PROGRAM STUDI TEKNIK SIPIL 3-1 POKOK BAHASAN : TEORI KESALAHAN Klasifikasai kesalahan : Kesalahan kasar, sistematik dan kesalahan acak, Definisi : Nilai ukuran, nilai yang benar, kesalahan, nilai mendekati benar, residual, derajat kebebasan, variance, standar kesalahan dan standat deviasi, Teori probabilitas, Distribusi normal 3.1 Landasan Teori 3.1.1. Histogram Histogram adalah pernyataan grafis untuk suatu distribusi frekuensi yang digambarkan dengan lajur lajur persegi panjang sedemikian rupa sehingga : (a) pusat alasnya menyatakan pusat (b) luas persegi panjang menyataka frekuensi Jika selang kelasnya beraturan, maka frekuensi kelas akan ditunjukkan juga oleh tinggi persegi panjang tersbut. Contoh: Pengukuran panjang 50 b batang kuningan memberikan ditribusi frekuensi sebagai beikut :
PROGRAM STUDI TEKNIK SIPIL 3-2 Pertama-tama tariklah garis alasnya dan berilah tanda x pada garis tersebut agar kita dapat menentukan letak harga harga pusat kelas diatas. Lakukanlah itu sebagai pembukaan awal.
PROGRAM STUDI TEKNIK SIPIL 3-3 3.1.2. DISTRIBUSI NORMAL Distribusi Normal merupakan distribusi yang paling terkenal dan paling umum dipakai. Distribusi normal memiliki fungsi kerapatan probabilitas (probability density function = pdf), seperti terlihat pada gambar dibawah ini. µ - 2τ µ µ + 2τ Parameter-parameter mean (nilai purata) atau µ dan varians (variance) σ 2 dimana (σ deviasi standart) kurva pdf adalah mean simetris area dibawah pdf besarnya adalah 1 maka dapat dituliskan sebagai berikut : X Nor (µ, σ 2 ) Cara perhitungan distribusi normal Ditentukan bahwa variabel X ada diantara a dan b, sehingga Pr (a<x<b) = Pr (X>a) Pr (X>b) Jika X Nor (µ, σ 2 ), dan membuat suatu variabel baru yaitu z X
PROGRAM STUDI TEKNIK SIPIL 3-4 Dengan mean = 0 dan deviasi standar = 1 maka Z Nor (0,1) Distribusi ini disebut distribusi normal standar (standard normal distribution) Maka dapat dituliskan kembali bahwa, Pr( X a) Pr X a Pr Z a dim ana Z X Z diikuti dengan a fungsi distribusi Nor (0,1), ditabulasikan secara luas sebagai Tabel dari probabilitas normal. Tabel dari distribusi normal standar (standard normal distribution) Z 0.00 0.01......... 0.06... 0.09 0.0 0.1... 0.8 21186... 2.2 01390 2.4 00695... Keterangan Pr (Z>2.46) ----- maka kita pilih kolom kiri 2.4 dan baris atas dengan 0.06. Maka hubungan kedua angka tadi didapat Pr (Z> 2.46) = 0.00695 3.2. Sumber Kesalahan Pengukuran Dalam pengukuran dapat hampir dapat dipastikan bahwa kesalahan pasti akan terjadi baik disengaja maupun tidak disengaja sehingga menyebabkan hasil pengkuran itu perlu mendapatkan koreksi.
PROGRAM STUDI TEKNIK SIPIL 3-5 Paling tidak terdapat 3 (tiga) sumber kesalahan dalam pengukuran, yakni a. Sumber Alam Kesalahan disebabkan karena cuaca, arah angin, suhu dan kelembaban udara, kebiasan (undulasi), gaya berat dan deklnasi magnetik sperti perubahan panjnag pita karena pengembangan dan penysusutan. b. Kesalahan karena Instrumen Kesalahan timbul karena ketidak sempurnaan konstruksi instrument atau keslahan penyetelan, misalnya tidak seragmnya skala rambu. Kesalahan ini dapat datasi dengan metoda pengukuran yang benar. c. Kesalahan karena Perorangan Kesalahan timbul karena keterbatasan manusia dalam membaca meraba dan melihat. Tentu saja dengan cara pengkran yang sekasama dan hatihati serta teliti kan mengurangi terjadinya kesalahan. 3.3. Klasifikasi Kesalahan a. Kesalahan Kasar (Blunders) Dalam pengukuran dijumpai adanya kesalahan kasar atau blunder sebagai akibat ketidak cermatan dalam mengukur, baik disebabkan oleh kerena kecerobohan maupun penggunaan alat yang tidak sempurna. Kesalahan kasar hanya dapat diperbaiki dengan cara melakukan pengkuran ulang. Contoh kesalahan kasar antara lain : i) menngunakan pita yang terputus ( kurang panjangnya), ii) kesalahan membaca skala pada rambu atau mikrometer pada bacaan sudut iii) kesalahan pencatatan dsb. a. Kesalahan Sistematik (Systematic Error)
PROGRAM STUDI TEKNIK SIPIL 3-6 Kesalahan sistematik biasanya disebabkan karena menngunakan instrumen yang belum terkaliberasi atau terkoreksi sehingga terjadi penumpukan kesalahan karena akan berulang-ulang terjadi. Kasalahan jenis ini dapat dicegah dengan cara mengoreksi alat terlebih dahulu sebelum pengukuran. Contoh kesalahan sistemaik sifatnya berulang misalnya penyusutan dan pengembangan pita atau pegas ukur oleh karena temperatur. b. Kesalahan Acak (Random Error) Kesalahan yan bersifat tetap yang tidak diketahui secara pasti penyebabnya akan tetapi lajim terjadi menurut kaidah statistik (probability). Besar dan nilai kesalahan jenis ini adalah kemungkinan dan tidak ada cara yang mutlak untuk menghilangkan. Kesalahan acak dapat bernilai positif dan negatif sehingga dapat saling menghilangkan 3.4. Istilah-istilah Istilah yang sering dipakai dalam teori kesalahan antara lain : a. Hasil Ukuran (Measured value) :adalah nilai atau besaran yang merupakan hasil obesrvasi langsung. b. Nilai yang benar (True value) :adalah nilai teoritis yang dianggap benar, dalam kenyataan nilai yang benar tidak pernah diketahui c. Kesalahan (Error) :adalah selisih antara nilai hasil pengkuran (mesured value) dengan nilai yang benar (true value), nilai error ini hanya teoritis, dalam kenyataan nilai tidak pernah diketahui d. Nilai mendekati benar (The most possible value) : Oleh karena harga yang benar tidak dapat dihitung maka hany harga yang paling mungkin dapat dihitung jika terdapat pengkuran lebih. Oleh karen itu sebagai pendekatan maka nilai mendekatai benar dihitung berdasarkan harga rata-rata (mean)
PROGRAM STUDI TEKNIK SIPIL 3-7 M M n Dimana : M : nilai yang mendekati benar M : nilai hasil pengkuran n : jumlah pengukuran e. Residual : Setelah ditentukan harga yang mendekati benar suatu ukuran maka dapat ditentukan besarnya residiul yakni selisih nilai hasil pengukuran sembarang dengan harga rata-rata atau nilai yang mendekati benar; v M M M : nilai yang mendekati benar M : nilai hasil pengkuran v : residual f. Simpangan baku (Standart deviation)i : Menggambarkan kesaksamaan atau ketelitian hasil ukuran, sedangkan kuadrat dari standar deviasi disebut varian. Simpangan baku dapat dinyatakan secara matematis sebagai berikut. n v 2 1 v : residual n : nilai hasil pengkuran n-1 : derajat kebebasan (degree of freedom) v : standar deviasi
PROGRAM STUDI TEKNIK SIPIL 3-8 Teori probablitas dapat juga diterapkan dalam bidang pengukuran untuk meratakan (adjustment) adanya kesalahan acak. Jadi kesalahan dapat diratakan dengan anggapan telah terbebas dari kesalahan kasar (blunders) dan kesalahan sistematis (systematic error). 3.5. Contoh-contoh Soal 1). Misalkan suatu pengkuran jarak sebanyak 9 kali dengan varisali hasil pengkuran seperti pada tabel dianggap telah bebas dari kesalahan kasar dan kesalahan sistematis. Dengan tingkat keyakinan 90 % dan 95 % kesalahan standar dan simpangan bakunya. hitung (m) (V) 500.55 0.08 0.01 500.48 0.01 0.00 2 v 500.45-0.02 0.00 0.28 500.49-0.21 0.04 500.49 0.02 0.00 ( n 1) 8 500.32-0.15 0.02 500.46-0.01 0.00 500.47 0.00-500.55 0.08 0.01 4,504.26 0.08 500.47 0.28 4.5004.26 0.04 M 9 500. 47m 0.04 Jarak Residu V 2 Untuk tingkat kelyakinan 90 % ( E 90 )= 1.6649(0.04)= 0.065 m Untuk tingkat kelyakinan 95 % ( E 95 )= 1.9599(0.04)= 0.075 m Dari hasil perhtiungan maka jarak yang paling mungkin 500.47 m Kesalahan standar pengkuran 0.04 m Dengan keyakinan 90 % 0.065 m ( Range jarak yang mungin antara 500.4635-500.535 m Dengan keyaknan 95 % 0.075 m( Range jarak yang mungin antara 500.4525-500.545 m
PROGRAM STUDI TEKNIK SIPIL 3-9 2) Utnuk pengkuran bebobot misalnya pengkuran sudut dalam suatu segitiga dengan sudut A=49 51 15 (bobot 1); sudut B =60 32 08 (bobot2) dan sudut C =69 36 33 (bobot3). Hitung perataan sudut berbobot. Oleh karana pengukuan berbobot maka koreksi harus diberikan secara terbalik untuk bobot tinggi diberi koreksi tebesar, sehingga A koreksi 6x, B 3x dan C 2x Sudut Bobot Koreksi Koreksi Pembulatan Sudu Numeris Koreksi Terkoreksi A 49 51 15 1 6X +2.18 +2.2 (atau2 ) 49 51 17 B 60 32 08 2 3X +1.09 +1.1 (atau1 ) 60 32 09 C 69 36 33 3 2X +0.73 +0.7(atau1 ) 69 36 34 11X=4 dan x = +0.36