjukkan bahwa anak panah Ali meleset dari sasaran yan seharus berjarak 100 m menjadi 110 m. Kemudian Ali menulani tembakannya, tetapi masih meleset menjadi 105 m. Hasil antara tembakan pertama, tenah taret dan tembakan kedua pada papan taret membentuk aris lurus a. Gambarkanlah posisi Ali, jaraknya dan tembakannya beserta ukurannya b. Berilah tanda pada sudut antara jarak tembakan pertama denan jarak tembakan kedua denan nama c. Berilah tanda pada sudut antara jarak tembakan pertama denan jarak yan tepat sasaran denan nama. Pada suatu hari ditemukan sebuah piramida yan alasnya berbentuk persei denan ukuran 15 m dan tininya 10 m. Setelah diselidiki ternyata piramid itu peninalan pada zaman purbakala berupa kuburan kuno untuk para bansawan. Rudi inin menetahui sudut yan terbentuk antara sisi yan berhadapan yan bertemu pada puncaknya. Dapatkah kamu membantu Rudi? Jelaskan baaimana kamu menemukan sudut tersebut! 31

LEMBAR KERJA SISWA Kelompok: 1.. 3. 4. BESAR SUDUT BIDANG DENGAN BIDANG DALAM BANGUN RUANG Petunjuk: Lenkapi dan jawablah pertanyaan-pertanyaan di bawah ini! Sudut antara Bidan dan Bidan 1. Pada ambar di sampin, bidan dan bidan β berpotonan di aris. Pilihlah sebaran titik pada aris, misalkan titik tersebut adalah titik... Lukislah aris h pada bidan α yan teak lurus aris dan melalui titik P. 3. Lukislah aris k pada bidan β yan teak lurus aris dan melalui titik P. 4. Sehina (, ) =.. 5. Sudut antara aris h dan aris k disebut sudut tumpuan, sedankan bidan yan melalui aris h dan aris k adalah bidan tumpuan. β α Jadi, apa yan dimaksud denan sudut antara aris dan bidan? Untuk lebih memahami dan terampil dalam menhitun besar sudut antara dua bidan. Perhatikan contoh berikut! Kubus ABCD.EFGH memiliki rusuk 5 cm. Titik O merupakan titik poton antara aris AC dan BD. Tentukan sudut yan terbentuk antara bidan ABCD denan bidan BDG! Penyelesaian: Bidan ABCD beririsan denan BDG di aris Garis pada ABCD yan teak lurus adalah aris. Garis pada BDG yan teak lurus BD adalah aris.. Jadi, (, ) =. = Perhatikan seitia. siku-siku di C tan =. 3