BAB II AKAR-AKAR PERSAMAAN 2.1 PENDAHULUAN Salah satu masalah yang sering terjadi pada bidang ilmiah adalah masalah untuk mencari akar-akar persamaan berbentuk : = 0 Fungsi f di sini adalah fungsi atau persamaan tak linear. Nilai x = x 0 yang memenuhi = 0 disebut akar persamaan atau fungsi tersebut. Sehingga x 0 di sini menggambarkan fungsi tersebut memotong sumbu x di x = x 0. Persamaan atau fungsi f dapat berbentuk sebagai berikut: (a) Persamaan aljabar atau polinomial = p n (x) = a n x n + a n-1 x n-1 + + a 1 x + a 0 dengan a n ¹ 0, n ³ 2 (b) Persamaan transenden Yaitu persamaan yang mengandung fungsi antara lain trigonometri, logaritma, atau eksponen Contoh: (i) e x + cos(x) = 0 (ii) ln(x) + log(x 2 ) = 0 (c) persamaan campuran Contoh: (i) x 3 sin(x) + x = 0 (ii) x 2 + log(x) = 0 Untuk polinomial derajat dua, persamaan dapat diselesaikan dengan rumus akar persamaan kuadrat. Misalkan bentuk persamaan kuadrat adalah: ax 2 + bx + c = 0
dapat dicari akar-akarnya secara analitis dengan rumus berikut. x 12 = Untuk polinomial derajat tiga atau empat, rumus-rumus yang ada sangat kompleks dan jarang digunakan. Sedangkan untuk menyelesaikan polinomial dengan derajat yang lebih tinggi atau persamaan tak linear selain polinomial, tidak ada rumus yang dapat digunakan untuk menyelesaikannya. Metode Numerik memberikan cara-cara untuk menyelesaikan bentuk tersebut. y x Akar persamaan 2.2 METODE SETENGAH INTERVAL Metode setengah interval merupakan metode yang paling sederhana. Langkahlangkah yang dilakukan pada penyelesaian persamaan dengan metode setengah interval adalah : 1. Hitung fungsi pada interval yang sama dari x sampai pada perubahan tanda dari fungsi f(x n ) dan f(x n+1 ), yaitu apabila 0. 2. Estimasi pertama dari akar x t dihitung dengan 3. Buat evaluasi berikut untuk menentukan di dalam sub interval maka akar persamaan berada : a. Jika 0. akar persamaan berada pada sub interval pertama, kemudian tetapkan.
b. Jika 0. akar persamaan berada pada sub interval kedua, kemudian tetapkan, dan lanjutkan pada langkah ke 4. c. Jika 0. akar persamaan adalah dan hitungan selesai. 4. Hitung perkiraan baru dari akar dengan,. 5. Apabila perkiraan baru sudah cukup kecil, maka hitungan selesai, dan x t adalah akar persamaan yang dicari, jika belum kembali ke langkah 3. y x 1 x 3 x 5 x 4 x 2 x Gambar 2. Prosedur hitungan metode setengah interval Contoh : Hitung salah satu akar dari persamaan pangkat tiga berikut ini, Penyelesaian. 330 Dihitung nilai pada interval antara dua titik, misalnya x=1 dan x=2. Untuk x=1, 11 1 3134 x=2, 22 2 3233 Karena 1 dan 2 berbeda tanda maka fungsi memotong sumbu x paling tidak satu kali. 1,5 1,51,5 1,5 31,530,01831
Hasil hitungan metode setengah interval Iterasi x 1 X 2 X 3 f(x 1 ) f(x 2 ) f(x 3 ) 1 1 2 1,5-4,0 3,0-1,875 2 1,5 2 1,75-1,875 3,0 0,17187 3 1,5 1,75 1,625-1,875 0,17187-0,94335 4 1,625 1,75 1,6875-0,94335 0,17187 0,40942 5 1,6875 1,75 1,71875-0,40942 0,17187-0,12478 6 1,71875 1,75 1,73437-0,124478 0,17187-0,02198 7 1,71875 1,73437 1,72656-0,12478 0,17187-0,02198 2.3 METODE INTERPOLASI LINIER Metode interpolasi linier, dikenal juga dengan metode false position yang didasarkan pada interpolasi antara dua nilai dari fungsi yang mempunyai tanda berlawanan. Dengan metode ini suatu fungsi dapat lebih cepat diperoleh daripada metode setengah interval.
y f(x n+1 ) x n x n+1 x * x f(x n+1 )-f(x n ) x n+1 -x n Contoh 2. Hitung salah satu akar dari persamaan 330. Penyelesaian. Langkah pertama adalah menghitung nilai pada interval antara dua titik sedemikian sehingga nilai pada kedua titik berlawanan tanda. x=1, 11 1 3134 x=2, 22 2 3233 Dengan menggunakan persamaan diatas : 2 3 34 211,57142 1,571421,57142 1,57142 31,5714231,36449 Karena bertanda negatif maka akar terletak antara x=1,57142 dan x=2. 2 Gambar 3. Prosedur metode interpolasi linier 3 3 1,36449 21,571421,70540 1,705401,70540 1,70540 31,7054030,24784 Prosedur perhitungan seperti diatas dilanjutkan sampai akhirnya didapat nilai 0 Iterasi x 1 X 2 X 3 f(x 1 ) f(x 2 ) f(x 3 ) 1 1,0 2,0 1,57142-4,0 3,0-1,36449
2 1,57142 2,0 1,70540-1,36449 3,0-0,24784 3 1,70540 2,0 1,72788-0,24784 3,0-0,03936 4 1,72788 2,0 1,73140-0,03936 3,0-0,00615 5 1,73140 2,0 1,73194 2.4 METODE NEWTON-RAPHSON Metode ini paling banyak digunakan dalam mencari akar-akar dari suatu persamaan. Turunan pertama pada adalah ekivalen dengan kemiringan. atau f(x i ) Garis singgung di A A B f(x i )-0 0 x i+1 x i
Contoh 3. Selesaikan soal pada contoh 1 dengan metode Newton-Raphson. Penyelesaian. 330 Turunan pertama dari persamaan tersebut adalah : 3 23 Dengan menggunakan persamaan Pada awal hitungan ditentukan nilai sembarang, misalnya 1; 11 1 3134 131 2132 1 4 2 3 Langkah berikutnya ditetapkan 3, 33 3 33324 333 23330 3 24 30 2,2 Hitungan dilanjutkan dengan prosedur yang sama dan hasilnya diberikan dalam Tabel. Jumlah iterasi x i x i+1 f(x i ) f(x i+1 ) 1 1,0 3,0-4,0 24,0 2 3,0 2,2 24,0 5,888 3 2,2 1,83 5,888 0,987387 4 1,83 1,73778 0,987387 0,05442 5 1,73778 1,73207 0,05442 0,0001816 2.5 METODE SECANT Kesulitan metode Newton-Raphson adalah diperlukannya turunan pertama dari. Kadang sulit untuk mendiferensialkan persamaan yang akan diselesaikan. Untuk itu didekati bentuk diferensial didekati dengan nilai perkiraan berdasarkan diferensial beda hingga. Bentuk persamaan diatas disubstitusi ke persamaan (Newton-Raphson) didapat :
f(x i ) Garis singgung di A A f(x i-1 ) B f(x i )-0 0 x i+1 x i Contoh 4. Selesaikan soal pada contoh 1 dengan metode Secant. Penyelesaian. Iterasi 1 : Diambil dua nilai awal x=1 dan x=2 Untuk x=1, 11 1 3134 x=2, 22 2 3233 Dengan menggunakan persamaan diatas, 2321 34 1,57142 Iterasi 2 : 2 23 1,57142 1,571421,36449 1,57142 1,364491,571422 1,364493 1,70540 Hitungan dilanjutkan dengan prosedur yang sama dan hasilnya diberikan dalam Tabel. Jumlah x 1 x 2 x 3 f(x 1 ) f(x 2 ) f(x 3 )
iterasi 1 1,0 2,0 1,57142-4,0-3,0-1,36449 2 2,0 1,57142 1,70540-3,0-1,36449-0,24784 3 1,57142 1,70540 1,73513-1,36449-0,24784 0,02920 4 1,70540 1,73513 1,73199-0,24784 0,02920-0,000575 5 1,73513 1,73199 1,73205 2.6 Metode Iterasi Dalam metode ini digunakan suatu persamaan untuk memperkirakan nilai akar persamaan. Persamaan tersebut dikembangkan dari fungsi 0, yaitu Transformasi ini dapat dilakukan dengan manipulasi aljabar atau menambahkan parameter x pada kedua sisi dari persamaan aslinya. Sebagai contoh; 330 Dengan memberikan nilai perkiraan awal x i, maka dapat dihitung perkiraan baru x i+1 dengan rumus iteratif; Contoh 5 Besar kesalahan dihitung dengan rumus; 100% Hitung akar dari persamaan 330 dengan metode iterasi. Penyelesaian. Dapat ditulis; 33 33 3 3 Apabila ditentukan perkiraan awal x 1 =2, didapat; 3 3 2 323 1,70998 Besar kesalahan : 100% 1,709982 1,70998 100%16,9607% Hitungan dilanjutkan dengan prosedur yang sama dan hasil seperti pada Tabel Iterasi
1 2,00000 2 1,70998 16,9607 3 1,73313 1,3362 4 1,73199 0,0658 5 1,73205 0,0034 6 1,73205 0,0002 Persamaan 330 dapat juga diubah dalam bentuk; Untuk perkiraan awal x 1 =2, didapat; 3 3 2 2 3 3 3 Besar kesalahan : 100% 32 3 100%33,3333% Hitungan dilanjutkan dengan prosedur yang sama dan hasil seperti pada Tabel Iterasi % 1 2,00000 2 3,00000 33,3333 3 11,0000 72,7273 4 483,000 97,7226 5 37637290 99,9987
Gambar 4. Prosedur Metode Newton-Raphson secara grafis Gambar 5. Prosedur Metode Secant