BASIS DAN DIMENSI Prof.Dr. Budi Murtiyasa Muhammadiyah University of Surakarta
Basis dan Dimensi Ruang vektor V dikatakan mempunyai dimensi terhingga n (ditulis dim V = n) jika ada vektor-vektor e, e,, e n V yg bebas linear. Himpunan { e, e,, e n } disebut basis dari V; dan banyaknya maksimum vektor yang bebas linear adalah n. 5//9 budi murtiyasa ums surakarta
Andaikan V = {u, u, u }, dengan - u = u = - dan u = - amati bahwa himpunan {u, u, u } adalah bergantung g linear; karenanya tidak bisa menjadi basis untuk V. Tetapi misalnya himpunan {u, u } adalah bebas linear.. Jadi {u, u } adalah basis untuk ruang V. Karenanya dim V =. Demikian halnya {u, u } juga bebas linear,, oleh karena itu ia juga basis dari V, dan dim V =. Contoh tersebut menunjukkan bahwa basis suatu ruang vektor tidak tunggal. 5//9 budi murtiyasa ums surakarta
Andaikan ruang V = {u, v, w, s}, di mana : 5 8 u =, v =, w =, dan s =. cari basis dan dimensi dari ruang V! Solusi : (menggunakan matriks) u v w s 5 8 6 = ~ ~ Basis dari V = {(-,, ) T, (, -, ) T }. Dim V =. 5//9 budi murtiyasa ums surakarta 4
Cari basis dan dimensi dari Ruang V = {u, v, w}; jika 5//9 budi murtiyasa ums surakarta 5
Untuk R n ; dengan =, e =,, e : : n e =, e =,, e n = : adalah basis dari R n, dan dim R n = n. Basis {e, e,, e n } disebut basis natural atau basis standard. Jadi basis natural dari R adalah e = dan e =. Dim R =. 5//9 budi murtiyasa ums surakarta 6
Teorema Himpunan {u, u,, u } yang bebas n linear dari ruang vektor V berdimensi n adalah sistem pembentuk bagi ruang vektor V. 5//9 budi murtiyasa ums surakarta 7
Catatan : setiap sistem pembentuk yang bebas linear adalah basis dari suatu ruang vektor. setiap himpunan {u, u,, u n n} }y yang bebas linear adalah basis dari ruang vektor berdimensi n. 5//9 budi murtiyasa ums surakarta 8
Contoh : u, v, w R, dng u =, v =, w =. dapat diselidiki bahwa {u, v, w} adalah bergantung linear; ia juga sistem pembentuk R. Tetapi {u, v, w} tidak bisa menjadi basis R. sedangkan {u, w} adalah bebas linear,, ia juga sistem pembentuk bagi R. Jadi himpunan {u, w} adalah basis untuk R tersebut. t 5//9 budi murtiyasa ums surakarta 9
Teorema Jika ruang vektor V berdimensi n, maka setiap himpunan yang memuat n+ anggota atau lebih adalah bergantung linear (dependen). 5//9 budi murtiyasa ums surakarta
Contoh : u, v, w R, dng u =, v =, w =. dapat diselidiki bahwa {u, v, w} pasti bergantung linear; mengapa?. - V = - - - - Bebas linear atau bergantung linear? 5//9 budi murtiyasa ums surakarta
Ruang Jumlah Jika U dan W adalah subspace dari V, ruang jumlah dari U dan W adalah U+W = {u+w u Ud dan w W}. 5//9 budi murtiyasa ums surakarta
5//9 budi murtiyasa ums surakarta --
5//9 budi murtiyasa ums surakarta 4
S l i Solusi : U+W U + W = Untuk mencari basis U + W dikerjakan sebagai Untuk mencari basis U + W dikerjakan sebagai berikut : 5//9 5//9 5 5 budi murtiyasa ums surakarta budi murtiyasa ums surakarta
4 5 4 5 4 5 4 5 4 5 ~ ~ ~ 9 6 7 4 5 4 5 ~ 8 8 ~ Basis U+W ={(,-,,) T,(,-,5,4) T,(,,,) T,(,,,) T } {(,,, ),(,,, ),(,,, ),(,,, ) } Dim U+W = 4. 5//9 5//9 6 6 budi murtiyasa ums surakarta budi murtiyasa ums surakarta
Teorema Jika U dan W subspace dari V, maka U+W adalah juga subspace dari V. 5//9 budi murtiyasa ums surakarta 7
Amati bahwa : dim(u+w)=dimu+dimw U + W dim (U W)
Ruang Jumlah Langsung U dan W subspace V. Ruang V adalah jumlah langsung (direct sum) ) dari U dan W, ditulis U W, jika setiap vektor v V dapat dinyatakan dalam satu cara dan hanya satu cara sebagai v = u+w;dimanau U u U Udan w W. 5//9 budi murtiyasa ums surakarta 9
Andaikan U dan W subspace V, di mana a U = b dan W = c a V = b adalah jumlah langsung dari U dan W c 4 4 Sebab misalnya : 8 = 8 + 7 7 5//9 budi murtiyasa ums surakarta
Andaikan U dan W subspace V, di mana a a U = b dan W = b, maka V = b c c adalah bukan jumlah langsung dari U dan W 4 4 Sebab misalnya : 8 = 5 + atau 7 7 4 4 8 = + 6 dsb. 7 7 5//9 budi murtiyasa ums surakarta
Teorema Ruang vektor V dikatakan jumlah langsung dari subspace U dan W jika dan hanya jika () U + W = V, dan () U W = { }. 5//9 budi murtiyasa ums surakarta
Ruang Baris dan Ruang Kolom Untuk matriks A mxn,, maka dimensi dari ruang baris = dimensi i ruang kolom. 5//9 budi murtiyasa ums surakarta
Berapa dimensi ruang baris dari : ~ H ~ ~ 6 6 Ada dua baris tidak nol berarti dimensi = Ada dua baris tidak nol, berarti dimensi =. Be apa dimensi ang kolom da i Berapa dimensi ruang kolom dari : K ~ K 6 6 ~ 6 ~ Ada dua kolom tidak nol, berarti dimensi =. 5//9 5//9 4 4 budi murtiyasa ums surakarta budi murtiyasa ums surakarta
5//9 budi murtiyasa ums surakarta 5