Subyao Algorma Geek da Wavele Packe Algorma Geek da Wavele Packe Subyao Tekk Elekro Fakulas Tekk Uversas Neger Semarag Absrak Tulsa membahas aalsa fugs fess dalam algorma geek megguaka rasformas wavele packe (WP) secara eors. Trasformas wavele dguaka uuk meghug la raa-raa fess dar suau schema. Berdasaka pada hal dapa deuka apakah suau fugs ereu mudah aau bera bag algorma geek. Pembahasa adalah suau pegembaga dar kera Behke yag meemuka suau meode efse uuk meghug la fess reraa schema megguaka rasformas Walsh. Kaa Kuc: wavele packe algorma geek la fess.. Pedahulua Trasformas wavele packe (WP) (aau rasformas poho ersrukur) yag dkembagka dar wavele da aalss mulresolus merupaka suau opk yag saga dma d bdag pemrosesa syal. Berdasar pada srukur poho fler bak WP meawarka suau keluarga yag kaya bass-bass oroormal dar su dapa dplh bass erbak (d bawah suau krera ereu seper berbass eropy). Algorma geek (AG) adalah algorma pecara berbass pada mekasme seleks alam da geek alamah. Suau AG sederhaa ersusu dar ga operaor: reproduks perukara slag (crossover) da muas. Sau hal yag peg AG megaalsa bagamaa suau fugs obyekf (fugs fes mudah aau bera uuk AG ersebu. Sebagamaa algorma pecar AG dapa dguaka uuk seleks bass erbak dbawah suau crera ereu daara semua bass WP. Sebagamaa erad pada masalah dalam aplkas pegkodea cra (mage). Percobaa perama dalam aplkas rasformas WP dalam aalss AG yag dbua oleh Behke adalah rasformas orhogoal uuk aalss AG yag meemuka suau cara efse uuk perhuga lala fess reraa schema megguaka rasformas Walsh. Pembagua blok AG yag dkombas pada beuk opma aau deka opma adalah schemaa orde redah da pedek dega la-la fess daas reraa. Perbadga dar reraa fess duls dalam koefse rasformas Walsh da dalam koefse rasformas deas (bass kaok): - Uuk rasformas Walsh schemaa orde redah dspesfkaska dega suau umlah pedek da scema orde gg dspesfkaska dega suau umlah paag. - Uuk rasformas deas adalah sebalkya. membua rasformas Walsh efse uuk AG. Trasformas Walsh adalah sau beuk dar kelas wavele packe aar. Bagamaa eag rasformas laya khususya berbass pada fugs bass segempa? Dar percobaa S. Khur (rasformas aar dega AG) rasformas aar ada suau reduks waku kompuas dbadgka dega rasformas Walsh. Meskpu demka dak ada formula umum uuk reraa fess schema dalam bass aar da dak ada aalss umum dar kompleksas sebaga umlah koefse-koefse buka ol dalam peumlaha fess reraa schema. Tuua uama ulsa adalah uuk meyeldk aplkas rasformas wavele packe uuk aalss algorma geek. Secara aals duruka ugkapa uuk marks reraa fess- AG da reraa vekor baya fess- (ukura kuaaf dar kompleksas perhuga la-la fess reraa schema) pada beberapa bass dar lbrary rasformas WP.. Teorema Schema da Trasformas Walsh-Schema.. Teorema Schema Dasar eorema AG: eorema schema da rasformas Walsh-schema. Msalka bahwa AG memproses srg -b x (x - x - x ); x { } pada umlah desmal x x. Suau schema adalah suau sub-hmpua kesamaa bers srg pada beberapa poss la. Sebaga cooh sub-hmpua {() ()} adalah 79
JURNAL TEKNK ELEKTRO DAN KOMPUTER EMTOR Vol. 3 No. Sepember 3 suau schema ( * ) dega * adalah karaker do care. Dega begu suau schema adalah: s (s - s - s ); s {*}. Jka ka meyaka suau srg -b sebaga suau smpul dar -kubk ber suau schema mecakup hubuga smpul-smpul pada erval. Toalya ada 3 schemaa berbeda. Orde o( dar schema s adalah la poss eap dar kesamaa dalam sub-hmpua (umlah srg dalam sub-hmpua adalah -o( ). Sebaga cooh o( * ). Paag δ ( dar suau schema adalah arak aara poss-poss pembaas yag palg auh dar suau schema. Sebaga cooh δ ( * ) δ ( *). Uuk suau AG ka mempuya suau fugs la yaa fess f(g(x)) dmaa g(x) adalah varabel peeu. Meuru eorema schema dbawah reproduks crossover sederhaa da muas la yag dharapka dsaka dega m dar suau schema khusus s adalah palg sedk f ( δ ( m( s + ) m( s ) [ pc pmo( ] f dega f ( adalah reraa fess dar schema s dalam populas sekarag ddefska dega f ( f ( x) s x s dega s adalah la srg dar sub-hmpua s f adalah reraa fess dalam populas p c da p m masg-masg adalah crossover da probablas muas δ ( adalah paagya da o( adalah orde schema. Teorema megaaka bahwa suau schema umbuh keka u pedek orde redah da mempuya reraa daas fess... Trasformas Walsh-Schema Fugs Walsh membeuk suau hmpua orhogoal dar fugs-fugs ddefska secara aals dega w ( y) y y { } dmaa adalah b ke- dalam peyaa ber dar. Reraa fess schema (dalam kawasa rasformas Walsh) dapa duls sebga berku: f( c w ( β( ) J( { :( ):( s s ( ))} 4 J ( dega β ( s ) c x f ( x) w ( x) ka s * ka s 3 kompuas dar persamaa (4) dsebu rasformas Walsh-schema. Dega caaa bahwa schemaa orde redah dspesfkaska dega suau umlah pedek da schemaa orde gg dspesfkaska dega suau umlah paag. Dega eorema schema meuuka megapa rasformas Walsh adalah efekf uuk AG. 3. Marks Trasformas Reraa Fess da Vekor Baya Msalka f [f() f(3 )] T adalah beuk vekor suau fugs fess da f [ f () f (3 )] T adalah beuk vekor suau reraa fugs fess mead marks ak sgular da g f 5 Ka defska suau marks 3 A ) (ergaug pada marks ) dega begu f A g 6 Ka au marks A ) adalah marks rasformas reraa fess- da rasformas persamaa (6) adalah rasformas reraa fess-. Dapa dlha bahwa dalam kasus ersebu (marks deas orde ) A ) 7 B adalah daya kroecker ke dar B. Dega caaa bahwa marks ) dguaka sama seper marks sambuga erval A yau uuk eksraks semua erval pada -kubk. Bla f adalah ak gayu dar ka mempuya beuk persamaa (6) (5) da (7): f ) f ) f f karea u A ( ) ) da ) 8 Peyederhaaa persamaa (6) uuk berbaga marks dkealka suau vekor baya reraa fess- : r r(g) [r() r( )] T dmaa r(α () meuuka reraa la dar ak ol erm g( dalam persamaa (6) dega ka s α( 9 ka s * 8
Subyao Algorma Geek da Wavele Packe vekor baya reraa fess- memberka suau ukura kuaaf dar kompleksas dar perhuga la-la reraa fess schema. 4. Wavele Packe Segempa da Marks Reraa Fess Wavele packe aar dar rasformas aar-lke uary pada fler bak poho ersrukur (P adalah poho ber) dega pasaga fler-fler sess (lowpass da hghpas ddefska dega G ( z) ( + z ) G ( z) ( z ) Suau pemagkasa secara sembarag pada srukur poho P dar poho ber uuh sedalam aka memberka suau keluarga dar bass aar uary { } sebaga berku: - Jka P adalah sembarag poho (sau akar) kemuda adalah rasformas deas - ka P adalah suau poho ocave-bad (baga lowpass berulag) kemuda adalah rasformas aar da - ka P adalah poho uuh kemuda adalah rasformas Walsh. Selauya aka dberka suau formula ekspls uuk marks rasformas reraa fess pada suau bass yag berubah-ubah dar wavele packe aar. Perama-ama ka uruka suau peryaaa aals uuk marks [ ] (yau verse dar marks poho ber erpagkas sedalam ). Masg-masg smpul pada level ke-k ( ( < k ) dar poho P dkodeka dega suau vekor ( ) sepaag k. Smpul buka peghubug (oermal) dkodeka dega vekor ber c. Keurua smpul aka mempuya kode sebaga berku: c (baga kr) da c (baga kaa). Uuk megkodeka semua smpul peghubug yag buka erakhr pada level ke- ka ambahka pada kaa karaker * do care. Msalka P mempuya peghubug (ermal) dega kode {c () } c () ( ) ( ) ( c... c ) ( dega c ) {*}... Dall. Msalka P poho yag dpagkas dar poho aslya sedalam da mempuya smpul ermal dega kode-kode dberka persamaa (). verse ( ) marks rasformas [ ] P aka mempuya beuk sebaga berku: () α ( c k [ ]... ( ) α ( c k... dega k adalah marks deas orde k - o(c () ) o( adalah orde dar suau schema s α (c) ddefska dega persamaa (9) da. Buk dar persamaa () memberka defs pasaga fler aar da kosruks kode-kode poho. Msal marks rasformas pada poho P dar gambar dsaka secara aals dega [ ]. Dall. Msalka P adalah suau poho ber seper dalam dall. marks rasformas reraa fess- ) pada rasformas aar (ddefska dar poho P) aka mempuya beuk berku: ) k () ( ) ( )... ( ) c A v( c ) k ) dmaa ) ddefska dar persamaa (7) da semua em laya seper v( ) v( ) dalam dall. Buk; megguaka dall persamaa (8) da sfa sederhaa produk Kroecker ddapaka ugkapa aals uuk ). Vecor v() da v() dperoleh dega v ( ) ) v( ) ). Persamaa (8) dguaka uuk meuruka rasformas Walsh-schema (marks-vekor vers persamaa (4)) aau ekuvaleya rasformas reraa fess Walsh: f W ) g dega Gambar. Poho ber erpagkas dega kodekode smpul 3 8
JURNAL TEKNK ELEKTRO DAN KOMPUTER EMTOR Vol. 3 No. Sepember 3 da g W f W ) W adalah marks rasformas Walsh. Sama halya dega megguaka persamaa (3) dapa duruka rasformas schema la yau rasformas fess reraa aar-lke. Selauya fugs bass wavele aar mead fugs bass segempa laya yau membeuk kelas wavele packe Reed-Muller oorhogoal. Dalam kasus eksrm (yau keka mempuya dekomposs poho ber peuh) koruks meuuka rasformas Reed-Muller (coucve). Pasaga aalss da sess dar fler uuk fler bak adalah: ( z) ; G ( z) + z ( z) z ; ; G ( z) z Perama dberka peryaaa aals uuk marks verse [ ] K dar marks packe Reed Muller [ K ] pada pemagkasa poho P dar poho ber sedalam. Dall 3. Msalka poho P dpagkas sebagamaa dalam dall. Marks [ K ] dar dekomposs poho P aka mempuya beuk sebaga berku: k k ( ) P [ K ] h () ( )... h ( ) ( ) c 5 α α c dega h adalah kolom ke- dar marks Reed_Muller K da oas laya sama dega pada dall. Msalya marks rasformas uuk poho dalam gambar adalah: [ K ]. 4 Dall 4. Msalka P adalah poho ber seper dalam dall. Marks rasformas reraa fess- K ) yag berhubuga dega rasformas seper Reed- K aka mempuya beuk sebaga berku: Muller [ ] K ) k () ( ) ( )... A w( c ) 6 k A w c dmaa ) ddefska dega persamaa (7) da semua em laya w() w() seper dalam dall. Buk: dar dall 3 da formula (8). Vekor w() da w() ddapaka dega w ( ) ) w() ). Sedagka marks reraa fess uuk rasformas Reed-Muller: K ) Dapa dlha perbedaaya dega marks reraa fess Walsh persamaa (4) yau dak ada fakor peskala uuk schemaa orde redah da mempuya umlah lebh pedek uuk schemaa orde gg. 5. Wavele Packe Segempa da Vekor Baya Reraa Fess Dau dar rasformas aar pada suau srukur poho erpagkas. Dar suau poho erpagkas G aka dsusu mead G [G] haya dega peambaha cabag pada smpul ke- yau smpul ( 3 p ) p<) dar G. Dall 5. Suau vekor baya reraa fess-: r(g ) pada poho G [G] dperoleh dar vekor baya reraa fess-: r(g) meuru prosedur: r(g ) r(g) + r () dega lagkah awal vekor baya reraa fess- : r(.) mempuya beuk r(.) ( ) da p ( p) r '( ) ( ( p ) ( ) ( ) p ); ( k { } ; k adalah egas dar k k a p da ( ) adalah daya Kroecker ke-a dar ( ). Buk: dar keyaaa bahwa marks rasformas G pada poho G [G ] dapa dbeuk dar marks G dega G G D dega D adalah marks dagoal D dag(b B p- ) da B T [ ( ) ( ) ] T p p da B k laya uuk k adalah marks deas -p. Dalam gambar (a) meuuka kosruks recurre dar vekor baya reraa fess- 3 r uuk rasformas wavele packe aar. Kosruks yag sama uuk r() dapa dlakuka uga uuk wavele packe Reed-Muller. Aalsa vekor-vekor r() dapa dlha bahwa la mmum ersebu dar la-la uuk spesfka schemaa orde redah pada rasformas wavele packe 7 8
Subyao Algorma Geek da Wavele Packe aar da rasformas wavele packe Reed-Muller w ( k ) dcapa (bla dalam kasus r k.5 ) yau eleme ke-k dar vekor r() k (k k ) da bobobobo ammg w (k) dar k adalah gg. 6. Kesmpula Dalam aalsa dperoleh bahwa perbadga hasl-hasl uuk fugs reraa fess rasformas Red- Muller memerluka umlah lebh pedek uuk schemaa orde redah darpada rasformas aar. Gambar. Kosruks recurre vekor baya reraa fess- r uuk rasformas wavele packe aar. Dafar Pusaka [] Agaa S. 995 J. Asola K. Egazara Bary Polyomal Trasforms ad Nolear Dgal Flers Marcel Dekker c.. [] Behke A.D.98 Geec algorhms as fuco opmzers Docoral dsserao Uversy of Mchga. [3] Goldberg D.E. 989 Geec Algorhms Search Opmzao ad Mache Learg Addso- Wesley c.. [4] Goldberg D.E. 989 "Geec Algorhms ad Walsh Fucos: Par A Gele roduco" Complex Sysems vol. 3 pp. 9-5. [5] ollad J.. Adapao aural ad ar_cal sysems Uversy of Mchga Press A Arbor 975. [6] Khur S. 994 "Walsh ad aar Fucos Geec Algorhms" ACM Press. [7] Veerl M. ad Kovacevc J. 995 Waveles ad Subbad Codg Prece all. 83