Talk less... do moe...!!!!!
CLCULUS VEKTOR
Difeensiasi fungsi VEKTOR Integasi fungsi Vekto
Difeensiasi fungsi VEKTOR
Difeensiasi Biasa dai fungsi vekto Jika i j zk Dan ( u); ( u); dan z z( u) Dimana u adalah suatu skala, maka difeensiasi tehadap u : d du d du i di du d du j dj du dz du k z dk du
Sistem koodinat Katesian (,) j i j i j j i i Vekto satuan aah sumbu dan aah sumbu selalu tetap kapan pun dimana pun, tidak begantung posisi dan waktu
Tapi kaena i, j, dan k dalam sistem koodinat katesian adalah konstan tidak begantung posisi dan waktu, maka difeensiasi dai tehadap u (biasana vaiabel uang) menjadi : d du d du i di du 0 0 0 d du j dj du dz du k dk z du d du d du i d du j dz du k
Sistem koodinat Pola (,θ) u u θ u u θ θ u u θ u u θ Vekto satuan aah dan aah θ tidak tetap begantung posisi
Rumus-umus difeensiasi fungsi vekto ang lain : Jika, B, dan C adalah fungsi-fungsi vekto dai sebuah skala u ang difeensiabel dan φ sebuah fungsi skala dai u ang difeensiabel, maka : d ( ) d db d ( ) db d 1. B. B B du du du du du du d ( ) db d d ( ) d dφ 3. B B 4. φ φ du du du du du du d ( ) v d dφ 5. B C B du du du d ( ) v dc db d B C B C ( 6. ( ) ( ) B C) du du du du
Difeensial Pasial dai fungsi vekto Jika adalah sebuah vekto ang begantung pada lebih dai satu vaiabel skala, misalkan,, z, maka kita tuliskan (,,z). Maka dapat dituunkan secaa pasial tehadap, tehadap, atau tehadap z, dengan menganggap veiabel bebas lainna konstan., z kons tan, z kons tan z z, kons tan
Difeensiasi-difeensiasi ang lebih tinggi dapat didefinisikan sepeti dalam kalkulus, sbb : z z z z z z z 3 pakah???
Jika memiliki sekuang-kuangna difeensiasidifeensiasi pasial ode kedua ang kontinu (fungsi vekto bekelakuan baik), maka
tuan-atuan untuk difeensiasi pasial dai fungsifungsi vekto miip dengan ang dipegunakan dalam kalkulus dasa dai fungsi-fungsi skala. Jadi jika dan B adalah fungsi-fungsi dai,, z, maka : ( ) B B B 1. ( ) B B B. ( ) ( ) B B B B 3.
Difeensial dai vekto-vekto Mengikuti atuan-atuan ang miip dengan ang dai kalkulus dasa, sepeti : 1. Jika 1 i j 3k, maka d d1 i d j d3k. d ( B) db d B ( ) 3. d B db d B 4. Jika (,, z), maka d d d dz z
Contoh soal Sebuah patikel begeak sepanjang kuva : t, t 4 t, z 3t 5 dimana t adalah vaiabel waktu. Tentukan komponen kecepatan dan pecepatan pada saat t1 dalam aah vekto i 3j k Jawab Kecepatan didefinisikan sebagai laju peubahan posisi tehadap waktu, ditulis : Dai soal diketahui : v d dt d dt v d dt ( t 4t) j ( 3t )k t i 5 Maka : {t i ( t 4t) j ( 3t 5) k}
Contoh soal v 4 t i 3 Pada t 1, ( t 4) j k v 4 i j 3k Komponen kecepatan dalam aah vekto adalah poeksi dai v tehadap u dimana u adalah vekto satuan aah Komponen v uˆ uˆ i 3 j k 1 9 4 i 3 j k 14
Contoh soal Komponen kecepatan dalam aah veko adalah i 3 j k v aˆ ( 4i j 3k ) 14 Pecepatan didefinisikan sebagai laju peubahan kecepatan tehadap waktu, ditulis : Sebelumna didapat maka a dv dt v 4 t i 3 ( t 4) j k dv d a { 4t i k dt dt ( t 4) j 3 } 16 14
Contoh soal a 4 i j Pada t 1, a 4 i j Komponen pecepatan dalam aah vekto adalah poeksi dai a tehadap u dimana u adalah vekto satuan aah Komponen a uˆ Komponen pecepatan dalam aah veko adalah a uˆ ( 4i j) i 3 j 14 k 14
Soal Latihan Jika ( ) ( ) ( ), cos sin 4 k j e i Tentukan :,,,,,, pakah bekelakuan baik?
Tugas PR Vekto kedudukan dai sebuah patikel ang begeak dibeikan oleh: cos ωt i dimana ω konstan. Buktikan bahwa : sin ωt j a. Kecepatan v dai patikel tegak luus b. Pecepatan a aahna menuju titik asal dan besana sebanding dengan jaak ke titik asal c. v vekto konstan
Lambang : Opeato Difeensial Vekto Baca : del atau Nabla Definisi : i j k z Opeato vekto ini memiliki sifat-sifat ang analog dengan vekto-vekto biasa, bemanfaat untuk mendefinisikan tiga buah besaan beikut ang seing muncul dalam pemakaian paktis temasuk dalam Fisika ang dikenal sebagai Gadien, Divegensi, dan Cul.
Gadien Misalkan φ (,,z) adalah suatu fungsi skala ang tedefinisikan dan difeensiabel pada titik-titik (,,z) dalam suatu daeah tetentu dalam uang, maka : Gadien φ atau Gad φ atau ditulis φ didefinisikan sebagai : z k j i z k j i φ φ φ φ φ Pehatikan bahwa φ meupakan suatu fungsi vekto
Komponen dai φ dalam aah sebuah vekto satuan a, dibeikan oleh : φ â Disebut Diectional deivative atau Tuunan Beaah dai φ dalam aah a. Secaa fisis memiliki pengetian laju peubahan kuantitas fisika φ pada (,,z) dalam aah a, dan ditulis : dφ φ aˆ ds
Tuunan Beaah Contoh kuantitas fisis ang tegolong medan skala (φ) adalah potensial listik (V), tempeatu (T) dan potensial gavitasi (Ep) dt ds T aˆ
Medan Listik dan Potensial listik V E b V q V E a c E V d E kq E ˆ kq V Kaena ang sama, maka Va Vb Vc Vd tapi Ea Eb Ec Ed E E E a b c E d
Medan Listik dan Potensial listik V V1 b V V1 a c V1 V q d V1 V
Medan Listik dan Potensial listik Bidang-bidang equipotensial c V1 d V e f g h Ketika begeak dai c ke d atau ke e, atau ke f, atau ke g, atau ke h, menempuh selisih potensial listikna ang sama, aitu V1-V V Yang bebeda adalah panjang lintasan ang ditempuh. Hal ini menunjukkan laju peubahan potensial bebesa, semakin panjang lintasan beati laju peubahanna kecil dan sebalikna Hal ini menunjukkan laju peubahan potensial begantung aah tuunan beaah
Medan Listik dan Potensial listik Bidang-bidang equipotensial c d e f g V dv ds dv ds V V aˆ â cosθ V1 h θ dalah sudut antaa V dan a V V adalah vekto tegak luus V di suatu titik. Pada pepindahan dai c ke g, vekto a(aah pepindahan) seaah dengan φ, sehingga θ adalah 0 (nol) dv ds V cos0 V maksimum
φ φ φ φ φ φ φ φ φ φ
φ C P(o,o,zo) a C B Bukti Titik P, C, B, teletak pada satu bidang φ, sehingga ketika begeak dai P ke C atau ke B atau ke tidak tejadi peubahan nilai φ, sehingga φ 0. dengan demikian : dφ 0 ds dφ ds φ â cosθ Beati antaa φ dan a di titik p membentuk sudut 90 o. Dengan demikian φ tegak luus a. φ s 0 Dai kalkulus φ dφ lim 0 s 0 s ds
Bukti φ P(o,o,zo) 90 o a φ C C B
Contoh Soal Dibeikan fungsi potensial listik dalam uang : V z z sin Tentukan : a. V di titik (0,1,) b. Diectional deivative dai V di (0,1,) dalam aah i j k Jawab : a. V V i V i V j V k z ( z cos ) j( z) k( sin ) Di titik (0,1,) V 3i j k
Contoh Soal u V ds dv ˆ b. Di titik (0,1,) u adalah satuan vekto dalam aah, sehingga : 3 1 4 4 ˆ k j i k j i u 3 1 4 4 sehingga ( ) 3 3 k j i k j i ds dv 3 ds dv
Soal latihan Dibeikan fungsi tempeatu dalam uang dan titik P(3,4,1) : T z Tentukan : a. T di titik P b. Suatu vekto satuan nomal pemukaan T5 di P c. Suatu vekto dalam aah peningkatan dai T paling cepat di P d. Besa vekto pada soal c e. Tuunan dai T di P dalam aah sejaja gais : i j k (6i j 4k) t
Divegensi Misalkan V (,, z) V1i V j V3k dalah suatu fungsi vekto ang tedefinisikan dan difeensiabel dalam suatu daeah tetentu dai uang maka : Divegensi V atau Div V atau ditulis.v, didefinisikan sebagai : i j k z ( V i V j V k) V 1 3 V1 V V3 V z
Cul Misalkan ( ) k j i z 3 1,, dalah suatu fungsi vekto ang tedefinisikan dan difeensiabel dalam suatu daeah tetentu dai uang maka : Cul atau Rot atau ditulis, didefinisikan sebagai : ( ) k j i z k j i 3 1 3 1 z k j i
Contoh soal Hitung divegensi dan Cul dai medan vekto beikut : k j zi Jawab : Divegensi V atau Div V atau ditulis.v, didefinisikan sebagai : z 3 1 1 0 1 0 z z
Cul atau ditulis, didefinisikan sebagai : 3 1 z k j i z z k j i 0
Vaiasi Fomula Mengandung
Lapla Laplacian ian Misalkan U (,,z) adalah suatu fungsi skala ang tedefinisikan dan difeensiabel pada titik-titik (,,z) dalam suatu daeah tetentu dalam uang, maka : Laplacian U atau ditulis U didefinisikan sebagai : z U k U j U i z k j i U z U U U U
Contoh soal Contoh soal U U U 3 3 3 U Hitung Laplacian dai fungsi skala beikut : Laplacian U atau ditulis U didefinisikan sebagai : z U U U U U 6 ( ) 0 6 6 6 U
Soal latihan 1. Hitung Laplacian dai fungsi skala beikut :. Hitunglah : jika ( ) U ln i j z k
INTEGRSI FUNGSI VEKTOR
Integal Biasa R( u) R ( u)ˆ i R ( u) ˆ 1 j R3 ( u) kˆ meupakan sebuah vekto ang begantung pada vaiabel skala tunggal u, dimana R 1 (u), R (u), R 3 (u) kontinu dalam suatu selang ang ditentukan. Maka: R( u) du iˆ R u du ˆj R ( u) du kˆ 1( ) R3( u) du Disebut integal tak tentu dai R(u)
Jika tedapat suatu vekto S d (u) sehingga { R( u) S( u) } du Maka: d { R ( u) du S( u) }du du R( u) du ds( u) S( u) C C adalah vekto konstanta
Integal Integal tentu tentu antaa antaa limit limit-limit limit u a dan dan u b, b, ditulis ditulis sbb sbb : { } ) ( ) ( ) ( ) ( du u ds du u R du u S du d du u R b u b u b u a u b u a u ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( a S b S u S du u R du u ds du u R b u a u b u a u a u a u
Contoh Soal Pecepatan suatu patikel pada setiap saat t > 0 dibeikan oleh: a ˆ ( 1 cos t) i ( 8sin t) j ( 16t)k Jika, kecepatan dan posisi awal adalah nol, Tentukan kecepatan dan posisi patikel setiap saat! v a dt v dt t 0 ˆ v( t 0) v ( t 0) 0 0 ˆ 0 0
Solusi v iˆ ˆ ˆ 1cos t. dt j 8sin t. dt k 16t. dt ˆ 1 ˆ 1 v i 1 sin t j ( 8) cos t kˆ ˆ ˆ v 6sin t i 4cos t j 8t k ˆ C 1 ( 8t ) C1 dengan mengambil v 0 pada saat t 0, dipeoleh : 6sin 0 ˆ 4cos0 ˆ i j 8(0) kˆ C ; C 4 j 0 1 1 Sehingga : v t iˆ t ˆ 6sin 4cos j 8t kˆ 4 v 6sin t iˆ (4cos t 4) ˆj 8t j kˆ atau
Solusi ( v dt 6sin t i 4cos t j 4 j 8t k)dt 8 3cos t i C 3 3 ( sin t 4t) j t k dengan mengambil 0 pada saat t 0, dipeoleh : 8 3 3cos0i ( sin 0 0) j (0) k C ; C 3i 3 0 sehingga 8 3cos t i 3 3 8 3 ( 3 3cos t) i ( sin t 4t) j t k 3 3 ( sin t 4t) j t k i atau
Soal latihan Pecepatan suatu patikel pada setiap saat t > 0 dibeikan oleh: a e t iˆ 6 ˆ ˆ ( t 1) j 3sin t k Jika, kecepatan dan posisi awal adalah nol, Tentukan kecepatan dan posisi patikel setiap saat!
Integal Gais Misalkan 1 i j 3k dan (u) adalah vekto posisi dai (,,z) mendefinisikan kuva C ang menghubungkan titik-titik P dan Q, dimana u u 1 dan u u untuk masing-masingna C dianggap tesusun dai sejumlah behingga kuva-kuva dimana untuk masing-masingna (u) memiliki tuunan ang kontinu. Misalkan : ( u) u ( ) i u ( ) j z( u)k Sebuah fungsi vekto dai posisi ang didefinisikan dan kontinu sepanjang C, maka integal dai komponen tangensial sepanjang C dai P ke Q ditulis sebagai : Q d d 1 d d 3 P C C dz
Integal Gais z θ C P 1 3 d Q Q 0 d d 1 d d 3 P C C dz dalah contoh integal gais. Jika adalah sebuah gaa F ang bekeja pada suatu patikel ang begeak sepanjang C, maka integal gais in i menatakan usaha (W) ang dilakukan gaa F.
Integal Gais Jika C adalah kuva tetutup sedehana (kuva ang tidak memotong diina sendii), maka integal mengelilingi C seing dituliskan : Teoema d 1 d d C 3 C dz Jika - φ pada semua titik dalam suatu daeah R dalam uang, ang didefinisikan oleh a 1 a, b 1 b, c 1 z c, dimana φ(,,z) behaga tunggal dan memiliki tuunan-tuunan ang kontinu dalam R, maka Q 1. d P. d 0 C Tidak begantung pada lintasan C dalam R ang menghubungkan P dan Q Mengelilingi setiap kuva tetutup C dalam R
Kuva tetutup sedehana z Q Tetutup sedehana P C Belawanan dengan aah Puta jaum jam
Integal Gais Dalam hal demikian, disebut sebuah medan vekto konsevatif dan φ adalah potensial skalana. Sebuah medan vekto adalah konsevatif jika dan hana jika : tau ekivalen juga dengan - φ. Dalam hal demikian : 0 d d d dz 1 3 φ
Contoh Soal Jika F iˆ ˆj Hitunglah usaha untuk memindahkan patikel dai titik (0,0) ke (3,4) melalaui lintasan sepeti gamba di bawah ini : (3,4) (0,0) (3,0) pakah F meupakan medan vekto konsevatif?
Soal Latihan Dibeikan F1 z i j k dan F i j a. Yang manakah dai kedua gaa tesebut ang konsevatif? b. Untuk gaa ang konsevatif, cai fungsi skala φ sehingga F - φ! c. Untuk gaa ang tidak konsevatif, hitunglah usaha untuk memindahkan patikel sepanjang gais luus dai titik (0,1) ke (1,0)
Tugas PR a. Buktikan bahwa medan gaa beikut besifat konsevatif F ( 3 z ) i ( ) j ( cos sin 4 3z )k b. Cailah potensial skala (φ) untuk F c. Cailah usaha ang dilakukan F dalam menggeakan sebuah c. Cailah usaha ang dilakukan F dalam menggeakan sebuah patikel dai (0,1,-1) ke (π/, -1,)
Teoema Geen dalam Bidang Jika R adalah suatu daeah tetutup dalam bidang ang dibatasi oleh sebuah kuva tetutup sedehana C dan jika P dan Q adalah fungsi-fungsi kontinu dai dan ang memiliki tuunan-tuunan kontinu dalam R, maka : C P Q P (, ) d Q (, ) d d d R dimana C dilintasi dalam aah positif (belawanan aah puta jaum jam) Bukti d C c a b
Teoema Geen dalam Bidang Lakukan integal angkap tehadap luas bidang Q d b (, ) Q(, ) d d c a d d d c [ Q( b, ) Q( a, ) ]d Lakukan integal gais sepanjang kuva C mengelilingi bidang belawanan aah puta jaum jam b c a (, ) d Q(, c) d Q( b, ) d Q(, d ) d Q( a, ) Q C C Q d a c b (, ) d Q( b, ) d Q( a, ) d [ Q( b, ) Q( a, ) ] c d d c b c d d d Q d d C Q (, ) d
Teoema Geen dalam Bidang Lakukan pula integal angkap tehadap luas bidang P b d (, ) P(, ) d d a c d d b a [ P(, d ) P(, c) ]d Lakukan integal gais sepanjang kuva C mengelilingi bidang belawanan aah puta jaum jam b d a (, ) d P(, c) d P( b, ) d P(, d ) d P( a, ) P C a c b c d d C P b a (, ) d P(, c) d P(, d ) d [ P(, c) P(, d ) ] a b b a d P d d C P (, ) d
Teoema Geen dalam Bidang Q P P d Q d C d d
Contoh Soal Gunakan teoema Geen untuk menghitung integal beikut : C d 3 d Dimana C adalah kuva segiempat sepeti gamba di bawah : (0,) (-,0) (,0) (0,-)
Soal Latihan Gunakan teoema Geen untuk menghitung integal beikut : d C d Dimana C adalah kuva tetutup sepeti gamba di bawah : 4 1 4
Tugas PR a. Untuk kuva tetutup sedehana C dalam bidang, Tunjukkan dengan teoema Geen bahwa luas aea ang dilingkupina adalah : 1 ( d d) C b. Dengan menggunakan fomula pada soal a), tunjukkan bahwa aea ang dibatasi elips a cos θ, b sin θ, 0 θ π memiliki luas : πab
Teoema Divegensi (Teoema Gauss) Menatakan bahwa jika V adalah volum ang dibatasi oleh suatu pemukaan tetutup S dan sebuah vekto ang adalah fungsi dai kedudukan dengan tuunan-tuunan ang kontinu, maka : V dv S nˆ ds dimana n adalah nomal positif dai pemukaan S
dimana Contoh Soal Gunakan teoema Divegensi untuk menghitung integal beikut : F S F 4z i j nˆ ds z k dan S adalah pemukaan kubus ang dibatasi oleh : 0, 1, 0, 1, z 0, z 1
Soal Latihan Peiksa kebenaan teoema Divegensi untuk : 4 i j z k Yang diintegasi melalui uang ang dibatasi oleh 3, z 0 dan z 3
Hukum Gauss Dalam bidang kelistikan, salah satu matei ang dibahas adalah menentukan medan listik disekita benda bemuatan listik. Salah satu teknik ang digunakan adalah hukum Gauss. Hukum ini sebetulna adalah teoema Divegensi ang diteapkan dalam matei bahasan kelistikan. ε o V dv E nˆ ds S S V ρ ( V ) n ˆ ds dv dimana E adalah medan listik, n adalah vekto nomal bidang, S adalah pemukaan Gauss, ρ adalah apat muatan pada benda dan V adalah volume benda.
Hukum Gauss Kasus distibusi muatan Q pada bola dengan apat muatan konstan. E n n Q E S pemukaan Gauss kulit bola Pemukaan Gauss S haus dipilih sedemikian upa sehingga aah E dengan n sejaja (membentuk sudut 0) di setiap titik pada pemukaan Gauss. Jadi pemilihan pemukaan Gauss haus mempetimbangkan bentuk geometi benda bemuatan. Dalam kasus kita benda bemuatan Q begeometi bola, sehingga pemukaan Gauss ang paling tepat adalah pemukaan bola (kulit bola)
Hukum Gauss Kasus distibusi muatan Q pada bola dengan apat muatan konstan. E n Q n E S pemukaan Gauss ε 0 E S ds Q kulit bola ( ) Q ε 0 E 4π E Q πε k Q 4 0
Teoema Stokes Menatakan bahwa jika S adalah suatu pemukaan tebuka besisi dua ang dibatasi oleh sebuah kuva tetutup sedehana C maka jika memiliki tuunan-tuunan ang kontinu : S ( ) nˆ ds C d dimana C dilintasi dengan aah positif. ah dai C disebut positif jika seoang pengamat bejalan pada daeah batas dai S dalam aah ini dengan kepalana menunjuk pada aah nomal positif tehadap S, maka ia mendapatkan pemukaan ini di sebelah kiina
Contoh Soal Peiksa kebenaan teoema Stokes untuk : ( ) i z j z k Dimana S adalah sepauh dai pemukaan bola bagian atas z 1 dan C batasna.
Soal Latihan Peiksa kebenaan teoema Stokes untuk : 4 ( z ) i ( z ) j z k Dimana S adalah pemukaan kubus 0, 0, z0,,, z di atas bidang.
Hukum mpee Dalam bidang kemagnetan, salah satu matei ang dibahas adalah menentukan medan magnet disekita penghanta beaus listik (i). Salah satu teknik ang digunakan adalah hukum mpee. Hukum ini sebetulna adalah teoema Stokes ang diteapkan dalam matei bahasan kemagnetan. S C ( ) nˆ ds H d C d ( H ) nˆ ds S dimana H adalah medan magnet, C adalah kuva tetutup ang melingkupi penghanta beaus listik, n adalah vekto nomal geometi benda beaus listik.
Hukum mpee Kasus penghanta luus begeometi silinde mengangkut aus listik i i C kuva tetutup lingkaan Kuva tetutup C haus dipilih sedemikian upa sehingga aah B dengan aah vekto ang meninggung kuva sejaja (membentuk sudut 0) di setiap titik pada kuva C. Jadi pemilihan pemukaan Gauss haus mempetimbangkan bentuk geometi penghanta. Dalam kasus kita penghanta beaus listik i begeometi silinde, sehingga kuva C ang paling tepat adalah kuva lingkaan.
Hukum mpee Kasus penghanta luus begeometi silinde mengangkut aus listik i i C 1 µ B C H d ( H ) nˆ d 0 C d ( B d J ) nˆ d S S µ ˆ 0 µ 0 ( ) µ i B 0 ( J ) n d i C kuva tetutup lingkaan π π J adalah apat aus, adalah luas pemukaan silinde B µ i 0