BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA 2.1 SINYAL DASAR ATAU FUNGSI SINGULARITAS Sinyal dasar atau fungsi singularitas adalah sinyal yang dapat digunakan untuk menyusun atau mempresentasikan sinyal-sinyal yang lain. Sinyal-sinyal dasar tersebut memiliki karakteristik yang menjadikan penyelesaian persoalan teknik atau rekayasa menjadi lebih mudah. 2.1.1 Sinyal Waktu Kontinyu( Continuous-Time Signal ) Pada sinyal kontinyu, variable independent (yang berdiri sendiri) terjadi terus-menerus dan kemudian sinyal dinyatakan sebagai sebuah kesatuan nilai dari variable independent. Variabel t digunakan untuk menyatakan variable kontinyu. Suatu sinyal x(t) dikatakan sebagai sinyal waktu-kontinyu atau sinyal analog ketika memiliki nilai real pada keseluruhan rentang waktu t yang ditempatinya. Sinyal waktu kontinyu dapat didefinisikan dengan persamaan matematis sebagai berikut. f (t) (, ) (2.1) 2.1.1.1 Sinyal/Fungsi Tangga Satuan( Unit Step Function) U(t) Fungsi tangga satuan u(t) waktu kontinyu secara matematis didefinisikan sebagai, (2.2) Disini fungsi tangga satuan (unit step function) u(t) memiliki arti bahwa amplitudo pada u(t) bernilai 1 untuk semua t > 0 dan u(t) bernilai 0 menyatakan kekontinyuannya. Untuk suatu sinyal waktu-kontinyu x(t), hasil kali x(t) dan u(t) sebanding dengan x(t) untuk t 0 dan sebanding dengan nol untuk t < 0.
Perkalian pada sinyal x(t) dengan u(t) mengeliminasi suatu nilai non-zero(bukan nol) pada x(t) untuk nilai t < 0. Dalam kenyataannya, tidaklah mungkin membangkitkan sinyal yang dapat berubah dari suatu nilai ke nilai yang lain tanpa memakan waktu. Yang dapat dilakukan adalah membuat waktu transisi itu sependek mungkin. Secara grafik fungsi tangga satuan u(t) ditunjukkan seperti Gambar 1 di bawah ini, u(t) 1 0 t Gambar 1. Fungsi Tangga Satuan U(t) Sinyal ini juga merupakan sinyal yang penting untuk mempelajari sinyal secara analitik dan juga banyak dipakai dalam praktek. Perhatikan bahwa fungsi unit step merupakan sinyal waktu kontinyu untuk semua t kecuali pada t=0, dimana fungsinya tidak kontinyu. (S.p.20) 2.1.1.2 Sinyal/Fungsi Ramp Satuan (Unit Ramp Function) R(t) Fungsi ramp satuan r(t) waktu kontinyu secara matematis didefinisikan sebagai, (2.3) Fungsi ramp satuan r(t) tidak lain adalah hasil integrasi dari fungsi tangga satuan u(t). (2.4) Perlu diketahui bahwa untuk t 0, slope (kemiringan) pada r(t) adalah bernilai 1. Sehingga pada kasus ini r(t) merupakan unit slope yang juga disebut sebagai unitramp function. (S.p.22)
Fungsi unit ramp ditunjukkan pada Gambar 2 di bawah ini. r(t) 1 0 t Gambar 2. Fungsi Ramp Satuan R(t) 2.1.1.3 Sinyal/Fungsi Impuls Satuan (Unit Impuls Function) Sinyal impuls satuan atau disebut juga fungsi delta Diract atau disingkat fungsi delta, menempati posisi yang sangat penting dalam analisis sinyal. Secara matematis fungsi impuls didefinisikan oleh, (2.5) dan memiliki sifat : (i) (2.5.1) (ii) (2.5.2) (iii) (2.5.3) Dalam praktek, fungsi impuls tersebut didekati menggunakan limit dari suatu fungsi konvensional untuk parameter ε mendekati nol. Hal ini bersesuaian dengan nilai (t) yang mendekati. (S.p.24)
Secara grafik fungsi impuls satuan bawah ini, (t) gambarnya ditunjukkan seperti Gambar 3 di δ (t) 0 t Gambar 3. Fungsi Impuls Satuan (t) Sifat sifat operasi fungsi impuls (i) Sifat Pergeseran (2.5.4) atau secara umum (2.5.5) yang menyatakan sebagai penjumlahan kontinyu impuls berbobot. (ii) Sifat Sampling Jika kontinyu di t 0, maka (2.5.6)
(iii) Sifat scalling (2.5.7) Relasi antara (t) dan u(t) dapat ditunjukkan dalam bentuk hubungan diffrensial dan integral dibawah ini, u(t) = (t) = u(t) (2.5.8) 2.2 SISTEM Sinyal adalah fenomena dari lingkungan yang terukur atau terkuantisasi. Sementara sistem adalah bagian dari lingkungan yang menghubungkan sinyal-sinyal atau dengan kata lain merespon sinyal yang masuk dengan menghasilkan sinyal lainnya. Sistem juga dapat didefenisikan sebagai suatu proses yang menghasilkan transformasi sinyal. Jadi, suatu sistem memiliki sinyal input yang ditransformasikan menjadi sinyal output. Dalam hal ini, sistem waktu kontinyu adalah sistem di mana inputnya merupakan sinyal waktu kontinyu dimana outputnya juga merupakan sinyal waktu kontinyu. 2.2.1 SISTEM LINIER WAKTU INVARIAN(LINIER-TIME INVARIANT) Dua hal penting pada sistem adalah linieritas dan tidak berubah terhadap waktu. Disini akan dilihat hubungan input output pad sistem LTI (Linear Time Invariant) dijelaskan pada operasi konvolusi. Respon system LTI waktu kontinyu dan integral konvolusi A. Respon Impuls Respons impuls h(t) suatu sistem LTI waktu kontinyu (T) didefenisikan sebagai respon sistem ketika inputnya adalah (t) h(t) = { } (2.6)
B. Respon terhadap sembarang input x(t) = (2.7) Karena sistemnya linier, maka persamaannya hadir dalam bentuk y(t) = T{x(t)} = T{ } = } (2.8) Jika sistemnya adalah time invariant, maka pergeseran waktu (Time Shifting) memiliki persamaan, h(t- )= T{d(t- )} (2.9) Kita subtitusikan dalam persamaan (2.8) bentuk sekarang adalah, y(t) = } (2.10) 2.2.2 Sifat-sifat Linier Time Invariant(LTI) 1. Kausalitas Sistem kausal adalah sistem yang memberi respon setelah ada masukan. Pengaruh suatu masukan dapat dilihat pada saat itu juga dan atau kemudian. Sebuah nilai keluaran dipengaruhi hanya oleh masukan pada saat yang sama atau pada saat yang lalu sehingga, y(t) = (2.11) Sinyal impuls satuan mengandung nilai pada t = 0, sehingga respon impuls sistem kausal hanya mengandung nilai di t 0(kontinyu). 2. Stabilitas Sebuah sistem yang stabil akan memberikan respon yang berhingga jika masukannya berhingga. Jika masukan berhingga maka agar keluaran berhingga haruslah respon impulsnya berhingga. Artinya, 0 (2.12)
2.3 KONVOLUSI Konvolusi secara umum dapat diartikan sebagai cara untuk mengkombinasikan dua buah deret angka untuk menghasilkan deret angka ketiga. Dalam hal ini konvolusi digunakan untuk mengoperasikan dua sinyal dan menghasilkan sinyal ketiga. Konvolusi dilambangkan secara asterisk (*). Bagi para insinyiur konvolusi adalah instrument yang sangat penting. Sebagai contoh, konvolusi digunakan dalam sistem linier dan teori kontrol untuk mendapatkan respon y(t) dari sebuah sistem x(t) jika diberikan jika diberikan impuls h(t). Secara umum konvolusi dua buah sinyal x 1 (t) dan x 2 (t) dituliskan sebagai berikut : atau (2.13) y(t) = x 1 (t) * x 2 (t) = x2(t) * x 1 (t) y(t) = x 1 (λ)x 2 (t-λ)dλ = x 2 (λ)x 1 (t-λ)dλ (2.14) Di mana λ adalah variable dummy. Jika terjadi pergeseran waktu (Time-Shifting), persamaannya tereduksi menjadi, x 1 (t+t 1 ) * x 2 (t) = y(t+t 1 ) (2.15) dan x 1 (t + t 1 + t 2 ) * x 2 = y( t + t 1 + t 2 ) (2.16) Keluaran dari sebuah sistem disebut juga respon. Jika sinyal berupa unit impuls masuk kedalam sistem, maka akan memberikan respon yang disebut respon impuls (impulse response), jika sistemnya kontinyu diberi simbolnya h(t). Jika respon impuls sebuah sistem linier diketahui, maka respon sistem terhadap sembarang bentuk sinyal dapat dihitung. Jika h(t) adalah respon impuls sistem linier kontinyu, dan x(t) adalah sinyal masukan maka sinyal keluarannya adalah y(t) = x(t)*h(t) = (2.17)
y(t) = h(t) * x(t) Y(w) = H( )X( ) (2.18) Persamaan (2.17) di atas disebut sebagai integral konvolusi, yang juga merupakan yang merupakan input dari sistem LTI (Linier Time Invariant). Dan juga merupakan hasil transformasi fourier dari sinyal impuls dan fungsi singularitas. (I.J.p.78) Sifat operasional dari konvolusi adalah : Komutatif : x(t)*h(t) = h(t)*x(t) (2.19) Asosiatif : {x(t)*h 1 (t)}*h 2 (t) = x(t)*{h 1 (t)*h 2 (t)} (2.20) Distributif : x(t)*{h1(t)+h 2 (t)} = x(t)*h 1 (t)+ x(t)*h 2 (t)} (2.21) 2.4 TRANFORMASI FOURIER Sifat-Sifat Transformasi Fourier Waktu Kontinyu Linieritas Jika sinyal x 1 (t) memiliki transformasi fourier sebagai berikut dan sinyal x maka, (2.21.3) 2 (t) x1(t) X 1 ( ) (2.21.1) x2(t) X 2 ( (2.21.2) ax 1 (t) + bx 2 (t) ax 1 ( + bx 2 ( Sifat Simetri Jika x(t) adalah fungsi waktu bersifat real, maka X(- ) = X*( ) (2.21.4) Persamaan dia atas menyatakan kompleks conjugate. Time Shifting (Pergeseran Waktu) Pada Time Shifting(Pergeseran Waktu), jika transformasi fourier dari x(t) adalah
x(t) X( (2.21.5) maka transformasi fourier dari x(t-t 0 ) diperoleh, x(x-t0) X( (2.21.6) Difrensiasi dan integrasi Untuk Difrensiasi dan Integrasi, jika transformasi fourier x(t) adalah x(t) X( (2.21.7) maka transformasi forier dari (2.21.8) atau X( ) + X(0) ( ) (2.21.9) Persamaan diatas merupakan bentuk umum dari hasil kovolusi x(t) dan u(t). Time and Frequency Shifting( Perkalian waktu dan frekuensi) Pada Time and Frequency Shifting, jika transformasi x(t) adalah x(t) X( ) (2.21.10) maka transformasi fourier dari x(at), (2.21.11) a = konstanta real Sifat Modulasi r(t) = s(t)p(t) R(w) = (2.21.12)
Tabel 1. Beberapa Sifat dari Transformasi Fourier Fungsi, f(t) Defenisi dari Invers Transformasi Fourier f(t)= Transformasi Fourier, F(ω) Defenisi dari Transformasi Fourier F( (t) f(t-t 0 ) F( f(t) F( 0) f( F(t) 2 (j n F( (-jt) n f(t) sgn(t) 1 2 0) u(t) u(t) u(t)t u(t) * r(t) + F(0) d( )
2.5 KONVOLUSI DENGAN FUNGSI SINGULARITAS Hubungan konvolusi dengan fungsi singularitas merupakan integral konvolusi dengan fungsi singularitas itu sendiri, secara matematis dapat bentuk persamaannya sebagai berikut, x(t) * (t) = x(t) (2.22) x(t) * u(t) = (2.23) x(t) * r(t) = (2.24) Secara umum skema proses konvolusi dengan fungsi singularitas dapat ditunjukkan seperti gambar di bawah ini Sinyal masukan Proses Konvolusi Hasil konvolusi x 1 (t) x 2 (t) x 1 (t) *x 2 (t) y(t) Gambar 4. Skema Proses Konvolusi Sebenarnya, dalam konvolusi dua buah sinyal setiap masing-masing fungsi sudah memiliki fungsi singularitas. Namun, setelah mengalami distribusi konvolusi fungsifungsi akan tereduksi menjadi bentuk persamaan biasa konvolusi dengan batas-batas nilai yang ditentukan. (I.J.p.80)